Մաթեմատիկայի այն ճյուղերից մեկը, որով ուսանողները հաղթահարում են ամենամեծ դժվարությունները, եռանկյունաչափությունն է։ Զարմանալի չէ. այս գիտելիքի ոլորտը ազատորեն տիրապետելու համար անհրաժեշտ է տարածական մտածողություն, բանաձևերով սինուսներ, կոսինուսներ, շոշափողներ, կոտանգենսներ գտնելու, արտահայտությունները պարզեցնելու և պի-ն օգտագործելու ունակությունը հաշվարկներում: Բացի այդ, թեորեմներն ապացուցելիս պետք է կարողանալ կիրառել եռանկյունաչափություն, իսկ դրա համար անհրաժեշտ է կա՛մ զարգացած մաթեմատիկական հիշողություն, կա՛մ բարդ տրամաբանական շղթաներ դուրս բերելու կարողություն:

Եռանկյունաչափության ծագումը

Այս գիտության հետ ծանոթությունը պետք է սկսվի անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի որոշմամբ, բայց նախ պետք է պարզել, թե ընդհանրապես ինչ է անում եռանկյունաչափությունը:

Պատմականորեն ուղղանկյուն եռանկյունները մաթեմատիկական գիտության այս ճյուղի հետազոտության հիմնական առարկան էին։ 90 աստիճանի անկյան առկայությունը հնարավորություն է տալիս իրականացնել տարբեր գործողություններ, որոնք թույլ են տալիս որոշել տվյալ գործչի բոլոր պարամետրերի արժեքները երկու կողմերում և մեկ անկյունում, կամ երկու անկյուններում և մեկ կողմում: Նախկինում մարդիկ նկատեցին այս օրինաչափությունը և սկսեցին ակտիվորեն օգտագործել այն շենքերի շինարարության, նավիգացիայի, աստղագիտության և նույնիսկ արվեստի մեջ:

Առաջին փուլ

Սկզբում մարդիկ խոսում էին անկյունների և կողմերի հարաբերությունների մասին բացառապես ուղղանկյուն եռանկյունների օրինակով։ Այնուհետեւ հայտնաբերվեցին հատուկ բանաձեւեր, որոնք հնարավորություն տվեցին ընդլայնել մաթեմատիկայի այս ճյուղի կիրառման սահմանները առօրյա կյանքում։

Այսօր դպրոցում եռանկյունաչափության ուսումնասիրությունը սկսվում է ուղղանկյուն եռանկյուններով, որից հետո ստացած գիտելիքները սովորողները օգտագործում են ֆիզիկայում և աբստրակտ եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, որոնց հետ աշխատանքը սկսվում է ավագ դպրոցից:

Գնդաձև եռանկյունաչափություն

Հետագայում, երբ գիտությունը հասավ զարգացման հաջորդ մակարդակին, գնդային երկրաչափության մեջ սկսեցին կիրառվել սինուսով, կոսինուսով, շոշափողով, կոտանգենսով բանաձևերը, որտեղ գործում են տարբեր կանոններ, իսկ եռանկյան անկյունների գումարը միշտ ավելի քան 180 աստիճան է։ Այս բաժինը դպրոցում չի ուսումնասիրվում, բայց անհրաժեշտ է իմանալ դրա գոյության մասին գոնե այն պատճառով, որ երկրագնդի և ցանկացած այլ մոլորակի մակերեսը ուռուցիկ է, ինչը նշանակում է, որ ցանկացած մակերևույթի գծանշում կլինի «կամարաձև» եռաչափ: տարածություն.

Վերցրեք գլոբուսը և լարը: Թելը ամրացրեք գլոբուսի ցանկացած երկու կետի վրա, որպեսզի այն ձգվի: Ուշադրություն դարձրեք, այն վերցրեց աղեղի ձև: Նման ձևերի հետ առնչվում է գնդային երկրաչափությունը, որն օգտագործվում է գեոդեզիայի, աստղագիտության և այլ տեսական ու կիրառական ոլորտներում։

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Մի փոքր սովորելով եռանկյունաչափության օգտագործման եղանակներին՝ վերադառնանք հիմնական եռանկյունաչափությանը, որպեսզի հետագայում հասկանանք, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը, ինչ հաշվարկներ կարելի է կատարել դրանց օգնությամբ և ինչ բանաձևեր օգտագործել այս դեպքում:

Առաջին քայլը հասկանալն է ուղղանկյուն եռանկյունու հետ կապված հասկացությունները: Նախ, հիպոթենուսը 90 աստիճանի անկյան հակառակ կողմն է: Այն ամենաերկարն է։ Հիշում ենք, որ Պյութագորասի թեորեմի համաձայն նրա թվային արժեքը հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարի արմատին։

Օրինակ, եթե երկու կողմերը համապատասխանաբար 3 և 4 սանտիմետր են, ապա հիպոթենուսի երկարությունը 5 սանտիմետր է: Ի դեպ, հին եգիպտացիներն այդ մասին գիտեին մոտ չորսուկես հազար տարի առաջ։

Մնացած երկու կողմերը, որոնք կազմում են ուղիղ անկյուն, կոչվում են ոտքեր: Բացի այդ, պետք է հիշել, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում եռանկյան անկյունների գումարը 180 աստիճան է:

Սահմանում

Ի վերջո, երկրաչափական հիմքի հստակ ըմբռնմամբ կարելի է դիմել անկյան սինուսի, կոսինուսի և շոշափողի սահմանմանը:

Անկյունի սինուսը հակառակ ոտքի (այսինքն՝ ցանկալի անկյան հակառակ կողմի) հարաբերությունն է հիպոթենուսին։ Անկյունի կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է:

Հիշեք, որ ոչ սինուսը, ոչ կոսինուսը չեն կարող մեկից մեծ լինել: Ինչո՞ւ։ Որովհետև հիպոթենուսը լռելյայն ամենաերկարն է: Անկախ նրանից, թե որքան երկար է ոտքը, այն ավելի կարճ կլինի, քան հիպոթենուզը, ինչը նշանակում է, որ դրանց հարաբերակցությունը միշտ կլինի մեկից պակաս: Այսպիսով, եթե խնդրի պատասխանում ունեք 1-ից մեծ արժեք ունեցող սինուս կամ կոսինուս, սխալ փնտրեք հաշվարկներում կամ հիմնավորումներում: Այս պատասխանը միանշանակ սխալ է։

Ի վերջո, անկյան շոշափողը հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությունն է: Սինուսը կոսինուսի վրա բաժանելը կտա նույն արդյունքը։ Նայեք՝ ըստ բանաձևի՝ կողմի երկարությունը բաժանում ենք հիպոթենուսի վրա, այնուհետև բաժանում ենք երկրորդ կողմի երկարության վրա և բազմապատկում ենք հիպոթենուսով։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք նույն հարաբերությունը, ինչ շոշափողի սահմանման մեջ:

Կոտանգենսը, համապատասխանաբար, անկյունին հարող կողմի և հակառակ կողմի հարաբերակցությունն է: Նույն արդյունքը ստանում ենք՝ բաժանելով միավորը շոշափողի վրա։

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենսի սահմանումները, և կարող ենք կատարել բանաձևերը:

Ամենապարզ բանաձևերը

Եռանկյունաչափության մեջ դուք չեք կարող անել առանց բանաձևերի. ինչպե՞ս գտնել սինուս, կոսինուս, շոշափող, կոտանգենս առանց դրանց: Բայց սա հենց այն է, ինչ պահանջվում է խնդիրներ լուծելիս։

Առաջին բանաձևը, որը դուք պետք է իմանաք, երբ սկսում եք եռանկյունաչափություն սովորել, ասում է, որ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի: Այս բանաձևը Պյութագորասի թեորեմի ուղղակի հետևանքն է, բայց այն ժամանակ է խնայում, եթե ցանկանում եք իմանալ անկյունը, ոչ թե կողմը:

Շատ սովորողներ չեն կարողանում հիշել երկրորդ բանաձևը, որը նույնպես շատ տարածված է դպրոցական խնդիրներ լուծելիս՝ մեկի գումարը և անկյան տանգենսի քառակուսին հավասար է մեկի՝ բաժանված անկյան կոսինուսի քառակուսու վրա։ Ուշադիր նայեք. ի վերջո, սա նույն պնդումն է, ինչ առաջին բանաձևում, միայն ինքնության երկու կողմերն են բաժանվել կոսինուսի քառակուսու վրա: Պարզվում է, որ պարզ մաթեմատիկական գործողությունը եռանկյունաչափական բանաձեւը լիովին անճանաչելի է դարձնում։ Հիշեք. իմանալով, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը, փոխակերպման կանոնները և մի քանի հիմնական բանաձևերը, դուք կարող եք ցանկացած պահի ինքներդ թղթի վրա եզրակացնել պահանջվող ավելի բարդ բանաձևերը:

Կրկնակի անկյունային բանաձևեր և արգումենտների ավելացում

Եվս երկու բանաձև, որոնք դուք պետք է սովորեք, կապված են սինուսի և կոսինուսի արժեքների հետ անկյունների գումարի և տարբերության համար: Դրանք ներկայացված են ստորև բերված նկարում: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ առաջին դեպքում սինուսը և կոսինուսը բազմապատկվում են երկու անգամ, իսկ երկրորդում գումարվում է սինուսի և կոսինուսի զույգ արտադրյալը:

Կան նաև բանաձևեր, որոնք կապված են կրկնակի անկյան փաստարկների հետ: Դրանք ամբողջությամբ վերցված են նախորդներից՝ որպես թրեյնինգ, փորձեք ինքներդ ստանալ՝ վերցնելով ալֆա անկյունը հավասար բետա անկյունին։

Ի վերջո, նշեք, որ կրկնակի անկյան բանաձևերը կարող են փոխակերպվել՝ նվազեցնելու սինուսի, կոսինուսի և շոշափող ալֆայի աստիճանը:

Թեորեմներ

Հիմնական եռանկյունաչափության երկու հիմնական թեորեմներն են սինուսի թեորեմը և կոսինուսի թեորեմը։ Այս թեորեմների օգնությամբ դուք հեշտությամբ կարող եք հասկանալ, թե ինչպես կարելի է գտնել սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը, հետևաբար նկարի տարածքը և յուրաքանչյուր կողմի մեծությունը և այլն:

Սինուսների թեորեմն ասում է, որ եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը հակառակ անկյան արժեքով բաժանելով՝ ստացվում է նույն թիվը։ Ընդ որում, այս թիվը հավասար կլինի շրջագծված շրջանագծի երկու շառավղին, այսինքն՝ տվյալ եռանկյան բոլոր կետերը պարունակող շրջանագծին։

Կոսինուսի թեորեմն ընդհանրացնում է Պյութագորասի թեորեմը՝ այն նախագծելով ցանկացած եռանկյունու վրա։ Ստացվում է, որ երկու կողմերի քառակուսիների գումարից հանեք դրանց արտադրյալը, բազմապատկած նրանց հարակից անկյան կրկնակի կոսինուսով, ստացված արժեքը հավասար կլինի երրորդ կողմի քառակուսուն: Այսպիսով, պարզվում է, որ Պյութագորասի թեորեմը կոսինուսի թեորեմի հատուկ դեպք է։

Աննկատ սխալներ

Նույնիսկ իմանալով, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը, հեշտ է սխալվել շեղվելու կամ ամենապարզ հաշվարկների սխալի պատճառով: Նման սխալներից խուսափելու համար եկեք տեսնենք ամենահայտնիները:

Նախ, դուք չպետք է սովորական կոտորակները վերածեք տասնորդականների, քանի դեռ վերջնական արդյունքը չի ստացվել, պատասխանը կարող եք թողնել սովորական կոտորակի տեսքով, եթե պայմանում այլ բան նշված չէ: Նման փոխակերպումը չի կարելի սխալ անվանել, բայց պետք է հիշել, որ առաջադրանքի յուրաքանչյուր փուլում կարող են հայտնվել նոր արմատներ, որոնք, հեղինակի մտահղացման, պետք է կրճատվեն։ Այս դեպքում դուք ժամանակ կկորցնեք անհարկի մաթեմատիկական գործողությունների վրա։ Սա հատկապես ճիշտ է այնպիսի արժեքների համար, ինչպիսիք են երեք կամ երկուսի արմատը, քանի որ դրանք ամեն քայլափոխի հայտնաբերվում են խնդիրների մեջ: Նույնը վերաբերում է «տգեղ» թվերի կլորացմանը։

Ավելին, նշեք, որ կոսինուսի թեորեմը վերաբերում է ցանկացած եռանկյունու, բայց ոչ Պյութագորասի թեորեմին: Եթե ​​սխալմամբ մոռանաք հանել կողմերի կրկնակի արտադրյալը, որը բազմապատկվել է նրանց միջև անկյան կոսինուսով, դուք ոչ միայն լիովին սխալ արդյունք կստանաք, այլև կցուցաբերեք թեմայի իսպառ չհասկացողություն: Սա ավելի վատ է, քան անզգույշ սխալը:

Երրորդ, մի շփոթեք սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների, կոտանգենսների համար 30 և 60 աստիճանի անկյունների արժեքները: Հիշեք այս արժեքները, քանի որ 30 աստիճանի սինուսը հավասար է 60-ի կոսինուսին և հակառակը։ Նրանց շփոթելը հեշտ է, ինչի արդյունքում անխուսափելիորեն սխալ արդյունք կստանաք։

Դիմում

Շատ ուսանողներ չեն շտապում սկսել եռանկյունաչափություն սովորել, քանի որ չեն հասկանում դրա կիրառական իմաստը։ Ի՞նչ է սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը ինժեների կամ աստղագետի համար: Սրանք հասկացություններ են, որոնց շնորհիվ կարելի է հաշվարկել հեռավոր աստղերը, կանխատեսել երկնաքարի անկումը, հետազոտական ​​զոնդ ուղարկել այլ մոլորակ։ Առանց դրանց անհնար է շենք կառուցել, մեքենա նախագծել, հաշվարկել մակերեսի ծանրաբեռնվածությունը կամ առարկայի հետագիծը: Եվ սրանք ընդամենը ամենաակնառու օրինակներն են։ Ի վերջո, եռանկյունաչափությունն այս կամ այն ​​ձևով կիրառվում է ամենուր՝ երաժշտությունից մինչև բժշկություն:

Վերջապես

Այսպիսով, դուք սինուս եք, կոսինուս, շոշափող: Դուք կարող եք դրանք օգտագործել հաշվարկներում և հաջողությամբ լուծել դպրոցական խնդիրները:

Եռանկյունաչափության ամբողջ կետը հանգում է նրան, որ եռանկյան անհայտ պարամետրերը պետք է հաշվարկվեն՝ օգտագործելով հայտնի պարամետրերը: Այս պարամետրերից վեցն են՝ երեք կողմերի երկարությունները և երեք անկյունների մեծությունները: Առաջադրանքների բոլոր տարբերությունն այն է, որ տարբեր մուտքեր են տրվում:

Այժմ դուք գիտեք, թե ինչպես կարելի է գտնել սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը՝ հիմնվելով ոտքերի հայտնի երկարությունների կամ հիպոթենուսի վրա: Քանի որ այս տերմինները ոչ այլ ինչ են նշանակում, քան հարաբերակցություն, իսկ հարաբերակցությունը կոտորակ է, եռանկյունաչափական խնդրի հիմնական նպատակն է գտնել սովորական հավասարման կամ հավասարումների համակարգի արմատները: Եվ այստեղ ձեզ կօգնի սովորական դպրոցական մաթեմատիկան։

Եռանկյունաչափական ինքնություններ- սրանք հավասարություններ են, որոնք կապ են հաստատում մեկ անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի միջև, ինչը թույլ է տալիս գտնել այս ֆունկցիաներից որևէ մեկը, պայմանով, որ մյուսը հայտնի է:

tg \ ալֆա = \ ֆրակ (\ sin \ ալֆա) (\ cos \ ալֆա), \ enspace ctg \ ալֆա = \ ֆրակ (\ cos \ ալֆա) (\ sin \ ալֆա)

tg \ ալֆա \ cdot ctg \ ալֆա = 1

Այս նույնությունը ասում է, որ մեկ անկյան սինուսի և մեկ անկյան կոսինուսի քառակուսու գումարը հավասար է մեկի, ինչը գործնականում հնարավորություն է տալիս հաշվարկել մեկ անկյան սինուսը, երբ հայտնի է նրա կոսինուսը և հակառակը։ .

Եռանկյունաչափական արտահայտությունները փոխակերպելիս շատ հաճախ օգտագործվում է այս նույնությունը, որը թույլ է տալիս մեկ անկյան կոսինուսի և սինուսի քառակուսիների գումարը փոխարինել միավորով, ինչպես նաև կատարել փոխարինման գործողությունը հակառակ հերթականությամբ:

Գտնել շոշափող և կոտանգենս սինուսով և կոսինուսով

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ ալֆա), \ enspace

Այս ինքնությունները ձևավորվում են սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս սահմանումներից: Ի վերջո, եթե նայեք, ապա ըստ սահմանման y-ի օրդինատը սինուսն է, իսկ x-ի աբսցիսան՝ կոսինուսը։ Այդ դեպքում շոշափողը հավասար կլինի հարաբերությանը \ ֆրակ (y) (x) = \ ֆրակ (\ sin \ ալֆա) (\ cos \ ալֆա)և հարաբերակցությունը \ ֆրակ (x) (y) = \ ֆրակ (\ cos \ ալֆա) (\ sin \ ալֆա)- կլինի կոտանգենս:

Մենք ավելացնում ենք, որ միայն այնպիսի անկյունների \ ալֆայի համար, որոնց համար դրանցում ներառված եռանկյունաչափական ֆունկցիաները իմաստ ունեն, նույնությունները կպահպանվեն, ctg \ ալֆա = \ ֆրակ (\ cos \ ալֆա) (\ sin \ ալֆա).

Օրինակ: tg \ ալֆա = \ ֆրակ (\ sin \ ալֆա) (\ cos \ ալֆա)վավեր է անկյուններից \ ալֆա, որոնք տարբերվում են \ frac (\ pi) (2) + \ pi z, ա ctg \ ալֆա = \ ֆրակ (\ cos \ ալֆա) (\ sin \ ալֆա)- \ pi z-ից տարբեր անկյան համար \ ալֆա, z - ամբողջ թիվ է:

Կապը շոշափողի և կոտանգենսի միջև

tg \ ալֆա \ cdot ctg \ ալֆա = 1

Այս նույնականությունը վավեր է միայն \ալֆա անկյունների համար, որոնք տարբերվում են \ frac (\ pi) (2) z... Հակառակ դեպքում կամ կոտանգենսը կամ շոշափողը չեն նշվի:

Ելնելով վերը նշված կետերից՝ մենք գտնում ենք, որ tg \ ալֆա = \ ֆրակ (y) (x), ա ctg \ ալֆա = \ ֆրակ (x) (y)... Այստեղից հետևում է, որ tg \ ալֆա \ cdot ctg \ ալֆա = \ ֆրակ (y) (x) \ cdot \ ֆրակ (x) (y) = 1... Այսպիսով, միևնույն անկյան շոշափումը և կոտանգենսը, որով դրանք իմաստ ունեն, փոխադարձ թվեր են:

Կախվածությունը տանգենսի և կոսինուսի, կոտանգենսի և սինուսի միջև

tg ^ (2) \ ալֆա + 1 = \ ֆրակ (1) (\ cos ^ (2) \ ալֆա)- \ ալֆա և 1 անկյան շոշափողի քառակուսու գումարը հավասար է այս անկյան կոսինուսի հակադարձ քառակուսուին: Այս նույնականությունը վավեր է բոլոր \ ալֆաների համար, որոնք տարբերվում են \ frac (\ pi) (2) + \ pi z.

1 + ctg ^ (2) \ ալֆա = \ ֆրակ (1) (\ sin ^ (2) \ ալֆա)- 1-ի և \ ալֆա անկյան կոտանգենսի քառակուսու գումարը հավասար է տվյալ անկյան սինուսի հակադարձ քառակուսուին: Այս նույնականացումը վավեր է ցանկացած \ալֆայի համար, բացի \pi z-ից:

Օրինակներ՝ եռանկյունաչափական ինքնությունների օգտագործման խնդիրների լուծումներով

Օրինակ 1

Գտեք \ sin \ ալֆա և tg \ ալֆա, եթե \ cos \ ալֆա = - \ frac12և \ ֆրակ (\ pi) (2)< \alpha < \pi ;

Ցույց տալ լուծումը

Լուծում

\ sin \ ալֆա և \ cos \ ալֆա ֆունկցիաները կապված են բանաձևով \ sin ^ (2) \ ալֆա + \ cos ^ (2) \ ալֆա = 1... Փոխարինելով այս բանաձեւով \ cos \ ալֆա = - \ frac12, ստանում ենք.

\ մեղք ^ (2) \ ալֆա + \ ձախ (- \ frac12 \ աջ) ^ 2 = 1

Այս հավասարումն ունի 2 լուծում.

\ sin \ ալֆա = \ pm \ sqrt (1- \ frac14) = \ pm \ frac (\ sqrt 3) (2)

Ըստ պայմանի \ ֆրակ (\ pi) (2)< \alpha < \pi ... Երկրորդ եռամսյակում սինուսը դրական է, հետևաբար \ sin \ ալֆա = \ frac (\ sqrt 3) (2).

Tg \ alpha գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը tg \ ալֆա = \ ֆրակ (\ sin \ ալֆա) (\ cos \ ալֆա)

tg \ alpha = \ frac (\ sqrt 3) (2): \ frac12 = \ sqrt 3

Օրինակ 2

Գտեք \ cos \ ալֆա և ctg \ ալֆա, եթե և \ ֆրակ (\ pi) (2)< \alpha < \pi .

Ցույց տալ լուծումը

Լուծում

Փոխարինելով բանաձևի մեջ \ sin ^ (2) \ ալֆա + \ cos ^ (2) \ ալֆա = 1պայմանականորեն տրված համարը \ sin \ ալֆա = \ frac (\ sqrt3) (2), ստանում ենք \ ձախ (\ frac (\ sqrt3) (2) \ աջ) ^ (2) + \ cos ^ (2) \ ալֆա = 1... Այս հավասարումն ունի երկու լուծում \ cos \ ալֆա = \ pm \ sqrt (1- \ frac34) = \ pm \ sqrt \ frac14.

Ըստ պայմանի \ ֆրակ (\ pi) (2)< \alpha < \pi ... Երկրորդ եռամսյակում կոսինուսը բացասական է, ուստի \ cos \ ալֆա = - \ sqrt \ frac14 = - \ frac12.

ctg \ ալֆա գտնելու համար օգտագործեք բանաձևը ctg \ ալֆա = \ ֆրակ (\ cos \ ալֆա) (\ sin \ ալֆա)... Մենք գիտենք համապատասխան արժեքները։

ctg \ ալֆա = - \ frac12: \ frac (\ sqrt3) (2) = - \ frac (1) (\ sqrt 3).

Ամենահաճախ տրվող հարցերը

Հնարավո՞ր է փաստաթղթի վրա կնիք անել ըստ ներկայացված նմուշի: Պատասխանել Այո, հնարավոր է։ Ուղարկեք սկանավորված պատճեն կամ լավ որակի լուսանկար մեր էլ. հասցեին, և մենք կկատարենք անհրաժեշտ կրկնօրինակը:

Ինչ տեսակի վճարումներ եք ընդունում: Պատասխանել Փաստաթղթի համար կարող եք վճարել սուրհանդակի ձեռքով ստանալու պահին՝ դիպլոմի լրացման և կատարման որակը ստուգելուց հետո: Դուք կարող եք դա անել նաև փոստային ընկերությունների գրասենյակում, որոնք առաջարկում են կանխիկ առաքման ծառայություններ:
Փաստաթղթերի առաքման և վճարման բոլոր պայմանները նկարագրված են «Վճարում և առաքում» բաժնում: Մենք պատրաստ ենք լսել նաև ձեր առաջարկները փաստաթղթի առաքման և վճարման պայմանների վերաբերյալ:

Կարո՞ղ եմ վստահ լինել, որ պատվեր կատարելուց հետո դու չես անհետանա իմ փողի հետ: Պատասխանել Դիպլոմների տրամադրման ոլորտում մենք բավականին երկար աշխատանքային փորձ ունենք։ Մենք ունենք մի քանի կայքեր, որոնք անընդհատ թարմացվում են։ Մեր մասնագետներն աշխատում են երկրի տարբեր հատվածներում՝ օրական պատրաստելով ավելի քան 10 փաստաթուղթ։ Տարիների ընթացքում մեր փաստաթղթերը շատերին օգնել են լուծել զբաղվածության խնդիրները կամ տեղափոխվել ավելի բարձր վարձատրվող աշխատանքի: Մենք վստահություն և ճանաչում ենք վաստակել մեր հաճախորդների շրջանում, ուստի մենք բացարձակապես պատճառ չունենք դա անելու: Ավելին, ֆիզիկապես դա անելն ուղղակի անհնար է՝ պատվերի համար վճարում ես հենց այն պահին, երբ այն ստանում ես ձեռքիդ, չկա կանխավճար։

Կարո՞ղ եմ ցանկացած համալսարանի դիպլոմ պատվիրել: Պատասխանել Ընդհանուր առմամբ՝ այո։ Մենք այս ոլորտում աշխատում ենք գրեթե 12 տարի։ Այս ընթացքում ձևավորվել է հանրապետության գրեթե բոլոր բուհերի կողմից տրված և թողարկման տարբեր տարիների փաստաթղթերի գրեթե ամբողջական բազա։ Ձեզ անհրաժեշտ է ընդամենը ընտրել համալսարան, մասնագիտություն, փաստաթուղթ և լրացնել պատվերի ձևը:

Ի՞նչ անել, եթե փաստաթղթում հայտնաբերվեն տառասխալներ և սխալներ: Պատասխանել Մեր սուրհանդակային կամ փոստային ընկերությունից փաստաթուղթ ստանալիս խորհուրդ ենք տալիս ուշադիր ստուգել բոլոր մանրամասները: Տառասխալ, սխալ կամ անճշտություն հայտնաբերելու դեպքում դուք իրավունք ունեք չվերցնել դիպլոմը, իսկ հայտնաբերված թերությունները պետք է անձամբ նշեք սուրհանդակին կամ գրավոր՝ ուղարկելով էլ.
Հնարավորինս շուտ մենք կուղղենք փաստաթուղթը և նորից կուղարկենք նշված հասցեով։ Իհարկե, առաքումը կվճարի մեր ընկերությունը։
Նման թյուրիմացություններից խուսափելու համար, նախքան բնօրինակ ձևը լրացնելը, մենք փոստով հաճախորդին ուղարկում ենք ապագա փաստաթղթի մակետը՝ վերջնական տարբերակի ստուգման և հաստատման համար: Փաստաթուղթը սուրհանդակով կամ փոստով ուղարկելուց առաջ մենք նաև լրացուցիչ լուսանկարներ և տեսանյութեր ենք վերցնում (այդ թվում՝ ուլտրամանուշակագույն լույսի ներքո), որպեսզի դուք հստակ պատկերացնեք, թե վերջում ինչ կստանաք։

Ի՞նչ պետք է անեք ձեր ընկերությունում դիպլոմ պատվիրելու համար: Պատասխանել Փաստաթուղթ պատվիրելու համար (վկայական, դիպլոմ, ակադեմիական վկայագիր և այլն), դուք պետք է լրացնեք առցանց պատվերի ձևը մեր կայքում կամ ուղարկեք ձեր էլ. վերադառնալ մեզ:
Եթե ​​չգիտեք, թե ինչ նշել պատվերի/հարցաթերթիկի ձևի որևէ դաշտում, թողեք դրանք դատարկ: Ուստի մենք հեռախոսով կճշտենք բոլոր բացակայող տեղեկությունները։

Վերջին ակնարկներ

Ալեքսեյ.

Մենեջերի պաշտոնում աշխատանքի անցնելու համար ինձ անհրաժեշտ էր դիպլոմ ձեռք բերել։ Եվ ամենակարևորը, ես ունեմ և՛ փորձ, և՛ հմտություններ, բայց առանց փաստաթղթի չեմ կարող, ես աշխատանք կստանամ։ Մի անգամ ձեր կայքում, ես որոշեցի գնել դիպլոմ: Դիպլոմը ավարտվեց 2 օրում !! Հիմա ես ունեմ մի աշխատանք, որի մասին նախկինում չէի երազել !! Շնորհակալություն

Հղում սինուսի (sin x) և կոսինուսի (cos x) եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար: Երկրաչափական սահմանում, հատկություններ, գրաֆիկներ, բանաձևեր: Սինուսների և կոսինուսների աղյուսակ, ածանցյալներ, ինտեգրալներ, շարքերի ընդլայնումներ, սեկանտ, կոսեկանտ: Արտահայտություններ բարդ փոփոխականների առումով: Կապը հիպերբոլիկ ֆունկցիաների հետ:

Սինուսի և կոսինուսի երկրաչափական սահմանումը

|ԲԴ |- մի կետի վրա կենտրոնացած շրջանագծի աղեղի երկարությունը Ա.
α ռադիաններով արտահայտված անկյունն է։

Սահմանում
Սինուս (sin α)եռանկյունաչափական ֆունկցիա է, որը կախված է ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյունից, որը հավասար է հակառակ ոտքի երկարության հարաբերությանը | BC | մինչև հիպոթենուզի երկարությունը | AC |.

Կոսինուս (cos α)եռանկյունաչափական ֆունկցիա է, որը կախված է ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյունից, որը հավասար է հարակից ոտքի երկարության հարաբերությանը | AB | մինչև հիպոթենուզի երկարությունը | AC |.

Ընդունված նշանակումներ

;
;
.

;
;
.

Սինուսային ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = sin x

Կոսինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = cos x

Սինուսի և կոսինուսի հատկությունները

Պարբերականություն

Գործառույթներ y = մեղք xև y = cos xպարբերական՝ ժամանակաշրջանով 2 պ.

Պարիտետ

Սինուսի ֆունկցիան կենտ է: Կոսինուսի ֆունկցիան հավասար է:

Սահմանումների և արժեքների տիրույթ, ծայրահեղություն, աճող, նվազում

Սինուսի և կոսինուսի ֆունկցիաները շարունակական են իրենց սահմանման տիրույթում, այսինքն՝ բոլոր x-ի համար (տե՛ս շարունակականության ապացույցը)։ Նրանց հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում (n-ն ամբողջ թիվ է):

	y = մեղք x	y = cos x
Սահմանման և շարունակականության տիրույթ	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Արժեքների տիրույթ	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Աճող
Նվազող
Մաքսիմա, y = 1
Նվազագույնը, y = - 1
Զրոներ, y = 0
y առանցքի հետ հատման կետերը, x = 0	y = 0	y = 1

Հիմնական բանաձևեր

Սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը

Գումարի և տարբերության սինուսների և կոսինուսների բանաձևերը

;
;

Սինուսների և կոսինուսների արտադրյալի բանաձևեր

Գումարի և տարբերության բանաձևեր

Սինուսի արտահայտությունը կոսինուսով

;
;
;
.

Կոսինուսի արտահայտությունը սինուսի առումով

;
;
;
.

Շոշափող արտահայտություն

; .

Համար, մենք ունենք.
; .

ժամը՝
; .

Սինուսների և կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների աղյուսակ

Այս աղյուսակը ցույց է տալիս սինուսների և կոսինուսների արժեքները փաստարկի որոշ արժեքների համար:

Արտահայտություններ՝ օգտագործելով բարդ փոփոխականներ

;

Էյլերի բանաձեւը

{ -∞ < x < +∞ }

Սեկանտ, կոսեկանտ

Հակադարձ գործառույթներ

Սինուսի և կոսինուսի հակադարձ ֆունկցիաները համապատասխանաբար հակադարձ սինուս և հակադարձ կոսինուս են:

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ Տեխնիկական հաստատությունների ճարտարագետների և ուսանողների համար, «Լան», 2009 թ.

Եռանկյունաչափությունը, որպես գիտություն, առաջացել է Հին Արևելքում։ Առաջին եռանկյունաչափական հարաբերությունները ստացվել են աստղագետների կողմից՝ ճշգրիտ օրացույց և աստղային կողմնորոշում ստեղծելու համար: Այս հաշվարկները կապված էին գնդաձև եռանկյունաչափության հետ, մինչդեռ դպրոցական դասընթացում ուսումնասիրվում են հարթ եռանկյունու կողմերի և անկյունների հարաբերությունները։

Եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որը վերաբերում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկություններին և եռանկյունների կողմերի և անկյունների փոխհարաբերություններին։

1-ին հազարամյակի մշակույթի և գիտության ծաղկման շրջանում գիտելիքը Հին Արևելքից տարածվեց Հունաստան։ Բայց եռանկյունաչափության հիմնական հայտնագործությունները Արաբական խալիֆայության տղամարդկանց արժանիքն են: Մասնավորապես, թուրքմեն գիտնական ալ-Մարազվին ներկայացրել է այնպիսի գործառույթներ, ինչպիսիք են շոշափողը և կոտանգենսը, կազմել է սինուսների, շոշափողների և կոտանգենսների արժեքների առաջին աղյուսակները: Սինուս և կոսինուս հասկացությունը ներկայացվել է հնդիկ գիտնականների կողմից: Մեծ ուշադրություն է հատկացվում եռանկյունաչափությանը հնության այնպիսի մեծ գործիչների աշխատանքներում, ինչպիսիք են Էվկլիդեսը, Արքիմեդը և Էրատոսթենեսը:

Եռանկյունաչափության հիմնական մեծությունները

Թվային փաստարկի հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն են՝ սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը։ Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր գրաֆիկը՝ սինուսոիդ, կոսինուս, շոշափող և կոտանգենս։

Այս մեծությունների արժեքները հաշվարկելու բանաձևերը հիմնված են Պյութագորասի թեորեմի վրա: Դպրոցականներն ավելի լավ գիտեն այն ձևակերպմամբ՝ «Պյութագորասյան շալվար, բոլոր ուղղություններով հավասար», քանի որ ապացույցը տրված է հավասարաչափ ուղղանկյուն եռանկյունու օրինակով։

Սինուսը, կոսինուսը և այլ կախվածությունները կապ են հաստատում սուր անկյունների և ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի միջև: Եկեք այս արժեքները A անկյան համար հաշվարկելու բանաձևեր տանք և հետևենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հարաբերություններին.

Ինչպես տեսնում եք, tg-ն և ctg-ն հակադարձ ֆունկցիաներ են: Եթե ​​a ոտքը ներկայացնում ենք որպես sin A-ի և c հիպոթենուսի արտադրյալ, իսկ b ոտքը որպես cos A * c, ապա մենք ստանում ենք տանգենսի և կոտանգենսի հետևյալ բանաձևերը.

Եռանկյունաչափական շրջան

Գրաֆիկորեն այս քանակությունների հարաբերակցությունը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Շրջանակը, այս դեպքում, ներկայացնում է α անկյան բոլոր հնարավոր արժեքները՝ 0 °-ից մինչև 360 °: Ինչպես տեսնում եք նկարից, յուրաքանչյուր ֆունկցիա ստանում է բացասական կամ դրական արժեք՝ կախված անկյան արժեքից: Օրինակ, sin α-ն կլինի «+» նշանով, եթե α-ն պատկանում է շրջանագծի I և II քառորդներին, այսինքն՝ գտնվում է 0 °-ից մինչև 180 ° միջակայքում: Երբ α-ն 180 °-ից մինչև 360 ° է (III և IV քառորդներ), sin α-ն կարող է լինել միայն բացասական:

Փորձենք կառուցել եռանկյունաչափական աղյուսակներ կոնկրետ անկյունների համար և պարզել մեծությունների արժեքը։

α-ի արժեքները, որոնք հավասար են 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° և այլն, կոչվում են հատուկ դեպքեր: Նրանց համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները հաշվարկվում և ներկայացվում են հատուկ աղյուսակների տեսքով:

Այս անկյունները պատահական չեն ընտրվել։ Աղյուսակներում π նշումը նշանակում է ռադիաններ: Ռադը այն անկյունն է, որով շրջանաձև աղեղի երկարությունը համապատասխանում է նրա շառավղին։ Այս արժեքը ներդրվել է համընդհանուր կախվածություն հաստատելու համար, ռադիաններով հաշվարկելիս շառավիղի իրական երկարությունը սմ-ով նշանակություն չունի:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակների անկյունները համապատասխանում են ռադիանների արժեքներին.

Այսպիսով, դժվար չէ կռահել, որ 2π-ը լրիվ շրջան է կամ 360 °:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները՝ սինուս և կոսինուս

Սինուսի և կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հիմնական հատկությունները դիտարկելու և համեմատելու համար անհրաժեշտ է գծել դրանց գործառույթները: Դա կարելի է անել երկչափ կոորդինատային համակարգում տեղակայված կորի տեսքով։

Դիտարկենք սինուսային և կոսինուսային ալիքների հատկությունների համեմատական ​​աղյուսակը.

Սինուսոիդ	Կոսինուս
y = մեղք x	y = cos x
ՕՁ [-1; 1]	ՕՁ [-1; 1]
sin x = 0, x = πk-ի համար, որտեղ k ϵ Z	cos x = 0, x = π / 2 + πk-ի համար, որտեղ k ϵ Z
sin x = 1, x = π / 2 + 2πk-ի համար, որտեղ k ϵ Z	cos x = 1, x = 2πk-ի համար, որտեղ k ϵ Z
sin x = - 1, x = 3π / 2 + 2πk-ի համար, որտեղ k ϵ Z	cos x = - 1, x = π + 2πk-ի համար, որտեղ k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, այսինքն՝ ֆունկցիան կենտ է	cos (-x) = cos x, այսինքն՝ ֆունկցիան զույգ է
	ֆունկցիան պարբերական է, ամենափոքր պարբերությունը 2π է
sin x ›0, x-ի համար, որը պատկանում է I և II քառորդներին կամ 0 °-ից մինչև 180 ° (2πk, π + 2πk)	cos x ›0, I և IV քառորդներին պատկանող x-ի համար կամ 270 °-ից մինչև 90 ° (- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk)
sin x ‹0, III և IV քառորդներին պատկանող x-ի համար կամ 180 °-ից մինչև 360 ° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹0, x-ը պատկանում է II և III քառորդներին կամ 90 °-ից մինչև 270 ° (π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk)
աճում է միջակայքում [- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk]	աճում է [-π + 2πk, 2πk] միջակայքում
նվազում է ընդմիջումներով [π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk]	նվազում է ընդմիջումներով
ածանցյալ (sin x) ’= cos x	ածանցյալ (cos x) '= - մեղք x

Որոշել՝ արդյոք ֆունկցիան հավասար է, թե ոչ, շատ պարզ է: Բավական է պատկերացնել եռանկյունաչափական շրջան՝ եռանկյունաչափական մեծությունների նշաններով և մտովի «ծալել» գրաֆիկը OX առանցքի շուրջ։ Եթե ​​նշանները համընկնում են, ֆունկցիան զույգ է, հակառակ դեպքում՝ կենտ:

Ռադիանների ներմուծումը և սինուսոիդի և կոսինուսի հիմնական հատկությունների թվարկումը թույլ են տալիս տալ հետևյալ օրինաչափությունը.

Շատ հեշտ է ստուգել բանաձևի ճիշտությունը։ Օրինակ, x = π / 2-ի համար սինուսը 1 է, ինչպես նաև x = 0 կոսինուսը: Ստուգումը կարող է իրականացվել՝ հղում անելով աղյուսակներին կամ տրված արժեքների համար ֆունկցիաների կորերը հետևելով:

Tangentoid և cotangentoid հատկությունները

Շոշափող և կոտանգենս ֆունկցիաների սյուժեները զգալիորեն տարբերվում են սինուսից և կոսինուսից: tg և ctg արժեքները հակադարձ են միմյանց:

1. Y = tg x.
2. Տանգենտոիդը ձգտում է դեպի y արժեքները x = π / 2 + πk, բայց երբեք չի հասնում դրանց:
3. Տանգենտոիդի ամենափոքր դրական պարբերությունը π է:
4. Tg (- x) = - tg x, այսինքն՝ ֆունկցիան կենտ է։
5. Tg x = 0, x = πk-ի համար:
6. Ֆունկցիան մեծանում է.
7. Tg x ›0, x ϵ-ի համար (πk, π / 2 + πk):
8. Tg x ‹0, x ϵ-ի համար (- π / 2 + πk, πk):
9. Ածանցյալ (tg x) '= 1 / cos 2 ⁡x:

Դիտարկենք տեքստի ստորև բերված կոտանգենտոիդի գրաֆիկական ներկայացումը:

Կոտանգենոիդի հիմնական հատկությունները.

1. Y = ctg x.
2. Ի տարբերություն սինուսի և կոսինուսի ֆունկցիաների, տանգենոիդում Y-ը կարող է ընդունել բոլոր իրական թվերի բազմության արժեքները:
3. Կոտանգենսոիդը ձգտում է դեպի y արժեքները x = πk-ում, բայց երբեք չի հասնում դրանց:
4. Կոտանգենսոիդի ամենափոքր դրական շրջանը π է:
5. Ctg (- x) = - ctg x, այսինքն՝ ֆունկցիան կենտ է։
6. Ctg x = 0, x = π / 2 + πk-ի համար:
7. Ֆունկցիան նվազում է։
8. Ctg x ›0, x ϵ-ի համար (πk, π / 2 + πk):
9. Ctg x ‹0, x ϵ-ի համար (π / 2 + πk, πk):
10. Ածանցյալ (ctg x) ’= - 1 / sin 2 ⁡x Ճիշտ է