Afwerking. Uitrusting. Reparatie. Montage. Keuze. Opening
Online rekenmachine.
Driehoeken oplossen.
De oplossing van een driehoek is het vinden van al zijn zes elementen (d.w.z. drie zijden en drie hoeken) door drie gegeven elementen die de driehoek definiëren.
Dit rekenprogramma vindt zijde \ (c \), hoeken \ (\ alpha \) en \ (\ beta \) langs door de gebruiker opgegeven zijden \ (a, b \) en de hoek daartussen \ (\ gamma \)
Het programma geeft niet alleen een antwoord op het probleem, maar toont ook het proces van het vinden van een oplossing.
Deze online rekenmachine kan handig zijn voor ouderejaarsstudenten van middelbare scholen ter voorbereiding op toetsen en examens, bij het controleren van kennis voor het examen, voor ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je gewoon zo snel mogelijk je huiswerk voor wiskunde of algebra af hebben? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.
Op deze manier kunt u uw eigen onderwijs geven en/of uw jongere broers of zussen lesgeven, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van de op te lossen problemen stijgt.
Als u niet bekend bent met de regels voor het invoeren van cijfers, raden wij u aan om u ermee vertrouwd te maken.
Regels voor het invoeren van nummers
Getallen kunnen niet alleen geheel, maar ook fractioneel worden ingesteld.
De gehele en gebroken delen in decimale breuken kunnen worden gescheiden door een punt of een komma.
U kunt bijvoorbeeld decimale breuken invoeren zoals 2,5 of zo 2,5
Er is vastgesteld dat sommige scripts die nodig zijn om dit probleem op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Misschien heb je AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.
Om de oplossing te laten verschijnen, moet u JavaScript inschakelen.
Hier zijn instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.
Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht, alsjeblieft sec ...
als jij een fout opgemerkt in de oplossing, dan kunt u hierover schrijven in het Feedbackformulier.
Vergeet niet aangeven welke taak jij bepaalt en wat? vul de velden in.
Onze spellen, puzzels, emulators:
Een beetje theorie.
sinusstelling
Stelling
De zijden van de driehoek zijn evenredig met de sinussen van de overstaande hoeken:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) $$
Cosinus stelling
Stelling
Laat in driehoek ABC AB = c, BC = a, CA = b. Vervolgens
Het kwadraat van de zijde van een driehoek is de som van de kwadraten van de andere twee zijden min tweemaal het product van die zijden maal de cosinus van de hoek ertussen.
$$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2ba \ cos A $$
Driehoeken oplossen
De oplossing van een driehoek is het vinden van al zijn zes elementen (d.w.z. drie zijden en drie hoeken) door drie gegeven elementen die de driehoek definiëren.
Beschouw drie problemen voor het oplossen van een driehoek. In dit geval gebruiken we de volgende notatie voor de zijden van de driehoek ABC: AB = c, BC = a, CA = b.
Een driehoek aan twee zijden oplossen en een hoek ertussen
Gegeven: \ (a, b, \ hoek C \). Vind \ (c, \ hoek A, \ hoek B \)
Oplossing
1. Met de cosinusstelling vinden we \ (c \):
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$
3. \ (\ hoek B = 180 ^ \ cirkel - \ hoek A - \ hoek C \)
Een driehoek oplossen aan een zijde en aangrenzende hoeken
Gegeven: \ (a, \ hoek B, \ hoek C \). Vind \ (\ hoek A, b, c \)
Oplossing
1. \ (\ hoek A = 180 ^ \ cirkel - \ hoek B - \ hoek C \)
$$ b = a \ frac (\ sin B) (\ sin A), \ quad c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$
Een driehoek aan drie kanten oplossen
Gegeven: \ (a, b, c \). Vind \ (\ hoek A, \ hoek B, \ hoek C \)
Oplossing
1. Met de cosinusstelling verkrijgen we:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$
2. Op dezelfde manier vinden we de hoek B.
3. \ (\ hoek C = 180 ^ \ cirkel - \ hoek A - \ hoek B \)
Een driehoek aan twee zijden oplossen en een hoek tegenover een bekende zijde
Gegeven: \ (a, b, \ hoek A \). Vind \ (c, \ hoek B, \ hoek C \)
Oplossing
1. Door de sinusstelling vinden we \ (\ sin B \) krijgen we:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) \ Pijl naar rechts \ sin B = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A $$
Laten we de notatie introduceren: \ (D = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A \). Afhankelijk van het nummer D zijn de volgende gevallen mogelijk:
Als D> 1 bestaat zo'n driehoek niet, aangezien \ (\ sin B \) kan niet groter zijn dan 1
Als D = 1, is er maar één \ (\ hoek B: \ quad \ sin B = 1 \ Pijl naar rechts \ hoek B = 90 ^ \ circ \)
Als D Als D 2. \ (\ hoek C = 180 ^ \ cirkel - \ hoek A - \ hoek B \)
3. Bereken met behulp van de sinusstelling de zijde c:
$$ c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$
In het leven hebben we vaak te maken met rekenproblemen: op school, op de universiteit, en dan ons kind helpen met huiswerk. Mensen in bepaalde beroepen zullen dagelijks in aanraking komen met wiskunde. Daarom is het handig om wiskundige regels te onthouden of op te roepen. In dit artikel zullen we er een analyseren: het vinden van het been van een rechthoekige driehoek.
Wat is een rechthoekige driehoek?
Laten we om te beginnen onthouden wat een rechthoekige driehoek is. Een rechthoekige driehoek is een geometrische figuur van drie lijnsegmenten die punten verbinden die niet op één rechte lijn liggen, en een van de hoeken van deze figuur is 90 graden. De zijden die een rechte hoek vormen, worden benen genoemd en de zijde die tegenover de rechte hoek ligt, wordt de hypotenusa genoemd.
Vind het been van een rechthoekige driehoek
Er zijn verschillende manieren om de lengte van het been te achterhalen. Ik zou ze graag nader willen bekijken.
Stelling van Pythagoras om het been van een rechthoekige driehoek te vinden
Als we de hypotenusa en het been kennen, kunnen we de lengte van het onbekende been vinden met behulp van de stelling van Pythagoras. Het klinkt als volgt: "Het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de benen." Formule: c² = a² + b², waarbij c - hypotenusa, a en b - benen. We transformeren de formule en krijgen: a² = c²-b².
Voorbeeld. De hypotenusa is 5 cm en het been is 3 cm We transformeren de formule: c² = a² + b² → a² = c²-b². Dan beslissen we: a² = 5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; een = √16; a = 4 (cm).
Trigonometrische verhoudingen om het been van een rechthoekige driehoek te vinden
Je kunt ook een onbekend been vinden als er een andere zijde en elke scherpe hoek van een rechthoekige driehoek bekend is. Er zijn vier opties om een been te vinden met behulp van trigonometrische functies: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Om problemen op te lossen, zal de onderstaande tabel ons helpen. Laten we deze opties eens bekijken.
Vind het been van een rechthoekige driehoek met sinus
De sinus van de hoek (sin) is de verhouding van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa. Formule: sin = a / c, waarbij a het been tegenover een bepaalde hoek is, en c de hypotenusa is. Vervolgens transformeren we de formule en krijgen: a = sin * c.
Voorbeeld. De hypotenusa is 10 cm, de hoek A is 30 graden. Volgens de tabel berekenen we de sinus van hoek A, deze is 1/2. Vervolgens lossen we met behulp van de getransformeerde formule op: a = sin∠А * c; een = 1/2 * 10; a = 5 (cm).
Vind het been van een rechthoekige driehoek met behulp van de cosinus
De cosinus van de hoek (cos) is de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa. Formule: cos = b / c, waarbij b het been is dat grenst aan de gegeven hoek, en c de hypotenusa is. Laten we de formule transformeren en krijgen: b = cos * c.
Voorbeeld. Hoek A is 60 graden, de hypotenusa is 10 cm. Volgens de tabel berekenen we de cosinus van hoek A, deze is 1/2. Dan beslissen we: b = cos∠A * c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).
Vind het been van een rechthoekige driehoek met behulp van de tangens
De tangens van de hoek (tg) is de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende been. Formule: tg = a / b, waarbij a het been tegenover de hoek is en b het aangrenzende been. We transformeren de formule en krijgen: a = tg * b.
Voorbeeld. Hoek A is gelijk aan 45 graden, hypotenusa is gelijk aan 10 cm Volgens de tabel berekenen we de tangens van hoek A, deze is gelijk aan Oplossen: a = tg∠A * b; een = 1 * 10; a = 10 (cm).
Vind het been van een rechthoekige driehoek met behulp van de cotangens
De cotangens van de hoek (ctg) is de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenoverliggende been. Formule: ctg = b / a, waarbij b het been is dat grenst aan de hoek, a het tegenoverliggende been is. Met andere woorden, een cotangens is een "omgekeerde tangens". We krijgen: b = ctg * a.
Voorbeeld. Hoek A is 30 graden, het andere been is 5 cm. Volgens de tabel is de raaklijn van hoek A √3. Bereken: b = ctg∠A * a; b = √3 * 5; b = 5√3 (cm).
Dus nu weet je hoe je een been in een rechthoekige driehoek kunt vinden. Zoals je kunt zien, is dit niet zo moeilijk, het belangrijkste is om de formules te onthouden.
Online rekenmachine.
Driehoeken oplossen.
De oplossing van een driehoek is het vinden van al zijn zes elementen (d.w.z. drie zijden en drie hoeken) door drie gegeven elementen die de driehoek definiëren.
Dit rekenprogramma vindt de zijden \ (b, c \), en de hoek \ (\ alpha \) langs de door de gebruiker opgegeven zijde \ (a \) en twee aangrenzende hoeken \ (\ beta \) en \ (\ gamma \ )
Het programma geeft niet alleen een antwoord op het probleem, maar toont ook het proces van het vinden van een oplossing.
Deze online rekenmachine kan handig zijn voor ouderejaarsstudenten van middelbare scholen ter voorbereiding op toetsen en examens, bij het controleren van kennis voor het examen, voor ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je gewoon zo snel mogelijk je huiswerk voor wiskunde of algebra af hebben? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.
Op deze manier kunt u uw eigen onderwijs geven en/of uw jongere broers of zussen lesgeven, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van de op te lossen problemen stijgt.
Als u niet bekend bent met de regels voor het invoeren van cijfers, raden wij u aan om u ermee vertrouwd te maken.
Regels voor het invoeren van nummers
Getallen kunnen niet alleen geheel, maar ook fractioneel worden ingesteld.
De gehele en gebroken delen in decimale breuken kunnen worden gescheiden door een punt of een komma.
U kunt bijvoorbeeld decimale breuken invoeren zoals 2,5 of zo 2,5
Er is vastgesteld dat sommige scripts die nodig zijn om dit probleem op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Misschien heb je AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.
Om de oplossing te laten verschijnen, moet u JavaScript inschakelen.
Hier zijn instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.
Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht, alsjeblieft sec ...
als jij een fout opgemerkt in de oplossing, dan kunt u hierover schrijven in het Feedbackformulier.
Vergeet niet aangeven welke taak jij bepaalt en wat? vul de velden in.
Onze spellen, puzzels, emulators:
Een beetje theorie.
sinusstelling
Stelling
De zijden van de driehoek zijn evenredig met de sinussen van de overstaande hoeken:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) $$
Cosinus stelling
Stelling
Laat in driehoek ABC AB = c, BC = a, CA = b. Vervolgens
Het kwadraat van de zijde van een driehoek is de som van de kwadraten van de andere twee zijden min tweemaal het product van die zijden maal de cosinus van de hoek ertussen.
$$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2ba \ cos A $$
Driehoeken oplossen
De oplossing van een driehoek is het vinden van al zijn zes elementen (d.w.z. drie zijden en drie hoeken) door drie gegeven elementen die de driehoek definiëren.
Beschouw drie problemen voor het oplossen van een driehoek. In dit geval gebruiken we de volgende notatie voor de zijden van de driehoek ABC: AB = c, BC = a, CA = b.
Een driehoek aan twee zijden oplossen en een hoek ertussen
Gegeven: \ (a, b, \ hoek C \). Vind \ (c, \ hoek A, \ hoek B \)
Oplossing
1. Met de cosinusstelling vinden we \ (c \):
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$
3. \ (\ hoek B = 180 ^ \ cirkel - \ hoek A - \ hoek C \)
Een driehoek oplossen aan een zijde en aangrenzende hoeken
Gegeven: \ (a, \ hoek B, \ hoek C \). Vind \ (\ hoek A, b, c \)
Oplossing
1. \ (\ hoek A = 180 ^ \ cirkel - \ hoek B - \ hoek C \)
$$ b = a \ frac (\ sin B) (\ sin A), \ quad c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$
Een driehoek aan drie kanten oplossen
Gegeven: \ (a, b, c \). Vind \ (\ hoek A, \ hoek B, \ hoek C \)
Oplossing
1. Met de cosinusstelling verkrijgen we:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$
2. Op dezelfde manier vinden we de hoek B.
3. \ (\ hoek C = 180 ^ \ cirkel - \ hoek A - \ hoek B \)
Een driehoek aan twee zijden oplossen en een hoek tegenover een bekende zijde
Gegeven: \ (a, b, \ hoek A \). Vind \ (c, \ hoek B, \ hoek C \)
Oplossing
1. Door de sinusstelling vinden we \ (\ sin B \) krijgen we:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) \ Pijl naar rechts \ sin B = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A $$
Laten we de notatie introduceren: \ (D = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A \). Afhankelijk van het nummer D zijn de volgende gevallen mogelijk:
Als D> 1 bestaat zo'n driehoek niet, aangezien \ (\ sin B \) kan niet groter zijn dan 1
Als D = 1, is er maar één \ (\ hoek B: \ quad \ sin B = 1 \ Pijl naar rechts \ hoek B = 90 ^ \ circ \)
Als D Als D 2. \ (\ hoek C = 180 ^ \ cirkel - \ hoek A - \ hoek B \)
3. Bereken met behulp van de sinusstelling de zijde c:
$$ c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$
In de meetkunde is een hoek een figuur die wordt gevormd door twee stralen die uit één punt komen (het hoekpunt van een hoek). Meestal worden hoeken gemeten in graden, waarbij de totale hoek of omwenteling gelijk is aan 360 graden. U kunt de hoek van een veelhoek berekenen als u het type van de veelhoek en de grootte van de andere hoeken kent, of, in het geval van een rechthoekige driehoek, de lengte van twee van zijn zijden.
Stappen
De hoeken van een veelhoek berekenen
- De hoeken van een driehoek (driezijdige veelhoek) tellen op tot 180 graden.
- De hoeken van een vierhoek (4-zijdige veelhoek) tellen op tot 360 graden.
- De hoeken van een vijfhoek (vijfzijdige veelhoek) tellen op tot 540 graden.
- De hoeken van een zeshoek (zeszijdige veelhoek) tellen op tot 720 graden.
- De hoeken van een achthoek (een achthoekige veelhoek) tellen op tot 1080 graden.
-
Bepaal of de veelhoek regelmatig is. Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarin alle zijden en alle hoeken gelijk zijn aan elkaar. Voorbeelden van regelmatige veelhoeken zijn een gelijkzijdige driehoek en een vierkant, terwijl het Pentagon in Washington is gebouwd in de vorm van een regelmatige vijfhoek en een stopbord in de vorm van een regelmatige achthoek.
Tel de bekende hoeken van de veelhoek bij elkaar op en trek die som vervolgens af van het totaal van alle hoeken. De meeste geometrische problemen van dit soort gaan over driehoeken of vierhoeken, omdat ze minder invoergegevens nodig hebben, dus we zullen hetzelfde doen.
- Als de twee hoeken van de driehoek respectievelijk 60 graden en 80 graden zijn, tel die getallen dan op. Het wordt 140 graden. Trek dit bedrag vervolgens af van het totaal van alle hoeken van de driehoek, dus van 180 graden: 180 - 140 = 40 graden. (Een driehoek waarvan alle hoeken ongelijk aan elkaar zijn, wordt niet-zijdig genoemd.)
- Je kunt deze oplossing schrijven als a = 180 - (b + c), waarbij a de hoek is die je wilt vinden, b en c de bekende hoeken. Voor veelhoeken met meer dan drie zijden vervangt u 180 door de som van de hoeken van dit type veelhoek en voegt u één term toe aan de som tussen haakjes voor elke bekende hoek.
- Sommige polygonen hebben hun eigen "trucs" waarmee u de onbekende hoek kunt berekenen. Een gelijkbenige driehoek is bijvoorbeeld een driehoek met twee gelijke zijden en twee gelijke hoeken. Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden en overstaande hoeken gelijk zijn.
De hoeken van een rechthoekige driehoek berekenen
-
Bepaal welke gegevens u kent. Een rechthoekige driehoek wordt zo genoemd omdat een van zijn hoeken juist is. Je kunt de grootte van een van de twee resterende hoeken vinden als je een van de volgende dingen weet:
Bepaal welke goniometrische functie u wilt gebruiken. Goniometrische functies drukken de verhoudingen uit van twee van de drie zijden van een driehoek. Er zijn zes goniometrische functies, maar de volgende zijn de meest gebruikte:
Tel het aantal hoeken in de veelhoek.
Zoek de som van alle hoeken van de veelhoek. De formule voor het vinden van de som van alle binnenhoeken van een veelhoek ziet eruit als (n - 2) x 180, waarbij n het aantal zijden en hoeken van de veelhoek is. Hier zijn de sommen van de hoeken van enkele veel voorkomende veelhoeken:
In de meetkunde zijn er vaak problemen met de zijden van driehoeken. Het is bijvoorbeeld vaak nodig om de zijde van een driehoek te vinden als de andere twee bekend zijn.
Driehoeken zijn gelijkbenig, gelijkzijdig en niet-zijdig. Van alle variëteiten zullen we voor het eerste voorbeeld een rechthoekige kiezen (in zo'n driehoek is een van de hoeken 90 °, de aangrenzende zijden worden benen genoemd en de derde wordt de hypotenusa genoemd).
Snelle navigatie door het artikel
De lengte van de zijden van een rechthoekige driehoek
De oplossing voor het probleem volgt uit de stelling van de grote wiskundige Pythagoras. Er staat dat de som van de kwadraten van de benen van een rechthoekige driehoek gelijk is aan het kwadraat van zijn schuine zijde: a² + b² = c²
- Zoek het kwadraat van de beenlengte a;
- Vind het kwadraat van het been b;
- We zetten ze bij elkaar;
- Uit het verkregen resultaat halen we de wortel van de tweede graad.
Voorbeeld: a = 4, b = 3, c =?
- a² = 4² = 16;
- b² = 3² = 9;
- 16+9=25;
- √25 = 5. Dat wil zeggen, de lengte van de hypotenusa van deze driehoek is 5.
Als de driehoek geen rechte hoek heeft, zijn de lengtes van de twee zijden niet voldoende. Dit vereist een derde parameter: het kan de hoek zijn, de hoogte van het gebied van de driehoek, de straal van de erin ingeschreven cirkel, enz.
Als de omtrek bekend is
In dit geval is de taak nog eenvoudiger. De omtrek (P) is de som van alle zijden van de driehoek: P = a + b + c. Dus door een eenvoudige wiskundige vergelijking op te lossen, krijgen we het resultaat.
Voorbeeld: P = 18, a = 7, b = 6, c =?
1) We lossen de vergelijking op door alle bekende parameters in één richting over te brengen van het gelijkteken:
2) Vervang de waarden in plaats daarvan en bereken de derde zijde:
c = 18-7-6 = 5, totaal: de derde zijde van de driehoek is 5.
Als de hoek bekend is
Om de derde zijde van een driehoek te berekenen door de hoek en twee andere zijden, wordt de oplossing gereduceerd tot het berekenen van de trigonometrische vergelijking. Als u de relatie tussen de zijden van de driehoek en de sinus van de hoek kent, is het gemakkelijk om de derde zijde te berekenen. Om dit te doen, moet u beide zijden vierkant maken en hun resultaten bij elkaar optellen. Trek vervolgens af van het resulterende product van de zijden vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek: C = √ (a² + b²-a * b * cosα)
Als het gebied bekend is
In dit geval is één formule niet voldoende.
1) Eerst berekenen we sin γ, uitgedrukt in de formule voor de oppervlakte van een driehoek:
sin γ = 2S / (a *b)
2) Met behulp van de volgende formule berekenen we de cosinus van dezelfde hoek:
sin² α + cos² α = 1
cos α = √ (1 - sin² α) = √ (1- (2S / (a * b)) ²)
3) En opnieuw gebruiken we de stelling van sinussen:
C = √ ((a² + b²) -a * b * cosα)
C = √ ((a² + b²) -a * b * √ (1- (S / (a * b)) ²))
Door de waarden van de variabelen in deze vergelijking in te vullen, krijgen we het antwoord op het probleem.