Ponekad u životu postoje situacije kada morate zaroniti u pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, trebate odrediti površinu zemljišne parcele trokutastog oblika ili je došao red na sljedeću popravku u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu s trokutastog oblika. Bilo je vremena kada ste takav problem mogli riješiti za nekoliko minuta, ali sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne brini za to! Uostalom, sasvim je normalno kada ljudski mozak odluči prenijeti dugo neiskorišteno znanje negdje u zabačeni kutak iz kojeg ga ponekad nije tako lako izvući. Kako ne biste morali mučiti s potragom za zaboravljenim školskim znanjem kako biste riješili takav problem, ovaj članak sadrži različite metode koje olakšavaju pronalaženje željene površine trokuta.

Dobro je poznato da je trokut vrsta poligona koji je ograničen minimalnim mogućim brojem stranica. U principu, svaki poligon se može podijeliti na nekoliko trouglova povezivanjem njegovih vrhova sa segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, poznavajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo kojeg oblika.

Među svim mogućim trokutima koji se nalaze u životu, mogu se razlikovati sljedeće posebne vrste: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih uglova ravan, odnosno u slučaju pravokutnog trokuta. Lako je vidjeti da je to pola pravougaonika. Stoga je njegova površina jednaka polovini umnoška stranica koje tvore pravi ugao jedna s drugom.

Ako znamo visinu trokuta, spuštenog iz jednog njegovog vrha na suprotnu stranu, i dužinu ove stranice, koja se zove baza, tada se površina računa kao polovina umnožaka visine i osnovice. Ovo se piše pomoću sljedeće formule:

S = 1/2 * b * h, u kojem

S je potrebna površina trokuta;

b, h - visina i osnova trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokračnog trokuta, jer će visina prepoloviti suprotnu stranu i lako se može izmjeriti. Ako je površina određena, onda je za visinu zgodno uzeti dužinu jedne od stranica koje tvore pravi ugao.

Sve je ovo naravno dobro, ali kako odrediti da li je jedan od uglova trougla pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, onda možete koristiti građevinski kutak, trokut za crtanje, razglednicu ili drugi predmet pravokutnog oblika.

Ali šta ako imamo trouglasto zemljište? U tom slučaju postupite na sljedeći način: izmjerite od vrha pretpostavljenog pravog ugla na jednoj strani rastojanje višestruko od 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a na drugoj strani izmjerite u istoj proporciji udaljenost višestruku od 4 (40 cm, 160 cm, 4 m). Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih tačaka ove dvije linije. Ako je vrijednost višestruka od 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), onda se može tvrditi da je ugao ravan.

Ako je poznata vrijednost dužine svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Da bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluperimetar. Ovo je zbir svih stranica našeg trougla, prepolovljeno. Nakon što se izračuna poluperimetar, možete početi određivati ​​površinu pomoću formule:

S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)), gdje je

sqrt - kvadratni korijen;

p je vrijednost poluperimetra (p = (a + b + c) / 2);

a, b, c - ivice (stranice) trougla.

Ali šta ako je trougao nepravilan? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi je pokušati podijeliti takvu figuru na dva pravokutna trougla, čiji se zbroj površina posebno izračunava, a zatim dodaje. Ili, ako znate ugao između dvije strane i veličinu ovih stranica, onda primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a, b - stranice trougla;

c - vrijednost ugla između ovih stranica.

Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak je sve moguće u životu, pa gornja formula neće biti suvišna. Sretno sa vašim proračunima!

Trokut je najjednostavniji geometrijski oblik koji ima tri strane i tri vrha. Zbog svoje jednostavnosti, trokut se od davnina koristio za obavljanje raznih mjerenja, a danas figura može biti korisna za rješavanje praktičnih i svakodnevnih problema.

Karakteristike trougla

Brojka se koristi za proračune od davnina, na primjer, geodeti i astronomi rade na svojstvima trouglova kako bi izračunali površine i udaljenosti. Lako je izraziti površinu bilo kojeg n-ugla kroz površinu ove figure, a ovo svojstvo koristili su drevni znanstvenici za izvođenje formula za površine poligona. Konstantan rad sa trouglovima, posebno sa pravouglim trouglom, postao je osnova za čitavu granu matematike - trigonometriju.

Geometrija trougla

Svojstva geometrijske figure proučavana su od davnina: najranije informacije o trokutu pronađene su u egipatskim papirusima prije 4000 godina. Zatim je lik proučavan u staroj Grčkoj, a najveći doprinos geometriji trougla dali su Euklid, Pitagora i Heron. Proučavanje trougla nikada nije prestalo, a u 18. veku Leonard Ojler je uveo koncept ortocentra figure i Ojlerovog kruga. Na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće, kada se činilo da se o trouglu zna apsolutno sve, Frank Morley je formulirao teoremu o trisektricima ugla, a Vaclav Sierpinski je predložio fraktalni trokut.

Postoji nekoliko vrsta ravnih trokuta koje su nam poznate iz školskog predmeta geometrije:

• oštrougaoni - svi uglovi figure su oštri;
• tup - oblik ima jedan tupi ugao (više od 90 stepeni);
• pravougaoni - figura sadrži jedan pravi ugao jednak 90 stepeni;
• jednakokračan - trokut sa dvije jednake stranice;
• jednakostraničan - trokut sa svim jednakim stranama.
• U stvarnom životu postoje sve vrste trokuta, a u nekim slučajevima možda ćemo morati izračunati površinu geometrijske figure.

Površina trougla

Područje je procjena koliki je dio ravni koji oblik ograničava. Područje trokuta može se pronaći na šest načina, operišući sa stranicama, visinom, uglovima, upisanim ili opisanim radijusom u krug, kao i korištenjem Heronove formule ili izračunavanjem dvostrukog integrala duž linija koje ograničavaju ravan. Najjednostavnija formula za izračunavanje površine trokuta izgleda ovako:

gdje je a stranica trougla, h njegova visina.

Međutim, u praksi nam nije uvijek zgodno pronaći visinu geometrijske figure. Algoritam našeg kalkulatora vam omogućava da izračunate površinu, znajući:

• tri strane;
• dvije strane i ugao između njih;
• jedna strana i dva ugla.

Da bismo odredili površinu preko tri strane, koristimo Heronovu formulu:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdje je p poluperimetar trougla.

Izračun površine s obje strane i ugla vrši se prema klasičnoj formuli:

S = a × b × sin (alfa),

gdje je alfa ugao između stranica a i b.

Da bismo odredili površinu kroz jednu stranu i dva ugla, koristimo omjer koji:

a / sin (alfa) = b / sin (beta) = c / sin (gama)

Koristeći jednostavnu proporciju, odredimo dužinu druge strane, a zatim izračunamo površinu koristeći formulu S = a × b × sin (alfa). Ovaj algoritam je potpuno automatizovan i potrebno je samo da unesete navedene varijable i dobijete rezultat. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz života

Ploče za popločavanje

Recimo da želite popločati pod trokutastim pločicama, a da biste odredili količinu potrebnog materijala, morate znati površinu jedne pločice i površinu poda. Pretpostavimo da trebate obraditi 6 kvadratnih metara površine pomoću pločica, čije su dimenzije a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Očigledno, za izračunavanje površine trokuta, kalkulator koristi Heronovu formulu i dat će rezultat:

Dakle, površina jednog elementa pločice je 0,021 kvadratni metar, a za poboljšanje poda vam je potrebno 6 / 0,021 = 285 trokuta. Brojevi 20, 21 i 29 čine pitagorinu trojku - brojeve koji zadovoljavaju. I s pravom, naš kalkulator je izračunao i sve uglove trougla, a gama ugao je tačno 90 stepeni.

Školski zadatak

U školskom zadatku potrebno je pronaći površinu trokuta, znajući da je stranica a = 5 cm, a alfa i beta uglovi rane 30, odnosno 50 stepeni. Da bismo ručno riješili ovaj problem, prvo bismo pronašli vrijednost stranice b koristeći proporciju omjera stranica i sinusa suprotnih uglova, a zatim bismo odredili površinu pomoću jednostavne formule S = a × b × sin (alfa) . Uštedimo vreme, unesite podatke u formu kalkulatora i dobijte trenutni odgovor.

Kada koristite kalkulator, važno je pravilno odrediti kutove i stranice, inače će rezultat biti netačan.

Zaključak

Trokut je jedinstvena figura koja se može naći iu stvarnom životu i u apstraktnim proračunima. Koristite naš online kalkulator da pronađete površinu svih vrsta trokuta.

Trougao je svima dobro poznata figura. I to, uprkos bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravougaona, jednakostranična, oštrougla, jednakokraka, tupougla. Svaki od njih je na neki način drugačiji. Ali za svakoga, morate znati površinu trokuta.

Formule zajedničke za sve trouglove u kojima se koriste dužine stranica ili visina

U njima usvojene oznake: strane - a, b, c; visine na odgovarajućim stranicama n a, n v, n s.

1. Površina trokuta se izračunava kao umnožak ½, stranice i visine spuštene na njega. S = ½ * a * n a. Slično, trebali biste napisati formule za druge dvije strane.

2. Heronova formula, u kojoj se pojavljuje poluperimetar (uobičajeno je označavati ga malim slovom p, za razliku od punog perimetra). Poluperimetar se mora izračunati na sljedeći način: saberite sve stranice i podijelite ih sa 2. Formula za poluperimetar: p = (a + b + c) / 2. Zatim jednakost za površinu Slika izgleda ovako: S = √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ako ne želite da koristite poluperimetar, onda će vam dobro doći takva formula u kojoj su prisutne samo dužine stranica: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). Nešto je duži od prethodnog, ali će vam pomoći ako ste zaboravili pronaći poluperimetar.

Opće formule u kojima se pojavljuju uglovi trokuta

Oznake koje su potrebne za čitanje formula: α, β, γ - uglovi. Leže na suprotnim stranama a, b, c, redom.

1. Prema njemu, polovina proizvoda dviju stranica i sinusa ugla između njih jednaka je površini trokuta. To jest: S = ½ a * b * sin γ. Slično, trebali biste napisati formule za druga dva slučaja.

2. Površina trougla može se izračunati iz jedne strane i tri poznata ugla. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Postoji i formula s jednom poznatom stranom i dva susjedna ugla. To izgleda ovako: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Posljednje dvije formule nisu najlakše. Prilično ih je teško zapamtiti.

Opće formule za situaciju kada su poznati polumjeri upisanih ili opisanih kružnica

Dodatne oznake: r, R - radijusi. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisani.

1. Prva formula po kojoj se izračunava površina trokuta povezana je sa poluperimetrom. S = p * r. Na drugi način, može se napisati na sljedeći način: S = ½ r * (a + b + c).

2. U drugom slučaju, morat ćete pomnožiti sve strane trougla i podijeliti ih četverostrukim polumjerom opisane kružnice. Doslovno, to izgleda ovako: S = (a * b * c) / (4R).

3. Treća situacija omogućava bez poznavanja stranica, ali su potrebne vrijednosti sva tri ugla. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseban slučaj: pravokutni trokut

Ovo je najjednostavnija situacija, jer je potrebno samo poznavanje dužine obje noge. Označeni su latiničnim slovima a i b. Površina pravougaonog trokuta jednaka je polovini površine pravougaonika dovršenog na njega.

Matematički, to izgleda ovako: S = ½ a * b. Nju je najlakše pamtiti. Budući da izgleda kao formula za površinu pravokutnika, samo još uvijek postoji razlomak koji označava polovicu.

Poseban slučaj: jednakokraki trokut

Budući da su njegove dvije strane jednake, neke formule za njegovu površinu izgledaju donekle pojednostavljene. Na primjer, Heronova formula, koja se koristi za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta, ima sljedeći oblik:

S = ½ v √ ((a + ½ v) * (a - ½ v)).

Ako ga transformišete, onda će postati kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokraki trokut je napisana na sljedeći način:

S = ¼ u √ (4 * a 2 - b 2).

Formula površine izgleda nešto jednostavnije nego za proizvoljan trokut ako su poznate stranice i ugao između njih. S = ½ a 2 * sin β.

Poseban slučaj: jednakostranični trokut

Obično se zna neka strana o njemu u problemima, ili se to nekako može saznati. Tada je formula po kojoj se nalazi površina takvog trokuta sljedeća:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemi s pronalaženjem površine, ako je trokut prikazan na kariranom papiru

Najjednostavnija situacija je kada je pravougaoni trokut nacrtan tako da mu se kraci poklapaju s linijama papira. Zatim samo trebate izbrojati broj ćelija koje staju u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite sa dva.

Kada je trougao oštrougao ili tupougao, mora se nacrtati u pravougaonik. Tada će rezultirajuća figura imati 3 trokuta. Jedan je onaj koji je dat u zadatku. A druga dva su pomoćna i pravougaona. Odredite površine posljednja dva gore opisanom metodom. Zatim izračunajte površinu pravokutnika i oduzmite od njega one izračunate za pomoćne. Određena je površina trokuta.

Mnogo je složenija situacija u kojoj se nijedna stranica trokuta ne poklapa sa linijama papira. Zatim ga treba upisati u pravougaonik tako da vrhovi originalnog oblika leže na njegovim stranama. U ovom slučaju, bit će tri pomoćna pravokutna trougla.

Primjer problema za Heronovu formulu

Stanje. Neki trougao ima poznate stranice. One su jednake 3, 5 i 6 cm, potrebno je znati njegovu površinu.

Sada možete izračunati površinu trokuta koristeći gornju formulu. Pod kvadratnim korijenom nalazi se proizvod četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To jest, površina je √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ako nije potrebna veća preciznost, onda je kvadratni korijen od 14. To je jednako 3,74. Tada će površina biti jednaka 7,48.

Odgovori. S = 2 √14 cm 2 ili 7,48 cm 2.

Primjer zadatka sa pravokutnim trouglom

Stanje. Jedna noga pravokutnog trokuta je 31 cm veća od druge. Potrebno je znati njihove dužine ako je površina trokuta 180 cm 2.
Rješenje. Moraćemo da rešimo sistem od dve jednačine. Prvi se odnosi na područje. Drugi - sa omjerom nogu, koji je dat u zadatku.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Prvo, vrijednost "a" mora biti zamijenjena u prvu jednačinu. Ispada: 180 = ½ (in + 31) * in. Ima samo jednu nepoznatu veličinu, pa je lako rešiti. Nakon proširenja zagrada dobija se kvadratna jednadžba: na 2 + 31 na - 360 = 0. Daje dvije vrijednosti za "at": 9 i - 40. Drugi broj nije prikladan kao odgovor, jer je dužina stranica trougla ne može biti negativna.

Ostaje izračunati drugu nogu: rezultirajućem broju dodajte 31. Ispada 40. Ovo su tražene vrijednosti u zadatku.

Odgovori. Krate trougla su 9 i 40 cm.

Problem nalaženja stranice kroz površinu, stranicu i ugao trougla

Stanje. Površina nekog trougla je 60 cm 2. Potrebno je izračunati jednu od njegovih stranica ako je druga strana 15 cm, a ugao između njih 30º.

Rješenje. Na osnovu prihvaćenih oznaka, željena strana "a", poznata "b", dati ugao "γ". Tada se formula površine može prepisati na sljedeći način:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stepeni 0,5.

Nakon transformacije, "a" se ispostavi da je jednako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovori. Željena strana je 16 cm.

Problem kvadrata upisanog u pravokutni trokut

Stanje. Vrh kvadrata od 24 cm poklapa se sa pravim uglom trokuta. Druga dvojica leže na nogama. Treći pripada hipotenuzi. Dužina jedne od kateta je 42 cm. Kolika je površina pravouglog trougla?

Rješenje. Razmotrimo dva pravougla trougla. Prvi je naveden u zadatku. Drugi je baziran na dobro poznatoj kraci originalnog trougla. Oni su slični jer imaju zajednički ugao i formirani su od paralelnih pravih linija.

Tada je odnos njihovih nogu jednak. Kateti manjeg trougla su 24 cm (strana kvadrata) i 18 cm (data kateta je 42 cm, oduzmite stranicu kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge velikog trokuta su 42 cm i x cm. To je "x" koji je potreban da bi se izračunala površina trokuta.

18/42 = 24 / x, odnosno x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Tada je površina jednaka proizvodu 56 i 42 podijeljenom sa dva, odnosno 1176 cm 2.

Odgovori. Potrebna površina je 1176 cm 2.

Iz suprotnog vrha) i podijelite rezultirajući proizvod sa dva. U formi ovo izgleda ovako:

S = ½ * a * h,

gdje:
S je površina trokuta,
a je dužina njegove stranice,
h - visina spuštena na ovu stranu.

Dužina i visina strane moraju biti prikazani u istoj jedinici. U ovom slučaju, površina trokuta će se dobiti u odgovarajućim "" jedinicama.

Primjer.
Na jednoj strani višenamjenskog trokuta dužine 20 cm, spuštena je okomica sa suprotnog vrha dužine 10 cm.
Površina trokuta je potrebna.
Rješenje.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ako znate dužine bilo koje dvije stranice svestranog trokuta i ugao između njih, upotrijebite formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdje su: a, b dužine dvije proizvoljne strane, a γ ugao između njih.

U praksi, na primjer, prilikom mjerenja zemljišnih parcela, korištenje gore navedenih formula ponekad je teško, jer zahtijeva dodatne konstrukcije i mjerenja uglova.

Ako znate dužine sve tri strane svestranog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)),

a, b, c - dužine stranica trokuta,
p - poluperimetar: p = (a + b + c) / 2.

Ako je, pored dužina svih stranica, poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, onda koristite sljedeću kompaktnu formulu:

gdje je: r - poluprečnik upisane kružnice (p - poluperimetar).

Da biste izračunali površinu svestranog trokuta opisanog kruga i dužinu njegovih stranica, koristite formulu:

gdje je: R polumjer opisane kružnice.

Ako znate dužinu jedne od stranica trokuta i tri ugla (u principu, dva su dovoljna - vrijednost treće se izračunava iz jednakosti zbira tri ugla trokuta - 180º), tada koristite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

gdje je α vrijednost ugla suprotnog strani a;
β, γ su vrijednosti druga dva ugla trougla.

Potreba za pronalaženjem različitih elemenata, uključujući područje trougao, pojavio se mnogo vekova pre naše ere među astronomima antičke Grčke. Square trougao može se izračunati na različite načine koristeći različite formule. Metoda proračuna zavisi od toga koji elementi trougao su poznati.

Instrukcije

Ako iz uslova znamo vrijednosti dviju stranica b, c i ugla koji oni formiraju?, tada je površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = (bcsin?) / 2.

Ako iz uslova znamo vrijednosti dviju stranica a, b i ugla koji oni ne formiraju?, tada je površina trougao ABC se nalazi na sljedeći način:
Pronađite ugao ?, grijeh? = bsin? / a, tada prema tabeli određujemo sam ugao.
Pronađite ugao ?,? = 180 ° -? - ?.
Nalazimo samu površinu S = (apsin?) / 2.

Ako iz uslova znamo vrijednosti samo tri strane trougao a, b i c, zatim površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)), gdje je p poluperimetar p = (a + b + c) / 2

Ako iz uslova zadatka znamo visinu trougao h i stranu na koju se ta visina spušta, zatim površinu trougao ABC po formuli:
S = ah (a) / 2 = bh (b) / 2 = ch (c) / 2.

Ako znamo vrijednosti strana trougao a, b, c i radijus opisan oko datog trougao R, zatim područje ovoga trougao ABC se određuje formulom:
S = abc / 4R.
Ako su poznate tri strane a, b, c i poluprečnik upisanog u, tada je površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = pr, gdje je p poluperimetar, p = (a + b + c) / 2.

Ako je ABC jednakostranična, tada se površina nalazi po formuli:
S = (a ^ 2v3) / 4.
Ako je trokut ABC jednakokraki, tada se površina određuje formulom:
S = (cv (4a ^ 2-c ^ 2)) / 4, gdje je c - trougao.
Ako je trokut ABC pravougaonog oblika, tada se površina određuje po formuli:
S = ab / 2, gdje su a i b noge trougao.
Ako je trokut ABC pravokutni jednakokrak, tada je površina određena formulom:
S = c ^ 2/4 = a ^ 2/2, gdje je c hipotenuza trougao, a = b - noga.

Povezani video zapisi

Izvori:

• kako izmjeriti površinu trougla

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta ako znate ugao

Poznavanje samo jednog parametra (vrijednosti ugla) nije dovoljno za pronalaženje područja tre kvadrat ... Ako postoje dodatne dimenzije, onda se može izabrati jedna od formula za određivanje površine, u kojoj se vrijednost ugla također koristi kao jedna od poznatih varijabli. Neke od najčešće korištenih formula su navedene u nastavku.

Instrukcije

Ako, pored vrijednosti ugla (γ) formiranog od dvije strane tre kvadrat , tada su poznate i dužine ovih stranica (A i B). kvadrat(S) lik se može definirati kao polovina proizvoda dužina stranica i sinusa ovog poznatog ugla: S = ½ × A × B × sin (γ).

Za određivanje površine trokuta mogu se koristiti različite formule. Od svih metoda, najlakša i najčešće korištena je pomnožiti visinu s dužinom baze, a zatim podijeliti rezultat s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta koristeći različite formule.

Zasebno ćemo razmotriti metode za izračunavanje površine određenih vrsta trokuta - pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njenu suštinu.

Univerzalni načini za pronalaženje površine trokuta

Sljedeće formule koriste posebne konvencije. Dešifrovaćemo svaki od njih:

• a, b, c - dužine tri strane figure koju razmatramo;
• r je polumjer kružnice koja se može upisati u naš trokut;
• R je poluprečnik kruga koji se može opisati oko njega;
• α - vrijednost ugla formiranog od strane b i c;
• β je ugao između a i c;
• γ - vrijednost ugla formiranog od strane a i b;
• h - visina našeg trougla, spuštena od ugla α na stranu a;
• p - polovina zbira stranica a, b i c.

Logično je zašto je na ovaj način moguće pronaći površinu trokuta. Trokut se lako može završiti do paralelograma, u kojem će jedna strana trokuta djelovati kao dijagonala. Površina paralelograma se nalazi množenjem dužine jedne od njegovih stranica sa vrijednošću visine koja mu se povlači. Dijagonala dijeli ovaj konvencionalni paralelogram na 2 identična trokuta. Stoga je sasvim očito da bi površina našeg originalnog trokuta trebala biti jednaka polovini površine ovog pomoćnog paralelograma.

S = ½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta se nalazi množenjem dužina njegovih dviju stranica, odnosno a i b, sa sinusom ugla koji oni formiraju. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Ako spustimo visinu iz ugla β na stranicu b, tada, prema svojstvima pravouglog trougla, kada pomnožimo dužinu stranice a sa sinusom ugla γ, dobijamo visinu trougla, tj. h.

Područje dotične figure nalazi se množenjem polovine polumjera kruga, koji se može u nju upisati, njegovim perimetrom. Drugim riječima, nalazimo proizvod poluperimetra i poluprečnika spomenute kružnice.

S = a b s / 4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se naći dijeljenjem proizvoda stranica figure sa 4 polumjera kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne, jer omogućavaju određivanje površine bilo kojeg trokuta (svestranog, jednakokračnog, jednakostranog, pravokutnog). To se može učiniti uz pomoć složenijih proračuna, na kojima se nećemo detaljno zadržavati.

Površine trouglova sa specifičnim svojstvima

Kako mogu pronaći površinu pravokutnog trokuta? Posebnost ove figure je da su njene dvije strane istovremeno njene visine. Ako su a i b noge, a c postane hipotenuza, tada se površina nalazi na sljedeći način:

Kako se nalazi površina jednakokračnog trougla? Ima dvije strane dužine a i jednu stranu dužine b. Stoga se njegova površina može odrediti dijeljenjem sa 2 proizvoda kvadrata stranice a sa sinusom ugla γ.

Kako se nalazi površina jednakostraničnog trougla? U njemu je dužina svih stranica jednaka a, a veličina svih uglova je α. Njegova visina jednaka je polovini umnoška dužine stranice a sa kvadratnim korijenom od 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, trebate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom od 3 i podijeliti sa 4.