Na primjer, za trinom \ (3x ^ 2 + 2x-7 \), diskriminanta će biti \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). A za trinom \ (x ^ 2-5x + 11 \), to će biti \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

Diskriminanta se označava slovom \ (D \) i često se koristi prilikom rješavanja. Također, po vrijednosti diskriminanta možete razumjeti kako graf otprilike izgleda (vidi dolje).

Diskriminant i korijeni jednadžbe

Diskriminantna vrijednost pokazuje iznos kvadratne jednadžbe:
- ako je \ (D \) pozitivan - jednačina će imati dva korijena;
- ako je \ (D \) jednako nuli - samo jedan korijen;
- ako je \ (D \) negativan, nema korijena.

Ovo ne treba učiti, lako je doći do ovog zaključka, samo znajući šta od diskriminanta (tj. \ (\ sqrt (D) \) ulazi u formulu za izračunavanje korijena jednadžbe: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) i \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) ( 2a) \) Pogledajmo pobliže svaki slučaj...

Ako je diskriminant pozitivan

U ovom slučaju, njegov korijen je neki pozitivan broj, što znači da će \ (x_ (1) \) i \ (x_ (2) \) biti različiti po značenju, jer u prvoj formuli \ (\ sqrt (D) \) se dodaje , au drugom se oduzima. I imamo dva različita korijena.

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
Rješenje :

Odgovori : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Ako je diskriminanta nula

I koliko će biti korijena ako je diskriminanta nula? Hajde da urazumimo.

Korijenske formule izgledaju ovako: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) i \ (x_ (2) = \) \ (\ frac ( -b- \ sqrt (D)) (2a) \). A ako je diskriminant nula, onda je i njegov korijen jednak nuli. Onda se ispostavi:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + 0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

Odnosno, vrijednosti korijena jednadžbe će biti iste, jer dodavanje ili oduzimanje nule ništa ne mijenja.

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
Rješenje :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		Zapisujemo koeficijente:
\ (a = 1; \) \ (b = -4; \) \ (c = 4; \)		Izračunajte diskriminanta po formuli \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		Pronađite korijene jednadžbe
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- (- 4) - \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \)		Dobili smo dva identična korijena, tako da ih nema smisla pisati odvojeno - zapisujemo ih kao jedan.

Odgovori : \ (x = 2 \)

Ova tema se u početku može činiti komplikovanom zbog mnogih teških formula. Ne samo da kvadratne jednadžbe imaju duge zapise, već se i korijeni nalaze preko diskriminanta. Ukupno postoje tri nove formule. Nije lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja ovakvih jednačina. Tada će se sve formule pamtiti same.

Opšti pogled na kvadratnu jednačinu

Ovdje se predlaže njihovo eksplicitno evidentiranje, kada se prvo bilježi najviši stepen, a zatim u opadajućem redoslijedu. Često postoje situacije kada termini nisu u redu. Tada je bolje prepisati jednačinu u opadajućem redosledu stepena varijable.

Hajde da uvedemo notaciju. Oni su predstavljeni u donjoj tabeli.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe se svode na sljedeći zapis.

Štaviše, koeficijent a ≠ 0. Neka je ova formula označena brojem jedan.

Kada se da jednačina, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer jedna od tri opcije je uvijek moguća:

• u rješenju će biti dva korijena;
• odgovor je jedan broj;
• jednadžba uopće neće imati korijene.

I dok se odluka ne dovede do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u određenom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednačina

Zadaci mogu sadržavati različite zapise. One neće uvijek izgledati kao opšta kvadratna jednačina. Ponekad će mu nedostajati neki termini. Ono što je gore napisano je potpuna jednačina. Ako uklonite drugi ili treći pojam u njemu, dobićete nešto drugačije. Ovi zapisi se nazivaju i kvadratne jednačine, samo nepotpune.

Štaviše, samo termini u kojima koeficijenti "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ne može biti jednak nuli ni pod kojim okolnostima. Jer se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednačinu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi će biti sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka je prva formula broj dva, a druga broj tri.

Diskriminanta i zavisnost broja korijena od njegove vrijednosti

Morate znati ovaj broj da biste izračunali korijene jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira na formulu kvadratne jednačine. Da biste izračunali diskriminanta, trebate koristiti jednakost napisanu ispod, koja će imati broj četiri.

Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različitim predznacima. Ako je odgovor da, onda će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. Ako je broj negativan, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednako nuli, odgovor će biti jedan.

Kako se rješava kompletna kvadratna jednačina?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminant. Nakon što se utvrdi da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, potrebno je koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, onda morate primijeniti ovu formulu.

Pošto sadrži znak „±“, biće dve vrednosti. Izraz kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.

Formula broj pet. Isti zapis pokazuje da ako je diskriminanta nula, tada će oba korijena uzeti iste vrijednosti.

Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije, ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednačina?

Ovdje je sve mnogo jednostavnije. Nema čak ni potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati oni koji su već snimljeni za diskriminatorno i nepoznato.

Prvo, razmotrimo nepotpunu jednačinu broj dva. U ovoj jednakosti treba izvući nepoznatu količinu iz zagrada i riješiti linearnu jednačinu koja ostaje u zagradi. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobija rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednačina broj tri rješava se prijenosom broja s lijeve strane jednačine na desnu. Zatim morate podijeliti sa faktorom ispred nepoznatog. Ostaje samo da izvučete kvadratni korijen i zapamtite da ga dvaput zapišete sa suprotnim predznacima.

Zatim su napisane neke radnje koje će vam pomoći da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Oni će pomoći učeniku da izbjegne nepažljive greške. Ovi nedostaci su razlog za slabe ocjene pri izučavanju opširne teme „Kvadratne jednačine (8. razred)“. Nakon toga, ove radnje neće biti potrebno stalno izvoditi. Jer će se pojaviti stabilna vještina.

• Prvo, trebate napisati jednačinu u standardnom obliku. Odnosno, prvo termin sa najvišim stepenom varijable, a zatim - bez stepena i poslednji - samo broj.

• Ako se ispred koeficijenta "a" pojavi minus, onda to može zakomplicirati posao početniku da proučava kvadratne jednadžbe. Bolje je da ga se rešite. U tu svrhu, sve jednakosti se moraju pomnožiti sa "-1". To znači da će svi pojmovi promijeniti svoj predznak u suprotan.

• Na isti način se preporučuje da se riješite frakcija. Jednostavno pomnožite jednačinu odgovarajućim faktorom da poništite nazivnike.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Prva jednadžba: x 2 - 7x = 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.

Nakon napuštanja zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.

Prvi korijen ima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se naći iz linearne jednačine: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.

Druga jednadžba: 5x 2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se to rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon što prenesete 30 na desnu stranu jednakosti: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti sa 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Treća jednačina: 15 - 2x - x 2 = 0. U nastavku, rješavanje kvadratnih jednadžbi će početi tako što ćemo ih prepisati u standardnom obliku: - x 2 - 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme da iskoristimo drugi korisni savjet i pomnoži sve sa minus jedan... Ispada x 2 + 2x - 15 = 0. Prema četvrtoj formuli, morate izračunati diskriminanta: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. To je pozitivan broj. Iz onoga što je gore rečeno, ispada da jednačina ima dva korijena. Treba ih izračunati koristeći petu formulu. Ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četvrta jednačina x 2 + 8 + 3x = 0 pretvara se u ovu: x 2 + 3x + 8 = 0. Njen diskriminanta je jednaka ovoj vrijednosti: -23. Pošto je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak će biti sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednačinu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminanta, dobija se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, odnosno: x = -12 / (2 * 1) = -6.

Šesta jednačina (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da morate donijeti slične članove prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog, postojat će izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj zapis: x 2 + 3x + 2. Nakon što se takvi članovi izbroje, jednačina će poprimiti oblik: x 2 - x = 0. Pretvorio se u nepotpun ... Nešto slično tome već je razmatrano malo više. Korijeni ovoga će biti brojevi 0 i 1.

Nastavljamo da proučavamo temu “ rješavanje jednačina". Već smo se upoznali sa linearnim jednačinama i idemo dalje na upoznavanje kvadratne jednačine.

Prvo ćemo analizirati šta je kvadratna jednadžba, kako je napisana u opštem obliku i dati povezane definicije. Nakon toga, koristeći primjere, detaljno ćemo analizirati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Zatim prelazimo na rješavanje kompletnih jednadžbi, dobijamo formulu za korijene, upoznajemo se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmatramo rješenja tipičnih primjera. Na kraju, pratimo odnos između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Šta je kvadratna jednačina? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti šta je kvadratna jednačina. Stoga je logično da se o kvadratnim jednačinama počne govoriti definicijom kvadratne jednačine, kao i srodnim definicijama. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: redukovane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba Je jednačina oblika a x 2 + b x + c = 0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a nije nula.

Recimo odmah da se kvadratne jednačine često nazivaju jednačinama drugog stepena. To je zato što je kvadratna jednačina algebarska jednačina drugi stepen.

Zvučna definicija nam omogućava da damo primjere kvadratnih jednačina. Dakle, 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0, itd. Jesu kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a, b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednačine a x 2 + b x + c = 0, a koeficijent a se naziva prvim, ili najvećim, ili koeficijent na x 2, b je drugi koeficijent, ili koeficijent na x, a c je slobodni član.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu oblika 5x2 −2x − 3 = 0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je −2, a presek je −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i / ili c negativni, kao u upravo datom primjeru, kratka forma kvadratne jednadžbe je 5 x 2 −2 x − 3 = 0, a ne 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) = 0.

Vrijedi napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, tada oni obično nisu eksplicitno prisutni u kvadratnoj jednadžbi, što je zbog posebnosti pisanja takvih. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y + 3 = 0, vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent na y je −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

U zavisnosti od vrednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se redukovane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Hajde da damo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 redukovana kvadratna jednačina... Inače kvadratna jednačina je nesmanjen.

Prema ovoj definiciji, kvadratne jednačine x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0, itd. - dato, u svakom od njih je prvi koeficijent jednak jedan. I 5 x 2 −x − 1 = 0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe čiji su vodeći koeficijenti različiti od 1.

Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem oba njezina dijela vodećim koeficijentom, možete prijeći na redukovanu. Ova akcija je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobijena redukovana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao i originalna nereducirana kvadratna jednadžba, ili, poput nje, nema korijena.

Analizirajmo na primjeru kako se izvodi prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe u redukovanu.

Primjer.

Iz jednačine 3 x 2 + 12 x − 7 = 0 prijeđite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednačinu.

Rješenje.

Dovoljno je da obje strane originalne jednačine podijelimo sa vodećim faktorom 3, on je različit od nule, pa možemo izvršiti ovu radnju. Imamo (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, što je isto, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0, i dalje (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, odakle. Tako smo dobili redukovanu kvadratnu jednačinu, koja je ekvivalentna originalnoj.

odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Definicija kvadratne jednadžbe sadrži uslov a ≠ 0. Ovaj uslov je neophodan da bi jednačina a x 2 + b x + c = 0 bila tačno kvadratna, budući da pri a = 0 zapravo postaje linearna jednačina oblika b x + c = 0.

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti nula, kako odvojeno tako i zajedno. U tim slučajevima, kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednačina a x 2 + b x + c = 0 se zove nepotpuna ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Zauzvrat

Definicija.

Puna kvadratna jednadžba Je jednačina u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Ova imena nisu data slučajno. Ovo će postati jasno iz sljedećih razmatranja.

Ako je koeficijent b jednak nuli, tada kvadratna jednačina ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, i ekvivalentna je jednačini a x 2 + c = 0. Ako je c = 0, odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + b x + 0 = 0, onda se može prepisati kao a x 2 + b x = 0. A sa b = 0 i c = 0, dobijamo kvadratnu jednačinu a x 2 = 0. Rezultirajuće jednadžbe se razlikuju od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ili oboje. Otuda njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednadžbe x 2 + x + 1 = 0 i −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 su primjeri potpunih kvadratnih jednačina, a x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz podataka iz prethodnog stava proizilazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a · x 2 = 0, odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0;
• a x 2 + c = 0 kada je b = 0;
• i a x 2 + b x = 0 kada je c = 0.

Analizirajmo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svakog od ovih tipova.

a x 2 = 0

Počnimo od rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno sa jednadžbama oblika a · x 2 = 0. Jednačina a · x 2 = 0 je ekvivalentna jednačini x 2 = 0, koja se dobija iz originala dijeljenjem oba njena dijela brojem a koji nije nula. Očigledno, korijen jednačine x 2 = 0 je nula, jer je 0 2 = 0. Ova jednadžba nema druge korijene, što je objašnjeno, zaista, za bilo koji broj p različit od nule, vrijedi nejednakost p 2> 0, odakle slijedi da za p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada nije postignuta.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a · x 2 = 0 ima jedan korijen x = 0.

Kao primjer, dajmo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4 · x 2 = 0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 = 0, njen jedini korijen je x = 0, stoga originalna jednačina ima jedinstveni korijen nula.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se formulirati na sljedeći način:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Sada razmotrimo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b nula, a c ≠ 0, odnosno jednadžbe oblika a · x 2 + c = 0. Znamo da prenošenje člana s jedne strane jednačine na drugu sa suprotnim predznakom, kao i dijeljenje obje strane jednačine brojem koji nije nula, daje ekvivalentnu jednačinu. Stoga je moguće izvršiti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + c = 0:

• pomjerimo c u desnu stranu, što daje jednačinu a x 2 = −c,
• i podijelimo oba njegova dijela sa a, dobijamo.

Rezultirajuća jednačina nam omogućava da izvučemo zaključke o njenim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a = 1 i c = 2, tada) ili pozitivna, (na primjer, ako je a = −2 i c = 6 , onda), nije jednako nuli, jer po hipotezi c ≠ 0. Razmotrimo odvojeno slučajeve i.

Ako, onda jednačina nema korijena. Ova izjava slijedi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada, onda za bilo koji broj p jednakost ne može biti tačna.

Ako, onda je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se sjetite otprilike, tada korijen jednadžbe odmah postaje očigledan, to je broj, budući da. Lako je pretpostaviti da je broj ujedno i korijen jednadžbe, zaista,. Ova jednadžba nema druge korijene, što se može pokazati, na primjer, kontradiktornom metodom. Hajde da to uradimo.

Označimo korijene jednadžbe koja je upravo zvučala kao x 1 i −x 1. Pretpostavimo da jednačina ima još jedan korijen x 2 različit od navedenih korijena x 1 i −x 1. Poznato je da zamjena njenih korijena u jednačinu umjesto x pretvara jednačinu u pravu numeričku jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo, a za x 2 imamo. Svojstva numeričkih jednakosti nam omogućavaju da izvodimo oduzimanje po članu pravih brojčanih jednakosti, tako da oduzimanjem odgovarajućih dijelova jednakosti dobijemo x 1 2 −x 2 2 = 0. Svojstva radnji s brojevima omogućuju vam da prepišete rezultirajuću jednakost kao (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Znamo da je proizvod dva broja nula ako i samo ako je barem jedan od njih nula. Dakle, iz dobijene jednakosti proizlazi da je x 1 - x 2 = 0 i / ili x 1 + x 2 = 0, što je isto, x 2 = x 1 i / ili x 2 = −x 1. Tako smo došli do kontradikcije, pošto smo na početku rekli da je korijen jednačine x 2 različit od x 1 i −x 1. Ovo dokazuje da jednadžba nema druge korijene osim i.

Hajde da sumiramo informacije o ovoj stavci. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi koja

• nema korijena ako,
• ima dva korijena i ako.

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a · x 2 + c = 0.

Počnimo s kvadratnom jednačinom 9 x 2 + 7 = 0. Nakon prenošenja slobodnog člana na desnu stranu jednačine, on će poprimiti oblik 9 · x 2 = −7. Dijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa 9, dolazimo do. Kako se na desnoj strani dobija negativan broj, ova jednadžba nema korijena, prema tome, originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 · x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Riješite još jednu nepotpunu kvadratnu jednačinu −x 2 + 9 = 0. Pomaknite devetku udesno: −x 2 = −9. Sada podijelimo obje strane sa −1, dobićemo x 2 = 9. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega zaključujemo da je odn. Zatim zapisujemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednadžba −x 2 + 9 = 0 ima dva korijena x = 3 ili x = −3.

a x 2 + b x = 0

Ostaje da se pozabavimo rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c = 0. Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 + b x = 0 omogućavaju vam da riješite metoda faktorizacije... Očigledno, možemo, smješteni na lijevoj strani jednačine, za što je dovoljno odvojiti zajednički faktor x. Ovo nam omogućava da sa originalne nepotpune kvadratne jednačine pređemo na ekvivalentnu jednačinu oblika x · (a · x + b) = 0. A ova jednadžba je ekvivalentna kombinaciji dvije jednačine x = 0 i a x + b = 0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x = −b / a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 ima dva korijena x = 0 i x = −b / a.

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.

Primjer.

Riješite jednačinu.

Rješenje.

Pomicanjem x iz zagrada dobija se jednačina. To je ekvivalentno dvije jednačine x = 0 i. Rješavamo rezultirajuću linearnu jednačinu: i nakon dijeljenja mješovitog broja običnim razlomkom nalazimo. Stoga su korijeni originalne jednadžbe x = 0 i.

Nakon što ste stekli potrebnu praksu, rješenja takvih jednačina mogu se ukratko napisati:

odgovor:

x = 0,.

Diskriminant, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Postoji korijenska formula za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Hajde da zapišemo kvadratna formula: , gdje D = b 2 −4 a c- takozvani kvadratni diskriminant... Notacija to u suštini znači.

Korisno je znati kako je dobivena formula korijena i kako se primjenjuje pri pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Hajde da to shvatimo.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Pretpostavimo da trebamo riješiti kvadratnu jednačinu a x 2 + b x + c = 0. Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:

• Možemo podijeliti obje strane ove jednačine brojem različitom od nule a, kao rezultat dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu.
• Sad odaberite cijeli kvadrat na njegovoj lijevoj strani:. Nakon toga, jednačina će poprimiti oblik.
• U ovoj fazi moguće je izvršiti prijenos posljednja dva člana na desnu stranu sa suprotnim predznakom, što imamo.
• I takođe transformišemo izraz na desnoj strani:.

Kao rezultat, dolazimo do jednačine koja je ekvivalentna originalnoj kvadratnoj jednačini a x 2 + b x + c = 0.

Jednadžbe slične forme već smo rješavali u prethodnim paragrafima, kada smo ih analizirali. Ovo nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

• ako, onda jednačina nema realnih rješenja;
• ako, onda jednačina ima oblik, dakle, odakle je vidljiv njen jedini korijen;
• ako, onda ili, što je isto ili, to jest, jednačina ima dva korijena.

Dakle, prisustvo ili odsustvo korijena jednadžbe, a time i originalne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza je određen predznakom brojioca, pošto je imenilac 4 · a 2 uvijek pozitivan, odnosno znak izraza b 2 −4 · a · c. Ovaj izraz b 2 −4 a c je nazvan diskriminanta kvadratne jednačine i označeno slovom D... Odavde je suština diskriminanta jasna - po njegovoj vrijednosti i predznaku se zaključuje da li kvadratna jednačina ima realne korijene, i ako ima, koji je njihov broj - jedan ili dva.

Vraćajući se na jednadžbu, prepišite je koristeći diskriminantnu notaciju:. I donosimo zaključke:

• ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ako je D = 0, onda ova jednadžba ima jedan korijen;
• konačno, ako je D> 0, onda jednačina ima dva korijena ili, što se na osnovu toga može prepisati u obliku ili, a nakon proširenja i svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, dobijamo.

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, one imaju oblik, gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D = b 2 −4 · a · c.

Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminant jednak nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena koja odgovara jedinom rješenju kvadratne jednadžbe. A s negativnim diskriminantom, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočavamo se s izvlačenjem kvadratnog korijena negativnog broja, što nas vodi izvan okvira školskog programa. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par kompleksni konjugat korijene, koji se mogu naći po istim formulama korijena koje smo mi dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, kada rješavate kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena, pomoću koje možete izračunati njihove vrijednosti. Ali ovo je više o pronalaženju složenih korijena.

Međutim, u školskom kursu algebre obično se ne radi o kompleksnim, već o realnim korijenima kvadratne jednačine. U ovom slučaju, preporučljivo je prvo pronaći diskriminanta prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, uvjeriti se da nije negativan (inače možemo zaključiti da jednačina nema realnih korijena), a tek nakon koji izračunavaju vrijednosti korijena.

Gornje rezonovanje nam omogućava da pišemo rješavač kvadratnih jednačina... Da biste riješili kvadratnu jednačinu a x 2 + b x + c = 0, trebate:

• po diskriminantnoj formuli D = b 2 −4 · a · c izračunati njegovu vrijednost;
• zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravi korijen ako je diskriminanta negativna;
• izračunati jedini korijen jednadžbe po formuli ako je D = 0;
• pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminanta pozitivna.

Ovdje samo napominjemo da kada je diskriminant jednak nuli, formula se također može koristiti, ona će dati istu vrijednost kao.

Možete prijeći na primjere korištenja algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Razmotrimo rješenja tri kvadratne jednadžbe s pozitivnim, negativnim i nultim diskriminantima. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, po analogiji će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednačinu. Počnimo.

Primjer.

Pronađite korijene jednačine x 2 + 2 x − 6 = 0.

Rješenje.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = −6. Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminanta, za to zamjenjujemo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, imamo D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Pošto je 28> 0, odnosno diskriminanta veća od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Pronalazimo ih po formuli korijena, dobijamo, ovdje možete pojednostaviti izraze dobivene radom rastavljajući predznak korijena uz naknadno smanjenje razlomka:

odgovor:

Pređimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu −4x2 + 28x − 49 = 0.

Rješenje.

Počinjemo od pronalaženja diskriminanta: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao, tj.

odgovor:

x = 3,5.

Ostaje da razmotrimo rješenje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednačinu 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Rješenje.

Evo koeficijenata kvadratne jednačine: a = 5, b = 6 i c = 2. Zamjenom ovih vrijednosti u diskriminantnu formulu, imamo D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

Ako trebate naznačiti kompleksne korijene, tada primjenjujemo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije sa složenim brojevima:

odgovor:

nema pravih korena, složeni koreni su sledeći:.

Još jednom napominjemo da ako je diskriminanta kvadratne jednadžbe negativna, onda u školi obično odmah zapišu odgovor u kojem ukazuju da nema pravih korijena, a kompleksni korijeni nisu pronađeni.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje je D = b 2 −4 ln5 = 2 7 ln5). Hajde da ga izvadimo.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednačinu oblika a x 2 + 2 n x + c = 0. Pronađimo njegove korijene koristeći nam poznatu formulu. Da biste to učinili, izračunajte diskriminanta D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), a zatim koristimo formulu za korijene:

Označimo izraz n 2 - a · c kao D 1 (ponekad se označava sa D"). Tada formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom 2 n poprima oblik , gdje je D 1 = n 2 - a · c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, ili D 1 = D / 4. Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je predznak D 1 isti kao i znak D. To jest, predznak D 1 je takođe pokazatelj prisustva ili odsustva korena kvadratne jednačine.

Dakle, da biste riješili kvadratnu jednačinu sa drugim koeficijentom 2 n, trebate

• Izračunajte D 1 = n 2 −a · c;
• Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ako je D 1 = 0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe po formuli;
• Ako je D 1> 0, onda pronađite dva realna korijena po formuli.

Razmislite o rješavanju primjera pomoću formule korijena dobivene u ovom paragrafu.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu 5x2 −6x − 32 = 0.

Rješenje.

Drugi koeficijent ove jednačine može se predstaviti kao 2 · (−3). To jest, možete prepisati originalnu kvadratnu jednačinu u obliku 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0, ovdje a = 5, n = −3 i c = −32, i izračunati četvrti dio diskriminatorno: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Pošto je njena vrijednost pozitivna, jednačina ima dva realna korijena. Pronađimo ih koristeći odgovarajuću formulu korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju bi se moralo obaviti više računskog rada.

odgovor:

Pojednostavljivanje pogleda na kvadratne jednadžbe

Ponekad, prije nego što se upustimo u izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe po formulama, ne škodi postaviti pitanje: "Da li je moguće pojednostaviti oblik ove jednačine?" Složite se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednačinu 11 x 2 −4 x − 6 = 0 nego 1100 x 2 −400 x − 600 = 0.

Obično se pojednostavljenje oblika kvadratne jednačine postiže množenjem ili dijeljenjem oba njezina dijela nekim brojem. Na primjer, u prethodnom pasusu uspjeli smo da pojednostavimo jednačinu 1100x2 −400x − 600 = 0 tako što smo obje strane podijelili sa 100.

Slična transformacija se provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu. U ovom slučaju, obje strane jednadžbe se obično dijele apsolutnim vrijednostima njenih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 −42 x + 48 = 0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Dijelimo obje strane izvorne kvadratne jednadžbe sa 6, dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednačine 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

A množenje obje strane kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomki koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se vrši nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se obje strane kvadratne jednadžbe pomnože sa LCM (6, 3, 1) = 6, tada će dobiti jednostavniji oblik x 2 + 4 x − 18 = 0.

U zaključku ovog paragrafa napominjemo da se skoro uvijek rješavamo minusa na vodećem koeficijentu kvadratne jednačine mijenjanjem predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) oba dijela sa −1. Na primjer, obično se iz kvadratne jednadžbe −2x2 −3x + 7 = 0 prelazi na rješenje 2x2 + 3x − 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe u smislu njenih koeficijenata. Na osnovu formule korijena, možete dobiti druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije formule su iz Vietine teoreme o obliku i. Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x + 22 = 0, možemo odmah reći da je zbir njenih korijena 7/3, a proizvod korijena 22/3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe kroz njene koeficijente:.

Bibliografija.

• algebra: studija. za 8 cl. opšte obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008.-- 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009.-- 215 str.: Il. ISBN 978-5-346-01155-2.

Sa ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednačinu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješenja na dva načina:
- korištenjem diskriminanta
- korištenjem Vietine teoreme (ako je moguće).

Štaviše, odgovor je prikazan tačan, a ne približan.
Na primjer, za jednačinu \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), odgovor je prikazan u ovom obliku:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ a ne ovako: \ (x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Ovaj program može biti od koristi učenicima viših razreda srednjih škola u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete voditi vlastitu nastavu i/ili podučavati svoju mlađu braću ili sestre, dok se nivo obrazovanja u oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo se može koristiti kao varijabla.
Na primjer: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.
Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomački dio od cjeline može se odvojiti ili točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale ovako: 2,5x - 3,5x ^ 2

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo se cijeli broj može koristiti kao brojnik, nazivnik i cijeli dio razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka ampersandom: &
Ulaz: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultat: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Prilikom unosa izraza mogu se koristiti zagrade... U ovom slučaju, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

Odluči se

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Sačekaj molim te sec ...

Ako ti uočio grešku u odluci, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odlučuješ i šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njeni korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednačina
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
ima oblik
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednačini a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve jednačine se nazivaju kvadratne jednačine.

Definicija.
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi i \ (a \ neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b - drugi koeficijent, a broj c - slobodni član.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je \ (a \ neq 0 \), najveća snaga varijable x je kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednačina.

Imajte na umu da se kvadratna jednačina naziva i jednačina drugog stepena, jer je njena leva strana polinom drugog stepena.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent na x 2 1 redukovana kvadratna jednačina... Na primjer, redukovane kvadratne jednadžbe su jednačine
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 + bx + c = 0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednačina naziva nepotpuna kvadratna jednadžba... Dakle, jednačine -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 su nepotpune kvadratne jednačine. U prvom od njih b = 0, u drugom c = 0, u trećem b = 0 i c = 0.

Nepotpune kvadratne jednadžbe su tri tipa:
1) ax 2 + c = 0, gdje je \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, gdje je \ (b \ neq 0 \);
3) sjekira 2 = 0.

Razmotrimo rješenja jednadžbi svakog od ovih tipova.

Da biste riješili nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c = 0 za \ (c \ neq 0 \), prenesite njen slobodni član na desnu stranu i podijelite obje strane jednačine sa a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Strelica desno x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Pošto je \ (c \ neq 0 \), onda \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Ako je \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), onda jednačina ima dva korijena.

Ako je \ (- \ frac (c) (a) Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 + bx = 0 sa \ (b \ neq 0 \) njenu lijevu stranu razračunamo u faktore i dobijemo jednačinu
\ (x (ax + b) = 0 \ Strelica desno \ lijevo \ (\ početak (niz) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ kraj (niz) \ desno. \ Strelica desno \ lijevo \ (\ početak (niz) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ kraj (niz) \ desno. \)

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx = 0 za \ (b \ neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = 0 i stoga ima jedinstveni korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako se rješavaju kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznanica i slobodni član različiti od nule.

Rešimo kvadratnu jednačinu u opštem obliku i kao rezultat dobijamo formulu za korene. Tada se ova formula može primijeniti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c = 0

Podijelivši oba njegova dijela sa a, dobijamo ekvivalentnu redukovanu kvadratnu jednačinu
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Ovu jednačinu transformiramo odabirom kvadrata binoma:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ lijevo (\ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2- \ lijevo (\ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Strelica desno \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ lijevo (\ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 = \ lijevo (\ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Strelica desno \) \ (\ lijevo (x + \ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Strelica desno \ lijevo (x + \ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Strelica desno \) \ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Desno x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Strelica desno \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Radikalni izraz se zove diskriminanta kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 (latinski "diskriminant" je diskriminator). Označava se slovom D, tj.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Sada, koristeći notaciju diskriminanta, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), gdje je \ (D = b ^ 2-4ac \)

Očigledno je da:
1) Ako je D> 0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D = 0, onda kvadratna jednadžba ima jedan korijen \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Ako je D Dakle, u zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D> 0), jedan korijen (za D = 0) ili bez korijena (za D Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe koristeći ovaj formule, preporučljivo je postupiti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminanta i uporediti ga sa nulom;
2) ako je diskriminant pozitivan ili jednak nuli, onda upotrijebite formulu korijena, ako je diskriminant negativan, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadata kvadratna jednadžba ax 2 -7x + 10 = 0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Vidimo da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Svaka kvadratna jednadžba koja ima korijen ima ovo svojstvo.

Zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

One. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + px + q = 0 imaju svojstvo:
\ (\ lijevo \ (\ početak (niz) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ kraj (niz) \ desno. \)

Među cjelokupnim predmetom školskog programa algebre, jedna od najobimnijih tema je tema kvadratnih jednačina. U ovom slučaju, kvadratna jednačina znači jednačinu oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0 (čitaj: i pomnoži sa x na kvadrat plus be x plus tse je jednako nuli, gdje a nije jednako nula). U ovom slučaju, glavno mjesto zauzimaju formule za pronalaženje diskriminanta kvadratne jednačine navedenog tipa, što se podrazumijeva kao izraz koji omogućava da se odredi prisustvo ili odsustvo korijena u kvadratnoj jednadžbi, kao i njihov broj (ako postoji).

Formula (jednačina) diskriminanta kvadratne jednačine

Općeprihvaćena formula za diskriminantu kvadratne jednačine je sljedeća: D = b 2 - 4ac. Računajući diskriminant prema navedenoj formuli, ne samo da se može odrediti prisustvo i broj korijena u kvadratnoj jednadžbi, već i odabrati metodu za pronalaženje ovih korijena, kojih ima nekoliko ovisno o vrsti kvadratne jednadžbe.

Šta to znači ako je diskriminanta nula \ Formula za korijene kvadratne jednadžbe ako je diskriminanta nula

Diskriminanta se, kako slijedi iz formule, označava latiničnim slovom D. U slučaju kada je diskriminanta nula, treba zaključiti da je kvadratna jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0 , ima samo jedan korijen, koji se izračunava po pojednostavljenoj formuli. Ova formula se primjenjuje samo sa nultom diskriminantom i izgleda ovako: x = –b / 2a, gdje je x korijen kvadratne jednačine, b i a su odgovarajuće varijable kvadratne jednačine. Da biste pronašli korijen kvadratne jednadžbe, potrebno je podijeliti negativnu vrijednost varijable b sa udvostručenom vrijednošću varijable a. Rezultirajući izraz će biti rješenje kvadratne jednačine.

Rješavanje kvadratne jednadžbe u terminima diskriminanta

Ako se pri izračunavanju diskriminanta po gornjoj formuli dobije pozitivna vrijednost (D je veći od nule), tada kvadratna jednadžba ima dva korijena, koji se izračunavaju pomoću sljedećih formula: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) / 2a. Najčešće se diskriminanta ne izračunava zasebno, već se radikalni izraz u obliku diskriminantne formule jednostavno zamjenjuje u D vrijednost iz koje se izdvaja korijen. Ako varijabla b ima parnu vrijednost, tada za izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, možete koristiti i sljedeće formule: x 1 = (–k + v (k2 - ac)) / a , x 2 = (–k + v (k2 - ac)) / a, gdje je k = b / 2.

U nekim slučajevima, za praktično rješenje kvadratnih jednadžbi, možete koristiti Vietinu teoremu, koja kaže da je za zbir korijena kvadratne jednadžbe oblika x 2 + px + q = 0 vrijednost x 1 + x 2 = –p će važiti, a za proizvod korena navedene jednačine - izraz x 1 xx 2 = q.

Može li diskriminant biti manji od nule

Prilikom izračunavanja vrijednosti diskriminanta možete naići na situaciju koja ne spada ni u jedan od opisanih slučajeva – kada diskriminant ima negativnu vrijednost (odnosno manju od nule). U ovom slučaju uobičajeno je pretpostaviti da kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, nema realne korijene, stoga će njeno rješenje biti ograničeno na izračunavanje diskriminanta, a gore navedeno formule za korijene kvadratne jednadžbe u ovom slučaju se ne primjenjuju. U ovom slučaju, u odgovoru na kvadratnu jednačinu piše da „jednačina nema pravi korijen“.

Video s objašnjenjima: