Svorio centro ypatybė yra ta, kad ši jėga neveikia kūno viename taške, o pasiskirsto visame kūno tūryje. Atskirus kūno elementus (kurie gali būti laikomi materialiais taškais) veikiančios gravitacijos jėgos nukreiptos į Žemės centrą ir nėra griežtai lygiagrečios. Tačiau kadangi daugumos kūnų dydžiai Žemėje yra daug mažesni už jos spindulį, šios jėgos laikomos lygiagrečiomis.

Svorio centro nustatymas

Apibrėžimas

Taškas, per kurį bet kurioje kūno vietoje erdvėje praeina visų lygiagrečių gravitacijos jėgų, veikiančių kūno elementus, atstojamoji. gravitacijos centras.

Kitaip tariant: svorio centras yra taškas, į kurį gravitacijos jėga veikia bet kurioje kūno padėtyje erdvėje. Jei gravitacijos centro padėtis yra žinoma, galime daryti prielaidą, kad gravitacijos jėga yra viena jėga, ir ji veikia svorio centre.

Svorio centro radimo užduotis yra svarbi technologija, nes visų konstrukcijų stabilumas priklauso nuo svorio centro padėties.

Kūno svorio centro nustatymo metodas

Nustatydami sudėtingos formos kūno svorio centro padėtį, pirmiausia galite mintyse suskaidyti kūną į paprastos formos dalis ir rasti joms svorio centrus. Paprastos formos kūnų svorio centrą galima iš karto nustatyti remiantis simetrija. Vienalyčio disko ir rutulio gravitacijos jėga yra jų centre, vienalyčio cilindro – taške, esančiame jo ašies viduryje; vienalytis gretasienis jo įstrižainių sankirtoje ir kt. Visų vienarūšių kūnų svorio centras sutampa su simetrijos centru. Svorio centras gali būti už kūno ribų, pavyzdžiui, žiedas.

Išsiaiškinkime kūno dalių svorio centrų vietą, raskime viso kūno svorio centro vietą. Norėdami tai padaryti, kūnas vaizduojamas kaip materialių taškų rinkinys. Kiekvienas toks taškas yra savo kūno dalies svorio centre ir turi šios dalies masę.

Svorio centro koordinatės

Trimatėje erdvėje visų lygiagrečių sunkio jėgų rezultanto taikymo taško koordinatės standžiam kūnui (svorio centro koordinatės) apskaičiuojamos taip:

\[\left\( \begin(masyvas)(c) x_c=\frac(\sum\limits_i(\Delta m_ix_i))(m);; \\ y_c=\frac(\sum\limits_i(\Delta m_iy_i) )(m);; \\ z_c=\frac(\sum\limits_i(\Delta m_iz_i))(m) \end(masyvas) \right.\left(1\right),\]

kur $m$ – kūno masė.$;;x_i$ – elementarios masės $\Delta m_i$ koordinatė X ašyje; $y_i$ - koordinatė Y ašyje elementariosios masės $\Delta m_i$; ; $z_i$ yra elementariosios masės $\Delta m_i$ Z ašies koordinatė.

Vektoriniame žymėjime trijų lygčių sistema (1) parašyta taip:

\[(\overline(r))_c=\frac(1)(m)\sum\limits_i(m_i(\overline(r))_i\left(2\right),)\]

$(\overline(r))_c$ - spindulys - vektorius, nustatantis svorio centro padėtį; $(\overline(r))_i$ yra spindulio vektoriai, nustatantys elementariųjų masių padėtis.

Kūno svorio centras, masės centras ir inercijos centras

Formulė (2) sutampa su išraiškomis, kurios nustato kūno masės centrą. Jei kūno dydis yra mažas, palyginti su atstumu iki Žemės centro, laikoma, kad svorio centras sutampa su kūno masės centru. Daugumoje problemų svorio centras sutampa su kūno masės centru.

Neinercinėse atskaitos sistemose, judančiose transliaciniu būdu, inercijos jėga taikoma kūno svorio centrui.

Tačiau reikia atsižvelgti į tai, kad išcentrinė inercijos jėga (bendruoju atveju) netaikoma svorio centrui, nes neinerciniame atskaitos rėme skirtingos išcentrinės inercijos jėgos veikia kūno elementus (netgi jei elementų masės lygios), kadangi atstumai iki sukimosi ašies yra skirtingi.

Problemų su sprendimais pavyzdžiai

1 pavyzdys

Pratimas. Sistema sudaryta iš keturių mažų rutuliukų (1 pav.) Kokios yra jos svorio centro koordinatės?

Sprendimas. Pažiūrėkime į 1 pav. Šiuo atveju svorio centras turės vieną koordinatę $x_c$, kurią apibrėžiame kaip:

Mūsų atveju kūno masė yra lygi:

Dešinėje išraiškos (1.1) pusėje esantis trupmenos skaitiklis (1(a)) įgauna tokią formą:

\[\sum\limits_(i=4)(\Delta m_ix_i=m\cdot 0+2m\cdot a+3m\cdot 2a+4m\cdot 3a=20m\cdot a).\]

Mes gauname:

Atsakymas.$x_c=2a;$

2 pavyzdys

Pratimas. Sistema sudaryta iš keturių mažų rutuliukų (2 pav.) Kokios yra jos svorio centro koordinatės?

Sprendimas. Pažiūrėkime į 2 pav. Sistemos svorio centras yra plokštumoje, todėl ji turi dvi koordinates ($x_c,y_c$). Raskime juos naudodami formules:

\[\left\( \begin(masyvas)(c) x_c=\frac(\sum\limits_i(\Delta m_ix_i))(m);; \\ y_с=\frac(\sum\limits_i(\Delta m_iy_i) )(m).\end(masyvas)\right.\]

Sistemos svoris:

Raskime koordinatę $x_c$:

Koordinatė $y_с$:

Atsakymas.$x_c=0,5\ a$; $y_с=0,3\ a$

Skaičiavimai tokie patys kaip ir stačiakampio sijos atveju. Jie apima jėgų sijoje ir plokštės kampuose nustatymą. Tada jėgos veda į naujosios T formos svorio centrą.

Ašis eina per plokštės svorio centrą.

Supaprastintas plokščių jėgų apskaitos metodas yra plokštės mazgų (bendros plokštės ir sijos mazgų) jėgas padauginti iš projektinio plokštės pločio. Statant siją plokštės atžvilgiu, atsižvelgiama į poslinkius (taip pat ir santykinius poslinkius). Gauti sutrumpinti rezultatai yra tokie patys, tarsi T profilis būtų pakeltas nuo plokštės plokštumos tokiu poslinkiu, kuris lygus atstumui nuo plokštės svorio centro iki T profilio svorio centro (žr. paveikslas žemiau).

Jėgos nukreipiamos į T formos svorio centrą:

M = Mb + Mp * B + Np * B * e1 + Nb * e2

B = beff1+b+beff2

T formos atkarpos svorio centro nustatymas

Statinis momentas, apskaičiuotas plokštės svorio centre

S = b*h* (poslinkis)

A = (beff1+b+beff2)*hpl + b*h

Svorio centras pakeltas plokštės svorio centro atžvilgiu:

b - sijos plotis;

h - sijos aukštis;

beff1, beff2 - skaičiuojami plokščių pločiai;

hpl - plokštės aukštis (plokštės storis);

poslinkis – tai sijos poslinkis plokštės atžvilgiu.

PASTABA.

1. Būtina atsižvelgti į tai, kad gali būti bendros plokštės ir sijos plotai, kurie, deja, bus skaičiuojami du kartus, o tai padidins T formos sijos standumą. Dėl to sumažėja jėgos ir įlinkiai.
2. Plokštės rezultatai nuskaitomi iš baigtinių elementų mazgų; tinklelio tobulinimas turi įtakos rezultatams.
3. Modelyje T profilio ašis eina per plokštės svorio centrą.
4. Atitinkamų jėgų padauginimas iš priimto projektinio plokštės pločio yra supaprastinimas, todėl gaunami apytiksliai rezultatai.

Stačiakampio skerspjūvio lanksčios gelžbetoninės konstrukcijos nėra ekonomiškai efektyvios. Taip yra dėl to, kad normalūs įtempiai išilgai sekcijos aukščio elemento lenkimo metu pasiskirsto netolygiai. Palyginti su stačiakampėmis sekcijomis, T formos yra daug pelningesnės, nes esant tokiai pat laikomajai galiai, betono sąnaudos T profilio elementuose yra mažesnės.

T sekcija, kaip taisyklė, turi vieną sutvirtinimą.

Atliekant lenkimo T profilio elementų normalių pjūvių stiprumo skaičiavimus, yra du projektiniai atvejai.

Pirmojo projektavimo atvejo algoritmas pagrįstas prielaida, kad lenkimo elemento neutrali ašis yra suspaustame flanše.

Antrojo projektavimo atvejo algoritmas pagrįstas prielaida, kad lenkimo elemento neutrali ašis yra už suspausto flanšo ribų (eina išilgai elemento T profilio krašto).

Lenkimo gelžbetonio elemento su viena armatūra normaliosios sekcijos stiprio apskaičiavimas tuo atveju, kai neutrali ašis yra suspausto flanšo viduje, yra identiškas stačiakampio pjūvio su viena armatūra, kurio pjūvio plotis lygus trišakio flanšo plotis.

Šio atvejo projektinė schema pateikta 3.3 pav.

Ryžiai. 3.3. Apskaičiuoti lenkimo gelžbetonio elemento normaliosios sekcijos stiprumą tuo atveju, kai neutrali ašis yra suspaustame flanše.

Geometriškai atvejis, kai neutrali ašis yra suspaustame flanše, reiškia, kad trišakio () sekcijos suspaustos zonos aukštis nėra didesnis už suspausto flanšo aukštį ir išreiškiamas sąlyga: .

Iš išorinės apkrovos ir vidinių jėgų veikiančių jėgų požiūriu ši sąlyga reiškia, kad pjūvio stiprumas užtikrinamas, jei apskaičiuota lenkimo momento vertė nuo išorinės apkrovos. (M ) neviršys apskaičiuotos vidinių jėgų momento vertės tempimo armatūros sekcijos svorio centro atžvilgiu esant vertėms .

M (3.25)

Jei įvykdoma sąlyga (3.25), neutralioji ašis iš tikrųjų yra suspaustame flanše. Tokiu atveju būtina išsiaiškinti, kokio dydžio suspausto flanšo plotį reikia atsižvelgti skaičiuojant. Normos nustato šias taisykles:

Reikšmė b " f , įtrauktas į skaičiavimą; paimta iš sąlygos, kad lentynos iškyšos plotis kiekviena kryptimi nuo briaunelės neturėtų būti daugiau 1 / 6 elementų intervalas ir ne daugiau:

a) esant skersiniams šonkauliams arba kai h " f ≥ 0,1 h - 1 / 2 aiškūs atstumai tarp išilginių šonkaulių;

b) kai nėra skersinių briaunų (arba kai atstumai tarp jų yra didesni nei atstumai tarp išilginių briaunų) ir h " f < 0,1 h - 6 h " f

c) su konsolinėmis lentynos iškyšomis:

adresu h " f ≥ 0,1 h - 6 h " f ;

adresu 0,05 h ≤ h " f < 0,1 h - 3 h " f ;

adresu h " f < 0,05 h - neatsižvelgiama į iškyšas.

Užrašykime tempimo išilginės armatūros stiprumo sąlygą svorio centro atžvilgiu

M (3.26)

Transformuokime (3.26) lygtį panašiai kaip reiškinių (3.3) transformacijas. (3.4) gauname išraišką

M (3.27)

Iš čia mes nustatome vertę

= (3.28)

Pagal vertę iš lentelės Nustatykime 𝛈 reikšmes.

Palyginkime vertę . elementų sekcijos. Jei sąlyga 𝛏 tenkinama, tai yra stiprumo sąlyga, palyginti su trišakio suspaustos zonos svorio centru.

M (3.29)

Atlikę išraiškos (3.29) transformaciją, panašią į išraiškos (3.12) transformaciją, gauname:

= (3.30)

būtina pasirinkti ištemptos išilginės darbinės armatūros ploto vertes.

Lenkimo gelžbetonio elemento su viena armatūra įprastos pjūvio stiprumo skaičiavimas tuo atveju, kai neutrali ašis yra už suspausto flanšo (eina išilgai trišakio krašto), šiek tiek skiriasi nuo aptarto aukščiau.

Šio atvejo projektavimo schema pateikta 3.4 pav.

Ryžiai. 3.4. Į lenkimo gelžbetonio elemento normaliosios sekcijos stiprumo skaičiavimą tuo atveju, kai neutrali ašis yra už suspausto flanšo ribų.

Laikykime trišakio suspaustos zonos atkarpą suma, susidedančia iš dviejų stačiakampių (flanšo iškyšos) ir stačiakampio, susieto su suspausta briaunos dalimi.

Stiprumo sąlyga tempimo armatūros svorio centro atžvilgiu.

M + (3.31)

Kur – jėga suspaustose lentynų iškyšose;

Pečius nuo įtemptos armatūros svorio centro iki lentynos iškyšų svorio centro;

– jėga suspaustoje trišakio briaunelės dalyje;

- pečių nuo įtempimo armatūros svorio centro iki suspaustos šonkaulio dalies svorio centro.

= (3.32)

= (3.33)

= b (3.34)

= (3.35)

Pakeiskime išraiškas (3.32 – 3.35) į formulę (3.31).

M + b (3.36)

Antrąjį dešinėje lygties pusėje esantį narį transformuokime išraiškoje (3.36) panašiai kaip aukščiau atliktos transformacijos (3.3; 3.4; 3.5 formulės)

Gauname tokią išraišką:

M + (3.37)

Iš čia mes nustatome skaitinę reikšmę .

= (3.38)

Pagal vertę iš lentelės Nustatykime 𝛈 reikšmes.

Palyginkime reikšmę su suspaustos zonos santykinio aukščio ribine verte . elementų sekcijos. Jei sąlyga 𝛏 tenkinama, tada sukuriama pusiausvyros sąlyga jėgų projekcijoms į išilginę elemento ašį. Σ N=0

--=0 (3.39)

=+ b (3.40)

Iš čia mes nustatome reikiamą ištemptos išilginės darbinės armatūros skerspjūvio plotą.

= (3.41)

Pagal strypų armatūros asortimentą būtina pasirinkti ištemptos išilginės darbinės armatūros ploto vertes.