Emnet "En tangents vinkelkoefficient som tangens af hældningsvinklen" får flere opgaver i certificeringseksamenen. Afhængigt af deres tilstand kan kandidaten blive bedt om at give enten et fuldt svar eller et kort svar. Når den studerende forbereder sig på at tage Unified State-eksamen i matematik, skal den studerende absolut gentage de opgaver, der kræver beregning af hældningen af ​​en tangent.

Shkolkovo uddannelsesportal hjælper dig med at gøre dette. Vores specialister udarbejdede og præsenterede teoretisk og praktisk materiale på den mest tilgængelige måde. Efter at være blevet bekendt med det, vil kandidater med ethvert træningsniveau være i stand til med succes at løse problemer relateret til derivater, hvor det er nødvendigt at finde tangenten til tangentvinklen.

Grundlæggende øjeblikke

For at finde den korrekte og rationelle løsning på sådanne opgaver i Unified State Exam, er det nødvendigt at huske den grundlæggende definition: den afledte repræsenterer ændringshastigheden af ​​en funktion; den er lig med tangenten af ​​tangentvinklen tegnet til grafen for funktionen i et bestemt punkt. Det er lige så vigtigt at færdiggøre tegningen. Det giver dig mulighed for at finde den korrekte løsning på BRUG-problemer på den afledede, hvor du skal beregne tangenten til tangentvinklen. For klarhedens skyld er det bedst at plotte grafen på OXY-planet.

Hvis du allerede har gjort dig bekendt med det grundlæggende materiale om emnet derivater og er klar til at begynde at løse problemer med at beregne tangenten til tangentvinklen, svarende til Unified State Examination-opgaverne, kan du gøre dette online. For hver opgave, for eksempel problemer om emnet "Forholdet mellem et derivat og en krops hastighed og acceleration", skrev vi det korrekte svar og løsningsalgoritme ned. Samtidig kan eleverne øve sig i at udføre opgaver af varierende kompleksitetsniveau. Øvelsen kan eventuelt gemmes i afsnittet "Favoritter", så du senere kan diskutere løsningen med læreren.

I matematik er en af ​​de parametre, der beskriver positionen af ​​en linje på det kartesiske koordinatplan, vinkelkoefficienten for denne linje. Denne parameter karakteriserer hældningen af ​​den lige linje til abscisseaksen. For at forstå, hvordan man finder hældningen, skal du først huske den generelle form for ligningen for en ret linje i XY-koordinatsystemet.

Generelt kan enhver linje repræsenteres af udtrykket ax+by=c, hvor a, b og c er vilkårlige reelle tal, men a 2 + b 2 ≠ 0.

Ved hjælp af simple transformationer kan en sådan ligning bringes til formen y=kx+d, hvor k og d er reelle tal. Tallet k er hældningen, og ligningen for en linje af denne type kaldes en ligning med en hældning. Det viser sig, at for at finde hældningen skal du blot reducere den oprindelige ligning til formen angivet ovenfor. For en mere fuldstændig forståelse, overvej et specifikt eksempel:

Opgave: Find hældningen af ​​linjen givet ved ligningen 36x - 18y = 108

Løsning: Lad os transformere den oprindelige ligning.

Svar: Den nødvendige hældning på denne linje er 2.

Hvis vi under transformationen af ​​ligningen fik et udtryk som x = const, og vi som følge heraf ikke kan repræsentere y som en funktion af x, så har vi at gøre med en ret linje parallel med X-aksen. en ret linje er lig med uendelig.

For linjer udtrykt ved en ligning som y = const, er hældningen nul. Dette er typisk for lige linjer parallelt med abscisseaksen. For eksempel:

Opgave: Find hældningen af ​​linjen givet ved ligningen 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Løsning: Lad os bringe den oprindelige ligning til dens generelle form

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Det er umuligt at udtrykke y fra det resulterende udtryk, derfor er vinkelkoefficienten for denne linje lig med uendelig, og linjen selv vil være parallel med Y-aksen.

Geometrisk betydning

For en bedre forståelse, lad os se på billedet:

På figuren ser vi en graf af en funktion som y = kx. For at forenkle, lad os tage koefficienten c = 0. I trekanten OAB vil forholdet mellem side BA og AO være lig med vinkelkoefficienten k. Samtidig er forholdet BA/AO tangenten til den spidse vinkel α i den retvinklede trekant OAB. Det viser sig, at vinkelkoefficienten for den rette linje er lig med tangenten af ​​den vinkel, som denne rette linje laver med koordinatgitterets abscisseakse.

Ved at løse problemet med, hvordan man finder vinkelkoefficienten for en ret linje, finder vi tangenten af ​​vinklen mellem den og X-aksen af ​​koordinatgitteret. Grænsetilfælde, hvor den pågældende linje er parallel med koordinatakserne, bekræfter ovenstående. Faktisk, for en ret linje beskrevet af ligningen y=const, er vinklen mellem den og abscisseaksen nul. Tangens af nulvinklen er også nul, og hældningen er også nul.

For rette linjer vinkelret på x-aksen og beskrevet af ligningen x=const, er vinklen mellem dem og X-aksen 90 grader. Tangensen af ​​en ret vinkel er lig med uendeligt, og vinkelkoefficienten af ​​lignende rette linjer er også lig med uendelig, hvilket bekræfter det, der er skrevet ovenfor.

Tangent hældning

En almindelig opgave, man ofte støder på i praksis, er også at finde hældningen af ​​en tangent til grafen for en funktion i et bestemt punkt. En tangent er en ret linje, derfor er begrebet hældning også anvendeligt på den.

For at finde ud af, hvordan man finder hældningen af ​​en tangent, bliver vi nødt til at huske begrebet afledet. Den afledede af enhver funktion i et bestemt punkt er en konstant numerisk lig med tangenten af ​​den vinkel, der dannes mellem tangenten i det angivne punkt til grafen for denne funktion og abscisseaksen. Det viser sig, at for at bestemme vinkelkoefficienten for tangenten ved punktet x 0, skal vi beregne værdien af ​​den afledede af den oprindelige funktion på dette punkt k = f"(x 0). Lad os se på eksemplet:

Opgave: Find hældningen af ​​linjen, der tangerer funktionen y = 12x 2 + 2xe x ved x = 0,1.

Løsning: Find den afledede af den oprindelige funktion i generel form

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Svar: Den nødvendige hældning ved punkt x = 0,1 er 4,831

Lad på et plan, hvor der er et rektangulært kartesisk koordinatsystem, en lige linje l går gennem punktet M 0 parallelt med retningsvektoren EN (Fig. 96).

Hvis lige l krydser O-aksen x(ved punkt N), derefter i en vinkel på en ret linje l med O-akse x vi vil forstå vinklen α, som det er nødvendigt at dreje O-aksen med x omkring punkt N i retning modsat rotation med uret, således at O-aksen x faldt sammen med en lige linje l. (Dette henviser til en vinkel mindre end 180°.)

Denne vinkel kaldes hældningsvinkel lige. Hvis lige l parallelt med O-aksen x, så antages hældningsvinklen at være nul (fig. 97).

Tangens af hældningsvinklen for en ret linje kaldes hældning af en lige linje og er normalt betegnet med bogstavet k:

tan α = k. (1)

Hvis α = 0, så k= 0; det betyder, at linjen er parallel med O-aksen x og dens hældning er nul.

Hvis α = 90°, så k= tan α giver ikke mening: det betyder, at en ret linje vinkelret på O-aksen x(dvs. parallelt med O-aksen på), har ingen hældning.

Hældningen af ​​en linje kan beregnes, hvis koordinaterne for to punkter på denne linje er kendt. Lad to punkter på en linje være givet: M 1 ( x 1 ; på 1) og M 2 ( x 2 ; på 2) og lad for eksempel 0< α < 90°, а x 2 > x 1 , på 2 > på 1 (fig. 98).

Så finder vi fra den rigtige trekant M 1 PM 2

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

Det er ligeledes bevist, at formel (2) også er sand i tilfælde af 90°< α < 180°.

Formel (2) bliver meningsløs hvis x 2 - x 1 = 0, dvs. hvis lige l parallelt med O-aksen på. Der er ingen hældningskoefficient for sådanne lige linjer.

Opgave 1. Bestem vinkelkoefficienten for den prim, der passerer gennem punkterne

M1 (3; -5) og M2 (5; -7).

Ved at erstatte koordinaterne for punkterne M 1 og M 2 i formel (2), opnår vi

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) eller k = -1

Opgave 2. Bestem hældningen af ​​den lige linje, der går gennem punkterne M 1 (3; 5) og M 2 (3; -2).

Fordi x 2 - x 1 = 0, så mister lighed (2) sin betydning. Der er ingen hældning for denne lige linje. Den rette linje M 1 M 2 er parallel med O-aksen på.

Opgave 3. Bestem hældningen af ​​linjen, der går gennem origo og punkt M 1 (3; -5)

I dette tilfælde falder punkt M 2 sammen med oprindelsen. Ved at anvende formel (2) får vi

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Lad os lave en ligning for en ret linje med en vinkelkoefficient k, der passerer gennem punktet

M 1 ( x 1 ; på 1). Ifølge formel (2) findes vinkelkoefficienten for en ret linje ud fra koordinaterne for dens to punkter. I vores tilfælde er punkt M 1 givet, og som det andet punkt kan vi tage et hvilket som helst punkt M( X; på) den ønskede lige linje.

Hvis punktet M ligger på en ret linje, der går gennem punktet M 1 og har en vinkelkoefficient k, så har vi i kraft af formel (2).

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

Hvis punktet M ikke ligger på en linje, så holder lighed (3) ikke. Følgelig er lighed (3) ligningen for linjen, der går gennem punktet M 1 ( x 1 ; på 1) med hældning k; denne ligning skrives normalt som

y- y 1 = k(x - x 1). (4)

Hvis den rette linje skærer O-aksen på på et tidspunkt (0; b), så antager ligning (4) formen

på - b = k (x- 0),

y = kx + b. (5)

Denne ligning kaldes ligning af en ret linje med hældning k og begyndelsesordinat b.

Opgave 4. Find hældningsvinklen for den rette linje √3 x + 3på - 7 = 0.

Lad os reducere denne ligning til formen

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

Derfor, k= tan α = - 1 / √ 3, hvorfra α = 150°

Opgave 5. Skriv en ligning for en ret linje, der går gennem punktet P(3; -4) med en vinkelkoefficient k = 2 / 5

Erstatning k = 2 / 5 , x 1 = 3, y 1 = - 4 ind i ligning (4), får vi

på - (- 4) = 2 / 5 (x- 3) eller 2 x - 5på - 26 = 0.

Opgave 6. Skriv en ligning for en ret linje, der går gennem punktet Q (-3; 4) og en komponent med O-aksens positive retning x vinkel 30°.

Hvis α = 30°, så k= solbrun 30° = √ 3/3 . Indsættelse af værdierne i ligning (4). x 1 , y 1 og k, vi får

på -4 = √ 3 / 3 (x+ 3) eller √3 x-3y + 12 + 3√3 = 0.

Numerisk lig med tangenten af ​​vinklen (der udgør den mindste rotation fra Ox-aksen til Oy-aksen) mellem abscisseaksens positive retning og den givne rette linje.

Tangens af en vinkel kan beregnes som forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side. k er altid lig med , det vil sige den afledede af ligningen for en ret linje mht x.

For positive værdier af hældningen k og nulforskydningskoefficient b den rette linje vil ligge i første og tredje kvadrant (hvori x Og y både positive og negative). Samtidig store værdier af vinkelkoefficienten k en stejlere lige linje vil svare, og en fladere vil svare til mindre.

Lige og vinkelret hvis , og parallel hvis .

Noter

Wikimedia Foundation. 2010.

• Iphit (konge af Elis)
• Liste over dekreter fra præsidenten for Den Russiske Føderation "Om tildeling af statspriser" for 2001

Se hvad "vinkelkoefficient for en ret linje" er i andre ordbøger:

hældning (direkte)- - Emner olie- og gasindustrien EN hældning... Teknisk oversættervejledning

Hældningsfaktor- (matematisk) tal k i ligningen for en ret linje på planet y = kx+b (se Analytisk geometri), der karakteriserer hældningen af ​​den rette linje i forhold til x-aksen. I det rektangulære koordinatsystem i U.K. k = tan φ, hvor φ er vinklen mellem ... ... Store sovjetiske encyklopædi

Ligninger af en linje

ANALYTISK GEOMETRI- en sektion af geometri, der studerer de enkleste geometriske objekter ved hjælp af elementær algebra baseret på koordinatmetoden. Skabelsen af ​​analytisk geometri tilskrives normalt R. Descartes, som skitserede dens grundlag i det sidste kapitel af hans... ... Colliers Encyclopedia

Reaktionstid- Måling af reaktionstid (RT) er nok det mest ærværdige emne inden for empirisk psykologi. Det opstod inden for astronomi, i 1823, med måling af individuelle forskelle i hastigheden af ​​opfattelsen af ​​en stjerne, der krydser en teleskoplinje. Disse … Psykologisk encyklopædi

MATEMATISK ANALYSE- en gren af ​​matematikken, der giver metoder til kvantitativ forskning af forskellige forandringsprocesser; beskæftiger sig med studiet af ændringshastigheden (differentialregning) og bestemmelsen af ​​længderne af kurver, arealer og rumfang af figurer begrænset af buede konturer og ... Colliers Encyclopedia

Lige- Dette udtryk har andre betydninger, se Direkte (betydninger). Den lige linje er et af de grundlæggende begreber inden for geometri, det vil sige, at den ikke har en nøjagtig universel definition. I en systematisk præsentation af geometri tages en ret linje normalt som én... ... Wikipedia

Lige linje- Billede af rette linjer i et rektangulært koordinatsystem Ret linje er et af de grundlæggende begreber inden for geometri. I en systematisk præsentation af geometri tages en ret linje normalt som et af de indledende begreber, som kun er indirekte defineret... ... Wikipedia

Direkte- Billede af rette linjer i et rektangulært koordinatsystem Ret linje er et af de grundlæggende begreber inden for geometri. I en systematisk præsentation af geometri tages en ret linje normalt som et af de indledende begreber, som kun er indirekte defineret... ... Wikipedia

Mindre skaft- Ikke at forveksle med udtrykket "Ellipsis". Ellipse og dens foci Ellipse (oldgræsk ἔλλειψις mangel, i betydningen mangel på excentricitet op til 1) stedet for punkterne M i det euklidiske plan, hvor summen af ​​afstandene fra to givne punkter er F1... ... Wikipedia

Problemer med at finde den afledede af en tangent er inkluderet i Unified State Examination i matematik og findes der hvert år. Samtidig viser statistik fra de seneste år, at sådanne opgaver volder visse vanskeligheder for dimittender. Derfor, hvis en studerende forventer at få anstændige scoringer efter at have bestået Unified State-eksamenen, så bør han helt sikkert lære at håndtere problemer fra afsnittet "Vinkelkoefficient for en tangent som værdien af ​​den afledte ved tangenspunktet," udarbejdet af specialister fra Shkolkovo uddannelsesportal. Efter at have forstået algoritmen til at løse dem, vil den studerende være i stand til med succes at overvinde certificeringstesten.

Grundlæggende øjeblikke

Når du begynder at løse BRUG-problemer om dette emne, er det nødvendigt at huske den grundlæggende definition: afledet af en funktion i et punkt er lig med hældningen af ​​tangenten til grafen for funktionen på dette punkt. Dette er den geometriske betydning af derivatet.

Der er en anden vigtig definition, der skal opdateres. Det lyder sådan her: vinkelkoefficienten er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen for tangenten til abscisseaksen.

Hvilke andre vigtige punkter er værd at bemærke i dette emne? Når du løser problemer med at finde den afledede i Unified State Examination, er det nødvendigt at huske, at vinklen dannet af tangenten kan være mindre end, mere end 90 grader eller lig med nul.

Hvordan forbereder man sig til eksamen?

For at sikre, at opgaver i Unified State Examination om emnet "Vinkelkoefficienten for en tangent som værdien af ​​derivatet ved tangenspunktet" gives til dig ganske nemt, når du forbereder dig til den afsluttende test, skal du bruge oplysningerne om denne sektion på Shkolkovo uddannelsesportal. Her finder du det nødvendige teoretiske materiale, samlet og overskueligt præsenteret af vores specialister, og du vil også kunne øve dig i at udføre øvelserne.

For hver opgave, for eksempel problemer om emnet "En tangents vinkelkoefficient som tangenten til hældningsvinklen", skrev vi det korrekte svar og løsningsalgoritme ned. Samtidig kan eleverne udføre øvelser af forskellige sværhedsgrader online. Hvis det er nødvendigt, kan opgaven gemmes i sektionen "Favoritter", så du senere kan diskutere dens løsning med læreren.