Soms zijn er in het leven situaties waarin je in het geheugen moet graven op zoek naar lang vergeten schoolkennis. U moet bijvoorbeeld het gebied van een driehoekig perceel bepalen, of de beurt is gekomen voor de volgende renovatie in een appartement of een privéwoning, en u moet berekenen hoeveel materiaal er zal gaan voor een oppervlak met een driehoekige vorm. Er was een tijd dat je zo'n probleem in een paar minuten kon oplossen, maar nu probeer je je wanhopig te herinneren hoe je het gebied van een driehoek kunt bepalen?

Maak je er geen zorgen over! Het is immers heel normaal wanneer het menselijk brein besluit om lang ongebruikte kennis ergens naar een uithoek te brengen, waar het soms niet zo eenvoudig is om het te extraheren. Zodat u niet hoeft te lijden onder het zoeken naar vergeten schoolkennis om zo'n probleem op te lossen, bevat dit artikel verschillende methoden die het gemakkelijk maken om het gewenste gebied van een driehoek te vinden.

Het is algemeen bekend dat een driehoek een soort veelhoek is die wordt beperkt door het minimaal mogelijke aantal zijden. In principe kan elke veelhoek in verschillende driehoeken worden verdeeld door de hoekpunten ervan te verbinden met lijnsegmenten die de zijden niet snijden. Daarom kunt u, als u de driehoek kent, het gebied van bijna elke vorm berekenen.

Van alle mogelijke driehoeken die in het leven voorkomen, kunnen de volgende specifieke typen worden onderscheiden: en rechthoekig.

De eenvoudigste manier om het gebied van een driehoek te berekenen, is wanneer een van de hoeken recht is, dat wil zeggen in het geval van een rechthoekige driehoek. Het is gemakkelijk te zien dat het een halve rechthoek is. Daarom is het gebied gelijk aan de helft van het product van de zijden, die een rechte hoek met elkaar vormen.

Als we de hoogte van de driehoek kennen, die van een van zijn hoekpunten naar de andere kant is gevallen, en de lengte van deze zijde, die de basis wordt genoemd, dan wordt de oppervlakte berekend als de helft van het product van de hoogte en de basis. Dit wordt geschreven met behulp van de volgende formule:

S = 1/2 * b * h, waarin

S is het vereiste gebied van de driehoek;

b, h - respectievelijk de hoogte en basis van de driehoek.

Het is zo eenvoudig om het gebied van een gelijkbenige driehoek te berekenen, omdat de hoogte de andere kant in tweeën deelt, en het kan gemakkelijk worden gemeten. Als het gebied is bepaald, is het handig om de lengte van een van de zijden die een rechte hoek vormen als hoogte te nemen.

Dit alles is natuurlijk goed, maar hoe bepaal je of een van de hoeken van een driehoek goed is of niet? Als de grootte van onze figuur klein is, kunt u een bouwhoek, een tekendriehoek, een ansichtkaart of een ander object met een rechthoekige vorm gebruiken.

Maar wat als we een driehoekig stuk land hebben? Ga in dit geval als volgt te werk: meet vanaf de bovenkant van de veronderstelde rechte hoek aan de ene kant een afstandsveelvoud van 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), en meet aan de andere kant in dezelfde verhouding een afstandsveelvoud van 4 (40cm, 160cm, 4m). Nu moet je de afstand tussen de eindpunten van deze twee lijnen meten. Als de waarde een veelvoud is van 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), dan kan worden beweerd dat de hoek recht is.

Als de waarde van de lengte van elk van de drie zijden van onze figuur bekend is, kan het gebied van de driehoek worden bepaald met behulp van de formule van Heron. Om het een eenvoudigere vorm te geven, wordt een nieuwe waarde gebruikt, die een halve omtrek wordt genoemd. Dit is de som van alle zijden van onze driehoek, gehalveerd. Nadat de halve omtrek is berekend, kunt u beginnen met het bepalen van het gebied met behulp van de formule:

S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)), waarbij

sqrt - vierkantswortel;

p is de halve omtrekwaarde (p = (a + b + c) / 2);

a, b, c - randen (zijden) van de driehoek.

Maar wat als de driehoek onregelmatig is? Er zijn hier twee mogelijke manieren. De eerste is om te proberen zo'n figuur in twee rechthoekige driehoeken te verdelen, waarvan de som van de oppervlakten afzonderlijk wordt berekend en vervolgens wordt opgeteld. Of, als u de hoek tussen de twee zijden en de grootte van deze zijden kent, past u de formule toe:

S = 0,5 * ab * sinC, waarbij

a, b - zijden van de driehoek;

c - de waarde van de hoek tussen deze zijden.

Het laatste geval komt in de praktijk zelden voor, maar desondanks is alles mogelijk in het leven, dus bovenstaande formule is niet overbodig. Succes met je berekeningen!

De driehoek is de eenvoudigste geometrische vorm met drie zijden en drie hoekpunten. Vanwege zijn eenvoud wordt de driehoek al sinds de oudheid gebruikt om verschillende metingen uit te voeren, en tegenwoordig kan de figuur nuttig zijn voor het oplossen van praktische en alledaagse problemen.

Kenmerken van de driehoek

De figuur wordt al sinds de oudheid gebruikt voor berekeningen, landmeters en astronomen werken bijvoorbeeld met de eigenschappen van driehoeken om gebieden en afstanden te berekenen. Het is gemakkelijk om het gebied van elke n-gon uit te drukken door het gebied van deze figuur, en deze eigenschap werd door oude wetenschappers gebruikt om formules af te leiden voor de gebieden van polygonen. Constant werken met driehoeken, vooral met een rechthoekige driehoek, werd de basis voor een hele tak van wiskunde - trigonometrie.

Driehoeksgeometrie

De eigenschappen van de geometrische figuur zijn al sinds de oudheid bestudeerd: de vroegste informatie over de driehoek werd 4000 jaar geleden gevonden in Egyptische papyri. Vervolgens werd de figuur bestudeerd in het oude Griekenland en de grootste bijdrage aan de geometrie van de driehoek werd geleverd door Euclides, Pythagoras en Heron. De studie van de driehoek is nooit gestopt en in de 18e eeuw introduceerde Leonard Euler het concept van het orthocentrum van een figuur en de cirkel van Euler. Aan het begin van de 19e en 20e eeuw, toen het leek alsof absoluut alles bekend was over de driehoek, formuleerde Frank Morley de stelling over de driehoeken van een hoek, en Vaclav Sierpinski stelde een fractale driehoek voor.

Er zijn verschillende soorten platte driehoeken die ons bekend zijn uit de cursus meetkunde van de school:

• scherphoekig - alle hoeken van de figuur zijn scherp;
• stomp - de vorm heeft één stompe hoek (meer dan 90 graden);
• rechthoekig - de figuur bevat één rechte hoek gelijk aan 90 graden;
• gelijkbenig - een driehoek met twee gelijke zijden;
• gelijkzijdig - een driehoek met allemaal gelijke zijden.
• In het echte leven zijn er alle soorten driehoeken en in sommige gevallen moeten we misschien de oppervlakte van een geometrische figuur berekenen.

Oppervlakte van een driehoek

Oppervlakte is een schatting van hoeveel van een vlak de vorm begrenst. Het gebied van een driehoek kan op zes manieren worden gevonden, werkend met de zijden, hoogte, hoeken, ingeschreven of omgeschreven straal, evenals de formule van Heron of het berekenen van de dubbele integraal langs de lijnen die het vlak begrenzen. De eenvoudigste formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek ziet er als volgt uit:

waarbij a de zijde van de driehoek is, h de hoogte.

In de praktijk is het voor ons echter niet altijd handig om de hoogte van een geometrische figuur te vinden. Met het algoritme van onze rekenmachine kunt u het gebied berekenen, wetende:

• drie kanten;
• twee zijden en de hoek daartussen;
• een kant en twee hoeken.

Om het gebied over drie zijden te bepalen, gebruiken we de formule van Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

waarbij p de halve omtrek van de driehoek is.

De berekening van het gebied aan beide zijden en de hoek wordt uitgevoerd volgens de klassieke formule:

S = a × b × sin (alfa),

waarbij alfa de hoek is tussen de zijden a en b.

Om het gebied door één zijde en twee hoeken te bepalen, gebruiken we de verhouding die:

a / sin (alfa) = b / sin (bèta) = c / sin (gamma)

Met behulp van een eenvoudige verhouding bepalen we de lengte van de tweede zijde en berekenen vervolgens de oppervlakte met de formule S = a × b × sin (alfa). Dit algoritme is volledig geautomatiseerd en u hoeft alleen de opgegeven variabelen in te voeren en het resultaat te krijgen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeelden uit het leven

Bestrating platen

Stel dat u de vloer wilt plaveien met driehoekige tegels, en om de benodigde hoeveelheid materiaal te bepalen, moet u de oppervlakte van één tegel en de oppervlakte van de vloer weten. Stel dat u 6 vierkante meter oppervlak moet verwerken met tegels, waarvan de afmetingen a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm zijn. Het is duidelijk dat de rekenmachine de formule van Heron gebruikt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen en geeft het resultaat:

Het oppervlak van één tegelelement is dus 0,021 vierkante meter en je hebt 6 / 0,021 = 285 driehoeken nodig voor de vloerverbetering. De getallen 20, 21 en 29 vormen de Pythagoreïsche drie - getallen die voldoen. En terecht, onze rekenmachine heeft ook alle hoeken van de driehoek berekend, en de gammahoek is precies 90 graden.

Schooltaak

In een schoolprobleem is het noodzakelijk om het gebied van een driehoek te vinden, wetende dat de zijde a = 5 cm is, en de alfa- en bètahoeken van de wond respectievelijk 30 en 50 graden zijn. Om dit probleem handmatig op te lossen, zouden we eerst de waarde van zijde b vinden met behulp van de verhouding van de aspectverhouding en sinussen van de tegenovergestelde hoeken, en vervolgens het gebied bepalen met behulp van de eenvoudige formule S = a × b × sin (alfa). Laten we tijd besparen, de gegevens invoeren in het rekenmachineformulier en direct antwoord krijgen.

Bij het gebruik van de rekenmachine is het belangrijk om de hoeken en zijden correct op te geven, anders is het resultaat onjuist.

Conclusie

De driehoek is een unieke figuur die zowel in het echte leven als in abstracte berekeningen te vinden is. Gebruik onze online calculator om de oppervlakte van allerlei soorten driehoeken te vinden.

De driehoek is bij iedereen een bekend figuur. En dit ondanks de rijke verscheidenheid aan vormen. Rechthoekig, gelijkzijdig, scherphoekig, gelijkbenig, stomphoekig. Elk van hen is op de een of andere manier anders. Maar voor iedereen moet je het gebied van een driehoek weten.

Gemeenschappelijke formules voor alle driehoeken waarin de lengtes van de zijden of hoogten worden gebruikt

Benamingen die daarin zijn aangenomen: zijden - a, b, c; hoogten op de overeenkomstige zijden n a, n v, n s.

1. Het gebied van een driehoek wordt berekend als het product van ½, de zijde en de hoogte die erop valt. S = ½ * a * n a. Op dezelfde manier moet u de formules voor de andere twee zijden schrijven.

2. Heron's formule, waarin de halve omtrek verschijnt (het is gebruikelijk om deze aan te duiden met een kleine letter p, in tegenstelling tot de volledige omtrek). De halve omtrek moet als volgt worden berekend: tel alle zijden op en deel ze door 2. De formule voor de halve omtrek: p = (a + b + c) / 2. Dan is de gelijkheid voor de oppervlakte van de figuur ziet er als volgt uit: S = √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Als je geen halve omtrek wilt gebruiken, dan is zo'n formule handig, waarin alleen de lengtes van de zijden aanwezig zijn: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). Het is iets langer dan de vorige, maar het zal helpen als je bent vergeten hoe je een halve omtrek kunt vinden.

Algemene formules waarin de hoeken van een driehoek voorkomen

Benamingen die nodig zijn om de formules te lezen: α, β, γ - hoeken. Ze liggen tegenover respectievelijk de zijden a, b, c.

1. Volgens het is de helft van het product van twee zijden en de sinus van de hoek ertussen gelijk aan het gebied van de driehoek. Dat is: S = ½ a * b * sin γ. Op dezelfde manier moet u de formules voor de andere twee gevallen schrijven.

2. Het gebied van een driehoek kan worden berekend vanaf één zijde en drie bekende hoeken. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin ).

3. Er is ook een formule met één bekende zijde en twee aangrenzende hoeken. Het ziet er als volgt uit: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

De laatste twee formules zijn niet de gemakkelijkste. Het is nogal moeilijk om ze te onthouden.

Algemene formules voor een situatie waarin de stralen van ingeschreven of omgeschreven cirkels bekend zijn

Aanvullende aanduidingen: r, R - radii. De eerste wordt gebruikt voor de straal van de ingeschreven cirkel. De tweede is voor degene die wordt beschreven.

1. De eerste formule waarmee het gebied van een driehoek wordt berekend, is gekoppeld aan een halve omtrek. S = p * r. Op een andere manier kan het als volgt worden geschreven: S = ½ r * (a + b + c).

2. In het tweede geval moet u alle zijden van de driehoek vermenigvuldigen en delen door de viervoudige straal van de omgeschreven cirkel. Letterlijk ziet het er als volgt uit: S = (a * b * c) / (4R).

3. De derde situatie maakt het mogelijk om te doen zonder de zijkanten te kennen, maar de waarden van alle drie de hoeken zijn vereist. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Speciaal geval: rechthoekige driehoek

Dit is de eenvoudigste situatie, omdat alleen kennis van de lengtes van beide benen nodig is. Ze worden aangeduid met de Latijnse letters a en b. Het gebied van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de helft van het gebied van de rechthoek die erop is voltooid.

Wiskundig ziet het er als volgt uit: S = ½ a * b. Ze is het gemakkelijkst te onthouden. Omdat het lijkt op de formule voor de oppervlakte van een rechthoek, is er alleen nog een breuk die de helft aangeeft.

Speciaal geval: gelijkbenige driehoek

Omdat de twee zijden gelijk zijn, zien sommige formules voor het gebied er enigszins vereenvoudigd uit. De formule van Heron, die wordt gebruikt om de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek te berekenen, heeft bijvoorbeeld de volgende vorm:

S = ½ в √ ((a + ½ в) * (a - ½ в)).

Als je het transformeert, wordt het korter. In dit geval wordt de formule van Heron voor een gelijkbenige driehoek als volgt geschreven:

S = ¼ in √ (4 * a 2 - b 2).

De oppervlakteformule ziet er iets eenvoudiger uit dan voor een willekeurige driehoek als de zijden en de hoek ertussen bekend zijn. S = ½ a 2 * sin β.

Speciaal geval: gelijkzijdige driehoek

Meestal is er een kant over hem bekend in problemen, of je kunt er op de een of andere manier meer over te weten komen. Dan is de formule waarmee de oppervlakte van zo'n driehoek wordt gevonden als volgt:

S = (a 2 3) / 4.

Problemen met het vinden van het gebied, als de driehoek is afgebeeld op geruit papier

De eenvoudigste situatie is wanneer een rechthoekige driehoek wordt getekend zodat de poten samenvallen met de lijnen van het papier. Dan hoef je alleen maar het aantal cellen te tellen dat in de benen past. Vermenigvuldig ze vervolgens en deel ze door twee.

Wanneer de driehoek scherphoekig of stomphoekig is, moet deze naar een rechthoek worden getrokken. Dan heeft de resulterende figuur 3 driehoeken. Een daarvan is degene die in de taak wordt gegeven. En de andere twee zijn hulp- en rechthoekig. Bepaal de gebieden van de laatste twee met de hierboven beschreven methode. Bereken vervolgens het gebied van de rechthoek en trek die af die zijn berekend voor de hulplijnen. De oppervlakte van de driehoek is bepaald.

Veel gecompliceerder is de situatie waarin geen van de zijden van de driehoek samenvalt met de lijnen van het papier. Vervolgens moet het in de rechthoek worden ingeschreven, zodat de hoekpunten van de oorspronkelijke vorm op zijn zijkanten liggen. In dit geval zijn er drie rechthoekige hulpdriehoeken.

Een voorbeeld van een probleem voor de formule van Heron

Voorwaarde. Sommige driehoeken hebben bekende zijden. Ze zijn gelijk aan 3, 5 en 6 cm Het is noodzakelijk om het gebied te kennen.

Nu kunt u de oppervlakte van een driehoek berekenen met behulp van de bovenstaande formule. Onder de vierkantswortel is het product van vier getallen: 7, 4, 2 en 1. Dat wil zeggen, de oppervlakte is √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Als meer precisie niet vereist is, dan is de vierkantswortel van 14 gelijk aan 3,74. Dan is de oppervlakte gelijk aan 7,48.

Antwoord geven. S = 2 √14 cm 2 of 7,48 cm 2.

Voorbeeld van een probleem met een rechthoekige driehoek

Voorwaarde. Een been van een rechthoekige driehoek is 31 cm groter dan de tweede.Het is vereist om hun lengte te kennen als het gebied van de driehoek 180 cm 2 is.
Oplossing. We moeten een stelsel van twee vergelijkingen oplossen. De eerste heeft betrekking op het gebied. De tweede - met de verhouding van de benen, die in het probleem wordt gegeven.
180 = a * b;

a = b + 31.
Eerst moet de waarde "a" in de eerste vergelijking worden ingevuld. Het blijkt: 180 = ½ (in + 31) * in. Het heeft slechts één onbekende hoeveelheid, dus het is gemakkelijk op te lossen. Na het uitbreiden van de haakjes wordt een kwadratische vergelijking verkregen: bij 2 + 31 bij - 360 = 0. Het geeft twee waarden voor "bij": 9 en - 40. Het tweede getal is niet geschikt als antwoord, omdat de lengte van de zijde van een driehoek kan niet negatief zijn.

Het blijft om de tweede etappe te berekenen: tel 31 op bij het resulterende aantal. Het blijkt 40 te zijn. Dit zijn de vereiste waarden in het probleem.

Antwoord geven. De poten van de driehoek zijn 9 en 40 cm.

Het probleem van het vinden van een zijde door het gebied, de zijde en de hoek van een driehoek

Voorwaarde. De oppervlakte van een driehoek is 60 cm 2. Het is noodzakelijk om een ​​van zijn zijden te berekenen als de tweede zijde 15 cm is en de hoek ertussen 30º is.

Oplossing. Op basis van de geaccepteerde aanduidingen, de gewenste zijde "a", bekende "b", de gegeven hoek "γ". Dan kan de oppervlakteformule als volgt worden herschreven:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Hier is de sinus van 30 graden 0,5.

Na de transformaties blijkt "a" gelijk te zijn aan 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Dat is 16.

Antwoord geven. De gewenste zijde is 16 cm.

Het probleem van een vierkant ingeschreven in een rechthoekige driehoek

Voorwaarde. De top van een vierkant van 24 cm valt samen met de rechte hoek van de driehoek. De andere twee liggen op de benen. De derde behoort tot de hypotenusa. De lengte van een van de poten is 42 cm Wat is de oppervlakte van een rechthoekige driehoek?

Oplossing. Beschouw twee rechthoekige driehoeken. De eerste wordt gespecificeerd in de taak. De tweede is gebaseerd op het bekende been van de originele driehoek. Ze zijn vergelijkbaar omdat ze een gemeenschappelijke hoek hebben en worden gevormd door evenwijdige rechte lijnen.

Dan is de relatie van hun benen gelijk. De poten van de kleinere driehoek zijn 24 cm (zijde van het vierkant) en 18 cm (het gegeven been is 42 cm, trek de zijde van het vierkant 24 cm af). De overeenkomstige poten van de grote driehoek zijn 42 cm en x cm.Het is deze "x" die nodig is om de oppervlakte van de driehoek te berekenen.

18/42 = 24 / x, dat wil zeggen x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Dan is de oppervlakte gelijk aan het product van 56 en 42 gedeeld door twee, dus 1176 cm 2.

Antwoord geven. De benodigde oppervlakte is 1176 cm2.

Van het tegenovergestelde hoekpunt) en deel het resulterende product door twee. In het formulier ziet dit er als volgt uit:

S = ½ * een * h,

waar:
S is het gebied van de driehoek,
a is de lengte van zijn zijde,
h - de hoogte verlaagd naar deze kant.

Zijlengte en hoogte moeten in dezelfde eenheid worden gepresenteerd. In dit geval wordt het gebied van de driehoek verkregen in de juiste "" -eenheden.

Voorbeeld.
Aan de ene kant van een veelzijdige driehoek van 20 cm lang, wordt een loodlijn neergelaten vanaf het tegenoverliggende hoekpunt van 10 cm lang.
Het gebied van de driehoek is vereist.
Oplossing.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Als je de lengtes van twee zijden van een veelzijdige driehoek kent en de hoek ertussen, gebruik dan de formule:

S = ½ * a * b * sinγ,

waarbij: a, b de lengtes zijn van twee willekeurige zijden, en γ de hoek ertussen is.

In de praktijk, bijvoorbeeld bij het meten van percelen, is het gebruik van bovenstaande formules soms moeilijk, omdat het extra constructies en hoekenmetingen vereist.

Als je de lengtes van alle drie de zijden van een veelzijdige driehoek kent, gebruik dan de formule van Heron:

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)),

a, b, c - de lengtes van de zijden van de driehoek,
p - halve omtrek: p = (a + b + c) / 2.

Als behalve de lengtes van alle zijden ook de straal van de in de driehoek ingeschreven cirkel bekend is, gebruik dan de volgende compacte formule:

waarbij: r - straal van de ingeschreven cirkel (p - halve omtrek).

Gebruik de formule om het gebied van een veelzijdige driehoek van de omgeschreven cirkel en de lengte van de zijden te berekenen:

waarbij: R de straal van de omgeschreven cirkel is.

Als u de lengte van een van de zijden van de driehoek en drie hoeken kent (in principe zijn twee voldoende - de waarde van de derde wordt berekend uit de gelijkheid van de som van de drie hoeken van de driehoek - 180º), gebruik dan de Formule:

S = (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

waarbij α de waarde is van de hoek tegenover de zijde a;
β, γ zijn de waarden van de andere twee hoeken van de driehoek.

De noodzaak om verschillende elementen te vinden, inclusief gebied driehoek, verscheen vele eeuwen voor onze jaartelling onder de astronomen van het oude Griekenland. Vierkant driehoek kan op verschillende manieren worden berekend met behulp van verschillende formules. De berekeningsmethode hangt af van welke elementen driehoek zijn bekend.

instructies:

Als we uit de voorwaarde de waarden kennen van de twee zijden b, c en de hoek die ze vormen?, Dan is het gebied driehoek ABC wordt gevonden door de formule:
S = (bcsin?) / 2.

Als we uit de toestand de waarden kennen van de twee zijden a, b en de hoek die niet door hen wordt gevormd?, Dan is het gebied driehoek ABC wordt als volgt gevonden:
Vind de hoek?, zonde? = bsin? / a, dan bepalen we volgens de tabel de hoek zelf.
Zoek de hoek?,? = 180 ° -? - ?.
We vinden het gebied zelf S = (absin?) / 2.

Als we uit de voorwaarde de waarden van slechts drie zijden kennen driehoek a, b en c, dan de oppervlakte driehoek ABC wordt gevonden door de formule:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)), waarbij p een halve omtrek is p = (a + b + c) / 2

Als we uit de toestand van het probleem de hoogte weten: driehoek h en de zijde waarnaar deze hoogte is verlaagd, dan het gebied driehoek ABC door de formule:
S = ah (a) / 2 = bh (b) / 2 = ch (c) / 2.

Als we de waarden van de zijkanten kennen driehoek a, b, c en de straal beschreven rond de gegeven driehoek R, dan is de oppervlakte hiervan driehoek ABC wordt bepaald door de formule:
S = abc / 4R.
Als drie zijden a, b, c en de straal van ingeschreven zijn bekend zijn, dan is de oppervlakte driehoek ABC wordt gevonden door de formule:
S = pr, waarbij p een halve omtrek is, p = (a + b + c) / 2.

Als ABC gelijkzijdig is, wordt de oppervlakte bepaald met de formule:
S = (a ^ 2v3) / 4.
Als driehoek ABC gelijkbenig is, dan wordt de oppervlakte bepaald door de formule:
S = (cv (4a ^ 2-c ^ 2)) / 4, waarbij c - driehoek.
Als driehoek ABC rechthoekig is, dan wordt de oppervlakte bepaald door de formule:
S = ab / 2, waarbij a en b benen zijn driehoek.
Als driehoek ABC een rechthoekige gelijkbenige is, dan wordt de oppervlakte bepaald door de formule:
S = c ^ 2/4 = a ^ 2/2, waarbij c de hypotenusa is driehoek, a = b - been.

Gerelateerde video's

bronnen:

• hoe de oppervlakte van een driehoek te meten

Tip 3: Hoe vind je de oppervlakte van een driehoek als je de hoek kent?

Kennis van slechts één parameter (hoekwaarde) is niet voldoende om het gebied te vinden tre vierkant ... Als er extra afmetingen zijn, kan een van de formules worden gekozen om het gebied te bepalen, waarin de hoekwaarde ook wordt gebruikt als een van de bekende variabelen. Een paar van deze formules, die het meest worden gebruikt, worden hieronder vermeld.

instructies:

Als, naast de waarde van de hoek (γ) gevormd door de twee zijden tre vierkant , de lengtes van deze zijden (A en B) zijn ook bekend, dan vierkant De (S) figuur kan worden gedefinieerd als de helft van het product van de lengtes van de zijden en de sinus van deze bekende hoek: S = ½ × A × B × sin (γ).

Er kunnen verschillende formules worden gebruikt om de oppervlakte van een driehoek te bepalen. Van alle methoden is de eenvoudigste en meest gebruikte methode om de hoogte te vermenigvuldigen met de lengte van de basis en vervolgens het resultaat door twee te delen. Deze methode is echter verre van de enige. Hieronder lees je hoe je met verschillende formules de oppervlakte van een driehoek kunt vinden.

Afzonderlijk zullen we methoden overwegen voor het berekenen van het gebied van specifieke soorten driehoeken - rechthoekig, gelijkbenig en gelijkzijdig. We begeleiden elke formule met een korte uitleg die u zal helpen de essentie ervan te begrijpen.

Universele manieren om de oppervlakte van een driehoek te vinden

De volgende formules gebruiken speciale conventies. We zullen ze allemaal ontcijferen:

• a, b, c - de lengtes van de drie zijden van de figuur die we beschouwen;
• r is de straal van een cirkel die kan worden ingeschreven in onze driehoek;
• R is de straal van de cirkel die eromheen kan worden beschreven;
• α - de waarde van de hoek gevormd door de zijden b en c;
• β is de hoek tussen a en c;
• γ - de waarde van de hoek gevormd door zijden a en b;
• h - de hoogte van onze driehoek, verlaagd van de hoek α naar de zijde a;
• p - de helft van de som van zijden a, b en c.

Het is logisch waarom het mogelijk is om op deze manier de oppervlakte van een driehoek te vinden. De driehoek kan eenvoudig worden aangevuld tot een parallellogram, waarbij een zijde van de driehoek als een diagonaal zal fungeren. Het gebied van een parallellogram wordt gevonden door de lengte van een van de zijden te vermenigvuldigen met de waarde van de hoogte die ernaartoe wordt getrokken. De diagonaal verdeelt dit conventionele parallellogram in 2 identieke driehoeken. Daarom is het vrij duidelijk dat het gebied van onze oorspronkelijke driehoek gelijk moet zijn aan de helft van het gebied van dit hulpparallellogram.

S = ½ a b sin γ

Volgens deze formule wordt het gebied van een driehoek gevonden door de lengtes van de twee zijden, dat wil zeggen a en b, te vermenigvuldigen met de sinus van de door hen gevormde hoek. Deze formule is logisch afgeleid van de vorige. Als we de hoogte van hoek β naar zijde b laten vallen, dan krijgen we, volgens de eigenschappen van een rechthoekige driehoek, wanneer we de lengte van zijde a vermenigvuldigen met de sinus van hoek γ, de hoogte van de driehoek, dat wil zeggen, H.

Het gebied van de figuur in kwestie wordt gevonden door de helft van de straal van de cirkel, die erin kan worden ingeschreven, te vermenigvuldigen met zijn omtrek. Met andere woorden, we vinden het product van de halve omtrek en de straal van de genoemde cirkel.

S = a bs / 4R

Volgens deze formule kan de waarde die we nodig hebben, worden gevonden door het product van de zijden van de figuur te delen door 4 stralen van de cirkel die eromheen is beschreven.

Deze formules zijn universeel, omdat ze het mogelijk maken om het gebied van elke driehoek te bepalen (veelzijdig, gelijkbenig, gelijkzijdig, rechthoekig). Dit kan worden gedaan met behulp van complexere berekeningen, waar we niet in detail op ingaan.

Gebieden van driehoeken met specifieke eigenschappen

Hoe vind ik de oppervlakte van een rechthoekige driehoek? De eigenaardigheid van deze figuur is dat zijn twee zijden tegelijkertijd zijn hoogten zijn. Als a en b benen zijn, en c wordt een hypotenusa, dan wordt het gebied als volgt gevonden:

Hoe vind je de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek? Het heeft twee zijden met lengte a en één zijde met lengte b. Daarom kan de oppervlakte worden bepaald door het product van het kwadraat van de zijde a door de sinus van de hoek γ te delen door 2.

Hoe vind je de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek? Daarin is de lengte van alle zijden gelijk aan a, en de grootte van alle hoeken is α. De hoogte is gelijk aan de helft van het product van de lengte van zijde a door de vierkantswortel van 3. Om de oppervlakte van een regelmatige driehoek te vinden, moet u het kwadraat van zijde a vermenigvuldigen met de vierkantswortel van 3 en delen door 4.