1.5 Trigonometriske ulikheter og metoder for deres løsning

1.5.1 Løse de enkleste trigonometriske ulikhetene

De fleste forfattere av moderne lærebøker om matematikk foreslår at man vurderer dette emnet ved å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene. Prinsippet om å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene er basert på kunnskapen og evnen til å bestemme verdiene til ikke bare de viktigste trigonometriske vinklene på den trigonometriske sirkelen, men også andre verdier.

I mellomtiden kan løsningen på ulikheter i formen ,,, utføres som følger: først finner vi noe intervall () som denne ulikheten er oppfylt, og deretter skriver vi ned det endelige svaret, og legger til endene av funnet intervall et tallmultipel av perioden av sinus eller cosinus: ( ). I dette tilfellet er verdien lett å finne, siden eller. Søket etter mening er avhengig av studentenes intuisjon, deres evne til å legge merke til likheten mellom buer eller segmenter, ved hjelp av symmetrien til individuelle deler av sinus- eller cosinusgrafen. Og dette er noen ganger utenfor kraften til et ganske stort antall studenter. For å overvinne de bemerkede vanskene i lærebøkene de siste årene, har en annen tilnærming blitt brukt for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene, men dette forbedret ikke læringsutbyttet.

I en årrekke har vi ganske vellykket brukt formlene for røttene til de tilsvarende ligningene for å finne løsningen på trigonometriske ulikheter.

Vi utfører studiet av dette emnet på denne måten:

1. Vi bygger grafer og y = a, forutsatt at.

Deretter skriver vi ned ligningen og løsningen. Å gi n 0; en; 2, finner vi tre røtter til den sammensatte ligningen :. Verdiene er abscissas av tre påfølgende skjæringspunkter i grafene og y = a. det er åpenbart at ulikheten alltid oppfylles på intervallet (), og ulikheten oppfylles på intervallet ().

Ved å legge til endene av disse intervallene et tall som er et multiplum av sinusperioden, får vi i det første tilfellet en løsning på ulikheten i form :; og i det andre tilfellet løsningen på ulikheten i form:

Bare i motsetning til sinus fra formelen, som er en løsning på ligningen, for n = 0 får vi to røtter, og den tredje roten for n = 1 i formen ... Og igjen, de er tre påfølgende abscisser av skjæringspunktene i grafene og. I intervallet () holder ulikheten, i intervallet () - ulikheten

Nå er det enkelt å skrive ned løsninger på ulikheter og. I det første tilfellet får vi :;

og i det andre :.

Oppsummer. For å løse ulikheten eller er det nødvendig å tegne den tilsvarende ligningen og løse den. Finn røttene fra den oppnådde formelen, og skriv svaret på ulikheten i form :.

Når vi løser ulikheter, fra formelen for røttene til den tilsvarende ligningen, finner vi røttene og, og skriver svaret på ulikheten i form :.

Denne teknikken lar deg lære alle studenter å løse trigonometriske ulikheter, fordi denne teknikken er helt avhengig av ferdigheter som studentene har sterk beherskelse av. Dette er muligheten til å løse det enkleste og finne verdien av en variabel ved hjelp av en formel. I tillegg blir det helt unødvendig å grundig løse et stort antall øvelser under veiledning av en lærer for å demonstrere alle slags resonnementsteknikker, avhengig av tegnet på ulikhet, verdien av modul a av tallet a og dets tegn. Og selve prosessen med å løse ulikhet blir kort og, som er veldig viktig, ensartet.

En annen fordel med denne metoden er at den gjør det enkelt å løse ulikheter selv i tilfelle når høyre side ikke er en tabellverdi på sinus eller cosinus.

La oss demonstrere dette med et spesifikt eksempel. La ulikheten løses. La oss komponere den tilsvarende ligningen og løse den:

La oss finne verdiene og.

For n = 1

For n = 2

Vi skriver ned det endelige svaret på denne ulikheten:

I det vurderte eksemplet på å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene, kan det bare være en ulempe - tilstedeværelsen av en viss form for formalisme. Men hvis alt bare vurderes ut fra disse posisjonene, vil det være mulig å klandre formalismen og formlene for røttene til den kvadratiske ligningen, og alle formlene for å løse trigonometriske ligninger og mye mer.

Den foreslåtte metoden, selv om den har en verdig plass i dannelsen av ferdigheter og evner for å løse trigonometriske ulikheter, kan ikke undervurdere viktigheten og funksjonene til andre metoder for å løse trigonometriske ulikheter. Dette inkluderer metoden for intervaller.

La oss vurdere essensen.

Sett redigert av A.G. Mordkovich, selv om resten av lærebøkene heller ikke skal ignoreres. § 3. Metoder for undervisning av temaet "Trigonometriske funksjoner" i løpet av algebra og begynnelsen av analysen I studiet av trigonometriske funksjoner på skolen kan man skille mellom to hovedfaser: ü Innledende bekjentskap med trigonometriske funksjoner ...

Forskningen har løst følgende oppgaver: 1) Analyserte de nåværende lærebøkene til algebra og begynnelsen på matematisk analyse for å identifisere metodene presentert i dem for å løse irrasjonelle ligninger og ulikheter. Analysen lar oss trekke følgende konklusjoner: · I ungdomsskolen blir det ikke lagt nok vekt på metoder for å løse ulike irrasjonelle ligninger, hovedsakelig ...

METODER FOR Å LØSE TRIGONOMETRISKE ULIKHETER

Relevans. Historisk sett har trigonometriske ligninger og ulikheter hatt en spesiell plass i skolens læreplan. Vi kan si at trigonometri er en av de viktigste delene av skoleløpet og av all matematisk vitenskap generelt.

Trigonometriske ligninger og ulikheter inntar en av de sentrale stedene i løpet av videregående matematikk, både i innholdet i utdanningsmaterialet og i metodene for pedagogisk og kognitiv aktivitet, som kan og bør dannes under studiet og brukes til å løse en stort antall problemer av teoretisk og anvendt karakter ...

Løsningen av trigonometriske ligninger og ulikheter skaper forutsetninger for systematisering av studentenes kunnskap knyttet til alt utdanningsmateriale om trigonometri (for eksempel egenskaper av trigonometriske funksjoner, metoder for å konvertere trigonometriske uttrykk, etc.) og gjør det mulig å etablere effektive forbindelser med det studerte materialet om algebra (ligninger, ekvivalens av ligninger, ulikheter, identiske transformasjoner av algebraiske uttrykk, etc.).

Med andre ord, hensynet til metoder for å løse trigonometriske ligninger og ulikheter forutsetter en slags overføring av disse ferdighetene til et nytt innhold.

Betydningen av teorien og dens mange anvendelser er bevis på relevansen av det valgte emnet. Dette i sin tur lar deg bestemme mål, mål og forskningsemne for kursarbeidet.

Hensikten med studien: å generalisere tilgjengelige typer trigonometriske ulikheter, grunnleggende og spesielle metoder for deres løsning, å velge et sett med problemer for å løse trigonometriske ulikheter av skolebarn.

Forskningsmål:

1. Basert på analysen av tilgjengelig litteratur om forskningstemaet, systematiser materialet.

2. Gi et sett med oppgaver som er nødvendige for å konsolidere emnet "Trigonometriske ulikheter".

Forskningsobjekt er trigonometriske ulikheter i skolens matematikkurs.

Studieemne: typer trigonometriske ulikheter og metoder for deres løsning.

Teoretisk betydning er å organisere materialet.

Praktisk betydning: anvendelse av teoretisk kunnskap i løsning av problemer; analyse av de viktigste metodene for å løse trigonometriske ulikheter.

Forskningsmetoder : analyse av vitenskapelig litteratur, syntese og generalisering av tilegnet kunnskap, analyse av problemløsning, søk etter optimale metoder for å løse ulikheter.

§en. Typer av trigonometriske ulikheter og grunnleggende metoder for å løse dem

1.1. Enkleste trigonometriske ulikheter

To trigonometriske uttrykk forbundet med et tegn eller> kalles trigonometriske ulikheter.

Å løse en trigonometrisk ulikhet betyr å finne verdisettet til de ukjente som er inkludert i ulikheten, som ulikheten er tilfredsstilt for.

Hoveddelen av trigonometriske ulikheter løses ved å redusere dem til å løse de enkleste:

Dette kan være en metode for faktorisering, erstatning av variabelen (
,
etc.), der først den vanlige ulikheten løses, og deretter en ulikhet i formen
etc., eller andre måter.

De enkleste ulikhetene løses på to måter: ved å bruke enhetssirkelen eller grafisk.

La væref (x  Er en av de viktigste trigonometriske funksjonene. For å løse ulikheten
det er nok å finne løsningen på en periode, dvs. på ethvert segment hvis lengde er lik funksjonens periodef  x  ... Da vil løsningen på den opprinnelige ulikheten bli funnetx , så vel som verdiene som skiller seg fra de som er funnet ved et helt antall perioder av funksjonen. I dette tilfellet er det praktisk å bruke den grafiske metoden.

La oss gi et eksempel på en algoritme for å løse ulikhetene
(
) og
.

Algoritme for å løse ulikhet
(
).

1. Formuler definisjonen av sinus til et tallx på enhetssirkelen.

3. Marker punktet med koordinaten på ordinataksenen .

4. Gjennom dette punktet tegner du en rett linje parallelt med OX-aksen, og merker punktene i skjæringspunktet med sirkelen.

5. Velg en sirkelbue, hvor alle punkter har en ordinat mindre ennen .

6. Angi retningen på bypass (mot klokken) og skriv ned svaret, og legg til endene av intervallet funksjonens periode2πn ,
.

Algoritme for å løse ulikhet
.

1. Formuler definisjonen av tangenten til et tallx på enhetssirkelen.

2. Tegn en enhetssirkel.

3. Tegn en linje med tangenter og merk et punkt med en ordinat påen .

4. Koble dette punktet til opprinnelsen og merk skjæringspunktet for det resulterende linjesegmentet med enhetssirkelen.

5. Velg en sirkelbue, hvor alle punkter har en ordinat på tangentlinjen som er mindre ennen .

6. Angi retningen til bypass og skriv ned svaret, ta hensyn til funksjonens omfang, legg til en periodeπn ,
(tallet til venstre i oppføringen er alltid mindre enn tallet til høyre).

Grafisk tolkning av løsninger av de enkleste ligningene og formlene for å løse ulikheter i generell form er angitt i vedlegget (vedlegg 1 og 2).

Eksempel 1. Løs ulikhet
.

Tegn en rett linje på enhetssirkelen
som krysser sirkelen ved punktene A og B.

Alle verdiery på intervallet NM mer , alle punkter i buen AMB tilfredsstiller denne ulikheten. I alle rotasjonsvinkler, stor men mindre ,
vil ta verdier større enn (men ikke mer enn en).

Figur 1

Dermed vil løsningen på ulikheten være alle verdier i intervallet
, dvs.
... For å oppnå alle løsningene av denne ulikheten, er det tilstrekkelig å legge til endene av dette intervallet
hvor
, dvs.
,
. Vær oppmerksom på at verdiene
og
er røttene til ligningen
,

de.
;
.

Svar:
,
.

1.2. Grafisk metode

I praksis er en grafisk metode for å løse trigonometriske ulikheter ofte nyttig. La oss se på essensen av metoden ved å bruke eksemplet på ulikhet
:

1. Hvis argumentet er komplekst (annet ennx ), så erstatter vi den medt .

2. Vi bygger i ett koordinatplanleketøy funksjonsgrafer
og
.

3. Vi finner sliketo tilstøtende skjæringspunkter for grafermellom hvilkesinusformetplassertovenfor rett
... Finn abscissas av disse punktene.

4. Skriv ned den dobbelte ulikheten for argumentett tar hensyn til cosinusperioden (t vil være mellom de funnet abscissene).

5. Vi utfører omvendt erstatning (går tilbake til det opprinnelige argumentet) og uttrykker verdienx fra den dobbelte ulikheten skriver vi svaret i form av et numerisk intervall.

Eksempel 2. Løs ulikhet :.

Når man løser ulikheter ved hjelp av en grafisk metode, er det nødvendig å plotte funksjonene til funksjonene så nøyaktig som mulig. Vi forvandler ulikheten til formen:

La oss konstruere grafene til funksjonene i ett koordinatsystem
og
(fig. 2).

Fig. 2

Funksjonsgrafer skjærer seg på et punktMEN med koordinater
;
... Imellom
graf poeng
under punktene i grafen
... Og når
funksjonsverdiene er de samme. derfor
på
.

Svar:
.

1.3. Algebraisk metode

Ganske ofte kan den opprinnelige trigonometriske ulikheten reduseres til en algebraisk (rasjonell eller irrasjonell) ulikhet ved en velvalgt erstatning. Denne metoden innebærer å transformere en ulikhet, innføre en erstatning eller erstatte en variabel.

La oss se på spesifikke eksempler på anvendelsen av denne metoden.

Eksempel 3. Redusere til den enkleste formen
.

(fig.3)

Fig. 3

,
.

Svar:
,

Eksempel 4. Løs ulikhet:

ODZ:
,
.

Bruke formler:
,

vi skriver ulikheten i form:
.

Eller antar
etter enkle transformasjoner får vi

,

,

.

Å løse den siste ulikheten ved hjelp av intervallmetoden, får vi:

Fig. 4

, henholdsvis
... Så fra fig. 4 følger
hvor
.

Fig. 5

Svar:
,
.

1.4. Avstandsmetode

Generell ordning for å løse trigonometriske ulikheter ved hjelp av intervallmetoden:

Faktor som bruker trigonometriske formler.

Finn bruddpunktene og nullene til funksjonen, legg dem på sirkelen.

Ta noe poengTIL (men ikke funnet tidligere) og finn ut tegnet på arbeidet. Hvis produktet er positivt, så sett et punkt bak enhetssirkelen på strålen som tilsvarer vinkelen. Ellers setter du punktet inne i sirkelen.

Hvis et punkt forekommer et jevnt antall ganger, kaller vi det et jevnt multiplikasjonspunkt, hvis et oddetall ganger, et oddetall. Tegn buer som følger: start på punktetTIL , hvis det neste punktet har ulik mangfold, så krysser buen sirkelen på dette punktet, hvis punktet med jevn mangfold, så krysser den ikke.

Buer utenfor sirkelen er positive spenn; inne i sirkelen - negative hull.

Eksempel 5. Løs ulikhet

,
.

Poeng i den første serien:
.

Poeng i den andre serien:
.

Hvert punkt forekommer et oddetall ganger, det vil si alle poeng med ulik mangfold.

La oss finne ut tegnet på produktet på
:. La oss merke alle punktene på enhetssirkelen (fig. 6):

Fig. 6

Svar:
,
;
,
;
,
.

Eksempel 6 ... Løs ulikhet.

Beslutning:

Finn nollene til uttrykket .

Mottaaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

På enhetssirkelen verdier serienx 1 representert av prikker
... Seriex 2 gir poeng
... Fra serienx 3 vi får to poeng
... Endelig en seriex 4 vil representere poeng
... Vi tegner alle disse punktene på enhetssirkelen, og indikerer i parentes ved siden av hver av dem dens mangfoldighet.

La tallet nå vil være like. Vi gjør et estimat med tegnet:

Så poengetEN bør velges på en stråle som danner en vinkel med bjelkeÅh, utenfor enhetssirkelen. (Merk at hjelpestrålenOM EN det er slett ikke nødvendig å skildre på bildet. PunktEN er valgt omtrent.)

Nå fra poengetEN vi tegner en bølget kontinuerlig linje sekvensielt til alle markerte punkter. Videre, i poeng
vår linje går fra ett område til et annet: hvis det var utenfor enhetssirkelen, så går det inn i det. Kommer til poenget , går linjen tilbake til det indre området, siden mangfoldet av dette punktet er jevnt. Tilsvarende på det punktet (med jevn mangfold) må linjen vendes til det ytre området. Så vi tegnet et bestemt bilde vist i fig. 7. Det hjelper å velge de nødvendige områdene på enhetssirkelen. De er merket med et "+" tegn.

Fig.7

Endelig svar:

Merk. Hvis den bølgede linjen, etter å ha gått rundt alle punktene som er merket på enhetssirkelen, ikke kan returneres til punktetEN , ikke krysser sirkelen på det "ulovlige" stedet, betyr det at det var en feil i løsningen, nemlig at et oddetall røtter ble savnet.

Svar: .

§2. Kompleks av problemer for å løse trigonometriske ulikheter

I prosessen med å danne studenters ferdigheter for å løse trigonometriske ulikheter, kan det også skilles mellom 3 trinn.

1. forberedende,

2. dannelse av ferdigheter for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene;

3. innføring av trigonometriske ulikheter av andre typer.

Hensikten med den forberedende fasen er at det er nødvendig å forme evnen til å bruke en trigonometrisk sirkel eller graf for å løse ulikheter i skolebarn, nemlig:

Evne til å løse de enkleste ulikhetene i skjemaet
,
,
,
, bruke egenskapene til sinus- og cosinusfunksjonene;

Evne til å tegne doble ulikheter for buer i en numerisk sirkel eller for buer med grafer av funksjoner;

Evne til å utføre forskjellige transformasjoner av trigonometriske uttrykk.

Det anbefales å implementere dette stadiet i prosessen med å systematisere kunnskapen til skolebarn om egenskapene til trigonometriske funksjoner. Hovedverktøyet kan være oppgaver som tilbys studentene og utføres enten under veiledning av en lærer, eller uavhengig, samt ferdigheter oppnådd i å løse trigonometriske ligninger.

Her er eksempler på slike oppgaver:

1 ... Merk et punkt på enhetssirkelen , hvis en

.

2. I hvilket kvartal av koordinatplanet er poenget , hvis en likt:

3. Merk punkter på den trigonometriske sirkelen , hvis en:

4. Reduser uttrykk til trigonometriske funksjonerJegkvartaler.

men)
, b)
, i)

5. Buen er gitt.M - midtenJeg-te kvartal,R - midtenIIkvartal. Begrens verdien på en variabelt for: (utgjør en dobbel ulikhet) a) lysbue MP; b) buer RM.

6. Skriv ned dobbel ulikhet for de valgte delene av grafen:

Fig. en

7. Løs ulikheter
,
,
,
.

8. Konverter uttrykk .

På andre trinn i undervisningen i løsningen av trigonometriske ulikheter, kan følgende anbefalinger foreslås knyttet til metodikken for organisering av studentaktiviteter. I dette tilfellet må du fokusere på ferdighetene studentene allerede har for å jobbe med en trigonometrisk sirkel eller graf, dannet under løsningen av de enkleste trigonometriske ligningene.

For det første kan hensiktsmessigheten med å oppnå en generell metode for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene motiveres ved å for eksempel henvise til en ulikhet i formen
. Ved å bruke kunnskapen og ferdighetene som er tilegnet i forberedelsesfasen, vil studentene bringe den foreslåtte ulikheten til skjemaet
, men kan synes det er vanskelig å finne settet med løsninger på den resulterende ulikheten, siden det er umulig å løse det bare ved å bruke egenskapene til sinusfunksjonen. Denne vanskeligheten kan unngås ved å referere til den tilsvarende illustrasjonen (løse ligningen grafisk eller bruke enhetssirkelen).

For det andre bør læreren trekke studentenes oppmerksomhet mot forskjellige måter å fullføre oppgaven på, gi et passende eksempel på å løse ulikheter både grafisk og ved å bruke den trigonometriske sirkelen.

Vurder slike alternativer for å løse ulikheten
.

1. Å løse ulikheten ved hjelp av enhetssirkelen.

I den første leksjonen om å løse trigonometriske ulikheter, vil vi tilby studentene en detaljert løsningsalgoritme, som i en trinnvis presentasjon gjenspeiler alle grunnleggende ferdigheter som er nødvendige for å løse en ulikhet.

Trinn 1.La oss tegne en enhetssirkel, markere punktet på ordinataksen og trekk gjennom den en rett linje parallelt med abscissa-aksen. Denne linjen vil skjære enhetssirkelen på to punkter. Hvert av disse punktene representerer tall hvis sinus er lik .

Steg 2.Denne linjen har delt sirkelen i to buer. La oss velge den som viser tall med en sinus større enn ... Naturligvis er denne buen plassert over tegnet rett linje.

Fig. 2

Trinn 3.La oss velge en av endene av den markerte buen. La oss skrive ned et av tallene, som er representert av dette punktet i enhetssirkelen .

Trinn 4.For å velge tallet som tilsvarer den andre enden av den valgte buen, vil vi "gå" langs denne buen fra den nevnte enden til den andre. Samtidig husker vi at når vi beveger oss mot klokken, øker tallene vi vil gjennom (hvis vi beveger oss i motsatt retning, ville tallene reduseres). Vi skriver ned tallet som er avbildet på enhetssirkelen ved den andre enden av den merkede buen .

Dermed ser vi at ulikheten
tilfredsstille tallene som ulikheten
... Vi har løst ulikheten for tall som ligger i samme periode av sinusfunksjonen. Derfor kan alle løsninger på ulikheten skrives som

Studentene bør bli bedt om å vurdere tegningen nøye og finne ut hvorfor alle løsninger på ulikhet
kan skrives som
,
.

Fig. 3

Det er nødvendig å trekke studentenes oppmerksomhet mot at når vi løser ulikheter for cosinusfunksjonen, trekker vi en rett linje parallelt med ordinataksen.

Grafisk måte å løse ulikhet på.

Vi bygger kart
og
vurderer
.

Fig. fire

Så skriver vi ligningen
og løsningen hans
,
,
funnet ved hjelp av formler
,
,
.

(Å gin verdiene 0, 1, 2, finner vi tre røtter av ligningen). Verdiene
er tre påfølgende abscisser av skjæringspunktene i grafene
og
... Åpenbart alltid på intervallet
ulikheten holder
, og på intervallet
- ulikhet
... Vi er interessert i det første tilfellet, og deretter legger vi til et multiplum av sinusperioden til endene av dette intervallet, vi får en løsning på ulikheten
som:
,
.

Fig. fem

Oppsummer. For å løse ulikheten
, er det nødvendig å komponere den tilsvarende ligningen og løse den. Finn røttene fra den resulterende formelen og , og skriv svaret på ulikheten i form: ,
.

For det tredje er faktumet om settet med røtter til den tilsvarende trigonometriske ulikheten veldig tydelig bekreftet når man løser det grafisk.

Fig. 6

Det er nødvendig å demonstrere for studentene at sløyfen, som er løsningen på ulikheten, gjentas etter samme intervall, lik perioden med den trigonometriske funksjonen. Du kan også vurdere en lignende illustrasjon for grafen til sinusfunksjonen.

For det fjerde anbefales det å utføre arbeid med å oppdatere studentenes metoder for å konvertere summen (forskjellen) av trigonometriske funksjoner til et produkt, for å trekke studentenes oppmerksomhet til rollen til disse metodene for å løse trigonometriske ulikheter.

Slikt arbeid kan organiseres gjennom studentenes uavhengige oppfyllelse av oppgavene læreren har foreslått, blant annet vil vi trekke frem følgende:

For det femte bør studentene kreves å illustrere løsningen på hver enkleste trigonometriske ulikhet ved hjelp av en graf eller trigonometrisk sirkel. Du bør definitivt være oppmerksom på hensiktsmessigheten, spesielt til bruk av en sirkel, siden når du løser trigonometriske ulikheter, fungerer den tilsvarende illustrasjonen som et veldig praktisk middel for å fikse settet med løsninger for denne ulikheten.

Det anbefales å introdusere studentene for teknikkene for å løse trigonometriske ulikheter som ikke er de enkleste i henhold til følgende skjema: refererer til en spesifikk trigonometrisk ulikhet som refererer til den tilsvarende trigonometriske ligningen felles søk (lærer - studenter) for en løsningsteknikk uavhengig overføring av den funnet teknikken til andre ulikheter av samme type.

For å systematisere kunnskapen til studenter om trigonometri, anbefaler vi at du spesifikt velger slike ulikheter, hvis løsning krever forskjellige transformasjoner som kan implementeres i prosessen med å løse den, og fokusere studentenes oppmerksomhet på deres funksjoner.

Som slike produktive ulikheter kan vi for eksempel foreslå følgende:

Avslutningsvis gir vi et eksempel på et sett med problemer for å løse trigonometriske ulikheter.

1. Løs ulikhetene:

2. Løs ulikhetene: 3. Finn alle løsningene på ulikhetene: 4. Finn alle løsninger på ulikhetene:

men)
tilfredsstiller betingelsen
;

b)
tilfredsstiller betingelsen
.

5. Finn alle løsninger på ulikhetene:

men) ;

b) ;

i)
;

d)
;

e)
.

6. Løs ulikhetene:

men) ;

b) ;

i);

d)
;

e);

e);

g)
.

7. Løs ulikhetene:

men)
;

b) ;

i);

d).

8. Løs ulikhetene:

men) ;

b) ;

i);

d)
;

e)
;

e);

g)
;

h).

Det anbefales å tilby oppgaver 6 og 7 til studenter som studerer matematikk på avansert nivå, oppgave 8 til studenter i karakterer med avansert matematikkstudium.

§3. Spesielle metoder for å løse trigonometriske ulikheter

Spesielle metoder for å løse trigonometriske ligninger - det vil si de metodene som bare kan brukes til å løse trigonometriske ligninger. Disse metodene er basert på bruk av egenskaper til trigonometriske funksjoner, samt på bruk av forskjellige trigonometriske formler og identiteter.

3.1. Sektormetode

Tenk på sektormetoden for å løse trigonometriske ulikheter. Løsning av ulikheter i skjemaet

hvorP ( x ) ogSpørsmål ( x ) - rasjonelle trigonometriske funksjoner (sines, cosinus, tangens og cotangents er inkludert i dem rasjonelt), i likhet med løsningen av rasjonelle ulikheter. Det er praktisk å løse rasjonelle ulikheter ved hjelp av intervaller på tallaksen. Dens analoge for å løse rasjonelle trigonometriske ulikheter er metoden for sektorer i den trigonometriske sirkelen, forsinx ogcosx (
) eller en trigonometrisk halvcirkel fortgx ogctgx (
).

I metoden for intervaller, hver lineær faktor for teller og nevner av skjemaet
på den numeriske aksen er det et punkt , og når du går gjennom dette punktet
endrer skilt. I sektormetoden, hver faktor i skjemaet
hvor
- en av funksjonenesinx ellercosx og
, i den trigonometriske sirkelen tilsvarer det to vinkler og
som deler sirkelen i to sektorer. Når du går gjennom og funksjon
endrer skilt.

Husk følgende:

a) Faktorer av skjemaet
og
hvor
, bevare tegnet for alle verdier ... Slike faktorer for teller og nevner forkastes og endres (hvis
) for hver slik forkaste tegnet på ulikheten til det motsatte.

b) Faktorer av skjemaet
og
blir også kastet. Dessuten, hvis dette er faktorer av nevneren, så blir ulikhetene i skjemaet lagt til det ekvivalente systemet med ulikheter
og
... Hvis dette er faktorene til telleren, tilsvarer de i det tilsvarende systemet med begrensninger ulikhetene
og
i tilfelle en streng initial ulikhet og likhet
og
i tilfelle av en slapp opprinnelig ulikhet. Når du kaster multiplikatoren
eller
ulikhetens tegn er omvendt.

Eksempel 1. Løs ulikheter: a)
, b)
. vi har en funksjon, b). Løs ulikheten vi har,

3.2. Konsentrisk sirkelmetode

Denne metoden er analog med metoden for parallelle tallakser for å løse systemer med rasjonelle ulikheter.

Tenk på et eksempel på et system med ulikheter.

Eksempel 5. Løs systemet med enkleste trigonometriske ulikheter

La oss først løse hver ulikhet hver for seg (figur 5). I øvre høyre hjørne av figuren vil vi indikere for hvilket argument den trigonometriske sirkelen blir vurdert.

Fig. 5

Deretter konstruerer vi et system med konsentriske sirkler for argumentetx ... Vi tegner en sirkel og skygger den i henhold til løsningen av den første ulikheten, deretter tegner vi en sirkel med en større radius og skyggelegger i henhold til løsningen på den andre, deretter tegner vi en sirkel for den tredje ulikheten og en basesirkel . Vi trekker stråler fra midten av systemet gjennom endene på buene slik at de krysser alle sirkler. Vi danner en løsning på basissirkelen (figur 6).

Fig.6

Svar:
,
.

Konklusjon

Alle målene for kursstudiet ble fullført. Det teoretiske materialet er systematisert: hovedtyper av trigonometriske ulikheter og hovedmetodene for løsningen (grafisk, algebraisk, intervallmetode, sektorer og metode for konsentriske sirkler) er gitt. Et eksempel på å løse ulikhet ble gitt for hver metode. Den teoretiske delen ble fulgt av den praktiske. Den inneholder et sett med oppgaver for å løse trigonometriske ulikheter.

Dette kurset kan brukes av studenter til selvstendig arbeid. Skolebarn kan kontrollere nivået på mestring av dette emnet, øve på å fullføre oppgaver av varierende kompleksitet.

Etter å ha jobbet gjennom relevant litteratur om dette spørsmålet, kan vi selvsagt konkludere med at evnen og ferdighetene til å løse trigonometriske ulikheter i skoleløpet for algebra og analyseprinsippene er veldig viktige, hvis utvikling krever betydelig innsats fra matematikklæreren.

Derfor vil dette arbeidet være nyttig for lærere i matematikk, da det gjør det mulig å effektivt organisere opplæringen av studenter om temaet "Trigonometriske ulikheter".

Studien kan fortsette ved å utvide den til det endelige kvalifiserende arbeidet.

Liste over brukt litteratur

Bogomolov, N.V. Samling av problemer i matematikk [Tekst] / N.V. Bogomolov. - M.: Bustard, 2009. - 206 s.

Vygodsky, M. Ya. Håndbok for elementær matematikk [Tekst] / M.Ya. Vygodsky. - M.: Bustard, 2006. - 509 s.

Zhurbenko, L.N. Matematikk i eksempler og oppgaver [Tekst] / L.N. Zhurbenko. - M.: Infra-M, 2009. - 373 s.

Ivanov, O. A. Elementær matematikk for skolebarn, studenter og lærere [Tekst] / О.А. Ivanov. - M.: MTsNMO, 2009. - 384 s.

Karp, A.P. Oppgaver om algebra og begynnelsen av analysen for organisering av den siste repetisjonen og sertifiseringen i 11. klasse [Tekst] / A.P. Karpe. - M.: Utdanning, 2005. - 79 s.

Kulanin, E. D. 3000 konkurranseproblemer i matematikk [tekst] / E.D. Kulanin. - M.: Ayris-press, 2007. - 624 s.

Leibson, K.L. Samling av praktiske oppgaver i matematikk [Tekst] / K.L. Leibson. - M.: Bustard, 2010. - 182 s.

Lokot, V.V. Oppgaver med parametere og deres løsning. Trigonometri: ligninger, ulikheter, systemer. Grad 10 [Tekst] / V.V. Albue. - M.: ARKTI, 2008. - 64 s.

Manova, A.N. Matematikk. Express veileder for å forberede seg til eksamen: lærebok. godtgjørelse [Tekst] / A.N. Manova. - Rostov ved Don: Phoenix, 2012. - 541 s.

Mordkovich, A.G. Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 10-11 karakterer. Lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner [Tekst] / A.G. Mordkovich. - M.: Airis-press, 2009. - 201 s.

Novikov, A.I. Trigonometriske funksjoner, ligninger og ulikheter [Tekst] / A.I. Novikov. - M.: FIZMATLIT, 2010. - 260 s.

Oganesyan, V.A. Metoder for undervisning i matematikk på ungdomsskolen: Generell metode. Lærebok. håndbok for studenter nat. - matte. fac. ped. in-tov. [Tekst] / V.А. Hovhannisyan. - M.: Utdanning, 2006. - 368 s.

Olekhnik, S.N. Ligninger og ulikheter. Ikke-standardiserte løsningsmetoder [Text] / S.N. Olechnik. - M.: Forlag Factorial, 1997. - 219 s.

Sevryukov, P.F. Trigonometriske, eksponensielle og logaritmiske ligninger og ulikheter [Tekst] / P.F. Sevryukov. - M.: Offentlig utdanning, 2008. - 352 s.

Sergeev, I.N. Unified State Exam: 1000 problemer med svar og løsninger i matematikk. Alle oppgaver i gruppe C [Tekst] / IN. Sergeev. - M.: Undersøkelse, 2012. - 301 s.

Sobolev, A.B. Elementær matematikk [Tekst] / A.B. Sobolev. - Jekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 s.

Fenko, L.M. Metode for intervaller for å løse ulikheter og studere funksjoner [Tekst] / L.M. Fenko. - M.: Bustard, 2005. - 124 s.

Fridman, L.M. Teoretiske grunnlag for undervisningsmetoder i matematikk [Tekst] / L.M. Friedman. - M.: Bokhus "LIBROKOM", 2009. - 248 s.

Vedlegg 1

Grafisk tolkning av løsninger til de enkleste ulikhetene

Fig. en

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

Fig.6

Fig.7

Fig.8

Vedlegg 2

Løsninger på de enkleste ulikhetene

Å løse ulikheter online på Math24.biz-nettstedet vil gi maksimal nøyaktighet i beregningene. Ulikhet i matematikk er en uttalelse om den relative størrelsen eller rekkefølgen på to objekter (det ene objektet er mindre eller ikke større enn det andre), eller at to objekter ikke er like (negasjon av likhet). I elementær matematikk studeres numeriske ulikheter, generelt blir algebra, analyse, geometri, ulikheter også vurdert mellom objekter av ikke-numerisk karakter. For å løse en ulikhet må begge deler av den identifiseres med et av ulikhetstegnene mellom dem. Strenge ulikheter innebærer ulikheten mellom to objekter. I motsetning til strenge ulikheter, innrømmer ikke-strenge ulikheter likhet mellom objektene som er inkludert i den. Lineære ulikheter er de enkleste uttrykkene til å begynne med, og de enkleste teknikkene brukes til å løse slike ulikheter. Studentenes viktigste feil i å løse ulikheter på nettet er at de ikke skiller mellom det særegne ved strenge og ikke-strenge ulikheter, som grenseverdiene vil komme inn på eller ikke i det endelige svaret. Flere ulikheter knyttet til hverandre av flere ukjente kalles et system med ulikheter. Løsningen på ulikhetene fra systemet er et bestemt område på et plan, eller en tredimensjonal figur i tredimensjonalt rom. Sammen med dette blir de abstraherte av n-dimensjonale mellomrom, men når man løser slike ulikheter, er det ofte nødvendig å klare seg uten spesielle datamaskiner. For hver ulikhet separat, må du finne verdiene til det ukjente ved grensene for løsningsdomenet. Settet med alle løsninger på ulikhet er svaret. Å erstatte en ulikhet med en annen ulikhet som tilsvarer den kalles en ekvivalent overgang fra en ulikhet til en annen. En lignende tilnærming finnes i andre fagområder, fordi det hjelper å bringe uttrykk til en standardform. Du vil sette pris på alle fordelene med å løse ulikheter online på nettstedet vårt. Ulikhet er et uttrykk som inneholder et av => tegnene. Dette er egentlig et logisk uttrykk. Det kan være sant eller ikke, avhengig av hva som er til høyre og venstre i denne ulikheten. Å forklare betydningen av ulikhet og grunnleggende teknikker for å løse ulikheter studeres i forskjellige kurs, så vel som i skolen. Online løsning av ulikheter - modulo ulikheter, algebraiske, trigonometriske, transcendentale ulikheter online. Identisk ulikhet, som strenge og ikke-strenge ulikheter, forenkler prosessen med å oppnå det endelige resultatet, er et hjelpeverktøy for å løse problemet. Løsningen av ulikheter og ulikhetssystemer, det være seg logaritmiske, eksponentielle, trigonometriske eller kvadratiske ulikheter, er gitt ved å bruke den opprinnelige riktige tilnærmingen til denne viktige prosessen. Løsningen på ulikheter på nettet er alltid tilgjengelig for alle brukere og er helt gratis. En-variabel ulikhetsløsninger er verdiene til en variabel som konverterer den til et gyldig numerisk uttrykk. Ligninger og ulikheter med modul: Modulen til et reelt tall er den absolutte verdien av det tallet. Standardmetoden for å løse disse ulikhetene er å heve begge sider av ulikheten til ønsket makt. Ulikheter er uttrykk som indikerer en sammenligning av tall, så å løse ulikheter sikrer riktig at slike sammenligninger er nøyaktige. De er strenge (mer, mindre) og slappe (mer eller like, mindre eller like). Å løse en ulikhet betyr å finne alle de verdiene til variabler som, når de erstattes med det opprinnelige uttrykket, gjør det til en riktig numerisk fremstilling. Begrepet ulikhet, dens essens og egenskaper, klassifisering og varianter - dette er det som bestemmer detaljene i denne matematiske delen. De grunnleggende egenskapene til numeriske ulikheter, som gjelder alle objekter i denne klassen, må studeres av studentene i den innledende fasen av bekjentskap med dette emnet. Ulikheter og talllinjespenn er veldig nært knyttet når det gjelder å løse ulikheter på nettet. Den grafiske betegnelsen på løsningen på en ulikhet viser tydelig essensen av et slikt uttrykk, det blir klart hva man skal streve etter når man løser et gitt problem. Begrepet ulikhet er basert på sammenligning av to eller flere objekter. Ulikheter som inneholder en variabel løses som liknende konstruerte ligninger, hvoretter det lages et utvalg av intervaller, som blir tatt som svar. Enhver algebraisk ulikhet, trigonometrisk ulikhet eller ulikhet som inneholder transcendentale funksjoner, kan du enkelt og øyeblikkelig løse ved hjelp av vår gratis tjeneste. Et tall er en løsning på en ulikhet hvis vi erstatter dette tallet i stedet for en variabel, får vi det riktige uttrykket, det vil si at ulikhetstegnet viser det sanne konseptet.

Ulikheter som inneholder trigonometriske funksjoner reduseres til de enkleste ulikhetene i formen cos (t)> a, sint (t) = a og lignende. Og allerede er de enkleste ulikhetene løst. La oss se på forskjellige eksempler på måter å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene på.

Eksempel 1... Løs ulikheten sin (t)> = -1/2.

Tegn en enhetssirkel. Siden sin (t) per definisjon er y-koordinaten, merker du punktet y = -1 / 2 på Oy-aksen. Tegn en rett linje gjennom den parallelt med Ox-aksen. Merk av punktene Pt1 og Pt2 ved skjæringspunktene mellom den rette linjen og grafen til enhetssirkelen. Vi forbinder opprinnelsen til koordinatene med punktene Pt1 og Pt2 med to segmenter.

Løsningen på denne ulikheten vil være alle punkter i enhetssirkelen som ligger over disse punktene. Løsningen vil med andre ord være lysbuen l. Nå er det nødvendig å indikere forholdene under hvilke et vilkårlig punkt vil tilhøre buen l.

Pt1 ligger i høyre halvcirkel, dens ordinat er -1/2, da t1 = buesin (-1/2) = - pi / 6. For å beskrive punktet Pt1 kan du skrive følgende formel:
t2 = pi - bueform (-1/2) = 7 * pi / 6. Som et resultat får vi følgende ulikhet for t:

Vi beholder ulikhetstegnene. Og siden sinusfunksjonen er periodisk, betyr det at løsningene blir gjentatt hvert 2. * pi. Vi legger til denne tilstanden til den resulterende ulikheten for t og skriver ned svaret.

Svar: -pi / 6 + 2 * pi * n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Eksempel 2. Løs ulikheten cos (t)<1/2.

La oss tegne en enhetssirkel. Siden cos (t) ifølge definisjonen er x-koordinaten, merker du punktet x = 1/2 på grafen på Ox-aksen.
Tegn en rett linje gjennom dette punktet parallelt med Oy-aksen. Merk av punktene Pt1 og Pt2 ved skjæringspunktene mellom den rette linjen og grafen til enhetssirkelen. Vi forbinder opprinnelsen til koordinatene med punktene Pt1 og Pt2 med to segmenter.

Løsningene vil være alle punkter i enhetssirkelen som tilhører buen l. La oss finne punktene t1 og t2.

t1 = arccos (1/2) = pi / 3.

t2 = 2 * pi - arccos (1/2) = 2 * pi-pi / 3 = 5 * pi / 6.

Vi fikk ulikheten for t: pi / 3

Siden cosinus er en periodisk funksjon, vil løsningene gjentas hver 2 * pi. Vi legger til denne tilstanden til den resulterende ulikheten for t og skriver ned svaret.

Svar: pi / 3 + 2 * pi * n

Eksempel 3. Løs ulikheten tg (t)< = 1.

Perioden for tangenten er pi. Finn løsninger som tilhører intervallet (-pi / 2; pi / 2) høyre halvcirkel. Deretter, ved å bruke periodikken til tangenten, skriver vi ned alle løsningene av denne ulikheten. La oss tegne en enhetssirkel og merke tangentlinjen på den.

Hvis t er en løsning på ulikheten, må ordinaten til punktet T = tg (t) være mindre enn eller lik 1. Et sett med slike punkter vil utgjøre strålen AT. Punktsettet Pt, som vil tilsvare punktene i denne strålebuen l. Dessuten hører punktet P (-pi / 2) ikke til denne buen.