Отделка. Фурнитура. Ремонт. Монтаж. Выбор. Проем
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА
Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником Альбрехтом Дюрером на гравюре “Меланхолия”, известен всем исследователям магических квадратов.
Здесь подробно рассказывается об этом квадрате. Сначала покажу гравюру “Меланхолия” (рис. 1) и магический квадрат, который изображён на ней (рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
Теперь покажу этот квадрат в привычном виде (рис. 3):
|
16 |
3 |
2 |
13 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
Рис. 3
Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры – 1514.
Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры. Предполагают, что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов!
Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат Дюрера. Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в свойстве 8 для некоторых квадратов слово “строка” заменится на слово “столбец” и наоборот.
Основной квадрат данной группы вы видите на рис. 4.
|
1 |
14 |
15 |
4 |
|
12 |
7 |
6 |
9 |
|
8 |
11 |
10 |
5 |
|
13 |
2 |
3 |
16 |
Рис. 4
Теперь перечислим все свойства этого знаменитого квадрата.
Свойство 1 . Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+ n 2 .
Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата – 34.
Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.
Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Свойство 5. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34.
Свойство 6. Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата. Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. 4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.
Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34,4+3+14+13=34.
Свойство 8. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.
Свойство 9. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:
1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438
12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310
Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.
Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. 5), то:
а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;
б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:
12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374
12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624
Рис. 5
Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 4.
Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 6 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.
|
1. Неоднозначность прочтения старых дат. «Магический квадрат» Альбрехта Дюрера Важнейшим формальным результатом НХ, полученным путём применения к материалу скалигеровской версии истории древности и средневековья независимых математико-статистических методов датирования, является обнаружение лежащей в её фундаменте системы хронологических сдвигов. Вследствие одного из таких сдвигов, ярко выраженного в европейской и русской средневековой истории, многие события, документы и произведения искусства эпохи XII-XVII веков были искусственно отброшены примерно на столетие в прошлое. В дополнение к этому, в показано, что удобная (и привычная современному человеку) позиционная десятичная система записи чисел была изобретена впервые отнюдь не в глубочайшей (чуть ли не в III тысячелетии до н.э.) древности, как это утверждает скалигеровская хронология, а лишь где-то в середине XVI века. И практически сразу же, - на основе русской скорописи, использовавшейся в тогдашней более примитивной полупозиционной (не имевшей нуля) славяно-греческой системе счисления, - возникли знакомые всем цифры от 0 до 9, называемые сегодня «арабскими» или «индийскими». Причём, - и сейчас для нас это наиболее важный момент, - первоначально символы, которыми позже стали записываться цифры 5 и 6, имели иное значение: цифра 5 на первых порах обозначала шестёрку, а цифра 6 - наоборот, пятёрку. В совокупности из всего этого вытекает следующее: «записи, использующие "индо-арабские" цифры в их современном виде, нельзя датировать эпохой ранее конца XVI века. Если нам сегодня говорят, что на некоем документе современником поставлена дата в принятой сегодня форме: 1250 год, или 1460 год, или даже 1520 год, то это подделка. Либо подделан документ, либо подделана дата, то есть проставлена задним числом. А в случае дат якобы шестнадцатого века … вероятно, некоторые из них относятся на самом деле к семнадцатому веку. Яркое свидетельство последнего, счастливо сохранившееся на знаменитой гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», рис. 1. Рис. 1. Гравюра Альбрехта Дюрера «Меланхолия I» На этой гравюре изображён так называемый «магический квадрат», то есть квадратная таблица, заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова (и, в данном случае, равняется тридцати четырём). Но, присмотревшись к этим числам, легко увидеть, что стоящая в первом столбце второго ряда цифра пять (которая и должна здесь стоять, чтобы квадрат получился «магическим») была нарисована (точнее, вырезана на гравюрной доске) поверх изначально находившейся здесь шестёрки, рис. 2. Рис. 2. «Магический квадрат» на гравюре Дюрера (слева) и пятёрка,переделанная из шестёрки (справа). Увеличенные фрагменты рис. 1 2. Написанный Дюрером портрет Иоганна Клебергера и изображённый на нём зодиак Однако, «магический квадрат» Дюрера, как выясняется, вовсе не единственный в своём роде отголосок, доносящий до нас подлинное первичное значение цифр 5 и 6. Точно такой же эффект их неверного прочтения, - причём, на сей раз, относящийся к записи именно даты! - обнаруживается, при внимательном рассмотрении, ещё на одной работе этого же художника. Речь идёт о сравнительно небольшом (37 на 37 см) портрете нюрнбергского купца и банкира Иоганна Клебергера, жившего якобы в 1485/86-1546 годах, рис. 3. Рис. 3. Портрет Иоганна Клебергера. Картина Альбрехта Дюрера, датируемая 1526 годом. Музей истории искусств, Вена Считается, что данный портрет был написан по заказу последнего Альбрехтом Дюрером в 1526 году, о чём вроде бы прямым текстом свидетельствуют имеющаяся в правом верхнем углу соответствующая надпись: «1526» и под ней монограмма Дюрера. Однако, как следует из сказанного выше, надпись эта, в действительности, может указывать не на 1526, а на 1625 год н.э. Но можно ли проверить это предположение? Ответ: да, в данном случае это оказывается возможным, поскольку, помимо заметной каждому цифровой, на этом же портрете присутствует и, по крайней мере, ещё одна - скрытая от беглого взора - дата, записанная астрономически и помещённая в его левом верхнем углу, рис. 4. Рис. 4. «Астрономическая» (слева) и «цифровая» (справа) даты на портрете Иоганна Клебергера. Увеличенные фрагменты рис. 3 Достаточно одного взгляда на левый фрагмент рис. 4, чтобы понять, что перед нами - совершенно откровенный гороскоп. В самом деле, мы видим здесь шесть звёзд, обозначающих шесть планет, а также Солнце, представленное в виде яркого жёлтого сияния, рис. 5-12. Рис. 5. Календарь с птолемеевской системой мира. Интересная особенность данной схемы, отличающая её от остальных подобных изображений, состоит в том, что она имеет отчётливо выраженный «магический» характер: каждый из знаков Зодиака сопровождается неким символом, имевшим, по мнению составителя, Рис. 7. Семь свободных искусств и покровительствующие им планеты. Слева изображены: Сатурн (геометрия) и Юпитер (логика). В центре (и на увеличенном фрагменте справа) представлены: Марс (арифметика), Солнце (грамматика) и Венера (музыка). Справа показаны: Меркурий (физика) и Луна (риторика). Рис. 9. Солнце и шесть звёзд-планет на титульном листе алхимического трактата: Johann Mylius, Anatomia Auri, sive Tyrocinium medico-chymicum, Frankfurt, 1628
Рис. 11. Всадник-Солнце. Иллюстрация из фестивальной книги конца XVI века (кодекс BSB Cod. icon. 340)
Единственная неоднозначность возникает в связи с определением значения изображённого в центре всей композиции символа. На первый взгляд, это общепринятый астрономический знак созвездия Льва, присутствующий в таком качестве на бесчисленном множестве изображений, рис. 13-14, в том числе и на известной звёздной карте того же Дюрера, рис. 15. Рис. 13. Солнце и Лев. Над спиной льва изображён его условный символ. Гравюра Виргилиуса Солиса. Якобы середина XVI века Рис. 15. Изображение Льва на звёздной карте Дюрера (слева) и его фрагменты с символом данного созвездия (справа). Якобы 1515 год Как символ Льва он интерпретируется и практически во всех описаниях рассматриваемой картины. Тем не менее, как утверждается в , - и, как станет понятно далее, практически наверняка так оно и есть, - в данном частном случае этот символ имеет более узкое значение и указывает не на созвездие Льва целиком, а лишь на его главную звезду - Регул. 3. Первый вариант гороскопа - «со Львом». Когда, в действительности, был написан портрет Клебергера? Рассмотрим сначала первую - стандартную - возможность. В этом случае мы получаем, что на рис. 4 представлен предельно лаконичный гороскоп - все планеты во Льве. Спрашивается, в какие годы все семь известных в средневековой астрономии планет собирались на звёздном небе в созвездии Льва? Программа HOROS даёт на него следующий исчёрпывающий ответ: за последнюю тысячу лет это происходило только дважды - 14-16 августа 1007 года н.э. и 30 августа - 1 сентября старого стиля 1624 года н.э. Первое решение по очевидным причинам заведомо отпадает, зато второе оказывается отстоящим буквально на один год от даты, записанной художником на картине, рис. 4, при условии того, что цифры 5 и 6 имели для него не сегодняшнее, а первоначальное значение. Налицо прекрасное соответствие. Получается, что в конце августа - начале сентября 1624 года происходит некое важное для Иоганна Клебергера событие, в память о котором он заказывает Дюреру (может быть сразу же, может быть чуть погодя) рассматриваемый портрет, а последний в скором времени исполняет этот заказ. Однако, это лишь предварительный вывод, следующий из чисто формального результата, относящего указанную выше дату именно к 1624 году и никак не учитывающий того, что в прежние времена начало года не всегда и не везде отсчитывалось, как это привычно нам сегодня, с первого января. В частности, на Руси в интересующую нас сейчас эпоху XVI-XVII веков новый год начинался в сентябре. И если, принимая во внимание данное обстоятельство, допустить, что заказчик портрета следовал, - по крайней мере, в данном конкретном случае, - этой старой (берущей своё начало ещё в «Древнем» Египте) традиции отсчёта нового года с сентября, то картина становится гораздо более интересной. А именно, возникают два возможных варианта, в зависимости от того, принимал ли он (опять же, по крайней мере, в рассматриваемом случае) проведённую сравнительно недавно - сорока годами ранее - григорианскую реформу календаря и введение «нового стиля». Если да, то к указанной выше дате следует прибавить десять дней, и получится, что в изображённом на портрете гороскопе записана дата 9-11 сентября (нового стиля), попадающая на первый месяц 1625 сентябрьского года. То есть, астрономическая и цифровая записи, рис. 4, окажутся (частично, так как первая более точна) дублирующими друг друга и указывающими на один и тот же 1625 год. Если же это было не так, и заказчик картины придерживался старого юлианского счёта дней, то результат становится и вовсе поразительным, поскольку в этом случае 31 августа и 1 сентября выпадают в точности на последний день 1624 и первый день 1625 сентябрьского года. И тогда получается, что зодиак на рис. 3 - новогодний, а сам портрет был написан по случаю наступления нового 1625 года, с началом этого года в сентябре. На рис. 16 показан «снимок» звёздного неба на новогоднее утро 1625 сентябрьского года полученный с помощью программы-планетария StarCalc. Рис. 16. Положение планет утром (через два часа после восхода Солнца) 1 сентября ст. ст. (11 сентября н. ст.) 1624 года н.э. Место наблюдения - Нюрнберг. Таким образом, мы имеем три варианта, относящие записанную на картине «зодиакальную» дату, в зависимости от возможных календарных представлений её заказчика, в конец восьмого месяца 1624 январского, конец первой декады первого месяца или же точно на начало 1625 сентябрьского года. Возникает естественный вопрос: какой из этих вариантов лучше всего соответствует изображению на рис. 3? Как мы сейчас убедимся, последний, поскольку именно с ним идеально согласуется ряд других деталей рассматриваемой картины. 4. «Год Сатурна» и символическое значение «львиного» гороскопа Прежде всего, взглянем на две фигуры, изображённые в нижнем левом и правом углах портрета, рис. 17, и попытаемся понять, что они означают. Рис. 17. Фигуры в нижней части портрета Иоганна Клебергера. Увеличенные фрагменты рис. 3 C левой из них - трилистником клевера, растущим на вершине горы, - вопросов не возникает. Это обыкновенный гербовый щит с символикой владельца. Точно такой же символ можно увидеть на ещё одном сохранившемся изображении Иоганна Клебергера (от клевера, кстати, происходит и сама его фамилия), рис. 18. Рис. 18. Иоганн Клебергер на медали неизвестного нюрнбергского мастера, относимой, так же как и портрет Дюрера, к 1526 году. На оборотной стороне виден шлем, над которым изображена гора с растущим на её вершине трилистником Но что конкретно означает правая? Конечно, вполне можно сказать, что это «просто красивая картинка, парная к щиту», и тем удовлетвориться. Однако, учитывая изложенное выше, в этой картинке несложно распознать слегка завуалированный под геральдическую стилистику астрономический сюжет. В самом деле, мы видим здесь длиннобородого старца, держащего в руках два трилистника. Подоплёка этой композиции напрашивается сама собой: шесть одинаковых листочков (так же как шесть одинаковых звёзд в противоположном углу того же портрета, рис. 4), скорее всего, обозначают шесть планет, рис. 19-21, а старец - какую-то седьмую планету. Рис. 19. Планетное дерево. Титульный лист алхимического трактата: Basilius Valentinus, Occulta Philosophia, Frankfurt am Mayn, 1613 Рис. 20. Планеты (они же алхимические элементы),изображённые в виде листочков на ветвях дерева. Спрашивается, какую конкретно? Очевидно, это либо Юпитер, либо Сатурн, так как именно эти две планеты чаще всего (а последний - практически всегда) изображались в таком виде, рис. 22. Рис. 22. Юпитер (слева) и Сатурн (справа) на гравюрах Ханса Бургкмайра. Якобы конец XV - начало XVI века Строго говоря, более или менее похожие изображения встречаются иногда и для Марса, Меркурия и Солнца, однако на них всегда имеются подписи или характерные атрибуты (меч Марса, крылатый жезл Меркурия и т.п.), позволяющие понять, какая именно планета имеется в виду, рис. 13. При отсутствии же таких атрибутов остаются именно Юпитер с Сатурном, так как единственным признаком для идентификации, в таком случае, оказывается собственно возраст, а последние - старшие среди «планетных» богов. Итак, рассмотрим первый вариант. В этом случае получается, что шесть планет поделены на две тройки, изображённые в виде трилистников в руках старца-Юпитера. С астрономической точки зрения, это означает, что три планеты должны находиться по одну сторону от Юпитера, а три - по другую. Но именно так и обстояло дело в полученном выше «новогоднем» решении 1624/25 года: слева от Юпитера, со стороны Девы, находились Меркурий, Солнце и Венера, справа - Марс, Луна и Сатурн, рис. 16. То есть, при отождествлении старца на рис. 17 с Юпитером вся композиция приобретает значение дополнительного астрономического указания к основному гороскопу. Во втором случае столь прозрачного соответствия, разумеется, уже не наблюдается, однако и он, как оказывается, ничуть не противоречит «новогоднему» варианту полученной выше датировки. И даже более того, не только дополнительно подтверждает её, но и позволяет глубже понять логику и образ мысли, которыми руководствовались автор и/или заказчик рассматриваемого портрета. А именно, зададимся вопросом: что ещё, помимо разделения планет на две группы, может означать то обстоятельство, что все они изображены одинаковыми, маленькими и притом находящимися в руках старца, олицетворяющего (на сей раз) Сатурн? Очевидно, то, что последний держит их всех в некоем подчинении (буквально, «в руках»). Спрашивается, о каком «подчинении» может идти речь? Ответ вновь даёт рис. 16. Дело в том, что наблюдатель, смотревший на звёздное небо в новогоднюю ночь 1625 сентябрьского года, видел, как примерно за два часа перед рассветом восходил Сатурн, получасом позже Луна (в виде едва заметного или даже вовсе неразличимого серпика), а ещё через час - все остальные планеты. То есть, говоря образно, в эти предрассветные часы на небе безраздельно «царил» Сатурн, возвещая тем самым, что грядущие месяцы пройдут под его «управлением» (как всеми остальными, равно «подчинёнными» ему, планетами, судьба которых, на ближайшее время, оказалась «в его руках», так и, конечно же, делами земными). И, как хорошо известно, такого рода соотнесение года с «управляющей» им планетой действительно было в эпоху Клебергера-Дюрера распространённой практикой, рис. 23-24. Рис. 23. Сатурн - владыка годового круга. Иллюстрация из средневекового астрологического альманаха. Якобы 1491 год Медаль, выпущенная в Нюрнберге примерно в 1810 году Сохранилась эта традиция и по сей день, рис. 25-29. Рис. 24. Сатурн. На оборотной стороне - весталка у алтаря и надпись «Удачи в новом году» (SPENDE NEUES GLUCK IM WECHSEL DES JAHRES).
Рис. 26. Лицевые стороны ещё двух австрийских календарных медалей (за 1937 и 1972 годы), посвящённых Сатурну Рис. 28. Венера и Меркурий на австрийских календарных медалях Таким образом, отождествление старца на рис. 17 с Сатурном также прекрасно соответствует найденному выше решению. Разве что прочтение композиции оказывается чуть более замысловатым, а получающийся смысл смещается из сугубо астрономической в аллегорическую плоскость. На последнее, правда, можно возразить тем, что Сатурн, по средневековым представлениям, считался зловещей, крайне неблагоприятной планетой, связанной со смертью и разного рода дурными влияниями. Издание [Саплин] суммирует эти взгляды следующим образом: «Сатурн - пятая по астрономическому счёту планета … В индивидуальной астрологии Сатурну подчинены следующие понятия: расставания, препятствия, трудности, потери, противостояния, выдержка, терпение, настойчивость, основательность, отчуждение, одиночество, холод, возраст, трудность, жестокость, непоколебимость, постоянство, зависть и алчность. В мировой астрологии … Сатурн отвечает за национальные бедствия, эпидемии, голод и т.п. …». А также: «Большое несчастье (лат. Infortuna major) - часто употреблявшийся в средневековой астрологии эпитет планеты Сатурн, считающейся самой неблагоприятной планетой». В общем, на первый взгляд, сложно представить причину, которая могла бы побудить кого-либо заказать свой портрет на подобном фоне. И в большинстве случаев этого было бы вполне достаточно, чтобы отвергнуть вариант отождествления старца на рис. 17 именно с Сатурном (оставив для него, тем самым, Юпитера как единственную кандидатуру). Однако, в данном конкретном случае такое соседство может быть очень легко объяснено. Дело в том, что описанная выше картина того, как в новогоднюю ночь 1625 сентябрьского года первым восходил «зловещий» Сатурн, была не совсем полной. Если же быть до конца точным, то, как опять-таки хорошо видно на рис. 16, «самым первым» - согласно расчётным данным, тремя минутами ранее Сатурна - на горизонте появлялась одна из ярчайших звёзд неба - Регул. А уже вслед за Регулом наступал черёд «царствующего» Сатурна (кстати, название указанной звезды также связано с царской властью и означает, в переводе с латыни, «маленький царь»). Относительно же Регула в издании [Саплин] говорится так: «Регул (Regulus), Сердце Льва … - звезда α Льва, … указывает на счастье». То есть, с точки зрения тех же средневековых представлений, к моменту восхода «Большого несчастья» = Сатурна его злотворная ипостась была нейтрализована «счастливым» Регулом, и, следовательно, на первый план вышли положительные черты - «выдержка, терпение, настойчивость, основательность, … непоколебимость, постоянство». Усиленные вдобавок «царской» сущностью Регула. Кто бы отказался от такого набора? Между прочим, тут же становится понятным и то, почему Сатурн мог быть изображён на рис. 17 в виде добродушного старичка, без своих привычных атрибутов в виде косы и пожираемого младенца, рис. 22. В данном случае, они, очевидно, уже были не нужны. С другой стороны, ход мысли автора мог быть и более изощрённым и заключаться в том, что, изобразив названного старца без каких-либо характерных атрибутов, которые бы однозначно указали на Сатурна или Юпитера, он предоставил тем самым достаточно искушённому в такого рода тонкостях зрителю возможность соотнести его с каждым из них, и в том и в другом случае приоткрывая важную часть общего заложенного в картину смысла. Кстати, у Сатурна есть и ещё один аспект, который тоже мог рассматриваться в качестве одного из фрагментов многоплановой символики картины. А именно, Сатурн-Кронос ассоциировался также и с нестареющим Хроносом, то есть Временем. И, следовательно, помещение его фигуры на портрете, при взгляде на неё под таким углом, могло сулить изображённому долгую жизнь, рис. 30-31. Рис. 30. Сатурн-Хронос, желающий удачи в новом году (VERTENTE ANNO - буквально: «в течение всего года»). Медаль, выпущенная в Аугсбурге и датируемая 1635 годом
Таким образом, мы видим, что даже стандартная интерпретация символа на рис. 4 как обозначающего созвездие Льва, приводит нас к очень интересному и символически насыщенному результату. Однако, как было сказано выше, имеется и другой вариант прочтения, согласно которому данный символ указывает на конкретную звезду неба - Регул. Рассмотрим теперь и эту возможность. Продолжение следует... Гравюра на меди «Меланхолия I» известнейшего художника эпохи западноевропейского Ренессанса Альбрехта Дюрера окутана тайной, полна символов и аллегорий. В неимоверно малые размеры своего творения непревзойденный мастер гравюры сумел зашифровать столько тайного смыла и посланий, которые до сих пор заводят в тупик искусствоведов. Различные версии разгадок этих тайн далее в обзоре.
Альбрехт Дюрер (нем. Albrecht Dürer, 1471-1528) - немецкий живописец и график, первый теоретик искусства, один из величайших мастеров Северного Ренессанса, был третьим ребенком в семье из восемнадцати рожденных и восьми выживших детей. Отец, золотых дел мастер, пытался с детства приобщить сына к ювелирному ремеслу,которым сам зарабатывал на жизнь.
Но вопреки его ожиданиям, в пятнадцать лет юный Альбрехт становится учеником Михаэля Вольгемута – ведущего нюрнбергского художника, живописца и великолепного гравера. От него то прилежный ученик и получил те познания и умения, которые использовал на протяжении своего творческого пути. К тому же, первый успех юному художнику принесли именно деревянные и медные гравюры. Впоследствии он стал новатором в этой технике. А о живописных работах Дюрера и говорить не приходится - это шедевры мирового искусства.
Познания Дюрера в астрономии, математических и естественных науках были потрясающими. Он создавал карты звездного неба, следя за небесными светилами с крыши собственного дома, на которой располагалась небольшая обсерватория. Он рассчитал значения, для впервые созданного в Европе, магического квадрата, создал теоретические труды об искусстве. «Меланхолия I»https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-006.jpg" alt="Фрагмент гравюры «Меланхолия I». Автор: А. Дюрер. ¦ Фото: kaplyasveta.ru." title="Фрагмент гравюры «Меланхолия I». В центре композиции видим женщину с крыльями и в венке, олицетворяющую собой Логику – это Муза Дюрера. Неподвижно сидящая на крыльце, она погружена в меланхолическую задумчивость и печаль: женщина хоть имеет крылья, но не может проникнуть за завесу тайны Вселенной. Все, что вокруг происходит - проходит без ее участия. Это ее угнетает и навевает меланхолическое настроение. https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-007.jpg" alt="Фрагмент гравюры «Меланхолия I». Автор: А. Дюрер. ¦ Фото: kaplyasveta.ru." title="Фрагмент гравюры «Меланхолия I». Гравюра размерами 23,9 х 18,8 сантиметров перенасыщена деталями и предметами. Здесь можно увидеть песочные и солнечные часы, весы, колокол, циркуль, сферу, многогранник, высеченный магический квадрат, а так же строительные инструменты. А самым интереснейшим предположением российского искусствоведа Паолы Волковой является версия: на гравюре изображена не крылатая женщина, а сам Альбрехт Дюрер с крыльями ангела, что впрочем вполне закономерно. Магический квадратhttps://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-004.jpg" alt="Фрагмент гравюры «Меланхолия I». Автор: А. Дюрер. ¦ Фото: kaplyasveta.ru." title="Фрагмент гравюры «Меланхолия I». Первая из версий: художник задумал создать несколько работ, отображающих меланхолию, поэтому и начал нумеровать свои произведения. Но как известно, продолжения серии гравюр, посвященных Меланхолии, у Дюрера больше не было. Вторая версия опиралась на психологические учения того времени, которые гласили, что существуют три вида меланхоликов. Одни из них были творческими людьми, с развитой фантазией, другие – политики и ученые, с развитым умом, и третьи - люди религии и философы, с развитой интуицией. Поэтому Дюрер, считавший себя меланхоликом, пишет на гравюре: MELENCOLIA I. По третьей версии: «I» - это вовсе не римская цифра, а латинская буква «i». А в совокупности с меланхолией - означает «Прочь, меланхолия». И последняя, самая более вероятная. Так как техника гравюры выполняется в зеркальном отражении Дюрер ошибся при написании названия, что было не первым случаем в его практике. Вместо буквы "А" - конечной буквы, он начал писать букву "М". И чтобы исправить свою ошибку, он решил таким образом выйти из сложившейся ситуации.
Более подробно узнать о работе «Рыцарь, смерть и дьявол» можно в обзоре: На основе теоретического анализа пандиагональных квадратов 4×4 показаны их особенности «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Выявлено, что любой вариант множества шести цифр этого и ему подобных пандиагональных квадратов 4×4, образующих непрерывную симметричную конфигурацию, равен в сумме целому числу – 51. Построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами «золотой симметрии» пандиагональных квадратов 4×4. Свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов геометрической фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34. ВведениеНа основе теоретического анализа квадратов Кхаджурахо, Дюрера и подобных им квадратов 4×4 выявлены особенности их «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Магический квадрат – квадратная таблица n×n, заполненная n 2 различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Самый ранний уникальный магический квадрат 4×4 обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», считается самым ранним в европейском искусстве (1514г.). Сумма чисел квадрата Дюрера на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате, в квадрате из угловых клеток, в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17. Существует 48 пандиагональных квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и симметрию относительно торических параллельных переносов, то остаётся только 3 существенно различных квадрата (рисунок 2).  Основная частьМною проанализирована «структура» пандиагональных квадратов 4×4 и выявлены инвариантные части их строения (рисунок 3). Инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Различные варианты симметричного комбинирования этих числовых пар образуют множество пандиагональных квадратов 4×4.  Квадрат Дюрера (и ему подобные пандиагональные квадраты 4×4) обладают симметрией золотой пропорции. Например, на рисунке 4 показано красными и синими квадратами варианты симметрий, при которых среднее арифметическое значение от суммы красных составляющих квадратов в возможных позициях (4 или 2, при вращении в разные стороны) равно 51. Таким образом, сумма всех чисел квадрата – 136, из которых 85 – синие, 51 – красные. 136/85=1,6; 85/51=1,667.  На основе квадрата Дюрера нами построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами симметрии пандиагональных квадратов 4×4 (рисунок 5). Подобное «преобразование» стало возможным при расположении вертикальных столбцов чисел квадрата Дюрера под определенным углом, образуя, таким образом, куб в кубе. При этом свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов построенной фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.  Заключение
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter . | ХIII научно-практическая конференция школьников «Магические квадраты» Ученицы 8 «А» класса ПТП лицея Шолоховой Анны Руководитель Анохина М.Н. История создания моей работы………………………………………………2 Магический квадрат.......................................................................3 Исторически значимые магические квадраты...................4-5 КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).........6 Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).........................................7 Квадрат Альбрехта Дюрера...........................................................8 Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.....9 Дьявольский магический квадрат.........................................10-11 ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.....12 СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ......................13-15 Создание магического квадрата Альбрехта Дюрера. .....17-18 Судоку............................................................................................19-21 Какуро............................................................................................22-23 БАНК ЗАДАЧ..................................................................24-25 Выводы................................................................................26 Литература...........................................................................27 История создания моей работы . Раньше я даже не задумывалась, что такое можно придумать. Первый раз магические квадраты встретились мне в первом классе в учебнике, они были самые простые. Через несколько лет с родителями я поехала на море познакомилась с девочкой, которая увлекалась судоку. Мне тоже захотелось научиться, и она объяснила, как это делать. Это занятие мне очень понравилось, и оно стало моим так называемым хобби. После того как мне предложили участвовать в научно-практической конференции, я сразу выбрала тему «Магические квадраты». В этой работу я включила исторический материал, разновидности, правила создания игру-загадку. Магический, или волшебный квадрат-это квадратная таблица, заполненная n числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n . Магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n=2, хотя случай n=1 тривиален - квадрат состоит из одного числа. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях. Называется магической константой , М. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой.
Первые значения магических констант приведены в следующих таблице. Исторически значимые магические квадраты. В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На её панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков(рис.1). Если заменить каждую фигуру числом, показывающим сколько в ней кружков, получится таблица. У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4+3+8=15.тот же результат получится при сложении чисел второго, а так же третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Мало этого, тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15. Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом. Рис.1 КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ). Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи ХI века в индийском городе Кхаджурахо. Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов. Магический квадрат Ян Хуэя (Китай) В XIII веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были, потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка. Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34 . Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2х2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17. Если в квадратную матрицу n х n заносится нестрого натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый (рис.3) имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (рис.4) (размером 4х4)- квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия. Рис.3 рис.4
Дьявольский магический квадрат - магический квадрат, в которой также с магической константой совпадает сумма чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях. Такие квадраты называют ещё пандиагональными . Существует 48 дьявольских магических квадратов 4х4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и их дополнительную симметрию – торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата: Рис. 5 рис. 6 Однако было доказано, что (рис.7) простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата (рис.5;6). То есть третий вариант- это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные. Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…). Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов чётности выше 4 имеются совершенные. Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Найти все магические квадраты порядка n удается только для, n=3,4 поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n>4.Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (х,y) поставить число. Ещё проще построение выполнить следующим образом, берется матрица n x n.Внутри её строится ступенчатый ромб. В нем ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом чисел. Определяется значение центральной ячейки С. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка С-1; нижняя левая ячейка С+1; нижняя правая ячейка С-n; верхняя левая ячейка С+n. СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ. Каким же образом составляют магические квадраты? Создание магического квадрата «Ло-Шу». Задача : Квадрат 3х3, составить из цифр от 1 до 9, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны. Решение: Решим задачу, не прибегая к перебору одной за другой всех перестановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во-вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центрального, которое войдёт четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 4*15=3х+3*15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5. Теперь заметим, что число 9 не может стоять в углу таблицы, скажем в левом верхнем углу. Ведь тогда в противоположном углу стояло бы число 1, а на первые строку и столбец оставалась бы одна комбинация - числа 4 и 2. Значит, 9 стоит в середине каких-то крайних строк или столбцов (у нас в середине первой строки). Двумя другими числами этой строки являются 4и2, а третьим числом среднего столбца должно быть 15-9-5=1. В одной строке с 1 должны стоять числа 8 и 6. Тем самым, магический квадрат почти заполнен и легко найти место для оставшихся чисел. В результате получается квадрат «Ло-Шу». Конечно, для 9 можно выбрать другие три места, а после выбора места для этого числа остаются две возможности для расположения чисел 4 и 2. Всего получается 4*2=8 различных магических квадратов из трёх строк и трёх столбцов (или, как говорят математики, квадратов третьего порядка). Все эти квадраты можно получить на «Ло-Шу» либо поворачивая квадрат на 180,90 или 270. Еще возможен вариант зеркального отображения. Квадрат «Ло-Шу»
Создание магического квадрата Альбрехта Дюрера. Задача : Создать магический квадрат 4х4, из цифр от 1 до 16, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны. Решение
: Сумма всех чисел от 1 до16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться:136:4=34. Но если просуммировать все числа, во-вторых, в столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центральных, которые войдут дважды. Этими числами будут 10,11,6,7. После чего доставим остальные числа 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 в остальные ячейки Квадрат Альбрехта Дюрера В переводе с Японского «су» означает «цифра», а «доку» - «стоящая отдельно». Не надо гадать или капаться в книгах – только логика и внимательность! Задача: заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в любой строке, любом столбце и в каждом из 9 блоков 3х3 цифра не повторялась. Решение: шаг 1 Посмотрим на выделенный ряд. В нем не хватает только двух цифр: 1 и 2.Взглянем на первую пустую клетку справа. Можем мы вписать туда 1? Нет. Потому что в этой колонке 1 уже есть, а повторяться эти цифры в колонке не могут. Значит, в эту клетку мы можем вписать лишь 2. Так и сделаем. Теперь нам осталось только вписать цифру 1 в пустую, последнюю клетку в этом ряду, и ряд заполнен.
Давайте посмотрим на выделенную колонку: в ней также не хватает всего двух цифр- 2 и 7. Цифру 7 мы не можем вписать в первую сверху пустую клетку этой колонки, потому что в пересекающем колонку ряду уже есть цифра 7. Зато мы можем вписать в неё цифру 2, что и делаем! А для цифры 7 остается только одна пустая клетка в этой колонке - вторая клетка снизу. Смело в ней пишем цифру 7- колонка заполнена!
Ну а теперь давайте взглянем на центральный блок клеток: в нем осталась только одна пустая клетка, то есть недостает всего лишь одной цифры. Посмотрим внимательно- это цифра 9, так как все остальные цифры уже стоят на своих местах. Пишем снова в клетку цифру 9... и снова «осматриваемся» - и у нас снова есть один ряд и одна колонка. В которых не хватает по две цифры. Что дальше? Ответ мы найдем сами- шаг 1, шаг 2...
Данные числа.
|
«Меланхолия I» - является последней из серии трех известных «мастерских гравюр» Дюрера и самой любимой его работой. Первые две - это «Иероним в келье» и «Рыцарь, смерть и дьявол».