Danas vas pozivamo na još jednu prezentaciju o nevjerovatnoj i misterioznoj temi - geometriji. U ovoj prezentaciji ćemo vas upoznati sa novim svojstvom geometrijskih oblika, posebno sa konceptom proporcionalnih segmenata u pravokutnim trokutima.

Prvo, morate zapamtiti šta je trougao? Ovo je najjednostavniji poligon, koji se sastoji od tri vrha povezana sa tri segmenta. Pravougaoni trougao se naziva trougao u kome je jedan od uglova 90 stepeni. Već ste se s njima detaljnije upoznali u našim prethodnim materijalima za obuku koji su vam predstavljeni.

Dakle, vraćajući se našoj današnjoj temi, kako bismo označili da visina pravouglog trougla, izvučena iz ugla od 90 stepeni, deli ga na dva trougla, koja su slična i jedan drugom i originalnom. Sve slike i grafikoni koji vas zanimaju dati su u predloženoj prezentaciji, te preporučujemo da im se obratite uz opisano objašnjenje.

Grafički primjer gornje teze može se vidjeti na drugom slajdu. Na osnovu prvog znaka sličnosti trokuta, trokuti su slični, jer imaju dva identična ugla. Ako detaljnije naznačite, onda visina spuštena na hipotenuzu sa njom čini pravi ugao, odnosno već postoje isti uglovi, a svaki od formiranih uglova takođe ima jedan zajednički ugao kao početni. Rezultat su dva ugla koja su jednaka jedan drugom. Odnosno, trokuti su slični.

Označimo i šta znači koncept "proporcionalne sredine" ili "geometrijske sredine"? Ovo je određeni segment XY za segmente AB i CD, kada je jednak kvadratnom korijenu proizvoda njihovih dužina.

Iz čega također slijedi da je katet pravokutnog trougla geometrijska sredina između hipotenuze i projekcije ove katete na hipotenuzu, odnosno drugu katetu.

Još jedno od svojstava pravokutnog trokuta je da je njegova visina, povučena iz ugla od 90°, prosječna proporcionalna između projekcija kateta na hipotenuzu. Ako pogledate prezentaciju i druge materijale koji su vam ponuđeni, vidjet ćete da postoji dokaz ove teze u vrlo jednostavnom i pristupačnom obliku. Ranije smo već dokazali da su dobijeni trouglovi slični jedan drugom i originalnom trokutu. Zatim, koristeći omjer krakova ovih geometrijskih figura, dolazimo do činjenice da je visina pravokutnog trokuta direktno proporcionalna kvadratnom korijenu proizvoda segmenata koji su nastali kao rezultat smanjenja visine iz pravog ugla originalnog trougla.

Potonji u prezentaciji je pokazao da je krak pravokutnog trougla geometrijska sredina hipotenuze i njenog segmenta koji se nalazi između kateta i visine povučene iz ugla od 90 stepeni. Ovaj slučaj treba uzeti u obzir sa strane da su navedeni trokuti slični jedan drugom, a krak jednog od njih se dobija hipotenuzom drugog. Ali s tim ćete se detaljnije upoznati proučavanjem predloženih materijala.

Ciljevi lekcije:

1. uvesti koncept proporcionalnog prosjeka (geometrijske sredine) dva segmenta;
2. razmotrimo problem proporcionalnih segmenata u pravouglom trouglu: svojstvo visine pravouglog trougla, povučeno iz vrha pravog ugla;
3. formirati kod učenika umijeće korištenja proučavane teme u procesu rješavanja zadataka.

Vrsta lekcije: lekcija u učenju novog gradiva.

Plan:

1. Organizacioni momenat.
2. Ažuriranje znanja.
3. Proučavanje svojstva visine pravouglog trougla, povučene iz vrha pravog ugla:
   - pripremna faza;
   - uvod;
   - asimilacija.
4. Uvođenje koncepta srednje proporcionalne dvama segmentima.
5. Ovladavanje konceptom prosjeka proporcionalnog dva segmenta.
6. Dokaz o posledicama:
   - visina pravouglog trougla, povučena iz vrha pravog ugla, je proporcionalni prosjek između segmenata na koje je hipotenuza podijeljena ovom visinom;
   - katet pravokutnog trougla je prosječna proporcionalna vrijednost između hipotenuze i segmenta hipotenuze, zatvorenog između kateta i visine.
7. Rješavanje problema.
8. Rezimirajući.
9. Postavljanje domaće zadaće.

Tokom nastave

I. ORGMOMENT

- Zdravo momci, sedite. Da li su svi spremni za lekciju?

Počinjemo.

II. AŽURIRANJE ZNANJA

- Koji važan matematički koncept ste upoznali na prethodnim časovima? ( sa konceptom sličnosti trokuta)

- Prisjetimo se koja se dva trougla zovu slična? (dva trokuta se nazivaju sličnima ako su im uglovi jednaki, a stranice jednog trokuta proporcionalne sličnim stranicama drugog trokuta)

- Čime dokazujemo sličnost dva trougla? (

- Formulirajte ove znakove (formulisati tri kriterijuma za sličnost trokuta)

III. PROUČAVANJE SVOJSTVA VISINE PRAVOUGAONOG TROKUTA IZVAĐENOG IZ VRHA PRAVOG UGA

a) pripremna faza

- Ljudi, pogledajte prvi slajd. ( Aplikacija) Evo dva pravougla trougla - i. i - visine i, respektivno. .

Zadatak 1.a) Odredite da li su i slični.

- Čime dokazujemo sličnost trouglova? ( znakovi sličnosti trokuta)

(prvi znak, pošto se ništa ne zna o stranicama trokuta u zadatku)

... (Dva para: 1.∟B = ∟B1 (prave), 2.∟A = ∟A 1)

- Donesite zaključak. ( po prvom znaku sličnosti trokuta ~)

Zadatak 1.b) Odredite da li su i slični.

- Koji znak sličnosti ćemo koristiti i zašto? (prvi znak, jer se u zadatku ništa ne zna o stranicama trouglova)

- Koliko parova jednakih uglova treba da nađemo? Pronađite ove parove (pošto su trouglovi pravougaoni, dovoljan je jedan par jednakih uglova: ∟A = ∟A 1)

- Donesite zaključak. (po prvom znaku sličnosti trokuta zaključujemo da su ti trokuti slični).

Kao rezultat razgovora, slajd 1 izgleda ovako:

b) otkriće teoreme

Zadatak 2.

- Odredite da li su i, i slični. Kao rezultat razgovora izgrađuju se odgovori koji se odražavaju na slajdu.

- Slika je to pokazala. Da li smo koristili ovu mjeru stepena kada smo odgovarali na pitanja iz zadataka? ( Ne, nismo koristili)

- Ljudi, izvucite zaključak: na koje trouglove pravougli trougao dijeli visinu izvučenu iz vrha pravog ugla? (zaključiti)

- Postavlja se pitanje: da li će ova dva pravougla trougla, na koja visina deli pravougli trougao, biti slični jedan drugom? Pokušajmo pronaći parove jednakih uglova.

Kao rezultat razgovora sastavlja se zapisnik:

- A sada da izvučemo potpuni zaključak. ( ZAKLJUČAK: visina pravouglog trougla, povučena iz vrha pravog ugla, deli trougao na dva dela like

- To. formulisali smo i dokazali teoremu o svojstvu visine pravouglog trougla.

Postavimo strukturu teoreme i napravimo crtež. Šta je dato u teoremi i šta treba dokazati? Učenici zapisuju u sveske:

- Dokažimo prvu stavku teoreme za novi crtež. Koju ćemo značajku sličnosti koristiti i zašto? (Prvi, jer se u teoremi ništa ne zna o stranicama trokuta)

- Koliko parova jednakih uglova treba da nađemo? Pronađite ove parove. (U ovom slučaju dovoljan je jedan par: ∟A-common)

- Donesite zaključak. Trokuti su slični. Kao rezultat, prikazan je primjer formulacije teoreme

- Drugu i treću tačku sami zapišite kod kuće.

c) asimilacija teoreme

- Dakle, ponovo formulišite teoremu (Visina pravokutnog trougla, povučena iz vrha pravog ugla, dijeli trokut na dva like pravokutnih trokuta, od kojih je svaki sličan ovome)

- Koliko parova sličnih trouglova u konstrukciji „u pravouglom trouglu visina je povučena iz vrha pravog ugla“ omogućava da se pronađe ova teorema? ( Tri para)

Učenicima se nudi sljedeći zadatak:

IV. UVOĐENJE KONCEPTA PROSJEČNE PROPORCIONALNE OD DVIJE NOGE

- A sada ćemo s vama proučiti novi koncept.

Pažnja!

Definicija. Odjeljak XY pozvao prosječna proporcionalna (geometrijska sredina) između segmenata AB i CD, ako

(zapisati u svesku).

V. DODELJIVANJE KONCEPTA PROSJEČNE PROPORCIONALNE OD DVA INTERSEKTA

- Hajdemo sada na sljedeći slajd.

Vježba 1. Odrediti dužinu prosjeka proporcionalnih odsječaka MN i KP, ako je MN = 9 cm, KP = 16 cm.

- Šta je dato u zadatku? ( Dva segmenta i njihove dužine: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Šta treba da nađeš? ( Dužina prosjeka proporcionalna ovim segmentima)

- Koja je formula za proporcionalnu sredinu i kako je nalazimo?

(Podatke zamjenjujemo u formulu i nalazimo dužinu prosječnog propa.)

Zadatak broj 2. Odredite dužinu odsječka AB ako je prosjek proporcionalan segmentima AB i CD 90 cm, a CD = 100 cm

- Šta je dato u zadatku? (dužina odsječka CD = 100 cm, a prosjek proporcionalan segmentima AB i CD je 90 cm)

- Šta treba da nađete u problemu? ( Dužina segmenta AB)

- Kako ćemo riješiti problem? (Pišemo formulu za prosjek proporcionalnih segmenata AB i CD, iz nje izražavamo dužinu AB i zamjenjujemo podatke problema.)

Vi. ZAKLJUČAK POSLJEDICA

- Bravo momci. Vratimo se sada na sličnost trouglova, koju smo dokazali u teoremi. Ponovo formulirajte teoremu. ( Visina pravokutnog trougla, povučena iz vrha pravog ugla, dijeli trokut na dva like pravouglih trokuta, od kojih je svaki sličan datom)

- Hajde da prvo iskoristimo sličnost trouglova i. Šta iz ovoga slijedi? ( Po definiciji sličnosti, strane su proporcionalne sličnostima)

- Koja će se jednakost dobiti korištenjem glavnog svojstva proporcije? ()

- Izrazite CD i napravite zaključak (;.

Izlaz: visina pravokutnog trokuta, povučena iz vrha pravog ugla, je proporcionalni prosjek između segmenata na koje je hipotenuza podijeljena ovom visinom)

- A sada dokažite da je katet pravokutnog trougla prosječna proporcionalna između hipotenuze i odsječka hipotenuze zatvorene između kateta i visine. Nađimo iz - ... segmente na koje je hipotenuza podijeljena po ovoj visini )

Krak pravokutnog trougla je prosječna proporcionalna između ... (- ... hipotenuza i segment hipotenuze zatvoren između ovog kraka i visine )

- Gdje primjenjujemo naučene izjave? ( Prilikom rješavanja problema)

IX. KUĆNI ZADATAK

d/s: br. 571, br. 572 (a, e), samostalni rad u svesci, teorija.

Znak sličnosti pravokutnih trouglova

Hajde da prvo uvedemo kriterijum sličnosti za pravougaone trouglove.

Teorema 1

Znak sličnosti pravokutnih trouglova: dva pravougla trougla su slična kada imaju jedan jednak oštar ugao (sl. 1).

Slika 1. Slični pravougli trouglovi

Dokaz.

Neka nam je dato da je $ \ ugao B = \ ugao B_1 $. Pošto su trouglovi pravougaoni, onda je $ \ ugao A = \ ugao A_1 = (90) ^ 0 $. Dakle, oni su slični u prvom znaku sličnosti trokuta.

Teorema je dokazana.

Teorema o visini u pravokutnom trokutu

Teorema 2

Visina pravokutnog trougla, povučena iz vrha pravog ugla, dijeli trokut na dva slična pravokutna trougla, od kojih je svaki sličan ovom trokutu.

Dokaz.

Neka nam je dat pravougli trougao $ ABC $ sa pravim uglom $ C $. Nacrtajmo visinu $ CD $ (slika 2).

Slika 2. Ilustracija teoreme 2

Dokažimo da su trouglovi $ ACD $ i $ BCD $ slični trouglu $ ABC $ i da su trouglovi $ ACD $ i $ BCD $ slični jedan drugom.

Pošto je $ \ ugao ADC = (90) ^ 0 $, trougao $ ACD $ je pravougaonog oblika. Trouglovi $ ACD $ i $ ABC $ imaju zajednički ugao $ A $, pa su prema teoremi 1 trouglovi $ ACD $ i $ ABC $ slični.

Pošto je $ \ ugao BDC = (90) ^ 0 $, trougao $ BCD $ je pravougaonog oblika. Trouglovi $ BCD $ i $ ABC $ imaju zajednički ugao $ B $, pa su prema teoremi 1 trouglovi $ BCD $ i $ ABC $ slični.

Razmotrimo sada trouglove $ ACD $ i $ BCD $

\ [\ ugao A = (90) ^ 0- \ ugao ACD \] \ [\ ugao BCD = (90) ^ 0- \ ugao ACD = \ ugao A \]

Dakle, prema teoremi 1, trouglovi $ ACD $ i $ BCD $ su slični.

Teorema je dokazana.

Proporcionalna sredina

Teorema 3

Visina pravouglog trougla, povučena iz vrha pravog ugla, je proporcionalni prosjek za segmente na koje visina dijeli hipotenuzu ovog trougla.

Dokaz.

Prema teoremi 2, imamo da su trouglovi $ ACD $ i $ BCD $ slični, dakle

Teorema je dokazana.

Teorema 4

Krak pravokutnog trougla je prosječna proporcionalna vrijednost između hipotenuze i segmenta hipotenuze, zatvorena između katete i visine povučene iz vrha ugla.

Dokaz.

U dokazu teoreme koristićemo notaciju sa slike 2.

Prema teoremi 2, imamo da su trouglovi $ ACD $ i $ ABC $ slični, dakle

Teorema je dokazana.

Lekcija 40. Proporcionalni segmenti u pravokutnom trouglu. C. b. a. h. C. bc. H. ac. A. V. Visina pravokutnog trougla, povučena iz vrha pravog ugla, dijeli trokut na 2 slična pravokutna trougla, od kojih je svaki sličan ovom trouglu. Znak sličnosti pravokutnih trouglova. Dva pravougla trougla su slična ako imaju jednak oštar ugao. XY segment se naziva proporcionalni prosjek (geometrijska sredina) za segmente AB i CD ako je svojstvo 1. Visina pravokutnog trougla, povučena iz vrha pravog ugla, je proporcionalni prosjek između projekcija krakova na hipotenuzu. Svojstvo 2. Krak pravokutnog trougla je prosječna proporcionalna vrijednost između hipotenuze i projekcije te katete na hipotenuzu.

Slajd 28 iz prezentacije "Geometrija" Slični trouglovi ""... Veličina arhive sa prezentacijom je 232 KB.

Geometrija 8 razred

sažetke ostalih prezentacija

"Rješavanje zadataka na Pitagorinoj teoremi" - jednakokraki trougao ABC. Praktična primjena Pitagorine teoreme. AVSD je četverougao. Kvadratna površina. Pronađite avion. Dokaz. Osnove jednakokrakog trapeza. Razmotrimo Pitagorinu teoremu. Površina četvorougla. Pravougaoni trouglovi. Pitagorina teorema. Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.

"Pronalaženje površine paralelograma" - Baza. Visina. Određivanje visine paralelograma. Znaci jednakosti pravokutnih trouglova. Područje paralelograma. Pronađite površinu trokuta. Svojstva područja. Oralne vježbe. Pronađite površinu paralelograma. Visine paralelograma. Pronađite obim kvadrata. Površina trougla. Pronađite površinu kvadrata. Pronađite površinu pravougaonika. Kvadratna površina.

"Kvadrat" Razred 8 "- Crni kvadrat. Zadaci za usmeni rad po obodu kvadrata. Kvadratna površina. Znakovi kvadrata. Trg je među nama. Kvadrat je pravougaonik čije su sve strane jednake. Square. Torba sa kvadratnom bazom. Usmeni zadaci. Koliko kvadrata je prikazano na slici. Svojstva trga. Bogati trgovac. Zadaci za usmeni rad na površini kvadrata. Perimetar kvadrata.

"Određivanje aksijalne simetrije" - Tačke koje leže na istoj okomici. Nacrtajte dvije ravne linije. Izgradnja. Plot points. Prompt. Oblici koji nisu aksijalno simetrični. Odjeljak. Nedostaju koordinate. Slika. Oblici s više od dvije osi simetrije. Simetrija. Simetrija u poeziji. Izgradite trouglove. Osi simetrije. Kreiranje segmenta. Ucrtavanje tačke. Oblici sa dvije osi simetrije. Narode. Trouglovi. Proporcionalnost.

"Definicija sličnih trouglova" - Poligoni. Proporcionalni segmenti. Omjer površina sličnih trouglova. Dva trokuta se nazivaju sličnima. Uslovi. Konstruisati trougao od data dva ugla i simetrale na vrhu. Recimo da trebate odrediti udaljenost do stupa. Treći znak sličnosti trouglova. Hajde da napravimo neku vrstu trougla. ABC. Trouglovi ABC i ABC su jednaki sa tri strane. Određivanje visine objekta.

"Rješenje Pitagorine teoreme" - Dijelovi prozora. Najjednostavniji dokaz. Hamurabi. Dijagonala. Potpuni dokaz. Dokaz oduzimanja. Pitagorejci. Dokaz metodom ekspanzije. Istorija teoreme. Prečnik. Dokaz metodom komplementa. Epsteinov dokaz. Cantor. Trouglovi. Followers. Primjena Pitagorine teoreme. Pitagorina teorema. Izjava teoreme. Perigalov dokaz. Primjena teoreme.

Znak sličnosti pravokutnih trouglova

Hajde da prvo uvedemo kriterijum sličnosti za pravougaone trouglove.

Teorema 1

Znak sličnosti pravokutnih trouglova: dva pravougla trougla su slična kada imaju jedan jednak oštar ugao (sl. 1).

Slika 1. Slični pravougli trouglovi

Dokaz.

Neka nam je dato da je $ \ ugao B = \ ugao B_1 $. Pošto su trouglovi pravougaoni, onda je $ \ ugao A = \ ugao A_1 = (90) ^ 0 $. Dakle, oni su slični u prvom znaku sličnosti trokuta.

Teorema je dokazana.

Teorema o visini u pravokutnom trokutu

Teorema 2

Visina pravokutnog trougla, povučena iz vrha pravog ugla, dijeli trokut na dva slična pravokutna trougla, od kojih je svaki sličan ovom trokutu.

Dokaz.

Neka nam je dat pravougli trougao $ ABC $ sa pravim uglom $ C $. Nacrtajmo visinu $ CD $ (slika 2).

Slika 2. Ilustracija teoreme 2

Dokažimo da su trouglovi $ ACD $ i $ BCD $ slični trouglu $ ABC $ i da su trouglovi $ ACD $ i $ BCD $ slični jedan drugom.

Pošto je $ \ ugao ADC = (90) ^ 0 $, trougao $ ACD $ je pravougaonog oblika. Trouglovi $ ACD $ i $ ABC $ imaju zajednički ugao $ A $, pa su prema teoremi 1 trouglovi $ ACD $ i $ ABC $ slični.

Pošto je $ \ ugao BDC = (90) ^ 0 $, trougao $ BCD $ je pravougaonog oblika. Trouglovi $ BCD $ i $ ABC $ imaju zajednički ugao $ B $, pa su prema teoremi 1 trouglovi $ BCD $ i $ ABC $ slični.

Razmotrimo sada trouglove $ ACD $ i $ BCD $

\ [\ ugao A = (90) ^ 0- \ ugao ACD \] \ [\ ugao BCD = (90) ^ 0- \ ugao ACD = \ ugao A \]

Dakle, prema teoremi 1, trouglovi $ ACD $ i $ BCD $ su slični.

Teorema je dokazana.

Proporcionalna sredina

Teorema 3

Visina pravouglog trougla, povučena iz vrha pravog ugla, je proporcionalni prosjek za segmente na koje visina dijeli hipotenuzu ovog trougla.

Dokaz.

Prema teoremi 2, imamo da su trouglovi $ ACD $ i $ BCD $ slični, dakle

Teorema je dokazana.

Teorema 4

Krak pravokutnog trougla je prosječna proporcionalna vrijednost između hipotenuze i segmenta hipotenuze, zatvorena između katete i visine povučene iz vrha ugla.

Dokaz.

U dokazu teoreme koristićemo notaciju sa slike 2.

Prema teoremi 2, imamo da su trouglovi $ ACD $ i $ ABC $ slični, dakle

Teorema je dokazana.