Ongelijkheden en systemen van ongelijkheden zijn een van de onderwerpen die in de algebra op de middelbare school worden onderwezen. Qua moeilijkheidsgraad is het niet de moeilijkste, omdat het eenvoudige regels heeft (over hen later). In de regel leren schoolkinderen de oplossing voor systemen van ongelijkheden vrij gemakkelijk. Dit is ook te wijten aan het feit dat leraren hun studenten gewoon "opleiden" over dit onderwerp. En dat kunnen ze niet helpen, want het wordt in de toekomst bestudeerd met behulp van andere wiskundige waarden, en wordt ook gecontroleerd op het OGE en het Unified State Exam. In schoolboeken wordt het onderwerp van ongelijkheden en systemen van ongelijkheden zeer gedetailleerd beschreven, dus als je het gaat bestuderen, kun je het beste je toevlucht nemen tot hen. Dit artikel is slechts een hervertelling van grote materialen, en er kunnen enkele weglatingen zijn.

Het concept van een systeem van ongelijkheden

Als we ons wenden tot de wetenschappelijke taal, dan kunnen we een definitie geven van het concept "systeem van ongelijkheden". Dit is een wiskundig model dat verschillende ongelijkheden vertegenwoordigt. Van dit model is natuurlijk een oplossing vereist, en de capaciteit ervan zal het algemene antwoord zijn voor alle ongelijkheden van het systeem dat in de taak wordt voorgesteld (meestal staat het erin geschreven, bijvoorbeeld: "Los het systeem van ongelijkheden op 4 x + 1> 2 en 30 - x > 6 ... "). Voordat u echter verder gaat met de soorten en methoden van oplossingen, moet u iets anders begrijpen.

Stelsels van ongelijkheden en stelsels van vergelijkingen

Tijdens het bestuderen van een nieuw onderwerp ontstaan ​​vaak misverstanden. Aan de ene kant is alles duidelijk en zou ik liever beginnen met het oplossen van taken, maar aan de andere kant blijven sommige momenten in de "schaduw", ze worden niet erg goed begrepen. Ook kunnen sommige elementen van reeds verworven kennis verweven worden met nieuwe. Door deze overlap ontstaan ​​vaak fouten.

Daarom moeten we, voordat we verder gaan met de analyse van ons onderwerp, de verschillen tussen vergelijkingen en ongelijkheden, hun systemen, in herinnering roepen. Om dit te doen, moet je nog een keer duidelijk maken wat deze wiskundige concepten zijn. Een vergelijking is altijd gelijkheid en is altijd gelijk aan iets (in de wiskunde wordt dit woord aangeduid met het teken "="). Ongelijkheid is een model waarin de ene grootheid groter of kleiner is dan de andere, of de bewering bevat dat ze niet hetzelfde zijn. Dus in het eerste geval is het gepast om over gelijkheid te praten, en in het tweede geval, hoe duidelijk het ook klinkt uit de naam zelf, over de ongelijkheid van de initiële gegevens. Stelsels van vergelijkingen en ongelijkheden verschillen praktisch niet van elkaar en de methoden voor hun oplossing zijn hetzelfde. Het enige verschil is dat de eerste gebruik maakt van gelijkheden en de tweede ongelijkheden toepast.

Soorten ongelijkheden

Er zijn twee soorten ongelijkheden: numeriek en met een onbekende variabele. Het eerste type vertegenwoordigt de opgegeven waarden (cijfers), ongelijk aan elkaar, bijvoorbeeld 8> 10. Het tweede type is ongelijkheden die een onbekende variabele bevatten (aangegeven met een willekeurige letter van het Latijnse alfabet, meestal X). Deze variabele moet worden gevonden. Afhankelijk van het aantal dat er zijn, maakt het wiskundige model onderscheid tussen ongelijkheden met één (verzin een stelsel van ongelijkheden met één variabele) of meerdere variabelen (verzin een stelsel van ongelijkheden met meerdere variabelen).

De laatste twee typen zijn, afhankelijk van de mate van constructie en het niveau van complexiteit van de oplossing, onderverdeeld in eenvoudig en complex. Eenvoudige ongelijkheden worden ook wel lineaire ongelijkheden genoemd. Ze zijn op hun beurt onderverdeeld in strikt en niet-streng. Strikte "zegen" specifiek dat één hoeveelheid noodzakelijkerwijs kleiner of meer moet zijn, daarom is dit een ongelijkheid in zijn pure vorm. Er zijn verschillende voorbeelden te noemen: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5, enz. Niet-strikte omvat ook gelijkheid. Dat wil zeggen, een hoeveelheid kan groter zijn dan of gelijk zijn aan een andere hoeveelheid ("≥" teken) of kleiner dan of gelijk aan een andere hoeveelheid ("≤" teken). Zelfs bij lineaire ongelijkheden staat de variabele niet aan de wortel, is niet in het kwadraat en kan door niets worden gedeeld, daarom worden ze "eenvoudig" genoemd. Complexe variabelen omvatten onbekende variabelen waarvoor meer wiskundige bewerkingen nodig zijn. Ze worden vaak gevonden in een vierkant, kubus of onder de wortel, ze kunnen modulair, logaritmisch, fractioneel, enz. zijn. Maar aangezien het onze taak is om de oplossing van systemen van ongelijkheden te begrijpen, zullen we het hebben over een systeem van lineaire ongelijkheden. Daarvoor moeten echter een paar woorden worden gezegd over hun eigenschappen.

Eigenschappen van ongelijkheden

De eigenschappen van ongelijkheden omvatten de volgende bepalingen:

1. Het ongelijkheidsteken wordt omgekeerd als de bewerking de volgorde van zijden moet omkeren (bijvoorbeeld als t 1 ≤ t 2, dan t 2 ≥ t 1).
2. Aan beide kanten van de ongelijkheid kun je hetzelfde getal bij zichzelf optellen (bijvoorbeeld als t 1 ≤ t 2, dan t 1 + getal ≤ t 2 + getal).
3. Twee of meer ongelijkheden met het teken van dezelfde richting maken het mogelijk om hun linker- en rechterkant op te tellen (bijvoorbeeld als t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, dan t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. Beide zijden van de ongelijkheid laten zich vermenigvuldigen of delen door hetzelfde positieve getal (bijvoorbeeld als t 1 ≤ t 2 en getal ≤ 0, dan is het getal · t 1 ≥ getal · t 2).
5. Twee of meer ongelijkheden met positieve termen en het teken van dezelfde richting stellen ons in staat zichzelf met elkaar te vermenigvuldigen (bijvoorbeeld als t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 dan t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. Beide zijden van de ongelijkheid laten zich vermenigvuldigen of delen door hetzelfde negatieve getal, maar het teken van de ongelijkheid verandert (bijvoorbeeld als t 1 ≤ t 2 en getal ≤ 0, dan is het getal t 1 ≥ getal t 2) .
7. Alle ongelijkheden hebben de transitiviteitseigenschap (bijvoorbeeld als t 1 ≤ t 2 en t 2 ≤ t 3, dan t 1 ≤ t 3).

Nu, na het bestuderen van de belangrijkste bepalingen van de theorie met betrekking tot ongelijkheden, kunnen we direct overgaan tot de overweging van de regels voor het oplossen van hun systemen.

Systemen van ongelijkheden oplossen. Algemene informatie. Oplossingen

Zoals hierboven vermeld, is de oplossing de waarden van de variabele die passen bij alle ongelijkheden van het gegeven systeem. Het oplossen van systemen van ongelijkheden is de implementatie van wiskundige acties die uiteindelijk leiden tot een oplossing voor het hele systeem of bewijzen dat het geen oplossingen heeft. In dit geval zeggen ze dat de variabele verwijst naar een lege numerieke set (als volgt geschreven: variabele letter∈ (teken "behoort") ø (teken "lege verzameling"), bijvoorbeeld x ∈ ø (lees als volgt: "De variabele" x "behoort tot de lege verzameling"). Er zijn verschillende manieren om systemen van ongelijkheden op te lossen: grafische, algebraïsche, substitutiemethode. Het is vermeldenswaard dat ze behoren tot die wiskundige modellen met verschillende onbekende variabelen. In het geval dat er slechts één is, zal de afstandsmethode werken.

Grafische manier

Hiermee kunt u een systeem van ongelijkheden oplossen met verschillende onbekenden (van twee of meer). Dankzij deze methode is het systeem van lineaire ongelijkheden vrij gemakkelijk en snel op te lossen, daarom is het de meest gebruikelijke methode. Dit komt door het feit dat het plotten van de grafiek de hoeveelheid wiskundige schrijfbewerkingen vermindert. Het wordt vooral prettig om een ​​beetje afleiding van de pen te nemen, een potlood op te pakken met een liniaal en met hun hulp door te gaan met verdere acties, wanneer er veel werk is verzet en je een beetje afwisseling wilt. Sommige mensen houden echter niet van deze methode vanwege het feit dat je moet stoppen met de taak en je mentale activiteit moet overschakelen naar tekenen. Dit is echter een zeer krachtige manier.

Om het systeem van ongelijkheden op een grafische manier op te lossen, is het noodzakelijk om alle termen van elke ongelijkheid naar hun linkerkant over te brengen. De tekens worden omgekeerd, nul moet aan de rechterkant worden geschreven en vervolgens moet elke ongelijkheid afzonderlijk worden geschreven. Als resultaat zullen functies worden verkregen uit de ongelijkheden. Daarna kun je een potlood en een liniaal pakken: nu moet je een grafiek tekenen van elke resulterende functie. De hele reeks getallen die zich in het interval van hun snijpunt zal bevinden, zal een oplossing zijn voor het systeem van ongelijkheden.

algebraïsche manier

Hiermee kunt u een systeem van ongelijkheden oplossen met twee onbekende variabelen. Ook moeten ongelijkheden hetzelfde ongelijkheidsteken hebben (d.w.z. ze moeten ofwel alleen het "groter dan"-teken bevatten, of alleen het "minder"-teken, enz.) Ondanks zijn beperkingen is deze methode ook ingewikkelder. Het wordt in twee fasen toegepast.

De eerste omvat acties om een ​​van de onbekende variabelen te verwijderen. Eerst moet u het selecteren en vervolgens controleren of er getallen voor deze variabele staan. Als ze er niet zijn (dan ziet de variabele eruit als een enkele letter), dan veranderen we niets, als dat zo is (het type van de variabele is bijvoorbeeld dit - 5y of 12y), dan is het noodzakelijk om ervoor te zorgen dat in elke ongelijkheid het getal voor de geselecteerde variabele hetzelfde is. Om dit te doen, moet je elke term van de ongelijkheden vermenigvuldigen met een gemeenschappelijke factor, bijvoorbeeld als de eerste ongelijkheid 3y en de tweede 5y bevat, dan moeten alle termen van de eerste ongelijkheid worden vermenigvuldigd met 5 en de tweede met 3. Je krijgt respectievelijk 15 en 15 jaar.

De tweede fase van de oplossing. Het is noodzakelijk om de linkerkant van elke ongelijkheid naar hun rechterkant over te brengen met een verandering in het teken van elke term naar het tegenovergestelde, schrijf nul aan de rechterkant. Dan komt het leuke gedeelte: het wegwerken van de gekozen variabele (op een andere manier wordt het "reductie" genoemd) tijdens het optellen van ongelijkheden. Het resultaat is een ongelijkheid met één variabele die moet worden opgelost. Daarna zou u hetzelfde moeten doen, alleen met een andere onbekende variabele. De verkregen resultaten zullen de oplossing van het systeem zijn.

Vervangingsmethode:

Hiermee kunt u een stelsel van ongelijkheden oplossen wanneer het mogelijk is een nieuwe variabele in te voeren. Meestal wordt deze methode gebruikt wanneer de onbekende variabele in de ene term van de ongelijkheid wordt verheven tot de vierde macht en in de andere term wordt gekwadrateerd. Deze methode is dus gericht op het verminderen van de mate van ongelijkheid in het systeem. De ongelijkheid van de steekproef x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 wordt op deze manier als volgt opgelost. Er wordt een nieuwe variabele geïntroduceerd, bijvoorbeeld t. Ze schrijven: "Let t = x 2", dan wordt het model herschreven in een nieuwe vorm. In ons geval krijgen we t 2 - t - 1 ≤0. Deze ongelijkheid moet worden opgelost door de methode van intervallen (over iets later), dan terug naar de variabele X, doe dan hetzelfde met een andere ongelijkheid. De ontvangen antwoorden zullen de oplossing van het systeem zijn.

Afstandsmethode:

Dit is de eenvoudigste manier om systemen van ongelijkheden op te lossen, en tegelijkertijd is het universeel en wijdverbreid. Het wordt gebruikt op de middelbare school en zelfs op de middelbare school. De essentie ervan ligt in het feit dat de student op zoek is naar intervallen van ongelijkheid op de getallenlijn, die is getekend in een notitieboekje (dit is geen grafiek, maar gewoon een gewone lijn met getallen). Waar de intervallen van ongelijkheden elkaar kruisen, wordt een oplossing voor het systeem gevonden. Om de afstandsmethode te gebruiken, moet u deze stappen volgen:

1. Alle termen van elke ongelijkheid worden naar de linkerkant overgebracht met een tekenverandering naar het tegenovergestelde (nul staat aan de rechterkant).
2. Ongelijkheden worden afzonderlijk uitgeschreven, de oplossing voor elk van hen wordt bepaald.
3. Zoek de snijpunten van ongelijkheden op de getallenlijn. Alle nummers op deze kruispunten zullen de oplossing zijn.

Welke manier te gebruiken?

Uiteraard degene die het gemakkelijkst en handigst lijkt, maar er zijn momenten waarop taken een bepaalde methode vereisen. Meestal staat erin geschreven dat je het moet oplossen met behulp van een grafiek of met behulp van de intervalmethode. De algebraïsche methode en substitutie worden uiterst zelden of helemaal niet gebruikt, omdat ze behoorlijk complex en verwarrend zijn, en bovendien worden ze meer gebruikt om stelsels van vergelijkingen op te lossen in plaats van ongelijkheden, dus je moet je toevlucht nemen tot het tekenen van grafieken en intervallen. Ze brengen zichtbaarheid, die niet anders kan dan bijdragen aan de efficiënte en snelle uitvoering van wiskundige bewerkingen.

Als iets niet lukt

Tijdens de studie van een bepaald onderwerp in de algebra kunnen natuurlijk problemen met het begrip ervan ontstaan. En dat is normaal, want ons brein is zo ontworpen dat het niet in staat is om complexe materie in één keer te vatten. Vaak moet u een alinea opnieuw lezen, de hulp van een leraar gebruiken of oefenen met het oplossen van typische problemen. In ons geval zien ze er bijvoorbeeld zo uit: "Los het stelsel van ongelijkheden 3 x + 1 ≥ 0 en 2 x - 1> 3 op". Dus persoonlijke inzet, hulp van buitenaf en oefening helpen bij het begrijpen van elk complex onderwerp.

Resjebnik?

En ook een reshebnik is zeer geschikt, alleen niet voor het spieken van huiswerk, maar voor zelfhulp. Daarin kun je systemen van ongelijkheden met een oplossing vinden, ze bekijken (als patronen), proberen te begrijpen hoe de auteur van de oplossing precies met de taak omging en dit vervolgens in een onafhankelijke volgorde proberen te doen.

conclusies

Algebra is een van de moeilijkste vakken op school. Tja, wat kun je eraan doen? Wiskunde is altijd zo geweest: voor sommigen is het gemakkelijk, en voor sommigen met moeite. Maar er moet in ieder geval aan worden herinnerd dat het algemene onderwijsprogramma zo is gebouwd dat elke student het aankan. Bovendien moet men rekening houden met het enorme aantal assistenten. Sommigen van hen zijn hierboven genoemd.

Een systeem van ongelijkheden.
voorbeeld 1... Zoek het bereik van een uitdrukking
Oplossing. Er moet een niet-negatief getal onder het vierkantswortelteken staan, wat betekent dat er gelijktijdig aan twee ongelijkheden moet worden voldaan: In dergelijke gevallen zou het probleem worden teruggebracht tot het oplossen van het systeem van ongelijkheden

Maar zo'n wiskundig model (systeem van ongelijkheden) zijn we nog niet tegengekomen. Dit betekent dat we de oplossing van het voorbeeld nog niet kunnen voltooien.

De ongelijkheden die het systeem vormen worden verenigd door accolades (hetzelfde is het geval in stelsels van vergelijkingen). Bijvoorbeeld de invoer

betekent dat de ongelijkheden 2x - 1> 3 en 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Soms wordt het systeem van ongelijkheden geschreven als dubbele ongelijkheden. Bijvoorbeeld het systeem van ongelijkheden

kan worden geschreven als een dubbele ongelijkheid 3<2х-1<11.

In de cursus algebra van de 9e klas zullen we alleen systemen van twee ongelijkheden beschouwen.

Overweeg het systeem van ongelijkheden

Je kunt verschillende van zijn specifieke oplossingen oppikken, bijvoorbeeld x = 3, x = 4, x = 3,5. Inderdaad, voor x = 3 heeft de eerste ongelijkheid de vorm 5> 3, en de tweede - de vorm 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Tegelijkertijd is de waarde x = 5 geen oplossing voor het systeem van ongelijkheden. Voor x = 5 heeft de eerste ongelijkheid de vorm 9> 3 - een echte numerieke ongelijkheid, en de tweede - de vorm 13< 11- неверное числовое неравенство .
Een systeem van ongelijkheden oplossen betekent al zijn specifieke oplossingen vinden. Het is duidelijk dat raden, zoals hierboven aangetoond, geen methode is om een ​​systeem van ongelijkheden op te lossen. In het volgende voorbeeld zullen we laten zien hoe men gewoonlijk redeneert bij het oplossen van een systeem van ongelijkheden.

Voorbeeld 3. Los het systeem van ongelijkheden op:

Oplossing.

maar) Als we de eerste ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we 2x> 4, x> 2; het oplossen van de tweede ongelijkheid van het systeem, vinden we< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
B) Als we de eerste ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we x> 2; het oplossen van de tweede ongelijkheid van het systeem, vinden we Laten we deze intervallen op één coördinaatlijn markeren, met de bovenste arcering voor het eerste interval en de onderste arcering voor de tweede (Fig. 23). De oplossing voor het systeem van ongelijkheden zal de kruising zijn van oplossingen voor de ongelijkheden van het systeem, d.w.z. de opening waar beide luiken samenvallen. In het beschouwde voorbeeld verkrijgen we de straal

in) Als we de eerste ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Laten we de redenering in het beschouwde voorbeeld generaliseren. Stel dat we het systeem van ongelijkheden moeten oplossen

Het interval (a, b) is bijvoorbeeld een oplossing voor de ongelijkheid fx 2> g (x), en het interval (c, d) is een oplossing voor de ongelijkheid f 2 (x)> s 2 (x). We markeren deze intervallen op één coördinaatlijn, waarbij we de bovenste arcering gebruiken voor het eerste interval en de onderste arcering voor de tweede (Fig. 25). De oplossing voor het systeem van ongelijkheden is de kruising van oplossingen voor de ongelijkheden van het systeem, d.w.z. de opening waar beide luiken samenvallen. In afb. 25 is het interval (c, b).

Nu kunnen we eenvoudig het systeem van ongelijkheden oplossen dat we hierboven hebben, in voorbeeld 1:

Als we de eerste ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we x> 2; als we de tweede ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Natuurlijk hoeft het systeem van ongelijkheden niet uit lineaire ongelijkheden te bestaan, zoals tot nu toe het geval was; elke rationele (en niet alleen rationele) ongelijkheden kunnen worden aangetroffen. Technisch gezien is het werken met een systeem van rationele niet-lineaire ongelijkheden natuurlijk moeilijker, maar er is hier niets fundamenteel nieuws (in vergelijking met systemen van lineaire ongelijkheden).

Voorbeeld 4. Los het systeem van ongelijkheden op

Oplossing.

1) Los de ongelijkheid op die we hebben
Laten we de punten -3 en 3 op de getallenlijn markeren (fig. 27). Ze verdelen de rechte lijn in drie intervallen en op elk interval behoudt de uitdrukking p (x) = (x- 3) (x + 3) een constant teken - deze tekens zijn aangegeven in Fig. 27. We zijn geïnteresseerd in de intervallen waarop aan de ongelijkheid p (x)> 0 wordt voldaan (ze zijn gearceerd in Fig. 27), en de punten waarop de gelijkheid p (x) = 0 geldt, dat wil zeggen, punten x = -3, x = 3 (ze zijn in Fig. 2-7 gemarkeerd met donkere cirkels). Zo is in afb. 27 presenteert een geometrisch model voor het oplossen van de eerste ongelijkheid.

2) Los de ongelijkheid op die we hebben
Laten we de punten 0 en 5 op de getallenlijn markeren (fig. 28). Ze verdelen de rechte lijn in drie intervallen, en op elk interval de uitdrukking<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (gearceerd in Fig. 28), en de punten waarop aan de gelijkheid g (x) - O is voldaan, dat wil zeggen, punten x = 0, x = 5 (ze zijn in Fig. 28 gemarkeerd met donkere cirkels). Zo is in afb. 28 toont een geometrisch model voor het oplossen van de tweede ongelijkheid van het systeem.

3) Laten we de gevonden oplossingen van de eerste en tweede ongelijkheden van het systeem op één coördinatenlijn markeren, waarbij we de bovenste arcering gebruiken voor de oplossingen van de eerste ongelijkheid en de onderste arcering voor de oplossingen van de tweede (Fig. 29). De oplossing voor het systeem van ongelijkheden zal de kruising zijn van oplossingen voor de ongelijkheden van het systeem, d.w.z. de opening waar beide luiken samenvallen. Deze kloof is een segment.

Voorbeeld 5. Los het systeem van ongelijkheden op:

Oplossing:

maar) Uit de eerste ongelijkheid vinden we x> 2. Beschouw de tweede ongelijkheid. De vierkante trinominaal x 2 + x + 2 heeft geen echte wortels en de leidende coëfficiënt (de coëfficiënt bij x 2) is positief. Dus voor alle x geldt de ongelijkheid x 2 + x + 2> 0, en daarom heeft de tweede ongelijkheid van het systeem geen oplossingen. Wat betekent dit voor een systeem van ongelijkheden? Dit betekent dat het systeem geen oplossingen heeft.

B) Van de eerste ongelijkheid vinden we x> 2, en de tweede ongelijkheid geldt voor alle waarden van x. Wat betekent dit voor een systeem van ongelijkheden? Dit betekent dat de oplossing de vorm x> 2 heeft, d.w.z. samenvalt met de oplossing van de eerste ongelijkheid.

Antwoord:

a) er zijn geen oplossingen; B) x> 2.

Dit voorbeeld is illustratief voor het volgende:

1. Als in een systeem van meerdere ongelijkheden met één variabele één ongelijkheid geen oplossingen heeft, dan heeft het systeem ook geen oplossingen.

2. Als in een systeem van twee ongelijkheden met één variabele één ongelijkheid geldt voor alle waarden van de variabele, dan is de oplossing van het systeem de oplossing van de tweede ongelijkheid van het systeem.

Laten we, ter afsluiting van dit gedeelte, terugkeren naar het probleem van een bedacht nummer dat aan het begin is gegeven en het oplossen, zoals ze zeggen, volgens alle regels.

Voorbeeld 2(zie p. 29). Er wordt een natuurlijk getal bedoeld. Het is bekend dat als 13 wordt toegevoegd aan het kwadraat van het bedachte getal, de som groter zal zijn dan het product van het bedachte getal en het getal 14. Als 45 wordt toegevoegd aan het kwadraat van het bedachte getal, dan zal de som kleiner zijn dan het product van het verwekte aantal en het aantal 18. Welk aantal is verwekt?

Oplossing.

Eerste etappe. Het opstellen van een wiskundig model.
Het beoogde getal x, zoals we hierboven zagen, moet voldoen aan het systeem van ongelijkheden

Tweede fase. Werken met het gecompileerde wiskundige model We transformeren de eerste ongelijkheid van het systeem naar de vorm
x2-14x + 13> 0.

Laten we de wortels van de trinomiale x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13 vinden. Met behulp van de parabool y = x 2 - 14x + 13 (Fig. 30), concluderen we dat de ongelijkheid van belang voor ons geldt voor x< 1 или x > 13.

We transformeren de tweede ongelijkheid van het systeem naar de vorm х2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Er zijn alleen "X'en" en alleen de abscis-as, maar nu worden "games" toegevoegd en breidt het werkveld zich uit naar het hele coördinatenvlak. Verder in de tekst wordt de uitdrukking "lineaire ongelijkheid" in tweedimensionale zin opgevat, wat binnen enkele seconden duidelijk zal worden.

Naast analytische meetkunde is het materiaal relevant voor een aantal problemen van wiskundige analyse, economische en wiskundige modellering, dus ik raad je aan deze lezing met alle ernst te bestuderen.

Lineaire ongelijkheden

Er zijn twee soorten lineaire ongelijkheden:

1) Streng ongelijkheid:.

2) Laks ongelijkheid:.

Wat is de geometrische betekenis van deze ongelijkheden? Als een lineaire vergelijking een rechte definieert, definieert de lineaire ongelijkheid half vliegtuig.

Om de volgende informatie te begrijpen, moet u de soorten rechte lijnen in een vlak kennen en rechte lijnen kunnen bouwen. Als je problemen hebt met dit deel, lees dan de help Functiegrafieken en eigenschappen- een paragraaf over een lineaire functie.

Laten we beginnen met de eenvoudigste lineaire ongelijkheden. De blauwe droom van elke arme student is een coördinatenvlak waarop niets is:

Zoals je weet, wordt de as van de abscis bepaald door de vergelijking - het "spel" is altijd (voor elke waarde van "x") gelijk aan nul

Denk aan de ongelijkheid. Hoe moet het informeel worden begrepen? De "Y" is altijd (voor elke waarde van "X") positief. Het is duidelijk dat deze ongelijkheid het bovenste halve vlak bepaalt - er zijn tenslotte allemaal punten met positieve "games".

Als de ongelijkheid niet strikt is, naar het bovenste halve vlak aanvullend de as zelf wordt toegevoegd.

Evenzo: alle punten van het onderste halve vlak voldoen aan de ongelijkheid, het onderste halve vlak + as komt overeen met een niet-strikte ongelijkheid.

De y-as is hetzelfde prozaïsche verhaal:

- ongelijkheid definieert het rechter halfvlak;
- ongelijkheid bepaalt het rechter halfvlak, inclusief de ordinaat-as;
- de ongelijkheid definieert het linker halfvlak;
- ongelijkheid definieert het linker halve vlak, inclusief de ordinaat-as.

Overweeg bij de tweede stap ongelijkheden waarin een van de variabelen ontbreekt.

Er is geen "spel":

Of "x" ontbreekt:

Dergelijke ongelijkheden kunnen op twee manieren worden aangepakt, overweeg alstublieft beide benaderingen... Laten we onderweg onthouden: consolideer schoolacties met ongelijkheden, die al in de les zijn geanalyseerd Functiebereik:.

voorbeeld 1

Los lineaire ongelijkheden op:

Wat betekent het om een ​​lineaire ongelijkheid op te lossen?

Een lineaire ongelijkheid oplossen betekent een halfvlak vinden, waarvan de punten voldoen aan deze ongelijkheid (plus de lijn zelf als de ongelijkheid niet strikt is). Oplossing, gebruikelijk, grafisch.

Het is handiger om de tekening onmiddellijk uit te voeren en vervolgens alles te becommentariëren:

a) Los de ongelijkheid op

Methode één:

De methode lijkt erg op het verhaal met de coördinaatassen, die we hierboven hebben besproken. Het idee is om de ongelijkheid te transformeren - om één variabele aan de linkerkant te laten zonder constanten, in dit geval de variabele "x".

De regel: In de ongelijkheid worden de termen van deel naar deel overgedragen met een tekenverandering, terwijl het teken van de ONGELIJKHEID verandert niet(als er bijvoorbeeld een 'minder'-teken was, blijft 'minder' staan).

We verplaatsen de "vijf" naar de rechterkant met een tekenwisseling:

De regel POSITIEF verandert niet.

Nu trekken we een rechte lijn (blauwe stippellijn). De rechte lijn wordt getrokken door een stippellijn omdat de ongelijkheid streng, en de punten die bij deze lijn horen, zullen zeker niet in de oplossing worden opgenomen.

Wat is de betekenis van ongelijkheid? "X" is altijd (voor elke waarde van "y") kleiner dan. Het is duidelijk dat aan deze stelling wordt voldaan door alle punten van het linker halfvlak. Dit halve vlak kan in principe worden gearceerd, maar ik zal me beperken tot kleine blauwe pijlen om de tekening niet in een artistiek palet te veranderen.

Methode twee

Dit is een universele manier. WIJ LEZEN ZEER AANDACHTIG!

Eerst trekken we een rechte lijn. Voor de duidelijkheid is het trouwens raadzaam om de vergelijking in de vorm weer te geven.

Nu selecteren we een willekeurig punt van het vlak, niet behorend tot de rechte lijn... In de meeste gevallen is de lekkernij natuurlijk. Vervang de coördinaten van dit punt in de ongelijkheid:

Hebben ontvangen verkeerde ongelijkheid(in eenvoudige woorden, het kan niet zo zijn), wat betekent dat het punt niet voldoet aan de ongelijkheid.

De belangrijkste regel van onze taak::
bevredigt niet ongelijkheid, dan ALLE punten van een gegeven halfvlak niet bevredigen ongelijkheid gegeven.
- Indien een punt van het halve vlak (niet behorend tot de rechte lijn) voldoet aan ongelijkheid, dan ALLE punten van een gegeven halfvlak voldoen ongelijkheid gegeven.

Je kunt het testen: elk punt rechts van de lijn voldoet niet aan de ongelijkheid.

Wat is de conclusie uit de ervaring met de punt? Je kunt nergens heen, de ongelijkheid wordt bevredigd door alle punten van de ander - het linker halfvlak (je kunt ook controleren).

b) Los de ongelijkheid op

Methode één:

We transformeren de ongelijkheid:

De regel: Beide zijden van de ongelijkheid kunnen worden vermenigvuldigd (gedeeld) door NEGATIEF getal en het ongelijkheidsteken VERANDERING naar het tegenovergestelde (als er bijvoorbeeld een teken was "groter dan of gelijk", dan wordt het "kleiner dan of gelijk").

We vermenigvuldigen beide zijden van de ongelijkheid met:

We tekenen een rechte lijn (rood), bovendien tekenen we deze met een ononderbroken lijn, omdat onze ongelijkheid laks, en de rechte lijn hoort zeker bij de oplossing.

Na analyse van de resulterende ongelijkheid, komen we tot de conclusie dat de oplossing ervan het onderste halve vlak is (+ de lijn zelf).

We broeden een geschikt halfvlak uit of markeren het met pijlen.

Methode twee

Laten we een rechte lijn trekken. Laten we bijvoorbeeld een willekeurig punt van het vlak kiezen (dat niet tot een rechte lijn behoort) en de coördinaten ervan vervangen door onze ongelijkheid:

Hebben ontvangen ongelijkheid corrigeren, daarom voldoet het punt aan de ongelijkheid, en in het algemeen voldoen ALLE punten van het onderste halve vlak aan deze ongelijkheid.

Hier, als experimenteel punt, "raken" we het vereiste halfvlak.

De oplossing voor het probleem wordt aangegeven door een rode lijn en rode pijlen.

Persoonlijk hou ik meer van de eerste oplossing, omdat de tweede nog formeler is.

Voorbeeld 2

Los lineaire ongelijkheden op:

Dit is een voorbeeld van een doe-het-zelf oplossing. Probeer het probleem op twee manieren op te lossen (dit is trouwens een goede manier om de oplossing te testen). Het antwoord aan het einde van de les bevat alleen de definitieve tekening.

Ik denk dat je na alle acties die in de voorbeelden zijn gedaan, met ze zult moeten trouwen, het zal niet moeilijk zijn om de eenvoudigste ongelijkheid op te lossen, zoals, enz.

We gaan over tot de overweging van het derde, algemene geval, wanneer beide variabelen aanwezig zijn in de ongelijkheid:

Als alternatief kan het vrije lid "tse" nul zijn.

Voorbeeld 3

Zoek de halve vlakken die overeenkomen met de volgende ongelijkheden:

Oplossing: Het gebruikt een generieke puntvervangingsoplossing.

a) We construeren de vergelijking van een rechte lijn, terwijl de lijn met een stippellijn moet worden getekend, omdat de ongelijkheid strikt is en de rechte lijn zelf niet in de oplossing komt.

We selecteren bijvoorbeeld een experimenteel punt van het vlak dat niet tot een bepaalde rechte lijn behoort, en vervangen de coördinaten ervan in onze ongelijkheid:

Hebben ontvangen verkeerde ongelijkheid, daarom voldoen het punt en ALLE punten van het gegeven halfvlak niet aan de ongelijkheid. De oplossing voor de ongelijkheid zal een ander halfvlak zijn, we bewonderen de blauwe bliksem:

b) Laten we de ongelijkheid oplossen. Laten we eerst een rechte lijn bouwen. Het is niet moeilijk om dit te doen, we hebben de canonieke directe evenredigheid voor ons. Trek de lijn als een vaste lijn, aangezien de ongelijkheid niet strikt is.

Laten we een willekeurig punt van het vlak kiezen dat niet tot een rechte lijn behoort. Ik zou de oorsprong opnieuw willen gebruiken, maar helaas, het werkt nu niet. Dus je moet samenwerken met een andere vriend. Het is voordeliger om bijvoorbeeld een punt met kleine coördinaatwaarden te nemen. Laten we de coördinaten ervan vervangen door onze ongelijkheid:

Hebben ontvangen ongelijkheid corrigeren, daarom voldoen het punt en alle punten van het gegeven halfvlak aan de ongelijkheid. Het vereiste halve vlak is gemarkeerd met rode pijlen. Bovendien is de rechte lijn zelf opgenomen in de oplossing.

Voorbeeld 4

Vind de halve vlakken die overeenkomen met de ongelijkheden:

Dit is een voorbeeld van een doe-het-zelf oplossing. De complete oplossing, een ruw voorbeeld van afwerking en het antwoord aan het einde van de tutorial.

Laten we het inverse probleem analyseren:

Voorbeeld 5

a) Er wordt een rechte lijn gegeven. Definiëren het halve vlak waarin het punt zich bevindt, terwijl de rechte lijn zelf de oplossing moet binnengaan.

b) Er wordt een rechte lijn gegeven. Definiëren halfvlak waarin het punt zich bevindt. De rechte lijn zelf is niet opgenomen in de oplossing.

Oplossing: er is geen tekening nodig en de oplossing is analytisch. Niets moeilijk:

a) We stellen een hulppolynoom samen en bereken de waarde op het punt:
... De vereiste ongelijkheid zal dus met een "minder" teken zijn. Per hypothese is de rechte lijn opgenomen in de oplossing, dus de ongelijkheid zal niet strikt zijn:

b) Laten we een polynoom samenstellen en de waarde ervan berekenen op het punt:
... De vereiste ongelijkheid zal dus met een "groter dan"-teken zijn. Per hypothese is de rechte lijn niet opgenomen in de oplossing, daarom zal de ongelijkheid strikt zijn:.

Antwoord:

Creatieve zelfstudie Casestudy:

Voorbeeld 6

Punten en een rechte lijn worden gegeven. Zoek tussen de genoemde punten de punten die, samen met de oorsprong, aan één kant van een bepaalde rechte lijn liggen.

Een kleine hint: eerst moet je een ongelijkheid opstellen die het halfvlak definieert waarin de oorsprong zich bevindt. Analytische oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Systemen van lineaire ongelijkheden

Een systeem van lineaire ongelijkheden is, zoals je begrijpt, een systeem dat bestaat uit verschillende ongelijkheden. Lol, nou, ik gaf de definitie =) Een egel is een egel, een mes is een mes. Maar de waarheid is - het bleek eenvoudig en betaalbaar! Nee, serieus, ik wil geen voorbeelden in het algemeen geven, dus laten we direct naar de prangende vragen gaan:

Wat betekent het om een ​​stelsel van lineaire ongelijkheden op te lossen?

Los het systeem van lineaire ongelijkheden op- het betekent vind de puntenreeks van het vliegtuig dat bevredigen aan elk ongelijkheid van het systeem.

Beschouw als de eenvoudigste voorbeelden de systemen van ongelijkheden die de coördinatenkwartalen van een rechthoekig coördinatensysteem bepalen (de "figuur van de twee" staat helemaal aan het begin van de les):

Het systeem van ongelijkheden bepaalt het eerste coördinaatkwartier (rechtsboven). Coördinaten van een willekeurig punt in het eerste kwartaal, bijvoorbeeld enz. voldoen aan elk ongelijkheid van dit systeem.

Op dezelfde manier:
- het systeem van ongelijkheden bepaalt het tweede coördinaatkwartier (linksboven);
- het systeem van ongelijkheden bepaalt het derde coördinaatkwartier (linksonder);
- het systeem van ongelijkheden bepaalt het vierde coördinaatkwartier (rechtsonder).

Het systeem van lineaire ongelijkheden heeft mogelijk geen oplossingen, dat wil zeggen, zijn inconsequent... Eenvoudigste voorbeeld nogmaals:. Het is vrij duidelijk dat "X" niet meer dan drie en minder dan twee tegelijk kan zijn.

De oplossing voor het systeem van ongelijkheden kan een rechte lijn zijn, bijvoorbeeld:. Zwaan, kanker, geen snoek, trek de kar in twee verschillende richtingen. Ja, de dingen zijn er nog steeds - de oplossing voor dit systeem is een directe.

Maar het meest voorkomende geval, wanneer de oplossing van het systeem iets is, vlak gebied. Oplossingsgebied misschien niet gelimiteerd(bijv. coördinaat kwartalen) of beperkt... Het beperkte oplossingsgebied heet oplossing polygoon systeem.

Voorbeeld 7

Los het systeem van lineaire ongelijkheden op

In de praktijk heb je in de meeste gevallen te maken met niet-strikte ongelijkheden, dus die zullen de rest van de les leiden.

Oplossing: het feit dat er te veel ongelijkheden zijn, hoeft niet eng te zijn. Hoeveel ongelijkheden kunnen er in het systeem zijn? Ja, zoveel als nodig is. Het belangrijkste is om je te houden aan een rationeel algoritme voor het construeren van het oplossingsdomein:

1) Eerst behandelen we de eenvoudigste ongelijkheden. De ongelijkheden definiëren het eerste coördinaatkwartier inclusief de begrenzing van de coördinaatassen. Het is al veel gemakkelijker, omdat het zoekgebied aanzienlijk is verkleind. Markeer in de tekening onmiddellijk de corresponderende halve vlakken met pijlen (rode en blauwe pijlen)

2) De op één na meest eenvoudige ongelijkheid - er is hier geen "spel". Ten eerste construeren we de lijn zelf, en ten tweede, na het transformeren van de ongelijkheid naar de vorm, wordt het meteen duidelijk dat alle "xen" kleiner zijn dan 6. We markeren het corresponderende halve vlak met groene pijlen. Welnu, het zoekgebied is nog kleiner geworden - zo'n onbegrensde rechthoek van bovenaf.

3) Bij de laatste stap lossen we de ongelijkheden op "met volledige munitie":. We hebben het oplossingsalgoritme in detail besproken in de vorige paragraaf. Kortom: eerst bouwen we een rechte lijn, dan vinden we met behulp van het experimentele punt het halfvlak dat we nodig hebben.

Sta op kinderen, ga in een kring staan:


Het oplossingsgebied van het systeem is een veelhoek, in de tekening is het omlijnd met een karmozijnrode lijn en gearceerd. Overdreef het een beetje =) In het notitieboek volstaat het om het gebied met oplossingen te verduisteren of om het krachtiger te omcirkelen met een eenvoudig potlood.

Elk punt van deze veelhoek voldoet aan ELKE ongelijkheid van het systeem (u kunt controleren op interesse).

Antwoord: De oplossing voor het systeem is een veelhoek.

Bij het inschrijven voor een schoon exemplaar zou het fijn zijn om uitgebreid te beschrijven op welke punten je rechte lijnen hebt gebouwd (zie de les Functiegrafieken en eigenschappen), en hoe de halve vlakken werden bepaald (zie de eerste paragraaf van deze les). In de praktijk krijgt u in de meeste gevallen echter alleen de juiste tekening. De berekeningen zelf kunnen op een concept of zelfs mondeling worden uitgevoerd.

Naast de veelhoek van oplossingen voor het systeem is er in de praktijk, zij het minder vaak, een open ruimte. Probeer het volgende voorbeeld zelf eens uit te werken. Hoewel, omwille van de nauwkeurigheid, hier geen marteling is - het constructie-algoritme is hetzelfde, het is alleen dat het gebied onbeperkt zal blijken te zijn.

Voorbeeld 8

systeem oplossen:

Oplossing en antwoord aan het einde van de les. U zult waarschijnlijk verschillende letters hebben voor de hoekpunten van het resulterende gebied. Het is niet belangrijk, het belangrijkste is om de toppen correct te vinden en het gebied correct te bouwen.

Het is niet ongebruikelijk wanneer het bij taken niet alleen nodig is om het gebied van oplossingen van het systeem te construeren, maar ook om de coördinaten van de hoekpunten van het gebied te vinden. In de twee vorige voorbeelden waren de coördinaten van deze punten duidelijk, maar in de praktijk is alles verre van ijs:

Voorbeeld 9

Los het systeem op en vind de coördinaten van de hoekpunten van het resulterende gebied

Oplossing: geef op de tekening het gebied van oplossingen van dit systeem weer. De ongelijkheid definieert het linker halve vlak met de ordinaat, en er is hier geen freebie meer. Na berekeningen op een schone kopie / concept of diepgedachte processen, krijgen we het volgende oplossingsgebied:

zie ook Een lineair programmeerprobleem grafisch oplossen, Canonische vorm van lineaire programmeerproblemen

Het systeem van beperkingen voor een dergelijk probleem bestaat uit ongelijkheden in twee variabelen:
en de objectieve functie heeft de vorm F = C 1 x + C 2 ja te maximaliseren.

Laten we de vraag beantwoorden: welke getallenparen ( x; ja) zijn oplossingen voor het systeem van ongelijkheden, d.w.z. voldoen aan elk van de ongelijkheden tegelijkertijd? Met andere woorden, wat betekent het om het systeem grafisch op te lossen?
Eerst moet je begrijpen wat de oplossing is voor één lineaire ongelijkheid met twee onbekenden.
Het oplossen van een lineaire ongelijkheid met twee onbekenden betekent het bepalen van alle waardeparen van de onbekenden waarvoor aan de ongelijkheid is voldaan.
Bijvoorbeeld de ongelijkheid 3 x – 5ja≥ 42 voldoen aan de paren ( x , ja): (100, 2); (3, -10), enz. Het probleem is om al dergelijke paren te vinden.
Overweeg twee ongelijkheden: bijl + door≤ C, bijl + door≥ C... Direct bijl + door = C verdeelt het vlak in twee halve vlakken zodat de coördinaten van de punten van een van hen voldoen aan de ongelijkheid bijl + door >C en de andere ongelijkheid bijl + +door <C.
Inderdaad, neem een ​​punt met een coördinaat x = x 0; dan een punt dat op een rechte lijn ligt en een abscis heeft x 0, heeft ordinaat

Laat voor de zekerheid een& lt 0, B>0, C> 0. Alle punten met abscis x 0 liggend boven P(bijvoorbeeld punt m) hebben y M>ja 0, en alle punten onder het punt P, met abscis x 0, heb y Nee<ja 0. Omdat de x 0 een willekeurig punt is, dan zijn er altijd punten aan één kant van de rechte waarvoor bijl+ door > C een halfvlak vormen, en anderzijds punten waarvoor bijl + door< C.

Foto 1

Het teken van de ongelijkheid in het halve vlak hangt af van de getallen een, B , C.
Dit impliceert de volgende methode voor het grafisch oplossen van systemen van lineaire ongelijkheden in twee variabelen. Om het systeem op te lossen, moet u:

1. Schrijf voor elke ongelijkheid de vergelijking op die overeenkomt met de gegeven ongelijkheid.
2. Construeer rechte lijnen die grafieken zijn van functies gedefinieerd door vergelijkingen.
3. Bepaal voor elke rechte lijn het halve vlak, dat wordt gegeven door de ongelijkheid. Om dit te doen, neemt u een willekeurig punt dat niet op een rechte lijn ligt en vervangt u de coördinaten ervan in de ongelijkheid. als de ongelijkheid waar is, dan is het halve vlak dat het geselecteerde punt bevat de oplossing voor de oorspronkelijke ongelijkheid. Als de ongelijkheid niet waar is, dan is het halve vlak aan de andere kant van de rechte lijn de verzameling oplossingen voor deze ongelijkheid.
4. Om het systeem van ongelijkheden op te lossen, is het noodzakelijk om het snijpunt van alle halve vlakken te vinden die een oplossing zijn voor elke ongelijkheid in het systeem.

Dit gebied kan leeg zijn, dan heeft het systeem van ongelijkheden geen oplossingen, is het inconsistent. Anders zou het systeem compatibel zijn.
Er kan een eindig aantal en een oneindig aantal oplossingen zijn. Het gebied kan een gesloten polygoon zijn of het kan onbeperkt zijn.

Laten we eens kijken naar drie relevante voorbeelden.

Voorbeeld 1. Los het systeem grafisch op:
x + jij - 1 ≤ 0;
–2x - 2ja + 5 ≤ 0.

• beschouw de vergelijkingen x + y – 1 = 0 en –2x – 2y + 5 = 0 die overeenkomen met de ongelijkheden;
• we construeren de rechte lijnen die door deze vergelijkingen worden gegeven.

Afbeelding 2

Laten we de halve vlakken definiëren die door de ongelijkheden worden gegeven. Neem een ​​willekeurig punt, laat (0; 0). Overwegen x+ j– 1 0, vervang het punt (0; 0): 0 + 0 - 1 ≤ 0. Dus in het halve vlak waar het punt (0; 0) ligt, x + ja – 1 ≤ 0, d.w.z. het halve vlak onder de rechte lijn is de oplossing voor de eerste ongelijkheid. Als we dit punt (0; 0) in het tweede plaatsen, krijgen we: –2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, dwz in het halve vlak waar het punt (0; 0) ligt, –2 x – 2ja+ 5≥ 0, en ons werd gevraagd waar -2 x – 2ja+ 5 ≤ 0, dus in het andere halve vlak - in degene die hoger is dan de lijn.
Laten we het snijpunt van deze twee halve vlakken vinden. Lijnen zijn evenwijdig, dus de vlakken kruisen elkaar nergens, wat betekent dat het systeem van deze ongelijkheden geen oplossingen heeft, het is incompatibel.

Voorbeeld 2. Vind grafische oplossingen voor het systeem van ongelijkheden:

figuur 3
1. Laten we de vergelijkingen opschrijven die overeenkomen met de ongelijkheden en rechte lijnen construeren.
x + 2ja– 2 = 0

x	2	0
ja	0	1

ja – x – 1 = 0

x	0	2
ja	1	3

ja + 2 = 0;
ja = –2.
2. Nadat we het punt (0; 0) hebben gekozen, definiëren we de tekens van de ongelijkheden in de halve vlakken:
0 + 2 0 - 2 ≤ 0, d.w.z. x + 2ja- 2 ≤ 0 in het halve vlak onder de rechte lijn;
0 - 0 - 1 ≤ 0, d.w.z. ja –x- 1 ≤ 0 in het halve vlak onder de rechte lijn;
0 + 2 = 2 0, d.w.z. ja+ 2 ≥ 0 in het halve vlak boven de rechte lijn.
3. Het snijpunt van deze drie halve vlakken zal een gebied zijn dat een driehoek is. Het is gemakkelijk om de hoekpunten van het gebied te vinden als snijpunten van de corresponderende lijnen


Dus, MAAR(–3; –2), IN(0; 1), MET(6; –2).

Laten we nog een voorbeeld bekijken waarin het resulterende oplossingsgebied van het systeem niet beperkt is.

Dit artikel geeft een inleiding tot ongelijkheidssystemen. Hier wordt een definitie gegeven van een systeem van ongelijkheden en een definitie van een oplossing voor een systeem van ongelijkheden. Het vermeldt ook de belangrijkste soorten systemen waarmee je het vaakst moet werken bij algebralessen op school, en geeft voorbeelden.

Paginanavigatie.

Wat is een systeem van ongelijkheden?

Het is handig om stelsels van ongelijkheden op dezelfde manier te definiëren als we de definitie van een stelsel vergelijkingen hebben geïntroduceerd, dat wil zeggen volgens het type notatie en de daarin ingebedde betekenis.

Definitie.

Systeem van ongelijkheden Is een notatie die een aantal ongelijkheden onder elkaar vertegenwoordigt, verenigd door een accolade aan de linkerkant, en die de verzameling van alle oplossingen aangeeft die tegelijkertijd oplossingen zijn van elke ongelijkheid in het systeem.

Laten we een voorbeeld geven van een systeem van ongelijkheden. Neem twee willekeurige, bijvoorbeeld 2 x − 3> 0 en 5 − x≥4 x − 11, schrijf ze onder elkaar
2 x − 3> 0,
5 − x≥4 x − 11
en verenig door het teken van het systeem - accolade, als resultaat krijgen we een systeem van ongelijkheden van de volgende vorm:

Het idee van ongelijkheidssystemen in schoolboeken wordt op dezelfde manier gegeven. Opgemerkt moet worden dat daarin de definities enger worden gegeven: voor ongelijkheden met één variabele of met twee variabelen.

De belangrijkste soorten systemen van ongelijkheden

Het is duidelijk dat men oneindig veel verschillende systemen van ongelijkheden kan samenstellen. Om niet te verdwalen in deze variëteit, is het raadzaam om ze in groepen te beschouwen die hun eigen onderscheidende kenmerken hebben. Alle systemen van ongelijkheden kunnen worden onderverdeeld in groepen volgens de volgende criteria:

• door het aantal ongelijkheden in het systeem;
• door het aantal variabelen dat deelneemt aan het record;
• door de vorm van de ongelijkheden zelf.

Afhankelijk van het aantal ongelijkheden dat in het record is opgenomen, worden systemen van twee, drie, vier, enz. onderscheiden. ongelijkheden. In de vorige paragraaf hebben we een voorbeeld gegeven van een systeem dat een systeem is van twee ongelijkheden. Laten we nog een voorbeeld tonen van het systeem van vier ongelijkheden .

Los daarvan zullen we zeggen dat het geen zin heeft om te praten over een systeem van één ongelijkheid, in dit geval hebben we het in wezen over de ongelijkheid zelf, en niet over het systeem.

Als we kijken naar het aantal variabelen, dan hebben we systemen van ongelijkheden met één, twee, drie, etc. variabelen (of, zoals ze zeggen, onbekend). Kijk eens naar het laatste systeem van ongelijkheden dat twee alinea's hierboven is geschreven. Het is een systeem met drie variabelen x, y en z. Merk op dat de eerste twee ongelijkheden niet alle drie de variabelen bevatten, maar slechts één ervan. In de context van dit systeem moeten ze worden opgevat als ongelijkheden met drie variabelen van respectievelijk de vorm x + 0 y + 0 z≥ − 2 en 0 x + y + 0 z≤5. Merk op dat de school zich richt op ongelijkheden met één variabele.

Rest nog om te bespreken welke soorten ongelijkheden een rol spelen bij de registratie van systemen. Op school beschouwen ze vooral systemen van twee ongelijkheden (minder vaak - drie, nog minder vaak - vier of meer) met een of twee variabelen, en de ongelijkheden zelf zijn meestal hele ongelijkheden eerste of tweede graad (minder vaak - hogere graden of fractioneel rationeel). Maar wees niet verbaasd als je in de voorbereidingsmaterialen voor de OGE systemen van ongelijkheden tegenkomt die irrationele, logaritmische, exponentiële en andere ongelijkheden bevatten. Als voorbeeld geven we het systeem van ongelijkheden , het is overgenomen van.

Wat wordt een oplossing voor een systeem van ongelijkheden genoemd?

Laten we nog een definitie introduceren met betrekking tot systemen van ongelijkheden - de definitie van een oplossing voor een systeem van ongelijkheden:

Definitie.

Door een systeem van ongelijkheden op te lossen met één variabele zo'n waarde van een variabele wordt genoemd die elk van de ongelijkheden van het systeem waar maakt, met andere woorden, wat een oplossing is voor elke ongelijkheid van het systeem.

Laten we het uitleggen met een voorbeeld. Laten we een systeem nemen van twee ongelijkheden met één variabele. Neem de waarde van de variabele x gelijk aan 8, het is per definitie een oplossing voor ons systeem van ongelijkheden, aangezien de vervanging ervan door de ongelijkheden van het systeem twee echte numerieke ongelijkheden 8> 7 en 2−3 · 8≤0 geeft. Integendeel, men is geen oplossing voor het systeem, want wanneer het wordt vervangen door de variabele x, verandert de eerste ongelijkheid in een onjuiste numerieke ongelijkheid 1> 7.

Op dezelfde manier kunnen we de definitie van een oplossing introduceren voor een systeem van ongelijkheden met twee, drie of meer variabelen:

Definitie.

Door een systeem van ongelijkheden op te lossen met twee, drie, enz. variabelen een paar genoemd, drie, enz. waarden van deze variabelen, die tegelijkertijd een oplossing is voor elke ongelijkheid in het systeem, dat wil zeggen, elke ongelijkheid in het systeem verandert in een echte numerieke ongelijkheid.

Een paar waarden x = 1, y = 2, of in een andere notatie (1, 2) is bijvoorbeeld een oplossing voor een systeem van ongelijkheden met twee variabelen, aangezien 1 + 2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Systemen van ongelijkheden hebben mogelijk geen oplossingen, kunnen een eindig aantal oplossingen hebben of kunnen oneindig veel oplossingen hebben. We hebben het vaak over de reeks oplossingen voor een systeem van ongelijkheden. Als het systeem geen oplossingen heeft, is er een lege verzameling van zijn oplossingen. Als er een eindig aantal oplossingen is, dan bevat de verzameling oplossingen een eindig aantal elementen, en als er oneindig veel oplossingen zijn, dan bestaat de verzameling oplossingen ook uit een oneindig aantal elementen.

In sommige bronnen worden definities van een bepaalde en algemene oplossing van een systeem van ongelijkheden geïntroduceerd, zoals bijvoorbeeld in de leerboeken van Mordkovich. Onder een bepaalde oplossing voor het systeem van ongelijkheden begrijp haar een aparte oplossing. Op zijn beurt algemene oplossing voor het systeem van ongelijkheden- dit zijn al haar specifieke beslissingen. Deze termen hebben echter alleen zin als het nodig is om te benadrukken welke oplossing wordt besproken, maar meestal is dit duidelijk uit de context, zoveel vaker zeggen ze gewoon "oplossing van een systeem van ongelijkheden".

Uit de definities van het systeem van ongelijkheden en de oplossingen die in dit artikel zijn geïntroduceerd, volgt dat de oplossing van het systeem van ongelijkheden het snijpunt is van de reeksen oplossingen van alle ongelijkheden van dit systeem.

Bibliografie.

1. Algebra: studie. voor 8cl. algemene educatie. instellingen / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; red. S.A. Teljakovski. - 16e druk. - M.: Onderwijs, 2008 .-- 271 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: Groep 9: leerboek. voor algemeen onderwijs. instellingen / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; red. S.A. Teljakovski. - 16e druk. - M.: Onderwijs, 2009 .-- 271 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. A.G. Mordkovich Algebra. Groep 9. Om 14.00 uur Deel 1. Leerboek voor studenten van onderwijsinstellingen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13e druk, gewist. - M.: Mnemosina, 2011 .-- 222 p.: ziek. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. A.G. Mordkovich Algebra en begin van wiskundige analyse. Rang 11. Om 14.00 uur Deel 1. Leerboek voor studenten van onderwijsinstellingen (profielniveau) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2e druk, gewist. - M.: Mnemozina, 2008 .-- 287 d.: Ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Uniform staatsexamen-2013. Wiskunde: typische examenopties: 30 opties / ed. A.L. Semenova, I.V. Yashchenko. - M.: Uitgeverij "Nationaal Onderwijs", 2012. - 192 p. - (Unified State Exam-2013. FIPI - school).