Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, formirana je tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. pojavio. Prvi u polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli derivaciju bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo treba koristiti tablica izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz ispod znaka poteza rastaviti jednostavne funkcije i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Nadalje, derivacije elementarnih funkcija nalaze se u tabeli derivacija, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika nalaze se u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo izvod koji zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume, u kojoj se drugi član sa konstantnim faktorom može uzeti izvan predznaka izvoda:

Ako i dalje postoje pitanja odakle šta dolazi, ona po pravilu postaju jasnija nakon upoznavanja s tablicom derivacija i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Idemo do njih upravo sada.

Derivacijska tablica jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200 ...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno.
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena.
3. Derivatni stepen. Kada rješavate probleme, morate transformirati nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosinusa
8. Derivat tangente
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arkosinusa
12. Derivat arktangensa
13. Derivat arc kotangensa
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat djela
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

diferencibilne u nekom trenutku, zatim u istoj tački funkcije

štaviše

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati ​​jednaki, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

diferencibilan u nekom trenutku, tada je u istoj tački i njihov proizvod diferencibilan

štaviše

one. derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbiru proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge.

Zaključak 1. Konstantni faktor se može pomjeriti izvan predznaka derivacije:

Zaključak 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svakog od faktora sa svim ostalim.

Na primjer, za tri faktora:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku i , onda je u ovom trenutku diferencibilan i njihov količniku / v, i

one. izvod količnika dviju funkcija jednak je razlomku čiji je brojilac razlika između umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika derivacijom nazivnika, a nazivnik je kvadrat od prethodni brojilac.

Gdje šta tražiti na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa je u članku više primjera ovih izvodnica."Derivat djela i određene funkcije".

Komentar. Nemojte miješati konstantu (tj. broj) kao sabir i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegova derivacija je jednaka nuli, a u slučaju konstantnog faktora vađena je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali nakon rješavanja nekoliko jednokomponentnih ili dvokomponentnih primjera prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete djelo ili pojedinu, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je analiziran u primjeru 10).

Druga česta greška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti tutorijale u novim prozorima Akcije sa moćima i korijenima i Radnje sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao , zatim slijedi lekcija Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima.

Ako imate zadatak kao , zatim vašu lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:

Zatim primjenjujemo pravilo za diferenciranje sume: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se za nas pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće vrijednosti derivata:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za razlikovanje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo da je proizvod koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. onda dobrodosli na cas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda tvoja lekcija "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiji smo izvod upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabelarnoj vrijednosti izvoda kvadratnog korijena dobijamo:

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojiocu, pomnožite brojilac i imenilac sa.

Pitanja za ispit iz akademske discipline "Elementi više matematike"

za specijalnost 230115 "Programiranje u računarskim sistemima"

2012 \ 2013 akademska godina.

Matrice i akcije na njima.

(O. Nulta matrica je matrica sa svim elementima jednakim 0.

O. Pozivaju se dvije matrice iste dimenzije mxn jednaka ako je na presjeku i-tog reda i j-te kolone u jednoj i drugoj matrici isti broj; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Neka bude A= (a ij) je neka matrica i g je proizvoljan broj, tada je g A= (g a ij), odnosno kada se matrica A množi brojem g, svi brojevi koji čine matricu A pomnože se brojem g.

Neka su A i B matrice iste dimenzije A = (a ij), B = (b ij), tada je njihov zbir A + B matrica C = (c ij) iste dimenzije, određena iz formule c ij = a ij + b ij, odnosno kada se saberu dvije matrice, brojevi koji se u njima nalaze identično se sabiraju u parovima.

Matrica A se može pomnožiti sa matricom B, odnosno pronaći matricu C = AB ako je broj stupaca n matrice A jednak broju redova matrice B, dok će matrica C imati onoliko redova koliko ima redova u matrica A i onoliko kolona koliko kolona u matrici B. Svaki element matrice C je definiran formulom.

Element c ij matrice proizvoda C jednak je zbiru proizvoda elemenata i-reda prvog matrice-faktora na odgovarajuće elemente j-te kolone drugog matrice-faktora.

Pojam determinante i njena svojstva.

Ovaj izraz ima druga značenja, vidi. determinanta (vrijednosti) .

Odrednica(ili odrednica) je jedan od osnovnih pojmova linearna algebra... Odrednica matrice je polinom iz elemenata kvadratne matrice (odnosno one u kojoj je broj redova i kolona jednak). Uglavnom matrica može se definirati preko bilo kojeg komutativnog prsten, u ovom slučaju će determinanta biti element istog prstena.

SVOJSTVO 1. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se svi njeni redovi zamijene kolonama, a svaki red zameni kolonom sa istim brojem, tj.

SVOJSTVO 2. Permutacija dva stupca ili dva reda determinante je ekvivalentna množenju sa -1.

SVOJSTVO 3. Ako determinanta ima dva identična stupca ili dva identična reda, onda je jednaka nuli.

SVOJSTVO 4. Množenje svih elemenata jedne kolone ili jednog reda determinante bilo kojim brojem k je ekvivalentno množenju determinante ovim brojem k.

SVOJSTVO 5. Ako su svi elementi neke kolone ili nekog reda jednaki nuli, onda je i sama determinanta jednaka nuli. Ovo svojstvo je poseban slučaj prethodnog (za k = 0).

SVOJSTVO 6. Ako su odgovarajući elementi dva stupca ili dva reda determinante proporcionalni, onda je determinanta nula.

SVOJSTVO 7. Ako je svaki element n-te kolone ili n-tog reda determinante zbir dva člana, tada se determinanta može predstaviti kao zbir dvije determinante, od kojih jedna u n-tom stupcu ili , odnosno, u n-tom redu ima prvi od navedenih pojmova, a drugi - drugi; elementi na preostalim mjestima su isti za prekretnice tri determinante.

SVOJSTVO 8. Ako elementima neke kolone (ili nekog reda) dodamo odgovarajuće elemente druge kolone (ili drugog reda), pomnožene bilo kojim zajedničkim faktorom, tada se vrijednost determinante neće promijeniti. Na primjer. Dalja svojstva determinanti vezana su za koncept algebarskog komplementa i minora. Minor određenog elementa je determinanta dobijena iz datog brisanjem reda i kolone na čijem se preseku nalazi ovaj element.

Algebarski komplement bilo kojeg elementa determinante jednak je minoru ovog elementa, uzetom sa svojim predznakom, ako je zbroj brojeva reda i stupca na čijem se presjeku element nalazi paran broj, i sa suprotnim predznakom ako je ovaj broj neparan.

Algebarsku dopunu elementa označit ćemo velikim slovom istog imena i istog broja kao i slovo koje označava sam element.

SVOJSTVO 9. Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata bilo koje kolone (ili reda) njihovim algebarskim komplementama. Drugim riječima, vrijede sljedeće jednakosti:

Izračunavanje determinanti.

Izračunavanje determinanti zasniva se na njihovim poznatim svojstvima, koja se odnose na determinante svih redova. Ova svojstva su:

1. Ako preuredite dva reda (ili dvije kolone) determinante, tada će determinanta promijeniti predznak.

2. Ako su odgovarajući elementi dva stupca (ili dva reda) determinante jednaki ili proporcionalni, onda je determinanta nula.

3. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako zamijenite redove i kolone, zadržavajući njihov redoslijed.

4. Ako svi elementi bilo kog reda (ili kolone) imaju zajednički faktor, onda se on može izvaditi iz predznaka determinante.

5. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (ili kolone), pomnoženi istim brojem, dodaju elementima jednog reda (ili kolone). Za determinante trećeg reda ovo svojstvo se može napisati, na primjer, na sljedeći način:

6. Determinanta drugog reda se izračunava po formuli

7. Determinanta trećeg reda se izračunava po formuli

Postoji zgodna šema za izračunavanje determinante trećeg reda (vidi slike 1 i 2).

Prema šemi prikazanoj na sl. 1, proizvodi spojenih elemenata uzeti su sa svojim predznakom, a prema dijagramu na sl. 2 - sa suprotnim. Vrijednost determinante jednaka je algebarskom zbiru šest dobijenih proizvoda.

Sistemi linearnih jednačina. Osnovni pojmovi i definicije.

Sistemgospodin linearne algebarske jednadžbe san nepoznato(ili, linearni sistem, također korišten skraćenica SPORO) v linearna algebra je sistem jednačina oblika

Sistem linearnih jednačina u tri varijable definira skup avioni... Tačka presjeka je rješenje.

Ovdje je broj jednačina, a broj nepoznanica. x 1 , x 2 , …, x n- nepoznanice za utvrđivanje. a 11 , a 12 , …, a mn- sistemski koeficijenti - i b 1 , b 2 , … b m- slobodni članovi - pretpostavlja se da su poznati ... Indeksi kvota ( a ij) sistema označavaju brojeve jednačine ( i) i nepoznato ( j), na kojoj ovaj koeficijent stoji, respektivno .

Sistem (1) se poziva homogena ako su svi slobodni članovi jednaki nuli ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), inače - heterogena.

Sistem (1) se poziva kvadrat ako je broj m jednačina je jednak broju n nepoznate.

Rješenje sistem (1) - set n brojevi c 1 , c 2 , …, c n tako da je zamjena svakog c i umjesto x i u sistem (1) pretvara sve svoje jednačine u identiteta.

Sistem (1) se poziva joint ako ima barem jedno rješenje, i nedosledno ako ona nema rješenja.

Zajednički sistem oblika (1) može imati jedno ili više rješenja.

Rješenja c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) i c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) naziva se konzistentan sistem oblika (1). razne ako je barem jedna od jednakosti povrijeđena:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Zajednički sistem oblika (1) se zove određeni ako ima jedinstveno rješenje; ako ima najmanje dva različita rješenja, onda se zove nedefinisano... Ako ima više jednačina nego nepoznanica, zove se redefinisano .

Metode rješavanja sistema linearnih jednačina (Cramer i Gaussova metoda).

Gaussova metoda - klasična metoda rješenja sistemi linearnih algebarskih jednačina(SPORO). Ovo je sekvencijalna metoda izuzetaka varijable, kada se pomoću elementarnih transformacija sistem jednačina svodi na ekvivalentni sistem trouglastog oblika, iz kojeg se, uzastopno, počevši od posljednjih (po broju) varijabli, nalaze sve ostale varijable .

Cramerova metoda (Cramerovo pravilo)- način rješavanja kvadrata sistemi linearnih algebarskih jednačina sa različitom od nule odrednica glavna matrica(štaviše, za takve jednačine rješenje postoji i jedinstveno je). Imenovan po imenu Gabriel Kramer(1704-1752), koji je izumio metodu.

Vektori. Linearne operacije na njima.

Vektor je usmjereni segment. Ako je početak vektora u tački A, a kraj u tački B, tada se vektor označava AB. Ako početak i kraj vektora nisu naznačeni, onda se označava malim slovom latinice a, b, c,…. Kroz BA označimo vektor usmjeren suprotno od vektora AB. Vektor čiji se početak i kraj podudaraju naziva se nula i označava se sa ō. Njegov smjer je neizvjestan.

Dužina ili modul vektora je udaljenost između njegovog početka i kraja. Unosi | AB | i | a | označavamo module vektora AB i a.

Vektori se nazivaju kolinearni ako su paralelni jednoj pravoj liniji, a komplanarni ako su paralelni sa istom ravninom.

Za dva vektora se kaže da su jednaka ako su kolinearni, u istom smjeru i jednake dužine.

Linearne operacije na vektorima uključuju:

1) množenje vektora brojem (Proizvod vektora a i broja α je vektor označen sa α ∙ a. (Ili obrnuto a ∙ α), čiji je modul | α a | = | α || a |, a smjer se poklapa sa smjerom vektora a ako je α> 0, a suprotno od njega ako je α< 0.

2) zbrajanje vektora (Zbir vektora je vektor, označen sa početkom na početku prvog vektora a 1, a kraj - na kraju poslednjeg vektora an, izlomljena linija sačinjena od niz vektorskih članova. Ovo pravilo sabiranja naziva se pravilo zatvaranja izlomljene linije. Zbir dva vektora, ekvivalentno je pravilu paralelograma)

Prava linija e sa smjerom datim na njoj, uzeta kao pozitivna, naziva se e-osa.

Linearna kombinacija vektora a i je vektor a određen formulom, gdje su neki brojevi.

Ako je za sistem od n vektora a i jednakost

je tačno samo ako se ovaj sistem naziva linearno nezavisnim. Ako jednakost (1) vrijedi za barem jednu od kojih je različita od nule, tada se sistem vektora aí naziva linearno zavisnim. Na primjer, bilo koji kolinearni vektori, tri koplanarna vektora, četiri ili više vektora u trodimenzionalnom prostoru uvijek su linearno zavisni.

Tri uređena linearno nezavisna vektora ē 1, ē 2, ē 3 u prostoru nazivaju se baza. Uređeni triplet nekoplanarnih vektora uvijek čini osnovu. Bilo koji vektor a u prostoru može se proširiti u bazi ē 1, ē 2, ē 3, tj. a se može predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora: a = xē 1 + yē 2 + zē 3, gdje je x, y, z su koordinatni vektor a u bazi ē 1, ē 2, ē 3. Baza se naziva ortonormalna ako su njeni vektori međusobno okomiti i imaju jediničnu dužinu. Takva osnova se označava sa i, j, k, tj. i = (1,0,0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

Primjer 5. Vektori su specificirani u ortonormalnoj bazi i, j, k koordinatama: a = (2; -1; 8), e 1 = (1,2,3), e 2 = (1, -1, - 2), e 3 = (1, -6,0). Uvjerite se da trojka e 1, e 2, e 3 čini osnovu i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Rješenje. Ako je determinanta , sastavljena od koordinata vektora e 1, e 2, e 3, nije jednaka 0, tada su vektori e 1, e 2, e 3 linearno nezavisni i stoga čine bazu. Uvjeravamo se da je = -18-4 + 3-12 = -31 Dakle, trojka e 1, e 2, e 3 je baza.

Označimo koordinate vektora a u bazi e 1, e 2, e 3 sa x, y, z. Tada je a = (x, y, z) = he 1 + ye 2 + ze 3. Pošto je po uslovu a = 2i - j + 8k, e 1 = i + 2j + 3k, e 2 = i - j -2k, e 3 = i - 6j, onda iz jednakosti a = xe1 + ye 2 + ze 3 slijedi tako da je 2i - j + 8k = xi + 2xj + 3xk + yi - yj -2yk + zi -6zj = (x + y + z) i + (2x-y-6z) j + (3x-2y) k .. Kao što vidite, vektor na lijevoj strani rezultirajuće jednakosti jednak je vektoru na desnoj strani, a to je moguće samo ako su im odgovarajuće koordinate jednake. Dakle, dobijamo sistem za pronalaženje nepoznatih x, y, z:

Njegovo rješenje: x = 2, y = -1, z = 1. Dakle, a = 2e 1 - e 2 + e 3 = (2, -1,1).

Dekompozicija vektora. Tačkasti proizvod vektora.

Skalarni proizvod ponekad unutrašnji rad- operacija na dvoje vektori, čiji je rezultat broj ( skalar), koji ne zavisi od koordinatnog sistema i karakteriše dužine vektora faktora i ugao između njih. Ova operacija odgovara množenju dužina vektor x uključen projekcija vektor y po vektor x. Ova operacija se obično posmatra kao komutativno i linearno za svaki faktor.

Obično se koristi jedna od sljedećih konvencija:

ili ( oznaka Diracčesto se koristi u kvantna mehanika za vektore stanja):

Obično se pretpostavlja da je tačkasti proizvod pozitivno određen, tj

Za sve .

Ako se to ne pretpostavlja, onda se rad poziva neodređeno.

Dot product v vektorski prostor iznad polje kompleks(ili materijal) brojevi naziva se funkcija za elemente koja uzima vrijednosti u (ili), definirana za svaki par elemenata i koja zadovoljava sljedeće uvjete:

Imajte na umu da iz tačke 2 definicije proizilazi da. Dakle, stavka 3 ima smisla, uprkos složenim (u opštem slučaju) vrijednostima tačkasti proizvod.

Vektorski proizvod vektora.

Vektorski proizvod- ovo je pseudovektor, okomito ravan konstruisana od dva faktora, što je rezultat binarna operacija"Vektorsko množenje" završeno vektori u trodimenzionalnom Euklidski prostor... Posao nije ni jedno ni drugo komutativno niti asocijativni(TO JE antikomutativno) i razlikuje se od tačkasti proizvod vektora... U mnogim inženjerskim i fizičkim problemima, potrebno je biti u stanju konstruisati vektor okomit na dva postojeća - unakrsni proizvod pruža ovu mogućnost. Unakrsni proizvod je koristan za “mjerenje” okomitosti vektora - dužina unakrsnog proizvoda dva vektora jednaka je proizvodu njihovih dužina ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Unakrsni proizvod se može definirati na različite načine, teoretski, u prostoru bilo koje dimenzije n možete izračunati proizvod n-1 vektora, čime se dobija jedan vektor okomit na sve njih. Ali ako je proizvod ograničen na netrivijalne binarne proizvode sa vektorskim rezultatima, tada je tradicionalni vektorski proizvod definiran samo u trodimenzionalnom i sedmodimenzionalni prostori. Rezultat vektorskog proizvoda, poput skalarnog proizvoda, ovisi o metrika Euklidski prostor.

Za razliku od formule za izračunavanje koordinata vektora tačkasti proizvod u trodimenzionalnom pravougaoni koordinatni sistem, formula za unakrsni proizvod ovisi o orijentacija pravokutni koordinatni sistem ili, drugim riječima, njegov " kiralnost».

Mješoviti proizvod vektora

Mješoviti posao vektori - skalarni proizvod vektor on unakrsni proizvod vektori i :

Ponekad se zove proizvod trostrukih tačaka vektora, najvjerovatnije zbog činjenice da je rezultat skalar(preciznije - pseudoskalarni).

Geometrijsko značenje: Modul miješanog proizvoda je numerički jednak volumenu paralelepiped formirana od strane vektori .

Mješoviti posao koso-simetrično u odnosu na sve njegove argumente:

to jest, permutacija bilo koja dva faktora mijenja predznak proizvoda. Otuda to slijedi

posebno,

Mješovito djelo je zgodno napisano upotrebom simbol (tenzor) Levi-Civita:

(u posljednjoj formuli u ortonormalnoj bazi svi indeksi se mogu pisati nižim; u ovom slučaju ova formula potpuno direktno ponavlja formulu sa determinantom, međutim u ovom slučaju faktor (-1) za lijeve baze se automatski dobija).

Dekartov pravougaoni koordinatni sistem na ravni.

Uzmite na ravni dvije međusobno okomite prave - dvije koordinatne ose Ox i Oy sa pozitivnim smjerovima na njima (slika 1). Prave Ox i Oy nazivaju se koordinatne ose, tačka njihovog preseka O - ishodište.

Koordinatne ose Ox, Oy sa odabranom mjernom jedinicom nazivaju se kartezijanski pravougaoni (ili pravougaoni) koordinatni sistem na ravni.

Proizvoljnoj tački M ravni stavljamo u korespondenciju dva broja: apscisu x, jednaku udaljenosti od tačke M do ose Oy, uzetu sa znakom "+" ako M leži desno od Oy, i sa znak "-" ako je M lijevo od Oy; ordinata y, jednaka udaljenosti od tačke M do ose Ox, uzeta sa znakom "+" ako M leži iznad Ox, i sa znakom "-" ako je M ispod Ox. Apscisa x i ordinata y nazivaju se kartezijanske pravougaone koordinate tačke M (x; y).

Izvor ima koordinate (0; 0). Koordinatne ose dijele ravan na četiri dijela koja se nazivaju četvrtine ili kvadranti (ponekad se nazivaju i koordinatni uglovi). Dio ravnine zatvoren između pozitivnih poluosi Oh i Oy naziva se prvi kvadrant. Nadalje, numeriranje kvadranata ide u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 2). Za sve tačke I kvadranta x> 0, y> 0; za tačke I I kvadranta x<0, у>0, u I I I kvadrantu x<0, у<0 и в IV квадранте х>0, g<0.

Polarne koordinate.

Polarni koordinatni sistem- dvodimenzionalni koordinatni sistem u kojem je svaka tačka na ravni definisana sa dva broja - polarnim uglom i polarnim radijusom. Polarni koordinatni sistem je posebno koristan kada je odnose između tačaka lakše predstaviti u smislu radijusa i uglova; u češćim, kartezijanski ili pravougaoni koordinatni sistem, takvi odnosi se mogu uspostaviti samo primenom trigonometrijski jednačine.

Polarni koordinatni sistem je definisan zrakom, koji se naziva nula ili polarna osa. Tačka iz koje izlazi ovaj zrak naziva se ishodište ili pol. Svaka tačka na ravni je definisana sa dve polarne koordinate: radijalne i ugaone. Radijalna koordinata (obično se označava) odgovara udaljenosti od tačke do početka. Ugaona koordinata, koja se naziva i polarni ugao ili azimut i označava se jednak kutu za koji se polarna osa mora rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu da bi se došla do ove točke.

Radijalna koordinata određena na ovaj način može uzeti vrijednosti od ogrebotina prije beskonačnost, a ugaona koordinata se kreće od 0° do 360°. Međutim, radi praktičnosti, raspon vrijednosti polarnih koordinata može se proširiti preko granice

Jednačina prave na ravni

Definicija. Bilo koja prava linija na ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

a konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - prava prolazi kroz početak

A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0) - prava linija je paralelna sa Ox osom

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - prava linija je paralelna sa Oy osom

B = C = 0, A ≠ 0 - prava linija se poklapa sa osom Oy

A = C = 0, B ≠ 0 - prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Glavni problemi korištenja jednačine prave linije

Ne mogu odgovoriti

Krive drugog reda

Kriva drugog reda je mjesto tačaka čije kartezijanske pravokutne koordinate zadovoljavaju jednačinu oblika

u kojem je barem jedan od koeficijenata različit od nule.

Granica niza brojeva i funkcije

Granica numeričkog niza. Razmotrimo numerički niz, čiji se zajednički pojam približava određenom broju a povećanje serijskog broja n... U ovom slučaju se kaže da ima niz brojeva limit... Ovaj koncept ima strožiju definiciju.

Ova definicija to znači a tu je limit numerički niz ako se njegov zajednički pojam približava neograničeno a sa povećanjem n... Geometrijski, to znači da se za bilo koji > 0 može naći takav broj N to počevši od n > N allčlanovi niza se nalaze unutar intervala ( a a). Poziva se niz koji ima ograničenje konvergirajući; inače - divergentan.

Slijed se zove ograničeno ako postoji takav broj Mšta | u n | M  za sve n . Zove se rastući ili opadajući niz monotono.

Osnovne teoreme o granicama i njihove primjene

Teorema 1 . (o prelasku do granice u jednakosti) Ako dvije funkcije zauzmu iste vrijednosti u blizini neke tačke, tada se njihove granice u ovoj tački poklapaju.

Teorema 2. (o prelasku do granice u nejednakosti) Ako su vrijednosti funkcije f(x) u susjedstvu neke tačke ne prelaze odgovarajuće vrijednosti funkcije g(x) , zatim granica funkcije f(x) u ovom trenutku ne prelazi granicu funkcije g(x) .

Teorema 3 . Granica konstante jednaka je najkonstantnijoj.

Dokaz. f(x) = sa, to ćemo dokazati.

Uzmite proizvoljno > 0. Kao , možete uzeti bilo koji

pozitivan broj. Zatim u

Teorema 4. Funkcija ne može imati dvije različite granice u

jedan bod.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno. Neka bude

i .

By teorema o vezi između granične i infinitezimalne funkcije:

f(x)- A= - b.m. u ,

f(x)- B= - b.m. u .

Oduzimajući ove jednakosti, dobijamo:

B-A= - .

Prelazeći na granice na obje strane jednakosti u, imamo:

B-A= 0, tj. B=A... Dobijamo kontradikciju koja dokazuje teoremu.

Teorema 5. Ako svaki član algebarskog zbira funkcija ima granicu na, tada i algebarski zbir ima granicu na, a granica algebarskog zbira jednaka je algebarskom zbiru granica.

.

Dokaz. Neka bude , , .

Onda, do teorema o vezi između granice i b.m... funkcije:

gdje - b.m. u .

Dodajmo ove jednakosti algebarski:

f(x)+ g(x)- h(x) - (A + B-C)= ,

gdje b.m. u .

Po teoremu o vezi između granice i infinitezimalnog funkcije:

A + B-C= .

Teorema 6. Ako svaki od faktora proizvoda konačnog broja funkcija ima granicu na, tada proizvod također ima granicu u, a granica proizvoda je jednaka proizvodu granica.

.

Posljedica. Konstantni množitelj se može uzeti izvan graničnog znaka.

.

Teorema 7. Ako funkcije f(x) i g(x) imati ograničenje na,

štaviše, tada njihov količnik ima granicu na, a granica količnika je jednaka količniku granica.

, .

Kontinuitet funkcije

Na sl. 15 i prikazan je graf funkcije ... Prirodno je nazvati ga kontinuiranim grafom, jer se može nacrtati jednim potezom olovke, a da se ne otrgne od papira. Postavimo proizvoljnu tačku (broj). Još jedna tačka blizu nje može se napisati u obliku u kojem postoji pozitivan ili negativan broj, koji se naziva inkrement. Razlika

naziva se inkrement funkcije u tački koja odgovara inkrementu. Ovdje se misli na to ... Na sl. 15, i jednaka je dužini segmenta.

Mi ćemo težiti nuli; tada je za razmatranu funkciju očito da će težiti nuli:

. (1)

Pogledajmo sada graf na slici 15, b. Sastoji se od dva neprekidna dijela i. Međutim, ovi dijelovi nisu povezani kontinuirano, te je stoga prirodno nazvati graf diskontinuiranim. Da bi graf prikazao jednoznačnu funkciju u tački, slažemo se da je jednaka dužini segmenta koji povezuje i; kao znak toga, tačka je na grafu prikazana krugom, dok je tačka nacrtana strelicom koja pokazuje da ne pripada grafu. Ako bi tačka pripadala grafu, tada bi funkcija bila dvocifrena u toj tački.

Sada dodajmo inkrement i definirajmo odgovarajući prirast funkcije:

Ako težimo nuli, sada više ne možemo reći da će težiti nuli. Za negativne koje teže nuli, to je tako, ali za pozitivne uopće nije tako: iz slike se može vidjeti da ako, dok ostaju pozitivni, teži nuli, onda odgovarajući prirast teži pozitivnom broju jednakom na dužinu segmenta.

Nakon ovih razmatranja, prirodno je pozvati funkciju definisanu na segmentu kontinuiranom u tački ovog segmenta ako njen prirast u ovoj tački koji odgovara inkrementu teži nuli za bilo koju metodu koja teži nuli. Ovo (osobina kontinuiteta u) je zapisano u obliku relacije (1) ili inače ovako:

Zapis (2) glasi ovako: granica je nula kada teži nuli prema bilo kojem zakonu. Međutim, izraz "prema bilo kojem zakonu" se obično izostavlja, što to implicira.

Ako funkcija definirana na nije kontinuirana u nekoj tački, odnosno, ako svojstvo (2) ne vrijedi za nju barem za jedan način težnje ka nuli, tada se naziva diskontinuiranom u tački.

Funkcija prikazana na sl. 15, a, kontinuirana je u bilo kojoj tački, dok funkcija prikazana na sl. 15b je, očigledno, kontinuirana u bilo kojoj tački, osim u tački, jer za potonju relacija (2) nije zadovoljena kada, a ostaje pozitivna.

Funkcija koja je neprekidna u bilo kojoj tački segmenta (intervala) naziva se kontinuirana na ovom segmentu (intervalu).

Kontinuirana funkcija matematički izražava osobinu koju često susrećemo u praksi, a to je da mali prirast nezavisne varijable odgovara malom prirastu zavisne varijable (funkcije). Različiti zakoni kretanja tijela, koji izražavaju ovisnost putanje koju tijelo pređe od vremena, mogu poslužiti kao odlični primjeri kontinuirane funkcije. Vrijeme i prostor su kontinuirani. Jedan ili drugi zakon kretanja uspostavlja između njih određenu kontinuiranu vezu, karakteriziranu činjenicom da mali prirast u vremenu odgovara malom prirastu puta.

Čovek je došao do apstrakcije kontinuiteta posmatrajući takozvane neprekidne medije oko sebe - čvrste, tečne ili gasovite, na primer metale, vodu, vazduh. Zapravo, svako fizičko okruženje je skup velikog broja pokretnih čestica odvojenih jedna od druge. Međutim, ove čestice i udaljenosti između njih su toliko male u poređenju sa zapreminama medija, kojima se mora baviti u makroskopskim fizičkim pojavama, da se mnoge takve pojave mogu prilično dobro proučiti ako pretpostavimo da je masa medija ispod studija je približno kontinuirano raspoređena bez ikakvih praznina u prostoru koji zauzima. Mnoge fizičke discipline zasnovane su na ovoj pretpostavci, na primjer, hidrodinamika, aerodinamika i teorija elastičnosti. Matematički koncept kontinuiteta prirodno igra važnu ulogu u ovim disciplinama, kao iu mnogim drugim.

Kontinuirane funkcije čine glavnu klasu funkcija s kojima matematička analiza operiše.

Primjeri kontinuiranih funkcija su elementarne funkcije (vidi § 3.8 ispod). Oni su kontinuirani u intervalima promjene gdje su definirani.

Diskontinuirane funkcije u matematici odražavaju diskontinuirane procese koji se dešavaju u prirodi. Pri udaru, na primjer, vrijednost brzine tijela se naglo mijenja. Mnoge kvalitetne tranzicije prate skokovi. Na primjer, odnos između temperature jednog grama vode (leda) i broja kalorija topline u njoj, kada se mijenja između i, ako se konvencionalno prihvaća da za, vrijednost se izražava sljedećim formulama:

Smatramo da je toplotni kapacitet leda 0,5. Kada se ispostavi da je ova funkcija nedefinirana - višeznačna; zbog pogodnosti, može se složiti da za, na primjer, poprima dobro definiranu vrijednost. Funkcija je očito diskontinuirana na, prikazano je na sl. 16.

Hajde da damo definiciju kontinuiteta funkcije u tački.

Funkcija se naziva kontinuiranom u tački ako je definirana u nekom susjedstvu ove tačke, uključujući i samu tačku, i ako njen prirast u ovoj tački, koji odgovara inkrementu argumenta, teži nuli kao:

Ako stavimo, onda dobijamo sljedeću ekvivalentnu definiciju kontinuiteta u: funkcija je kontinuirana u tački ako je definirana u nekom susjedstvu ove tačke, uključujući u samoj tački, i ako

; (4)

ili pak na jeziku: ako za svakoga postoji takav da

Jednakost (4) se može napisati i na sljedeći način:

. (4’)

Pokazuje da se pod znakom kontinuirane funkcije može prijeći do granice.

PRIMJER 1. Konstanta je funkcija koja je kontinuirana u bilo kojoj tački. Zaista, tačka odgovara vrijednosti funkcije, tačka odgovara istoj vrijednosti ... Zbog toga

.

PREMA R 2. Funkcija je neprekidna za bilo koju vrijednost, jer i, prema tome, at.

PREMA R 3. Funkcija je kontinuirana za bilo koje. Zaista,

Ali za bilo koje, nejednakost

Ako, onda ovo slijedi iz Sl. 17, koja prikazuje krug poluprečnika 1 (luk dužine je veći od tetive koju on skuplja, a ima dužinu). Jer, nejednakost (6) prelazi u jednakost. Ako onda ... Konačno, ako, onda ... Iz (5) na osnovu (6) slijedi

,

Ali onda očigledno

Takođe možete reći da za svakoga možete pronaći upravo takve

Primećujemo važnu teoremu.

TEOREMA 1. Ako su funkcije i kontinuirane u nekoj tački, tada su njihov zbir, razlika, proizvod i količnik (at) također kontinuirani u ovoj tački.

Ova teorema direktno slijedi iz teoreme 6 iz §3.2 ako uzmemo u obzir da u ovom slučaju

Važna teorema o kontinuitetu funkcije funkcije (složena funkcija) je također tačna.

TEOREMA 2. Neka je data funkcija koja je neprekidna u tački, i neka druga funkcija koja je neprekidna u tački, i neka. Zatim kompleksna funkcija je kontinuirana u jednoj tački.

Dokaz. Primetimo da definicijom kontinuiteta funkcije u tački sledi da je ona definisana u nekom okruženju ove tačke. Zbog toga

Ovdje smo uveli zamjenu i uzeli u obzir kontinuitet u točki .

PRIMJER 4. Funkcija

gdje su konstantni koeficijenti, naziva se polinom stepena. To je kontinuirano za svakoga. Uostalom, da bi se dobilo, potrebno je, na osnovu konstantnih brojeva i funkcije, izvršiti konačan broj aritmetičkih operacija - sabiranje, oduzimanje i množenje. Ali konstanta je kontinuirana funkcija (vidi primjer 1), a funkcija je također kontinuirana (vidi primjer 2), tako da kontinuitet slijedi iz teoreme 1.

PRIMJER 5. Funkcija je kontinuirana. To je sastav od dvije kontinuirane funkcije:,.

PRIMJER 6. Funkcija

je kontinuiran za naznačene, jer je (vidi teoremu 1) jednak količniku podjele kontinuiranih funkcija i djelitelj nije jednak nuli (za naznačene).

PRIMJER 7. Funkcija

je kontinuirano za bilo koje, jer je kompozicija kontinuiranih funkcija:,, (vidjeti teoremu 2).

PRIMJER 8. Funkcija je kontinuirana jer

PRIMJER 9. Ako je funkcija neprekidna u nekoj tački, tada je i funkcija kontinuirana u ovoj tački.

To slijedi iz teoreme 2 i primjera 8, jer je funkcija kompozicija dvije neprekidne funkcije,.

Primećujemo još dve teoreme koje direktno slede iz odgovarajućih teorema 1 i 2 iz §3.2 za granicu funkcije.

TEOREMA 3. Ako je funkcija neprekidna u nekoj tački, onda postoji okolina ove tačke na koju je ograničena.

TEOREMA 4. Ako je funkcija kontinuirana u tački u, tada postoji susjedstvo tačke na kojoj

.

Štaviše, ako, onda

i ako, onda

Derivativni koncept.

Derivat(funkcije u tački) - osnovni koncept diferencijalni račun karakterizirajući brzinu promjene funkcije (u datoj tački). Definisano kao limit omjer prirasta funkcije i njenog prirasta argument kada teži povećanju argumenta na nula ako takva granica postoji. Funkcija koja ima konačan izvod (u nekoj tački) naziva se diferencijabilna (u datoj tački).

Proces izračunavanja derivata se zove diferencijaciju... Obrnuti proces - pronalaženje antiderivat - integracija.

Geometrijsko i mehaničko značenje izvedenice.

Pravila diferencijacije.

Derivat algebarskog zbira funkcija

Teorema 1. Derivat zbir (razlika) dvije diferencijabilne funkcije jednak je zbiru (razlici) derivacija ovih funkcija:

(u ± v) "= u" ± v "

Posljedica. Izvod konačnog algebarskog zbira diferencijabilnih funkcija jednak je istom algebarskom zbiru izvoda članova. Na primjer,

(u - v + w) "= u" - v "+ w"

Izvod proizvoda funkcija je određen sa

Teorema 2. Derivat proizvoda dvije diferencibilne funkcije jednak je umnošku prve funkcije izvodom druge plus proizvod druge funkcije izvodom prve, tj.

(uv) "= u" v + uv "

Posljedica 1. Konstantni faktor se može uzeti izvan predznaka derivacije (cv) "= cv" (c = const).

Posljedica 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svake od njih na sve ostale.

Na primjer, (uvw) "= u" vw + uv "w + uvw"

Derivat kvocijenta dvije funkcije

izražava se sljedećom teoremom.

Teorema 3. Derivat količnika dvije diferencijabilne funkcije definiran je formulom

Derivat kompleksne funkcije izražava

Teorema 4. Ako su y = f (u) i u = (φ (x)) diferencijabilne funkcije svojih argumenata, tada derivat složene funkcije y = f (f (x)) postoji i jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument derivacijom međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu, tj.

Vrlo često u testovi iz matematike za derivate kompleksne funkcije su date, na primjer, y = sin (cos5x). Derivat takve funkcije je -5sin5x * sin (cos5x)

Pogledajte primjer izračunavanja složene funkcije u sljedećem videu.

Derivati ​​elementarnih funkcija.

Derivati ​​elementarnih funkcija jednostavnog argumenta	Funkcijay = f (kx + b )	Derivati ​​elementarnih funkcija kompleksnog argumenta
y=xn	y=nxn−1	y=(kx+b)n	y=nk(kx+b)n−1
		y=(kx+b)

Stoga jednakost (3.10) igra važnu ulogu kako u teorijskim studijama tako i u približnim proračunima.

Pozivaju se operacije za pronalaženje derivacije i diferencijala funkcije diferencijaciju ovu funkciju. Zajednički naziv za obje operacije je zbog njihove očigledne zavisnosti. Na osnovu formule (3.8), diferencijal funkcije se dobija jednostavnim množenjem njenog proizvoda

relativne greške koje nastaju kada se inkrement funkcije zamijeni njenim diferencijalom.

Pronađite prirast i diferencijal funkcije

y = 3 (x + x) 2 + (x + x) - 3 x2 - x = 6 x x + 3 (x) 2 + x = (6 x + 1) x + (x) 2.

Tada je dy = (6 x + 1) x. Izračunajte y i dy u tački x = 1, ako je x = 0, 1 y = 7 0, 1 + 3 0, 01 = 0, 73; dy = 7 0, 1 = 0, 7.

Apsolutna greška y - dy = 0, 73 - 0, 7 = 0, 03 i relativna greška

y = 0 0 ,03 73 ≈0,04.

3.5. Derivat zbira, proizvoda i količnika funkcija

Podsjetimo se pravila diferencijacije poznata iz srednje škole, koja u nekim slučajevima omogućavaju pronalaženje izvoda funkcija bez direktnog pribjegavanja definiciji.

Teorema 3.3. Ako su funkcije u = u (x) i v = v (x)

u tački x, zatim u ovoj tački
				(u + v)
				(uv)		U v + v u;
					u v - v u				V = v (x) ≠ 0.

diferencibilan

Množenjem ovog člana jednakosti sa dx, dobijamo ista pravila napisana u terminima diferencijala

d (u + v) = du + dv;
d (uv) = udv + vdu;

					udv - vdu

Dokaz. Budući da je dokaz potpuno ujednačen za sve dijelove teoreme, dokazujemo jedan od njih, na primjer, drugi.

Postavljamo y = uv. Dajte x inkrement od x, i neka

u, Δ v, Δ y će biti priraštaji funkcija u, v, y u tački									x, što odgovara
inkrementiranje		x, argument. Onda
y = (u + u) (v + v) - uv = v u + u v + u v.
S obzirom da u	i v su vrijednosti funkcija u tački							x ne zavise od
raste svađa		x, na osnovu definicije (3.1) i svojstava ograničenja
prelaz (vidi formule (2.14), (2.15), nalazimo
y ′ = lim		V lim		U lim	v + lim
x → 0		x → 0		x → 0		x → 0		x → 0
Funkcija v = v (x)	u predmetnoj tački					x po hipotezi teoreme

je referentibilan i, prema tome, kontinuiran (teorema 3.2), dakle

	v = 0 (definicija kontinuiteta 2.17) i prethodna jednakost
x → 0					y ′ = vu ′ + uv ′ + u ′ 0. Zamena ovde
daje izraz za izvod:
y = uv, dolazimo do formule (3.12).							y = C (ovdje
	Derivat i diferencijal konstantne funkcije
SA -	konstantan broj za sve x X)					jednaki su nuli.
	x X C
					dC = C dx = 0.
Zaista, u bilo kojoj tački skupa X takva funkcija ima jednu
i isto značenje, na osnovu čega za nju						y ≡ 0 za bilo koji	x i x takvi
	x, x + x X. dakle,			na osnovu definicije izvedenice i
poricanje, slijede formule (3.17).
	Formula (3.11) je generalizirana na slučaj bilo kojeg konačnog broja slabih
funkcije.
	Za u = C, gdje je	C - const, formule (3.12) i (3.15),					na osnovu (3.17),
				d (Cv) = Cdv. Odnosno, konstantni množitelj
dati jednakosti: (Cv)

tijelo se može uzeti za znakove derivacije i diferencijala.

Za slučaj tri faktora, sukcesivno primenjujući formulu

(3.12), nalazimo

(uvw) ′ = ((uv) w) ′ = (uv) ′ w + (uv) w ′ + (u ′ v + uv ′) w + uvw ′ = = u ′ vw + uv ′ w + uvw ′.

Slično pravilo vrijedi kada se razlikuje proizvod bilo kojeg broja faktora.

U narednim paragrafima će se dobiti derivati ​​osnovnih elementarnih funkcija.

3.6. Derivati ​​trigonometrijskih funkcija

Nađimo izvode trigonometrijskih funkcija, naime

		Cosx						= - sinx
	(grijeh x)					(cos x)
	(tgx) ′ =					(ctgx) ′
			cos2 x						sin2 x

Idemo po prvi. Prirast funkcije y = sin x u tački x, ko-

	odgovarajući prirast				argument će biti
	y = sin (x +		x) - sinx = 2sin				x cos (x +		x).
	S obzirom da je sin 2 x		2 x at
						x → 0	i koristeći definiciju
	vode, nalazimo				2sin 2 x cos (x +			2x)
	y ′ = lim		y = lim
		x → 0		x → 0
		2 2 x cos (x +		2x)		Limcos (x +		x) = cosx.
	x → 0					x → 0

Druga formula se dokazuje na sličan način. Treća i četvrta formula se dobijaju izražavanjem tangente i kotangensa u terminima sinusa i kosinusa i upotrebom formule (3.13).

3.7. Diferencijacija logaritamskih funkcija

	Sljedeće formule su važeće
					loga e
		(loga x)				2. (lnx)

Dokažimo prvu od njih. Prirast funkcije y = log a x u tački x, ko-

odgovara inkrementu x		argument će biti
y = loga (x + x) - loga x = loga		x + x	Loga (1+	x) = loga e ln (1+	x);

(ovdje smo koristili log identiteta a A = log a e ln A).

Pošto je ln (1 + x x) x x		x → 0		Zatim, po definiciji, derivat
dobijamo:	y = loga e lim								x) =
y ′ = lim							ln (1+
x → 0			x → 0
Loga e lim								loga e.
	x → 0

3.8. Diferencijacija složene funkcije.

Derivati ​​stepena i eksponencijalne funkcije

Neka je kompleksna funkcija y argumenta x data formulama y = f (u),

u = ϕ (x) (vidi odjeljak 1.4.3)

Teorema 3.4 (o izvodu kompozitne funkcije). Ako funkcije

y = f (u), u = ϕ (x) su diferencijabilne		u dotičnom	jedan drugog
tačke u i x, zatim kompleksnu funkciju		f [ϕ (x)] je takođe diferencibilan u
	x, i	y ′ x = y ′ u u ′ x.
	y ′ = f ′ (u) u ′ ili
Dokaz. Nezavisnoj varijabli x je dat prirast
	x, tada funkcija u = ϕ (x) dobija prirast u,		šta će izazvati

prirast y funkcije y = f (u). Budući da je funkcija y = f (u), prema hipotezi teoreme, diferencijabilna u tački u koja se razmatra, njen prirast u ovoj tački može se predstaviti kao (vidi definiciju 3.4)

			u, gdje je α (		u) → o kao u → 0.
y = f (u) u + α (u)
				f (u)	x + α (u)
Funkcija u = ϕ (x)			diferencibilan, a samim tim i kontinuiran do tačke
ne x koji odgovara gornjoj tački u							(Teorema 3.2).
dakle,				kontinuitet		lim u = 0,	i zbog toga
						x → 0
lim α (u) = 0.
x → 0
S obzirom na ovo,		prelazak na			zadnji	jednakost prema	limit at

x → 0, dolazimo do (3.18).

Množeći jednakost (3.18) pojam po član sa dx, dobijamo izraz za diferencijal kompozitne funkcije

dy = f ′ (u) du.

Komentar. Diferencijal funkcije y = f (u) bi imao potpuno isti oblik da argument u nije funkcija, već nezavisna varijabla. Ovo je tzv svojstvo invarijabilnosti(nezavisnost) oblika diferencijala u odnosu na argument. Treba imati na umu da ako je u nezavisna varijabla, tada je du = u njen proizvoljni prirast, ako je u srednji argument (tj. funkcija), onda je du diferencijal ove funkcije, tj. vrijednost koja se ne poklapa sa njegovim prirastom u.

Koristeći posljednju teoremu, lako je dobiti formule za diferencijal

omjer eksponencijalne i eksponencijalne funkcije:

α− 1

2). (a

ln a;

3). (e

1). (x

) = α x

stvarno,

pod pretpostavkom

x> 0,

logaritam oba dijela

formule y = x α; ln y = α ln x. Evo y

Ovo je funkcija od x, pri čemu

lijeva strana posljednje jednakosti je kompleksna funkcija od x. Diferencirajući obje strane posljednje jednakosti s obzirom na x (lijeva strana kao kompleksna funkcija), dobivamo

1 y y ′ = a 1 x,

y ′ = ay x = ax x a = ax a - 1.

Lako je pokazati da ovaj rezultat vrijedi i za x< 0 , если только при

ovo x α ima smisla. Ranije je rezultat dobijen za slučaj α = n. Druga formula se dobija na sličan način, iz koje u konkretnom slučaju a = e slijedi posljednja formula.

Komentar. Metoda preliminarnog logaritma, koja je korištena za dobivanje formule za diferencijaciju funkcije stepena, ima nezavisno značenje i naziva se zajedno s naknadnim pronalaženjem derivacije logaritma funkcije

lnx) "= cosx lnx + sin x x.

dakle,

y ′ = x sin x (cosx lnx + sin x x)

Komentar. Pravilo diferencijacije složene funkcije također se može primijeniti da se pronađe izvod funkcije date implicitno.

Zaista, ako je odnos između x i y dat u obliku F (x, y) = 0 i ova jednadžba je rješiva ​​u odnosu na y, tada se izvod y ′ može naći iz jednačine

					(F (x, y (x)) = 0.
Primjer 3.4.								y = f (x), s obzirom da nije-
		Pronađite izvod funkcije
eksplicitno po jednačini		arktan (y) - y + x = 0.				y kao funkcija od x:
Diferenciramo jednakost u odnosu na x, pod pretpostavkom
	y ′						1 + y
			- y ′ + 1 = 0, odakle			y ′ =
	1 + y 2

3.9. Diferencijacija inverzne funkcije.

Razlikovanje inverznih trigonometrijskih funkcija

Neka su date dvije međusobno inverzne funkcije y = f (x) i x = ϕ (y)

(vidi tačku 1.4.8).

Teorema 3.5 (o izvodu inverzne funkcije). Ako funkcije

y = f (x),

x = ϕ (y)

povećanje (smanjenje) i u tački x funkcija f (x)

diferencibilan,

f ′ (x) ≠ 0, zatim u odgovarajućoj tački

funkcija ϕ (y) je također diferencibilna (u odnosu na y), i

Dokaz.

postavite inkrement

x = ϕ (y)

se povećava

(smanjuje se)

x = ϕ (y + y) - ϕ (y) ≠ 0 i

Pod uslovima teoreme

x = ϕ (y)

x → 0

y → 0

je kontinuiran (teorema 3.2), zbog čega

Prvi nivo

Derivat funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zamislite ravan put kroz brdoviti teren. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće ni desno ni lijevo. Ako je os usmjerena duž ceste vodoravno, a - okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Osa je određeni nivo nulte visine, u životu kao nju koristimo nivo mora.

Krećući se naprijed takvim putem, također se krećemo gore ili dolje. Takođe možemo reći: kada se promijeni argument (kretanje duž apscise), mijenja se vrijednost funkcije (kretanje duž ordinate). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" našeg puta? Kakva bi to mogla biti vrijednost? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti kada se pomaknete naprijed na određenu udaljenost. Zaista, na različitim dionicama puta, krećući se naprijed (duž apscise) za jedan kilometar, mi ćemo se podizati ili spuštati za različit broj metara u odnosu na nivo mora (duž ordinate).

Označit ćemo kretanje naprijed (čita se "delta x").

Grčko slovo (delta) se obično koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To je - to je promjena vrijednosti, - promjena; šta je onda? Tako je, promjena veličine.

Važno: izraz je jedna cjelina, jedna varijabla. Nikada ne smijete otkinuti "delta" od "x" ili bilo kojeg drugog slova! To je, na primjer,.

Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, dalje. Ako uporedimo liniju puta sa grafom funkcije, kako onda označiti uspon? Naravno, . Odnosno, kada se krećemo naprijed, dižemo se više.

Lako je izračunati vrijednost: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja bili smo na visini, onda. Ako je krajnja tačka niža od početne, bit će negativna - to znači da ne idemo gore, već idemo dolje.

Povratak na "strmo": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko se (strmo) povećava visina dok se krećete naprijed za jednu jedinicu udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekom dijelu puta, kada se napreduje za km, put uzdiže za km. Onda je strmina u ovoj tački. A ako bi put, pri kretanju za m, potonuo za km? Onda je nagib.

Sada razmislite o vrhu brda. Ako uzmete početak dionice pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, vidi se da je visina praktički ista.

Odnosno, po našoj logici, ispada da je strmina ovdje skoro nula, što očito nije tačno. Samo što se mnogo toga može promijeniti na udaljenosti u km. Potrebno je razmotriti manje dionice radi adekvatnije i preciznije procjene strmine. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine kada se pomaknete za jedan metar, rezultat će biti mnogo precizniji. Ali ni ova preciznost nam možda neće biti dovoljna - uostalom, ako postoji stub na sredini puta, možemo jednostavno da se provučemo kroz njega. Koju ćemo udaljenost onda izabrati? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

U stvarnom životu, mjerenje udaljenosti sa milimetarskom tačnošću je više nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen beskrajno mali, to jest, veličina je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: jedan trilion! Koliko manje? I podijelite ovaj broj sa - i bit će još manje. itd. Ako želimo da zapišemo da je vrednost beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo "x teži nuli"). Veoma je važno razumjeti da ovaj broj nije nula! Ali veoma blizu njega. To znači da možete podijeliti s tim.

Koncept suprotan beskonačno malom je beskonačno velik (). Vjerovatno ste već naišli na to kada ste se bavili nejednakostima: ovaj broj je po modulu veći od bilo kojeg broja kojeg možete zamisliti. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite sa dva i dobit ćete još više. A beskonačnost je čak i veća od onoga što dobijete. U stvari, beskonačno veliki i beskonačno mali su inverzni jedno drugom, to jest at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je zakrivljenost izračunata za beskonačno mali dio puta, odnosno:

Imajte na umu da će s beskonačno malim pomakom promjena visine također biti beskonačno mala. Ali da vas podsjetim da beskonačno malo ne znači jednako nuli. Ako podijelite beskonačno male brojeve jedni s drugima, možete dobiti potpuno običan broj, na primjer. To jest, jedna mala vrijednost može biti tačno dvostruko veća od druge.

čemu sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na auto-rally, ali predajemo matematiku. A u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Derivativni koncept

Derivat funkcije je omjer prirasta funkcije i priraštaja argumenta pri beskonačno malom prirastu argumenta.

Po inkrementu u matematici, promjena se zove. Poziva se koliko se argument () promijenio dok se kreće duž ose povećanje argumenta i označava se Stepen do kojeg se funkcija (visina) promijenila pri kretanju naprijed duž ose za rastojanje naziva se povećanje funkcije i označen je sa.

Dakle, derivacija funkcije je relacija na at. Izvod označavamo istim slovom kao i funkcija, samo sa prostim brojem u gornjem desnom uglu: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu derivacije koristeći ove notacije:

Kao iu analogiji sa cestom, i ovdje je, kako se funkcija povećava, derivacija pozitivna, a kako se funkcija smanjuje negativna.

Postoji li izvod jednak nuli? Naravno. Na primjer, ako vozimo ravnom, horizontalnom cestom, strmina je nula. Zaista, visina se uopće ne mijenja. Tako je i sa izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije nula za bilo koju.

Sjetimo se primjera na vrhu brda. Tamo se pokazalo da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha tako da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali velika rastezanja su znak netačnog mjerenja. Naš segment ćemo podići paralelno sa sobom, a zatim će se njegova dužina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrha, dužina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osom, odnosno razlika u visinama na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, ali je jednaka). Dakle, derivat

Možete to shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak lijevo ili desno mijenja našu visinu zanemarljivo malo.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo već ranije saznali, kako funkcija raste, izvod je pozitivan, a kako se funkcija smanjuje negativan. Ali menja se glatko, bez skokova (jer put nigde ne menja naglo nagib). Stoga, nužno mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. To će biti tamo gdje se funkcija niti povećava niti smanjuje - u tački vrha.

Isto vrijedi i za dno (područje gdje funkcija opada s lijeve strane i raste s desne strane):

Malo više detalja o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u vrijednost. Promjena od koje vrijednosti? Šta je on (argument) sada? Možemo izabrati bilo koju tačku, a sada ćemo plesati iz nje.

Razmotrite tačku sa koordinatama. Vrijednost funkcije u njemu je. Zatim radimo isti inkrement: povećavamo koordinatu za. Čemu je sada jednak argument? Vrlo jednostavno: . Koja je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija:. Šta je sa povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je još uvijek iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje inkremenata:

1. Pronađite prirast funkcije u tački s prirastom argumenta jednakim.
2. Isto važi i za funkciju u tački.

rješenja:

U različitim tačkama sa istim povećanjem argumenta, prirast funkcije će biti različit. To znači da je derivacija u svakoj tački drugačija (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina puta na različitim tačkama je različita). Stoga, kada pišemo izvod, moramo naznačiti u kojoj točki:

Funkcija napajanja.

Funkcija snage naziva se funkcija u kojoj je argument u određenoj mjeri (logičan, ha?).

I - u bilo kojoj mjeri:.

Najjednostavniji slučaj je kada eksponent:

Nađimo njen derivat u tački. Prisjetimo se definicije derivata:

Dakle, argument se mijenja od do. Koliki je prirast funkcije?

Povećanje je ovo. Ali funkcija je u bilo kojoj tački jednaka svom argumentu. Zbog toga:

Izvod je jednak:

Derivat od je jednak:

b) Sada razmotrite kvadratnu funkciju ():.

Sada se prisjetimo toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, jer je beskonačno mala, a samim tim i beznačajna na pozadini drugog pojma:

Dakle, imamo sledeće pravilo:

c) Nastavljamo logički niz:.

Ovaj izraz se može pojednostaviti na različite načine: proširiti prvu zagradu koristeći formulu za skraćeno množenje kocke zbira, ili činiti cijeli izraz koristeći formulu za razliku između kocki. Pokušajte to učiniti sami na bilo koji od predloženih načina.

Tako sam završio sa sljedećim:

I opet, zapamtite to. To znači da možete zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobijamo:.

d) Slična pravila se mogu dobiti za više stepene:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za funkciju stepena s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo se može formulisati riječima: "stepen se iznosi kao koeficijent, a zatim se smanjuje za".

Ovo pravilo ćemo dokazati kasnije (skoro na samom kraju). Pogledajmo sada nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:

1. (na dva načina: formulom i korištenjem definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);

1. ... Vjerovali ili ne, ovo je funkcija snage. Ako imate pitanja poput „Kako je ovo? A gdje je diploma?", Zapamtite temu" "!
   Da, korijen je također stepen, samo razlomak:.
   Dakle, naš kvadratni korijen je samo potencija s eksponentom:
   .
   Tražimo derivat prema nedavno naučenoj formuli:

   Ako na ovom mjestu opet postane nejasno, ponovite temu "" !!! (o stepenu sa negativnim eksponentom)

2. ... Sada eksponent:

   A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
   ;
   .
   Sada, kao i obično, zanemarujemo pojam koji sadrži:
   .

3. ... Kombinacija prethodnih slučajeva:.

Trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo koristiti jednu činjenicu iz više matematike:

Kada izraz.

Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, morate dobro položiti ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da funkcija ne postoji - tačka na grafu je probušena. Ali što je bliža vrijednosti, to je funkcija bliža. To je sama "težina".

Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne stidite se, uzmite kalkulator, još nismo na Jedinstvenom državnom ispitu.

Dakle, hajde da probamo:;

Ne zaboravite staviti kalkulator u "Radijani" mod!

itd. Vidimo da što je manji, to je bliža vrijednost omjera.

a) Razmotrite funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov prirast:

Pretvorimo razliku sinusa u proizvod. Za to koristimo formulu (zapamtite temu ""):.

Sada derivat:

Napravimo zamjenu:. Zatim, za beskonačno mali, takođe je beskonačno mali:. Izraz za ima oblik:

Sada zapamtite to kada izražavanje. I također, šta ako se infinitezimalna vrijednost može zanemariti u zbiru (to jest, at).

Dakle, dobijamo sledeće pravilo: sinusni izvod je jednak kosinsu:

To su bazne ("tabelarne") izvedenice. Evo ih na jednoj listi:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovo su najvažnije, jer se najčešće koriste.

Vježba:

1. Pronađite derivaciju funkcije u tački;
2. Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

1. Prvo, nalazimo derivat u opštem obliku, a zatim umjesto njega zamjenjujemo njegovu vrijednost:
   ;
   .
2. Ovdje imamo nešto slično funkciji snage. Pokušajmo je dovesti do toga
   normalan pogled:
   .
   Odlično, sada možete koristiti formulu:
   .
   .
3. ... Eeeeee ... .. Šta je ovo ????

Dobro, u pravu ste, još ne znamo kako pronaći takve derivate. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:

Eksponent i prirodni logaritam.

Postoji takva funkcija u matematici, čiji je izvod za bilo koji jednak vrijednosti same funkcije. Zove se "eksponent" i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije - konstanta - je beskonačan decimalni razlomak, odnosno iracionalni broj (kao što je). Zove se "Ojlerov broj" i stoga se označava slovom.

Dakle, pravilo je:

Veoma je lako zapamtiti.

Pa, da ne idemo daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:

U našem slučaju, baza je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se "prirodnim", a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pisati.

Šta je jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije sa stanovišta derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.

To je sve. Kako drugačije nazvati ovaj proces jednom riječju? Nije derivacija... Diferencijal matematike naziva se isti prirast funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također su nam potrebne formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se pomera izvan znaka derivacije.

Ako je neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku:.

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u tački;
2. u tački;
3. u tački;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat djela

Ovdje je sve isto: uvodimo novu funkciju i nalazimo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa hajde da pokušamo baciti našu funkciju na novi osnova:

Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo:. onda:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći derivaciju i ne zaboravite da je ova funkcija zeznuta.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična derivatu eksponenta: kao što je i ostalo, pojavio se samo množitelj, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga u odgovoru ostavljamo u ovom obliku.

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan jedan od logaritma s različitom bazom, na primjer:

Morate dovesti ovaj logaritam u bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada, umjesto da pišemo:

Imenilac je samo konstanta (konstantni broj, bez varijabli). Izvod je vrlo jednostavan:

Izvodi eksponencijalnih i logaritamskih funkcija se gotovo nikada ne nalaze u USE, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (iako vam se logaritam čini težak, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će proći), ali sa stanovišta matematike, riječ "teško" ne znači "teško".

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neku akciju s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Ispada takav kompozitni predmet: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dobijemo broj (čokoladica), nađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što ja imam (vezeš ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu drugu akciju s rezultatom prve.

Iste radnje možemo učiniti obrnutim redoslijedom: prvo kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada promijenite redoslijed radnji, funkcija se mijenja.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer,.

Drugi primjer: (isto). ...

Akcija koju radimo posljednju će biti pozvana "Spoljna" funkcija, a prvo preduzeto djelovanje - respektivno "Interna" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koja je prva radnja koju treba poduzeti? Prvo ćemo izračunati sinus, pa ćemo ga tek onda podići na kocku. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
   A originalna funkcija je njihov sastav:.
2. Interni:; eksterno:.
   Ispitivanje: .
3. Interni:; eksterno:.
   Ispitivanje: .
4. Interni:; eksterno:.
   Ispitivanje: .
5. Interni:; eksterno:.
   Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sad ćemo izvući našu čokoladicu - potražite derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim množimo rezultat s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se da je sve jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni:;

Eksterno:;

2) Interni:;

(samo ne pokušavajte da smanjite do sada! Ništa se ne može izvaditi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni:;

Eksterno:;

Odmah je jasno da ovdje postoji kompleksna funkcija na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavljamo čokoladu u omot i stavite u aktovku sa trakom). Ali nema razloga za strah: u svakom slučaju, ovu funkciju ćemo "raspakovati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve ovo umnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati korake. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Uzmimo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da definišemo pravac delovanja.

1. Radikalan izraz. ...

2. Root. ...

3. Sinus. ...

4. Kvadrat. ...

5. Sastavljanje svega:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i prirasta argumenta s beskonačno malim povećanjem argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta se pomera izvan znaka derivacije:

Derivat iznosa:

Derivat rada:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo "internu" funkciju, nalazimo njen izvod.
2. Definiramo "vanjsku" funkciju, nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.