Tegn på seriekonvergens.
D'Alemberts tegn. Cauchys tegn

Arbeid, arbeid – og forståelse kommer senere
J.L. d'Alembert

Gratulerer til alle med starten av skoleåret! I dag er det 1. september, og til ære for høytiden bestemte jeg meg for å introdusere leserne for det du har gledet deg til og ivrig etter å vite lenge - tegn på konvergens av numeriske positive serier. Første septemberferien og gratulasjonene mine er alltid relevante, det er greit hvis det faktisk er sommer ute, du tar nå eksamen på nytt for tredje gang, studer hvis du har besøkt denne siden!

For de som akkurat har begynt å studere serier anbefaler jeg at du først leser artikkelen Nummerserie for dummies. Egentlig er denne vognen en fortsettelse av banketten. Så i dag i leksjonen vil vi se på eksempler og løsninger på emnene:

Et av de vanlige sammenligningstegnene som finnes i praktiske eksempler er D'Alembert-tegnet. Cauchys tegn er mindre vanlige, men også veldig populære. Som alltid vil jeg prøve å presentere materialet enkelt, tilgjengelig og forståelig. Temaet er ikke det vanskeligste, og alle oppgaver er til en viss grad standard.

D'Alemberts konvergenstest

Jean Leron d'Alembert var en berømt fransk matematiker på 1700-tallet. Generelt spesialiserte d’Alembert seg i differensialligninger og studerte, basert på hans forskning, ballistikk slik at Hans Majestets kanonkuler skulle fly bedre. Samtidig glemte jeg ikke nummerserien; det var ikke for ingenting at rekkene til Napoleons tropper senere konvergerte og divergerte så tydelig.

Før du formulerer selve tegnet, la oss vurdere et viktig spørsmål:
Når bør D'Alemberts konvergenstest brukes?

La oss starte med en anmeldelse først. La oss huske tilfellene når du trenger å bruke den mest populære sammenligningsgrense. Det begrensende kriteriet for sammenligning brukes når i den generelle termen av serien:

1) Nevneren inneholder et polynom.
2) Polynomer er både i teller og nevner.
3) Ett eller begge polynomene kan være under roten.
4) Selvfølgelig kan det være flere polynomer og røtter.

Hovedforutsetningene for bruk av d'Alemberts test er som følger:

1) Den vanlige termen for serien ("fylling" av serien) inkluderer til en viss grad et tall, for eksempel , , og så videre. Dessuten spiller det ingen rolle i det hele tatt hvor denne tingen er plassert, i telleren eller i nevneren - det som betyr noe er at den er til stede der.

2) Den vanlige termen for serien inkluderer faktoren. Vi krysset sverd med faktorialer tilbake i leksjonen Tallrekkefølgen og dens grense. Det vil imidlertid ikke skade å spre ut den selvmonterte duken igjen:





…


…

! Når vi bruker d'Alemberts test, må vi beskrive faktoren i detalj. Som i forrige avsnitt, kan faktoren være plassert øverst eller nederst i brøken.

3) Hvis det i den generelle termen av serien er en "kjede av faktorer", for eksempel, . Denne saken er sjelden, men! Når man studerer en slik serie, blir det ofte gjort feil – se eksempel 6.

Sammen med potenser og/eller faktorialer finnes polynomer ofte i utfyllingen av en serie; dette endrer ikke situasjonen - du må bruke D'Alemberts tegn.

I tillegg, i en felles term av en serie kan både en grad og en faktoriell forekomme samtidig; det kan være to faktorer, to grader, det er viktig at det er i det minste noe fra de vurderte punktene - og dette er nettopp forutsetningen for å bruke D'Alembert-tegnet.

D'Alemberts tegn: La oss vurdere positive tallserier. Hvis det er en grense for forholdet mellom den påfølgende termen og den forrige: , da:
a) Når rad konvergerer
b) Når rad divergerer
c) Når skiltet gir ikke svar. Du må bruke et annet tegn. Oftest oppnås en i tilfellet når de prøver å bruke D'Alembert-testen hvor det er nødvendig å bruke den begrensende sammenligningstesten.

For de som fortsatt har problemer med grenser eller misforståelser av grenser, se leksjonen Grenser. Eksempler på løsninger. Uten forståelse av grensen og evnen til å avsløre usikkerhet, kan man dessverre ikke komme videre.

Og nå de etterlengtede eksemplene.

Eksempel 1

Vi ser at i den generelle termen av serien har vi , og dette er en sikker forutsetning for å bruke d'Alemberts test. Først den fullstendige løsningen og prøvedesignet, kommenterer nedenfor.

Vi bruker d'Alemberts tegn:


konvergerer.

(1) Vi komponerer forholdet mellom neste medlem av serien og det forrige: . Fra betingelsen ser vi at den generelle termen for serien er . For å få neste medlem av serien er det nødvendig i stedet for å erstatte: .
Hvis du har litt erfaring med løsningen, kan du hoppe over dette trinnet.
(3) Åpne parentesene i telleren. I nevneren tar vi de fire ut av potensen.
(4) Reduser med . Vi tar konstanten forbi grensetegnet. I telleren presenterer vi lignende termer i parentes.
(5) Usikkerhet elimineres på standard måte - ved å dele telleren og nevneren med "en" til høyeste potens.
(6) Vi deler tellerne ledd for ledd med nevnerne, og angir leddene som har en tendens til null.
(7) Vi forenkler svaret og noterer oss at med konklusjonen at, i henhold til D’Alemberts kriterium, konvergerer serien som studeres.

I det betraktede eksemplet, i den generelle termen av serien, møtte vi et polynom av 2. grad. Hva skal jeg gjøre hvis det er et polynom av 3., 4. eller høyere grad? Faktum er at hvis et polynom av høyere grad er gitt, vil det oppstå vanskeligheter med å åpne parentesene. I dette tilfellet kan du bruke "turbo" løsningsmetoden.

Eksempel 2

La oss ta en lignende serie og undersøke den for konvergens

Først den komplette løsningen, deretter kommentarer:

Vi bruker d'Alemberts tegn:


Dermed serien som studeres konvergerer.

(1) Vi skaper relasjonen .
(2) Vi blir kvitt den fire-etasjers brøken.
(3) Tenk på uttrykket i telleren og uttrykket i nevneren. Vi ser at i telleren må vi åpne parentesene og heve dem til fjerde potens: , som vi absolutt ikke vil gjøre. Og for de som ikke er kjent med Newtons binomiale, vil denne oppgaven være enda vanskeligere. La oss analysere de høyere gradene: hvis vi åpner parentesene øverst , så får vi en seniorgrad. Nedenfor har vi samme seniorgrad: . I analogi med forrige eksempel er det åpenbart at når vi deler teller- og nevnerleddet på ledd, ender vi opp med én i grensen. Eller, som matematikere sier, polynomer Og - samme vekstrekkefølge. Dermed er det fullt mulig å skissere sammenhengen med en enkel blyant og umiddelbart indikerer at denne tingen har en tendens til en. Vi håndterer det andre paret med polynomer på samme måte: og de også samme vekstrekkefølge, og deres forhold har en tendens til enhet.

Faktisk kunne et slikt "hack" blitt trukket av i eksempel nr. 1, men for et polynom av 2. grad ser en slik løsning fortsatt uverdig ut. Personlig gjør jeg dette: hvis det er et polynom (eller polynomer) av første eller andre grad, bruker jeg den "lange" metoden for å løse eksempel 1. Hvis jeg kommer over et polynom av 3. eller høyere grad, bruker jeg "turbo"-metode som ligner på eksempel 2.

Eksempel 3

Undersøk serien for konvergens

La oss se på typiske eksempler med faktorialer:

Eksempel 4

Undersøk serien for konvergens

Den vanlige betegnelsen for serien inkluderer både graden og faktoren. Det er klart som dagen at d'Alemberts skilt må brukes her. La oss bestemme.

Dermed serien som studeres divergerer.

(1) Vi skaper relasjonen . Vi gjentar igjen. Etter betingelse er den vanlige termen for serien: . For å få neste semester i rekken, i stedet må du erstatte, Dermed: .
(2) Vi blir kvitt den fire-etasjers brøken.
(3) Klyp av de syv fra graden. Vi beskriver factorials i detalj. Slik gjør du dette - se begynnelsen av leksjonen eller artikkelen om tallrekker.
(4) Vi kutter alt som kan kuttes.
(5) Vi flytter konstanten forbi grensetegnet. Åpne parentesene i telleren.
(6) Vi eliminerer usikkerhet på standard måte - ved å dele telleren og nevneren med "en" til høyeste potens.

Eksempel 5

Undersøk serien for konvergens

Full løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen

Eksempel 6

Undersøk serien for konvergens

Noen ganger er det serier som inneholder en "kjede" av faktorer i fyllingen, vi har ennå ikke vurdert denne typen serier. Hvordan studere en serie med en "kjede" av faktorer? Bruk d'Alemberts tegn. Men først, for å forstå hva som skjer, la oss beskrive serien i detalj:

Fra utvidelsen ser vi at hvert neste medlem av serien har en tilleggsfaktor lagt til nevneren, derfor hvis det felles medlemmet av serien , deretter neste medlem av serien:
. Det er her de ofte automatisk gjør en feil, og skriver formelt i henhold til algoritmen som

En eksempelløsning kan se slik ut:

Vi bruker d'Alemberts tegn:

Dermed serien som studeres konvergerer.

Radical Cauchys tegn

Augustin Louis Cauchy er en enda mer kjent fransk matematiker. Enhver ingeniørstudent kan fortelle deg Cauchys biografi. I de mest pittoreske farger. Det er ingen tilfeldighet at dette navnet er skåret ut i første etasje i Eiffeltårnet.

Cauchys konvergenstest for positive tallserier ligner noe på D'Alemberts test som nettopp ble diskutert.

Radical Cauchys tegn: La oss vurdere positive tallserier. Hvis det er en grense: , så:
a) Når rad konvergerer. Spesielt konvergerer serien kl.
b) Når rad divergerer. Spesielt divergerer serien ved .
c) Når skiltet gir ikke svar. Du må bruke et annet tegn. Det er interessant å merke seg at hvis Cauchys test ikke gir oss svar på spørsmålet om konvergensen til en serie, så vil heller ikke D'Alemberts test gi svar. Men hvis d'Alemberts test ikke gir et svar, kan Cauchys test "fungere". Det vil si at Cauchy-tegnet i denne forstand er et sterkere tegn.

Når bør du bruke det radikale Cauchy-tegnet? Den radikale Cauchy-testen brukes vanligvis i tilfeller hvor den vanlige termen i serien FULLT er i graden avhengig av "en". Eller når roten "bra" er hentet fra et vanlig medlem av serien. Det er også eksotiske saker, men vi vil ikke bekymre oss for dem.

Eksempel 7

Undersøk serien for konvergens

Vi ser at den generelle termen i serien er fullstendig under en makt avhengig av , noe som betyr at vi må bruke den radikale Cauchy-testen:


Dermed serien som studeres divergerer.

(1) Vi formulerer den vanlige termen for serien under roten.
(2) Vi omskriver det samme, bare uten roten, ved å bruke egenskapen grader.
(3) I indikatoren deler vi telleren med nevneren ledd for ledd, noe som indikerer at
(4) Som et resultat har vi usikkerhet. Her kan du gå den lange veien: kube, kube, deretter dele telleren og nevneren med "en" til høyeste potens. Men i dette tilfellet er det en mer effektiv løsning: du kan dele telleren og nevneren etter ledd direkte under konstant potens. For å eliminere usikkerhet, del telleren og nevneren med (den høyeste potensen).
(5) Vi utfører faktisk termin-for-term-deling og indikerer begrepene som har en tendens til null.
(6) Vi bringer svaret til oss, markerer hva vi har og konkluderer med at serien divergerer.

Her er et enklere eksempel for deg å løse på egen hånd:

Eksempel 8

Undersøk serien for konvergens

Og et par mer typiske eksempler.

Full løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen

Eksempel 9

Undersøk serien for konvergens
Vi bruker den radikale Cauchy-testen:


Dermed serien som studeres konvergerer.

(1) Plasser den vanlige termen for serien under roten.
(2) Vi omskriver det samme, men uten roten, mens vi åpner parentesene ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen: .
(3) I indikatoren deler vi telleren med nevneren ledd for ledd og indikerer at .
(4) En usikkerhet i formen . Her kan du direkte dele telleren med nevneren i parentes med "en" i høyeste grad. Vi møtte noe lignende da vi studerte andre fantastiske grensen. Men her er situasjonen en annen. Hvis koeffisientene ved høyere potenser var identisk, for eksempel: , da ville trikset med termin-for-term-deling ikke lenger fungere, og det ville være nødvendig å bruke den andre bemerkelsesverdige grensen. Men vi har disse koeffisientene annerledes(5 og 6), derfor er det mulig (og nødvendig) å dele ledd for ledd (forresten, tvert imot - den andre bemerkelsesverdige grensen for annerledes koeffisienter ved høyere potenser fungerer ikke lenger). Hvis du husker, ble disse finessene diskutert i siste avsnitt av artikkelen Metoder for å løse grenser.
(5) Vi utfører faktisk termin-for-term-deling og indikerer hvilke begreper som har en tendens til null.
(6) Usikkerheten er eliminert, vi sitter igjen med den enkleste grensen: . Hvorfor inn uendelig stor har en tendens til null? Fordi grunnlaget for graden tilfredsstiller ulikheten. Hvis noen er i tvil om rimeligheten av grensen , da vil jeg ikke være lat, jeg tar opp en kalkulator:
Hvis da
Hvis da
Hvis da
Hvis da
Hvis da
… etc. til det uendelige - det vil si i grensen:

Bare sånn uendelig avtagende geometrisk progresjon på fingrene =)

(7) Vi indikerer at vi konkluderer med at serien konvergerer.

Eksempel 10

Undersøk serien for konvergens

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.

Noen ganger tilbys et provoserende eksempel for en løsning, for eksempel:. Her i eksponent ingen "no", bare en konstant. Her må du kvadrere teller og nevner (du får polynomer), og deretter følge algoritmen fra artikkelen Rader for dummies. I et slikt eksempel bør enten den nødvendige testen for konvergens av serien eller den begrensende testen for sammenligning fungere.

Integrert Cauchy-test

Eller bare et integrert tegn. Jeg vil skuffe de som ikke forsto det første kursmaterialet godt. For å bruke Cauchy-integraltesten må du være mer eller mindre trygg på å finne derivater, integraler og også ha evnen til å regne feil integral første typen.

I lærebøker om matematisk analyse integrert Cauchy-test gitt matematisk strengt, men for forvirrende, så jeg vil formulere tegnet ikke for strengt, men tydelig:

La oss vurdere positive tallserier. Hvis det er et upassende integral, konvergerer eller divergerer serien sammen med dette integralet.

Og bare noen eksempler for klargjøring:

Eksempel 11

Undersøk serien for konvergens

Nesten en klassiker. Naturlig logaritme og noe tull.

Hovedforutsetningen for å bruke Cauchy integraltesten er er det faktum at den generelle termen i serien inneholder faktorer som ligner på en viss funksjon og dens deriverte. Fra emne Derivat du husker sikkert den enkleste tabelltingen: , og vi har akkurat en slik kanonisk sak.

Fra artillerioffiser Detouche. Rett etter fødselen ble babyen kastet av moren på trappene til den parisiske "Round Church of St. John" (fransk: Jean le Rond). Til ære for denne kirken ble barnet kalt Jean Leron. Han ble oppvokst i familien til glassmester Rousseau, som adopterte ham.

Faren min var i utlandet på den tiden. Da han kom tilbake til Frankrike, ble Detouche knyttet til sønnen, besøkte ham ofte, hjalp adoptivforeldrene og betalte for D'Alemberts utdannelse, selv om han ikke turte å anerkjenne ham offisielt. Markisens mor viste aldri noen interesse for sønnen. Senere, etter å ha blitt berømt, glemte d'Alembert aldri glassmesteren og kona, hjalp dem økonomisk og kalte dem alltid stolt sine foreldre.

Etternavnet d'Alembert, ifølge noen kilder, ble avledet fra navnet til adoptivfaren hans Alembert, ifølge andre ble det oppfunnet av gutten selv eller hans foresatte: først ble Jean Leron registrert på skolen som Daremberg, deretter endret dette navnet til D'Alembert.

1726: Detouche, allerede en general, dør uventet. I følge testamentet mottar D'Alembert en godtgjørelse på 1200 livres per år og er overlatt til sine slektningers oppmerksomhet. Gutten er oppdratt sammen med søskenbarna, men bor fortsatt i familien til en glassmester. Han bodde i fosterforeldrenes hus til 1765, det vil si til han var 48 år.

Hans tidlige talent tillot gutten å få en god utdannelse - først ved Mazarin College (han fikk en mastergrad i liberal arts), deretter ved Academy of Legal Sciences, hvor han fikk tittelen licentiat of rights. Imidlertid likte han ikke yrket som advokat, og han begynte å studere matematikk.

Allerede i en alder av 22 presenterte D'Alembert verkene sine for Paris-akademiet, og som 23-åring ble han valgt til adjunkt ved akademiet.

1743: "Treatise on Dynamics" ble publisert, hvor det grunnleggende "D'Alemberts prinsipp" ble formulert, og reduserte dynamikken til et ikke-fritt system til statikk. Her formulerte han først de generelle reglene for å komponere differensialligninger for bevegelse av ethvert materialsystem.

Senere brukte han dette prinsippet i sin avhandling "Discourses on the General Cause of Winds" (1774) for å underbygge hydrodynamikk, hvor han beviste eksistensen av tidevann sammen med havvann.

1748: en strålende studie av strengvibrasjonsproblemet.

Fra 1751 jobbet D'Alembert sammen med Diderot for å lage den berømte Encyclopedia of Sciences, Arts and Crafts. Artiklene i 17-binders Encyclopedia relatert til matematikk og fysikk ble skrevet av d'Alembert. I 1757, ute av stand til å motstå forfølgelsen av reaksjonen hans arbeid i Encyclopedia ble utsatt for, gikk han bort fra publiseringen og viet seg helt til vitenskapelig arbeid (selv om han fortsatte å skrive artikler for Encyclopedia). Encyclopedia spilte en stor rolle i formidlingen av opplysningstidens ideer og den ideologiske forberedelsen av den franske revolusjonen.

1754: D'Alembert blir medlem av det franske akademiet.

1764: I artikkelen "Dimensjonalitet" (for Encyclopedia) ble ideen om muligheten for å betrakte tid som en fjerde dimensjon først uttrykt.

D'Alembert opprettholdt en aktiv korrespondanse med den russiske keiserinnen Catherine II. På midten av 1760-tallet ble d'Alembert invitert av henne til Russland som lærer for tronfølgeren, men takket ikke ja til invitasjonen.

1772: D'Alembert ble valgt til fast sekretær for det franske akademiet.

1783: D'Alembert døde etter lang tids sykdom. Kirken nektet å gi den "uttalte ateisten" plass på kirkegården, og han ble gravlagt i en umerket felles grav.

Et krater på den andre siden av månen og en fjellkjede på dens synlige side er oppkalt etter d'Alembert.

Vitenskapelige prestasjoner

Matematikk

I de første bindene av den berømte Encyclopedia, plasserte D'Alembert viktige artikler: "Differensialer", "Equations", "Dynamics" og "Geometry", der han detaljerte sitt syn på aktuelle vitenskapelige problemer.

D'Alembert forsøkte å underbygge beregningen av infinitesimals ved hjelp av teorien om grenser, nær Newtons forståelse av "analysens metafysikk." Han kalte en mengde grensen for en annen hvis den andre, som nærmer seg den første, avviker fra den med mindre enn en gitt verdi. "Differensiering av ligninger består ganske enkelt i å finne grensene for forholdet mellom de endelige forskjellene til to variabler inkludert i ligningen" - denne setningen kan dukke opp i en moderne lærebok. Han ekskluderte fra analysen konseptet om en faktisk infinitesimal, og tillot det bare for korthets skyld.

Hver person som er kjent med mekanikk kjenner til D'Alemberts lov, forstår dens betydning og uttaler dette navnet med respekt. En sann matematiker og astronom snakker om D'Alembert med glede og ærbødighet, fordi han i ham ser etterfølgeren til Newton og den store læreren til Lagrange og Laplace. En person med bred generell utdannelse vil helt sikkert bli gjennomsyret av dyp respekt for D'Alembert som en av hovedbidragsyterne til det berømte "Encyclopedia" på 1700-tallet.

E.F. Litvinova

Jean Leron d'Alembert (16. november 1717 – 29. oktober 1783) var en fransk leksikon. Vidt kjent som filosof, matematiker og mekaniker.

En av de mest omfattende og innflytelsesrike hjernene på 1700-tallet, Jean Leron d'Alembert, ble født i Paris. Forskerens livsbane begynte på en veldig uvanlig måte. Den 16. november 1717 ble en baby i blondebleier funnet på verandaen til den parisiske kirken Saint-Jean-le-Rhone. Hans opphav ble snart klart - hittebarnet viste seg å være den uekte sønnen til forfatteren Tansen og offiseren Detouche. Da Jean Leron ble født (han ble oppkalt etter kirken i nærheten av han ble funnet), var ikke faren i Frankrike og moren bestemte seg for å kvitte seg med det uekte barnet. Da han kom tilbake til Frankrike, fant Detouches sønnen, tok ham fra landsbyen og plasserte ham i familien til glassmesteren Rousseau, der Jean bodde det meste av livet. Faren besøkte ofte sønnen sin, gledet seg over barndommens skøyerstreker og beundret babyens ekstraordinære evner.

I 1726 dør Detouche, som allerede var blitt general, uventet. I følge testamentet mottar D'Alembert en godtgjørelse på 1200 livres per år og er overlatt til slektningers oppmerksomhet. Gutten er oppdratt sammen med søskenbarna, men bor fortsatt i familien til en glassmester. Han bodde i fosterforeldrenes hus til 1765, det vil si til han var 48 år.

I en alder av fire ble Jean Leron sendt til en internatskole, og fra den alderen begynte han å studere flittig, og forbløffet lærerne sine med sine enestående mentale evner.

I en alder av 13 år gikk han inn på Mazarin College, hvoretter han fikk tittelen Bachelor of Arts. På skolen studerte Jean Leron språk (han kunne latin og gresk så mye at han kunne lese Archimedes, Ptolemaios og andre forfattere i originalen), retorikk, litteratur, fysikk og matematikk. D'Alembert ble uselvisk forelsket i det siste emnet, noe som ble i stor grad tilrettelagt av læreren hans Caron.

Etter endt utdanning dukket spørsmålet opp om valg av yrke. Jeans slektninger var imot hans lidenskap for matematikk, og han gikk inn på det toårige akademiet for juridiske vitenskaper, hvorfra han ble uteksaminert med graden lisensiat (en mellomgrad mellom en bachelor og en lege). Så begynte D'Alembert å studere medisin. For at matematikken ikke skulle distrahere ham fra disse studiene, samlet Jean alle matematiske bøkene sine og tok dem med til en venn. Men Jean kunne ikke lenger la være å tenke på matematikk. Fra tid til annen trengte han en bok, så en annen - for referanse, for å sjekke riktigheten av løsningen som ble funnet osv. Gradvis dro han hele biblioteket tilbake til huset til ekteparet Rousseau, hvor han bodde. Samtidig studerte Jean filosofi, litteratur og var så vellykket i filologi at han i en alder av 23 ble valgt til det franske akademiet, dvs. ble en av de førti "udødelige".

Hele livet til D'Alembert var fylt med utrettelig arbeid.Madame Rousseau kalte eleven sin en filosof og forklarte at «en filosof er en så merkelig person som fratar seg alt i løpet av livet, jobber som en okse fra morgen til kveld, og alt for den eneste hensikten er at de skulle snakke om ham etter hans død." Men D'Alembert tenkte ikke på fremtidig ære. Han fant glede i å gjøre matematikk. "Matematikk," sa han, "er min eldste og sanneste kjærlighet."

D'Alemberts første verk innen matematikk og fysikk var viet bevegelsen av faste stoffer i væsker og integralregning. D'Alemberts berømmelse kom fra hans Treatise on Dynamics (1743), som beskrev en metode for å redusere dynamikken til faste stoffer til statikk (D'Alemberts prinsipp). I henhold til dette prinsippet kan bevegelsen til faste legemer reduseres til bevegelsen til individuelle massepartikler.

I 1746 ga han i sitt arbeid "Studies on Integral Calculus" det første (ikke helt strenge) beviset på algebraens grunnleggende teorem om eksistensen av røttene til en algebraisk ligning. Den endelige løsningen på dette tilhører Gauss.

I 1747 publiserte forskeren en artikkel om teorien om tverrgående vibrasjoner av strenger, hvor han ga en metode for å løse en 2. ordens partiell differensialligning. Han oppnådde også viktige resultater i teorien om vanlige differensialligninger med konstante koeffisienter, introduserte konseptet om en grense, og i teorien om serier introduserte han et tilstrekkelig kriterium for konvergens, som bærer navnet hans; tenkt på sannsynlighetsteorien (D'Alemberts paradoks).

Sammen med Diderot var han sjefredaktør for den berømte Encyclopedia, eller Explanatory Dictionary of Sciences, Arts and Crafts (28 bind), hvor han også ledet avdelingene for fysikk og matematikk. I tillegg til artikler om matematikk og fysikk skrev han et innledende kapittel - Et essay om vitenskapenes opprinnelse og utvikling, der han, hovedsakelig etter F. Bacon, presenterte en klassifisering av ulike kunnskapsfelt, sporet deres fremvekst og sammenkoblinger. , og forkynte ankomsten av naturvitenskapens æra.

D'Alembert ga et seriøst bidrag til utviklingen av de grunnleggende prinsippene for moderne mekanikk; verkene hans, sammen med verkene til Euler, Bernoulli-brødrene og Clairaut, la grunnlaget for matematisk fysikk. Han skrev klassiske verk om teorien om væske bevegelse, trekroppsproblemet, jordas nutasjon, månens bevegelse og vindens bevegelse osv. I mekanikk forsøkte han å klare seg uten kraftbegrepet, som hadde en sterk "metafysisk smak" for ham. D'Alemberts matematiske arbeider er basert på Leibniz sitt kontinuitetsprinsipp, som gjorde at han kunne komme nærmest den moderne forståelsen av grensen.

D'Alembert ble valgt til alle de da eksisterende vitenskapsakademiene (til det parisiske i 1754, til det St. Petersburg et i 1764).

D'Alembert beskyttet mange forskere. Så, etter hans forslag, utnevnte den prøyssiske kongen Frederick II J.L. Lagrange til president for Berlins vitenskapsakademi. D'Alembert selv nektet å ta denne stillingen.

Han nektet også tilbudet fra den russiske keiserinnen Catherine II om å være lærer for sønnen Paul. D'Alembert sa at han ikke kunne bo utenfor Frankrike, utenfor Paris.I de siste årene av sitt liv studerte han vitenskapens historie og skrev biografier om mange medlemmer av Paris-akademiet.

I sitt personlige liv var han ulykkelig. I sytten år elsket han ulykkelig den samme kvinnen - Madame Lespinasse. Da hun døde, mistet mange ting verdi for ham.

D'Alembert døde den 29. oktober 1783, en ensom gammel mann. Før hans død hadde han vært syk lenge og smertefullt. Det var samme stormfulle kveld som ved fødselen. Vinden hylte og et lett duskregn.

Følgende matematiske objekter er oppkalt etter D'Alembert:

• operatør D'Alembert
• D'Alemberts tegn
• D'Alemberts prinsipp
• D'Alembert-ligningen
• D'Alemberts formel.

Jean Leron d'Alembert er en fransk leksikon. Vidt kjent som filosof, matematiker og mekaniker. Medlem av Paris Academy of Sciences, French Academy, St. Petersburg og andre akademier.

Jean Leron D'Alembert (1717-1783) - fransk matematiker, mekaniker og filosof-pedagog, utenlandsk æresmedlem av St. Petersburg Academy of Sciences (1764) I 1751-57, sammen med Denis Diderot, redaktør av Encyclopedia. Formulerte reglene for å kompilere differensialligninger for bevegelse av materialsystemer (se D'Alemberts prinsipp nedenfor). Begrunnet teorien om planetarisk forstyrrelse. Arbeider med matematisk analyse, teori om differensialligninger, serieteori, algebra.

D'Alemberts prinsipp: hvis treghetskrefter legges til kreftene og reaksjonene til de mekaniske forbindelsene som faktisk virker på punktene til et mekanisk system, vil et balansert system av krefter oppnås. D'Alemberts prinsipp lar en bruke enklere metoder for statikk for å løse dynamikkproblemer. (1743).

Opprinnelse. utdanning

D'Alembert var den uekte sønnen til adelige foreldre. Hans mor, markisen de Tansen, forlot ham noen timer etter at hun fødte ham. Han ble funnet i en trekasse på trappen til den parisiske kirken Saint-Jean- le-Rhone og derfor, ved dåpen, fikk han navnet Jean Le Ron (Leron). Hans far, Chevalier Louis-Camus Detouches-Canon, generalløytnant for det franske artilleriet, ga barnet for å bli oppdratt av kona til en glassmester. Han betalte for utdannelsen sin i en liten privat internatskole Beret, og deretter - på Jansenist college Quatre Nation, som den unge mannen gikk inn i i 1730.

Hans strålende akademiske suksess vakte oppmerksomheten til hans mentorer, som håpet at et slikt opphøyet sinn ville velge en kirkekarriere. Jean Leron D'Alembert levde imidlertid ikke opp til forventningene deres. Etter å ha mottatt en Master of Arts-grad i 1735 tok han opp juss. I 1738 ble han uteksaminert fra det juridiske fakultet i Paris, og gikk deretter på undervisning ved Det medisinske fakultet i flere måneder, men ble desillusjonert av medisin, som før i teologi og rettsvitenskap. Til slutt, i 1739, fant han sitt kall - matematikk.

Matematiker og fysiker

I 1741 presenterte Jean Leron D'Alembert sine første verk for Paris Royal Academy of Sciences og ble akseptert som assistent. Hans berømte "Treatise on Dynamics" (1743) formulerte først bevegelseslovene og bidro til systematiseringen av klassisk mekanikk . Neste år publiserte han "Treatise on Dynamics" (1743). likevekt og bevegelse av væsker" (1744). Disse verkene ga ham suksess, og allerede i 1746 ble han et tilsvarende medlem av Vitenskapsakademiet.

Omtrent samtidig begynte D'Alembert å besøke parisiske salonger.Hans vidd og evne til å opprettholde en livlig og underholdende samtale gjorde D'Alembert til en velkommen gjest overalt, til tross for sin tynne stemme, lille statur, vanlige utseende og "ulovlige" opphav.

De neste ti årene var de mest fruktbare i livet hans. Jean Leron D'Alembert publiserte "Reflections on the General Cause of the Winds" (1747), som revolusjonerte anvendelsen av differensialligninger; "Research on the Prediction of the Equinoxes" (1749), som bidro til løsningen av en kompleks matematisk beregning. problem som hadde forvirret Isaac Newton; "Opplev ny teori om væskeresistens" (1752), som ble et stadium i utviklingen av hydrodynamikk. Dette ble fulgt av grunnleggende forskning som underbygget teorien om forstyrrelse av himmellegemer (1754-1756) Takket være disse verkene fikk D'Alembert berømmelse som en av de fremragende fysikerne og matematikerne i sin tid.

D'Alembert and the Encyclopedia

Siden 1745 tok Jean Leron D'Alembert en aktiv del i opprettelsen av Encyclopedia. Han ble sannsynligvis tiltrukket av dette verket av en av utgiverne, M. A. David, som tidligere hadde publisert noen av hans vitenskapelige arbeider, samt abbed J. P. Gua de Malve, den første sjefredaktøren for Encyclopedia, som var glad i matematikk.

Først hjalp D'Alembert Abbe de Gua, men to måneder etter sistnevntes oppsigelse (i oktober 1747) ledet han sammen med Denis Diderot utgivelsen. I "Preliminary Discourse", som åpnet det første bindet, D' Alembert underbygget den metodologiske fruktbarheten til empirisme og sensasjonalisme for fremgang av vitenskaper og håndverk. Ansvarlig for seksjoner om matematikk, fysikk, astronomi og musikk (omtrent 1600 artikler kom fra pennen hans alene), skrev Jean Leron D'Alembert også artikler som "College" og "Geneva", som styrket leksikonets rykte som en formidabel våpenkamp mot den gamle orden.

Mens han jobbet med Encyclopedia publiserte D'Alembert "Elements of Musical Theory and Practice Flowing from the Principles of M. Rameau" (1753), som populariserte og utviklet teorien om musikalsk harmoni til J. F. Rameau. Deretter hans multi-bind "Reflections" om litteratur" ble publisert. historie og filosofi" (1753). Dermed gjorde D'Alembert seg bemerket både i litteratur og musikkteori, og hans berømmelse gikk langt utover vitenskapelige kretser. I 1754, med støtte fra den innflytelsesrike Marquise Du Deffand, ble Jean Leron d'Alembert valgt til medlem av det franske akademiet.

Noen av verkene til Jean Leron D'Alembert ga ham imidlertid ikke bare æresbevisninger, men også mye trøbbel. Til tross for at D'Alembert, i sine leksikonartikler og andre verk, generelt setter stor pris på Rameaus verk, publiserte denne komponisten kritiske kommentarer til artiklene i 1755 "Encyclopedias" dedikert til musikk. D'Alembert ble ofte anklaget for at artiklene hans undergravde religionens grunnlag. Han skulle forlate publikasjonen tilbake i 1752, men bestemte seg for å gjøre det først i 1758-59: etter utgivelsen i bind 7 (1757) av artikkelen "Geneve", skrevet på råd fra Voltaire, ble han rammet av en floke av kritikk - både fra kalvinister og katolikker. Hans avgang fra Encyclopedia forverret D'Alemberts allerede vanskelige forhold til Diderot. Men i 1759 vendte han tilbake til Encyclopedia, men bare som forfatter av naturvitenskapelige artikler; hovedårsaken til at han kom tilbake var det konstante behovet for midler.

D'Alembert og de opplyste monarkene i Europa

Den økonomiske situasjonen til Jean Leron D'Alembert begynte å bli bedre på midten av 1760-tallet. Fra 1765 begynte han regelmessig å motta et stipend fra Vitenskapsakademiet. Hans inntekt ble supplert med royalties, pensjoner fra Louis XV og Frederick II, som samt en livrente og en årlig livrente arvet fra faren, betalt til ham av eieren av den berømte parisiske salongen, Madame Geoffrin.

Omtrent samtidig avviste D'Alembert, bekymret for sin uavhengighet, to ekstremt fristende tilbud.Det første kom fra Frederick II. Jean Leron D'Alembert møtte ham i 1755, selv om hans vitenskapelige arbeider fikk anerkjennelse i Preussen enda tidligere: i 1746 "Reflections on the General Cause of Winds" ble tildelt prisen fra Berlin Academy of Sciences og Belles-lettres. Siden 1752 forsøkte Frederick II gjentatte ganger å invitere D'Alembert til Preussen som president for dette akademiet, men han nektet regelmessig. Som et resultat, fra 1760, begynte en berømt korrespondanse mellom dem, som fortsatte til vitenskapsmannens død. D' Alembert hadde en veldig høy oppfatning av den prøyssiske monarken, og berømmet ham i hans skrifter, og i 1763 ble han ved hoffet sitt i tre måneder.

Så snart hun besteg tronen i 1762, ba Catherine II D'Alembert om å oppdra sønnen og arvingen Paul, og tilbød ham en enorm årslønn på 100 tusen livres (han mottok 1200 livres årlig fra de franske og prøyssiske kongene) D'Alembert nektet, og forklarte at han foretrekker å leve beskjedent i hjemlandet enn å nyte luksus i et fremmed land. Etter å ha nektet Frederick og Catherine, festet D'Alembert likevel alle sine håp om en fornyelse av Europa på opplyste monarker støttet av den intellektuelle eliten.Samtidig behandlet han aristokratiet, presteskapet og massene med like stor mistillit.

Personlige liv

Jean Leron D'Alembert nektet å forlate Paris på grunn av sitt forhold til Julie de Lespinasse, følgesvennen til Marquise Du Deffant. Forholdet deres ble ikke hemmet av verken aldersforskjellen (D'Alembert var 15 år eldre) eller sjalusien til Madame Du Deffant. Julie var imidlertid ikke alltid trofast mot D'Alembert.I 1764 grunnla Mademoiselle de Lespinasse sin egen salong.

I fjor. Jean Leron D'Alemberts død

Tynget av alvorlige sykdommer, opplevd svik, og deretter døden til sin elskede (1776), var Jean Leron D'Alembert konstant i en smertelig spent tilstand gjennom 1770-tallet. De siste årene av D'Alemberts liv var knyttet til det franske akademiet. I 1772, til tross for motstanden fra Louis XV, ble han valgt til dens faste sekretær. Talene han holdt innenfor akademiets vegger viser at han anså denne institusjonen som en viktig høyborg i kampen mot uvitenhet.

Skeptisk til religion hele livet, møtte Jean Leron D'Alembert døden 29. oktober 1783 i Paris, uten å forråde seg selv, og nektet den siste nattverden.Erkebiskopen av Paris forbød å utføre en begravelsesgudstjeneste for ham.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!

Fransk leksikon

kort biografi

Jean Leron d'Alembert (d'Alembert, d'Alembert; fr. Jean Le Rond D"Alembert, d"Alembert; 16. november 1717 - 29. oktober 1783) - Fransk vitenskapsmann og leksikon. Vidt kjent som filosof, matematiker og mekaniker. Medlem av Paris Academy of Sciences (1740), French Academy (1754), St. Petersburg (1764) og andre akademier.

D'Alembert var den uekte sønnen til markisen de Tansen og, etter all sannsynlighet, den østerrikske hertugen Leopold Philipp av Arenberg. Rett etter fødselen ble babyen kastet av moren på trappene til den parisiske "Round Church of St. John", som lå ved det nordlige tårnet til katedralen i Notre Dame. I følge skikken ble barnet kalt Jean Leron til ære for denne kirken. Opprinnelig ble barnet plassert på Foundling Hospital. Så ordnet hertugens fortrolige, artillerioffiser Louis-Camus Detouches, som fikk penger for å oppdra gutten, at han kunne bo i familien til en glassmester.

Da han kom tilbake til Frankrike, ble Detouche knyttet til gutten, besøkte ham ofte, hjalp fosterforeldrene hans og betalte for D'Alemberts utdannelse. Markisens mor viste aldri noen interesse for sønnen. Senere, etter å ha blitt berømt, glemte D'Alembert aldri glassmesteren og kona, hjalp dem økonomisk og kalte dem alltid stolt sine foreldre.

Etternavnet D'Alembert, ifølge noen kilder, ble avledet fra navnet til adoptivfaren hans Alembert, ifølge andre ble det oppfunnet av gutten selv eller hans foresatte: først ble Jean Leron registrert på skolen som D'Alembert ( Daremberg), endret deretter dette navnet til D'Alembert.

1726: Detouche, allerede en general, dør uventet. I følge testamentet mottar D'Alembert en godtgjørelse på 1200 livres per år og er overlatt til slektningers oppmerksomhet. Gutten er oppdratt sammen med søskenbarna, men bor fortsatt i familien til en glassmester. Han bodde i fosterforeldrenes hus til 1765, det vil si til han var 48 år.

Hans tidlige talent tillot gutten å få en god utdannelse - først ved Mazarin College (han fikk en mastergrad i liberal arts), deretter ved Academy of Legal Sciences, hvor han fikk tittelen licentiat of rights. Imidlertid likte han ikke yrket som advokat, og han begynte å studere matematikk.

Allerede i en alder av 22 presenterte D’Alembert verkene sine for Paris-akademiet, og som 23-åring ble han valgt til adjunkt ved akademiet.

1743: utgitt " Avhandling om dynamikk", hvor det grunnleggende "D'Alembert-prinsippet" er formulert, og reduserer dynamikken til et ikke-fritt system til statikk. Her formulerte han først de generelle reglene for å komponere differensialligninger for bevegelse av ethvert materialsystem.

Senere ble dette prinsippet brukt av ham i avhandlingen "Discourses on the General Cause of Winds" (1774) for å underbygge hydrodynamikk, hvor han beviste eksistensen - sammen med havvann - også av tidevann.

1748: en strålende studie av strengvibrasjonsproblemet.

Fra 1751 jobbet D'Alembert sammen med Diderot for å skape den berømte " Encyclopedia of Sciences, Arts and Crafts" Artiklene i 17-binders Encyclopedia relatert til matematikk og fysikk ble skrevet av D'Alembert. I 1757, ute av stand til å motstå forfølgelsen av reaksjonen hans arbeid i Encyclopedia ble utsatt for, gikk han bort fra publiseringen og viet seg helt til vitenskapelig arbeid (selv om han fortsatte å skrive artikler for Encyclopedia). Encyclopedia spilte en stor rolle i formidlingen av opplysningstidens ideer og den ideologiske forberedelsen av den franske revolusjonen.

1754: D'Alembert blir medlem av det franske akademiet.

1764: I artikkelen "Dimensjonalitet" (for Encyclopedia) ble ideen om muligheten for å betrakte tid som en fjerde dimensjon først uttrykt.

D'Alembert opprettholdt en aktiv korrespondanse med den russiske keiserinnen Catherine II. På midten av 1760-tallet ble D'Alembert invitert av henne til Russland som lærer for tronfølgeren, men takket ikke ja til invitasjonen. I 1764 ble han valgt til utenlandsk æresmedlem av St. Petersburgs vitenskapsakademi.

1772: D'Alembert ble valgt til fast sekretær for det franske akademiet.

1783: D'Alembert døde etter lang tids sykdom. Kirken nektet å gi den "uttalte ateisten" plass på kirkegården, og han ble gravlagt i en umerket felles grav.

Et krater på den andre siden av månen er oppkalt etter D'Alembert.

Vitenskapelige prestasjoner

Matematikk

I de første bindene av den berømte Encyclopedia, plasserte D'Alembert viktige artikler: "Differensialer", "Equations", "Dynamics" og "Geometry", der han detaljerte sitt syn på aktuelle vitenskapelige problemer.

D'Alembert forsøkte å underbygge beregningen av infinitesimals ved hjelp av teorien om grenser, nær Newtons forståelse av "analysens metafysikk." Han nevnte én mengde grense en annen, hvis den andre, som nærmer seg den første, avviker fra den med mindre enn et gitt beløp. " Differensiering av ligninger består ganske enkelt av å finne grensene for forholdet mellom de endelige forskjellene til de to variablene inkludert i ligningen"- denne frasen kan dukke opp i en moderne lærebok. Han ekskluderte fra analysen konseptet om en faktisk infinitesimal, og tillot det bare for korthets skyld.

Utsiktene for tilnærmingen hans ble noe redusert av det faktum at han av en eller annen grunn forsto ønsket om en grense som monotont (tilsynelatende slik at Δ x ≠ 0), og D'Alembert ga ikke en klar teori om grenser, og begrenset seg selv til teoremer om grensens unikhet og om produktets grense. De fleste matematikere (inkludert Lazare Carnot) protesterte mot teorien om grenser, siden den etter deres mening etablerte unødvendige begrensninger - den betraktet uendelige små ikke av seg selv, men alltid i forhold til hverandre, og den var umulig å fritt bruke i Leibniz stilalgebra av differensialer. Likevel seiret D'Alemberts tilnærming til berettigelsen av analyse til slutt – om enn først på 1800-tallet.

I serieteori er navnet hans gitt til en mye brukt tilstrekkelig test for konvergens.

D'Alemberts matematiske hovedforskning knytter seg til teorien om differensialligninger, hvor han ga en metode for å løse en 2. ordens partiell differensialligning som beskriver de tverrgående vibrasjonene til en streng (bølgeligning). D'Alembert presenterte løsningen som summen av to vilkårlige funksjoner, og i henhold til den såkalte. grensebetingelser var i stand til å uttrykke en av dem gjennom den andre. Disse verkene til D'Alembert, samt de påfølgende verkene til L. Euler og D. Bernoulli, dannet grunnlaget for matematisk fysikk.

I 1752, mens han løste en partiell differensialligning av elliptisk type (modell av strømning rundt et legeme), som ble møtt i hydrodynamikk, brukte D'Alembert først funksjoner til en kompleks variabel. I D'Alembert (og samtidig i L. Euler) er det de ligningene som forbinder de reelle og imaginære delene av den analytiske funksjonen, som senere ble kjent som Cauchy-Riemann-forholdene, selv om de i rettferdighet burde ha blitt kalt D'Alembert-Euler forhold. Senere ble de samme metodene brukt i potensialteori. Fra dette øyeblikket begynner den utbredte og fruktbare bruken av komplekse mengder i hydrodynamikk.

D'Alembert er også ansvarlig for viktige resultater i teorien om vanlige differensialligninger med konstante koeffisienter og systemer av slike ligninger av 1. og 2. orden.

D'Alembert ga det første (ikke helt strenge) beviset på algebraens grunnleggende teorem. I Frankrike kalles det D'Alembert-Gauss-teoremet.

Fysikk, mekanikk og andre arbeider

D'Alemberts prinsipp, som han oppdaget, var allerede nevnt ovenfor, og indikerte hvordan man bygger en matematisk modell av bevegelsen til ikke-frie systemer.

D'Alembert ga også fremragende bidrag til himmelmekanikk. Han underbygget teorien om planetarisk forstyrrelse og var den første som strengt forklarte teorien om forventning om jevndøgn og nutasjon.

Med utgangspunkt i Francis Bacons system klassifiserte D'Alembert vitenskapene, noe som ga opphav til det moderne konseptet humaniora.

D'Alembert eier også verk om spørsmål om musikkteori og musikalsk estetikk: avhandlingen "On the Freedom of Music", som oppsummerer resultatene av den såkalte. buffon wars - kamper rundt spørsmål om operakunst, etc.

Filosofi

Av de filosofiske verkene er de viktigste den innledende artikkelen til Encyclopedia, "Essay on the Origin and Development of the Sciences" (1751, russisk oversettelse i boken "The Founders of Positivism", 1910), som gir en klassifisering av vitenskaper, og "Elements of Philosophy" (1759).

I kunnskapsteorien, etter J. Locke, holdt D’Alembert seg til sensasjon. Da D'Alembert løste grunnleggende filosofiske spørsmål, var D'Alembert tilbøyelig til skepsis, og anså det som umulig å pålitelig hevde noe om Gud, hans interaksjon med materien, materiens evighet eller skapelse osv. Tviler på Guds eksistens og uttaler seg med anti-klerikale. kritikk, D'Alembert, men han tok ikke posisjonen ateisme.

I motsetning til de franske materialistene, mente D'Alembert at det finnes uforanderlige moralske prinsipper som ikke er avhengig av det sosiale miljøet. D'Alemberts syn på teorien om kunnskap og religion ble kritisert av Diderot i hans arbeider: "D'Alemberts drøm" (1769), "Samtale mellom D'Alembert og Diderot" (1769), etc.