ඛණ්ඩාංක ක්‍රමය යනු අභ්‍යවකාශයේ ඇති ස්ටීරියෝමිතික වස්තූන් අතර ඕනෑම කෝණයක් හෝ දුරක් සෙවීමේ ඉතා ඵලදායී සහ බහුකාර්ය ක්‍රමයකි. ඔබේ ගණිත ගුරුවරයා ඉහළ සුදුසුකම් ලබා ඇත්නම්, ඔහු මෙය දැන සිටිය යුතුය. එසේ නොමැතිනම්, "C" කොටස සඳහා උපදේශකයා වෙනස් කිරීමට මම ඔබට උපදෙස් දෙමි. C1-C6 ගණිතයේ විභාගය සඳහා මගේ සූදානම සාමාන්‍යයෙන් පහත විස්තර කර ඇති මූලික ඇල්ගොරිතම සහ සූත්‍ර විශ්ලේෂණයක් ඇතුළත් වේ.

සරල රේඛා a සහ b අතර කෝණය

අභ්‍යවකාශයේ සරල රේඛා අතර කෝණය යනු ඒවාට සමාන්තරව ඡේදනය වන ඕනෑම සරල රේඛා අතර කෝණයයි. මෙම කෝණය මෙම සරල රේඛාවල දිශා දෛශික අතර කෝණයට සමාන වේ (හෝ අංශක 180 දක්වා එය අනුපූරකය කරයි).

කෝණයක් සොයා ගැනීමට ගණිත උපදේශකයෙකු භාවිතා කරන ඇල්ගොරිතම මොනවාද?

1) ඕනෑම දෛශිකයක් තෝරන්න සහ සෘජු රේඛා a සහ b (ඒවාට සමාන්තරව) දිශාවන් තිබීම.
2) දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සහ ඒවායේ ආරම්භයේ සහ අන්තවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක මගින් තීරණය කරන්න (ආරම්භයේ ඛණ්ඩාංක දෛශිකයේ අවසානයෙහි ඛණ්ඩාංක වලින් අඩු කළ යුතුය).
3) සොයාගත් ඛණ්ඩාංක සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න:
... කෝණය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ ප්රතිඵලයේ ප්රතිලෝම කෝසයිනය සොයා ගත යුතුය.

ගුවන් යානයට සාමාන්යයි

මෙම තලයට ලම්බක ඕනෑම දෛශිකයක් සාමාන්‍ය තලයක් ලෙස හැඳින්වේ.
සාමාන්ය සොයා ගන්නේ කෙසේද?සාමාන්‍ය ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට, දී ඇති තලයක ඇති M, N සහ K යන ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය තුනක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ. මෙම ඛණ්ඩාංක භාවිතා කරමින්, අපි දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්නා අතර කොන්දේසි සපුරාලීම සහ අවශ්‍ය වේ. දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ශුන්‍යයට සම කරමින්, සාමාන්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයාගත හැකි විචල්‍ය තුනක් සහිත සමීකරණ පද්ධතියක් අපි සම්පාදනය කරමු.

ගණිත උපදේශකයාගේ සටහන : පද්ධතිය සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳීමට එය කිසිසේත් අවශ්ය නොවේ, මන්ද එය අවම වශයෙන් එක් සාමාන්යයක් තෝරා ගැනීමට ප්රමාණවත් වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට එහි නොදන්නා ඛණ්ඩාංක වෙනුවට ඕනෑම අංකයක් (උදාහරණයක් ලෙස, එකක්) ආදේශ කළ හැකි අතර ඉතිරි නොදන්නා දෙක සමඟ සමීකරණ දෙකක පද්ධතිය විසඳන්න. එයට විසඳුම් නොමැති නම්, මෙයින් අදහස් කරන්නේ සාමාන්‍ය පවුල තුළ තෝරාගත් විචල්‍යයට එකක් ඇති කිසිවෙකු නොමැති බවයි. ඉන්පසු එකක් තවත් විචල්‍යයක් (තවත් ඛණ්ඩාංකයක්) සඳහා ආදේශ කර නව පද්ධතියක් විසඳන්න. ඔබට නැවත මග හැරුණහොත්, ඔබේ සාමාන්‍යයට අවසාන ඛණ්ඩාංකයේ එකක් ඇති අතර, එයම යම් ඛණ්ඩාංක තලයකට සමාන්තරව හැරෙනු ඇත (මෙම අවස්ථාවේදී, පද්ධතියකින් තොරව එය සොයා ගැනීම පහසුය).

දිශා දෛශිකයේ සහ සාමාන්‍යයේ ඛණ්ඩාංක මගින් අපට සරල රේඛාවක් සහ තලයක් ලබා දී ඇතැයි සිතමු.
සරල රේඛාවක් සහ තලයක් අතර කෝණය පහත සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:

ලබා දී ඇති ගුවන් යානාවලට ඕනෑම සාමාන්‍ය දෙකක් වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට ගුවන් යානා අතර කෝණයේ කෝසයින් සාමාන්‍ය අතර කෝණයේ කෝසයිනයේ මාපාංකයට සමාන වේ:

අභ්‍යවකාශයේ තලයක සමීකරණය

සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් කරන ලකුණු සාමාන්‍ය සමඟ තලයක් සාදයි. සංගුණකය එකම නිශ්චිත සාමාන්‍යයක් සහිත ගුවන් යානා දෙකක් අතර අපගමනය (සමාන්තර මාරුව) සඳහා වගකිව යුතුය. තලයේ සමීකරණය ලිවීම සඳහා, ඔබ මුලින්ම එහි සාමාන්‍යය (ඉහත විස්තර කර ඇති පරිදි) සොයා ගත යුතු අතර, පසුව තලයේ ඇති ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක, සොයාගත් සාමාන්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සමඟ සමීකරණයට ආදේශ කර සංගුණකය සොයා ගන්න.

11 ශ්‍රේණියේ ජ්‍යාමිතිය පාඩම

තේමාව: "අභ්යවකාශයේ ඛණ්ඩාංක ක්රමය ".

ඉලක්කය: සිසුන්ගේ න්‍යායික දැනුම පරීක්ෂා කිරීම, දෛශික, දෛශික සම්බන්ධීකරණ ක්‍රම භාවිතා කරමින් ගැටළු විසඳීමේදී මෙම දැනුම යෙදීමට ඔවුන්ගේ කුසලතා සහ හැකියාවන්.

කාර්යයන්:

1 .දැනුම සහ කුසලතා උකහා ගැනීම සඳහා පාලනය (ස්වයං පාලනය, අන්‍යෝන්‍ය පාලනය) සඳහා කොන්දේසි නිර්මානය කරන්න.

2. ගණිතමය චින්තනය, කථනය, අවධානය වර්ධනය කරන්න.

3. සිසුන්ගේ ක්රියාකාරිත්වය, සංචලනය, සන්නිවේදන කුසලතා, සාමාන්ය සංස්කෘතිය ප්රවර්ධනය කිරීම.

මෙහෙයවීමේ ආකෘතිය: කණ්ඩායම් වශයෙන් වැඩ කරන්න.

උපකරණ සහ තොරතුරු මූලාශ්ර: තිරය, බහුමාධ්‍ය ප්‍රොජෙක්ටරය, දැනුම ගිණුම්කරණ වගුව, ක්‍රෙඩිට් කාඩ්, පරීක්ෂණ.

පන්ති අතරතුර

1 බලමුලු ගැන්වීමේ මොහොත.

CSR භාවිතා කරන පාඩම; සිසුන් ගතික කණ්ඩායම් 3 කට බෙදා ඇති අතර, පිළිගත හැකි, ප්‍රශස්ත සහ උසස් මට්ටම් සහිත සිසුන්. සෑම කණ්ඩායමකම, සමස්ත කණ්ඩායමේම කාර්යය මෙහෙයවන සම්බන්ධීකාරක තෝරා ගනු ලැබේ.

2 ... අපේක්ෂාව මත පදනම්ව සිසුන්ගේ ස්වයං නිර්ණය.

කාර්ය:යෝජනා ක්රමයට අනුව ඉලක්ක සැකසීම: මතක තබා ගන්න - ඉගෙන ගන්න - හැකි වීම.

ඇතුල්වීමේ පරීක්ෂණය - හිස් තැන් පුරවන්න (මුද්‍රණ පත්‍රවල)

ඇතුල්වීමේ පරීක්ෂණය

හිස්තැන් පුරවන්න…

1.අවකාශයේ ලක්ෂ්‍යයක් හරහා යුගල වශයෙන් ලම්බක රේඛා තුනක් ඇද ඇත.

තෝරා ගනු ලැබේ, ඒ සෑම එකක් මතම අංශවල දිශාව සහ මිනුම් ඒකකය තෝරා ඇත,

ඊට පස්සේ කියනවා සෙට් වෙලා කියලා....... අභ්යවකාශයේ.

2. තෝරන ලද දිශාවන් සහිත සෘජු රේඛා …………… .., ලෙස හැඳින්වේ.

සහ ඔවුන්ගේ පොදු කරුණ වන්නේ …………. ...

3. සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, අභ්‍යවකාශයේ ඇති සෑම ලක්ෂ්‍යයක්ම M එය …………… .. ලෙස හඳුන්වන සංඛ්‍යා තුනකින් සම්බන්ධ වේ.

4. අභ්‍යවකාශයේ ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක හඳුන්වන්නේ …………………… ..

5. දිග එකකට සමාන වන දෛශිකයක් හඳුන්වන්නේ ………… ..

6. දෛශික මමyකේලෙස හැඳින්වේ ………….

7. ඔත්තේ xyzවියෝජනය තුළ ඒ= xමම + yj + zකේකියලා

…………………… දෛශික ඒ .

8. දෛශික දෙකක හෝ වැඩි ගණනක එකතුවේ සෑම ඛණ්ඩාංකයක්ම ……………… ..

9. දෛශික දෙකක වෙනසෙහි සෑම ඛණ්ඩාංකයක්ම …………………….

10. දෛශිකයක සහ සංඛ්‍යාවක ගුණිතයේ සෑම ඛණ්ඩාංකයක්ම …………………… ..

11. දෛශිකයේ සෑම ඛණ්ඩාංකයක්ම …………….

12. ඛණ්ඩ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ සෑම ඛණ්ඩාංකයක්ම …………………….

13. දෛශික දිග ඒ { xyz) ගණනය කරනු ලබන්නේ සූත්‍රය මගිනි.

14. ලකුණු අතර දුර М 1 (x 1 ; y 1; z 1) සහ එම් 2 (x 2; y 2 ; z2) සූත්‍රය මගින් ගණනය කර ඇත.

15. දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතය …………… .. ලෙස හැඳින්වේ.

16. ශුන්‍ය නොවන දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ …………………… ..

17. දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනයඒ{ x 1; y 1; z 1} බී { x 2 ; y 2 ; z 2) තුළ සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ……………………

ආදාන පරීක්ෂණය හරස් පරීක්ෂාව. තිරය ​​මත කාර්යයන් පරීක්ෂා කිරීමට පිළිතුරු.

ඇගයීම් නිර්ණායක:

1-2 දෝෂ - "5"

3-4 දෝෂ - "4"

5-6 දෝෂ - "3"

වෙනත් අවස්ථාවල දී - "2"

3. වැඩ ක්රියාත්මක කිරීම. (කාඩ්පත් මගින්).

සෑම කාඩ්පතකම කාර්යයන් දෙකක් අඩංගු වේ: අංක 1 - සාක්ෂි සහිත න්‍යායාත්මක, අංක 2 හි කාර්යයන් ඇතුළත් වේ.

කාර්යයට ඇතුළත් කර ඇති කාර්යයන්හි සංකීර්ණතා මට්ටම පැහැදිලි කරන්න. කණ්ඩායම එක් කාර්යයක් ඉටු කරයි, නමුත් කොටස් 2 ක් ඇත. සමූහ සම්බන්ධීකාරකයෙක් මුළු කණ්ඩායමේම වැඩකටයුතු මෙහෙයවයි. හවුල්කරුවන් කිහිප දෙනෙකු සමඟ එක් තොරතුරක් සාකච්ඡා කිරීම ඔවුන්ගේම සාර්ථකත්වයන් සඳහා පමණක් නොව, කණ්ඩායමේ ක්ෂුද්ර ක්ලමීටයට ධනාත්මක බලපෑමක් ඇති කරන සාමූහික කාර්යයේ ප්රතිඵල සඳහා වගකීම වැඩි කරයි.

කාඩ් අංක 1

1. කොටසක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක එහි කෙළවරේ ඛණ්ඩාංක අනුව ප්‍රකාශ කරන සූත්‍ර ව්‍යුත්පන්න කරන්න.

2.ගැටලුව: 1) ලබා දී ඇති ලකුණු A (-3; 1; 2) සහ B (1; -1; 2)

සොයන්න:

a) AB කොටසේ මැද ඛණ්ඩාංක

b) දෛශික AB හි ඛණ්ඩාංක සහ දිග

2) ABSDA1 B1 C1 D1 ඝනකයක් ලබා දී ඇත. ඛණ්ඩාංක ක්රමය භාවිතා කරමින් කෝණය සොයා ගන්න

AB1 සහ A1 D සරල රේඛා අතර.

කාඩ්පත # 2

දෛශිකයක දිග එහි ඛණ්ඩාංක මගින් ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය ප්‍රතිදානය කරන්න.

ගැටලුව: 1) ලබා දී ඇති ලකුණු M (-4; 7; 0),එන්(0; -1; 2). M කොටසේ මූලාරම්භයේ සිට මැද ලක්ෂ්‍යය දක්වා ඇති දුර සොයන්නඑන්.

→ → → → →

2) ලබා දී ඇති දෛශික ඒහා බී... සොයන්න b (a + b),නම් a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

කාඩ්පත # 3

ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක සමඟ ලකුණු අතර දුර ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍රයක් ප්‍රතිදානය කරන්න.

ගැටලුව: 1) ලබා දී ඇති ලකුණු A (2; 1; -8), B (1; -5; 0), C (8; 1; -4).

∆ABC සමද්වීපක බව ඔප්පු කර පාර්ශ්වීය පැතිවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාවේ දිග සොයන්න.

2) A (1; 1; 0) නම්, සරල රේඛා AB සහ SD අතර කෝණය ගණනය කරන්න.

B (3; -1; 2), D (0; 1; 0).

කාඩ්පත # 4

ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක සමඟ ශුන්‍ය නොවන දෛශික අතර කෝණයේ කෝසයිනය සඳහා සූත්‍ර ප්‍රතිදානය කරන්න.

ගැටළුව: 1) AVSD සමාන්තර චලිතයේ සිරස් තුනේ ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇත:

A (-6; -; 4; 0), B (6; -6; 2), C (10; 0; 4). ලක්ෂ්‍ය D හි ඛණ්ඩාංක සොයන්න.

2) A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) නම්, සරල රේඛා AB සහ SD අතර කෝණය සොයන්න. .

කාඩ්පත # 5

මෙම රේඛාවල දිශා දෛශික භාවිතා කර අවකාශයේ රේඛා දෙකක් අතර කෝණය ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි මට කියන්න. →→

ගැටළුව: 1) දෛශික වල තිත් ගුණිතය සොයන්නඒහා බී, නම්:

→ → → ^ →

a) | ඒ| =4; | බී| =√3 (ඒබී)=30◦

බී) ඒ {2 ;-3; 1}, බී = 3 මම +2 කේ

2) A (0; 4; 0), B (2; 0; 0), C (4; 0; 4) සහ D (2; 4; 4) ලකුණු ලබා දී ඇත. AVSD යනු රොම්බස් බව ඔප්පු කරන්න.

4. කාඩ්පත් මගින් ගතික කණ්ඩායම්වල වැඩ පරීක්ෂා කිරීම.

කණ්ඩායම්වල නියෝජිතයින්ගේ කාර්ය සාධනයට අපි සවන් දෙමු. කණ්ඩායම්වල කාර්යය සිසුන්ගේ සහභාගීත්වයෙන් ගුරුවරයා විසින් ඇගයීමට ලක් කරනු ලැබේ.

5. පරාවර්තනය. ඕෆ්සෙට් සඳහා ශ්රේණි.

අවසාන බහුවරණ පරීක්ෂණය (මුද්‍රණය).

1) ලබා දී ඇති දෛශික ඒ {2 ;-4 ;3} බී(-3; ─; 1). දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න

→ 2

c = ඒ+ බී

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3.5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3.5; -4)

2) ලබා දී ඇති දෛශික ඒ(4; -3; 5) සහ බී(-3; 1; 2). දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න

සී=2 ඒ – 3 බී

a) (7; -2; 3); ආ) (11; -7; 8); ඇ) (17; -9; 4); ඈ) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) දෛශික වල තිත් ගුණිතය ගණනය කරන්නඑම්හා n, නම් එම් = ඒ + 2 බී- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 ඒ - බීනම් | ඒ|=2 , ‌| බී |=3, (ඒබී) = 60 °, c ┴ ඒ , c ┴ බී.

a) -1; ආ) -27; 1 තුළ; ඈ) 35.

4) දෛශික දිග ඒ { xyz) 5 ට සමාන වේ. දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න a, ifx=2, z=-√5

a) 16; ආ) 4 හෝ -4; 9 දී; ඈ) 3 හෝ -3.

5) A (1; -1; 3) නම්, ∆ABS ප්‍රදේශය සොයන්න; B (3; -1; 1) සහ C (-1; 1; -3).

a) 4√3; ආ) √3; ඇ) 2√3; ඈ) √8.

පරීක්ෂණය හරස් පරීක්ෂාව. තිරය ​​මත පරීක්ෂණ අයිතම සඳහා පිළිතුරු කේත: 1 (b); 2 (ඇ);

3 (අ); 4 (ආ); 5 (ඇ).

ඇගයීම් නිර්ණායක:

සියල්ල නිවැරදි - "5"

1 දෝෂය - "4"

දෝෂ 2 - "3"

වෙනත් අවස්ථාවල දී - "2"

ශිෂ්ය දැනුම වගුව

වැඩ කරන්න

කාඩ්පත්

අවසාන

පරීක්ෂණය

සමත් සඳහා ලකුණු

කාර්යයන්

න්යාය

පුරුදු කරනවා

1 වන කණ්ඩායම

2 වන කණ්ඩායම

කණ්ඩායම 3

ණය සඳහා ශිෂ්ය සූදානම තක්සේරු කිරීම.

ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීම සඳහා සම්බන්ධීකරණ ක්රමයේ සාරය

සාරය ගැටළු විසඳීමඛණ්ඩාංක ක්‍රමය භාවිතා කිරීම යනු එක් අවස්ථාවක හෝ වෙනත් අවස්ථාවක අපට පහසු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ඇතුළත් කර එය භාවිතා කර සියලු දත්ත නැවත ලිවීමයි. ඊට පසු, සියලුම නොදන්නා ප්රමාණ හෝ සාක්ෂි මෙම පද්ධතිය භාවිතයෙන් සිදු කරනු ලැබේ. ඇතුල් වන්නේ කෙසේද ලක්ෂ්ය ඛණ්ඩාංකඕනෑම ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, අපි වෙනත් ලිපියකින් සලකා බැලුවෙමු - අපි මේ ගැන මෙහි වාසය නොකරමු.

ඛණ්ඩාංක ක්‍රමයේදී භාවිතා කරන මූලික ප්‍රකාශයන් අපි හඳුන්වා දෙමු.

ප්රකාශය 1:ඛණ්ඩාංක දෛශිකයමෙම දෛශිකයේ අවසානය සහ එහි ආරම්භයේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක අතර වෙනස මගින් තීරණය කරනු ලැබේ.

ප්රකාශය 2:කොටසේ මැද ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක එහි මායිම්වල අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල අර්ධ එකතුව ලෙස තීරණය කරනු ලැබේ.

ප්රකාශය 3:ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක $ (δ_1, δ_2, δ_3) $ සමඟ ඕනෑම දෛශිකයක දිග $ \ overline (δ) $ සූත්‍රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ.

$ | \ overline (δ) | = \ වර්ග (δ_1 ^ 2 + δ_2 ^ 2 + δ_3 ^ 2) $

ප්රකාශය 4:$ (δ_1, δ_2, δ_3) $ සහ $ (β_1, β_2, β_3) $ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇති ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය දෙකක් අතර දුර සූත්‍රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ.

$ d = \ වර්ග ((δ_1-β_1) ^ 2 + (δ_2-β_2) ^ 2 + (δ_3-β_3) ^ 2) $

ඛණ්ඩාංක ක්රමය භාවිතයෙන් ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීම සඳහා යෝජනා ක්රමය

ඛණ්ඩාංක ක්රමය භාවිතා කරමින් ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීම සඳහා, මෙම යෝජනා ක්රමය භාවිතා කිරීම වඩාත් සුදුසුය:

කාර්යයේ දී ඇති දේ විශ්ලේෂණය කරන්න:

• කාර්යය සඳහා වඩාත් සුදුසු සම්බන්ධීකරණ පද්ධතිය සකසන්න;
• ගැටලුවේ තත්ත්වය, ගැටලුවේ ප්රශ්නය, ගණිතමය වශයෙන් ලියා ඇත, මෙම ගැටලුව සඳහා චිත්රයක් ගොඩනගා ඇත.

1. තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංකවල සියලුම කාර්ය දත්ත සටහන් කරන්න.

2. ගැටලුවේ තත්වයෙන් අවශ්‍ය සම්බන්ධතා සාදන්න, තවද මෙම සම්බන්ධතා සොයාගත යුතු දේ සමඟ සම්බන්ධ කරන්න (ගැටළුවේදී ඔප්පු කරන්න).
3. ලබාගත් ප්රතිඵලය ජ්යාමිතිය භාෂාවට පරිවර්තනය කර ඇත.

ඛණ්ඩාංක ක්රමය මගින් විසඳන ලද ගැටළු සඳහා උදාහරණ

ඛණ්ඩාංක ක්‍රමයට මඟ පෙන්වන ප්‍රධාන කාර්යයන් පහත දැක්වේ (අපි ඒවායේ විසඳුම් මෙහි ඉදිරිපත් නොකරමු):

1. දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක එහි අවසානය සහ ආරම්භය මගින් සොයා ගැනීම සඳහා වන කාර්යයන්.
2. ඕනෑම ආකාරයකින් කොටසක් බෙදීමට අදාළ කාර්යයන්.
3. කරුණු තුනක් එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති බවට හෝ ලකුණු හතරක් එකම තලයක පිහිටා ඇති බවට සාක්ෂි.
4. ලබා දී ඇති ලකුණු දෙකක් අතර දුර සෙවීම සඳහා කාර්යයන්.
5. ජ්යාමිතික හැඩතලවල පරිමාවන් සහ ප්රදේශ සොයා ගැනීම සඳහා කාර්යයන්.

පළමු සහ හතරවන ගැටළු විසඳීමේ ප්‍රතිඵල ඉහත ප්‍රධාන ප්‍රකාශයන් ලෙස අප විසින් ලබා දී ඇති අතර ඛණ්ඩාංක ක්‍රමය භාවිතා කර වෙනත් ගැටළු විසඳීමට බොහෝ විට භාවිතා වේ.

ඛණ්ඩාංක ක්‍රමය භාවිතා කිරීම පිළිබඳ කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ

උදාහරණය 1

සාමාන්‍ය පිරමීඩයක පාදයේ පැත්ත $4 $ cm නම් $3 $ cm උසකින් යුත් පැත්තක් සොයන්න.

අපට සාමාන්‍ය පිරමීඩයක් ලබා දෙමු $ ABCDS $, එහි උස $ SO $ වේ. රූප සටහන 1 හි දැක්වෙන පරිදි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙමු.

$ A $ ලක්ෂ්‍යය අප විසින් ගොඩනගා ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ කේන්ද්‍රය වන බැවින්, එසේ නම්

$ B $ සහ $ D $ යන ලක්ෂ්‍ය පිළිවෙළින් $ Ox $ සහ $ Oy $ යන අක්ෂවලට අයත් වන බැවින්, එවිට

$ B = (4,0,0) $, $ D = (0,4,0) $

$ C $ ලක්ෂ්‍යය $ Oxy $ ට අයත් වන බැවින්, එවිට

පිරමීඩය නිවැරදි බැවින් $ O $ යනු $$ කොටසේ මැද වේ. ප්රකාශය 2 ට අනුව, අපට ලැබෙන්නේ:

$ O = (\ frac (0 + 4) (2), \ frac (0 + 4) (2), \ frac (0 + 0) (2)) = (2,2,0) $

$ SO $ උස සිට

ඛණ්ඩාංක ක්රමය භාවිතා කිරීම සඳහා, ඔබ සූත්ර හොඳින් දැන සිටිය යුතුය. ඒවායින් තුනක් තිබේ:

මුලින්ම බැලූ බැල්මට එය භයානක ලෙස පෙනේ, නමුත් කුඩා පුහුණුවක් සහ සෑම දෙයක්ම විශිෂ්ට ලෙස ක්රියා කරනු ඇත.

කාර්ය. දෛශික a = (4; 3; 0) සහ b = (0; 12; 5) අතර කෝණයේ කෝසයිනය සොයන්න.

විසඳුමක්. දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක අපට ලබා දී ඇති බැවින්, අපි ඒවා පළමු සූත්‍රයෙන් ආදේශ කරමු:

කාර්ය. M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) සහ K = (2; 1; 0) යන ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන තලය සඳහා සමීකරණයක් සාදන්න, එය එය හරහා නොයන බව දන්නේ නම්. සම්භවය.

විසඳුමක්. තලයේ සාමාන්‍ය සමීකරණය: Ax + By + Cz + D = 0, නමුත් අපේක්ෂිත තලය ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය හරහා නොයන බැවින් - ලක්ෂ්‍යය (0; 0; 0) - එවිට අපි D = 1 දමමු. මෙතැන් සිට තලය M, N සහ K ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරයි, එවිට මෙම ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක සමීකරණය නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවයට හැරවිය යුතුය.

M = (2; 0; 1) ලක්ෂ්‍යයේ x, y සහ z ඛණ්ඩාංක වෙනුවට ආදේශ කරන්න. අපිට තියෙනවා:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

ඒ හා සමානව, N = (0; 1; 1) සහ K = (2; 1; 0) යන ලකුණු සඳහා අපි සමීකරණ ලබා ගනිමු:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

ඉතින්, අපට සමීකරණ තුනක් සහ නොදන්නා කරුණු තුනක් ඇත. අපි සමීකරණ පද්ධතිය සකස් කර විසඳමු:

ගුවන් යානයේ සමීකරණයට පෝරමය ඇති බව අපට වැටහුණි: - 0.25x - 0.5y - 0.5z + 1 = 0.

කාර්ය. තලය ලබා දෙන්නේ 7x - 2y + 4z + 1 = 0 සමීකරණයෙනි. ලබා දී ඇති තලයට ලම්බකව දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න.

විසඳුමක්. තුන්වන සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපට n = (7; - 2; 4) ලැබේ - එපමණයි!

දෛශික ඛණ්ඩාංක ගණනය කිරීම

නමුත් ගැටලුවේ දෛශික නොමැති නම් කුමක් කළ යුතුද - ඇත්තේ සරල රේඛා මත පිහිටා ඇති ලකුණු පමණක් වන අතර මෙම සරල රේඛා අතර කෝණය ගණනය කිරීමට ඔබට අවශ්‍යද? එය සරලයි: ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක දැන ගැනීම - දෛශිකයේ ආරම්භය සහ අවසානය - ඔබට දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ගණනය කළ හැකිය.

දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට, එහි අවසානයෙහි ඛණ්ඩාංක වලින් ආරම්භයේ ඛණ්ඩාංක අඩු කරන්න.

මෙම ප්‍රමේයය තලයේ සහ අභ්‍යවකාශයේ යන දෙඅංශයෙන්ම එකම ආකාරයකින් ක්‍රියා කරයි. "ඛණ්ඩාංක අඩු කරන්න" යන ප්‍රකාශයෙන් අදහස් වන්නේ තවත් එකක x ඛණ්ඩාංකය එක් ලක්ෂ්‍යයක x ඛණ්ඩාංකයෙන් අඩු කරන බවයි, එවිට y සහ z ඛණ්ඩාංක සමඟද එයම කළ යුතුය. මෙන්න උදාහරණ කිහිපයක්:

කාර්ය. අභ්‍යවකාශයේ ලකුණු තුනක් ඇත, ඒවායේ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇත: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) සහ C = (- 4; 3; - 2). AB, AC සහ BC දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයන්න.

දෛශික AB සලකා බලන්න: එහි මූලාරම්භය A ලක්ෂ්‍යයේ වන අතර එහි අවසානය B ලක්ෂ්‍යයේ වේ. එබැවින්, එහි ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට, A ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක B ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක වලින් අඩු කිරීම අවශ්‍ය වේ:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

එලෙසම, දෛශික AC හි ආරම්භය තවමත් A ලක්ෂ්‍යය වේ, නමුත් අවසානය C ලක්ෂ්‍යය වේ. එබැවින්, අපට ඇත්තේ:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

අවසාන වශයෙන්, BC දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට, ඔබ C ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක වලින් B ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක අඩු කළ යුතුය:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

පිළිතුර: AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

අවසාන BC දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ගණනය කිරීම කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න: සෘණ සංඛ්යා සමඟ වැඩ කිරීමේදී බොහෝ අය වැරදි සිදු කරයි. මෙය y විචල්‍යයට අදාළ වේ: ලක්ෂ්‍යය B හි y = - 1, සහ C y = 3 ලක්ෂ්‍යය. අපට ලැබෙන්නේ හරියටම 3 - (- 1) = 4, සහ බොහෝ දෙනෙක් විශ්වාස කරන පරිදි 3 - 1 නොවේ. මේ වගේ මෝඩ වැරදි කරන්න එපා!

සරල රේඛා සඳහා දිශා වාහක ගණනය කිරීම

ඔබ Problem C2 හොඳින් කියවා බැලුවහොත්, එහි දෛශික නොමැති බව දැකීමෙන් ඔබ පුදුමයට පත් වනු ඇත. ඇත්තේ සරල රේඛා සහ ගුවන් යානා පමණි.

අපි සරල රේඛා වලින් පටන් ගනිමු. මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි: ඕනෑම සරල රේඛාවක අවම වශයෙන් වෙනස් ලක්ෂ්‍ය දෙකක් ඇති අතර, අනෙක් අතට, ඕනෑම වෙනස් ලක්ෂ්‍ය දෙකක් තනි සරල රේඛාවක් අර්ථ දක්වයි ...

කලින් ඡේදයේ ලියා ඇති දේ යමෙකුට තේරෙනවාද? මම එය මා විසින්ම තේරුම් නොගත්තෙමි, එබැවින් මම එය වඩාත් පහසු ලෙස පැහැදිලි කරමි: ගැටලුව C2 හි, සරල රේඛා සෑම විටම ලකුණු යුගලයක් මගින් ලබා දෙනු ලැබේ. අපි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දී මෙම ලක්ෂ්‍යවල ආරම්භයක් සහ අවසානයක් සහිත දෛශිකයක් සලකා බැලුවහොත්, අපට සරල රේඛාවක් සඳහා ඊනියා දිශා දෛශිකය ලැබේ:

මෙම දෛශිකය අවශ්ය වන්නේ ඇයි? කාරණය වන්නේ සරල රේඛා දෙකක් අතර කෝණය ඔවුන්ගේ දිශා දෛශික අතර කෝණයයි. මේ අනුව, අපි තේරුම්ගත නොහැකි සරල රේඛා සිට නිශ්චිත දෛශික වෙත ගමන් කරමු, ඒවායේ ඛණ්ඩාංක ගණනය කිරීම පහසුය. එය කොතරම් පහසුද? උදාහරණ බලන්න:

කාර්ය. ඝනකයේ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 රේඛා AC සහ BD 1 ඇද ඇත. මෙම රේඛාවල දිශා දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයන්න.

ඝනකයේ දාරවල දිග කොන්දේසියේ නිශ්චිතව දක්වා නොමැති බැවින්, අපි AB = 1 ලෙස සකසන්නෙමු. අපි A ලක්ෂ්‍යයේ මූලාරම්භය සහ AB, AD සහ AA 1 රේඛා ඔස්සේ යොමු කරන ලද x, y, z අක්ෂ සමඟ සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු. පිළිවෙලින්. ඒකක කොටස AB = 1 ට සමාන වේ.

දැන් අපි රේඛාව AC සඳහා දිශා දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු. අපට කරුණු දෙකක් අවශ්ය වේ: A = (0; 0; 0) සහ C = (1; 1; 0). මෙතැන් සිට අපි දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ලබා ගනිමු AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - මෙය දිශා දෛශිකයයි.

දැන් අපි සරල රේඛාව BD 1 සමඟ කටයුතු කරමු. එය ද ලකුණු දෙකක් ඇත: B = (1; 0; 0) සහ D 1 = (0; 1; 1). අපි දිශාව දෛශික BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1) ලබා ගනිමු.

පිළිතුර: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

කාර්ය. සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර ප්‍රිස්මයක ABCA 1 B 1 C 1, 1 ට සමාන වන සියලුම දාර, AB 1 සහ AC 1 රේඛා ඇද ඇත. මෙම රේඛාවල දිශා දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයන්න.

අපි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙමු: මූලාරම්භය A ලක්ෂ්‍යයේ වේ, x-අක්ෂය AB සමඟ සමපාත වේ, z-අක්ෂය AA 1 සමඟ සමපාත වේ, y-අක්ෂය ABC තලය සමඟ සමපාත වන x-අක්ෂය සමඟ OXY තලය සාදයි. .

පළමුව, අපි සරල රේඛාව AB 1 සමඟ කටයුතු කරමු. මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි: අපට A = (0; 0; 0) සහ B 1 = (1; 0; 1) ලකුණු ඇත. අපි දිශාව දෛශිකය AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1) ලබා ගනිමු.

දැන් අපි AC 1 සඳහා දිශා දෛශිකය සොයා ගනිමු. එකම - එකම වෙනස වන්නේ C 1 ලක්ෂ්යය අතාර්කික ඛණ්ඩාංක තිබීමයි. එබැවින්, A = (0; 0; 0), එබැවින් අපට ඇත්තේ:

පිළිතුර: AB 1 = (1; 0; 1);

අවසාන උදාහරණය ගැන කුඩා නමුත් ඉතා වැදගත් සටහනක්. දෛශිකයේ සම්භවය සම්භවය සමග සම්පාත වේ නම්, ගණනය කිරීම් විශාල වශයෙන් සරල කර ඇත: දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සරලව අවසානයේ ඛණ්ඩාංක වලට සමාන වේ. අවාසනාවකට, මෙය සත්‍ය වන්නේ දෛශික සඳහා පමණි. නිදසුනක් ලෙස, ගුවන් යානා සමඟ වැඩ කරන විට, ඒවායේ මූලාරම්භය පැවතීම ගණනය කිරීම් සංකීර්ණ කරයි.

ගුවන් යානා සඳහා සාමාන්ය දෛශික ගණනය කිරීම

සාමාන්‍ය දෛශික යනු හොඳින් කරන හෝ කරන දෛශික නොවේ. නිර්වචනය අනුව, තලයකට සාමාන්‍ය දෛශිකයක් (සාමාන්‍ය) යනු එම තලයට ලම්බක දෛශිකයකි.

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සාමාන්‍ය යනු යම් තලයක ඇති ඕනෑම දෛශිකයකට ලම්බක දෛශිකයකි. නිසැකවම ඔබ එවැනි නිර්වචනයක් හමු වී ඇත - කෙසේ වෙතත්, දෛශික වෙනුවට, අපි සරල රේඛා ගැන කතා කළා. කෙසේ වෙතත්, ඊට මදක් ඉහළින් පෙන්නුම් කළේ C2 ගැටලුවේදී ඔබට ඕනෑම පහසු වස්තුවක් සමඟ ක්‍රියා කළ හැකි බවයි - සරල රේඛාවක් පවා, දෛශිකයක් පවා.

ඕනෑම ගුවන් යානයක් Ax + By + Cz + D = 0 යන සමීකරණය මගින් අභ්‍යවකාශයේ අර්ථ දක්වා ඇති බව නැවත වරක් ඔබට මතක් කර දෙන්නම්, මෙහි A, B, C, සහ D සමහර සංගුණක වේ. විසඳුමේ සාමාන්‍යභාවය නැතිවීමකින් තොරව, තලය මූලාරම්භය හරහා නොයන්නේ නම් අපට D = 1 හෝ එය එසේ වුවහොත් D = 0 ලෙස උපකල්පනය කළ හැකිය. ඕනෑම අවස්ථාවක, මෙම තලයට සාමාන්‍ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක n = (A; B; C) වේ.

ඉතින්, ගුවන් යානය ද දෛශිකයක් මගින් සාර්ථකව ප්රතිස්ථාපනය කළ හැකිය - එකම සාමාන්යය. ඕනෑම ගුවන් යානයක් අභ්‍යවකාශයේදී ලකුණු තුනකින් අර්ථ දක්වා ඇත. ගුවන් යානයේ සමීකරණය සොයා ගන්නේ කෙසේද (සහ එබැවින් සාමාන්යය), අපි දැනටමත් ලිපියේ ආරම්භයේදීම සාකච්ඡා කර ඇත. කෙසේ වෙතත්, මෙම ක්‍රියාවලිය බොහෝ දෙනෙකුට ගැටළු ඇති කරයි, එබැවින් මම තවත් උදාහරණ කිහිපයක් දෙන්නෙමි:

කාර්ය. A 1 BC 1 කොටස ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ඝනකයේ ඇද ඇත. මූලාරම්භය A ලක්ෂ්‍යයේ නම් සහ x, y සහ z අක්ෂ පිළිවෙලින් AB, AD සහ AA 1 දාර සමඟ සමපාත වන්නේ නම් මෙම කොටසේ තලය සඳහා සාමාන්‍ය දෛශිකය සොයා ගන්න.

තලය මූලාරම්භය හරහා නොයන බැවින්, එහි සමීකරණය මෙලෙස දිස්වේ: Ax + By + Cz + 1 = 0, i.e. සංගුණකය D = 1. මෙම තලය A 1, B සහ C 1 ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන බැවින්, මෙම ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක තලයේ සමීකරණය නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවය බවට පත් කරයි.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

ඒ හා සමානව, ලකුණු B = (1; 0; 0) සහ C 1 = (1; 1; 1) සඳහා අපි සමීකරණ ලබා ගනිමු:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

නමුත් අපි දැනටමත් A = - 1 සහ C = - 1 සංගුණක දනිමු, එබැවින් B සංගුණකය සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

අපි ගුවන් යානයේ සමීකරණය ලබා ගනිමු: - A + B - C + 1 = 0, එබැවින්, සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක n = (- 1; 1; - 1) ට සමාන වේ.

කාර්ය. AA 1 C 1 C කොටස ABCDA 1 B 1 C 1 D ඝනකයේ ඇද ඇත 1. මූලාරම්භය A ලක්ෂ්‍යයේ නම් සහ x, y සහ z අක්ෂ සමපාත වන්නේ නම් මෙම කොටසේ තලය සඳහා සාමාන්‍ය දෛශිකය සොයන්න. දාර AB, AD සහ AA 1 පිළිවෙලින්.

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, තලය මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරයි, එබැවින් සංගුණකය D = 0, සහ තල සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: Ax + By + Cz = 0. තලය A1 සහ C ලකුණු හරහා ගමන් කරන බැවින්, මෙම ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක තල සමීකරණය නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවයට හරවන්න.

A 1 = (0; 0; 1) ලක්ෂ්‍යයේ x, y සහ z ඛණ්ඩාංක වෙනුවට ආදේශ කරන්න. අපිට තියෙනවා:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

ඒ හා සමානව, C = (1; 1; 0) ලක්ෂ්‍යය සඳහා අපට සමීකරණය ලැබේ:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

අපි B = 1 දමමු. එවිට A = - B = - 1, සහ සම්පූර්ණ තලයේ සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත: - A + B = 0, එබැවින්, සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සමාන වේ n = (- 1; 1; 0).

පොදුවේ ගත් කල, ඉහත ගැටළු වලදී සමීකරණ පද්ධතියක් සකස් කර එය විසඳීමට අවශ්ය වේ. සමීකරණ තුනක් සහ විචල්ය තුනක් ඇත, නමුත් දෙවන නඩුවේ ඔවුන්ගෙන් එකක් නිදහස් වනු ඇත, i.e. අත්තනෝමතික අගයන් ගන්න. විසඳුමේ සාමාන්‍යභාවයට සහ පිළිතුරේ නිවැරදි භාවයට අගතියකින් තොරව B = 1 - දැමීමට අපට අයිතියක් ඇත්තේ එබැවිනි.

බොහෝ විට C2 ගැටලුවේදී, කොටස අඩකින් බෙදන ලකුණු සමඟ වැඩ කිරීම අවශ්ය වේ. කොටසේ කෙළවරේ ඛණ්ඩාංක දන්නේ නම් එවැනි ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය.

එබැවින්, කොටස එහි කෙළවර මගින් අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න - ලකුණු A = (x a; y a; z a) සහ B = (x b; y b; z b). එවිට කොටසේ මැද ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක - අපි එය H ලක්ෂ්‍යයෙන් දක්වන්නෙමු - සූත්‍රයෙන් සොයාගත හැකිය:

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, කොටසක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක එහි කෙළවරේ ඛණ්ඩාංකවල අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය වේ.

කාර්ය. ඒකක ඝනකයක් ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ තැන්පත් කර ඇති අතර එමඟින් x, y සහ z අක්ෂ පිළිවෙලින් AB, AD සහ AA 1 දාර ඔස්සේ යොමු කෙරෙන අතර මූලාරම්භය A. ලක්ෂ්‍යය K සමඟ සමපාත වේ. A 1 B 1 දාරයේ මැද ලක්ෂ්‍යය වේ. මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න.

K ලක්ෂ්‍යය A 1 B 1 ඛණ්ඩයේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය වන බැවින්, එහි ඛණ්ඩාංක අන්තවල ඛණ්ඩාංකවල අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයට සමාන වේ. අපි කෙළවරේ ඛණ්ඩාංක ලියන්නෙමු: A 1 = (0; 0; 1) සහ B 1 = (1; 0; 1). දැන් අපි K ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු:

කාර්ය. ඒකක ඝනකයක් ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ තැන්පත් කර ඇති අතර එමඟින් x, y සහ z අක්ෂ පිළිවෙලින් AB, AD සහ AA 1 දාර ඔස්සේ යොමු කෙරෙන අතර මූලාරම්භය A ලක්ෂ්‍යය සමඟ සමපාත වේ. සොයන්න A 1 B 1 C 1 D 1 චතුරස්‍රයේ විකර්ණ ඡේදනය වන L ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක.

සමචතුරස්‍රයක විකර්ණවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය එහි සියලුම සිරස්වලින් සමාන දුරස්ථ බව ප්ලැනිමෙට්‍රි පාඨමාලාවෙන් දන්නා කරුණකි. විශේෂයෙන්ම, A 1 L = C 1 L, i.e. ලක්ෂ්‍යය L යනු A 1 C 1 කොටසේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය වේ. නමුත් A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), එබැවින් අපට ඇත්තේ:

පිළිතුර: L = (0.5; 0.5; 1)