Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada yra sulankstyti (a b * a c \u003d a b + c). Šis matematinis įstatymas buvo gautas Archimema, o vėliau, VIII a. Matematikos Virasenas sukūrė sveikųjų skaičių rodiklių lentelę. Jie tarnavo tolesniam logaritmų atidarymui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžiai gali būti rasti beveik visur, kur būtina supaprastinti sudėtingą dauginimą dėl paprasto papildymo. Jei praleidžiate 10 minučių skaityti šį straipsnį, mes jums paaiškinsime, kokie yra logaritmai ir kaip dirbti su jais. Paprasta ir prieinama kalba.

Matematikos apibrėžimas

Logaritmas yra tokio tipo išraiška: log AB \u003d C, ty bet kokio neigiamo skaičiaus logaritmas (ty bet koks teigiamas) "B" ant jo pagrindo "A" laikomas "C" laipsnį , kuriame būtina sukurti "A" pagrindą, kad galų gale gautumėte vertę "B". Mes analizuosime, pavyzdžiui, pavyzdžių logaritmą, yra išraiškos žurnalas 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, jums reikia rasti tokį laipsnį, kad gautumėte 8 iš 2. Atlikę keletą skaičiavimų proto, mes gauname numerį 3! Ir dešinėje, nes 2 iki 3 laipsnio pateikia 8 numerį.

Logaritmo veislės

Daugeliui studentų ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmas nėra toks baisus, pagrindinis dalykas yra suprasti jų reikšmę ir prisiminti savo savybes ir kai kurias taisykles. Yra trys atskiros logaritminės išraiškos:

1. Natūralus logaritmas ln a, jei pagrindas yra Euler (E \u003d 2.7) skaičius.
2. Dešimtainis a, kur pagrindas yra skaičius 10.
3. Bet kurio numerio B logaritmas, pagrįstas a\u003e 1.

Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, kuris apima supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį derinimą su vienu logaritmu su logaritminių teoremų pagalba. Norint gauti lojalių logaritmų reikšmes, turėtumėte prisiminti savo savybes ir veiksmų tvarką sprendžiant juos.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra keletas ribinių taisyklių, kurios yra priimtos kaip aksiomos, tai yra, nėra diskusijoms ir yra tiesa. Pavyzdžiui, neįmanoma padalyti numerio iki nulio, ir taip pat neįmanoma išgauti vienodą laipsnį šaknis nuo neigiamų skaičių. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, po kurios galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir silpnomis logaritminėmis išraiškomis:

• pagrindas "A" visada turėtų būti nulis, ir tuo pačiu metu nebūtų lygus 1, kitaip išraiška praras savo prasmę, nes "1" ir "0" tiek laipsnio visada yra lygi jos vertėms;
• jei a\u003e 0, tada ir b\u003e 0 paaiškėja, kad tiek "C" turėtų būti daugiau nulio.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, užduotis yra rasti atsakymo 10 lygtį x \u003d 100. Tai labai lengva, jums reikia pasiimti tokį laipsnį, pastatydami dešimties skaičių, mes gauname 100. tai yra, žinoma, 10 2 \u003d 100 .

Ir dabar aš įsivaizduojame šią išraišką logaritminiu forma. Mes gauname žurnalą 10 100 \u003d 2. Kai sprendžiant logaritmus, visi veiksmai yra praktiškai susilieja, kad būtų galima rasti logaritmo pagrindą, kad gautumėte tam tikrą numerį.

Norint atlikti nežinomo laipsnio klaidą, būtina išmokti dirbti su laipsnių lentele. Atrodo, kad tai:

Kaip matote, kai kurie laipsnio rodikliai gali būti intuityviai, jei yra techninis proto sandėlis ir žinios apie dauginimo lentelę. Tačiau didelėms vertėms reikės laipsnių lentelės. Net ir tie, kurie visai nėra sudėtingų matematinių temų prasme, gali jį naudoti. Kairėje stulpelyje rodomi numeriai (bazė A), viršutinis skaičius skaičius yra laipsnio C, į kurią numeris yra pastatytas. Sankryžoje ląstelėse nustatytos atsakymo numerių vertės (a c \u003d b). Paimkite, pavyzdžiui, pirmoji ląstelė su numeriu 10 ir pastatykite jį į aikštę, gauname 100 vertę, kuri yra nurodyta mūsų dviejų ląstelių sankryžoje. Viskas yra tokia paprasta ir paprasta, kad net ir realiausia humanitarinė bus supras!

Lygtis ir nelygybė

Pasirodo, kad tam tikromis sąlygomis rodiklis yra logaritmas. Todėl bet kokios matematinės skaitinės išraiškos gali būti parašytos logaritminės lygybės forma. Pavyzdžiui, 3 4 \u003d 81 gali būti parašyta skaičiaus 81 logaritmo forma pagal 3 pagrindu, lygus keturiems (log 3 81 \u003d 4). Dėl neigiamų laipsnių, taisyklė yra ta pati: 2 -5 \u003d 1/32 Mes rašome logaritmo forma, mes gauname log 2 (1/32) \u003d -5. Vienas iš įspūdingiausių matematikos skyrių yra tema "logaritmas". Pavyzdžiai ir sprendimai lygčių mes pažvelgti šiek tiek mažesnis, iš karto po studijavimo savo savybes. Ir dabar įdomu, kaip atrodo nelygybė ir kaip juos atskirti nuo lygčių.

Pateikiamas toks tipas: žurnalas 2 (x - 1)\u003e 3 - tai logaritminis nelygybė, nes nežinoma vertė "x" yra po logaritmo ženklu. Ir taip pat išraiška lygina dvi vertybes: norimo numerio logaritmas ant pagrindo yra du daugiau nei trys.

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybės yra ta, kad logaritmo lygtys (pavyzdys - logaritmas 2 x \u003d √9) reiškia atsakymą į vieną ar daugiau konkrečių skaitmeninių verčių, o sprendžiant nelygybę yra apibrėžta tiek kaip leistinų verčių sritis Ir taškų. Šios funkcijos nutraukimas. Kaip rezultatas, atsakymas negauna paprasto skaičiaus atskirų skaičių kaip į lygtį atsakydami, bet nepertraukiama eilutė arba numerių rinkinys.

Pagrindiniai teorijos apie logaritmus

Sprendžiant primityvius uždavinius, kaip rasti logaritmo vertes, jo savybės negali būti žinomos. Tačiau, kai kalbama apie logaritmines lygtis ar nelygybę, visų pirma būtina aiškiai suprasti ir taikyti visas pagrindines logaritmų savybes praktikoje. Su pavyzdžiais lygčių, mes sužinosime vėliau, pažvelkime į kiekvieną turtą pirmiausia išsamiau.

1. Pagrindinė tapatybė atrodo taip: ir logab \u003d b. Jis taikomas tik su sąlyga, kai didesnis nei 0 nėra lygus vienam ir B yra didesnis nei nulis.
2. Darbų logaritmas gali būti pateikiamas šioje formulėje: žurnalas d (s 1 * s 2) \u003d log d s 1 + log d s 2. Šioje byloje būtina: D, S 1 ir S 2\u003e 0; A ≠ 1. Galima pateikti įrodymų šiam logaritmų formulei su pavyzdžiais ir sprendimais. Leiskite prisijungti kaip 1 \u003d F 1 ir prisijunkite kaip 2 \u003d F 2, tada f1 \u003d s 1, a f2 \u003d s 2. mes gauname, kad s 1 * s 2 \u003d a f1 * f2 \u003d a f1 + f2 (savybės laipsnių), tada pagal apibrėžimą: log a (s 1 * s 2) \u003d f1 + f 2 \u003d Prisijunkite prie S1 + Prisijungti kaip 2, kuri turėjo įrodyti.
3. Privataus požiūrio logaritmas taip: Prisijungti a (s 1 / s 2) \u003d log a s 1 - log a s 2.
4. Formulės formos teorema tampa tokia forma: log a q b n \u003d n / q log a b.

Ši formulė vadinama "Logarithm" turtu. Jis panašus į paprastų laipsnių savybes, o ne stebėtinai, nes visa matematika saugo natūralius postulentus. Pažvelkime į įrodymą.

Leiskite prisijungti a b \u003d t būti gaunami t \u003d b. Jei statysime abi dalis į M laipsnį: TN \u003d B n;

bet nuo tn \u003d (a q) nt / q \u003d b n, todėl leiskite q b n \u003d (n * t) / t, tada prisijungti a q b n \u003d n / q log a b. Įrodyta teorema.

Užduočių ir nelygybės pavyzdžiai

Dažniausi užduočių tipai logaritmai yra lygčių ir nelygybės pavyzdžiai. Jie randami beveik visose užduotyse, taip pat įtrauktos į privalomą matematikos egzaminų dalį. Priėmimui į universitetą ar matematikos įėjimo bandymus, turite žinoti, kaip teisingai išspręsti tokias užduotis.

Deja, vienas planas ar schema sprendžiant ir nustatant nežinomą vertę logaritmo neegzistuoja, tačiau tam tikros taisyklės gali būti taikomos kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminės lygties. Visų pirma, turėtų būti nustatyta, jei galima supaprastinti išraišką arba sukelti bendrą protą. Supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas gali būti tinkamai naudojamos naudoti savo savybes. Susipažinkime su jais.

Sprendžiant tas pačias logaritmines lygtis, jis turėtų būti nustatytas, kuris yra logaritmo vaizdas: išraiškos pavyzdys gali būti natūralus logaritmas ar dešimtainis.

Čia pateikiami LN100, LN1026 pavyzdžiai. Jų sprendimas yra sumažintas iki to, kad būtina nustatyti laipsnį, kai bazė bus 100 ir 1026, atitinkamai. Sprendimai, natūralūs logaritmai turi būti taikomi logaritminės tapatybės arba jų savybės. Apsvarstykite skirtingų tipų logaritminių problemų sprendimą.

Kaip naudotis logarithm formulėmis: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, apsvarstykite pavyzdžių, kaip naudoti pagrindinius logaritmų teoremus.

1. Darbo logaritmų nuosavybė gali būti taikoma užduotomis, jei būtina suskirstyti didelę reikšmę skaičiumi B iki paprastesnių veiksnių. Pavyzdžiui, žurnalas 2 4 + log 2 128 \u003d log 2 (4 * 128) \u003d log 2 512. Atsakymas yra 9.
2. log 4 8 \u003d log 2 2 2 3 \u003d 3/2 log 2 \u003d 1,5 - Kaip matote, taikant ketvirtą turtą logaritmo, tai buvo įmanoma išspręsti sudėtingą ir nesąžiningą išraišką iš pirmo žvilgsnio. Būtina suskaidyti daugiklio pagrindą ir tada padaryti laipsnio vertę nuo logaritmo ženklo.

Užduotys iš EGE

Logaritmai dažnai randami įėjimo egzaminus, ypač daug logaritminių užduočių EEG (valstybinis egzaminas visiems mokyklos absolventams). Paprastai šios užduotys yra ne tik A dalyje (lengviausia egzamino dalis), bet ir (sudėtingiausių ir didelių užduočių). Egzaminas reiškia tikslią ir tobulą žinias apie temą "Natūralūs logaritmai".

Pavyzdžiai ir užduočių sprendimai priimami iš oficialių EGE galimybių. Pažiūrėkime, kaip išspręstos tokios užduotys.

Atsižvelgiant į žurnalą 2 (2x-1) \u003d 4. Sprendimas:
aš perrašau išraišką, kai kurie jo supaprastintuvo žurnalo 2 (2x-1) \u003d 2 2 apibrėžiant logaritmą, kurį gauname 2x-1 \u003d 2 4, todėl 2x \u003d 17; x \u003d 8.5.

• Visi logaritmai geriausiai vadovauja vienai bazei, kad sprendimas nebūtų didelis ir painus.
• Visa išraiška pagal logaritmo ženklą yra nurodyta kaip teigiamas, todėl, kai aš pateikiu išraiškos rodiklį, kuris stovi pagal logaritmo ženklą ir kaip jo pamatą, išraiška lieka po logaritmu, turi būti teigiamas.

Logaritho numeris N. Remiantis bet vadinamas laipsnio rodikliu h. kurioje jums reikia statyti bet gauti numerį N.

Tam
,
,

Nuo logaritmo apibrėžimo tai reiškia
.
- Ši lygybė yra pagrindinė logaritminė tapatybė.

Logaritmai, pagrįsti 10, vadinami dešimtainiais logaritmais. Vietoj to
rašykite
.

Logarithmia remiantis e. vadinamas natūralus ir paskirtas
.

Pagrindinės logaritmų savybės.

Logaritmai vienetai bet kuriai bazei yra nulis

Darbo logaritmas yra lygus veiksnių logaritmų sumai.

3) privataus asmens logaritmas yra lygus logaritmų skirtumui

Factor.
vadinamas pereinamojo laikotarpio moduliu iš logaritmų prie pagrindo a. į logaritmus prie pagrindo b. .

Naudojant 2-5 savybes, dažnai galima sumažinti sudėtingos išraiškos logaritmą dėl paprastų aritmetinių veiksmų logaritmų.

Pavyzdžiui,

Tokie logaritmo transformacijos vadinamos logaritmingu. Konvertuoja atvirkštinį logaritming yra vadinama potenciacija.

2 skyrius. Aukštos matematikos elementai.

1. Ribos

Ribinė funkcija
yra baigtinis numeris, jei su noru xx. 0 už kiekvieną apibrėžtą
Yra toks skaičius
tai kuo greičiau
T.
.

Funkcija, turinti riba skiriasi nuo jo be galo mažos vertės:
kur --- b.m.v, t.y.
.

Pavyzdys. Apsvarstyti funkciją
.

Su norais
funkcija y. Ji siekia nulio:

1.1. Pagrindiniai teoriniai yra apie ribas.

Nuolatinė vertės riba yra lygi šiam nuolatinei vertei.

.

Iš galutinio funkcijų sumos (skirtumo) riba yra lygi šių funkcijų ribų sumai.

Baigtinio funkcijų skaičius yra lygus šių funkcijų produktui.

Privačių dviejų funkcijų riba yra lygi šių funkcijų privatiems apribojimams, jei vardiklio riba nėra nulis.

Puikios ribos

,
kur

1.2. Apskaičiavimo apribojimų pavyzdžiai

Tačiau ne visos ribos apskaičiuojamos taip paprasta. Dažniau ribos apskaičiavimas sumažinamas iki tipo neapibrėžtumo atskleidimo: Or.

.

2. Išvestinė funkcija

Leiskite mums turėti funkciją
Nuolatinis segmentas
.

Argumentas gavo šiek tiek padidėjimo
. Tada funkcija gaus prieaugį
.

Argumento reikšmė atitinka funkcijos vertę
.

Argumento reikšmė
atitinka funkcijos vertę.

Taigi,.

Mes surasime šio santykio ribą
. Jei ši riba yra, tai vadinama šios funkcijos dariniu.

3 gamybos šios funkcijos apibrėžimas
pagal argumentą tai vadinama funkcijos funkcijos ryšio su argumento prieaugiu riba, kai argumento prieaugis yra savavališkai linkęs iki nulio.

Gauta funkcija
jis gali būti nurodytas taip:

; ; ; .

Nustatymas 4 NAUDOJIMO FUNKCIJOS IŠLAIDOS NURODYMAS diferenciacija.

2.1. Mechaninis jausmas išvestinis.

Apsvarstykite paprastą kai kurių kieto ar materialinio taško judėjimą.

Leiskite tam tikru momentu judantis taškas
buvo atstumu nuo pradinės padėties
.

Po kurio laiko
ji persikėlė į atstumą
. Požiūris =- vidutinė medžiagos medžiagos medžiaga
. Mes randame šio santykio ribą, atsižvelgiant į tai
.

Todėl materialinio taško greičio apibrėžimas sumažinamas iki išvestinės priemonės.

2.2. Darinio geometrinė vertė

Leiskite mums grafiškai suteikta tam tikra funkcija
.

Fig. 1. Geometrinis reikšmė išvestinė

Jeigu
, tada taškas
judės aplink kreivę, artėjant taškui
.

Taigi
. Išvestinės priemonės vertė su šia argumento verte jis yra skaitmeninis lygus išsilavinusio liesto kampas šiuo metu su teigiama ašies kryptimi.
.

2.3. Pagrindinių diferenciacijos formulės lentelė.

Galios funkcija

Eksponentinė funkcija

Logaritminė funkcija

Trigonometrinė funkcija

Atvirkštinio trigonometrinė funkcija

2.4. Diferenciacijos taisyklės.

Kilęs iš

Funkcijų suma (skirtumas)

Dviejų funkcijų darinys

Privačių dviejų funkcijų išvestinė priemonė

2.5. Gaunamas iš sudėtingos funkcijos.

Leiskite funkcijai suteikti
taip, kad jis būtų atstovaujamas kaip

ir. \\ T
kur kintamas yra tarpinis argumentas

Sudėtingos funkcijos darinys yra lygus šios funkcijos darinio produktui pagal tarpinį argumentą dėl tarpinio argumento darinio X.

1 pavyzdys.

Pavyzdys2.

3. Diferencialinė funkcija.

Tebūnie
diferencijuojama dėl kai kurių segmento
paleisk w. Ši funkcija yra gauta

,

tada galite įrašyti

(1),

kur - be galo maža vertė,

nuo kada

Dauginant visus lygybės narius (1)
mes turime:

Kur
- B.M.V. viršutinė tvarka.

Vertė
vadinama diferencine funkcija
ir reiškia

.

3.1. Diferencialo geometrinė vertė.

Leiskite funkcijai suteikti
.

2 pav. Diferencialo geometrinė reikšmė.

.

Akivaizdu, diferencialinė funkcija
Šiuo metu jis yra lygus ordinato priėmimui.

3.2. Išvestines finansines priemones ir skirtingų užsakymų skirtumus.

Jeigu ten
, Tada
vadinamas pirmuoju dariniu.

Pirmojo išvestinių finansinių priemonių darinys vadinamas antrosios eilės išvestiniu ir įrašytu
.

N-ajų užsakymų darinys iš funkcijos
išvestinė priemonė (N-1) vadinama užsakymu ir įrašais:

.

Diferencialo funkcijos skirtumas vadinamas antrąjį diferencinį arba antrosios eilės skirtumą.

.

.

3.3 Biologinių problemų sprendimas su diferenciacijos naudojimu.

Užduotis1. Tyrimai parodė, kad mikroorganizmų kolonijos augimas priklauso nuo įstatymo
kur N. - mikroorganizmų skaičius (tūkstančiais), t. - didelės (dienos).

b) Ar per šį laikotarpį padidės arba sumažės?

Atsakymas. Padidės kolonijos skaičius.

Užduotis 2. Vanduo ežere yra periodiškai išbandytas kontroliuoti patogeninių bakterijų turinį. Per t. dienų po bandymo bakterijų koncentraciją nustatoma pagal santykį

.

Kada ežeras ateis į ežerą minimali bakterijų koncentracija ir aš galiu plaukti į jį?

Defektas pasiekia maks arba minutes, kai jo darinys yra nulis.

,

Mes apibrėžiame maks. Arba minutes bus po 6 dienų. Norėdami tai padaryti, imtis antrą išvestinę priemonę.

Atsakymas: po 6 dienų bus minimali bakterijų koncentracija.

Šio straipsnio tikslas - logaritmas. Čia mes duosime logaritmo apibrėžimą, parodyti priimtą paskyrimą, pateikiame logaritmų pavyzdžius ir tarkime apie natūralius ir dešimtainius logaritmus. Po to apsvarstykite pagrindinį logaritminį tapatybę.

Naršymo puslapis.

Logaritmo apibrėžimas

Logaritmo koncepcija įvyksta sprendžiant problemą tam tikru požiūriu atvirkščiai, kai būtina rasti laipsnio rodiklį pagal laipsnio ir gerai žinomo pagrindo vertę.

Bet pakankamai prireikus, atėjo laikas atsakyti į klausimą "Kas yra logaritmas? Pateikite tinkamą apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Logaritmo numeris b, kur a\u003e 0, a ≠ 1 ir b\u003e 0 yra laipsnio rodiklis, kuriame numeris yra pastatytas siekiant gauti b.

Šiame etape pastebime, kad ryškus žodis "logarith" turėtų nedelsiant skambinti gautu klausimu: "Kas yra numeris" ir "apie tai,". Kitaip tariant, tik logaritmas, kaip buvo, ir yra tik kokių priežasčių logaritmas.

Nedelsiant pristatyti logaritmo paskyrimas: Numerio B logaritmas, pagrįstas a, yra pažymėtas kaip žurnalas A B. "B" numerio logaritmas, pagrįstas e ir logaritmu, pagrįstu pagrindu 10, turi savo specialius LNB ir LGB pavadinimus, ty ne žurnalą E B, bet LNB, o ne registruoti 10 b ir LGB.

Dabar galite duoti :.
Ir įrašai Nėra prasmės, nes pirmoje iš jų po logaritmo ženklu yra neigiamas skaičius, antrajame - neigiamas skaičius bazėje ir trečiame - ir neigiamas skaičius pagal logaritmo ženklą ir vienas prie pagrindo.

Dabar pasakykime O. logarovmov skaitymo taisyklės. Prisijunkite prie įrašymo yra skaitoma kaip "logarith B", pagrįsta a ". Pavyzdžiui, žurnalas 2 3 yra trijų ant pagrindo logaritmas, o dviejų sveikųjų skaičių logaritmas du trečdalius pagrindinės kvadratinės šaknies iš penkių. Logaritmas, pagrįstas e natūralus logaritmasIr LNB įrašymas yra skaitomas kaip "natūralus logaritmas B". Pavyzdžiui, LN7 yra natūralus septynių logaritmas, ir mes skaitysime kaip natūralų logaritmą pi. Logaritmas, pagrįstas baze 10, taip pat turi specialų vardą - dešimtainis logaritmasIr LGB įrašas yra skaitomas kaip "dešimtainis logaritmas B". Pavyzdžiui, LG1 yra dešimtainis logaritmas vienetas, o LG2,75 yra dešimtainis logaritmas iš dviejų viso septyniasdešimt penkerių šimtų.

Tai verta atskirai tomis terminais A\u003e 0, a ≠ 1 ir b\u003e 0, pagal kurią pateikiama logaritmo apibrėžtis. Paaiškėkime, kur kilo šie apribojimai. Padarys tai padės mums lygiai vadinamai rūšių, kurios tiesiogiai išplaukia iš pirmiau minėto logaritmo apibrėžimo.

Pradėkime nuo ≠ 1. Kadangi vienetas yra lygus vienai, lygybė gali būti galioja tik b \u003d 1, tačiau žurnalas 1 1 gali būti bet koks galiojantis numeris. Siekiant išvengti šio daugiasluoksnės ir priimamas a ≠ 1.

Pateisime sąlygų tikslingumą\u003e 0. A \u003d 0, pagal logaritmo apibrėžimą, turėtume lygybę, kuri yra įmanoma tik B \u003d 0. Bet tada log 0 0 gali būti bet koks kitoks skaičius skiriasi nuo nulio, nes nulis bet ne nulinio laipsnio yra nulis. Venkite šio kelių varžovų leidžia sąlygoti ≠ 0. Ir su A.<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Galiausiai, būklė b\u003e 0 išplaukia iš nelygybės a\u003e 0, nes ir laipsnio vertė su teigiama baze A yra visada teigiama.

Apibendrinant šį elementą, pasakykime, kad logaritmo apibrėžimas leidžia nedelsiant nurodyti logaritmo vertę, kai numeris pagal logaritmo ženklą yra tam tikras pamatas. Iš tiesų logaritmo apibrėžimas leidžia jums patvirtinti, kad jei b \u003d P, tada b numerio l logaritmas bazei a yra lygus p. Tai yra, lygybės žurnalas a p \u003d p yra galiojantis. Pavyzdžiui, mes žinome, kad 2 3 \u003d 8, tada log 2 8 \u003d 3. Apie tai kalbėsime išsamiau straipsnyje.

Pasakyti iš jo apibrėžimo. Ir taip logaritmų numeriai b. Remiantis betnustatomas kaip laipsnio rodiklis, kuriame turėtų būti išduotas numeris a.gauti numerį b. (Logarith yra tik teigiamiems skaičius).

Iš šios kompozicijos išplaukia, kad skaičiavimas x \u003d log a blygiavertis lygimui spręsti x \u003d b. Pavyzdžiui, prisijunkite 2 8 \u003d 3nes. 8 = 2 3 . Logaritmo formuluotė leidžia jums pateisinti, jei b \u003d A suTada logaritmų numeriai b. Remiantis a. Varnas nuo.. Taip pat aišku, kad logaritmingo tema yra glaudžiai tarpusavyje sujungta su numerio tema.

Su logaritmais, kaip ir bet kokiais skaičiais, galima atlikti papildomos operacijos, atimtumas ir transformuoti visais būdais. Tačiau dėl to, kad logaritmai nėra visiškai paprasti skaičiai, čia yra jų specialios taisyklės, kurios yra vadinamos pagrindinės savybės.

Logaritmų papildymas ir atitikimas.

Paimkite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: prisijunkite prie X. ir. \\ T prisijunkite prie Y.. Tada galima padaryti, kad būtų galima atlikti papildymus ir atimties operacijas:

prisijunkite x + log a y \u003d log a (x · y);

prisijunkite x - Prisijunkite a \u003d LOG a (X: Y).

prisijungti A(x. 1 . x. 2 . x. 3 ... x K.) = prisijunkite prie X. 1 + prisijunkite prie X. 2 + prisijunkite prie X. 3 + ... + prisijunkite prie x k.

Apie Logaritmai teoremai yra privatūsgalite gauti kitą logaritmo turtą. Tai gerai žinoma, kad žurnalas A.1 \u003d 0, todėl

Žurnalas. A. 1 / B.\u003d Žurnalas. A.1 - Prisijungti. B.\u003d - žurnalas. B..

Todėl lygybė vyksta:

prisijunkite a 1 / b \u003d - log a b.

Dviejų abipusiai atvirkštinių skaičių logaritmaibeveik pagrindas bus skiriasi nuo kitos tik pažįstamos. Taip:

Log 3 9 \u003d - log 3 1/9; LOG 5 1/125 \u003d -LOG 5 125.

Pradėkime S. savybės logaritmų vienetai. Jo formulavimas yra toks: logaritmo vienetas yra nulis, tai yra, prisijunkite prie 1 \u003d 0 Už bet kurį\u003e 0, a ≠ 1. Įrodymas nesukelia sunkumų: nuo 0 \u003d 1 už bet kokį a, atitinkančias aukščiau nurodytą sąlygas\u003e 0 ir A 1, tada paruošiamas lygybės žurnalas A 1 \u003d 0 Nedelsiant seka nuo logaritmo apibrėžimo.

Mes pateikiame pavyzdžių, kaip taikyti laikomas savybes: log 3 1 \u003d 0, LG1 \u003d 0 ir.

Eikite į šią turtą: skaičius, lygus bazei, logaritmas yra lygus vienam, t.y, prisijunkite a \u003d 1 A\u003e 0, a ≠ 1. Iš tiesų, nuo 1 \u003d a bet kokiam A, tada pagal logaritmo apibrėžimą leiskite a \u003d 1.

NAUDOJIMO NAUDOJIMO LOGARITMMŲ NAUDOJIMO PAVYZDYS yra "Equisivals" žurnalas 5 5 \u003d 1, žurnalas 5.6 5.6 ir lne \u003d 1.

Pavyzdžiui, žurnalas 2 2 7 \u003d 7, LG10 -4 \u003d -4 ir .

Dviejų teigiamų numerių logaritmai X ir Y yra lygus šių numerių logaritmų produktui: prisijunkite a (x · y) \u003d log a x + log a y, A\u003e 0, a ≠ 1. Įrengiame darbo logaritmo turtą. Pagal laipsnį log a x + log a y \u003d log a x · log a yir kadangi pagrindinis logaritminis tapatumas yra žurnalas a x \u003d x ir log a y \u003d y, tada log a x · log a y \u003d x · y. Taigi, log a x + log a y \u003d x · y, iš kur logaritmo apibrėžimas reiškia įrodyta lygybė.

Parodykime logaritmų savybių naudojimo pavyzdžius: žurnalas 5 (2 · 3) \u003d log 5 2 + log 5 3 ir .

Darbo logaritmų nuosavybė gali būti apibendrinti baigtinio N teigiamo numerių x 1, x 2, ..., X N, kaip prisijunkite a (x 1 · x 2 · ... · x n) \u003d prisijunkite a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n . Ši lygybė yra įrodyta be problemų.

Pavyzdžiui, natūralūs logaritmai gali būti pakeisti trijų natūralių 4, E, ir.

Logaritmas privačių dviejų teigiamų skaičių X ir y yra lygūs šių numerių logaritmų skirtumui. Privačios logaritmo savybės atitinka formos formulę, kur A\u003e 0, A ≠ 1, X ir Y yra teigiami numeriai. Šios formulės galiojimas yra įrodomas kaip logaritmo formulė: Nuo , Pagal logaritmo apibrėžimą.

Pateikite šio logaritmo turto naudojimo pavyzdį: .

Eikite į K. logaritmo laipsnio nuosavybė. Logaritmas laipsnis yra lygus šio laipsnio modulio modulio logaritmo produktui. Mes rašome šią logaritmo savybę formulėje: prisijunkite a b p \u003d p · log a | b |kur a\u003e 0, a ≠ 1, b ir P tokie numeriai, kuriuos laipsnis B p yra prasmingas ir b p\u003e 0.

Pirma, mes įrodome šį turtą už teigiamą b. Pagrindinis logaritminis tapatumas leidžia mums pristatyti numerį B, o tada b p \u003d (log a b) P, ir gautą išraišką pagal laipsnio turtą yra P · log a b. Taigi mes atvykome į lygybę b p \u003d a p · log a b, iš kurio, pagal logaritmo apibrėžimą, mes darome išvadą, kad log a b p \u003d p · log a b.

Lieka įrodyti, kad šis turtas yra neigiamas b. Čia pastebime, kad žurnalo ABP išraiška su neigiamu B yra prasminga tik lygintuvo P (nes B laipsnio vertė turėtų būti didesnė už nulį, kitaip logaritmas nebus prasmingas), ir šiuo atveju bp \u003d | B |. p. Tada b p \u003d | b | P \u003d (log a | b |) p \u003d a p · log a | b |Kur log a b p \u003d p · log a | b | .

Pavyzdžiui, ir ln (-3) 4 \u003d 4 · ln | -3 | \u003d 4 · ln3.

Nuo ankstesnio turto srautų Šaknų logaritmas: N-laipsnio šaknies logaritmas yra lygus 1 / n frakcijos produktui dėl šėrimo išraiškos logaritmo, tai yra, \\ t , kur\u003e 0, a ≠ 1, n yra natūralus skaičius, daugiau vienetų, b\u003e 0.

Įrodymas grindžiamas lygybės (žr), kuris galioja bet kokiam teigiamam B, ir logaritmo turtui: .

Čia pateikiamas šio objekto naudojimo pavyzdys: .

Dabar įrodyti perėjimo prie naujos logaritmo pagrindo formulė View. . Norėdami tai padaryti, pakanka įrodyti lygybės log C b \u003d log a b · log c a. Pagrindinis logaritminis tapatumas leidžia mums numerį B, kad būtų rodomas žurnalas A B, tada log C b \u003d log C a b. Lieka pasinaudoti logaritmo nuosavybe: log c a log a b \u003d log a b · log c a. Taigi įrodė, kad log C b \u003d log a b · log C A, todėl taip pat įrodyta, kad perėjimo prie naujos logaritmo pagrindo formulė.

Parodykime keletą pavyzdžių, kaip taikyti šį logaritmų savybę: ir .

Pereinamojo laikotarpio formulė į naują bazę leidžia jums pereiti prie darbo su logaritmais, turinčiais "patogų" pagrindą. Pavyzdžiui, naudojant jį, galite eiti į natūralius ar dešimtainius logaritmus, kad galėtumėte apskaičiuoti logaritmo reikšmę palei Logaritmo lentelę. Pereinamojo laikotarpio formulė į naują logaritmo bazę taip pat leidžia tam tikrais atvejais rasti šio logaritmo vertę, kai žinoma kai kurių logaritmų vertės su kitomis bazėmis.

Dažnai naudojamas specialus perėjimo prie naujos rūšies logaritmo pagrindo atvejis . Galima matyti, kad prisijungti prie "B" ir "Log B" A. Pavyzdžiui, .

Taip pat dažnai naudojama formulė kuris yra patogus ieškant logaritmų. Jei norite patvirtinti savo žodžius, parodome, kaip jis apskaičiuojamas pagal nuomonės logaritmo vertę. Turėti . Įrodyti formulę Pakanka pasinaudoti perėjimu į naują logaritmo bazę: .

Lieka įrodyti logaritmų palyginimo savybes.

Mes įrodome, kad už bet kokius teigiamus numerius B 1 ir B 2, B 1 prisijunkite A B 2 ir A\u003e 1 - nelygybės log a b 1

Galiausiai, lieka įrodyti paskutinį sąrašą savybių logaritmų. Mes apribojame savo pirmosios dalies įrodymą, tai yra, mes įrodome, kad jei 1\u003e 1, A 2\u003e 1 ir A 1 1 mugė prisijungti a 1 b\u003e log a 2 b. Likusius šio logaritmų savybės pareiškimus įrodo panašus principas.

Mes naudojame metodą nuo priešingos. Tarkime, kad 1\u003e 1, A 2\u003e 1 ir A 1 1 teisingas prisijungimas a 1 b≤log a 2 B. Pagal logaritmų savybes, ši nelygybė gali perrašyti kaip ir. \\ T Atitinkamai tai reiškia, kad žurnalas B 1 ≤ l 2 ir log b a 1 ≥Log B A 2, atitinkamai. Tada, atsižvelgiant į laipsnių savybes su tomis pačiomis bazėmis, lygybė B log b a 1 ≥b log b a 2 ir b log b a 1 ≥b log b a 2, ty 1 ≥a 2. Taigi mes atėjome prieš prieštaravimų sąlygą a 1

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramovas A.M., DUDNITSYN YU.P. ir kt. Algebra ir pradinė analizė: 10 - 11 bendrųjų švietimo įstaigų vadovė.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (pareiškėjams į technikos mokyklas).