Napokon sam se preuzeo za široku i dugo očekivanu temu analitička geometrija. Prvo, malo o ovom dijelu najviše matematike .... Sigurno se sada sjećate na toku školske geometrije sa brojnim teoremima, njihovim dokazima, crtežama itd. Šta sakriti, ne voljeti i često pristupačan predmet značajnog udjela studenata. Analitička geometrija, neobično, može izgledati zanimljiviji i pristupačniji. Šta znači pridjev "analitički"? Dva žigosana matematička prometa odmah se nameti: "Metoda grafičkog rješenja" i "metoda analitičkog rješenja". Grafička metoda, Jasno, povezan je sa izgradnjom grafova, crteža. Analitičkiisto metoda preuzima rješenje zadataka pretežno Pomoću algebarske akcije. S tim u vezi, algoritam rješenja gotovo svih zadataka analitičke geometrije je jednostavan i transparentan, često dovoljno da lagano primjenjuju potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, sasvim bez crteža ovdje neće koštati, osim, za bolje razumijevanje materijala, pokušat ću ih dovesti iznad potrebe.

Brzina otvaranja lekcija u geomettriji ne traži teorijsku potpunost, fokusirana je na rješavanje praktičnih zadataka. U svoju predavanja sam uključivao samo da je iz mog ugla važno u praktičnim pojmovima. Ako vam je potreban potpuniji certifikat prema bilo kojem pododjeljku, preporučujem sljedeću prilično pristupačnu literaturu:

1) Stvar s kojom, bez šale, poznata je nekoliko generacija: Školski udžbenik o geometriji, Autori - L.S. Atanasyan i kompanija. Ovaj vješalica školske garderobe već je podržavao 20-ih (!) Reprint, koji, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 sveska. Autori L.S. Atanasyan, Basilev V.t.. Ovo su literatura za visoko obrazovanje, trebat će vam prvi Tom. Iz mog polja, rijetko pronađene zadatke mogu ispasti, a udžbenik će pružiti neprocjenjivu pomoć.

Obje knjige mogu se besplatno preuzeti na Internetu. Pored toga, moju arhivu možete koristiti sa gotovim rješenjima koja se mogu naći na stranici. Preuzmite primjere viših matematike.

Od instrumentalnih alata predlažem ponovo svoj razvoj - softverski paket Prema analitičkoj geometriji, što će značajno pojednostaviti život i uštedjeti masu vremena.

Pretpostavlja se da je čitač upoznat sa osnovnim geometrijskim konceptima i brojkama: točka, direktno, ravni, trokuta, paralelogram, paralelepiped, kocke itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem teoremu Pitagore, zdravo za desetu godinu)

A sada ćemo dosljedno razmotriti: vektorski koncept, akcije sa vektorima, vektorskim koordinatama. Zatim preporučujem čitanje Najvažniji članak Vektori skalarnog proizvodakao i Vektorski i mješoviti vektori umjetničkih djela. Lokalni zadatak nije previše - dijeljenje segmenta u tom pogledu. Na osnovu gore navedenih informacija možete savladati direktna jednadžba u avionu od najjednostavniji primjeri rješenjašta će dozvoliti naučite rješavanje izazova geometrije. Sljedeći članci su također korisni: Jednadžba ravnine u prostoru, Jednadžbe usmjeravaju u prostoruGlavni zadaci za ravni i ravnine, ostali odjeljci analitičke geometrije. Prirodno, istovremeno razmotrite tipične zadatke.

Vektorski koncept. Besplatan vektor

Prvo ponavljamo školsku definiciju vektora. Vektor pozvan usmjeren Segment za koji je naznačen njegov početak i kraj:

U ovom slučaju, početak segmenta je poenta, kraj segmenta - tačka. Sam vektor je naznačen putem. Smjer Važno je ako strelicu preuredite na drugi kraj segmenta, tada će vektor biti, a ovo je već potpuno drugačiji vektor. Koncept vektora je prikladan za prepoznavanje kretanja fizičkog tijela: vidite, idite na vrata instituta ili izađite iz vrata Instituta potpuno su različite stvari.

Odvojene točke ravnine, prostora je zgodno za razmatranje tzv nulta vektor . U takvom vektoru, kraj i početak se podudaraju.

!!! Bilješka: U nastavku se može smatrati da vektori leže u istoj ravnini ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština izglednog materijala vrijedi i za ravninu i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah skrenuli pažnju na štapić bez strelice u oznaku i rekli, u isto vrijeme kada su stavili strelicu! TRUE, možete pisati strelicom: ali dozvoljeno zapis koji ću koristiti u budućnosti. Zašto? Očigledno se takva navika razvijala iz praktičnih razmatranja, pojavile su se moje strelice u školi i univerzitet da su previše različite i štrajki. U obrazovnoj literaturi, ponekad se ne smetaju sa satovima, ali raspoređuju slova podebljanim:, implicirajući da je ovo vektor.

To je bio stil, a sada o metodama vektora za snimanje:

1) Vektori mogu napisati dva velika latino pisma:
itd. Istovremeno prvo slovo prije Označava početak vektora, a drugo slovo - vektor krajnjeg poenta.

2) Vektori takođe bilježe malu latino pisma:
Konkretno, naš vektor moguć je da sažeta pretvori malu latino pismo.

Lena ili modul Nepristojni vektor naziva se dužina segmenta. Dužina nulte vektora je nula. Logično.

Dužina vektora označena je znakom modula:

Kako pronaći dužinu vektora, naučit ćemo (ili ponoviti, za koga kao) malo kasnije.

Da su postojale elementarne informacije o vektoru poznatoj svim školarcima. U analitičkoj geometriji takozvani besplatan vektor.

Ako je jednostavan - vektor se može odgoditi iz bilo koje točke.:

Nazvali smo takve vektore (definicija jednakih vektora bit će navedena u nastavku), ali je isključivo sa matematičkog stanovišta. Ovo je isti vektor ili besplatan vektor. Zašto besplatno? Jer tokom rješavanja zadataka možete "pričvrstiti" jedan ili drugi vektor u bilo kojem, točku aviona ili prostora koji vam trebaju. Ovo je vrlo cool nekretnina! Zamislite proizvoljnu dužinu i upute - može se "klonirati" beskonačan broj puta i u stvari, u stvari postoji svuda. Postoji takva doplata za studente: svakom lektoru u f ** y putem vektora. Napokon, ne samo duhovito rim, sve matematički tačno - vektor se može pričvrstiti tamo. Ali ne žurite da se radujete, sami studenti pate češće \u003d)

Dakle, besplatan vektor - ovo je mnogo identični usmjereni segmenti. Definicija škole vektora data na početku stavka: "Vektor se naziva režirani rez ...", podrazumijeva specifično Usmjerni segment preuzet iz ovog seta, koji je vezan za određenu točku ravnine ili prostora.

Treba napomenuti da je u smislu fizike, koncept besplatnog vektora u općem slučaju nepravilno, a poanta vektorske aplikacije važan. Zaista, direktan udarac iste sile na nosu ili u čelu dovoljno je razviti moj glupi primjer, uzmite različite posljedice. Kako god, bez obzira Vektori se sastaju i informirani (ne idu tamo :)).

Akcije sa vektorima. Vektori sa kolibenošću

U školskoj godini geometrije razmatra se niz akcija i pravila sa vektorima: dodavanje pravila trougla, dodavanje prema pravilu paralelograma, pravilo vektorske razlike, vektorskim množećim brojem, skalarnim proizvodom vektora itd. Za seme, ponavljamo dva pravila koja su posebno relevantna za rješavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo dodavanja vektora prema pravilu trouglova

Razmotrite dva proizvoljna nernog vektora i:

Potrebno je pronaći količinu ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju besplatnim, odgoju vektora iz kraj Vektor:

Zbroj vektora i vektor je. Za bolje razumijevanje pravila u njemu je preporučljivo uložiti fizičko značenje: neka neko tijelo napravi put do vektora, a potom vektorom. Tada je zbroj vektora vektor rezultirajuće staze s početkom na mjestu odlaska i završetka na mjestu dolaska. Slično pravilo je formulirano za iznos bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može snažno proći iz cik-carka, a možda na autopilotu - prema rezultirajućim vektorskim sumom.

Usput, ako se vektor odloži iz počnite vektor, tada će biti ekvivalentno pravilo o pollomu Dodavanje vektora.

Prvo oko kolibranosti vektora. Nazivaju se dva vektora collinearako leže na jednoj ravni ili na paralelnim ravnim linijama. Grubo gledano, govorimo o paralelnim vektorima. Ali u vezi s njima pridjev "Collinear" uvijek koristi.

Predstavite dva kolinorija vektor. Ako je strelica ovih vektora usmjerena u isti smjer, tada se nazivaju takvi vektori son. Ako strelice izgledaju u različitim smjerovima, tada će vektori suprotno usmereni.

Oznake: Kolibranost vektora evidentirana je s uobičajenim ikonom paralelizma: moguće je detaljno: (vektori su obloženi) ili (vektori su suprotni).

Raditi Norlue Vector na broju je takav vektor, čija je dužina jednaka, a vektori i presvučeni su suprotno usmjerenim na.

Pravilo vektorskog množenja lakše je shvatiti sa crtetom:

Razumijemo više detalja:

1) Smjer. Ako je multiplikator negativan, zatim vektor mijenja smjer Na suprotno.

2) Dužina. Ako se množitelj zaključi unutar ili, a zatim dužina vektora opada. Dakle, vektorska dužina je dva puta manja od dužine vektora. Ako je modul multiplikatora više od jedne, a zatim dužina vektora povećava na vrijeme.

3) zabilježite da svi kolinovski vektoriU ovom slučaju jedan se vektor izražava kroz drugi, na primjer. Suprotno je takođe fer: Ako se jedan vektor može izraziti kroz drugu, tada se takvi vektori nužno kolinore. Na ovaj način: ako vektor pomnožimo na broj, a zatim kolinoar (u odnosu na početnu) vektor.

4) Vektori su obloženi. Vektori i presvučeni su i. Bilo koja od prve grupe prve grupe suprotno je usmjerena prema bilo kojoj drugoj grupi Vector.

Koji su vektori jednaki?

Dva vektora jednaki su ako su zalažene i imaju istu dužinu.. Imajte na umu da hladnjak podrazumijeva kolibranost vektora. Definicija će biti netačna (suvišna) ako kažete: "Dva vektora jednaka su ako su kolinore, obložene su i imaju istu dužinu."

Sa stanovišta koncepta besplatnog vektora, jednaki vektori su isti vektor koji se već dogodilo u prethodnom stavku.

Koordinate vektora u ravnini i u prostoru

Prva točka razmotri vektore u avionu. Prikazujet ću kartezijski pravokutni koordinatni sustav i odgoditi od početka koordinata singl Vektori i:

Vektori I. ortogonalan. Ortogonalno \u003d okomito. Preporučujem da se polako navikne na termine: umjesto paralelizma i okomitosti, koristimo riječi u skladu s tim collinearnost i ortogonalnost.

Oznaka: Ortogonalnost vektora bilježi uobičajenu ikonu okomitosti, na primjer :.

Pozvani su vektori koji se razmatraju koordinirani vektori ili orty. Ovi vektori obrazac osnova na površini. Što je osnova, mislim, intuitivno mnogo razumljivih, detaljnije informacije mogu se naći u članku. Linearna (ne) vektorska ovisnost. Osnovni vektori. Nadručnjujuće riječi, osnova i početak koordinata postavljaju cijeli sustav - ovo je vrsta temelja na kojoj se kuha cjelovite i zasićene geometrijske životne vijek.

Ponekad izgrađena baza koja se zove ortorormativan Osnova ravnine: "Orto" - jer su koordinatni vektori pravokutni, pridjev "normaliziran" znači jedan, i.e. Dužina baznih vektora jednaka je jednoj.

Oznaka: Osnova se obično zabilježe u zagradama unutar kojeg u strogom sekvenci Navedeni osnovni vektori, na primjer :. Koordinirani vektori nemoguće je Preurediti na mjestima.

Bilo koji Vektorski avion jedini način izraženo u obliku:
gde - brojevipozvan koordinate vektora U ovoj bazi. I sam izraz pozvan dekompozicija vektora Osnova .

Večera poslužena:

Započnimo s prvim slovom abecede :. Prema crtežu, jasno se vidi da je kada se vektor raspada u osnovi, upravo razmotren:
1) pravilo vektorskog pomnožavanja po broju: i;
2) dodavanje vektora pravila trokuta :.

A sada mentalno postavi vektor sa bilo koje druge točke aviona. Jasno je da će ga njegova raspadanje biti "nemilosrdno pratiti". Evo ga, sloboda vektora - vektor "svi se nose s vama." Ova nekretnina, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da osnovni (besplatni) vektori nisu potrebni za odlaganje od početka koordinata, na primjer, može se izvući na lijevu na dnu, a druga je s desne strane, a ništa se neće promijeniti! Istina, nije potrebno učiniti, jer će učitelj također pokazati originalnost i izvući vas "pripisanim" na neočekivano mjesto.

Vektori, ilustriraju točno pravilo o množenju vektora po broju, vektor je usmjeren sa osnovnim vektorom, vektor je usmjeren nasuprot baznoj vektoru. Podaci vektora jedna su od koordinata je nula, može se snimiti da:


I osnovni vektori, usput, tako: (u stvari ih se izražavaju kroz sebe).

I na kraju: ,. Usput, koliki je oduzimanje vektora i zašto nisam rekao o pravilu za odbitak? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje sam napomenuo da je oduzimanje poseban slučaj dodavanja. Dakle, raspadanje vektora "de" i "e" nalaze se tiho u obliku iznosa: . Preuredite komponente mjesta i slijedite crtež, kao stari dobar dodatak vektora prema pravilu trokuta jasno djeluje u tim situacijama.

Smatra se raspadanjem tipa Ponekad se naziva raspadanjem vektora u ORT sistemu (tj. u sistemu pojedinačnih vektora). Ali to nije jedini način za snimanje vektora, podijeljena je sljedeća opcija:

Ili sa znakom jednakosti:

Osnovni vektori su napisani na sljedeći način: i

To je u zagradama, naznačene su koordinate vektora. U praktičnim zadacima koriste se sve tri opcije snimanja.

Sumnjao da li ću reći, ali još uvijek ću reći: koordinate vektora ne mogu se preurediti. Strogo na prvom mjestu Zapišite koordinatu koja odgovara vektoru jedinice strogo na drugom mjestu Zapisujemo koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru. Zaista, i - to je zato što dva različita vektor.

Koordinate u avionu shvatile su. Sada razmislite o vektorima u trodimenzionalnom prostoru, ovdje gotovo sve iste! Dodajte samo drugu koordinatu. Trodimenzionalni crteži tvrdi, pa ću ograničiti isti vektor, koji će se za jednostavnost odgoditi od početka koordinata:

Bilo koji Vector trodimenzionalni prostor može jednostan način Pomičite se kroz ortonormalnu osnovu:
, gdje - koordinate vektora (brojevi) u ovoj bazi.

Primjer sa slike: . Da vidimo kako ovdje rade pravila akcije sa vektorima. Prvo, množenje vektora je: (crvena strelica), (zelena strelica) i (šalarska strelica). Drugo, primjer dodavanja nekoliko, u ovom slučaju tri, vektori :. Vektor iznosa započinje po početnoj točki odlaska (početak vektora) i zaglavio u krajnjem mjestu dolaska (krajnji vektor).

Svi trodimenzionalni vektori su prirodno besplatni, pokušajte mentalno odgoditi vektor iz bilo koje druge točke, a vi ćete shvatiti da će njegova raspadanje ostati s tim. "

Slično ravnom slučaju, pored snimanja Verzije sa nosačima se široko koriste: bilo.

Ako u raspadanju nema nikoga (ili dva) koordiniranja u raspadanju, a zatim se stavljaju nuros. Primjeri:
Vektor (pažljiv) ) - pisati;
Vektor (pažljiv) ) - pisati;
Vektor (pažljiv) ) - Mi pišemo.

Osnovni vektori su napisani na sljedeći način:

To je možda sva minimalna teorijska znanja potrebna za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda malo pojmova i definicija, pa preporučujem ponovo pročitati čajnice i ponovo razumjeti ove informacije. I bilo koji čitač će biti koristan s vremena na vrijeme da se obratite osnovnoj lekciji za bolje savladavanje materijala. Colinearity, ortologija, ortonormalna osnova, raspadanje vektora - ovi i drugi pojmovi često će se koristiti u budućnosti. Primjećujem da materijali web mjesta nisu dovoljni da prođu teorijski test, kolokvij na geometriju, jer sve teoremi (štoviše bez dokaza) Pažljivo sam šifrirao - na štetu naučnog stila prezentacije, ali plus za vaše razumijevanje subjekta. Da biste dobili detaljnu teorijsku referencu, tražim luk profesoru Atanasyan.

I okrećemo se praktičnom dijelu:

Najjednostavniji zadaci analitičke geometrije.
Akcije sa vektorima u koordinatama

Zadaci koji će se smatrati izuzetno su poželjni da se nauče rješavati na kompletnoj mašini, ali formulas zapamtite svetoČak se posebno ne pamti, pamtit će \u003d) Ovo je vrlo važno jer se drugi zadaci analitičke geometrije zasnivaju na najjednostavnijim elementarnim primjerima i iznervirat će dodatno vrijeme za jelo zalagaonice. Nema potrebe za bljeskanjem gornjim gumbima na košulji, mnoge su se stvari poznate iz škole iz škole.

Prezentacija materijala će ići paralelno sa avionom i za prostor. Iz razloga što sve formule ... vide sebe.

Kako pronaći vektor na dvije točke?

Ako se daju dva aviona i, vektor ima sljedeće koordinate:

Ako postoje dvije točke prostora i, vektor ima sljedeće koordinate:

I.e, iz vektorskih krajnjih koordinata treba odbiti odgovarajuće koordinate početak vektora.

Zadatak: Za iste tačke zapišite formulu pronalaženja koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1.

Postoje dvije tačke aviona i. Pronađite koordinate vektora

Odluka: Prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, mogli biste koristiti sljedeći unos:

Estetelji su riješeni na sljedeći način:

Lično sam nekada bio prva verzija snimanja.

Odgovor:

Pod uslovom nije bilo potrebno izgraditi crtež (koji je tipičan za zadatke analitičke geometrije), ali da bi se objasnili neki trenuci na čapljenje, ne odgovaraju:

Obavezno razumjeti razlika između koordinata točaka i koordinata vektora:

Koordinate točke - Ovo su uobičajene koordinate u pravougaonom koordinatnom sistemu. Spremanje bodova na koordinatnom ravninu, mislim da su svi u mogućnosti još iz klase 5-6. Svaka tačka ima strogo mjesto u ravnini i premjestiti ih negdje ne može se premjestiti.

Koordinate istog vektora - Ovo je njegova osnova na osnovu ovog slučaja. Bilo koji vektor je besplatan, pa ako je potrebno, lako ga možemo odgoditi iz neke druge točke aviona. Zanimljivo je da za vektore uopće ne možete graditi osovinu, pravokutni koordinatni sustav, samo je potreban samo na osnovu ortonormalne osnove aviona.

Čini se da su evidencija koordinata točaka i koordinata vektora slično: i značenje koordinata apsolutno različitI trebali biste dobro razumjeti ovu razliku. Ova razlika, naravno, važi za prostor.

Dame i gospodo, uzmite ruku:

Primer 2.

a) Donirana točka i. Pronađite vektore i.
b) donas I. Pronađite vektore i.
c) datumi i. Pronađite vektore i.
d) datumi. Pronađite stihove .

Možda dovoljno. Ovo su primjeri za neovisno rješenje, pokušajte ih ne zanemariti, isplatiti ;-). Crteži ne trebaju raditi. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Šta je važno prilikom rješavanja zadataka analitičke geometrije? Važno je biti izuzetno pažljivo kako bi se spriječila radionica pogreške "dva plus dva jednaka nuli." Odmah se izvinjavam ako sam pogrešio \u003d)

Kako pronaći dužinu segmenta?

Dužina, kao što je već napomenuta, označava znak modula.

Ako su date dvije tačke aviona i, tada se dužina segmenta može izračunati formulom

Ako postoje dvije točke prostora i, tada se dužina segmenta može izračunati formulom

Bilješka: Formule će ostati tačno ako su relevantne koordinate preuređene mesta: i, ali više standarda je prva opcija.

Primjer 3.

Odluka: Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Za jasnoću, izvest ću crtež

Odjeljak - ovo nije vektorI premjestite ga negdje, naravno, nemoguće je. Takođe, ako izvršite crtež na skali: 1 jedinicu. \u003d 1 cm (dvije zračne ćelije), tada se rezultirajući odgovor može provjeriti konvencionalnom linijom, direktno mjerenje dužine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali još uvijek postoji nekoliko važnih trenutaka koje bih želio razjasniti:

Prvo, kao odgovor, stavljamo dimenziju: "jedinice". Stanje ne kaže da su milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će matematički nadležno rješenje biti opća formulacija: "Jedinice" - skraćene "jedinice".

Drugo, ponavljamo školski materijal koji je koristan ne samo za razmatran zadatak:

obratite pažnju na važna tehnička tehnika – priključivanje ispod korijena. Kao rezultat proračuna imali smo rezultat i dobar matematički stil uključuje čineći faktor pod korijenom (ako je moguće). Više postupak izgleda ovako: . Naravno, da ostavite odgovor u obrascu neće biti pogreška - ali nedostatna stvar je sigurno i težak argument za vojnike od učitelja.

Evo i drugih zajedničkih slučajeva:

Često, pod korijenom, na primjer, dobije se dovoljno veliki broj. Kako biti u takvim slučajevima? U kalkulatoru provjerite je li broj podijeljen u 4 :. Da, podijeljen je, na taj način podijeljen: . Ili možda će se broj još jednom podijeliti u 4? . Na ovaj način: . U broju je posljednja figura čudna, stoga, podijeljena treći put u 4, očito nije moguće. Trudimo se da podijelimo devet :. Kao rezultat:
Spremni.

Izlaz: Ako je broj u korijenu, broj se dobija, pokušavamo izdržati množitelja ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo je li broj podijeljen sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Tijekom rješenja različitih problema često se nalaze, uvijek pokušavaju izdvojiti množitelje iz korijena kako bi se izbjegla niža procjena nepotrebnih problema sa poboljšanjem vaših odluka u skladu sa komentarom učitelja.

Idemo istovremeno ponavljamo izgradnju korijena u trg i druge stupnjeve:

Pravila djelovanja sa stupnjevima općenito mogu se naći u školskom udžbeniku o algebri, ali mislim, iz gore navedenih primjera, sve ili gotovo sve je već jasno.

Zadatak za neovisno rešenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4.

Dana tačkice i. Pronađite dužinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kako pronaći dužinu vektora?

Ako je dat vektorski avion, njegova dužina izračunava formulom.

Ako je vektor prostora dat, njegova dužina izračunava se formulom .

Algebarska projekcija vektora Za svaku osovinu jednak je proizvodu dužine vektora na kosinu ugao između osi i vektora:

PR a b \u003d | b | cos (a, b) ili

Gdje je b skalarni proizvod vektora, | a | - vektorski modul a.

Uputstvo. Da biste pronašli projekciju PP A B vektora u mrežnom režimu, morate odrediti koordinate vektora A i b. U ovom slučaju vektor se može postaviti u ravninu (dvije koordinate) i u prostoru (tri koordinate). Dobiveno rješenje je spremljeno u datoteku riječi. Ako su vektori postavljeni kroz koordinate točaka, potrebno je koristiti ovaj kalkulator.

Set:
dvije koordinate vektora
tri koordinate vektora
O: ; ;
B: ; ;

Klasifikacija projekcija vektora

Vrste projekcija po definiciji. Vektorska projekcija

Vrste projekcija koordinatnim sistemom

Svojstva vektora projekcije

1. Geometrijska vektorska projekcija je vektor (ima smjer).
2. Algebarska vektorska projekcija je broj.

Teoremi vektorske projekcije

Theorem 1. Projekcija zbroja vektora na bilo kojoj osi jednaka je projekciji komponenti vektora na istoj osi.

Theorem 2. Algebarska projekcija vektora na bilo kojoj osi jednaka je proizvodu dužine vektora na kosinu ugao između osi i vektora:

PR a b \u003d | b | cos (a, b)

Vrste projekcija vektora

1. projekcija na osi Ox.
2. projekcija na osovini Oi.
3. projekcija vektora.

Projekcija na osi Ox	Projekcija OY-os	Projekcija na vektoru
Ako se smjer vektora a'b 'poklapa sa smjerom osi Ox, tada je projekcija vektora A'b' ima pozitivan znak.	Ako se smjer vektora A'B 'podudara sa smjerom osi Oi, tada projekcija vektora A'b' ima pozitivan znak.	Ako se smjer vektora A'B 'podudara sa smjerom vektora NM, tada projekcija vektora A'b' ima pozitivan znak.
Ako je smjer vektora suprotan smjeru osi Ox, zatim projekcija vektora A'b 'ima negativan znak.	Ako je smjer vektora A'B 'suprotan smjeru osovi Oi, tada projekcija vektora A'b' ima negativan znak.	Ako je smjer vektora A'B 'suprotan smjeru vektora NM, projekcija vektora A'b' ima negativan znak.
Ako je vektor AB-a paralelna osovina Ox, a zatim projekcija vektora A'b je jednak AB vektorskom modulu.	Ako je vektor AB paralelna osovina, tada je projekcija vektora A'B-a jednaka AB vektorskom modulu.	Ako je vektor AB paralelan sa NM vektorom, tada je projekcija vektora A'B-a jednak AB vektorskom modulu.
Ako je vektor AB okomit na osi Ox, tada je projekcija A'b 'je nula (nula-vektor).	Ako je vektor AB okomit na osovinu OY, tada je projekcija A'B 'nula (nula-vektor).	Ako je vektor AB okomit na NM vektor, tada je projekcija A'B 'nula (nula-vektor).

1. Pitanje: Može li projekcija vektora imati negativan znak. Odgovor: Da, vektorske projekcije mogu biti negativna vrijednost. U ovom slučaju vektor ima suprotan smjer (pogledajte kako se usporava osi i AB vektor)
2. Pitanje: Može li vektorska projekcija podudarati sa vektorskim modulom. Odgovor: Da, možda. U ovom slučaju vektori su paralelni (ili leže na jednoj ravni).
3. Pitanje: Može li projekcija vektora biti nula (nula-vektor). Odgovor: Da, možda. U ovom slučaju vektor je okomit na odgovarajuću osovinu (vektor).

Primjer 1. Vektor (Sl. 1) oblika sa osi Ox (postavlja se po vektor A) ugao 60 o. Ako je OE jedinica razmjera, a zatim | B | \u003d 4, pa tako .

Zaista, dužina vektora (geometrijska projekcija b) je 2, a smjer se podudara sa smjerom osi Ox.

Primjer 2. Vektor (Sl. 2) oblici sa osi Ox (sa vektornim a) ugao (A, B) \u003d 120 O. Dužina | B | Vektor B je 4, dakle, PR a b \u003d 4 · cos120 o \u003d -2.

Zaista, dužina vektora jednaka je 2, a smjer je suprotan smjeru osi.

Vektor je uobičajen za pozivanje segmenta koji ima određeni smjer. I početak i kraj vektora imaju fiksni položaj, uz pomoć se određuje vektorski smjer. Razmislite o detaljnije kako izgraditi vektor prema navedenim koordinatama.

1. Držite koordinatni sustav (X, Y, Z) u svemiru, označite pojedinačne segmente na osi.
2. Odgoditi željene koordinate na dvije osi, provesti iz njih isprekidana linija, paralelno sa sjekirama, prije raskrižja. Točka raskrižja naučit će da je potrebno povezati isprekidanu liniju s početkom koordinata.
3. Prekinite vektor od početka koordinata na rezultirajuću točku.
4. Da biste odgodili željeni broj na trećoj osi, kroz ovu tačku za obavljanje isprekidane linije, koja će biti paralelna sa izgrađenim vektorom.
5. Od kraja vektora za održavanje isprekidane linije, paralelno s trećim osi prije raskrižja s linijom iz prošle točke.
6. Na kraju povežite porijeklo koordinata i rezultirajuća tačka.

Ponekad je potrebno izgraditi vektor koji će rezultirati dodavanjem ili oduzimanjem drugih vektora. Stoga ćemo sada pogledati operacije sa vektorima, naučiti kako ih saviti i odbiti.

Vektorske operacije

Geometrijski vektori mogu se dodati na nekoliko načina. Na primjer, najčešći način dodavanja vektora je pravilo trokuta. Da biste savijali dva vektora prema ovom pravilu, potrebno je organizirati vektore paralelno jedni drugima na takav način da početak prvog vektora poklapa s krajem drugog, dok će treća strana rezultirajućeg trokuta biti zbroj iznosa.

Takođe možete izračunati zbroj vektora u skladu sa pravilom za melelogram. Vektori bi trebali započeti iz jedne tačke, paralelno sa svakim vektorom koji trebate nacrtati liniju tako da je na kraju pokazao paralelogram. Dijagonala izgrađenog paralelograma bit će zbroj ovih vektora.

Da biste iskoristili dva vektora, morate dodati prvi vektor i vektor koji će biti suprotan drugi. Za to se koristi i pravilo trokuta, što ima sljedeću formulaciju: razlika vektora koji se prenose na takav način da se njihov početak podudaraju, je vektor, što se početak podudara s krajnjeg oduzetog vektora, kao kao i sa kraj smanjenim vektorom.

Vektor je uobičajen za pozivanje segmenta koji ima određeni smjer. I početak i kraj vektora imaju fiksni položaj, uz pomoć se određuje vektorski smjer. Razmislite o detaljnije kako izgraditi vektor prema navedenim koordinatama.

1. Držite koordinatni sustav (X, Y, Z) u svemiru, označite pojedinačne segmente na osi.
2. Odgoditi željene koordinate na dvije osi, provesti iz njih isprekidana linija, paralelno sa sjekirama, prije raskrižja. Točka raskrižja naučit će da je potrebno povezati isprekidanu liniju s početkom koordinata.
3. Prekinite vektor od početka koordinata na rezultirajuću točku.
4. Da biste odgodili željeni broj na trećoj osi, kroz ovu tačku za obavljanje isprekidane linije, koja će biti paralelna sa izgrađenim vektorom.
5. Od kraja vektora za održavanje isprekidane linije, paralelno s trećim osi prije raskrižja s linijom iz prošle točke.
6. Na kraju povežite porijeklo koordinata i rezultirajuća tačka.

Ponekad je potrebno izgraditi vektor koji će rezultirati dodavanjem ili oduzimanjem drugih vektora. Stoga ćemo sada pogledati operacije sa vektorima, naučiti kako ih saviti i odbiti.

Vektorske operacije

Geometrijski vektori mogu se dodati na nekoliko načina. Na primjer, najčešći način dodavanja vektora je pravilo trokuta. Da biste savijali dva vektora prema ovom pravilu, potrebno je organizirati vektore paralelno jedni drugima na takav način da početak prvog vektora poklapa s krajem drugog, dok će treća strana rezultirajućeg trokuta biti zbroj iznosa.

Takođe možete izračunati zbroj vektora u skladu sa pravilom za melelogram. Vektori bi trebali započeti iz jedne tačke, paralelno sa svakim vektorom koji trebate nacrtati liniju tako da je na kraju pokazao paralelogram. Dijagonala izgrađenog paralelograma bit će zbroj ovih vektora.

Da biste iskoristili dva vektora, morate dodati prvi vektor i vektor koji će biti suprotan drugi. Za to se koristi i pravilo trokuta, što ima sljedeću formulaciju: razlika vektora koji se prenose na takav način da se njihov početak podudaraju, je vektor, što se početak podudara s krajnjeg oduzetog vektora, kao kao i sa kraj smanjenim vektorom.

Pažnja, samo danas!

Drugi

Da bi se obavljala operacija dodavanja vektora, postoji nekoliko načina da, ovisno o situaciji ...

Vektor je matematički objekt koji karakterizira smjer i vrijednost. U geometriji se vektor zove ...

U matematici pod vektorom shvaćeno je kao segment određene dužine koja ima smjer i koordinate u osi X, Y, Z. Pitanje ...

Kut između dva vektora koji idu iz jedne poente je najbliži ugao, na koji se nalazi, na kojem, prvi vektor ...

Ako znate prostorne koordinate dva ili više bodova u određenom sistemu, tada zadatak: Kako pronaći dužinu ...

Odredite dužinu segmenta moguća na različite načine. Da biste saznali kako pronaći dužinu segmenta, dovoljno je imati u ...

Ubrzanje je brzina promjena brzine. Ova veličina je vektor, ima svoj smjer i mjeri se u m / s 2 (u ...

Uz pomoć pravila ruže, odlučuje se uputstva magnetnih linija (različito su nazivaju i redovi magnetske ...

U crtežima se slike geometrijskih tijela grade pomoću metode projekcije. Ali za ovu sliku ...

Riječ "ordinatvori" dogodila se od latinskog "ordinatusa" - "koja se nalazi u redu". Ordinate - čisto matematički ...

Modul broja drugačije se naziva apsolutnom vrijednošću ovog broja. U slučaju da se pod znakom modula košta ...

Da bi se pronašli koordinate vrha jednakostraničnog trougla, ako su poznate koordinate ostalih dva njenih vrhova, ...

Pitate se kako izračunati i pronaći srednju liniju trougla. Zatim za posao. U dužini srednje linije ...

Razmislite o detaljnijem što ubrzanje u fizici? Ovo je telo za poruke dodatne brzine po jedinici vremena. ...

Prije nego što znate kako pronaći područje paralelograma, moramo se sjetiti šta su paralelogrami i to ...

Prvi nivo

Koordinate i vektori. Iscrpni vodič (2019)

U ovom ćemo članku započeti raspravu o jednom "štapovima za sepkice", što će vam omogućiti da smanjite mnoge zadatke geometrije za jednostavnu aritmetiku. Ovaj "palica" može značajno olakšati vaš život, posebno u slučaju kada se ne žalite u izgradnji prostornih figura, odjeljaka itd. Sve to zahtijeva određenu maštu i praktične vještine. Metoda, koju ćemo početi smatrati ovdje, omogućit će vam gotovo potpuno apstraktno od svih vrsta geometrijskih konstrukcija i obrazloženja. Metoda se zove "Koordinata metoda". U ovom ćemo članku razmotriti sljedeća pitanja:

1. Koordinatni avion
2. Bodovi i vektori u avionu
3. Izgradnja vektora duž dve tačke
4. Dužina vektora (udaljenost između dvije bodove)
5. Koordinate sredine reza
6. Vektori skalarnog proizvoda
7. Ugao između dva vektora

Mislim da ste već pretpostavljali zašto je koordinatni metod tako nazivan? Tačno, primio je takvo ime, jer djeluje ne s geometrijskim objektima, već s njihovim numeričkim karakteristikama (koordinate). I sam konverzija, koja vam omogućava prelazak iz geometrije u Algebru, uvođenje koordinatnog sistema. Ako je izvorna figura bila ravna, tada su koordinate dvodimenzionalne, a ako su figura za formiranje, tada su koordinate trodimenzionalne. U ovom ćemo članku razmotriti samo dvodimenzionalni slučaj. A glavna svrha članka je naučiti da koristite neke osnovne tehnike koordinatnog metode (oni su ponekad korisne u rješavanju problema u planomitriji u korištenju dijela B). Sljedeća dva odjeljka na ovom subjektu posvećena su rasprava o istim metodama za rješavanje problema zadataka C2 (zadatak za stereometriju).

Zašto bi bilo logično početi raspravljati o načinu koordinata? Verovatno, sa konceptom koordinatnog sistema. Zapamtite kad ste se prvi susreli. Čini mi se da, na primjer, u 7. razredu, kada ste saznali za postojanje linearne funkcije. Da vas podsetim, izgradili ste ga na bodovima. Sjećaš li se? Odabrali ste proizvoljni broj, zamijenili ga u formulu i izračunali na ovaj način. Na primjer, ako, ako, ako, onda itd., Šta ste na kraju dobili? I dobio sam tačku sa koordinatama: i. Sledeće ste naslikali "Cross" (koordinatni sustav), izabrali su na nju (koliko ćelija ćete imati jedan segment) i navesti na njemu primljene bodove, što je potom kombiniralo ravnu liniju, nastala linija i ima Funkcija grafikona.

Postoji nekoliko trenutaka koje vam treba objasniti još malo:

1. Jedan segment koji odaberete iz razloga, tako da je sve lijepo i kompaktno uklapa na sliku

2. Prihvaćeno je da se osovina prepušta desno, a osovina je do dna

3. Presijecaju se pod pravim uglom, a tačka njihovog raskrsnice naziva se početkom koordinata. To je naznačeno pismom.

4. U snimku koordinata točke, na primjer, s lijeve strane u zagradama nalazi se bodovna koordinata duž osi i s desne strane, duž osi. Posebno jednostavno znači da je tačka

5. Da biste postavili bilo koju točku na koordinatnoj osovini, potrebno je odrediti njegove koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju točku koja leži na osovini,

7. Za bilo koju točku leže na osi,

8. Osovina se naziva apscisna osovina

9. Osovina se naziva ordinat osovina

Sada napravimo sljedeći korak s vama: bilježimo dvije bodove. Povežite ove dvije tačke sa segmentom. I stavite strelicu kao da provedemo segment iz točke u točku: to jest, napravit ćemo naš segment usmjeren!

Sjećate se kako se drugačije naziva režirani segment? Istina, naziva se vektor!

Dakle, ako povežemo tačku sa poantom, Štaviše, imaćemo tačku A i kraj - točka B, Tada dobijamo vektor. Jeste li napravili ovu zgradu i u 8. razredu, sjećate se?

Ispada da se vektori, poput bodova, mogu označiti dva broja: ti se brojevi nazivaju vektorskim koordinatama. Pitanje: Mislite li da nam je dovoljno da znamo koordinate početka i kraja vektora da pronađu njegove koordinate? Ispada da! I to se radi vrlo jednostavno:

Dakle, budući da je vektor dot-a početak, a kraj, vektor ima sljedeće koordinate:

Na primjer, ako su koordinate vektora

Sada učinimo naprotiv, mi ćemo pronaći koordinate vektora. Šta bismo trebali promijeniti za ovo? Da, morate zamijeniti početak i završiti: Sada će početak vektora biti u točku, a kraj je u tački. Zatim:

Pogledajte pažljivo, koja je razlika između vektora i? Njihova jedina razlika su znakovi u koordinatama. Su suprotni. Ova činjenica je prihvaćena da se ovako bilježi:

Ponekad, ako nije konkretno propisano, koja je točka početak vektora i kako se kraj vektori označavaju dva velika slova, ali jedna linija, na primjer: itd.

Sada malo perati I pronađite koordinate sljedećih vektora:

Provjerite:

A sada odlučujući problem malo složenije:

Stoljeće sa na-chap-om u točki ima ko-ili-di-na-ti. Nai-dite ABS CISS DOP.

Sve je isto prilično prozna: neka koordinate poenta. Onda

Ja sam sistem za određivanje koje koordinate vektora. Tada tačka ima koordinate. Zainteresovani smo za apscisu. Onda

Odgovor:

Šta još možete učiniti sa vektorima? Da, gotovo sve isto kao i kod običnih brojeva (osim ako ne podijelite, moguće je umnožiti na dva načina, od kojih ćemo ovdje malo kasnije razgovarati o jednom kasniju.

1. Vektori se mogu saviti jedni s drugima
2. Vektori se mogu odbiti jedna od druge
3. Vektori se mogu pomnožiti (ili podeliti) na proizvoljni non brojevi
4. Vektori se mogu pomnožiti jedna od druge

Sve ove operacije imaju potpuno vizualni geometrijski prikaz. Na primjer, pravilo trokuta (ili paralelogram) za dodavanje i oduzimanje:

Vektor se proteže ili komprimira ili mijenja smjer prilikom množenja ili dijeljenja sa:

Međutim, ovdje ćemo biti zainteresirani za pitanje onoga što se događa s koordinatama.

1. Kada dodajete (oduzimanje) dva vektora, preklopimo (oduzmi) naizmjenično njihove koordinate. I.E:

2. Prilikom množenja (podjela) vektora po broju, sve njegove koordinate se množe (podijeljene) na ovaj broj:

Na primjer:

· Nay-umre zbroj ko-ili-nat očnih kapka.

Prvo nađemo koordinate svakog od vektora. Obojica imaju isti početak - tačku porijekla. Imaju različite krajeve. Onda. Sada izračunavamo koordinate vektora, tada je zbroj koordinata rezultirajućeg vektora jednak.

Odgovor:

Sada je sljedeći zadatak:

· Pronađite zbroj koordinata vektora

Provjerite:

Razmotrimo sada sljedeći zadatak: imamo dvije tačke na koordinatnom ravninu. Kako pronaći udaljenost između njih? Neka prva tačka bude, a druga. Označavaju udaljenost između njih. Napravimo sljedeći crtež za jasnoću:

Šta sam učinio? Prvo, prvo, povezane bodove i, i i proveo sam i iz tačke, paralelno sa osi i proveo liniju od točke paralelne sa osi. Jesu li prešli u trenutku formiranjem prekrasne figure? Šta je divno? Da, gotovo samo znamo o pravougaonom trokutu. Pa, teorema Pythagore - sigurno. Željeni segment je hipotenuza ovog trougla, a segmenti su kartete. Koje su koordinate točke? Da, lako ih je pronaći na slici: Budući da su segmenti paralelni sa osi i, u skladu s tim, njihove dužine su jednostavne za pronalaženje: ako označite dužinu segmenata, odnosno, odnosno

Sada koristimo pitagorejsku teoremu. Znamo dužinu kašaša, naći ćemo hipotenuzu:

Stoga je udaljenost između dvije točke korijen zbroja kvadrata razlika iz koordinata. Ili - udaljenost između dvije točke je dužina segmenta, koji ih povezuje. Lako je primijetiti da udaljenost između bodova ne ovisi o smjeru. Zatim:

Odavde napravimo tri izlaza:

Uzmimo malo vježbanja u proračunu udaljenosti između dviju bodova:

Na primjer, ako je udaljenost između i jednaka

Ili idemo drugačije: nalazimo koordinate vektora

I pronađite dužinu vektora:

Kao što vidite, ista stvar!

Sada prakticirajte malo:

Zadatak: Pronađite udaljenost između navedenih točaka:

Provjerite:

Evo još jednog para zadataka na istoj formuli, iako zvuče malo drugačije:

1. Nay-di kVAd-pacov duljine kapka.

2. Nay-di kVAd-pacov dužine eyelid-ra

Mislim da jeste, da li ste lako upravljali sa njima? Provjerite:

1. I to je na pažljivosti) već smo pronašli koordinate vektora i ranije :. Tada vektor ima koordinate. Trg njegove dužine bit će jednak:

2. Pronađite vektorske koordinate

Tada je kvadrat njegove dužine jednak

Ništa teško, zar ne? Obična aritmetika, nema više.

Sljedeći zadaci ne mogu se klasificirati nedvosmisleno, oni su više poput općeg erudicije i nacrtaju jednostavne slike na sposobnost.

1. Nay-di Sinus ugao ugla na-klo-on od reza, ko-jedinica-in-y-th tačke, sa osi apsissa.

i

Kako ćemo doći ovamo? Potrebno je pronaći sinusni kut između i osi. A gdje znamo kako tražiti sinus? Istina, u pravokutnog trougla. Pa šta trebamo učiniti? Izgradite ovaj trokut!

Budući da su koordinate točke i, tada je segment jednak, i segment. Moramo pronaći sinusni ugao. Podsjetit ću vas da je sinus odnos suprotne kateke za hipotenuzu, onda

Šta da radimo? Pronađite hipotenuzu. Možete to učiniti na dva načina: prema teoremima Pitagore (Katenette su poznate!) Ili do formule udaljenosti između dviju bodova (zapravo ista stvar kao prvi put!). Otići ću drugo:

Odgovor:

Sljedeći zadatak će vam se činiti još lakšim. Ona je na koordinatama tačke.

Zadatak 2. Od točke Oposchn olovke za olovke na osi ABS-a. Nai-dite ABS CIS-su OS-no-via-pen-di-ku-la-ra.

Napravimo crtež:

Baza okomište je tačka u kojoj prelazi osi apscisa (os) je poenta. Slika pokazuje da ima koordinate:. Zanima nas Abscisa - to jest, komponenta "unca". Jednako je.

Odgovor: .

Zadatak 3. Prema uvjetima prethodnog zadatka, pronađite količinu udaljenosti od točke do koordinatnih osi.

Zadatak je uglavnom elementarni ako znate koja je udaljenost od točke do osovina. Ti znaš? Nadam se, ali još uvijek vas podsjeća na:

Dakle, na mom crtežu koji se nalazim iznad gore, već sam prikazivao jednu takvu okomitu? Koja je osa? Na osovinu. I koja je duljina njegove dužine tada? Jednako je. Sada imam okomito na osovinu i pronalazim ga duljinu. Bit će jednak, zar ne? Tada je njihov iznos jednak.

Odgovor: .

Zadatak 4. U pogledu problema 2, pronađite redoslijed poantu, simetrična tačka u odnosu na osovinu apscisa.

Mislim da ste intuitivno jasni koju je simetriju? Veoma mnogo predmeta koje posjeduje: mnoge zgrade, stolovi, avioni, mnogo geometrijskih oblika: kuglica, cilindar, trg, romb, itd. Grubo govore, simetrija se može shvatiti kao: ta brojka sastoji se od dvije (ili više) iste polovine. Takva simetrija naziva se aksijalnim. Šta je onda osovina? Ovo je ista linija u kojoj se broj može, relativno govoriti, "rezati" na istim polovicama (na ovoj slici, osovina simetrije je ravna):

Sada se vratimo na naš zadatak. Znamo da tražimo poantu, simetrični o osovini. Tada je ova osovina simetrijska osovina. Dakle, moramo spomenuti takav poantu tako da se osovina može smanjiti segment u dva jednaka dijela. Probajte sebi da proslavite tako tačku. I sada uporedite sa mojom odlukom:

Jeste li to učinili? U redu! Na ustanovištu smo zainteresirani za običan. Jednak je

Odgovor:

A sad mi recite misleći sekunde, šta će apscisska tačka, simetrična tačka u odnosu na ordinat osovine? Koji je tvoj odgovor? Tačan odgovor: .

U općem slučaju, pravilo se može napisati ovako:

Poanta, simetrična tačka u odnosu na osovinu apscisa, ima koordinate:

Point, simetrična tačka u odnosu na ordinat osovine, ima koordinate:

Pa, sada prilično strašno zadatak: Pronađite koordinate točke, simetrične tačke, u odnosu na početak koordinata. U početku razmisli o sebi, a onda pogledaj moj crtež!

Odgovor:

Sad Problem s zaklonom:

Zadatak 5: Bodovi Java-Way-Sia Ver-Shi-na parale-le-lo gram ma. Nay-die ili di-naint.

Ovaj problem možete riješiti na dva načina: logiku i način koordinata. Prvo primjenjujem koordinatnu metodu, a onda ću vam reći kako da riješite inače.

Jasno je da je točka apscissa jednaka. (Laži se na okomito provedenom od tačke na osi apscisa). Moramo pronaći ordinaciju. Koristimo činjenicu da je naša figura paralelogram, to znači to. Pronađite dužinu segmenta pomoću formule udaljenosti između dvije točke:

Spustite okomite za povezivanje tačke sa osi. Točka raskrižja ukazuje na slovo.

Dužina segmenta je jednaka. (Pronađite sam zadatak, gde smo razgovarali o ovom trenutku), tada pronalazimo dužinu segmenta na teorem pitagori:

Dužina segmenta - tačno se podudara sa njegovom ordinatom.

Odgovor: .

Još jedno rješenje (samo ću dati sliku koja ilustrira)

Rješenje:

1. ponašati se

2. Pronađite koordinate točke i dužine

3. Dokažite to.

Još jedan problem s dužinom reže:

Bodovi Java-Lyube-Sia Ver-Shi-On-Mire tre-ug ugljen-ni. Nai di Dužina njegove srednje linije, paralera-LELLE.

Sjećate li se šta je srednja linija trougla? Zatim za vas je ovaj zadatak elementarni. Ako se ne sjetite, podsjetit ću vas: srednja linija trougla je linija koja povezuje sredinu suprotne strane. Paralelno je sa bazom i jednaka je pola polovine.

Baza je segment. Njegova dužina morali smo izgledati ranije, jednak je. Tada je dužina srednje linije napola manja i jednaka.

Odgovor: .

Komentar: Ovaj zadatak se može riješiti na drugi način na koji se prevržemo malo kasnije.

U međuvremenu, sada imate nekoliko zadataka, poletite na njih, potpuno su jednostavni, ali pomažu "ispuniti ruku", na korištenje koordinatne metode!

1. bodovi Java-la-Sia Ver-Shi-On-Tour-Penacija. Nai DS dužina svoje linije okruženja.

2. Points i Java-Wa-Sia Ver-Shi-na parale-le-lo gram ma. Nay-die ili di-naint.

3. Nay-di Dužina iz CUT-KA, ko-jedinica-NY-Y-TH Point i

4. Nai di-tures kraj-shan-shan-h-h-ry na co-ili-nu ravnom ko-po.

5. Okolina sa cijenama-Troom u nat-nat-le co-or-di-nat pro-ho-dit kroz točku. Nay-di je ra di -stry.

6. Nay-di-di-di-schie-no-poci, opi-san-noe rod-mo-computer-ni-ka, ver-sho-ro-co -di-on-you co-co-po-vet

Rješenja:

1. Poznato je da je srednja linija trapeza jednaka polovini baze. Baza je jednaka, a baza. Onda

Odgovor:

2. Najlakši način za rješavanje ovog zadatka je: Primjetite da (pravilo paralelograma). Izračunajte koordinate vektora i nije moguće :. Pored toga, savijeni su koordinatni vektori. Zatim ima koordinate. Iste koordinate imaju i poantu, jer je početak vektora tačka sa koordinatama. Zainteresovani smo za običan. Jednako je.

Odgovor:

3. Zakontrolimo se odmah po formuli daljine između dviju bodova:

Odgovor:

4. Pogledajte sliku i recite, između kojih su dvije figure "stegnule" zasjenjenu regiju? Stegnuta je između dva kvadrata. Tada je područje željene figure jednaka kvadratu velikog kvadrata minus, trg je mali. Strana malog kvadrata je segment koji povezuje točke i njegova dužina je jednaka

Tada je mali kvadratni kvadrat jednak

Slično tome, s velikim trgom: boka je segment koji povezuje točke i njegova dužina je jednaka

Tada je veliki kvadratni kvadrat jednak

Postavite željenu figuru, pronaći ćete formulu:

Odgovor:

5. Ako krug ima podrijetlo kao centar i prolazi kroz točku, njegov će radijus biti tačno jednak duljini segmenta (napravite crtež i shvatit ćete zašto je to očigledno). Pronađite dužinu ovog segmenta:

Odgovor:

6. Poznato je da je polumjer obima opisanog u blizini pravokutnika jednak polovini njegove dijagonale. Mi ćemo pronaći dužinu bilo kojeg od dva dijagonala (nakon svega, u pravokutniku su jednaki!)

Odgovor:

Pa, sa svi ste se nosili? Nije bilo baš teško shvatiti, jer tako? Pravilo je jedna stvar - da biste mogli napraviti vizuelnu sliku i jednostavno "brojati" iz nje svih podataka.

Ostavili smo prilično malo. Još uvijek ima doslovno dvije bodove koje bih želio razgovarati.

Pokušajmo odlučiti da je to tako jednostavan zadatak. Neka dva boda i. Pronađite koordinate sredine segmenta. Rješenje ovog zadatka je sljedeće: Neka tačka - potraga za sredinom, a zatim koordinate:

I.E: koordinate sredine segmenta \u003d aritmetički prosjek odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

Ovo je pravilo vrlo jednostavno i u pravilu ne uzrokuje poteškoće u studentima. Da vidimo koji zadaci i kako se koristi:

1. Nay-di-di-on-tu se-di-di-di-di je od reza, ko-jedinica-ny-yu-th točka i

2. Bodovi Java-Lyube-Sia Ver-Shi-Na-Mi-Twh-ugljen-ni-ka. Nay-di-di-na-ta točkice njegovih di-go-go-lei-a.

3. Nai-di abs-su-su cijeni-tra okolica susjedstva, Opi-san-san u blizini prava-mo-ni-ka, ver-shi-ro co-ili-na-na-in-you co- OT-VET.

Rješenja:

1. Prvi zadatak je samo klasičan. Odmah djelujemo po definiciji sredine segmenta. Ima koordinate. Ordinat je jednak.

Odgovor:

2. Lako je vidjeti da je ovaj četverostrani paralelogram (čak i romb!). Sami to možete sami dokazati, izračun dužine stranaka i uspoređujući ih između sebe. Šta da znam o paralelogramu? Njegova dijagonalna tačka raskrižja podijeljena je na pola! Da! Dakle, tačka raskrižja dijagonala je šta? Ovo je sredina bilo kojeg dijagonale! Posebno odaberite, posebno dijagonalu. Tada tačka ima koordinate ordinate točke jednake.

Odgovor:

3. Koja je slučajnost centra opisana u blizini pravougaonika kruga? Poklapa se sa mjestom raskrižja njegovih dijagonala. I šta znate o dijagonali pravokutnika? Jednaki su, a točka raskrsnice je podijeljena za pola. Zadatak je odveo na prethodni. Na primjer, uzet ću dijagonalu. Zatim ako je središte opisanog kruga, zatim sredini. Tražite koordinate: Absssal je jednak.

Odgovor:

Sada prakticirajte malo sami, ja ću dati odgovore samo na svaki zadatak kako biste mogli da provjerite sebe.

1. Nay-di-te-di-schie-no-ei, Opi-san o tre-uglju-ni-ka, ver-shi-go-ro ima ko-ili-di -no misnike

2. Nay-di-te-di-ou-tu-tur-descember-noes, Opi-san-noe protage-ni-ka, ver-shi-go-ro ima koordinate

3. KA-KO-GO-DI-U-SA se mora opkoliti cijeni-trokrevetni u točki tako da može sa-las osovina ABS?

4. NA-DI-DI-ON-TA točkice osi osi i izrezane, ko-jedinica-yu-th točka i

Odgovori:

Sve je uspelo? Stvarno se nadam! Sada - zadnji kreten. Sada budite posebno pažljivi. MATERIJAL koji ću sada objasniti sada je izravno povezan ne samo na jednostavne zadatke na koordinatnom metodu od B dijela, već se događa i svuda u zadatku C2.

Koja od mojih obećanja još nisam suzdržana? Sjećate se koje su operacije na vektorima obećala da ću ući i šta je na kraju predstavio? Nisam tačno zaboravio? Zaboravio! Zaboravio sam objasniti šta znači umnožavanje vektora.

Postoje dva načina za množenje vektora na vektoru. Ovisno o odabranoj metodi, imat ćemo predmete različite prirode:

Vektorski proizvod izvodi se prilično lukavo. Kako to učiniti i zašto je potrebno, raspravljat ćemo u sljedećem članku. I u tome ćemo se fokusirati na skalarni proizvod.

Već postoje dva načina da nam omoguće da izračunamo:

Dok ste pretpostavljali, rezultat bi trebao biti isti! Dakle, prvo razmotrimo prvi način:

Skalarni proizvod kroz koordinate

Pronađi: - općenito prihvaćena indikacija skalarnog proizvoda

Formula za izračun Sljedeći:

To je, skalarni proizvod \u003d količina radova koordinata vektora!

Primjer:

Nai di

Odluka:

Pronaći ćemo koordinate svakog od vektora:

Izračunajte skalarni proizvod formulom:

Odgovor:

Vidite, apsolutno ništa komplicirano!

Pa, sada pokušajte sebi:

· Nay-di ska-la-nee pro-od-ve-buy-ayty of događaja i

Nositi se? Možda sam primijetio trik mali? Provjerimo:

Koordinate vektora kao u prošlom zadatku! Odgovor :.

Pored koordinate, postoji još jedan način izračunavanja skalarnog proizvoda, naime, kroz dužine vektora i kosinusnog ugla između njih:

Ukazuje na kut između vektora i.

Odnosno, skalarni proizvod jednak je proizvodu dužina vektora na kosinu ugao između njih.

Zašto imamo ovu drugu formulu ako imamo prvo što je mnogo lakše, u njemu se barem nema kosinus. I potrebno je za činjenicu da iz prve i druge formule možemo povući kako pronaći kut između vektora!

Neka se tada sjetite formule za dužinu vektora!

Zatim ako zamijenimo ove podatke u formuli skalarnog proizvoda, dobit ću:

Ali s druge strane:

Pa šta sam došao kod tebe? Sada imamo formulu koja vam omogućuje izračunavanje ugla između dva vektora! Ponekad se napisava i za sažetost kako slijedi:

Odnosno, algoritam za izračun kuta između vektora je sljedeći:

1. Izračunajte skalarni proizvod putem koordinata
2. Pronalazimo dužinu vektora i isključujemo ih
3. Podijelimo rezultat klauzule 1 o rezultatu klauzule 2

Vježbajmo u primjerima:

1. Nay-di ugao između kapka i. Dajte odgovor u GRA-du-SAC-u.

2. Prema uvjetima prethodnog zadatka, pronađite kosinus između vektora.

Mi ćemo to učiniti: Prvi zadatak koji ću vam pomoći da odlučite i pokušajte da uradite drugu! Slažem se? Zatim počnite!

1. Ovi vektor su naš stari poznati. Već smo smatrali njihovim skalarnim radom i bio je jednak. Imaju takve koordinate:, Tada nađemo njihove dužine:

Zatim tražimo kosinus između vektora:

Kosinus Koji je ugao jednak? Ovo je ugao.

Odgovor:

Pa, sad sam ja riješio drugi zadatak, a zatim uporedim! Dat ću samo vrlo kratku odluku:

2. Ima koordinate, ima koordinate.

Neka - ugao između vektora i, onda

Odgovor:

Treba napomenuti da su zadaci izravno u vektoru i koordinatni metod u dijelu B ispitičnog rada prilično je rijedak. Međutim, ogromna većina zadataka C2 može se lako riješiti privođenjem uvođenju koordinatnog sustava. Dakle, ovaj članak možete razmotriti temelj, na osnovu kojeg ćemo napraviti dovoljno škakljive konstrukcije, što će biti potrebno za rješavanje složenih zadataka.

Koordinate i vektori. Srednji roving

Nastavljamo proučavati metodu koordinata. U posljednjem dijelu donijeli smo niz važnih formula koji omogućavaju:

1. Pronađite koordinate vektora
2. Pronađite dužinu vektora (alternativa: udaljenost između dvije bodove)
3. Preklopi, suzgract vektori. Pomnožite ih na stvarni broj
4. Pronađite srednji rez
5. Izračunajte skalarni proizvod vektora
6. Pronađite ugao između vektora

Naravno, cjelokupna metoda koordinata ne uklapa se u ove 6 bodova. To u osnovi takve nauke kao analitička geometrija s kojom morate upoznati univerzitet. Samo želim izgraditi temelj koji će vam omogućiti da riješite probleme u jednoj državi. Ispit. Sa zadacima dela B shvatili smo da je sada vrijeme da odete na kvalitativno novi nivo! Ovaj članak bit će posvećen metodi rješavanja tih C2 zadataka, u kojima će biti razumno premjestiti na metodu koordinata. Ova racionalnost određena je činjenicom da je zadatak potreban za pronalazak i koja je brojka data. Dakle, primijenio bih metodu koordinata ako se izdajete:

1. Pronađite kut između dva aviona
2. Pronađite ugao između ravnog i ravnine
3. Pronađite ugao između dva ravna
4. Pronađite udaljenost od točke do aviona
5. Pronađite udaljenost od točke do direktora
6. Pronađite udaljenost od linije do aviona
7. Pronađite udaljenost između dva ravna

Ako je lik u stanju problema je tijelo rotacije (lopta, cilindar, konus ...)

Prikladne brojke za koordinatniku su:

1. Pravokutni paralelepiped
2. Piramida (trokutasta, četverokutalna, šesterokutna)

Takođe u mom iskustvu nepraktično je koristiti koordinatnu metodu za:

1. Tražite područja odjeljaka
2. Proračuni svezaka

Međutim, treba odmah napomenuti da su tri "neprofitabilna" za način koordinatne situacije u praksi prilično rijetka. U većini zadataka može postati vaš spasitelj, pogotovo ako niste baš jaki u trodimenzionalnim zgradama (koje su ponekad prilično zamršene).

Koje su sve gore navedene brojke? Oni više nisu ravni, kao što su, na primjer, kvadratni, trokut, krug i skupno! U skladu s tim, moramo razmotriti ne dvodimenzionalni, već trodimenzionalni koordinatni sustav. Izgrađen je prilično jednostavno: osim osi apscisa i praćenja, uvodimo drugu osovinu, aparat za aparat. Slika shematski prikazuje njihovu međusobnu lokaciju:

Svi su međusobno okomit, presijecaju se u jednom trenutku, što ćemo nazvati početkom koordinata. Osova apsissa, kao i prije, označavamo osovinu ordinate - i uvedene osi aplikacije -.

Ako je ranije svaka tačka u avionima karakterizirana dva broja - apscisa i obična, tada je svaka tačka u prostoru već opisana tri broje - apscisa, ordinate, aplikatiraju. Na primjer:

U skladu s tim, apscisa tačke je jednaka, ordinata - i aplikacija -.

Ponekad se abscissa točka naziva i projekcijom tačke na osi apscisa, ordinate - projekcija točke na osi ordinate i aplikacije - projekcija tačke na osi na uređaju. U skladu s tim, ako je tačka postavljena, poenta sa koordinatama:

nazovite projekciju točku u avion

nazovite projekciju točku u avion

Prirodno pitanje nastaje: Da li su sve formule dobivene za dvodimenzionalni slučaj u prostoru? Odgovor je potvrdan, oni su fer i imaju isti pogled. Za mali detalj. Mislim da si se već pogodio za koji. U svim formulama moramo dodati još jedan član odgovorno za osobu za aparat. Naime.

1. Ako su dvije tačke postavljene: tada:

• Koordinate vektora:
• Udaljenost između dvije točke (ili dužine vektora)
• Sredina segmenta ima koordinate

2. Ako su dvije verzije date: a zatim:

• Njihov skalarni proizvod je:
• Kozinski ugao između vektora je:

Međutim, prostor nije tako jednostavan. Dok razumijete, dodavanje druge koordinate čini značajnu sortu u spektru brojki, "živeći" u ovom prostoru. I za daljnju pripovijedanje, moram uvesti neke, grubo govoreći, "generalizaciju" ravno. Ova "generalizacija" biće avion. Šta znate o avionu? Pokušajte odgovoriti na pitanje i šta je avion? Veoma je teško reći. Međutim, svi intuitivno zamišljamo kako to izgleda:

Grubo govoreći, ovo je ne-beskonačan "list", prekriven prostorom. "Beskonačnost" treba shvatiti da se avion primjenjuje na sve smjerove, odnosno njegova površina je jednaka beskonačnoj vrijednosti. Međutim, ovo objašnjenje "na prstima" ne daje ni najmanju ideju strukture aviona. I to će biti zainteresovano za to.

Sjetimo se jedno od glavnih osi geometrije:

• kroz dve različite tačke u avionu ide ravno, sa samo jednim:

Ili njegov analog u prostoru:

Naravno, sjećate se kako ukloniti jednadžbu direktno u dvije unaprijed određene točke: Ako prva poanta ima koordinate: a druga, tada će direktna jednadžba biti sljedeća:

Da ste prošli u 7. razredu. U prostoru, direktna jednadžba izgleda ovako: dajmo dva boda sa koordinate:, jednadžba je ravna, kroz njih, ima izgled:

Na primjer, kroz bodove, ravna linija prolazi:

Kako se to razumjeti? To bi trebalo shvatiti kao: tačka leži na liniji ako njegove koordinate zadovoljavaju sljedeći sistem:

Nećemo zaista biti zainteresirani za jednadžbu ravno, ali moramo obratiti pažnju na vrlo važan koncept izravnih vektora. - Bilo koji ne-vektor koji leži na ovom direktnom ili paralelnoj s njom.

Na primjer, oba vektora su vektori vodiča. Neka ta tačka leži na liniji i njen vodič vektor. Tada se jednadžba direktna može napisati u sljedećem obrascu:

Ponavljam još jednom, neću me biti baš zainteresiran za jednadžbu ravno, ali stvarno mi treba da se sjetite šta je vektor vodiča! Opet: ovo je bilo koji vektor gluposti koji leži na ravnoj liniji ili paralelno s njim.

Prikaz jednadžba aviona za tri navedena boda Nije toliko trivijalno, a obično se ovo pitanje ne smatra svjesnim srednjom školom. I uzalud! Ova tehnika je od vitalnog značaja kada pribjegavamo metodi koordinate za rješavanje složenih zadataka. Međutim, pretpostavljam da ste puni želje da naučite nešto novo? Štaviše, možete pogoditi svog učitelja na univerzitetu kada se ispostavi da već znate kako ste već sa tehnikom koja se obično proučava u toku analitičke geometrije. Dakle, nastavite.

Jednadžba ravnine nije previše različita od izravne jednadžbe u ravnini, naime izgleda:

neki brojevi (ne sva jednaka nula) i varijable, na primjer: itd. Kao što vidite, jednadžba ravnine nije baš različita od jednadžbe ravne linije (linearne funkcije). Međutim, sjetite se da smo se svađali s vama? Rekli smo da ako imamo tri boda koje ne leže na jednoj ravniji, jednadžba aviona definitivno ih obnavljaju. Ali kako? Pokušaću da vam objasnim.

Budući da je jednadžba ravnine:

A točke pripadaju ovoj ravnini, a zatim kada zamjenjuju koordinate svake tačke u jednadžbu ravnine, moramo dobiti istinski identitet:

Dakle, postaje neophodno za rješavanje tri jednadžbe već sa nepoznatim! Dilema! Međutim, uvijek se može pretpostaviti da (za to morate podijeliti). Dakle, dobivamo tri jednadžbe sa tri nepoznate:

Međutim, nećemo riješiti takav sistem i preusmjerit ćemo misteriozni izraz koji slijedi iz njega:

Jednadžba aviona koja prolazi kroz tri zadane vrijednosti

\\ [\\ lijevo | (\\ point (niz) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\\\ (y - (y_0) ) & ((Y_1) - (Y_0)) & ((Y_2) - (Y_0)) \\\\ (Z - (Z_0)) & ((Z_1) - (Z_0) - (Z_2) - (Z_0) - ( \\ End (niz)) \\ desno | \u003d 0 \\]

Stop! Šta je još? Neki vrlo neobičan modul! Međutim, objekt koji vidite pred sobom nema nikakve veze s modulom. Ovaj se objekt naziva trećim određivanjem. Od sada, u budućnosti, kada se bavite koordinatnom metodom u avionu, vrlo često ćete ispuniti ove identifikacije. Koji je treći red odrednica? Čudno dovoljno, to je samo broj. Ostaje da shvatimo šta posebno imat ćemo s odrednicama.

Prvo napišemo treći red odrednica u općenitijem obliku:

Gde su neki brojevi. I pod prvim indeksom razumijemo broj linije i pod indeksom - broj stupca. Na primjer, to znači da je ovaj broj na raskrižju drugog retka i trećeg stupca. Podignimo sljedeće pitanje: kako ćemo tačno izračunati takvu odrednicu? Odnosno, koji će nam se broj uporediti? Za determinanta trećeg reda postoji heuristički (vizualni) pravilo trokuta koji izgleda ovako:

1. Proizvod elemenata glavne dijagonale (od gornjeg lijevog ugla do donje desne strane) Proizvod elemenata koji formiraju prvi trokut "Okomitelj" glavne dijagonale proizvod elemenata koji čine drugi trokut "okomit" glavne dijagonale
2. Proizvod elemenata bočne dijagonale (od gornjeg desnog ugla do donje lijeve strane) Proizvod elemenata koji formiraju prvi trokut "okomit" bočnim dijagonalom Proizvod elemenata koji formiraju drugi trokut "okomito"
3. Tada je odrednica jednaka razlikovanju vrijednosti dobivenih u koraku i

Ako napišete sve ove brojeve, tada ćemo dobiti sljedeći izraz:

Ipak, sjećanje na način izračunavanja u ovom obliku nije potrebno, dovoljno je u glavi samo da bi zadrži trouglove i samu ideju, što se čini i ono što se odbiju iz nečega).

Ilustriramo metodu trokuta na primjeru:

1. Izračunajte odrednicu:

Hajde da se pozabavimo onim što savijamo i šta - oduzmu:

Komponente koje idu sa "plus":

Ovo je glavna dijagonala: proizvod elemenata je jednak

Prvi trokut, "okomita glavna dijagonala: proizvod elemenata je jednak

Drugi trokut, "Okomina glavna dijagonala: proizvod elemenata je jednak

Savijamo tri broja:

Komponente koje idu sa "minusom"

Ovo je bočna dijagonala: proizvod elemenata je jednak

Prvi trokut, "okomit na bočnu dijagonalu: proizvod elemenata je jednak

Drugi trokut, "okomit na bočnu dijagonalu: proizvod elemenata je jednak

Savijamo tri broja:

Sve što ostaje učiniti je odbiti iz zbroja uvjeta "sa plus" iznos odredbi "sa minusom":

Na ovaj način,

Kao što vidite, ništa nije komplikovano i natprirodno u izračunu odrednica trećeg reda nije. Samo je važno zapamtiti se o trouglovima i ne dopustiti aritmetičke greške. Sada pokušajte izračunati sebe:

Provjerite:

1. Prvi trokut, okomita glavna dijagonala:
2. Drugi trougao, okomita glavna dijagonala:
3. Iznos pojmova sa Plus:
4. Prvi trokut okomit na bočnu dijagonalu:
5. Drugi trokut, okomit na bočnu dijagonalu:
6. Iznos izraza sa minusom:
7. Količina komponenti sa Plus minusom Iznos pojmova sa minusom:

Evo još jednog par odrednica, izračunali su svoja značenja samostalno i uspoređuju sa odgovorima:

Odgovori:

Pa, svi se poklopili? Sjajno, onda možete krenuti dalje! Ako postoje poteškoće, tada je Vijeće moje: postoji gomila softvera za izračunavanje determinanta na mreži. Sve što trebate je da se pojavite svojim identifikatorom, izračunajte ga sami, a zatim uporedite sa onim što će program razmotriti. I tako sve dok rezultati ne pokreću slučajnost. Siguran sam da ovaj trenutak neće čekati dugo da čekam!

Sada se vratimo odrednica kome sam napisao kada je govorio o jednadžbi aviona koja prolazi kroz tri zadane vrijednosti:

Sve što trebate je izračunati svoju vrijednost izravno (metodom trouglova) i izjednačiti rezultat na nulu. Prirodno, jer - varijable, tada ćete dobiti neki izraz, ovisno o njima. To je ovaj izraz koji će biti jednadžba aviona koja prolazi kroz tri postavljena točka koja ne leže na jednoj ravnici!

Ilustrujemo gore navedeni primjer:

1. Izgradite jednadžbu aviona koji prolazi kroz bodove

Odrednica napisamo ove tri boda:

Pojednostavite:

Sada ga izračunavamo direktno prema pravilu trouglova:

\\ [(\\ lijevo | (\\ point (niz) (* (20) (c)) (x + 3) i 2 i 6 \\\\ (y - 2) i 0 i 1 \\ (z + 1) i 5 & 0 \\ end (niz)) \\ desno | \u003d \\ lijevo ((x + 3) \\ desno) \\ CDOT 0 \\ CDOT 0 + 2 \\ CDOT 1 \\ CDOT \\ lijevo ((z + 1) \\ desno) + \\ lijevo ( (Y - 2) \\ desno) \\ CDOT 5 \\ CDOT 6 -) \\]

Dakle, jednadžba aviona koja prolazi kroz bodove ima obrazac:

Sada pokušajte sami riješiti jedan zadatak, a onda ćemo razgovarati o tome:

2. Pronađite jednadžbu aviona koji prolazi kroz bodove

Pa, sada razgovaramo o odluci:

Pravimo odrednicu:

I izračunati njenu vrijednost:

Tada je jednadžba aviona:

Ili, ukida, dobivamo:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

1. Izgraditi jednadžbu aviona koji prolazi kroz tri boda:

Odgovori:

Svi se poklopili? Opet, ako postoje određene poteškoće, moj savjet je: uzimate tri boda od moje glave (s velikim stupnjem vjerojatnosti neće leći na jednoj ravno), izgraditi avion na njima. A zatim se obratite putem interneta. Na primjer, na web mjestu:

Međutim, uz pomoć odrednica izgradit ćemo ne samo jednadžbu aviona. Zapamtite, rekao sam vam da su vektori definirali ne samo skalarni proizvod. Još uvijek postoji vektor, kao i mješoviti posao. A ako će skalarni proizvod dva vektora i postojat će broj, zatim vektorski proizvod dva vektora i bit će vektor, a ovaj vektor će biti okomit na navedeno:

Štaviše, njegov modul bit će jednak području paralelograma, koji prethodi vektori i. Ovaj vektor morat će izračunati udaljenost od točke do direkcije. Kako razmotriti vektorski proizvod vektora i, ako su njihove koordinate postavljene? Treća odrednica za narudžbu dolazi do spašavanja. Međutim, prije nego što nastavim sa algoritmom za izračunavanje vektorske umjetnosti, moram napraviti mali lirski povlačenje.

Ovaj se povlačenje odnosi se na osnovne vektore.

Shematski su prikazani na slici:

Što mislite, zašto se nazivaju osnovnim? Činjenica je da:

Ili na slici:

Pravda ove formule je očigledna, jer:

Vektorska umjetnost

Sada mogu nastaviti s uvođenjem vektorskog rada:

Vektorski proizvod dva vektora naziva se vektor koji se izračunava sljedećim pravilom:

Sada dajmo nekoliko primjera izračuna vektorskog umjetnosti:

Primjer 1: Pronađite vektorske vektore:

Rješenje: Sastajem odrednica:

I izračunati:

Sada ću pisati putem osnovnih vektora, vratit ću se u uobičajeno snimanje vektora:

Na ovaj način:

Sada pokušajte.

Spremni? Provjerite:

I tradicionalno dva zadaci za kontrolu:

1. Pronađite vektorsku isječku Art:
2. Pronađite vektorsku isječku Art:

Odgovori:

Mješoviti proizvod od tri vektora

Posljednji dizajn koji će mi trebati je mješoviti proizvod od tri vektora. IT, kao i skalar, je broj. Postoje dva načina za izračunavanje. - Kroz determinant, - kroz mešoviti posao.

Naime, neka imamo tri verzije:

Tada se mješoviti proizvod od tri vektora označava može se izračunati kao:

1. - To je, mješoviti proizvod je skalarni proizvod vektora na vektorskom proizvodu dva druga vektora.

Na primjer, mješoviti proizvod od tri vektora je:

Nezavisno pokušajte izračunati putem vektorskog proizvoda i provjerite da li će se rezultati odgovarati!

I opet - dva primjera za samoo rješenja:

Odgovori:

Odaberite koordinatni sistem

Pa, sada imamo svu potrebnu fondaciju znanja za rješavanje složenih stereometrijskih zadataka o geometriji. Međutim, prije nego što se direktno nastavi sa primerima i algoritmima njihove odluke, vjerujem da će biti korisno prestati još uvijek na kakvo pitanje: kako tačno odaberite koordinatni sustav za određenu figuru. Napokon, to je izbor međusobne lokacije koordinatnog sustava, a broj u prostoru u konačnici će u konačnici odrediti koliko će nezgrapno biti proračun.

Podsećam vas da u ovom odeljku razmatramo sledeće brojke:

1. Pravokutni paralelepiped
2. Direktni prizmi (trokutasta, šesterokutna ...)
3. Piramida (trokutasta, četverokutarna)
4. Tetraedron (jedan i isti kao trokutasta piramida)

Za pravokutnu paralelepipeda ili kocku preporučujem da izgradite:

To jest, stavit ću "u ugao". Kocke i paralelepiped su vrlo dobre brojke. Za njih uvijek možete lako pronaći koordinate njegovih vrhova. Na primjer, ako (kao što je prikazano na slici)

koordinate vrhova su sljedeće:

Da ga se pamtim, naravno, nema potrebe da se sećate kako je bolje imati kocku ili pravokutni paralelepiped - po mogućnosti.

Direktan prizm

Prizma je štetnija figura. Nalazi se u prostoru može biti drugačije. Međutim, izgledam najprihvatljivijim za mene:

Trokutasti prizmi:

To je, jedna od strana trougla koji smo u potpunosti stavili na osovinu, a jedan od vrhova se podudara sa početkom koordinata.

Šesterokutna prizma:

To je, jedan od vrhova poklapa se s početkom koordinata, a jedna od stranaka leži na osi.

Četverokutna i šesterokutna piramida:

Situacija, slična Kubi: dvije strane baze kombiniramo se s koordinatnim osovinama, jednom od vrhova koje kombiniramo s početkom koordinata. Jedina manja složenost izračunat će koordinate točke.

Za šesterokutnu piramidu - slično kao i za šesterokutnu prizmu. Glavni zadatak je ponovo u potrazi za koordinatama vrha.

Tetrahedron (trokutasta piramida)

Situacija je vrlo slična onoj koju sam vodio za trokutastim prizmom: jedan najveći pokladi se s početkom koordinata, jedna strana leži na koordinatnoj osi.

Pa, sada smo napokon bliski da se približavamo rješavanju problema. Od onoga što sam rekao na samom početku članka, mogli biste ovaj zaključak moći: Većina C2 zadataka podijeljena je u 2 kategorije: izazovi pod uglom i zadacima po daljini. U početku ćemo razmotriti zadatke pronalaženja ugla. Oni su zauzvrat podijeljeni u sljedeće kategorije (kao složenost povećava se):

Zadaci za pretraživanje uglova

1. Pronalaženje ugla između dva ravna
2. Pronalaženje ugla između dva aviona

Razmotrimo ove zadatke dosljedno: krenimo tako da pronađemo ugao između dva ravna. Pa, zapamtite i da li smo se ja više odlučili sa vama sličnim primerima? Sjećam se, jer smo imali nešto takvo ... Tražili smo ugao između dva vektora. Podsjetit ću vas ako su dvije verzije date: i, ugao između njih je iz omjera:

Sada imamo cilj - pronalazeći ugao između dva ravna. Idemo na "ravnu sliku":

Koliko su uglovi radili sa sjecištem dviju ravnih linija? Već komadi. Istina nije jednaka od njih samo dva, drugi su vertikalni prema njima (i zato se podudaraju s njima). Dakle, kakav bi se ugao trebao smatrati kutom između dva ravna: ili? Evo pravila: kut između dva direktnog uvijek ne više od stupnjeva. To je, iz dva ugla, uvijek ćemo odabrati ugao s najmanjim stepenom. To je, na ovoj slici, kut između dva ravna je jednak. Da se ne smeta potraga za najmanjim dva ugla, luka matematike ponuđene za upotrebu modula. Stoga je ugao između dva direktna određena formulom:

Vi, poput pažljivog čitatelja, morali smo pobuditi pitanje: a gdje ćemo u stvari uzeti ove najviše brojeva koje moramo izračunati kosinus ugla? Odgovor: Odvešćemo ih od direktnih vektora! Dakle, algoritam za pronalaženje ugla između dvije ravne linije je sljedeći:

1. Primjenjujemo Formulu 1.

Ili u detaljnije:

1. Tražimo koordinate vodiča Vektor prvog direktnog
2. Tražimo koordinate vodiča Vektor Drugi direktni
3. Izračunajte modul njihovog skalarnog proizvoda
4. Tražite dužinu prvog vektora
5. Tražite dužinu drugog vektora
6. Pomnožite rezultate stavka 4. o rezultatima stava 5
7. Podijelimo rezultat stavka 3. na rezultat klauzule 6. Dobijamo kosinus ugao između direktnog
8. Ako ovaj rezultat omogućuje tačno izračunavanje ugla, tražimo ga
9. Inače pišemo kroz arquozin

Pa, sada je vrijeme za prelazak na zadatke: rješenje prva dva koje ću detaljno pokazati, ući ću još jednu odluku u kratkom obliku, a ja ću dati samo odgovore na posljednja dva zadatka, trebali ćete provesti sve proračune, trebali biste potrošiti sve proračune njima.

Zadaci:

1. U PRA-VILLE-NOME TET-RA-ED-REA NAI DI, ugao između vas-co-tet-ra-ED-RA i mea-di-bo-ko-koordinata.

2. U PI-VILLE-NEU-BO-RA-MI-DE STRO-ROS, OS-NA-VIYA su jednaki, a buket rebara jednaki su, nay-di ugao između ravnog i.

3. Duljine svih rebara Pra-Ville Che-You-Rah-ugljen PI-RA-MI jednake su jednakim jedna drugoj. Nai-di ugao između ravnih i ako je iz Re-Zok - suograđeni dan PI-RA-MI-DWI, poenta je se-re-di-na njenom buketu

4. Na ivici kocke od mene-po poen kako bi nai-di ugao između ravnog i

5. TOČKA - SE-RE-DI-on ivice Kuba nai-di ugao između ravnog i.

Nerazumljivo sam pogrešno shvatio zadatke. Iako niste imali vremena za početak navigacije u metodi koordinata, ja se rastavljam najprotnima "problemima" i dat ćete vam da se bavite najjednostavnijom kockom! Postepeno, morate naučiti raditi sa svim figurama, složenost zadataka koje ću se povećati od teme na temu.

Nastavljamo sa rješavanjem problema:

1. Nacrtajte tetrahedron, stavite ga u koordinatni sustav dok sam ranije dizajnirao. Budući da je tetrah tačan - onda je sva njena lica (uključujući bazu) - desni trouglovi. Budući da nam ne daju dužinu strane, onda mogu da ga podnesem jednakim. Mislim da razumijete da ugao neće zaista ovisiti o tome kako će se naš tetrahedron "protegnuti"? Takođe provedite u visini Tetrahedra i Medijan. Uz put, slikam svoju bazu (došlo će i prikladno).

Moram pronaći ugao između i. Šta da znamo? Znamo samo točku koordinata. Dakle, potrebno je pronaći više koordinata bodova. Sada mislimo: Poanta je točka sjecišta visina (ili bisetris ili srednjeg) trougla. A poanta je podignuta tačka. Poanta je sredina segmenta. Tada nam definitivno moramo pronaći: koordinate točaka:.

Započnimo s najjednostavnijim: koordinate točke. Pogledajte sliku: jasno je da je tačka poanta nula (tačka leži u ravnini). Njezina ordinata jednaka je (od - sredstva). Teže je pronaći to apscissa. Međutim, lako se obavlja na temelju teoreme Pythagore: razmotrite trokut. Njegova hipotenuza je jednaka, a jedna od kaketa je tada jednaka:

Napokon imamo:.

Sada nalazimo koordinate točke. Jasno je da je njezina aparata ponovo nula, a njegova ordinata je ista kao i tačka, odnosno. Pronađite njenu apscisu. To se vrši trivijalno, ako se toga sećate visine ravnoteže trokuta raskrižje točke podijeljene su u proporciji, brojanje od vrha. Od:, onda je željena točka apscisa jednaka dužini segmenta jednaka:. Dakle, koordinate točke su jednake:

Pronađite koordinate točke. Jasno je da je apscisa i ordinat poklapa s apscisom i običnom točkom. A aplicinu je jednaka dužini segmenta. - Ovo je jedna od kates trokuta. Trokut Hypotenuse je rez - katat. Traži iz razloga koji sam istakao podebljano:

Poanta je sredina segmenta. Tada se moramo sjetiti formule koordinata sredine segmenta:

Pa, sve, sada možemo pretraživati \u200b\u200bkoordinate vodiča VECTORS:

Pa, sve je spremno: zamjenjujemo sve podatke u formuli:

Na ovaj način,

Odgovor:

Ne biste se trebali uplašiti takav "zastrašujući" odgovore: za zadatke C2 je uobičajena praksa. Radije bih iznenadio "prekrasan" odgovor u ovom dijelu. Takođe, kao što ste napomenuli, praktično nisam pribjegavao ništa, osim za teoremu Pythagoreo i vlasništvu jednakostranete trokuta. To jest, za rješavanje zadatka stereometra, koristio sam minimum stereometrije. Pobjeda u ovom djelomično "ukidanju" prilično je glomazna računarstvo. Ali oni su dovoljno algoritma!

2. Pokazat ću ispravnu šesterokutnu piramidu zajedno s koordinatnim sustavom, kao i njenom bazom:

Moramo pronaći ugao između ravnog i. Stoga se naš zadatak svodi na potragu za koordinate točaka :. Koordinate poslednje tri naći ćemo na malom obrascu, a mi ćemo pronaći koordinatu vrhova kroz tačku koordinate. Radi u rasutom stanju, ali morate započeti!

a) Koordinata: Jasno je da su njegova aplikacija i ordinat jednaki nuli. Pronalazimo apscisu. Da biste to učinili, razmislite o pravougaonom trokutu. Jao, poznat smo samo hipotenuzom, što je jednako. Gledajte da ćemo pokušati pronaći (jer je jasno da će nam duplo dužina kategorije dati abscishiju. Kako je tražimo? Sjetimo se toga za lik na bazu piramide? Ovo je pravi šesterokut. Šta to znači? To znači da ima sve stranke i svi uglovi su jednaki. Bilo bi potrebno pronaći jedan takav ugao. Imate li ideja? Ideje masa, ali postoji formula:

Zbroj uglova ispravnog N-parlamenta jednaka je .

Dakle, zbroj uglova ispravnog šesterokuta jednak je stupnjevima. Tada je svaki uglovi jednak:

Ponovo gledamo na sliku. Jasno je da je rez - kut bisektora. Tada je ugao jednak diplomiranju. Zatim:

Zatim, odakle.

Dakle, ima koordinate

b) Sada možete lako pronaći bodovnu koordinatu:.

c) Pronaći ćemo koordinate točke. Budući da se apscisa podudara s dužinom segmenta, jednak je. Nije baš teško pronaći ordinat: Ako povežemo točke i točku sjecišta izravne oznake, recimo za. (Napravite jednostavnu konstrukciju). Tada je, prema tome, ordinatski točki B jednak zbroj dužina segmenata. Ponovo se okrenite u trokut. Onda

Onda zato što tada poenta ima koordinate

d) Sada ćemo pronaći koordinate točke. Razmislite o pravougaoniku i dokazuju da stoga point koordinate:

e) Ostaje da pronađe koordinate vrhova. Jasno je da je njegova apscisa i ordinat podudara sa apscisom i običnom točkom. Pronalazimo podnositelja prijave. Od tada. Razmotrite pravokutni trokut. Pod uvjetom problema, bočni rub. Ovo je hipotenus mog trougla. Tada je visina piramide - kata još.

Tada točka ima koordinate:

Pa, sve, imam koordinate svih interesa za mene. Tražim koordinate direktnih vektora direktnog:

Tražimo ugao između ovih vektora:

Odgovor:

Opet, prilikom rješavanja ovog zadatka nisam koristio nepravilne tehnike, osim formule količine uglova ispravnog N-kvadrata, kao i definicije kosinuara i sinus pravougaonog trougla.

3. Budući da opet ne daju duljinu rebara u piramidi, tada ću ih smatrati jednakim jednom. Dakle, budući da su sva rebra, ne samo jedna strana jednaki jedna drugu, a zatim u podnožju piramide i trg laže, a bočna lica su desni trouglovi. Pokazaćemo ovu piramidu, kao i njenu bazu u ravnini, primjećujući sve podatke date u tekstu zadatka:

Tražimo ugao između i. Učinit ću vrlo kratke proračune kada tražim koordinate bodova. Trebat ćete ih "dešifrirati" njih:

b) - sredina segmenta. Njegove koordinate:

c) Dužina rezanja naći ću na teorimi pitagore u trouglu. Na pitagorejskoj teorici naći ću u trouglu.

Koordinate:

d) - Midt segmenta. Njene koordinate su jednake

e) vektorske koordinate

f) vektorske koordinate

g) Tražimo ugao:

Kocka je najjednostavnija figura. Siguran sam da ćete se sami baviti. Odgovori na zadatke 4 i 5 su sljedeći:

Pronalaženje ugla između ravnog i ravnine

Pa, vrijeme jednostavnih zadataka je završeno! Sada će primjeri biti još teže. Da biste pronašli ugao između ravnog i ravnine, bit ćemo sljedeći:

1. Po tri boda gradimo jednadžbu aviona
   ,
   Pomoću odrednice treće narudžbe.
2. Za dvije točke tražimo direktne koordinate vodiča:
3. Koristimo formulu za izračunavanje ugla između ravnog i ravnine:

Kao što vidite, ova je formula vrlo slična činjenici da smo koristili uglove između dva ravna. Struktura desne strane je jednostavno ista, a sada tražimo sinus, a ne kozinu, kao prije. Pa, dodana je jedna suprotna akcija - pretraživanje jednadžbe aviona.

Nemojmo odgoditi u dugim okviru rješenje primjera:

1. OS-NO-VA-NI-IT je izravna nabavljanja nadimka ugljenog na nadimka na nadimku za remes-smta You-SO-jedna nagrada jednaka. Nay-di ugao između ravnog i ravnog co-st

2. U DIREKT-MO-MR. PA-RAL-LES-LE-PI-DE-DEE DE-DIE iz ugnja na nivou na nivou između ravnog i ravnog CO -

3. U PRA-VILLE-u nagrada vrata-ugljen-alto sva rebra su jednaka. Nai-di ugao između ravnog i ravnog co-st.

4. U PRA-VILLE TREO CAL-u PI-RA-MI-DE sa OS-no-va-west-na-di-lopovom, Obra-Zo-Wan je ravna ko-kopija OS-no- VA i ravno, pro-sin kroz re-di rebra i

5. Duljine svih rebara PRA-OTE-OTE četverorođenih PI-ra-mi-dina su jednaki jedni drugima. Nay-di ugao između ravnog i ravnog suzbija ako je tačka CE-re-di-on-co-reir pi-ra-mi-dim.

Opet ću detaljno odlučiti prva dva zadatka, treći - ukratko, a posljednja dva vas ostavljaju na neovisnu odluku. Pored toga, već ste se morali baviti trokutastim i četverougaristima piramidama, ali s prizmima - do sada nema.

Rješenja:

1. Pokažite prizmu kao i svoju bazu. Kompatibilan je s koordinatnim sustavom i zabilježite sve podatke koji su navedeni u stanju TERK-a:

Izvinjavam se zbog neke neusklađenosti s proporcijama, ali da riješim problem, u suštini nije toliko važno. Avion je jednostavno "stražnji zid" mog prizma. Dovoljno je samo da pretpostavimo da je jednadžba takve ravnine:

Međutim, može se prikazati direktno:

Odaberite proizvoljne tri boda u ovom ravninu: na primjer ,.

Napravite jednadžbu aviona:

Vježbajte za vas: samostalno izračunajte ovu odrednicu. Jeste li uspjeli? Tada je jednadžba aviona:

Ili jednostavno

Na ovaj način,

Da biste rešili primjer, moram pronaći koordinate vodećim vektorom. Budući da je tačka pala s početkom koordinata, vektorske koordinate jednostavno se podudaraju sa koordinatama točke za to na koje ćemo pronaći na početku koordinata točke.

Da biste to učinili, razmislite o trokutu. Provešćemo visinu (to je srednji i bisektor) od vrha. Budući da je ordinat točka jednaka. Da bismo pronašli apscisu ove tačke, moramo izračunati dužinu segmenta. Prema Theorem Pitagori, imamo:

Tada točka ima koordinate:

Poanta je "podignuta" do tačke:

Tada koordinate vektora:

Odgovor:

Kao što vidite, nema ništa u osnovi teško u rješavanju takvih zadataka. U stvari, proces dalje pojednostavljuje "ravno" takav figuru kao prizmu. Idemo dalje na sljedeći primjer:

2. Nacrtajte paralelepiped, izvodimo avion i direktno, kao i zasebno crpite njenu donju bazu:

Prvo pronalazimo jednadžbu aviona: koordinate tri boda leže u njemu:

(Prve dvije koordinate dobivaju se očiglednim putem, a posljednja koordinata možete lako pronaći slike iz tačke). Zatim predstavljaju jednadžbu ravnine:

Izračunati:

Tražimo koordinate vodiča Vector: Jasno je da se njegove koordinate podudaraju sa koordinatama poantu, nije li to? Kako pronaći koordinate? Ovo su koordinate točke podignute duž osi uređaja po jedinici! . Zatim potražite željeni kut:

Odgovor:

3. Stavite ispravnu šesterokutnu piramidu, a zatim provedite avion i direktno.

Postoji čak i avion za izvlačenje problema, a da ne spominjemo rešenje ovog zadatka, međutim, koordinatni metod je još uvijek! To je u njegovoj svestranosti i glavna je prednost!

Avion prolazi kroz tri boda :. Tražimo njihove koordinate:

jedan). Sam izlaz koordinira za posljednja dva boda. Bit ćete korisno za ovo rješenje izazov sa šesterokutnom piramidom!

2) Gradimo jednadžbu aviona:

Tražimo koordinate vektora :. (pogledajte zadatak ponovo trokutastom piramidom!)

3) Tražimo ugao:

Odgovor:

Kao što vidite, u tim zadacima ništa nije natprirodno. Potrebno je samo biti vrlo oprezan sa korijenjem. Do poslednje dva zadatka daću samo odgovore:

Kako biste mogli osigurati tehniku \u200b\u200brješavanja zadataka svugdje isto: glavni zadatak da se utvrdi koordinate vrhova i zamjenjuju ih u određene formule. Ostavili smo razmotriti još jednu klasu izazova za izračunavanje uglova, naime:

Izračun uglova između dva aviona

Algoritamska rješenja bit će:

1. Za tri boda tražimo jednadžbu prvog ravnina:
2. Za ostale tri boda tražimo jednadžbu drugog ravnine:
3. Koristimo formulu:

Kao što vidite, formula je vrlo slična prethodna dva, sa kojom smo pretraživali uglove između ravnog i između ravnog i ravnine. Zato zapamtite da nećete biti mnogo poteškoća. Odmah idemo na analizu zadataka:

1. ST-RO-OS-NO-NIL-VIL-VILTER TRE-CONSUITE TREADE GDJE i DI-HAL BO-KO-KO-COP je jednak. Nay-di ugao između F-Co-dimenzije i F-Co-Stew OS-no-viya nagrade-mi.

2. U Pra-Ville-mi-deh-uglju pi-ra-mi-de, sva rebara su jednaki, sinus ugao između f-ko-dimenzije i ko-dimende, pro-ho-fith kroz olovku -Pen-di-lažljivac pen-lažov, ali ravno.

3. U ispravnoj nagradi CHE-ugljen-ugljen u SAD-u, OS-NA-VIA je jednak, a buket ivica je jednak. Na rubu od mene - do poenta tako da. Pronađite ugao između stana-ko-mi i

4. U našim našim našim nagradama PRA-WILLIANS-a, OS-NA-VIA je jednak, a bou - put Ribra je jednak. Na ivici od mene - tački tako da nai-di ugao između stana-ko-milja i.

5. Na Kubi, nau-di ko-si-nus ugao između ravnog ko-dive i

Rješenja zadataka:

1. Postanite ispravno (u bazi je ravnotežan trokut) trokutasti prizm i napomena o njenim avionima koji se pojavljuju u stanju problema:

Moramo pronaći jednadžbe dva aviona: osnovna jednadžba dobiva se trivijalno: Možete napraviti odgovarajuću odrednicu za tri boda, ja ću predstavljati jednadžbu odmah:

Sada ćemo pronaći poenta jednadžbu ima koordinate točke - kao što je to srednja i visina trougla, lako se nalazi na teorimi Pitagore u trouglu. Tada točka ima koordinate: pronađite točku aplikacije za to razmotrite pravokutni trokut

Tada dobijamo ove koordinate: sastavljat ćemo jednadžbu aviona.

Izračunajte ugao između aviona:

Odgovor:

2. Napravite crtež:

Najteže je razumjeti da je ovo tajanstveni avion koji prolazi kroz točku okomito. Pa, glavna stvar je to? Glavna stvar je pažljivost! U stvari, direktno je okomito. Ravno je takođe okomito. Tada će avion prolazi kroz ove dvije ravne linije biti okomit na ravno, a usput, proći kroz točku. Ovaj avion prolazi i kroz vrh piramide. Tada nam je željena ravnina - a avion već dat nama. Tražimo koordinate točaka.

Koordinata točke naći će se kroz tačku. Iz malog crteža lako je ukloniti da će koordinate točke biti takve: ono što je sada preostalo da bi se pronašla za pronalaženje koordinata vrhunca piramide? Još uvijek trebate izračunati njegovu visinu. To se vrši uz pomoć iste pitagorske teoreme: prvo dokazati da (trivijalno od malih trouglova koji formiraju kvadrat u bazi). Otkad pod uvjetom imamo:

Sada je sve spremno: koordinate vrhova:

Napravite jednadžbu aviona:

Već ste posebni u izračunu odrednica. Bez teškog, dobit ćete:

Ili na drugi način (ako postoje oba dijela za korijen od dva)

Sada nalazimo jednadžbu aviona:

(Nisi zaboravio kako dobijamo jednadžbu aviona? Ako ne razumijete odakle je taj minus došao, vratite se na definiciju jednadžbe aviona! Jednostavno prije toga, prije toga Moj avion je pripadao početku koordinata!)

Izračunajte odrednica:

(Možete primijetiti da se jednadžba aviona poklopila s jednadžbom direktnog prolaska kroz točke i! Mislite zašto!)

Sada izračunavamo ugao:

Moramo pronaći i sinus:

Odgovor:

3. Caverny Pitanje: Šta je pravokutni prizmin, šta mislite? Ovo je samo posebno poznati paralelepiped! Odmah napravite crtež! Možete čak i zasebno ne prikazati osnovu, prednosti toga ovdje je malo ovdje:

Avion, kao što smo već primijetili prije, napisan je u obliku jednadžbe:

Sada napravite avion

Jednadžba je jednadžba ravnine:

Tražimo ugao:

Sada odgovori na posljednja dva zadatka:

Pa, sada je vrijeme da se malo odmori, jer smo odlični i učinili ste ogroman posao!

Koordinate i vektori. Napredni nivo

U ovom ćemo članku razgovarati o vama još jednu klasu zadataka koji se mogu riješiti pomoću Koordinatne metode: zadaci za izračun udaljenosti. Naime, razmotrit ćemo sljedeće slučajeve:

1. Izračunavanje udaljenosti između ravne zemlje ravno.

Naručio sam ove zadatke kako se povećava njihova složenost. Najviše se ispostavilo da pronađe udaljenost od točke do avionaI najteže je pronaći udaljenost između poprečnog država ravno. Iako, naravno, nema ništa nemoguće! Nemojmo odgoditi u dugim okvir i odmah nastaviti s obzirom na prvu klasu zadataka:

Izračunavanje udaljenosti od točke do aviona

Šta trebamo riješiti ovaj zadatak?

1. Koordinate točke

Dakle, čim dobijemo sve potrebne podatke, koristimo formulu:

Dok gradimo jednadžbu aviona, već biste trebali biti poznati iz prethodnih zadataka koje sam u posljednjem dijelu shvatio. Odmah prestanimo na zadatke. Shema je sljedeća: 1, 2 - pomažem vam da odlučite i sasvim detalj, 3, 4 - samo odgovor, odluku koju provodite i upoređujete. Započeo!

Zadaci:

1. Dan Cube. Dužina ruba kocke jednaka je. Nai di-lopov od CE-di-di od reza do ravnog co-st

2. Dana Pra-Vil-Naya Che-Mi-Ya-Coal-Naya Pi-Mi-da Boe-Co-Co-rebra Stro-RO-on os-no-Via je jednak. Nay-di-that-yast od točke do ravnog suočaća gdje - se-redrome na rebrima.

3. U PRA-VILLE TREO CALL PI-RA-MI-DY sa OS-NO-NI-KO-KO-COMS-om, a sto ždrad-na os-na - jednakim. Nai di-lopov iz ver-shi-mi do ravnog co-st.

4. U Nagradu za ugradnju u šav Pra-Ville, sva Ribra je jednaka. Nay-di-Thato sto-yast od točke do ravnog co-st.

Rješenja:

1. Nacrtajte kocku s jednim ivicama, gradimo segment i avion, sredina segmenta označavamo pismo

.

U početku, krenimo s plućima: Pronađite koordinate točke. Od toga (zapamtite koordinate sredine segmenta!)

Sada sastavljamo jednadžbu aviona u tri tačke

\\ [\\ lijevo | (\\ Počnite (niz) (* (20) (c)) x i 0 i 1 \\\\ y & 1 i 0 \\\\ z & 1 & 1 \\ end (niz)) \\ desno | \u003d 0 \\]

Sada mogu nastaviti do potrage za udaljenosti:

2. Počinjemo iz crteža, gdje slavimo sve podatke!

Za piramidu bi bio koristan odvojeno za crtanje svoje baze.

Čak i činjenica da slikam kao pileći šapu ne sprečava nas lako da riješimo ovaj zadatak!

Sada je lako pronaći koordinate poantu

Kao koordinate poena, onda

2. Budući da su koordinate točke A - sredina segmenta, zatim

Također nalazimo koordinate još dva boda u ravnini kako bismo izvršili jednadžbu aviona i pojednostavili je:

\\ [\\ lijevo | (\\ Lijevo | (\\ point (niz) (* (20) (c)) x i 1 i (\\ frac (3) (2)) \\\\ y & 0 & (\\ frac (3) (2)) \\ \\ Z & 0 & (\\ frac ((\\ sqrt 3)) (2)) \\ end (niz)) \\ desno |) \\ desno | \u003d 0 \\]

Budući da poanta ima koordinate :, tada izračunavamo udaljenost:

Odgovor (vrlo rijetko!):

Pa, shvatio? Čini mi se da je sve i tehnički kao u tim primjerima koje smo razmotrili s vama u prethodnom dijelu. Dakle, siguran sam da ako ste savladali materijal, nećete biti teško riješiti preostala dva zadatka. Ja ću dati samo odgovore:

Izračun udaljenosti od direktnog do aviona

U stvari, ovde nema ništa novo. Kako se mogu smjestiti ravno i ravni u odnosu na jedan drugi? Imaju sve mogućnosti: križ ili direktno paralelno sa avionom. Što mislite, jednaka udaljenost od ravne linije do ravnine s kojom se ova direktna presijeca? Čini mi se da je jasno da je udaljenost nula. Jednostavni slučaj.

Drugi slučaj je lukav: Udaljenost je već nezero. Međutim, od ravne paralelne ravnine, tada je svaka tačka ekvivalentna ovoj ravnini:

Na ovaj način:

To znači da je moj zadatak izbušen na prethodni: Tražimo koordinate bilo koje točke na ravnoj liniji, tražimo jednadžbu ravnine, izračunavamo udaljenost od točke do aviona. Zapravo su takvi zadaci na ispitu izuzetno rijetki. Uspio sam pronaći samo jedan zadatak, a podaci u njemu bili su takav da se metoda koordinata nije bila baš primijenjena na njemu!

Sada se okrećemo drugom, mnogo važnije klase zadataka:

Izračun udaljenosti u direktnoj

Šta nam treba?

1. Koordinate točke iz kojeg tražimo udaljenost:

2. Koordinate bilo koje točke koje leže na liniji

3. Direktne vektore direktne koordinate

Koju formulu?

Što znači nazivnik ove frakcije i tako bi trebalo biti jasno: Dužina je vektora vodiča. Evo vrlo lukav brojčanik! Izraz znači modul (dužina) vektorskog proizvoda vektora i kako izračunati vektorski rad, proučavali smo u prethodnom dijelu rada. Ažurirajte svoje znanje, sada će nam biti vrlo korisne!

Dakle, algoritam rješavanja problema bit će sljedeći:

1. Tražimo koordinate točke iz kojeg tražimo udaljenost:

2. Tražimo koordinate bilo koje točke na liniji, koje tražimo udaljenost:

3. Izgradite vektor

4. Izgradite linijski vodič vektora

5. Izračunajte vektorsku umjetnost

6. Tražimo dužinu rezultirajućeg vektora:

7. Izračunajte udaljenost:

Imamo puno posla, a primjeri će biti prilično komplicirani! Dakle, sada se fokusirajte svu pažnju!

1. Dana pra-vil-naya tre-ugljen-naya pi-ra-mi-da sa ver-shih. Jedno-ro-na OS-no-viya pi-ra-mi-dya jednaki je, tako da je tako i jednak. Nai di-lopov iz SE D-di-ko-reiva do ravno, gdje su točke i - rebrike re-di.

2. Duljine rebara i direktnog M-uglja - Goa parale-le-le-pi-yes su jednake ko-plovila - ali i nai-di-lopovu od ver-shi-re-a -Direct

3. U nagradni su nagradama u Prau-Villeu, sva rebara jednaka su nai-lopovskoj ruti od točke do ravnog

Rješenja:

1. Napravite uredan crtež koji označavaju sve podatke:

Imamo puno posla s tobom! Prvo bih htio opisati riječi koje ćemo potražiti i u kojim redoslijedom:

1. Koordinate točaka i

2. Koordinate točke

3. Koordinate točaka i

4. Koordinate vektora i

5. Njihova vektor umjetnost

6. Dužina vektora

7. Dužina dužine vektora

8. Udaljenost od do

Pa, imamo puno posla! Prihvaćeni smo za nju, bacajući rukave!

1. Da biste pronašli koordinate visine piramide, moramo znati koordinate točke njegove apsitnosti jednake nuli, a ordinat je jednak apsisici jednako je jednaka dužini segmenta od visine segmenta od visine Jednakostrani trokut, zatim je podijeljen u odnos, računajući s vrha, stoga. Konačno, dobili su koordinate:

Koordinate poantu

2. - srednji rez

3. - Srednji segment

Srednji rez

4.kopinira

Koordinate vektora

5. Izračunajte vektorsku umjetnost:

6. Dužina vektora: Najlakši način je zamjena da je segment srednja linija trougla, što znači da je jednaka polovini baze. Tako da.

7. Razmatramo dužinu vektorskog rada:

8. Konačno, nalazimo udaljenost:

UV, pa! Iskreno, reći ću: rješenje ovog problema sa tradicionalnim metodama (kroz izgradnju) bi bilo mnogo brže. Ali ovdje sam se sveden na gotov algoritam! Dakle, mislim da vam je algoritam jasan? Stoga ću vas zamoliti da sami riješite preostala dva zadatka. Uporedite odgovore?

Opet, ponavljam: Ovi zadaci su lakši (brži) za rješavanje konstrukcija i ne pribjegavajući metodi koordinate. Pokazao sam takvo rješenje na odluku samo da vam pokažem univerzalnu metodu koja vam omogućava da zadržite bilo šta. "

Konačno, razmislite o posljednjem razredu zadataka:

Izračunavanje udaljenosti između ravne zemlje ravno

Ovdje će algoritam za rješavanje zadataka sličan prethodnoj. Šta imamo:

3. Bilo koji vektorski povezivanje točaka prvo i drugo ravno:

Kako tražimo udaljenost između ravnog?

Formula je sljedeća:

Brojčanik je modul mješovitog proizvoda (koji smo bili primijenjeni u prethodnom dijelu), a nazivnik je kao u prethodnoj formuli (modul vektorskog proizvoda direktnih vektora izravne, udaljenost između kojeg tražimo) .

Podsjetit ću te

onda formula za udaljenost može se prepisati u obliku:

Jednokrevetna odrednica za dijeljenje odrednica! Iako, da budem iskren, ne želim se ovde šaliti! Ova formula je u stvari, vrlo nezgrapna i vodi do dovoljno složenih proračuna. Na vašem mestu bih mu pribjegavao samo u najekstremnijem slučaju!

Pokušajmo riješiti nekoliko zadataka pomoću metode navedene gore:

1. U PRA-VILLE, nagrada za tre-ugljen, svi su Ribr Ko-Roy jednaki, nai di-ovani oni ravno i.

2. Nagradni nagrada Dana-Naya-Naya-Naya nagrada sa svim remijama-no-via-way-u jednak je-humu, pro-djed kroz bo-co-with i edge i se-ren- Di je rebra Java-Lhaa-Xia kvad-ra-Tom. Nay-di-Thes Rostozhone između rita i

Riješim prvi i oslanjam se na to, vi odlučite drugo!

1. Nacrtavam prizmu i označim ravno i

Koordinate točke C: Onda

Koordinate poantu

Koordinate vektora

Koordinate poantu

Koordinate vektora

Koordinate vektora

{!LANG-e0059beaf567ac3261625e516b119e80!}

{!LANG-7482b23ed6da464317f72ee19ad3c760!}

{!LANG-a60468c5b650ce70a9c94b5626728cb4!}

{!LANG-93a6312ede7733135f536eb2831271bf!}

Odgovor:

{!LANG-ccad0592c76a4e61731aacb27ceb0fe1!}

{!LANG-e43ae4a1d0f4393f3ca0193252529374!}

{!LANG-9911d0a9f98fcbd9355be92a0bd143d9!}
{!LANG-adc3d1aadf2c2215d59ab52212514403!}

{!LANG-3bf05314a8cf68e40a7af6bd9384316d!}{!LANG-2e25f51da276194496fc747b33f57e7d!}

{!LANG-d4f7b2daa7bc22d9ca6c2b0fe9330f95!}

,
{!LANG-74249704c467331cd272c991594a5d3e!}

{!LANG-26fa90c4517e9bb539262468a99e5c62!}

{!LANG-5212a1839205449942288f772eea4026!}

{!LANG-94d3244c5f3db9bd2a0ece7aedb8fcc5!}