Kvadratni korijen. Sveobuhvatan vodič (2019.)

Tema kvadratnog korijena je obavezna u školskom programu matematike. Ne možete bez njih kada rješavate kvadratne jednadžbe. A kasnije postaje potrebno ne samo izvaditi korijene, već i izvršiti druge radnje s njima. Među njima su prilično složene: eksponencijalizacija, množenje i dijeljenje. Ali postoje i oni prilično jednostavni: oduzimanje i dodavanje korijena. Inače, tako izgledaju samo na prvi pogled. Izvođenje bez grešaka nije uvek lako za nekoga ko ih tek počinje da upoznaje.

Šta je matematički korijen?

Ova radnja je nastala nasuprot eksponencijaciji. Matematika pretpostavlja dvije suprotne operacije. Postoji oduzimanje za sabiranje. Množenje je suprotno dijeljenju. Obrnuti efekat stepena je ekstrakcija odgovarajućeg korena.

Ako je stepen dva, tada će korijen biti kvadratan. Najčešći je u školskoj matematici. Nema čak ni naznaku da je kvadrat, odnosno nije mu pripisan broj 2. Matematička notacija ovog operatora (radikala) je prikazana na slici.

Iz opisane radnje glatko slijedi njena definicija. Da biste izvukli kvadratni korijen broja, morate saznati šta će radikalni izraz dati kada se množi sam sa sobom. Ovaj broj će biti kvadratni korijen. Ako to zapišete matematički, dobićete sledeće: x * x = x 2 = y, dakle √y = x.

Koje radnje možete izvoditi s njima?

U svojoj srži, korijen je razlomak s jedinicom u brojniku. A imenilac može biti bilo šta. Na primjer, kvadratni korijen ima dva. Stoga će sve radnje koje se mogu izvesti sa stepenima također vrijediti za korijene.

I zahtjevi za ove radnje su isti. Ako množenje, dijeljenje i podizanje na stepen ne nailaze na poteškoće za učenike, tada dodavanje korijena, poput njihovog oduzimanja, ponekad dovodi do zabune. A sve zato što želite izvršiti ove operacije bez gledanja korijenskog znaka. I tu počinju greške.

Koja su pravila za njihovo sabiranje i oduzimanje?

Prvo, morate zapamtiti dva kategorična "ne":

ne možete vršiti sabiranje i oduzimanje korijena, kao u prostim brojevima, odnosno nemoguće je napisati radikalne izraze zbira pod jednim znakom i izvoditi matematičke operacije s njima;
ne možete sabirati i oduzimati korijene s različitim indikatorima, na primjer, kvadratnim i kubnim.

Ilustrativan primjer prve zabrane: √6 + √10 ≠ √16, ali √ (6 + 10) = √16.

U drugom slučaju, bolje je ograničiti se na pojednostavljivanje samih korijena. I kao odgovor, ostavite njihov iznos.

Sada na pravila

Pronađite i grupirajte slične korijene. Odnosno, oni koji ne samo da imaju iste brojeve ispod radikala, već i sami imaju jedan indikator.
Izvršite dodavanje korijena, ujedinjenih u jednu grupu prvom radnjom. Lako je implementirati, jer treba samo sabrati značenja koja stoje ispred radikala.
Izdvojite korijene u onim terminima u kojima radikalni izraz čini cijeli kvadrat. Drugim riječima, ne ostavljajte ništa pod znakom radikala.
Pojednostavite radikalne izraze. Da biste to učinili, trebate ih razložiti u proste faktore i vidjeti da li daju kvadrat bilo kojeg broja. Jasno je da je to tačno kada je u pitanju kvadratni korijen. Kada je eksponent tri ili četiri, tada bi i prosti faktori trebali dati kocku ili četvrti stepen broja.
Uklonite iz znaka radikala faktor koji daje cijeli stepen.
Pogledajte da li su se slični pojmovi ponovo pojavili. Ako je tako, ponovite drugi korak.

U situaciji kada zadatak ne zahtijeva tačnu vrijednost korijena, može se izračunati na kalkulatoru. Zaokružite beskonačni decimalni razlomak koji će biti prikazan u njegovom prozoru. Najčešće se to radi do stotinke. Zatim izvršite sve operacije za decimalne razlomke.

Ovo su sve informacije o tome kako se vrši dodavanje korijena. Primjeri u nastavku će ilustrirati gore navedeno.

Prvi zadatak

Izračunajte vrijednost izraza:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Ako pratite gornji algoritam, možete vidjeti da za prve dvije akcije u ovom primjeru nema ništa. Ali neki radikalni izrazi se mogu pojednostaviti.

Na primjer, faktor 32 u dva faktora 2 i 16; 18 će biti jednako proizvodu 9 i 2; 128 je 2 sa 64. S obzirom na ovo, izraz će biti napisan ovako:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Sada morate ukloniti iz radikalnog znaka one faktore koji daju kvadrat broja. Ovo je 16 = 4 2, 9 = 3 2, 64 = 8 2. Izraz će poprimiti oblik:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Moramo malo da pojednostavimo snimanje. Da biste to učinili, pomnožite koeficijente ispred znakova korijena:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

U ovom izrazu svi pojmovi su se pokazali sličnima. Stoga ih samo treba presavijati. Odgovor će biti: 5√2.

b) Slično kao u prethodnom primjeru, dodavanje korijena počinje njihovim pojednostavljenjem. Radikalni izrazi 75, 147, 48 i 300 biće predstavljeni sljedećim parovima: 5 i 25, 3 i 49, 3 i 16, 3 i 100. Svaki od njih ima broj koji se može izvaditi ispod znaka korijena :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Nakon pojednostavljenja, odgovor je: 5√5 - 5√3. Može se ostaviti kako jeste, ali je bolje zajednički faktor 5 staviti izvan zagrade: 5 (√5 - √3).

c) I opet faktorizacija: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Nakon uklanjanja faktora iz predznaka korijena, imamo:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Nakon donošenja sličnih članova, dobijamo rezultat: 7√11.

Primjer sa frakcijskim izrazima

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Bit će potrebno razdvojiti sljedeće brojeve: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Slično onima koji su već razmatrani, morate ukloniti faktore ispod korijenski znak i pojednostavite izraz:

3/2 √5 - 2√5 - 5/3 √ (½) - 7/6 √5 + 7 √ (½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √ (½) = - 5/3 √5 + 16/3 √ (½).

Ovaj izraz zahtijeva da se riješite iracionalnosti u nazivniku. Da biste to učinili, trebate pomnožiti drugi član sa √2 / √2:

5/3 √5 + 16/3 √ (½) * √2 / √2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Za potpunost radnji, potrebno je odabrati cijeli dio faktora ispred korijena. Prvi je jednak 1, drugi - 2.

U našem vremenu modernih elektronskih računara, izračunavanje korijena broja ne izgleda kao težak zadatak. Na primjer, √2704 = 52, bilo koji kalkulator će to izračunati umjesto vas. Na sreću, kalkulator nije samo u Windows-u, već i u običnom, čak i najjednostavnijem telefonu. Istina, ako se iznenada (s malim stepenom vjerovatnoće, čiji izračun, inače, uključuje dodavanje korijena) nađete bez raspoloživih sredstava, tada ćete se, nažalost, morati osloniti samo na svoj mozak.

Trening uma nikada ne uspije. Posebno za one koji ne rade često s brojevima, a još više s korijenima. Dodavanje i oduzimanje korijena je dobro zagrijavanje za dosadni um. Također ću vam pokazati dodavanje korijena u fazama. Primjeri izraza mogu biti sljedeći.

Jednačina koju treba pojednostaviti:

√2 + 3√48-4 × √27 + √128

Ovo je iracionalan izraz. Da biste to pojednostavili, morate sve radikalne izraze dovesti u zajednički oblik. Radimo to u fazama:

Prvi broj se više ne može pojednostaviti. Prelazimo na drugi mandat.

Faktor 3√48 48 = 2 × 24 ili 48 = 3 × 16. od 24 nije cijeli broj, tj. ima razlomak ostatka. Budući da nam je potrebna tačna vrijednost, približni korijeni za nas nisu prikladni. Kvadratni korijen od 16 je 4, izvadimo ga ispod. Dobijamo: 3 × 4 × √3 = 12 × √3

Sljedeći izraz je za nas negativan, tj. napisano sa znakom minus -4 × √ (27.) Faktor 27. Dobijamo 27 = 3 × 9. Ne koristimo razlomke jer je iz razlomaka teže izračunati kvadratni korijen. Izvadimo 9 ispod znaka, tj. izračunaj kvadratni korijen. Dobijamo sljedeći izraz: -4 × 3 × √3 = -12 × √3

Sljedeći član √128 izračunajte dio koji se može izvaditi ispod korijena. 128 = 64 × 2, gdje je √64 = 8. Ako vam je lakše, ovaj izraz možete predstaviti ovako: √128 = √ (8 ^ 2 × 2)

Prepisujemo izraz sa pojednostavljenim pojmovima:

√2 + 12 × √3-12 × √3 + 8 × √2

Sada dodajemo brojeve sa istim radikalnim izrazom. Ne možete sabirati ili oduzimati izraze s različitim radikalnim izrazima. Dodavanje korijena zahtijeva da se ovo pravilo poštuje.

Dobijamo sljedeći odgovor:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2 = 1 × √2 - Nadam se da je uobičajeno izostavljanje takvih elemenata u algebri za vas neće biti novost.

Izrazi se mogu predstaviti ne samo kvadratnim korijenom, već i kubičnim ili n-tim korijenom.

Sabiranje i oduzimanje korijena s različitim eksponentima, ali s ekvivalentnim radikalnim izrazom, događa se na sljedeći način:

Ako imamo izraz oblika √a + ∛b + ∜b, onda ovaj izraz možemo pojednostaviti na sljedeći način:

∛b + ∜b = 12 × √b4 + 12 × √b3

12√b4 + 12 × √b3 = 12 × √b4 + b3

Doveli smo dva slična člana u zajednički korijen eksponenta. Ovdje je korišteno svojstvo korijena koje kaže: ako se broj stepena radikalnog izraza i broj eksponenta korijena pomnože istim brojem, tada će njegovo izračunavanje ostati nepromijenjeno.

Napomena: eksponenti se dodaju samo kada se množe.

Razmotrimo primjer gdje su razlomci prisutni u izrazu.

5√8-4 × √ (1/4) + √72-4 × √2

Odlučićemo u fazama:

5√8 = 5 * 2√2 - izvadimo dio koji treba izvaditi ispod korijena.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Ako je tijelo korijena predstavljeno razlomkom, onda se često ovaj razlomak ne mijenja ako izvučete kvadratni korijen iz dividende i djelitelja. Kao rezultat, dobili smo gore opisanu jednakost.

√72-4√2 = √ (36 × 2) - 4√2 = 2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Evo odgovora.

Glavna stvar koju treba zapamtiti je da se korijen s parnim eksponentom ne izdvaja iz negativnih brojeva. Ako je paran stepen radikalnog izraza negativan, onda je izraz nerješiv.

Dodavanje korijena moguće je samo ako se radikalni izrazi podudaraju, budući da su slični pojmovi. Isto važi i za razliku.

Dodavanje korijena s različitim brojčanim eksponentima izvodi se svođenjem oba člana na zajednički korijenski stepen. Ovaj zakon radi na isti način kao i smanjenje zajedničkog imenioca pri sabiranju ili oduzimanju razlomaka.

Ako u radikalnom izrazu postoji broj podignut na stepen, onda se ovaj izraz može pojednostaviti, pod uslovom da postoji zajednički nazivnik između eksponenta korijena i stepena.

U matematici, korijeni mogu biti kvadratni, kubni ili bilo koji drugi eksponent (stepen) koji je napisan lijevo iznad znaka korijena. Izraz pod znakom korijena naziva se radikalni izraz. Dodavanje korijena je slično dodavanju članova algebarskog izraza, odnosno zahtijeva definiciju sličnih korijena.

Koraci

Dio 1 od 2: Određivanje korijena

Oznaka korijena. Izraz pod znakom korijena () znači da je potrebno izdvojiti korijen određenog stepena iz ovog izraza.

Korijen je označen znakom.
Eksponent (stepen) korijena je napisan lijevo iznad predznaka korijena. Na primjer, kubni korijen od 27 piše se ovako: (27)
Ako je eksponent (stepen) korijena odsutan, tada se eksponent smatra jednakim 2, odnosno kvadratni je korijen (ili korijen drugog stepena).
Broj napisan prije znaka korijena naziva se množitelj (tj. ovaj broj se množi s korijenom), na primjer 5 (2)
Ako nema faktora ispred korijena, onda je on jednak 1 (sjetite se da je svaki broj pomnožen sa 1 jednak samom sebi).
Ako vam je ovo prvi put da radite s korijenima, napravite odgovarajuće bilješke iznad množitelja i korijenskog eksponenta kako se ne biste zbunili i bolje razumjeli njihovu svrhu.

Zapamtite koji korijeni se mogu savijati, a koji ne. Kao što ne možete dodati različite termine izraza, na primjer, 2a + 2b 4ab, ne možete dodati različite korijene.

Ne možete dodati korijene s različitim radikalnim izrazima, na primjer, (2) + (3) (5). Ali možete dodati brojeve ispod jednog korijena, na primjer (2 + 3) = (5) (kvadratni korijen iz 2 je otprilike 1,414, kvadratni korijen iz 3 je otprilike 1,732, a kvadratni korijen iz 5 je otprilike 2,236) .

Ne možete dodati korijene s istim radikalnim izrazima, ali različitim pokazateljima, na primjer, (64) + (64) (ovaj zbir nije jednak (64), budući da je kvadratni korijen od 64 8, kubni korijen od 64 je 4, 8 + 4 = 12, što je mnogo više od petog korijena od 64, što je otprilike 2,297).

Dio 2 od 2: Pojednostavljivanje i dodavanje korijena

Identificirajte i grupirajte slične korijene. Slični korijeni - korijeni koji imaju iste indikatore i iste radikalne izraze. Na primjer, razmotrite izraz:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Prvo prepišite izraz tako da se korijeni s istim eksponentom nalaze uzastopno.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Zatim prepišite izraz tako da se korijeni s istim eksponentom i istim izrazom radikala nalaze uzastopno.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Pojednostavite korijene. Da biste to učinili, rastavite (gdje je moguće) radikalne izraze na dva faktora, od kojih se jedan vadi ispod korijena. U ovom slučaju, izvađeni broj i korijen faktor se množe.

U gornjem primjeru proširite 50 za 2 * 25 i 32 za 2 * 16. Iz 25 i 16 možete izdvojiti kvadratne korijene (5 i 4, redom) i izvaditi 5 i 4 ispod korijena, odnosno množite ih faktorima 2 i 1. Tako ćete dobiti pojednostavljeni izraz: 10 (2 ) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Broj 81 se može rastaviti na 3 * 27, a iz broja 27 možete izdvojiti kubni korijen od 3. Ovaj broj 3 može se izvaditi ispod radikala. Tako dobijate još pojednostavljeni izraz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Dodajte faktore sličnih korijena. U našem primjeru postoje slični kvadratni korijeni od 2 (mogu se zbrajati) i slični kvadratni korijeni od 3 (mogu se i sabrati). Kubni korijen od 3 nema takve korijene.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Konačni pojednostavljeni izraz: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Ne postoje opšteprihvaćena pravila za redosled korena u izrazu. Stoga možete pisati korijene uzlaznim redoslijedom njihovih indikatora i uzlaznim redoslijedom radikalnih izraza.

Pažnja, samo DANAS!

Sve zanimljivo

Broj ispod predznaka korijena često ometa rješenje jednadžbe, nezgodno je raditi s njim. Čak i ako je podignut na stepen, razlomak ili se ne može predstaviti kao cijeli broj do određene mjere, možete ga pokušati izvesti iz ...

Korijen broja x je broj koji će, kada se podigne na stepen korijena, biti jednak x. Množilac je broj koji se množi. To jest, u izrazu kao što je x * & ordf- & radic-y, trebate umetnuti x u korijen. Uputstvo 1 Odredite stepen...

Ako radikalni izraz sadrži skup matematičkih operacija s varijablama, onda je ponekad, kao rezultat njegovog pojednostavljenja, moguće dobiti relativno jednostavnu vrijednost, od kojih se neke mogu izvaditi ispod korijena. Ovo pojednostavljenje je ponekad korisno...

Aritmetičke operacije s korijenima različitih stupnjeva mogu uvelike pojednostaviti proračune u fizici i tehnologiji i učiniti ih preciznijim. Prilikom množenja i dijeljenja, prikladnije je ne izvlačiti korijen iz svakog faktora ili dividende i djelitelja, već prvo ...

Kvadratni korijen broja x je broj a, koji, kada se pomnoži sam sa sobom, daje broj x: a * a = a ^ 2 = x, x = a. Kao i kod svih brojeva, možete izvoditi aritmetičke operacije sabiranja i oduzimanja s kvadratnim korijenima. Instrukcije ...

Korijen u matematici može imati dva značenja: to je aritmetička operacija i svako od rješenja jednadžbe, algebarsko, parametarsko, diferencijalno ili bilo koje drugo. Instrukcija 1 N-ti korijen broja a je takav broj da ...

Prilikom izvođenja različitih aritmetičkih operacija s korijenima, često je potrebno biti u stanju transformirati radikalne izraze. Da bi se pojednostavili proračuni, možda će biti potrebno izvaditi faktor izvan predznaka radikala ili ga dodati ispod njega. Ova akcija može biti...

Korijen je ikona koja označava matematičku operaciju pronalaženja takvog broja, čijim podizanjem na stepen koji je naznačen ispred znaka korijena treba dobiti broj naveden pod tim istim znakom. Često za rješavanje problema u kojima...

Znak korijena u matematičkim naukama je simbol korijena. Broj ispod predznaka korijena naziva se radikalni izraz. U nedostatku eksponenta, korijen je kvadratan, inače broj označava ...

Aritmetički korijen n-tog stepena realnog broja a je nenegativan broj x, čiji je n-ti stepen jednak broju a. One. (n) a = x, x ^ n = a. Postoje različiti načini za dodavanje aritmetičkog korijena i racionalnog broja. ...

N-ti korijen realnog broja a je broj b za koji je tačna jednakost b ^ n = a. Neparni korijeni postoje za negativne i pozitivne brojeve, a parni samo za pozitivne. ...

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada ostavite zahtjev na web stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo nam omogućavaju da vas kontaktiramo i prijavimo jedinstvene ponude, promocije i druge događaje i nadolazeće događaje.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavještenja i poruka.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom promotivnom događaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje tim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno zbog sigurnosnih, provođenja zakona ili drugih društveno važnih razloga.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo odgovarajućoj trećoj strani – pravnom sljedbeniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštovanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo bili sigurni da su Vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima donosimo pravila o povjerljivosti i sigurnosti, te striktno pratimo provođenje mjera povjerljivosti.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji nisu jako jaki. "
I za one koji su „veoma ujednačeni. ")

U prethodnoj lekciji shvatili smo šta je kvadratni korijen. Vrijeme je da otkrijemo koji postoje korijenske formulešta su svojstva korijena, i šta možete učiniti sa svim ovim.

Korijenske formule, svojstva korijena i pravila za radnje s korijenima Suštinski su ista stvar. Postoji iznenađujuće malo formula za kvadratne korijene. Što, naravno, raduje! Umjesto toga, možete napisati mnogo raznih formula, ali za praktičan i siguran rad s korijenima dovoljne su samo tri. Ostatak od ova tri toka. Iako se mnogi ljudi izgube u tri formule korijena, da.

Počnimo s najjednostavnijim. Evo je:

Da vas podsjetim (iz prethodne lekcije): a i b su nenegativni brojevi! Inače, formula nema smisla.

Ovo svojstvo korijena, kao što vidite, jednostavno, kratko i bezopasno. Ali postoji mnogo korisnih stvari koje možete učiniti s ovom korijenskom formulom! Hajde da analiziramo dalje primjeri sve ove korisne stvari.

Prvo korisna stvar. Ova formula nam dozvoljava umnožiti korijene.

Kako umnožiti korijene?

Vrlo je jednostavno. Pravo po formuli. Na primjer:

Čini se da su se namnožili, pa šta? Koliko radosti?! Slazem se, malo. Ali kako ti se ovo sviđa primjer?

Korijeni nisu baš izvučeni iz faktora. A rezultat je odličan! Bolje sada, zar ne? Za svaki slučaj, dozvolite mi da vas obavijestim da može postojati bilo koji broj faktora. Formula za množenje korijena i dalje radi. Na primjer:

Dakle, sa množenjem, sve je jasno zašto je to potrebno korijensko svojstvo- takođe je razumljivo.

Druga korisna stvar. Unos broja ispod znaka korijena.

Kako rootati broj?

Pretpostavimo da imamo ovakav izraz:

Da li je moguće sakriti 2 unutar korijena? Lako! Ako napravite korijen od dva, formula za množenje korijena će raditi. I kako napraviti korijen od dva? Da, takođe nije pitanje! Deuce is kvadratni korijen od četiri!

Usput, korijen se može napraviti od bilo kojeg nenegativnog broja! Ovo će biti kvadratni korijen kvadrata ovog broja. 3 - korijen od 9. 8 - korijen od 64. 11 - korijen od 121. Pa, i tako dalje.

Naravno, nema potrebe tako detaljno opisivati. Osim, za početak. Dovoljno je shvatiti da se svaki nenegativan broj pomnožen s korijenom može umetnuti u korijen. Ali - ne zaboravite! - pod korijenom će ovaj broj postati kvadrat sebe. Ova radnja - stavljanje broja pod korijen - također se može nazvati množenjem broja s korijenom. Općenito, možete napisati:

Procedura je jednostavna, kao što vidite. Zašto je to potrebno?

Kao i kod svake transformacije, ova procedura proširuje naše mogućnosti. Mogućnosti da se nasilan i neugodan izraz lica pretvori u mekan i pahuljast.) Evo jednog jednostavnog za vas primjer:

Kao što možete vidjeti svojstvo korijena, dozvoljavanje faktora da se unese pod znak korena je u redu za pojednostavljenje.

Osim toga, uvođenje množitelja ispod korijena olakšava i jednostavno upoređivanje vrijednosti različitih korijena. Bez ikakve računice ili kalkulatora! Treća korisna stvar.

Kako uporediti korijene?

Ova vještina je vrlo važna u solidnim misijama, prilikom otvaranja modula i drugih cool stvari.

Uporedite ove izraze. Koji je veći? Nema kalkulatora! Sa kalkulatorom svi. uh-uh. ukratko, svako to može podnijeti!)

Ne možeš odmah reći. A ako stavite brojeve pod znak korijena?

Prisjetimo se (odjednom, niste znali?): Ako je broj ispod predznaka korijena veći, onda je i sam korijen više! Otuda tačan odgovor odmah, bez ikakvih komplikovanih kalkulacija i kalkulacija:

Odlično, ha? Ali to nije sve! Podsjetimo da sve formule rade i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Do sada smo koristili formulu za množenje korijena s lijeva na desno. Pokrenimo ovo svojstvo korijena obrnuto, s desna na lijevo. Volim ovo:

Koja je razlika? Da li išta daje!? Naravno! Sad ćete se i sami uvjeriti.

Pretpostavimo da trebamo izvući (bez kalkulatora!) kvadratni korijen broja 6561. Neko će u ovoj fazi pasti u neravnopravnoj borbi s problemom. Ali mi smo uporni, ne odustajemo! Četvrta korisna stvar.

Kako iskorijeniti velike brojeve?

Prisjećamo se formule za vađenje korijena iz djela. Onaj koji sam malopre napisao. Ali gde imamo komad!? Imamo ogroman broj od 6561 i to je to. Da, posao nije ovdje. Ali ako treba - imamo hajde da uradimo! Hajde da faktorišemo ovaj broj. Imamo pravo.

Za početak, hajde da shvatimo čime je tačno djeljiv ovaj broj? Šta, ne znaš!? Jeste li zaboravili znakove djeljivosti!? Uzalud. Idite na Posebni odjeljak 555, tema "Razlomci", tu su. Ovaj broj je djeljiv sa 3 i 9. Zato što je zbir cifara (6 + 5 + 6 + 1 = 18) djeljiv ovim brojevima. Ovo je jedan od znakova djeljivosti. Ne trebamo dijeliti sa tri (sada ćete razumjeti zašto), ali ćemo podijeliti sa 9. Barem ugao. Dobijamo 729. Dakle, pronašli smo dva faktora! Prvi je devet (sami smo izabrali ovo), a drugi je 729 (tako je ispalo). Već možete napisati:

Imate ideju? Isto ćemo uraditi i sa brojem 729. Također je djeljiv sa 3 i 9. Opet ne dijelimo sa 3, mi dijelimo sa 9. Dobijamo 81. I ovaj broj znamo! Zapisujemo:

Sve se pokazalo lako i elegantno! Koren je morao da se vadi deo po deo, pa dobro. To možete učiniti sa bilo kojim velikim brojevima. Faktori ih i kreni!

Usput, pogodili ste zašto nije bilo potrebno dijeliti sa 3? Zato što se korijen od tri ne može tačno izdvojiti! Ima smisla rastaviti na faktore tako da se barem jedan korijen može lako izdvojiti. To su 4, 9, 16 i tako dalje. Podijelite svoj ogroman broj ovim brojevima jedan po jedan, vidite, i sretni ste!

Ali ne nužno. Možda nema sreće. Recimo da će broj 432, kada se rastavlja na faktore i koristi korijenska formula za proizvod, dati ovaj rezultat:

Pa, ok. Ipak smo pojednostavili izraz. U matematici je uobičajeno da se ispod korijena ostavi najmanji mogući broj. U procesu rješavanja sve zavisi od primjera (možda će se sve smanjiti bez pojednostavljenja), ali u odgovoru treba dati rezultat koji se dalje ne može pojednostavljivati.

Usput, znate li šta smo sada uradili sa korijenom 432?

Mi uklonili faktore iz korijenskog znaka ! Ovo je naziv ove operacije. A onda će zadatak naići - " uklonite faktor iz korijenskog znaka„Ali muškarci ni ne znaju.) Evo još jedne aplikacije za vas. svojstva korena. Peta korisna stvar.

Kako izvaditi faktor ispod korijena?

Lako. Faktorizirajte radikalni izraz i izvucite korijene koji su ekstrahovani. gledamo:

Ništa natprirodno. Važno je odabrati ispravne množitelje. Ovdje smo proširili 72 kao 36 * 2. I sve je dobro ispalo. I mogli bi se razgraditi drugačije: 72 = 6 · 12. Pa šta!? Korijen se ne izdvaja ni iz 6 ni iz 12. Šta da radim?!

Uredu je. Ili potražite druge opcije za razlaganje, ili nastavite razlagati sve do kraja! Volim ovo:

Kao što vidite, sve je ispalo. Usput, ovo nije najbrži, ali najpouzdaniji način. Rasporedite broj na najmanje faktore, a zatim skupite iste u hrpe. Metoda se uspješno primjenjuje kod množenja nezgodnih korijena. Na primjer, potrebno je izračunati:

Pomnožite sve - luda brojka! I kako onda izvući korijen iz njega ?! Da se ponovo razloži na množitelje? Ne, ne treba nam dodatni posao. Odmah to činimo u faktore i skupljamo isto u hrpe:

To je sve. Naravno, nije potrebno da se to odvija do kraja. Sve je određeno vašim ličnim sposobnostima. Oni su primjer doveli u stanje u kojem sve ti je jasno dakle, već možemo računati. Glavna stvar je da ne pogrešite. Ne čovjek za matematiku, već matematika za čovjeka!)

Primijenimo znanje u praksi? Počnimo s jednostavnim:

Pravilo sabiranja za kvadratne korijene

Svojstva kvadratnih korijena

Do sada smo izveli pet aritmetičkih operacija nad brojevima: sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i stepenovanje, a u proračunima su se aktivno koristila različita svojstva ovih operacija, na primjer, a + b = b + a, i n -b n = (ab) n, itd.

Ovo poglavlje uvodi novu operaciju - uzimanje kvadratnog korijena nenegativnog broja. Da biste ga uspješno koristili, potrebno je da se upoznate sa svojstvima ove operacije, što ćemo i uraditi u ovom dijelu.

Dokaz. Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:
Moramo dokazati da za nenegativne brojeve x, y, z vrijedi jednakost x = yz.

Dakle, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Tada je x 2 = y 2 z 2, odnosno x 2 = (yz) 2.

Ako kvadrata dva nenegativna broja su jednaka, tada su i sami brojevi jednaki, što znači da iz jednakosti x 2 = (yz) 2 proizilazi da je x = yz, a to je ono što je trebalo dokazati.

Evo kratkog sažetka dokaza teoreme:

Napomena 1. Teorema ostaje važeća za slučaj kada je radikalni izraz proizvod više od dva nenegativna faktora.

Napomena 2. Teorema 1 se može formatirati pomoću “if. , zatim "(kao što je uobičajeno za teoreme u matematici). Dajmo odgovarajuću formulaciju: ako su a i b nenegativni brojevi, onda je jednakost .

Sljedeću teoremu ćemo formulirati upravo na ovaj način.

(Kratka formulacija koja je pogodnija za upotrebu u praksi: korijen razlomka jednak je razlomku korijena, ili korijen količnika jednak je količniku korijena.)

Ovog puta daćemo samo kratak sažetak dokaza, a vi pokušajte da date odgovarajuće komentare, slične onima koji su činili suštinu dokaza teoreme 1.

Primjer 1. Izračunajte.
Rješenje. Korištenje prvog svojstva kvadratni korijeni(Teorema 1), dobijamo

Napomena 3. Naravno, ovaj primjer se može riješiti drugačije, pogotovo ako imate pri ruci kalkulator: pomnožite brojeve 36, 64, 9, a zatim izvucite kvadratni korijen dobivenog proizvoda. Međutim, morate priznati da gore predloženo rješenje izgleda kulturnije.

Napomena 4. U prvoj metodi smo izvršili proračune „head-on”. Drugi način je elegantniji:
prijavili smo se formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) i koristio svojstvo kvadratnih korijena.

Napomena 5. Neke vruće glave ponekad nude ovo rješenje za primjer 3:

Ovo, naravno, nije istina: vidite - rezultat nije isti kao u našem primjeru 3. Poenta je da nema svojstva pošto nema imovine Postoje samo svojstva koja se odnose na množenje i dijeljenje kvadratnih korijena. Budite oprezni i pazite da ne budete samoželjni.

Primjer 4... Izračunaj: a)
Rješenje. Bilo koja formula u algebri se koristi ne samo "s desna na lijevo", već i "slijeva na desno". Dakle, prvo svojstvo kvadratnog korijena znači da se po potrebi može predstaviti u obliku, i obrnuto, koji se može zamijeniti izrazom.Isto vrijedi i za drugo svojstvo kvadratnog korijena. Imajući to na umu, riješimo predloženi primjer.

Završavajući odjeljak, napominjemo još jedno prilično jednostavno i istovremeno važno svojstvo:
ako je a> 0 i n - prirodni broj, onda

Primjer 5. Izračunati bez upotrebe tablice kvadrata brojeva i mikro kalkulatora.

Rješenje. Razložimo radikalni broj na proste faktore:

Napomena 6. Ovaj primjer bi se mogao riješiti na isti način kao i analogni primjer u § 15. Nije teško pogoditi da će odgovor biti "80 sa repom", budući da je 80 2 2. Nađimo "rep", odnosno posljednju cifru traženog broja. Iako znamo da ako se korijen izdvoji, onda odgovor može biti 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 ili 89. Trebamo provjeriti samo dva broja: 84 i 86, jer će samo oni dati kao rezultat četvorocifreni broj koji se završava na 6, tj. ista cifra koja završava broj 7056. Imamo 84 2 = 7056 - to je ono što vam treba. znači,

A. G. Mordkovich, Algebra... 8. razred: Udžbenik. za opšte obrazovanje. institucije - 3. izd., revidirano. - M.: Mnemozina, 2001.-- 223 s: ilustr.

Knjige, udžbenici matematike za preuzimanje, sinopsis za pomoć nastavnicima i učenicima, učiti online

Ako imate bilo kakve ispravke ili prijedloge za ovu lekciju, pišite nam.

Ukoliko želite da vidite druga prilagođavanja i želje za nastavu, pogledajte ovdje - Edukacijski forum.

Kako dodati kvadratne korijene

Kvadratni korijen broja X nazvao broj A, koji se u procesu množenja sam po sebi ( AA) može dati broj X.
One. A * A = A 2 = X, i √X = A.

Preko kvadratnog korijena ( √x), kao i kod drugih brojeva, možete izvoditi aritmetičke operacije kao što su oduzimanje i sabiranje. Za oduzimanje i dodavanje korijena, potrebno ih je povezati pomoću znakova koji odgovaraju ovim radnjama (npr √x - √y ).
A zatim dovedite korijenje u njihov najjednostavniji oblik - ako među njima ima sličnih, potrebno je napraviti odljevak. Sastoji se u tome što se uzimaju koeficijenti sličnih članova sa predznacima odgovarajućih članova, zatim se stavljaju u zagrade i zajednički korijen se izvodi izvan zagrada faktora. Koeficijent koji smo dobili je pojednostavljen prema uobičajenim pravilima.

Korak 1. Ekstrakcija kvadratnog korijena

Prvo, da biste dodali kvadratne korijene, prvo morate izvući ove korijene. To se može učiniti ako su brojevi ispod znaka korijena savršeni kvadrati. Na primjer, uzmimo dati izraz √4 + √9 ... Prvi broj 4 je kvadrat broja 2 ... Drugi broj 9 je kvadrat broja 3 ... Dakle, možete dobiti sljedeću jednakost: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Sve, primjer je riješen. Ali nije uvijek tako jednostavno.

Korak 2. Uklanjanje faktora broja ispod korijena

Ako nema potpunih kvadrata ispod predznaka korijena, možete pokušati ukloniti faktor broja ispod predznaka korijena. Na primjer, uzmimo izraz √24 + √54 .

Faktoriziranje brojeva:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Na listi 24 imamo faktor 4 , može se izvaditi ispod znaka kvadratnog korijena. Na listi 54 imamo faktor 9 .

Dobijamo jednakost:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Uzimajući u obzir ovaj primjer, faktor je uklonjen iz predznaka korijena, čime se pojednostavljuje dati izraz.

Korak 3. Smanjenje nazivnika

Razmotrimo sljedeću situaciju: zbir dva kvadratna korijena je imenilac razlomka, na primjer, A / (√a + √b).
Sada smo suočeni sa zadatkom da se "oslobodimo iracionalnosti u nazivniku".
Koristimo sljedeću metodu: pomnožimo brojilac i imenilac razlomka izrazom √a - √b.

Sada dobijamo formulu za skraćeno množenje u nazivniku:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Slično, ako nazivnik sadrži razliku korijena: √a - √b, brojilac i imenilac razlomka se množe sa izrazom √a + √b.

Uzmimo razlomak kao primjer:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Primjer redukcije kompleksnog nazivnika

Sada ćemo razmotriti prilično kompliciran primjer oslobađanja od iracionalnosti u nazivniku.

Uzmite razlomak kao primjer: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebate uzeti njegov brojilac i imenilac i pomnožiti sa izrazom √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Korak 4. Izračunajte približnu vrijednost na kalkulatoru

Ako želite samo približnu vrijednost, to se može učiniti na kalkulatoru izračunavanjem vrijednosti kvadratnog korijena. Vrijednost se izračunava posebno za svaki broj i bilježi sa potrebnom preciznošću koja je određena brojem decimalnih mjesta. Nadalje, izvode se sve potrebne operacije, kao i sa običnim brojevima.

Primjer za izračunavanje približne vrijednosti

Potrebno je izračunati približnu vrijednost ovog izraza. √7 + √5 .

Kao rezultat, dobijamo:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Imajte na umu: ni pod kojim okolnostima ne smijete dodavati kvadratne korijene kao proste brojeve, ovo je potpuno neprihvatljivo. To jest, ako zbrojimo kvadratni korijen od pet i tri, ne možemo dobiti kvadratni korijen od osam.

Koristan savjet: ako odlučite da faktorirate broj, da biste kvadrat izveli iz predznaka korijena, potrebno je izvršiti obrnutu provjeru, odnosno pomnožiti sve faktore koji su se pokazali kao rezultat proračuna, i konačni rezultat ovog matematičkog proračuna trebao bi biti broj koji nam je prvobitno bio dodijeljen.

Radnja s korijenima: sabiranje i oduzimanje

Ekstrahiranje korijena kvadranta iz broja nije jedina operacija koja se može izvesti s ovim matematičkim fenomenom. Baš kao i obični brojevi, kvadratni korijeni se zbrajaju i oduzimaju.

Pravila sabiranja i oduzimanja za kvadratne korijene

Radnje kao što su sabiranje i oduzimanje kvadratnog korijena moguće su samo ako je izraz isti.

Možete sabirati ili oduzimati izraze 2 3 i 6 3 ali ne 5 6 i 9 4. Ako je moguće pojednostaviti izraz i dovesti ga do korijena sa istim radikalnim brojem, onda ga pojednostavite, a zatim dodajte ili oduzmite.

Ukorijenjene aktivnosti: Osnove

6 50 — 2 8 + 5 12

Pojednostavite radikalno izražavanje... Da biste to učinili, morate rastaviti radikalni izraz na 2 faktora, od kojih je jedan kvadratni broj (broj iz kojeg se izdvaja cijeli kvadratni korijen, na primjer, 25 ili 9).
Zatim morate izvući korijen kvadratnog broja i upišite rezultujuću vrijednost ispred predznaka korijena. Imajte na umu da se drugi faktor upisuje pod znakom korijena.
Nakon procesa pojednostavljenja, potrebno je istaći korijene istim radikalnim izrazima - samo se oni mogu sabirati i oduzimati.
Za korijene s istim radikalnim izrazima potrebno je dodati ili oduzeti faktore koji stoje ispred predznaka korijena. Radikalni izraz ostaje nepromijenjen. Ne možete sabirati ili oduzimati radikalne brojeve!

Ako imate primjer s velikim brojem identičnih radikalnih izraza, podvucite takve izraze jednostrukim, dvostrukim i trostrukim linijama kako biste olakšali proces izračunavanja.

Pokušajmo riješiti ovaj primjer:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Prvo, trebate razložiti 50 na 2 faktora od 25 i 2, zatim izdvojiti korijen od 25, što je 5, i izvaditi 5 ispod korijena. Nakon toga, trebate pomnožiti 5 sa 6 (faktor u korijenu) i dobiti 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Prvo, trebate razložiti 8 na 2 faktora: 4 i 2. Zatim izdvojite korijen iz 4, što je 2, i izvadite 2 ispod korijena. Nakon toga, trebate pomnožiti 2 sa 2 (faktor u korijenu) i dobiti 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Prvo, trebate 12 rastaviti na 2 faktora: 4 i 3. Zatim izdvojite korijen iz 4, što je 2, i izvadite ga ispod korijena. Nakon toga, trebate pomnožiti 2 sa 5 (faktor u korijenu) i dobiti 10 3.

Rezultat pojednostavljenja: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Kao rezultat toga, vidjeli smo koliko je identičnih radikalnih izraza sadržano u ovom primjeru. Sada vježbajmo s drugim primjerima.

Pojednostavljujemo (45). Faktor 45: (45) = (9 × 5);
Izvadimo 3 ispod korijena (9 = 3): 45 = 3 5;
Dodajte faktore u korijenima: 3 5 + 4 5 = 7 5.
Pojednostavite 6 40. Faktor 40: 6 40 = 6 (4 × 10);
Izvadimo 2 ispod korijena (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
Množimo faktore ispred korijena: 12 10;
Izraz pišemo u pojednostavljenom obliku: 12 10 - 3 10 + 5;
Pošto prva dva člana imaju iste radikalne brojeve, možemo ih oduzeti: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Kao što vidimo, radikalne brojeve nije moguće pojednostaviti, pa tražimo članove sa istim radikalnim brojevima u primjeru, izvodimo matematičke operacije (sabiranje, oduzimanje, itd.) i zapisujemo rezultat:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

savjet:

Prije sabiranja ili oduzimanja, imperativ je pojednostaviti (ako je moguće) radikalne izraze.
Dodavanje i oduzimanje korijena s različitim radikalnim izrazima je strogo zabranjeno.
Cijeli broj ili korijen ne treba dodavati ili oduzimati: 3 + (2 x) 1/2.
Kada izvodite radnje sa razlomcima, morate pronaći broj koji je potpuno djeljiv sa svakim nazivnikom, zatim dovesti razlomke u zajednički nazivnik, zatim dodati brojioce i ostaviti nazivnike nepromijenjene.

Svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena. Moć aritmetičkog kvadratnog korijena

Pretvorite aritmetičke kvadratne korijene. Preuređivanje aritmetičkih kvadratnih korijena

Za ekstrakciju kvadratni korijen polinoma, potrebno je izračunati polinom i izdvojiti korijen iz rezultirajućeg broja.

Pažnja! Ne možete izdvojiti korijen iz svakog člana (smanjenog i oduzetog) zasebno.

Schob vityagti kvadratni korijen polinoma, potrebno je izračunati broj bodova iz navedenog broja vityagti korijena.

Uwaga! Nije moguće vityagati korijen iz kožnog dodatka (promijeniti i odlično) okremo.

Za izdvajanje kvadratnog korijena proizvoda (količnik), možete izračunati kvadratni korijen svakog faktora (dividende i djelitelja), a dobivene vrijednosti uzeti kao proizvod (količnik).

Schhob vityagti kvadratni korijen z dobutku (dijelovi), moguće je izračunati kvadratni korijen množitelja kože (označen í dílnik) i oduzeti vrijednost uzimajući je kao razlomak.

Na kvadratni korijen razlomka, potrebno je odvojeno izdvojiti kvadratni korijen brojnika i nazivnika, a dobivene vrijednosti ostaviti kao razlomak ili izračunati kao količnik (ako je to moguće po uvjetu).

Schhob vityagti kvadratni korijen s razlomkom, trebate uzeti kvadratni korijen iz broja í standardnog znaka i poreći značenje razlomku ili prebrojati dio (što se može učiniti za mozak).

Ispod znaka korijena možete izvaditi faktor i možete dodati množitelj ispod korijenskog znaka. Kada se faktor izuzme, iz njega se izvlači korijen, a kada se faktor unese, on se podiže na odgovarajuću potenciju.

Za korijenski znak možete dodati množitelj i možete dodati množitelj za korijenski znak. Kada je množitelj pobjednik, korijen raste, a kada se unese, podiže se na prvim koracima.

Primjeri. Stavi

Da biste transformirali zbir (razliku) kvadratnih korijena, trebate radikalne izraze svesti na jednu bazu stepena, ako je moguće, izdvojiti korijene iz potencija i napisati ih ispred znakova korijena, a preostale kvadratne korijene sa mogu se dodati isti radikalni izrazi za koje se koeficijenti dodaju prije predznaka i isti kvadratni korijen.

Da bismo rekapitulirali zbir (razliku) kvadratnih korijena, potrebno je korijene koraka dovesti na istu osnovu koraka, također je moguće oduzeti korijen koraka i zapisati ih ispred znakova od korijene, i riješiti samo kvadratne korijene i dodati isti kvadratni korijen.

Dovedemo sve radikalne izraze u bazu 2.

Iz parnog stepena korijen se izvlači u potpunosti, a iz neparnog se korijen osnove u stepenu 1 ostavlja ispod znaka korijena.

Dajemo slične cijele brojeve i dodajemo koeficijente sa istim korijenima. Binom pišemo kao proizvod broja i binoma zbira.

Vođeni svi podkoreni virazi do baze 2.

Iz uparenog koraka korijen korijena raste prema gore, iz nesparenog koraka korijen osnove u koraku 1 je previše ispod znaka korijena.

Vjerovatno su broj brojeva i učinak skladišta pohranjeni u istim korijenima. Dvočlani jak za pisanje za dodavanje broja i dvočlanog sumija.

Radikalne izraze donosimo na najmanju bazu ili proizvod stupnjeva sa najmanjim bazama. Iz parnih potencija radikalnih izraza izdvajamo korijen, ostatke u obliku baze stepena s eksponentom 1 ili proizvoda takvih baza ostavljamo pod predznakom korijena. Dajemo slične pojmove (dodati koeficijente istih korijena).

Vjerovatno idemo na dno baze ili dodajemo stepenice najboljoj bazi. Tri uparene stepenice viraziv vityagaêmo korijena sa ped-ukorijenjenim korijenom, višak na viglyadí osnovi koraka s indikatorom 1, ili još više takvih baza ostavljeno je sa znakom korijena. Vjerovatno neki od članova (istih korijena).

Zamijenite dijeljenje razlomaka množenjem (sa zamjenom drugog razlomka obrnutim). Pomnožimo brojnike i nazivnike razlomaka odvojeno. Ispod svakog znaka korijena odaberite stupnjeve. Smanjite iste faktore u brojniku i nazivniku. Izvadimo korijene iz parnih stupnjeva.

Zamjena razlomaka višestrukim (zamjena drugog razlomka s vorotnym). Pomnožite okremo brojeve i nazivnike razlomaka. Ispod kožnog znaka korijena vidljivi su koraci. Brzo isti množitelji u broju i nazivniku. Vinesemo korijen sa stepenica.

Za usporedbu dva kvadratna korijena, njihovi radikalni izrazi moraju biti dovedeni do stepena sa istom bazom, tada što su stepeni radikalnog izraza više prikazani, to je veća vrednost kvadratnog korena.

U ovom primjeru nemoguće je radikalne izraze svesti na jednu bazu, jer je u prvoj bazi 3, au drugoj - 3 i 7.

Drugi način poređenja je da unesete koeficijent korijena u radikalni izraz i uporedite numeričke vrijednosti radikalnog izraza. Za kvadratni korijen, što je veći radikalni izraz, to je veća vrijednost korijena.

Schob uzeti dva kvadratna korijena, njihov pídkorení virazi treba da dovedu do koraka sa istom osnovom, što je više indikativno za stepen pídkorení virazi, to jest više od vrijednosti kvadratnog korijena.

U prvom slučaju nije moguće dovesti na istu osnovu korijen virazi, jer je u prvom osnova 3, au drugom - 3 i 7.

Drugi način prilagođavanja polja je dodavanje korijenskog faktora root-root virusu i povećanje broja root-root infekcija. Kvadratni korijen ima veći korijen viraz i veću vrijednost korijena.

Koristeći zakon distribucije množenja i pravilo za množenje korijena sa istim pokazateljima (u našem slučaju kvadratnim korijenima), dobili smo zbir dva kvadratna korijena sa proizvodom pod predznakom korijena. Razložimo 91 na proste faktore i stavimo korijen izvan zagrada sa zajedničkim radikalnim faktorima (13 * 5).

Dobili smo proizvod korijena i binoma, u kojem je jedan od monoma cijeli broj (1).

Vikoristovuchi rozpodilny zakon množenja i pravilo množenja korijena s istim pokazateljima (u našem tipu - kvadratni korijeni), uzeli smo vrećicu od dva kvadratna korijena s dobrim znakom korijena. Može se deponovati 91 na jednostavne množitelje i korijene za lukove i množitelje izvan kutije (13 * 5).

Oduzeli smo jedan korijen i dvočlan, u kojem jedan jednočlan u cjelini ima broj (1).

Dodatak 9:

U radikalnim izrazima, pomnožimo brojeve iz kojih možete izvući cijeli kvadratni korijen. Uzmite kvadratne korijene stupnjeva i stavite brojeve u koeficijente kvadratnog korijena.

Članovi ovog polinoma imaju zajednički faktor √3, koji se može izvaditi iz zagrada. Evo sličnih pojmova.

U pidkorenevik virazama se vidi kao množitelji broja, za koje je moguće odbaciti kvadratni korijen. Rezultat su kvadratni korijeni iz koraka, a broj kvadratnih korijena je određen brojem koeficijenata.

Članovi ovog polinoma ê imaju množitelj √3, što se može okriviti za lukove. Verovatno mala donacija.

Proizvod zbira i razlike dvije identične baze (3 i √5) prema skraćenoj formuli množenja može se napisati kao razlika kvadrata baza.

Kvadratni korijen je uvijek jednak radikalnom izrazu, tako da ćemo se riješiti radikala (znaka korijena) u izrazu.

Dobutok sumi í razlike dvije identične baze (3 í √5) iz formule brzog množenja, možete zapisati razliku između kvadrata baza.

Kvadratni korijen u kvadratu je predodređen za korijensku virazu, isti radikal (korijenski znak) za virazu.

Nazad u školu. Dodavanje korijena

Jednačina koju treba pojednostaviti:

Ovo je iracionalan izraz. Da biste to pojednostavili, morate sve radikalne izraze dovesti u zajednički oblik. Radimo to u fazama:

Prvi broj se više ne može pojednostaviti. Prelazimo na drugi mandat.

Faktor 3√48 48 = 2 × 24 ili 48 = 3 × 16. Kvadratni korijen od 24 nije cijeli broj, tj. ima razlomak ostatka. Budući da nam je potrebna tačna vrijednost, približni korijeni za nas nisu prikladni. Kvadratni korijen od 16 je 4, pomaknite ga ispod znaka korijena. Dobijamo: 3 × 4 × √3 = 12 × √3

Sljedeći član √128 izračunajte dio koji se može izvaditi ispod korijena. 128 = 64 × 2, gdje je √64 = 8. Ako vam je lakše, ovaj izraz možete predstaviti ovako: √128 = √ (8 ^ 2 × 2)

Prepisujemo izraz sa pojednostavljenim pojmovima:

Sada dodajemo brojeve sa istim radikalnim izrazom. Ne možete sabirati ili oduzimati izraze s različitim radikalnim izrazima. Dodavanje korijena zahtijeva da se ovo pravilo poštuje.

Dobijamo sljedeći odgovor:

√2 = 1 × √2 - Nadam se da je uobičajeno izostavljanje takvih elemenata u algebri za vas neće biti novost.

Izrazi se mogu predstaviti ne samo kvadratnim korijenom, već i kubičnim ili n-tim korijenom.

Sabiranje i oduzimanje korijena s različitim eksponentima, ali s ekvivalentnim radikalnim izrazom, događa se na sljedeći način:

Ako imamo izraz oblika √a + ∛b + ∜b, onda ovaj izraz možemo pojednostaviti na sljedeći način:

12√b4 + 12 × √b3 = 12 × √b4 + b3

Napomena: eksponenti se dodaju samo kada se množe.

Razmotrimo primjer gdje su razlomci prisutni u izrazu.

Odlučićemo u fazama:

5√8 = 5 * 2√2 - izvadimo dio koji treba izvaditi ispod korijena.

Ako je tijelo korijena predstavljeno razlomkom, onda se često ovaj razlomak ne mijenja ako izvučete kvadratni korijen iz dividende i djelitelja. Kao rezultat, dobili smo gore opisanu jednakost.

Evo odgovora.

Glavna stvar koju treba zapamtiti je da se korijen s parnim eksponentom ne izdvaja iz negativnih brojeva. Ako je paran stepen radikalnog izraza negativan, onda je izraz nerješiv.

Dodavanje korijena moguće je samo ako se radikalni izrazi podudaraju, budući da su slični pojmovi. Isto važi i za razliku.

Ako u radikalnom izrazu postoji broj podignut na stepen, onda se ovaj izraz može pojednostaviti, pod uslovom da postoji zajednički nazivnik između eksponenta korijena i stepena.

Kvadratni korijen proizvoda i razlomak

Kvadratni korijen broja a je broj čiji je kvadrat jednak a. Na primjer, brojevi -5 i 5 su kvadratni korijeni broja 25. To jest, korijeni jednadžbe x ^ 2 = 25 su kvadratni korijeni broja 25. Sada morate naučiti kako raditi s operacija vađenja kvadratnog korijena: proučavanje njegovih osnovnih svojstava.

Kvadratni korijen proizvoda

√ (a * b) = √a * √b

Kvadratni korijen proizvoda dva nenegativna broja jednak je proizvodu kvadratnih korijena ovih brojeva. Na primjer, √ (9 * 25) = √9 * √25 = 3 * 5 = 15;

Važno je shvatiti da ovo svojstvo vrijedi i za slučaj kada je radikalni izraz proizvod tri, četiri itd. nenegativni faktori.

Ponekad postoji druga formula ovog svojstva. Ako su a i b nenegativni brojevi, tada je tačna sljedeća jednakost √ (a * b) = √a * √b. Nema apsolutno nikakve razlike između njih, možete koristiti jednu ili drugu formulaciju (kome je zgodnije zapamtiti koju).

Kvadratni korijen iz razlomka

Ako je a> = 0 i b> 0, tada je tačna sljedeća jednakost:

√ (a / b) = √a / √b.

Na primjer, √ (9/25) = √9 / √25 = 3/5;

Ovo svojstvo ima i drugu formulaciju, koja je, po mom mišljenju, pogodnija za pamćenje.
Kvadratni korijen količnika jednak je količniku korijena.

Vrijedi napomenuti da ove formule rade s lijeva na desno, kao i s desna na lijevo. To jest, ako je potrebno, možemo predstaviti proizvod korijena kao korijen proizvoda. Isto vrijedi i za drugu nekretninu.

Kao što ste možda primijetili, ova svojstva su vrlo zgodna, a ja bih želio imati ista svojstva za sabiranje i oduzimanje:

√ (a + b) = √a + √b;

√ (a-b) = √a-√b;

Ali nažalost takve nekretnine su kvadratne nemaju korene i stoga je tako ne može se uraditi u proračunima.

13. Prolazak raskrsnica pravila saobraćaja 2018 sa komentarima online 13.1. Prilikom skretanja udesno ili ulijevo, vozač mora dati prednost pješacima i biciklistima koji prelaze kolovoz na koji skreće. Ovo uputstvo se odnosi na sve [...]
Roditeljski sastanak "Prava, dužnosti i odgovornosti roditelja" Prezentacija za čas Preuzmite prezentaciju (536,6 kB) Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne pruža pregled svih [...]
Regionalni materinski kapital u Orilskoj oblasti Regionalni materinski kapital (MC) u Orilu i Orilskoj oblasti osnovan je 2011. godine. Sada je to dodatna mjera socijalne podrške za višečlane porodice u vidu jednokratne novčane [...]
Iznos jednokratne naknade za ranu registraciju u 2018. Stranica koju ste tražili nije pronađena. Možda ste upisali pogrešnu adresu ili je stranica obrisana. Koristite [...] za navigaciju
Ekonomski pravnik Krivična djela u ekonomskoj sferi je prilično obiman koncept. Takve radnje uključuju prevaru, nezakonito poslovanje, pranje novca, nezakonito bankarstvo [...]
Press služba Centralna banka Ruske Federacije (Banka Rusije) Press služba 107016, Moskva, ul. Neglinnaya 12
Opće karakteristike i kratak pregled plovnih puteva Klasifikacija vodnih slivova Klasifikacija vodnih slivova za plovidbu plovnih objekata za razonodu (malih) plovila, pod nadzorom Državnog instituta za statistiku Rusije, vrši se u zavisnosti od preovlađujućih u ovim slivovima [.. .]
Kučerena = advokat Viktora Coija I ovo je ekskluzivno: današnje pismo Anatolija Kučerene. Nastavljam temu. Ovo pismo još niko nije objavio. Ali mislim da je to neophodno. Prvi dio za sada. Uskoro ću objaviti i drugi dio koji je potpisao poznati advokat. Zašto je to važno? […]