Za konstruiranje vektora daju se bodovi. Koordinate i vektori

Algebarska vektorska projekcija na bilo kojoj osi jednak je proizvodu dužine vektora kosinusom ugla između ose i vektora:

Pr a b = |b |cos (a, b) ili

Gdje je a b skalarni proizvod vektora, |a | je modul vektora a.

Uputstvo. Da biste pronašli projekciju vektora Pp a b u online modu, morate odrediti koordinate vektora a i b. U ovom slučaju, vektor se može specificirati na ravni (dvije koordinate) iu prostoru (tri koordinate). Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku. Ako su vektori specificirani kroz koordinate tačaka, onda se ovaj kalkulator mora koristiti.

Klasifikacija vektorskih projekcija

Vrste projekcija po definiciji vektorske projekcije

Koordinatni prikazi projekcije

Svojstva vektorske projekcije

Geometrijska projekcija vektora je vektor (ima pravac).
Algebarska projekcija vektora je broj.

Teoreme vektorske projekcije

Teorema 1. Projekcija zbroja vektora na bilo koju osu jednaka je projekciji članova vektora na istu osu.

Teorema 2. Algebarska projekcija vektora na bilo koju osu jednaka je proizvodu dužine vektora i kosinusa ugla između ose i vektora:

Pr a b = | b | cos (a, b)

Vrste vektorskih projekcija

projekcija na osu OX.
projekcija na osu OY.
vektorska projekcija.

OX projekcija	Projekcija ose OY	Vektorska projekcija
Ako se smjer vektora A'B 'poklapa sa smjerom ose OX, tada projekcija vektora A'B' ima pozitivan predznak.	Ako se smjer vektora A'B 'poklapa sa smjerom ose OY, tada projekcija vektora A'B' ima pozitivan predznak.	Ako se smjer vektora A'B 'poklapa sa smjerom vektora NM, tada projekcija vektora A'B' ima pozitivan predznak.
Ako je smjer vektora suprotan smjeru ose OX, tada projekcija vektora A'B 'ima negativan predznak.	Ako je smjer vektora A'B 'suprotan smjeru ose OY, tada projekcija vektora A'B' ima negativan predznak.	Ako je smjer vektora A'B 'suprotan smjeru vektora NM, tada projekcija vektora A'B' ima negativan predznak.
Ako je vektor AB paralelan sa OX osom, tada je projekcija vektora A'B' jednaka apsolutnoj vrijednosti vektora AB.	Ako je vektor AB paralelan sa OY osom, tada je projekcija vektora A'B' jednaka apsolutnoj vrijednosti vektora AB.	Ako je vektor AB paralelan vektoru NM, tada je projekcija vektora A'B' jednaka modulu vektora AB.
Ako je vektor AB okomit na osu OX, tada je projekcija A'B' jednaka nuli (nulti vektor).	Ako je vektor AB okomit na osu OY, tada je projekcija A'B' jednaka nuli (nulti vektor).	Ako je vektor AB okomit na vektor NM, tada je projekcija A'B' jednaka nuli (nulti vektor).

1. Pitanje: Može li vektorska projekcija imati negativan predznak. Odgovor: Da, vektorska projekcija može biti negativna. U ovom slučaju, vektor ima suprotan smjer (pogledajte kako su os OX i AB vektor usmjereni)
2. Pitanje: Može li projekcija vektora biti ista kao i modul vektora. Odgovor: Da, može. U ovom slučaju, vektori su paralelni (ili kolinearni).
3. Pitanje: Može li projekcija vektora biti jednaka nuli (nulti vektor). Odgovor: Da, može. U ovom slučaju, vektor je okomit na odgovarajuću osu (vektor).

Primjer 1. Vektor (slika 1) formira ugao od 60° sa OX osom (određen je vektorom a). Ako je OE jedinica skale, onda je | b | = 4, dakle .

Zaista, dužina vektora (geometrijska projekcija b) je 2, a smjer se poklapa sa smjerom ose OX.

Primjer 2. Vektor (slika 2) formira ugao (a, b) = 120 o sa OX osom (sa vektorom a). Dužina | b | vektor b je jednak 4, dakle pr a b = 4 · cos120 o = -2.

Zaista, dužina vektora je 2, a smjer je suprotan smjeru ose.

Prvi nivo

Koordinate i vektori. Sveobuhvatan vodič (2019.)

U ovom članku ćemo započeti raspravu o jednom "čarobnom štapiću" koji će vam omogućiti da svedete mnoge probleme geometrije na jednostavnu aritmetiku. Ovaj "štap" može vam umnogome olakšati život, posebno u slučaju kada se osjećate nesigurno u konstrukciji prostornih figura, presjeka i sl. Sve to zahtijeva određenu maštu i praktične vještine. Metoda, koju ćemo ovdje početi razmatrati, omogućit će vam da se gotovo potpuno apstrahujete od svih vrsta geometrijskih konstrukcija i zaključivanja. Metoda se zove "Koordinatni metod"... U ovom članku ćemo razmotriti sljedeća pitanja:

Koordinatna ravan
Tačke i vektori u ravni
Konstruisanje vektora iz dve tačke
Dužina vektora (udaljenost između dvije tačke)
Koordinate sredine
Tačkasti proizvod vektora
Ugao između dva vektora

Mislim da ste već pogodili zašto se koordinatni metod tako zove? Tačno je da je dobio takvo ime, jer ne operiše geometrijskim objektima, već njihovim numeričkim karakteristikama (koordinatama). A sama transformacija, koja nam omogućava da pređemo sa geometrije na algebru, sastoji se u uvođenju koordinatnog sistema. Ako je originalna figura bila ravna, tada su koordinate dvodimenzionalne, a ako je figura trodimenzionalna, onda su koordinate trodimenzionalne. U ovom članku ćemo razmotriti samo dvodimenzionalni slučaj. A glavni cilj članka je naučiti vas kako koristiti neke osnovne tehnike koordinatnog metoda (ponekad se pokažu korisnim u rješavanju problema iz planimetrije u dijelu B ispita). Sljedeća dva odjeljka na ovu temu posvećena su raspravi o metodama rješavanja problema C2 (problem stereometrije).

Gdje bi bilo logično započeti raspravu o koordinatnoj metodi? Vjerovatno iz koncepta koordinatnog sistema. Sjetite se kada ste je prvi put susreli. Čini mi se da ste u 7. razredu učili za postojanje linearne funkcije npr. Dozvolite mi da vas podsjetim da ste ga gradili tačku po tačku. Sjećaš li se? Izabrali ste proizvoljan broj, zamijenili ga u formulu i tako izračunali. Na primjer, ako, onda, ako, onda, itd. Šta ste na kraju dobili? I dobili ste bodove sa koordinatama: i. Zatim ste nacrtali "križ" (koordinatni sistem), na njemu odabrali skalu (koliko ćelija ćete imati kao jedinični segment) i na njemu označili tačke koje ste dobili, koje ste zatim povezali pravom linijom, rezultirajućom linijom je graf funkcije.

Ovdje postoji nekoliko tačaka koje bi vam trebalo malo detaljnije objasniti:

1. Odabirete samo jedan segment iz razloga pogodnosti, tako da sve lijepo i kompaktno stane na sliku.

2. Pretpostavlja se da os ide s lijeva na desno, a os ide odozdo prema gore.

3. Seku se pod pravim uglom, a tačka njihovog preseka naziva se ishodište. Označeno je slovom.

4. U pisanju koordinata tačke, na primjer, lijevo u zagradama je koordinata tačke duž ose, a desno, duž ose. Konkretno, to jednostavno znači da u tom trenutku

5. Da biste postavili bilo koju tačku na koordinatnu os, potrebno je navesti njene koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju tačku na osi,

7. Za bilo koju tačku na osi,

8. Osa se naziva osa apscisa.

9. Osa se zove y-osa.

Idemo sada sa vama na sljedeći korak: označite dvije tačke. Povežimo ove dvije tačke segmentom. I stavićemo strelicu kao da crtamo segment od tačke do tačke: to jest, naš segment ćemo učiniti usmerenim!

Zapamtite, kako se još zove pravac? Tako je, to se zove vektor!

Dakle, ako povežemo tačku sa tačkom, štaviše, početak će biti tačka A, a kraj tačka B, tada dobijamo vektor. Ovu formaciju ste radili i u 8. razredu, sjećate se?

Ispada da se vektori, kao i tačke, mogu označiti sa dva broja: ti brojevi se nazivaju koordinatama vektora. Pitanje je: da li mislite da je dovoljno da znamo koordinate početka i kraja vektora da bismo pronašli njegove koordinate? Ispostavilo se da da! A to se radi vrlo jednostavno:

Dakle, pošto je tačka u vektoru početak, a a kraj, vektor ima sledeće koordinate:

Na primjer, ako, onda koordinate vektora

Sada uradimo suprotno, pronađite koordinate vektora. Šta trebamo promijeniti za ovo? Da, morate zamijeniti početak i kraj: sada će početak vektora biti u tački, a kraj će biti u tački. onda:

Pogledajte pažljivo, kako su vektori i? Njihova jedina razlika su znaci u koordinatama. Oni su suprotni. Uobičajeno je ovu činjenicu napisati ovako:

Ponekad, ako nije posebno navedeno koja je tačka početak vektora, a koja kraj, vektori se ne označavaju sa dva velika slova, već jednim malim slovima, na primjer: itd.

Sad malo praksa sami i pronađite koordinate sljedećih vektora:

pregled:

Sada riješite problem malo teže:

Vektor sa na-cha-lom na tački ima ko-ili-di-na-ty. Ne-di-te abs-cis-su tačke.

Svejedno je prilično prozaično: Neka su koordinate tačke. Onda

Napravio sam sistem prema definiciji koordinate vektora. Tada tačka ima koordinate. Nas zanima apscisa. Onda

odgovor:

Šta još možete učiniti s vektorima? Da, skoro sve je isto kao i sa običnim brojevima (osim što ne možete dijeliti, ali možete množiti na dva načina, od kojih ćemo o jednom govoriti malo kasnije)

Vektori se mogu dodavati jedan drugom
Vektori se mogu oduzimati jedan od drugog
Vektori se mogu pomnožiti (ili podijeliti) sa proizvoljnim brojem koji nije nula
Vektori se mogu množiti jedan s drugim

Sve ove operacije imaju vrlo jasnu geometrijsku reprezentaciju. Na primjer, pravilo trokuta (ili paralelograma) za sabiranje i oduzimanje:

Vektor se širi ili skuplja ili mijenja smjer kada se pomnoži ili podijeli brojem:

Međutim, ovdje će nas zanimati pitanje šta se događa s koordinatama.

1. Prilikom sabiranja (oduzimanja) dva vektora sabiramo (oduzimamo) njihove koordinate element po element. To je:

2. Kada se vektor množi (dijeli) brojem, sve njegove koordinate se množe (dijele) ovim brojem:

Na primjer:

· Nay-di-te suma co-or-di-nat vek-to-ra.

Nađimo prvo koordinate svakog od vektora. Obojica imaju isto porijeklo - početnu tačku. Njihovi krajevi su različiti. Zatim, . Sada izračunajmo koordinate vektora. Tada je zbir koordinata rezultirajućeg vektora.

odgovor:

Sada sami riješite sljedeći problem:

Pronađite zbroj koordinata vektora

Provjeravamo:

Razmotrimo sada sljedeći problem: imamo dvije tačke na koordinatnoj ravni. Kako pronaći udaljenost između njih? Neka bude prva tačka, a druga. Označimo udaljenost između njih kroz. Napravimo sljedeći crtež radi jasnoće:

Šta sam učinio? Prvo sam povezao tačke i, a takođe i iz tačke sam povukao pravu paralelnu sa osom, a iz tačke sam povukao pravu paralelnu sa osom. Jesu li se ukrštali u jednoj tački, formirajući tako divnu figuru? Po čemu je izvanredan? Da, ti i ja znamo skoro sve o pravouglom trouglu. Pa, Pitagorina teorema - sigurno. Traženi segment je hipotenuza ovog trougla, a segmenti su katete. Koje su koordinate tačke? Da, lako ih je pronaći sa slike: Budući da su segmenti paralelni osi i, shodno tome, njihove dužine je lako pronaći: ako dužine segmenata označite sa, tada

Sada upotrijebimo Pitagorinu teoremu. Znamo dužine kateta, naći ćemo hipotenuzu:

Dakle, rastojanje između dve tačke je koren zbira kvadrata razlika od koordinata. Ili - udaljenost između dvije tačke je dužina linije koja ih povezuje. Lako je vidjeti da je udaljenost između tačaka neovisna o smjeru. onda:

Iz ovoga izvlačimo tri zaključka:

Hajde da malo vježbamo izračunavanje udaljenosti između dvije tačke:

Na primjer, ako, onda je udaljenost između i jednaka

Ili idemo drugačije: pronađite koordinate vektora

I pronađite dužinu vektora:

Kao što vidite, ista stvar!

Sada i sami malo vježbajte:

Zadatak: pronađite udaljenost između navedenih tačaka:

Provjeravamo:

Evo još nekoliko problema za istu formulu, iako zvuče malo drugačije:

1. Nay-di-te kvadrat-rat dužine od stoljeća do-ra.

2. Nay-di-te kvadrat-rat dužine od stoljeća do ra

Mislim da si to lako uradio sa njima? Provjeravamo:

1. I ovo je za pažnju) Već smo pronašli koordinate vektora i ranije:. Tada vektor ima koordinate. Kvadrat njegove dužine bit će:

2. Pronađite koordinate vektora

Tada je kvadrat njegove dužine

Ništa komplikovano, zar ne? Jednostavna aritmetika, ništa više.

Sljedeći zadaci se ne mogu jednoznačno kategorizirati, vjerojatnije su općoj erudiciji i sposobnosti crtanja jednostavnih slika.

1. Nay-di-te sinus ugla na-na-na-od-reza, ko-jedna-nya-yu-shch-ta tačka, sa osom apscise.

Šta ćemo mi ovde? Morate pronaći sinus ugla između i ose. A gdje znamo da tražimo sinus? Desno, u pravokutnom trouglu. Dakle, šta treba da radimo? Napravi ovaj trougao!

Pošto su koordinate tačke i, segment je jednak i segmentu. Moramo pronaći sinus ugla. Dozvolite mi da vas podsjetim da je sinus onda omjer suprotne noge i hipotenuze

Šta nam preostaje da radimo? Nađi hipotenuzu. To možete učiniti na dva načina: Pitagorinom teoremom (noge su poznate!) Ili formulom za rastojanje između dvije tačke (u stvari, ista stvar kao i prvi način!). Ići ću drugim putem:

odgovor:

Sljedeći zadatak će vam se činiti još lakšim. Ona - na koordinatama tačke.

Cilj 2. Per-pen-di-ku-lar se spušta od tačke do ose abs-cis. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Napravimo crtež:

Osnova okomice je tačka u kojoj ona prelazi osu apscise (os), za mene je to tačka. Slika pokazuje da ima koordinate:. Zanima nas apscisa - odnosno "x" komponenta. Jednako je.

odgovor: .

Cilj 3. Pod uslovima prethodnog zadatka, naći zbir udaljenosti od tačke do koordinatnih osa.

Zadatak je uglavnom elementaran, ako znate kolika je udaljenost od tačke do osi. Ti znaš? Nadam se, ali vas ipak podsećam:

Dakle, na mojoj slici, koja se nalazi malo više, ja sam već nacrtao jednu takvu okomitu? Kojoj osi je? Do ose. I čemu je onda jednaka njegova dužina? Jednako je. Sada sami nacrtajte okomicu na osu i pronađite njenu dužinu. Biće ravnopravno, zar ne? Tada je njihov zbir jednak.

odgovor: .

Zadatak 4. U uslovima zadatka 2, pronađite ordinatu tačke simetrične tački u odnosu na osu apscise.

Mislim da intuitivno razumete šta je simetrija? Imaju ga mnogi objekti: mnoge zgrade, stolovi, avioni, mnogi geometrijski oblici: lopta, cilindar, kvadrat, romb, itd. Grubo govoreći, simetrija se može shvatiti na sljedeći način: figura se sastoji od dvije (ili više) identičnih polovina. Ova simetrija se naziva aksijalna. Šta je onda osovina? To je upravo linija duž koje se figura može, relativno govoreći, "prerezati" na identične polovine (na ovoj slici osa simetrije je prava linija):

Vratimo se sada na naš problem. Znamo da tražimo tačku koja je simetrična u odnosu na os. Tada je ova osa osa simetrije. To znači da trebamo označiti tačku tako da os seče segment na dva jednaka dijela. Pokušajte sami označiti takvu tačku. Sada uporedi sa mojim rešenjem:

Jeste li i vi uradili isto? UREDU! U pronađenoj tački nas zanima ordinata. Ona je jednaka

odgovor:

Sada mi recite, nakon razmišljanja o sekundama, kolika će biti apscisa tačke simetrične tački A u odnosu na ordinatu? koji je tvoj odgovor? Tačan odgovor: .

Općenito, pravilo se može napisati ovako:

Tačka simetrična u odnosu na tačku u odnosu na osu apscise ima koordinate:

Tačka simetrična tački oko ordinatne ose ima koordinate:

Pa, sad je potpuno strašno zadatak: pronađite koordinate tačke koja je simetrična tački, u odnosu na ishodište. Prvo razmislite sami, a onda pogledajte moj crtež!

odgovor:

Sad problem paralelograma:

Problem 5: Tačke su ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nay-di-te or-di-na-tu bodova.

Ovaj problem možete riješiti na dva načina: logikom i metodom koordinata. Prvo ću primijeniti koordinatni metod, a onda ću vam reći kako možete odlučiti drugačije.

Sasvim je jasno da je apscisa tačke jednaka. (leži na okomici povučenoj od tačke do ose apscise). Moramo pronaći ordinatu. Iskoristimo činjenicu da je naša figura paralelogram, što znači da. Odredite dužinu segmenta koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke:

Spuštamo okomicu koja povezuje tačku sa osom. Tačka raskrsnice će biti označena slovom.

Dužina segmenta je. (nađite sam problem, gdje smo raspravljali o ovoj tački), tada ćemo pronaći dužinu segmenta po Pitagorinoj teoremi:

Dužina linije je potpuno ista kao i njena ordinata.

odgovor: .

Drugo rješenje (daću samo sliku koja to ilustruje)

Napredak rješenja:

1. Ponašanje

2. Pronađite koordinate tačke i dužinu

3. Dokažite to.

Drugi problem dužine segmenta:

Tačke se pojavljuju-la-are-sya ver-shi-na-mi tre-coal-ni-ka. Nay-di-te je dužina njegove srednje linije, paralel-lel-noy.

Sjećate li se koja je srednja linija trougla? Onda je ovaj zadatak za vas elementaran. Ako se ne sjećate, podsjetit ću vas: srednja linija trougla je linija koja spaja sredine suprotnih strana. Paralelan je osnovici i jednak njenoj polovini.

Baza je linijski segment. Morali smo ranije tražiti njegovu dužinu, jednaka je. Tada je dužina srednje linije polovina i jednaka.

odgovor: .

Komentar: ovaj problem se može riješiti na drugi način, na koji ćemo se obratiti malo kasnije.

U međuvremenu, evo nekoliko zadataka za vas, vježbajte ih, prilično su jednostavni, ali vam pomažu da se "dohvatite ruke" metodom koordinata!

1. Tačke su ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te je dužina njegove srednje linije.

2. Tačke i are-la-is-sya ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nay-di-te or-di-na-tu bodova.

3. Nay-di-te dužina od-reza, jednostruka-nya-yu-shch-go tačka i

4. Nay-di-te oblast prelepe fi-gu-ry na co-or-di-nat-noy ravni.

5. Krug sa centrom u na-cha-le ko-or-di-nat prolazi kroz tačku. Nay-di-te her ra-di-us.

6. Nai-di-te ra-di-us kruga, opisan-san-noy u blizini pravokutnog-ugljen-ni-ka, vrhovi ko-to-ro-go imaju co-op -di-na -Vi ste veterinar-ali

rješenja:

1. Poznato je da je srednja linija trapeza jednaka poluzbiru njegovih baza. Osnovica je jednaka, a baza je jednaka. Onda

odgovor:

2. Najlakši način za rješavanje ovog problema je da to primijetite (pravilo paralelograma). Izračunajte koordinate vektora i nije teško:. Kada se dodaju vektori, dodaju se koordinate. Zatim ima koordinate. Tačka također ima iste koordinate, jer je početak vektora tačka sa koordinatama. Zanima nas ordinata. Jednako je.

odgovor:

3. Odmah postupamo prema formuli za rastojanje između dvije tačke:

odgovor:

4. Pogledaj sliku i reci mi, između kojih dva oblika je zasjenjeno područje "u sendviču"? U sendviču je između dva kvadrata. Tada je površina tražene figure jednaka površini velikog kvadrata minus površina malog. Stranica malog kvadrata je segment koji povezuje tačke i njegova dužina je

Tada je površina malog kvadrata

Isto radimo i sa velikim kvadratom: njegova stranica je segment koji povezuje tačke, a njegova dužina je

Tada je površina velikog kvadrata

Pronalazimo površinu tražene figure po formuli:

odgovor:

5. Ako krug ima ishodište koordinata kao centar i prolazi kroz tačku, tada će njegov polumjer biti tačno jednak dužini segmenta (nacrtajte sliku i shvatit ćete zašto je to očigledno). Nađimo dužinu ovog segmenta:

odgovor:

6. Poznato je da je poluprečnik kružnice opisane oko pravougaonika jednak polovini njegove dijagonale. Nađimo dužinu bilo koje od dvije dijagonale (na kraju krajeva, u pravokutniku su jednake!)

odgovor:

Pa, jeste li se sa svime pozabavili? Nije bilo teško shvatiti, zar ne? Ovdje je pravilo jedno - moći napraviti vizualnu sliku i jednostavno "pročitati" sve podatke sa nje.

Ostalo nam je jako malo. Postoje bukvalno još dvije stvari o kojima bih želio razgovarati.

Pokušajmo riješiti ovaj jednostavan problem. Neka dva boda i daju. Pronađite koordinate sredine segmenta. Rješenje ovog problema je sljedeće: neka je tačka željena sredina, tada ima koordinate:

To je: koordinate sredine segmenta = aritmetička sredina odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

Ovo pravilo je vrlo jednostavno i obično ne izaziva poteškoće kod učenika. Pogledajmo koji su zadaci i kako se koristi:

1. Nay-di-te ili-di-na-tu-re-di-us from-cut, co-uni-nya-yu-shch-go point and

2. Točke se pojavljuju-la-are-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-coal-no-ka. Nay-di-te or-di-na-tu točke pe-re-se-ch-niya njegov dia-go-na-lei.

3. Nay-di-oni abs-cis-su centar-tra kruga, opisani-san-noy u blizini rect-coal-no-ka, vrhovi ko-that-ro-go imaju ko-op- di-na-you co-vet-ali.

rješenja:

1. Prvi problem je samo klasik. Odmah djelujemo kako bismo odredili sredinu segmenta. Ima koordinate. Ordinata je.

odgovor:

2. Lako je vidjeti da je dati četverougao paralelogram (čak i romb!). To možete i sami dokazati izračunavanjem dužina stranica i međusobnom upoređivanjem. Šta ja znam o paralelogramu? Njegove dijagonale su prepolovljene točkom presjeka! Aha! Dakle, šta je tačka preseka dijagonala? Ovo je sredina bilo koje od dijagonala! Odabrat ću, posebno, dijagonalu. Tada tačka ima koordinate. Ordinata tačke je jednaka.

odgovor:

3.Koji je centar kružnice opisane oko pravougaonika? Poklapa se sa tačkom preseka njegovih dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika? One su jednake i raskrsnica je prepolovljena. Zadatak je sveden na prethodni. Uzmimo, na primjer, dijagonalu. Tada ako je centar opisanog kruga, onda je sredina. Traženje koordinata: apscisa je jednaka.

odgovor:

Sada malo vježbajte, ja ću samo dati odgovore na svaki problem kako biste se mogli testirati.

1. Nai-di-te ra-di-us kruga, opisan-san-noy oko trokuta, vrhovi co-to-ro-go imaju co-or-di -no misters

2. Nai-di-te ili-di-na-tu centar-tra kružnice, opiši-san-noy oko trougla-nik, vrhovi ko-to-ro-go imaju koordinate

3. Kako-da-ra-di-u-sa treba da postoji kružnica sa centrom u tački tako da dodiruje osu abs-cissa?

4. Nay-di-te ili-di-na-tu tačke ponovnog zasijavanja osovine i presecanja, co-uni-nya-yu-shch-go tačka i

odgovori:

Jeste li uspjeli? Zaista se tome nadam! Sada - posljednji guranje. Budite posebno oprezni sada. Materijal koji ću sada objasniti direktno je vezan ne samo za jednostavne probleme na koordinatnoj metodi iz B dijela, već se pojavljuje i svuda u C2 problemu.

Koje od svojih obećanja još nisam ispunio? Sjećate se koje sam operacije nad vektorima obećao uvesti, a koje sam na kraju uveo? Jesam li siguran da nisam ništa zaboravio? Zaboravio sam! Zaboravio sam objasniti šta znači množenje vektora.

Postoje dva načina da se vektor pomnoži sa vektorom. Ovisno o odabranoj metodi, dobit ćemo objekte različite prirode:

Vektorski proizvod je prilično težak. Kako to učiniti i čemu služi, razgovarat ćemo s vama u sljedećem članku. A u ovom ćemo se fokusirati na tačkasti proizvod.

Već postoje dva načina na koje to možemo izračunati:

Kao što ste pretpostavili, rezultat bi trebao biti isti! Dakle, hajde da prvo pogledamo prvi način:

Točkasti proizvod u smislu koordinata

Pronađi: - uobičajenu notaciju točkastog proizvoda

Formula za izračun je sljedeća:

To jest, tačkasti proizvod = zbir proizvoda koordinata vektora!

primjer:

Nai di te

Rješenje:

Nađimo koordinate svakog od vektora:

Tačkasti proizvod izračunavamo po formuli:

odgovor:

Vidite, apsolutno ništa komplikovano!

Pa, sad probajte i sami:

Nay-di-te scalar-noe pro-iz-ve-de-de-vek-to-moat and

Jeste li uspjeli? Možda ste primijetili malu zamku? hajde da proverimo:

Koordinate vektora su iste kao u prethodnom zadatku! Odgovor: .

Osim koordinate, postoji još jedan način za izračunavanje proizvoda tačke, naime, kroz dužine vektora i kosinus ugla između njih:

Označava ugao između vektora i.

Odnosno, tačkasti proizvod je jednak proizvodu dužina vektora i kosinusa ugla između njih.

Zašto nam treba ova druga formula, ako imamo prvu, koja je mnogo jednostavnija, barem u njoj nema kosinusa. A to je potrebno da bismo iz prve i druge formule mogli zaključiti kako pronaći ugao između vektora!

Neka onda zapamti formulu za dužinu vektora!

Zatim ako zamijenim ove podatke u formulu točkastog proizvoda, onda dobijem:

Ali sa druge strane:

Pa šta smo ti i ja dobili? Sada imamo formulu za izračunavanje ugla između dva vektora! Ponekad se radi kratkoće piše i ovako:

Odnosno, algoritam za izračunavanje ugla između vektora je sljedeći:

Izračunajte tačkasti proizvod u smislu koordinata
Pronađite dužine vektora i pomnožite ih
Podijelite rezultat tačke 1 rezultatom tačke 2

Vježbajmo na primjerima:

1. Nay-di-te je ugao između stoljeća-to-ra-mi i. Dajte odgovor u gra-du-sakh.

2. Pod uslovima prethodnog zadatka, pronaći kosinus između vektora

Hajde da uradimo ovo: pomoći ću ti da rešiš prvi problem, a drugi pokušaj da uradiš sam! Slažem se? Onda počnimo!

1. Ovi vektori su naši stari poznanici. Već smo prebrojali njihov dot product i bio je jednak. Njihove koordinate su:,. Zatim nalazimo njihove dužine:

Zatim tražimo kosinus između vektora:

Koliki je kosinus ugla? Ovo je ugao.

odgovor:

Sada sami riješite drugi problem, a onda ćemo uporediti! Daću vam samo kratko rešenje:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Neka je ugao između vektora i, onda

odgovor:

Treba napomenuti da su problemi direktno na vektorima i metodi koordinata u dijelu B ispitnog rada prilično rijetki. Međutim, velika većina C2 problema može se lako riješiti uvođenjem koordinatnog sistema. Dakle, ovaj članak možete smatrati temeljom na osnovu kojeg ćemo napraviti prilično lukave konstrukcije koje će nam trebati za rješavanje složenih problema.

KOORDINATE I VEKTORI. MEDIUM ROVEN

Ti i ja nastavljamo proučavati metodu koordinata. U zadnjem dijelu smo izveli niz važnih formula koje vam omogućavaju:

Pronađite vektorske koordinate
Pronađite dužinu vektora (alternativno: udaljenost između dvije tačke)
Dodajte, oduzmite vektore. Pomnožite ih realnim brojem
Pronađite sredinu segmenta linije
Izračunati dot proizvod vektora
Pronađite ugao između vektora

Naravno, cijela koordinatna metoda se ne uklapa u ovih 6 tačaka. Ona leži u srcu takve nauke kao što je analitička geometrija, s kojom se morate upoznati na univerzitetu. Samo želim da izgradim temelj koji će vam omogućiti da rješavate probleme u jednoj državi. ispit. Shvatili smo zadatke Dijela B u Sada je vrijeme da pređemo na kvalitativno novi nivo! Ovaj članak će biti posvećen metodi rješavanja onih problema C2, u kojima bi bilo razumno prijeći na metodu koordinata. Ova racionalnost je određena onim što je potrebno pronaći u problemu i koja je brojka data. Dakle, koristio bih koordinatnu metodu ako su pitanja:

Pronađite ugao između dvije ravni
Pronađite ugao između prave i ravni
Pronađite ugao između dvije prave
Pronađite udaljenost od tačke do ravni
Pronađite udaljenost od tačke do prave linije
Pronađite udaljenost od prave do ravni
Pronađite razmak između dvije prave

Ako je figura data u navodu problema tijelo okretanja (kugla, cilindar, konus...)

Pogodni oblici za koordinatnu metodu su:

Pravougaoni paralelepiped
Piramida (trokutasta, četvorougaona, šestougaona)

Takodje po mom iskustvu neprikladno je koristiti koordinatni metod za:

Pronalaženje površina poprečnih presjeka
Izračunavanje zapremine tela

Međutim, odmah treba napomenuti da su tri situacije "nepovoljno" za metod koordinata prilično rijetke u praksi. U većini zadataka on može postati vaš spasilac, pogotovo ako niste jako jaki u trodimenzionalnim konstrukcijama (koje su ponekad prilično zamršene).

Koje su sve brojke koje sam naveo gore? Oni više nisu ravni, kao, na primjer, kvadrat, trokut, krug, već trodimenzionalni! U skladu s tim, moramo uzeti u obzir ne dvodimenzionalni, već trodimenzionalni koordinatni sistem. Gradi se prilično lako: osim apscisa i ordinatnih osa, uvest ćemo još jednu os, aplikantnu os. Slika šematski prikazuje njihov relativni položaj:

Svi su međusobno okomiti, sijeku se u jednoj tački, koju ćemo nazvati ishodištem. Osa apscisa će, kao i ranije, biti označena, ordinatna osa -, a unesena aplikatna osa -.

Ako je ranije svaka tačka na ravni bila okarakterisana sa dva broja - apscisa i ordinata, onda je svaka tačka u prostoru već opisana sa tri broja - apscisa, ordinata, primena. Na primjer:

Prema tome, apscisa tačke je jednaka, ordinata je, a aplikacija je.

Ponekad se apscisa tačke naziva i projekcija tačke na apscisnu osu, ordinata je projekcija tačke na osu ordinate, a aplikacija je projekcija tačke na osu aplikacije. Shodno tome, ako je određena tačka, onda je tačka sa koordinatama:

naziva se projekcija tačke na ravan

Postavlja se prirodno pitanje: da li su sve formule izvedene za dvodimenzionalni slučaj važeće u prostoru? Odgovor je da, pošteni su i izgledaju isto. Za mali detalj. Mislim da ste već pogodili za koju. Svim formulama ćemo morati dodati još jedan pojam, koji je odgovoran za aplikantnu osu. Naime.

1. Ako su data dva boda:, onda:

Vektorske koordinate:
Udaljenost između dvije tačke (ili dužina vektora)
Sredina segmenta ima koordinate

2. Ako su data dva vektora: i, onda:

Njihov tačkasti proizvod je:
Kosinus ugla između vektora je:

Međutim, prostor nije tako jednostavan. Kao što možete zamisliti, dodavanje još jedne koordinate uvodi značajnu raznolikost u spektar figura koje "žive" u ovom prostoru. A za dalje pripovijedanje moram uvesti neku, grubo rečeno, "generalizaciju" prave linije. Ova "generalizacija" je ravan. Šta znaš o avionu? Pokušajte odgovoriti na pitanje šta je avion? Veoma je teško reći. Međutim, svi mi imamo intuitivnu ideju o tome kako to izgleda:

Grubo govoreći, ovo je neka vrsta beskonačnog "lista" ušuškanog u svemir. "Beskonačnost" treba shvatiti da se ravan proteže u svim smjerovima, odnosno da je njena površina jednaka beskonačnosti. Međutim, ovo objašnjenje "na prstima" ne daje ni najmanju predstavu o strukturi aviona. I bićemo zainteresovani za to.

Prisjetimo se jednog od osnovnih aksioma geometrije:

ravna linija prolazi kroz dvije različite tačke na ravni, štaviše, samo jednu:

Ili njegov pandan u svemiru:

Naravno, sjećate se kako izvesti jednadžbu ravne linije iz dvije zadane tačke, to uopće nije teško: ako prva tačka ima koordinate: a druga, tada će jednadžba prave linije biti sljedeća:

Prošao si kroz ovo u 7. razredu. U prostoru jednadžba prave linije izgleda ovako: imamo dvije tačke s koordinatama:, tada jednadžba prave koja prolazi kroz njih ima oblik:

Na primjer, prava linija prolazi kroz tačke:

Kako ovo treba shvatiti? To treba shvatiti na sljedeći način: tačka leži na pravoj liniji ako njene koordinate zadovoljavaju sljedeći sistem:

Jednačina prave nas neće mnogo zanimati, ali moramo obratiti pažnju na veoma važan koncept usmeravajućeg vektora prave. - bilo koji vektor različit od nule koji leži na datoj pravoj ili je paralelan s njom.

Na primjer, oba vektora su vektori smjera prave linije. Neka je tačka koja leži na pravoj liniji i njen vektor pravca. Tada se jednačina prave linije može napisati u sljedećem obliku:

Još jednom, neće me mnogo zanimati jednadžba prave linije, ali zaista treba da zapamtite šta je vektor pravca! opet: to je BILO KOJI vektor različit od nule koji leži na pravoj liniji ili paralelan s njom.

Povuci se jednadžba ravni u tri date tačke više nije tako trivijalan, i obično se ovo pitanje ne obrađuje u srednjoškolskom kursu. Ali uzalud! Ova tehnika je od vitalnog značaja kada koristimo metodu koordinata za rješavanje složenih problema. Međutim, pretpostavljam da ste željni da naučite nešto novo? Štaviše, moći ćete da impresionirate svog profesora na fakultetu kada se pokaže da već znate kako s metodologijom koja se obično izučava na kursu analitičke geometrije. Pa počnimo.

Jednačina ravnine se ne razlikuje previše od jednačine prave na ravni, naime, ima oblik:

neki brojevi (nisu svi jednaki nuli), ali varijable, na primjer: itd. Kao što vidite, jednačina ravnine se ne razlikuje mnogo od jednačine prave linije (linearna funkcija). Međutim, zapamtite šta smo ti i ja rekli? Rekli smo da ako imamo tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj, onda se jednačina ravni može jedinstveno rekonstruisati iz njih. Ali kako? Pokušaću da ti objasnim.

Pošto jednačina ravni ima oblik:

I tačke pripadaju ovoj ravni, onda kada zamenimo koordinate svake tačke u jednadžbu ravni, treba da dobijemo tačan identitet:

Dakle, postaje neophodno riješiti tri jednačine čak i sa nepoznanicama! Dilema! Međutim, uvijek možete pretpostaviti da (za ovo morate podijeliti sa). Tako dobijamo tri jednadžbe sa tri nepoznanice:

Međutim, nećemo rješavati takav sistem, već ćemo napisati misteriozni izraz koji iz njega slijedi:

Jednačina ravni koja prolazi kroz tri date tačke

\ [\ lijevo | (\ početak (niz) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ kraj (niz)) \ desno | = 0 \]

Stani! Šta je ovo? Neki vrlo neobičan modul! Međutim, objekat koji vidite ispred sebe nema nikakve veze sa modulom. Ovaj objekat se naziva determinanta trećeg reda. Od sada, kada se bavite metodom koordinata na ravni, vrlo često ćete naići na te iste determinante. Šta je determinanta trećeg reda? Čudno, ovo je samo broj. Ostaje da shvatimo koji ćemo određeni broj uporediti s determinantom.

Hajde da prvo zapišemo determinantu trećeg reda u opštijem obliku:

Gdje su neki brojevi. Štaviše, pod prvim indeksom podrazumijevamo broj reda, a pod indeksom - broj kolone. Na primjer, to znači da je dati broj na sjecištu drugog reda i treće kolone. Postavimo sljedeće pitanje: kako ćemo tačno izračunati takvu determinantu? Odnosno, koji konkretan broj ćemo povezati s njim? Za determinantu trećeg reda postoji heurističko (vizuelno) pravilo trougla, ono izgleda ovako:

Umnožak elemenata glavne dijagonale (od gornjeg lijevog ugla do donjeg desnog) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomito" na glavnu dijagonali proizvod elemenata koji tvore drugi trokut "okomit" na glavnu dijagonala
Umnožak elemenata sekundarne dijagonale (od gornjeg desnog ugla do donjeg lijevog) umnožak elemenata koji formiraju prvi trokut "okomito" na sekundarni dijagonalni proizvod elemenata koji formiraju drugi trokut "okomit" na sekundarni trokut dijagonala
Tada je determinanta jednaka razlici između vrijednosti dobijenih u koraku i

Ako sve ovo napišemo brojevima, onda ćemo dobiti sljedeći izraz:

Ipak, ne morate pamtiti metod izračunavanja u ovom obliku, dovoljno je samo zadržati trouglove i samu ideju šta se dodaje na šta i šta se onda od čega oduzima).

Ilustrirajmo metodu trokuta na primjeru:

1. Izračunajte determinantu:

Hajde da shvatimo šta dodajemo, a šta oduzimamo:

Termini koji dolaze sa "plus":

Ovo je glavna dijagonala: proizvod elemenata je

Prvi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Drugi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Dodajte tri broja:

Termini koji dolaze sa "minusom"

Ovo je bočna dijagonala: proizvod elemenata je

Prvi trokut, "okomit na bočnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Drugi trokut, "okomit na bočnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Dodajte tri broja:

Sve što ostaje da se uradi je da se od zbira plus članova oduzme zbir minus članova:

dakle,

Kao što vidite, nema ničeg kompliciranog i natprirodnog u izračunavanju determinanti trećeg reda. Važno je samo zapamtiti trouglove i ne praviti aritmetičke greške. Sada pokušajte sami izračunati:

Provjeravamo:

Prvi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
Drugi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
Zbir pojmova sa plusom:
Prvi trokut okomit na bočnu dijagonalu:
Drugi trokut okomit na sekundarnu dijagonalu:
Zbir pojmova sa minusom:
Zbir članova sa plusom minus zbir članova sa minusom:

Evo još par determinanti za vas, sami izračunajte njihove vrijednosti i uporedite ih s odgovorima:

odgovori:

Pa, da li se sve poklopilo? Odlično, onda možete dalje! Ako postoje poteškoće, moj savjet je sljedeći: na internetu postoji gomila programa za izračunavanje determinante on-line. Sve što trebate je da smislite svoju determinantu, sami je izračunate, a zatim uporedite sa onim što program izračunava. I tako sve dok rezultati ne počnu da se poklapaju. Siguran sam da ovaj trenutak neće dugo trajati!

Vratimo se sada na odrednicu koju sam napisao kada sam govorio o jednačini ravni koja prolazi kroz tri date tačke:

Sve što trebate je da direktno izračunate njegovu vrijednost (koristeći metodu trokuta) i postavite rezultat na nulu. Naravno, pošto su varijable, dobićete izraz koji zavisi od njih. Taj izraz će biti jednačina ravnine koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na jednoj pravoj!

Ilustrirajmo ovo jednostavnim primjerom:

1. Konstruirajte jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačke

Hajde da sastavimo determinantu za ove tri tačke:

Hajde da pojednostavimo:

Sada to izračunavamo direktno po pravilu trokuta:

\ [(\ lijevo | (\ početak (niz) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (niz)) \ desno | = \ lijevo ((x + 3) \ desno) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ lijevo ((z + 1) \ desno) + \ lijevo ((y - 2) \ desno) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Dakle, jednačina ravnine koja prolazi kroz tačke ima oblik:

Sada pokušajte sami riješiti jedan problem, a onda ćemo o njemu razgovarati:

2. Naći jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačke

Pa, hajde da sada razgovaramo o rješenju:

Sastavljamo determinantu:

I izračunavamo njegovu vrijednost:

Tada jednačina ravni ima oblik:

Ili, smanjivanjem za, dobijamo:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

Konstruisati jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke:

odgovori:

Da li se sve poklopilo? Opet, ako postoje određene poteškoće, onda je moj savjet sljedeći: uzmete tri tačke iz glave (sa velikom vjerovatnoćom neće ležati na istoj pravoj liniji), izgradite ravan duž njih. A onda se provjerite na internetu. Na primjer, na web stranici:

Međutim, uz pomoć determinanti konstruisaćemo ne samo jednadžbu ravnine. Zapamtite da sam vam rekao da nije samo tačkasti proizvod definiran za vektore. Postoji i vektorski proizvod, kao i mješoviti proizvod. A ako je tačkasti proizvod dva vektora broj, onda će vektorski proizvod dva vektora biti vektor, a ovaj vektor će biti okomit na date:

Štaviše, njegov modul će biti jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima i. Ovaj vektor će nam trebati za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave linije. Kako možemo izračunati unakrsni proizvod vektora i ako su date njihove koordinate? Opet nam u pomoć dolazi odrednica trećeg reda. Međutim, prije nego što pređem na algoritam za izračunavanje vektorskog proizvoda, moram napraviti malu lirsku digresiju.

Ova digresija se odnosi na bazne vektore.

Oni su šematski prikazani na slici:

Šta mislite zašto se oni nazivaju osnovnim? Činjenica je da:

Ili na slici:

Valjanost ove formule je očigledna, jer:

Vektorski proizvod

Sada mogu početi predstavljati unakrsni proizvod:

Vektorski proizvod dva vektora je vektor koji se izračunava prema sljedećem pravilu:

Sada dajmo nekoliko primjera izračunavanja unakrsnog proizvoda:

Primjer 1: Pronađite unakrsni proizvod vektora:

Rješenje: Sastavljam odrednicu:

I ja izračunam:

Sada, od notacije u smislu baznih vektora, vratit ću se na uobičajenu notaciju vektora:

ovako:

Sada probaj.

Spreman? Provjeravamo:

I tradicionalno dva zadaci za kontrolu:

Pronađite unakrsni proizvod sljedećih vektora:
Pronađite unakrsni proizvod sljedećih vektora:

odgovori:

Mješoviti proizvod tri vektora

Posljednja konstrukcija koja mi treba je mješoviti proizvod tri vektora. On je, kao i skalar, broj. Postoje dva načina da se to izračuna. - kroz determinantu, - kroz mješoviti proizvod.

Naime, neka imamo tri vektora:

Tada se mješoviti proizvod tri vektora, označen sa, može izračunati kao:

1. - to jest, mješoviti proizvod je tačkasti proizvod vektora unakrsnim proizvodom dva druga vektora

Na primjer, mješoviti proizvod tri vektora je:

Pokušajte sami izračunati kroz unakrsni proizvod i uvjerite se da se rezultati podudaraju!

I opet - dva primjera za nezavisno rješenje:

odgovori:

Izbor koordinatnog sistema

Pa, sada imamo sav potreban temelj znanja za rješavanje složenih stereometrijskih problema u geometriji. Međutim, prije nego što pređemo direktno na primjere i algoritme za njihovo rješenje, vjerujem da će biti korisno zadržati se na drugom pitanju: kako točno odabrati koordinatni sistem za određenu figuru. Na kraju krajeva, izbor relativnog položaja koordinatnog sistema i figure u prostoru će na kraju odrediti koliko će proračuni biti glomazni.

Da vas podsjetim da u ovom dijelu gledamo sljedeće oblike:

Pravougaoni paralelepiped
Prava prizma (trokutasta, heksagonalna...)
Piramida (trokutasta, četvorougaona)
Tetraedar (isto kao trouglasta piramida)

Za pravougaonu kutiju ili kocku preporučujem vam sljedeću konstrukciju:

Odnosno, postaviću figuru "u ugao". Kocka i paralelepiped su vrlo lijepih oblika. Za njih uvijek možete lako pronaći koordinate njegovih vrhova. Na primjer, ako (kao što je prikazano na slici)

tada su koordinate vrhova kako slijedi:

Naravno, ne morate to pamtiti, ali zapamtite kako najbolje postaviti kocku ili pravokutni paralelepiped je poželjno.

Prava prizma

Prizma je štetnija figura. Može se pozicionirati u prostoru na različite načine. Međutim, najprihvatljivija mi se čini sljedeća opcija:

Trouglasta prizma:

Odnosno, jednu od stranica trokuta stavljamo u potpunosti na osu, a jedan od vrhova se poklapa sa ishodištem.

Heksagonalna prizma:

To jest, jedan od vrhova se poklapa sa ishodištem, a jedna od stranica leži na osi.

Četvorougaona i šestougaona piramida:

Situacija slična kocki: poravnajte dvije strane baze s koordinatnim osa, poravnajte jedan od vrhova s ishodištem. Jedina mala poteškoća bit će izračunavanje koordinata tačke.

Za heksagonalnu piramidu - isto kao i za heksagonalnu prizmu. Glavni zadatak će opet biti u pronalaženju koordinata vrha.

Tetraedar (trokutasta piramida)

Situacija je vrlo slična onoj koju sam dao za trouglastu prizmu: jedan vrh se poklapa sa ishodištem, a jedna strana leži na koordinatnoj osi.

Pa, sada smo ti i ja konačno blizu rješavanja problema. Iz onoga što sam rekao na samom početku članka, mogli biste izvući sljedeći zaključak: većina C2 problema podijeljena je u 2 kategorije: problemi u uglovima i problemi na udaljenosti. Prvo ćemo razmotriti problem nalaženja ugla. Oni su, pak, podijeljeni u sljedeće kategorije (kako se težina povećava):

Pronalaženje uglova

Pronalaženje ugla između dvije prave
Pronalaženje ugla između dvije ravni

Razmotrimo ove zadatke redom: počnite od pronalaženja ugla između dvije prave. Pa, zapamtite, nismo li ti i ja ranije rješavali slične primjere? Zapamtite, već smo imali nešto slično... Tražili smo ugao između dva vektora. Podsjetit ću vas, ako su data dva vektora: i, onda se ugao između njih nalazi iz omjera:

Sada imamo cilj - pronaći ugao između dvije prave. Hajdemo na "ravnu sliku":

Koliko uglova smo dobili kada se dve prave seku? Isto toliko stvari. Istina, samo dva od njih nisu jednaka, dok su drugi okomiti na njih (i stoga se poklapaju s njima). Dakle, koji bi ugao trebao uzeti u obzir ugao između dvije prave: ili? Ovdje je pravilo: ugao između dvije prave uvijek nije veći od stepeni... Odnosno, iz dva ugla, uvek ćemo birati ugao sa najmanjom stepenom mere. Odnosno, na ovoj slici je ugao između dve prave linije jednak. Kako se ne bi mučili svaki put s pronalaženjem najmanjeg od dva ugla, lukavi matematičari su predložili korištenje modula. Dakle, ugao između dve prave linije određuje se formulom:

Vi, kao pažljivi čitalac, trebalo bi da imate pitanje: odakle, u stvari, dobijamo baš te brojeve koji su nam potrebni da izračunamo kosinus ugla? Odgovor: uzet ćemo ih iz vektora smjera pravih linija! Dakle, algoritam za pronalaženje ugla između dve prave je sledeći:

Primjenjujemo formulu 1.

Ili detaljnije:

Tražimo koordinate vektora smjera prve prave linije
Tražimo koordinate vektora smjera druge prave linije
Izračunajte modul njihovog točkastog proizvoda
Tražimo dužinu prvog vektora
Tražimo dužinu drugog vektora
Množenje rezultata iz tačke 4 sa rezultatima iz tačke 5
Podijelite rezultat tačke 3 rezultatom tačke 6. Dobijamo kosinus ugla između pravih
Ako vam ovaj rezultat omogućava da tačno izračunate ugao, potražite ga
Inače, pišemo kroz inverzni kosinus

E, sad je vrijeme da pređemo na zadatke: detaljno ću demonstrirati rješenje prva dva, ukratko ću iznijeti rješenje drugog, a za posljednja dva problema daću samo odgovore, morate sami izvršiti sve proračune za njih.

Zadaci:

1. U ispravnom tet-ra-ed-re, nay-di-onim kutovima između vas-tako-tog tet-ra-ed-ra i med-di-a-noy bo-kovog lica.

2. U desnoj šestougljenoj pi-ra-mi-de, stranice os-no-va-nia su jednake, a rebra jednaka, pronađite ugao između pravih i.

3. Dužine svih ivica ispravnog četiri-you-rekh-coal pi-ra-mi-dy jednake su jedna drugoj. Nay-di-oni ugao između pravih linija i ako je od-reza ti-ko-dato pi-ra-mi-dy, tačka je se-re-di-na njeno bo-ko- drugo rebro

4. Na ivici kocke from-me-che-na tačka tako da je Nay-di-te ugao između pravih i

5. Tačka - se-re-di-na ivicama kocke Nay-di-te ugao između pravih i.

Nije slučajno što sam zadatke rasporedio ovim redom. Dok još niste imali vremena da počnete da se krećete u metodi koordinata, ja ću lično analizirati „najproblematičnije“ figure, a vama ću ostaviti da se bavite najjednostavnijom kockom! Postepeno ćete morati naučiti kako raditi sa svim figurama; povećavat ću složenost zadataka od teme do teme.

Počnimo rješavati probleme:

1. Nacrtajte tetraedar, postavite ga u koordinatni sistem kao što sam ranije predložio. Pošto je tetraedar pravilan, sve njegove strane (uključujući bazu) su pravilni trouglovi. Pošto nam nije data dužina stranice, mogu je uzeti jednakom. Mislim da razumete da ugao neće baš zavisiti od toga koliko je naš tetraedar "rastegnut"?. Također ću nacrtati visinu i medijan u tetraedru. Usput ću nacrtati njegovu osnovu (i nama će biti od koristi).

Moram pronaći ugao između i. šta mi znamo? Znamo samo koordinate tačke. To znači da moramo pronaći i koordinate tačaka. Sada mislimo: tačka je tačka preseka visina (ili simetrala ili medijana) trougla. Tačka je podignuta tačka. Tačka je sredina segmenta. Zatim konačno trebamo pronaći: koordinate tačaka:.

Počnimo s najjednostavnijim: koordinatama tačaka. Pogledajte sliku: Jasno je da je primena tačke jednaka nuli (tačka leži na ravni). Njegova ordinata je (pošto - medijana). Teže je pronaći njegovu apscisu. Međutim, to se lako radi na osnovu Pitagorine teoreme: Razmotrimo trokut. Njegova hipotenuza je jednaka, a jedan od kateta je jednak Tada:

Konačno, imamo:.

Sada pronađimo koordinate tačke. Jasno je da je njegova primjena opet jednaka nuli, a ordinata je ista kao i kod tačke, tj. Nađimo njegovu apscisu. Ovo je učinjeno prilično trivijalno ako se toga sećate visine jednakostraničnog trougla su proporcionalno podeljene tačkom preseka računajući od vrha. Pošto je:, tada je tražena apscisa tačke, jednaka dužini segmenta, jednaka:. Dakle, koordinate tačke su jednake:

Nađimo koordinate tačke. Jasno je da se njena apscisa i ordinata poklapaju sa apscisom i ordinatom tačke. A aplikacija je jednaka dužini segmenta. - ovo je jedan od krakova trougla. Hipotenuza trougla je segment - krak. Traži se na osnovu razmatranja koja sam podebljao:

Tačka je sredina segmenta linije. Zatim moramo zapamtiti formulu za koordinate sredine segmenta:

To je to, sada možemo tražiti koordinate vektora smjera:

Pa, sve je spremno: sve podatke zamjenjujemo u formulu:

dakle,

odgovor:

Ne treba se plašiti ovakvih "strašnih" odgovora: za probleme sa C2, ovo je uobičajena praksa. Radije bih se iznenadio "lijepom" odgovoru u ovom dijelu. Također, kao što ste primijetili, praktično nisam pribjegavao ničemu drugom osim Pitagorinoj teoremi i svojstvu visina jednakostraničnog trougla. Odnosno, da bih riješio stereometrijski problem, koristio sam minimum stereometrije. Dobitak u tome se djelimično "ugasi" prilično glomaznim proračunima. Ali oni su prilično algoritamski!

2. Nacrtajmo pravilnu heksagonalnu piramidu zajedno sa koordinatnim sistemom, kao i njenu osnovu:

Moramo pronaći ugao između linija i. Dakle, naš zadatak se svodi na pronalaženje koordinata tačaka:. Naći ćemo koordinate posljednje tri iz male slike, a koordinatu temena pronaći ćemo kroz koordinatu tačke. Radite na veliko, ali morate započeti!

a) Koordinata: jasno je da su njena aplikacija i ordinata jednake nuli. Nađimo apscisu. Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut. Avaj, u njemu znamo samo hipotenuzu, koja je jednaka. Pokušaćemo da pronađemo nogu (jer je jasno da će nam udvostručena dužina kraka dati apscisu tačke). Kako da je nađemo? Prisjetimo se kakvu figuru imamo u podnožju piramide? Ovo je pravilan šestougao. Šta to znači? To znači da su sve strane i svi uglovi jednaki. Trebao bih naći jedan takav kutak. Ima li ideja? Ima mnogo ideja, ali postoji formula:

Zbir uglova pravilnog n-ugla je .

Dakle, zbir uglova pravilnog šestougla jednak je stepenima. Tada je svaki od uglova jednak:

Ponovo gledamo sliku. Jasno je da je segment simetrala ugla. Tada je ugao jednak stepenima. onda:

Onda gde.

Dakle, ima koordinate

b) Sada možemo lako pronaći koordinate tačke:.

c) Pronađite koordinate tačke. Pošto se njegova apscisa poklapa sa dužinom segmenta, jednaka je. Pronalaženje ordinate također nije teško: ako povežemo tačke i označimo točku presjeka prave linije, recimo, sa. (uradi sam laka konstrukcija). Tada je ordinata tačke B jednaka zbiru dužina segmenata. Pogledajmo ponovo trougao. Onda

Tada od Tada tačka ima koordinate

d) Sada nalazimo koordinate tačke. Razmotrimo pravougaonik i dokažimo da su koordinate tačke:

e) Ostaje pronaći koordinate vrha. Jasno je da se njena apscisa i ordinata poklapaju sa apscisom i ordinatom tačke. Hajde da nađemo aplikator. Od tada. Zamislite pravougli trougao. Prema iskazu problema, bočna ivica. Ovo je hipotenuza mog trougla. Tada je visina piramide noga.

Tada tačka ima koordinate:

U redu, imam koordinate svih tačaka koje me zanimaju. Tražeći koordinate vektora pravca pravih linija:

Tražimo ugao između ovih vektora:

odgovor:

Opet, u rješavanju ovog problema nisam koristio nikakve sofisticirane trikove, osim formule za zbir uglova pravilnog n-ugla, kao i određivanje kosinusa i sinusa pravokutnog trougla.

3. Pošto nam opet nisu date dužine rebara u piramidi, smatrat ću ih jednakima jedan. Dakle, pošto su SVE ivice, a ne samo bočne, jednake jedna drugoj, onda u osnovi piramide i mene leži kvadrat, a bočne ivice su pravilni trouglovi. Nacrtajmo takvu piramidu, kao i njenu osnovu na ravni, označavajući sve podatke navedene u tekstu problema:

Tražimo ugao između i. Radit ću vrlo kratke proračune kada tražim koordinate tačaka. Morat ćete ih "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njegove koordinate:

c) Naći ću dužinu segmenta po Pitagorinoj teoremi u trouglu. Naći ću ga u trouglu po Pitagorinoj teoremi.

koordinate:

d) je sredina segmenta. Njegove koordinate su jednake

e) Vektorske koordinate

f) Vektorske koordinate

g) Traženje ugla:

Kocka je najjednostavnija figura. Siguran sam da to možete sami shvatiti. Odgovori na probleme 4 i 5 su sljedeći:

Pronalaženje ugla između prave i ravni

Pa, vrijeme jednostavnih zadataka je prošlo! Sada će primjeri biti još složeniji. Da bismo pronašli ugao između prave i ravnine, postupit ćemo na sljedeći način:

Iz tri tačke konstruišemo jednačinu ravni
,
koristeći determinantu trećeg reda.
Tražimo koordinate vektora usmjeravanja prave linije po dvije točke:
Primjenjujemo formulu za izračunavanje ugla između prave i ravnine:

Kao što vidite, ova formula je vrlo slična onoj koju smo koristili za pronalaženje uglova između dvije prave. Struktura desne strane je ista, a na lijevoj sada tražimo sinus, a ne kosinus, kao prije. Pa, dodata je jedna gadna radnja - traženje jednačine ravnine.

Nemojmo odlagati rješenje primjera:

1. Os-no-va-no-em direktna nagrada-mi smo-la-je-jednaki-ali-siromašni-ric-ny trouglasti-nick Vi-tako-ta nagrada-mi smo jednaki. Najdi te ugao između pravog i ravnog

2. U pravougaonom pa-ra-le-le-pi-pe-de iz zapadnog nay-di-te ugla između prave i ravni

3. U ispravnoj prizmi sa šest uglja, sve ivice su jednake. Ne-di-oni uglovi između prave i ravni.

4. U desnom trouglastom pi-ra-mi-de sa os-no-va-ni-poznato je rebra Nay-di-te ugao, ob-ra-zo-van -navoj ravnost os-no -va-nia i ravno, pro-ho-dya-shi kroz se-re-di-us rebara i

5. Dužine svih rebara ispravne četvorougaone piramide sa vrhom jednake su jedna drugoj. Nay-di-te je ugao između prave i ravni, ako je tačka se-re-di-na bo-ko-th rebra pi-ra-mi-dy.

Opet ću prva dva problema riješiti detaljno, treći - ukratko, a zadnja dva ostavljam vama da sami riješite. Osim toga, već ste se bavili trouglastim i četverokutnim piramidama, ali još niste prizmama.

rješenja:

1. Oslikajmo prizmu, kao i njenu osnovu. Kombinirajmo ga sa koordinatnim sistemom i označimo sve podatke date u iskazu problema:

Izvinjavam se zbog nepoštovanja proporcija, ali za rješavanje problema to, zapravo, nije toliko bitno. Avion je samo "zadnji zid" moje prizme. Lako je pogoditi da jednačina takve ravni ima oblik:

Međutim, ovo se može direktno prikazati:

Odaberimo proizvoljne tri tačke na ovoj ravni: na primjer,.

Sastavimo jednačinu ravnine:

Vježba za vas: sami izračunajte ovu odrednicu. Jesi li to uradio? Tada jednačina ravni ima oblik:

Ili jednostavno

dakle,

Da bih riješio primjer, trebam pronaći koordinate vektora smjera prave linije. Pošto se tačka poklopila sa ishodištem, koordinate vektora će se jednostavno poklapati sa koordinatama tačke.Da bismo to uradili, prvo pronađemo koordinate tačke.

Da biste to učinili, razmotrite trokut. Nacrtajmo visinu (to je medijana i simetrala) iz vrha. Budući da je tada ordinata tačke jednaka. Da bismo pronašli apscisu ove tačke, moramo izračunati dužinu segmenta. Po Pitagorinoj teoremi imamo:

Tada tačka ima koordinate:

Bod se "podiže" za bod:

Zatim koordinate vektora:

odgovor:

Kao što vidite, nema ništa suštinski teško u rješavanju takvih problema. U stvari, proces dodatno pojednostavljuje "pravost" oblika kao što je prizma. Sada pređimo na sljedeći primjer:

2. Nacrtajte paralelepiped, nacrtajte ravan i pravu liniju u njemu, a također posebno nacrtajte njegovu donju osnovu:

Prvo, nalazimo jednadžbu ravnine: Koordinate tri tačke koje leže u njoj:

(prve dvije koordinate su dobijene na očigledan način, a zadnju koordinatu lako možete pronaći sa slike iz tačke). Zatim sastavljamo jednačinu ravnine:

Računamo:

Tražimo koordinate vektora pravca: Jasno je da se njegove koordinate poklapaju sa koordinatama tačke, zar ne? Kako da pronađem koordinate? Ovo su koordinate tačke, podignute duž ose aplikacije za jedan! ... Zatim tražimo traženi ugao:

odgovor:

3. Nacrtajte pravilnu heksagonalnu piramidu, a zatim u njoj nacrtajte ravan i pravu liniju.

Ovdje je čak i crtanje ravni problematično, da ne spominjemo rješenje ovog problema, ali koordinatni metod nije briga! Upravo u njegovoj svestranosti leži njegova glavna prednost!

Avion prolazi kroz tri tačke:. Tražimo njihove koordinate:

1) . Sami nacrtajte koordinate za posljednje dvije tačke. Rješenje problema sa heksagonalnom piramidom će vam dobro doći za ovo!

2) Gradimo jednačinu ravnine:

Tražimo koordinate vektora:. (pogledajte ponovo problem trokutaste piramide!)

3) Traženje ugla:

odgovor:

Kao što vidite, u ovim zadacima nema ništa natprirodno teško. Samo treba da budete veoma oprezni sa korenima. Za poslednja dva problema daću samo odgovore:

Kao što vidite, tehnika rješavanja problema je svugdje ista: glavni zadatak je pronaći koordinate vrhova i zamijeniti ih u nekim formulama. Ostaje nam da razmotrimo još jednu klasu zadataka za izračunavanje uglova, i to:

Izračunavanje uglova između dve ravni

Algoritam rješenja bit će sljedeći:

Po tri tačke tražimo jednačinu prve ravni:
Za ostale tri tačke tražimo jednačinu druge ravni:
Primjenjujemo formulu:

Kao što vidite, formula je vrlo slična prethodnoj dvije, uz pomoć kojih smo tražili uglove između pravih i između prave i ravni. Tako da vam neće biti teško zapamtiti ovo. Idemo direktno na analizu zadataka:

1. Sto-ro-na os-no-va-nije desne trouglaste prizme je jednako, a dijagonala velikog lica je jednaka. Nay-di-oni uglovi između ravnine i ravni prizme.

2. U ispravnom četiri-you-rekh-coal-noy pi-ra-mi-de, čije su sve ivice jednake, pronađite sinus ugla između ravnine i ravnine to-stu, pro-ho- dya-shchey kroz tačku per-pen-di-ku-lar-ali ravno.

3. U ispravnoj prizmi četiri-vi-rekh-uglja, strane os-no-va-nije su jednake, a strane jednake. Na ivici postoji tačka tako da. Pronađite ugao između ravnine-sti-mi i

4. U desnoj četverougaonoj prizmi, stranice os-no-va-nije su jednake, a bočne ivice jednake. Na ivici od-me-che-do tačke, tako da je Nay-di-te ugao između ravni-na-st-mi i.

5. U kocki nay-di-te ko-si-nus ugla između ravni-ko-sti-mi i

Rješenja problema:

1. Nacrtam pravilnu (u osnovi - jednakostranični trokut) trouglastu prizmu i na njoj obilježavam ravnine koje se pojavljuju u iskazu problema:

Moramo pronaći jednadžbe dvije ravni: Jednačina baze je trivijalna: možete sastaviti odgovarajuću determinantu po tri tačke, ali ja ću odmah sastaviti jednadžbu:

Sada ćemo pronaći jednačinu Tačka ima koordinate Tačka - Pošto je medijan i visina trougla, lako je pronaći u trouglu po Pitagorinoj teoremi. Tada tačka ima koordinate: Pronađite primjenu tačke Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut

Tada dobijamo sledeće koordinate: Nacrtaj jednačinu ravni.

Izračunavamo ugao između ravnina:

odgovor:

2. Izrada crteža:

Najteže je shvatiti šta je to tajanstvena ravan, koja prolazi kroz tačku okomito. Pa, glavno je šta je ovo? Glavna stvar je pažnja! Zaista, linija je okomita. Prava linija je također okomita. Tada će ravan koja prolazi kroz ove dvije prave biti okomita na pravu liniju i, usput, prolaziti kroz tačku. Ova ravan takođe prolazi kroz vrh piramide. Onda željeni avion - I avion nam je već dat. Tražimo koordinate tačaka.

Pronađite koordinatu tačke kroz tačku. Iz male figure lako je zaključiti da će koordinate tačke biti sljedeće: Šta je sada preostalo za pronaći da bismo pronašli koordinate vrha piramide? Također morate izračunati njegovu visinu. Ovo se radi pomoću iste Pitagorine teoreme: prvo, dokažite to (trivijalno od malih trokuta koji formiraju kvadrat na bazi). Pošto po uslovu imamo:

Sada je sve spremno: koordinate vrha:

Sastavljamo jednačinu ravnine:

Već ste posebni u izračunavanju determinanti. Lako možete dobiti:

Ili inače (ako oba dijela pomnožimo korijenom iz dva)

Sada nalazimo jednačinu ravnine:

(Nisi zaboravio kako dobijamo jednacinu ravnine, zar ne? Ako ne razumes otkud ovaj minus jedan, vrati se onda na definiciju jednacine ravni! Samo da je pre toga okrenuto da je ishodište koordinata pripadalo mojoj ravni!)

Izračunavamo determinantu:

(Možete vidjeti da se jednačina ravni poklapa sa jednačinom prave koja prolazi kroz tačke i! Razmislite zašto!)

Sada izračunavamo ugao:

Moramo pronaći sinus:

odgovor:

3. Šaljivo pitanje: šta mislite da je pravougaona prizma? To je samo paralelepiped, dobro znaš! Napravite crtež odmah! Moguće je čak i ne prikazati bazu odvojeno, od toga je malo koristi ovdje:

Ravan je, kao što smo ranije napomenuli, napisana u obliku jednadžbe:

Sada pravimo avion

Odmah sastavljamo jednačinu ravnine:

Tražim ugao:

Sada odgovori na zadnja dva problema:

E pa, sada je vrijeme za pauzu, jer ti i ja smo super i uradili smo odličan posao!

Koordinate i vektori. Napredni nivo

U ovom članku ćemo s vama razgovarati o drugoj klasi problema koji se mogu riješiti pomoću koordinatnog metoda: problemi udaljenosti. Naime, vi i ja ćemo razmotriti sljedeće slučajeve:

Proračun udaljenosti između ukrštenih linija.

Naručio sam ove zadatke kako se njihova složenost povećava. Ispostavilo se da je to najlakše pronaći udaljenost od tačke do ravni, a najteže je pronaći udaljenost između linija ukrštanja... Iako, naravno, ništa nije nemoguće! Nemojmo odlagati i odmah prijeđimo na razmatranje prve klase problema:

Izračunavanje udaljenosti od tačke do ravni

Šta nam je potrebno da riješimo ovaj problem?

1. Koordinate tačaka

Dakle, čim dobijemo sve potrebne podatke, primjenjujemo formulu:

Već biste trebali znati kako konstruišemo jednačinu ravnine iz prethodnih zadataka o kojima sam govorio u prošlom dijelu. Hajdemo odmah na zadatke. Shema je sljedeća: 1, 2, pomažem vam da riješite, a u pojedinostima, 3, 4 - samo odgovor, vi sami donosite odluku i uporedite. Počnimo!

Zadaci:

1. Zadana kocka. Dužina ivice kocke je. Nay-di-te distance-i-ni from se-re-di-us from-cut to flat to-sti

2. S obzirom na pravo-vil-naya četiri-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-kovoe ivica side-ro-na os-no-va-nia je jednaka. Nay-di-te distance-i-nie od tačke do ravnine-to-sti gdje - se-re-di-na rebra.

3. U desnom trouglastom pi-ra-mi-de sa os-but-va-ni, bo-kov ivica je jednaka, a strana-ro-na is-no-va- jednaka. Nay-di-te distance-i-nye od vrha do ravni.

4. U pravilnoj prizmi sa šest uglja, sve ivice su jednake. Nay-di-te distance-i-nye od tačke do ravni.

rješenja:

1. Nacrtajte kocku sa jediničnim ivicama, napravite segment i ravan, označite sredinu segmenta slovom

Prvo, počnimo s jednostavnim: pronađite koordinate tačke. Od tada (zapamtite koordinate sredine segmenta!)

Sada sastavljamo jednačinu ravnine po tri tačke

\ [\ lijevo | (\ početak (niz) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ kraj (niz)) \ desno | = 0 \]

Sada mogu početi tražiti udaljenost:

2. Počnite ponovo sa crtežom na kojem obeležavamo sve podatke!

Za piramidu bi bilo korisno da se njena osnova nacrta zasebno.

Čak i činjenica da crtam kao kokoška sa šapom ne sprečava nas da lako rešimo ovaj problem!

Sada je lako pronaći koordinate tačke

Pošto su koordinate tačke, onda

2. Pošto su koordinate tačke a središte segmenta, onda

Također možemo bez problema pronaći koordinate još dvije tačke na ravni. Sastavljamo jednadžbu ravnine i pojednostavljujemo je:

\ [\ lijevo | (\ lijevo | (\ početak (niz) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) \ end (niz)) \ desno |) \ desno | = 0 \]

Pošto tačka ima koordinate:, tada izračunavamo udaljenost:

Odgovor (veoma retko!):

Pa, shvatio si? Čini mi se da je ovdje sve tehničko kao u primjerima koje smo s vama razmatrali u prethodnom dijelu. Tako da sam siguran da ako ste savladali to gradivo, onda vam neće biti teško riješiti preostala dva problema. Ja ću samo dati odgovore:

Izračunavanje udaljenosti od prave do ravni

U stvari, tu nema ničeg novog. Kako se prava i ravan mogu locirati jedna u odnosu na drugu? Imaju sve mogućnosti: presecaju se ili je prava paralelna sa ravninom. Šta mislite kolika je udaljenost od prave do ravni sa kojom se ta prava linija seče? Čini mi se da je ovdje jasno da je takva udaljenost jednaka nuli. Nezanimljiv slučaj.

Drugi slučaj je složeniji: ovdje je udaljenost već različita od nule. Međutim, pošto je prava paralelna sa ravninom, tada je svaka tačka prave jednako udaljena od ove ravni:

ovako:

A to znači da je moj zadatak sveden na prethodni: tražimo koordinate bilo koje tačke na pravoj liniji, tražimo jednadžbu ravnine, izračunavamo udaljenost od tačke do ravnine. Zapravo, takvi zadaci su izuzetno rijetki na ispitu. Uspio sam pronaći samo jedan problem, a podaci u njemu su bili takvi da koordinatni metod nije bio baš primjenjiv na njega!

Sada pređimo na drugu, mnogo važniju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti tačke do prave linije

Šta nam treba?

1. Koordinate tačke iz koje tražimo udaljenost:

2. Koordinate bilo koje tačke koja leži na pravoj liniji

3. Koordinate usmjeravajućeg vektora prave linije

Koju formulu koristimo?

Šta za vas znači imenilac datog razlomka i zato bi trebalo da bude jasno: ovo je dužina usmeravajućeg vektora prave linije. Ovdje je vrlo lukav brojilac! Izraz označava modul (dužinu) vektorskog proizvoda vektora i Kako izračunati unakrsni proizvod, proučavali smo u prethodnom dijelu rada. Osvježite svoje znanje, sada će nam biti od velike koristi!

Dakle, algoritam za rješavanje problema će biti sljedeći:

1. Tražimo koordinate tačke od koje tražimo udaljenost:

2. Tražimo koordinate bilo koje tačke na pravoj liniji do koje tražimo udaljenost:

3. Napravite vektor

4. Izgradite vektor smjera prave linije

5. Izračunajte unakrsni proizvod

6. Tražimo dužinu rezultirajućeg vektora:

7. Izračunajte udaljenost:

Imamo puno posla, a primjeri će biti prilično složeni! Sada usmjerite svu svoju pažnju!

1. Dana je pravo-vil-naya trouglasti pi-ra-mi-da sa vrhom. Sto-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy je jednako, ti-tako-to je jednako. Nay-di-one udaljenosti-i-nye od se-re-di-ny bo-ko-th rebra do prave linije, gdje su tačke i se-re-di-ny rebara i tako -od- vet-ali.

2. Dužine rebara i pravougaonog pa-ral-le-le-pi-pe-da su jednake, respektivno, a Nay-di-ono rastojanje od vrha do ravne

3. U desnoj prizmi sa šest uglja, sve ivice roja su jednake find-di-one udaljenosti od tačke do prave linije

rješenja:

1. Napravimo uredan crtež na kojem označavamo sve podatke:

Imamo puno posla sa vama! Prvo bih želio riječima opisati šta ćemo tražiti i kojim redoslijedom:

1. Koordinate tačaka i

2. Koordinate tačaka

3. Koordinate tačaka i

4. Koordinate vektora i

5. Njihov unakrsni proizvod

6. Dužina vektora

7. Dužina vektorskog proizvoda

8. Udaljenost od do

Pa, imamo puno posla! Bacimo se na to, zasukamo rukave!

1. Da bismo pronašli koordinate visine piramide, moramo znati koordinate tačke. Njena aplikacija je jednaka nuli, a ordinata je jednaka apscisi, jednaka je dužini segmenta. je visina jednakostraničnog trougla, dijeli se u odnosu, računajući od vrha, od sada dalje. Konačno, dobili smo koordinate:

Koordinate tačke

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

Sredina segmenta

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunavamo unakrsni proizvod:

6. Dužina vektora: najlakši način je zamijeniti da je segment srednja linija trougla, što znači da je jednak polovini osnovice. Dakle.

7. Razmatramo dužinu vektorskog proizvoda:

8. Konačno, nalazimo udaljenost:

Uf, to je to! Iskreno, rješenje ovog problema tradicionalnim metodama (kroz konstrukcije) bilo bi mnogo brže. Ali ovdje sam sve sveo na gotov algoritam! Mislim da ti je algoritam rješenja jasan? Stoga ću vas zamoliti da sami riješite preostala dva problema. Hajde da uporedimo odgovore?

Opet ponavljam: lakše je (brže) rješavati ove probleme kroz konstrukcije, a ne pribjegavati koordinatnoj metodi. Ovo rješenje sam demonstrirao samo da bih vam pokazao univerzalnu metodu koja vam omogućava da "ništa ne dovršite".

Konačno, razmotrite posljednju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti između ukrštenih linija

Ovdje će algoritam rješavanja problema biti sličan prethodnom. šta imamo:

3. Bilo koji vektor koji povezuje tačke prve i druge prave:

Kako nalazimo rastojanje između pravih linija?

Formula je sljedeća:

Brojilac je modul mješovitog proizvoda (uveli smo ga u prethodnom dijelu), a nazivnik je isti kao u prethodnoj formuli (modul vektorskog proizvoda vektora smjera pravih, udaljenost između kojih tražimo).

Podsjetit ću vas na to

onda formula za udaljenost se može prepisati kao:

Neka vrsta determinante podijeljene determinantom! Mada, da budem iskren, ovdje nemam vremena za šale! Ova formula je, zapravo, vrlo glomazna i dovodi do prilično komplikovanih proračuna. Da sam na tvom mjestu, koristio bih ga samo kao posljednje sredstvo!

Pokušajmo riješiti nekoliko problema koristeći gornju metodu:

1. U ispravnoj trouglastoj prizmi, sve ivice su jednake, pronađite razmak između pravih i.

2. S obzirom na desnu trokutastu prizmu, sve ivice os-no-va-cije roja su jednake rebra i rebra se-re-di-bunara yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Nay-di-te distance-i-nie između ravno-mi-mi i

Ja odlučujem o prvom, a na osnovu njega, vi odlučujete o drugom!

1. Nacrtajte prizmu i označite prave linije i

Koordinate tačke C: tada

Koordinate tačke

Vektorske koordinate

Koordinate tačke

Vektorske koordinate

\ [\ lijevo ((B, \ strelica preko desno (A (A_1)) \ strelica preko desno (B (C_1))) \ desno) = \ lijevo | (\ početak (niz) (* (20) (l)) (\ početak (niz) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ kraj (niz)) \\ (\ početak (niz) ( * (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ kraj (niz)) \\ (\ početak (niz) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ kraj (niz)) \ kraj (niz)) \ desno | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Razmatramo unakrsni proizvod između vektora i

\ [\ strelica desno (A (A_1)) \ cdot \ strelica preko desno (B (C_1)) = \ lijevo | \ početak (niz) (l) \ početak (niz) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (niz) \\\ početak (niz ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ kraj (niz) \\\ početak (niz) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ kraj (niz) \ kraj (niz) \ desno | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Sada izračunavamo njegovu dužinu:

odgovor:

Sada pokušajte pažljivo obaviti drugi zadatak. Odgovor na to će biti:.

Koordinate i vektori. Kratak opis i osnovne formule

Vektor je usmjeren segment. - početak vektora, - kraj vektora.
Vektor je označen sa ili.

Apsolutna vrijednost vektor - dužina segmenta koji predstavlja vektor. Označeno je kao.

Vektorske koordinate:

,
gdje su krajevi vektora \ displaystyle a.

Zbir vektora:.

Proizvod vektora:

Tačkasti proizvod vektora:

Uobičajeno je da se vektor naziva segmentom koji ima zadati pravac. I početak i kraj vektora imaju fiksnu poziciju, uz pomoć koje se određuje smjer vektora. Pogledajmo bliže kako da izgradimo vektor na osnovu datih koordinata.

Nacrtajte koordinatni sistem (x, y, z) u prostoru, označite segmente jedinica na osi.
Odvojite željene koordinate na dvije ose, povucite linije od njih isprekidanom linijom paralelnom sa osama, dok se ne ukrste. Naučite tačku preseka koju želite da povežete isprekidanom linijom sa ishodištem.
Nacrtajte vektor od ishodišta do rezultirajuće tačke.
Stavite željeni broj na treću osu, kroz ovu tačku povucite isprekidanu liniju koja će biti paralelna sa konstruisanim vektorom.
Od kraja vektora povucite isprekidanu liniju paralelnu trećoj osi dok se ne ukrsti sa linijom iz prethodne tačke.
Na kraju povežite ishodište i rezultujuću tačku.

Ponekad je potrebno konstruisati vektor koji će biti rezultat sabiranja ili oduzimanja drugih vektora. Stoga ćemo sada razmotriti operacije s vektorima, naučit ćemo kako ih zbrajati i oduzimati.

Vektorske operacije

Geometrijski vektori se mogu dodati na nekoliko načina. Na primjer, najčešći način dodavanja vektora je pravilo trokuta. Da biste dodali dva vektora prema ovom pravilu, potrebno je vektore rasporediti paralelno jedan s drugim tako da se početak prvog vektora poklapa sa krajem drugog, dok će treća strana rezultirajućeg trokuta biti vektor trokuta. suma.

Također možete izračunati zbir vektora koristeći pravilo paralelograma. Vektori bi trebali početi od jedne tačke, paralelno sa svakim vektorom, potrebno je povući liniju tako da na kraju dobijete paralelogram. Dijagonala konstruisanog paralelograma biće zbir ovih vektora.

Da biste oduzeli dva vektora, morate sabrati prvi vektor i vektor koji će biti suprotan drugom. Za to se koristi i pravilo trokuta, koje ima sljedeću formulaciju: razlika vektora koji se prenose tako da im se ishodište poklapa je vektor čiji se početak poklapa sa krajem vektora koji se oduzima, kao i kraj vektora koji treba smanjiti.

Pažnja, samo DANAS!

OSTALO

Da bi se izvršila operacija sabiranja vektora, postoji nekoliko načina, koji, ovisno o situaciji...

Vektor je matematički objekat koji se odlikuje smjerom i veličinom. U geometriji se vektor naziva...

U matematici vektor označava segment date dužine sa smjerom i koordinatama u osama X, Y, Z. Pitanje o ...

Ugao između dva vektora koji izlaze iz iste tačke je najbliži ugao, rotacija za koju je prvi vektor ...

Ako znate prostorne koordinate dvije ili više tačaka u određenom sistemu, onda je zadatak: kako pronaći dužinu ...

Moguće je odrediti dužinu segmenta na različite načine. Da biste saznali kako pronaći dužinu segmenta, dovoljno je imati u ...

Ubrzanje je brzina kojom se brzina mijenja. Ova veličina je vektorska, ima svoj smjer i mjeri se u m/s 2 (u ...

Koristeći gimbal pravilo, određuju se smjerovi magnetskih linija (na drugi način se nazivaju i magnetske linije ...

Na crtežima se slike geometrijskih tijela grade metodom projekcije. Ali za ovu jednu sliku...

Reč "ordinat" dolazi od latinskog "ordinatus" - "poređan po redu". Ordinata je čisto matematička...

Modul broja naziva se i apsolutna vrijednost ovog broja na drugi način. Ako se ispod znaka modula nalazi...

Da bismo pronašli koordinate vrha jednakostraničnog trougla, ako su poznate koordinate njegova druga dva vrha, ...

Pitate se kako možete izračunati i pronaći srednju liniju trougla. Onda pređite na posao. Pronađite dužinu srednje linije...

Razmotrimo detaljnije šta je ubrzanje u fizici? Ovo je poruka tijelu dodatne brzine po jedinici vremena...

Prije nego naučimo kako pronaći površinu paralelograma, moramo se sjetiti šta je paralelogram i šta ...

Nacrtajte koordinatni sistem (x, y, z) u prostoru, označite segmente jedinica na osi.
Odvojite željene koordinate na dvije ose, povucite linije od njih isprekidanom linijom paralelnom sa osama, dok se ne ukrste. Naučite tačku preseka koju želite da povežete isprekidanom linijom sa ishodištem.
Nacrtajte vektor od ishodišta do rezultirajuće tačke.
Stavite željeni broj na treću osu, kroz ovu tačku povucite isprekidanu liniju koja će biti paralelna sa konstruisanim vektorom.
Od kraja vektora povucite isprekidanu liniju paralelnu trećoj osi dok se ne ukrsti sa linijom iz prethodne tačke.
Na kraju povežite ishodište i rezultujuću tačku.

Ponekad je potrebno konstruisati vektor koji će biti rezultat sabiranja ili oduzimanja drugih vektora. Stoga ćemo sada razmotriti operacije s vektorima, naučit ćemo kako ih zbrajati i oduzimati.