Date su osnovne osobine prirodnog logaritma, graf, oblast definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, izvod, integral, proširenje niza stepena i prikaz funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija

Prirodni logaritam je funkcija y = ln x, inverzno eksponencijalu, x = e y, a koji je logaritam bazi broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam se široko koristi u matematici, jer njegov izvod ima najjednostavniji oblik: (ln x) ′ = 1 / x.

Na osnovu definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
f ≅ 2.718281828459045 ...;
.

Grafikon funkcije y = ln x.

Grafikon prirodnog logaritma (funkcije y = ln x) se dobija iz eksponentnog grafa preslikavanjem u odnosu na pravu liniju y = x.

Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti varijable x. Ona se monotono povećava u svom domenu definicije.

Kao x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost (- ∞).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost (+ ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Svaka funkcija stepena x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Opseg definicije, skup vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, stoga nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tabeli.

Ln x

ln 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Bilo koji logaritam se može izraziti prirodnim logaritmima koristeći formulu promjene baze:

Dokazi ovih formula su predstavljeni u odjeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Inverzna vrijednost prirodnog logaritma je eksponent.

Ako onda

Ako onda.

Derivat ln x

Derivat prirodnog logaritma:
.
Derivat prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Derivacija formula>>>

Integral

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
dakle,

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or
.
φ argument nije jednoznačno definiran. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
to će biti isti broj za različite n.

Dakle, prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.

Proširenje serije snaga

Pri razgradnji se dešava:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente tehničkih institucija, "Lan", 2009.

Instrukcije

Zapišite navedeni logaritamski izraz. Ako izraz koristi logaritam od 10, tada je njegova notacija skraćena i izgleda ovako: lg b je decimalni logaritam. Ako logaritam ima broj e kao bazu, onda zapišite izraz: ln b - prirodni logaritam. Podrazumijeva se da je rezultat bilo kojeg stepena na koji se osnovni broj mora podići da bi se dobio broj b.

Prilikom pronalaženja zbroja dvije funkcije, trebate ih samo redom razlikovati i dodati rezultate: (u + v) "= u" + v ";

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda dvije funkcije potrebno je pomnožiti izvod prve funkcije s drugom i dodati izvod druge funkcije, pomnožen s prvom funkcijom: (u * v) "= u" * v + v "* u;

Da bi se pronašao izvod količnika dvije funkcije, potrebno je, od umnožaka izvoda dividende, pomnoženog sa funkcijom djelitelja, oduzeti umnožak izvoda djelitelja pomnožen funkcijom dividende , i podijelite sve ovo sa funkcijom djelitelja na kvadrat. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Ako je data kompleksna funkcija, onda je potrebno pomnožiti izvod unutrašnje funkcije i izvod vanjske. Neka je y = u (v (x)), tada je y "(x) = y" (u) * v "(x).

Koristeći one dobivene iznad, možete razlikovati gotovo svaku funkciju. Dakle, pogledajmo nekoliko primjera:

y = x ^ 4, y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Postoje i problemi za izračunavanje derivacije u tački. Neka je data funkcija y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), potrebno je pronaći vrijednost funkcije u tački x = 1.
1) Pronađite izvod funkcije: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Izračunajte vrijednost funkcije u datoj tački y"(1) = 8 * e ^ 0 = 8

Povezani video zapisi

Koristan savjet

Naučite tablicu elementarnih derivata. Ovo će značajno uštedjeti vrijeme.

Izvori:

• derivat konstante

Dakle, koja je razlika između iracionalne jednačine i racionalne? Ako je nepoznata varijabla ispod predznaka kvadratnog korijena, onda se jednačina smatra iracionalnom.

Instrukcije

Glavna metoda za rješavanje ovakvih jednačina je metoda konstruisanja oba dijela jednačine na trgu. Kako god. ovo je prirodno, prvi korak je da se riješite znaka. Ova metoda nije tehnički teška, ali ponekad vas može dovesti u nevolje. Na primjer, jednadžba v (2x-5) = v (4x-7). Kvadriranjem obe strane dobijate 2x-5 = 4x-7. Ovu jednačinu nije teško riješiti; x = 1. Ali broj 1 neće biti dat jednačine... Zašto? Zamijenite 1 u jednačini za x, i desna i lijeva će sadržavati izraze koji nemaju smisla, tj. Ova vrijednost nije važeća za kvadratni korijen. Dakle, 1 je strani korijen, pa stoga data jednadžba nema korijena.

Dakle, iracionalna jednačina se rješava metodom kvadriranja obje njene strane. I nakon rješavanja jednadžbe, neophodno je odsjeći strane korijene. Da biste to učinili, zamijenite pronađene korijene u originalnu jednadžbu.

Razmotrite još jednu.
2x + vx-3 = 0
Naravno, ova jednačina se može riješiti na isti način kao i prethodna. Premjesti kompozit jednačine koji nemaju kvadratni korijen, na desnu stranu i onda koristite metodu kvadrature. riješiti rezultirajuću racionalnu jednadžbu i korijene. Ali i još jedan, graciozniji. Unesite novu varijablu; vx = y. Shodno tome, dobijate jednačinu oblika 2y2 + y-3 = 0. To jest, uobičajena kvadratna jednačina. Pronađite njegove korijene; y1 = 1 i y2 = -3 / 2. Dalje, odluči dva jednačine vx = 1; vx = -3 / 2. Druga jednadžba nema korijena, iz prve nalazimo da je x = 1. Ne zaboravite provjeriti korijenje.

Rješavanje identiteta je dovoljno jednostavno. To zahtijeva identične transformacije dok se cilj ne postigne. Tako će uz pomoć najjednostavnijih aritmetičkih operacija zadatak biti riješen.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovku.

Instrukcije

Najjednostavnija od takvih transformacija je algebarsko skraćeno množenje (kao što je kvadrat zbira (razlika), razlika kvadrata, zbir (razlika), kocka zbira (razlika)). Osim toga, postoje mnoge i trigonometrijske formule, koje su u suštini isti identiteti.

Zaista, kvadrat zbira dva člana jednak je kvadratu prvog plus dvostruki umnožak prvog sa drugim i plus kvadrat drugog, to jest, (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Pojednostavite oboje

Opšti principi rješenja

Pregledajte kroz udžbenik iz matematike ili više matematike, što je definitivni integral. Kao što znate, rješenje određenog integrala je funkcija, čiji će izvod dati integrand. Ova funkcija se naziva antiderivativna. Osnovni integrali su konstruisani po ovom principu.
Odredite tipom integranda koji je od tabelarnih integrala prikladan u ovom slučaju. Nije uvijek moguće to odmah utvrditi. Često, tabelarni prikaz postaje uočljiv tek nakon nekoliko transformacija kako bi se pojednostavio integrand.

Varijabilna metoda zamjene

Ako je integrand trigonometrijska funkcija, u čijem argumentu postoji neki polinom, pokušajte koristiti metodu promjene varijable. Da biste to učinili, zamijenite polinom u argumentu integranda nekom novom varijablom. Odredite nove granice integracije iz odnosa između nove i stare varijable. Razlikujući ovaj izraz, pronađite novi diferencijal u. Tako ćete dobiti novi oblik prethodnog integrala, blizak ili čak odgovarajući nekom tabelarnom.

Rješenje integrala druge vrste

Ako je integral integral druge vrste, vektorski oblik integranda, tada ćete morati da koristite pravila za prelazak sa ovih integrala na skalarne. Jedno od ovih pravila je Ostrogradsky-Gaussov omjer. Ovaj zakon omogućava prelazak sa fluksa rotora određene vektorske funkcije na trostruki integral preko divergencije datog vektorskog polja.

Zamjena granica integracije

Nakon pronalaženja antiderivata, potrebno je zamijeniti granice integracije. Prvo, ubacite gornju graničnu vrijednost u antiderivatni izraz. Dobićete neki broj. Zatim od rezultujućeg broja oduzmite drugi broj dobijen od donje granice antiderivatu. Ako je jedna od granica integracije beskonačnost, onda je prilikom zamjene u antiderivativnu funkciju potrebno otići do granice i pronaći čemu izraz teži.
Ako je integral dvodimenzionalan ili trodimenzionalan, tada ćete morati geometrijski predstaviti granice integracije da biste razumjeli kako izračunati integral. Zaista, u slučaju, recimo, trodimenzionalnog integrala, granice integracije mogu biti cijele ravni koje ograničavaju volumen koji se integrira.

Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a> 0, a nije jednak 1) je broj c takav da je ac = b: log ab = c ⇔ ac = b (a> 0, a ≠ 1, b > 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Napomena: logaritam nepozitivnog broja je nedefinisan. Osim toga, baza logaritma mora biti pozitivan broj, koji nije jednak 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobićemo broj 4, ali to ne znači da je logaritam na osnovu -2 od 4 2.

Osnovni logaritamski identitet

a log a b = b (a> 0, a ≠ 1) (2)

Važno je da su područja definicije desne i lijeve strane ove formule različita. Lijeva strana je definirana samo za b> 0, a> 0 i a ≠ 1. Desna strana je definirana za bilo koje b i uopće ne ovisi o a. Dakle, korištenje osnovnog logaritamskog "identiteta" u rješavanju jednačina i nejednačina može dovesti do promjene GDV-a.

Dvije očigledne posljedice definicije logaritma

log a a = 1 (a> 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a> 0, a ≠ 1) (4)

Zaista, kada broj a podignemo na prvi stepen, dobijamo isti broj, a kada ga podignemo na nulti stepen dobijamo jedan.

Logaritam proizvoda i logaritam kvocijenta

log a (b c) = log a b + log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) (5)

Log a b c = log a b - log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) (6)

Želio bih upozoriti školarce na nepromišljeno korištenje ovih formula prilikom rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. Kada se koriste "s lijeva na desno", ODZ se sužava, a kada se prelazi sa zbira ili razlike logaritama na logaritam proizvoda ili količnika, ODV se širi.

Zaista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije striktno pozitivne, ili kada su f (x) i g (x) oba manje od nule.

Transformirajući ovaj izraz u zbir log a f (x) + log a g (x), moramo se ograničiti samo na slučaj kada je f (x)> 0 i g (x)> 0. Dolazi do sužavanja raspona dozvoljenih vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).

Stepen se može izraziti izvan predznaka logaritma

log a b p = p log a b (a> 0, a ≠ 1, b> 0) (7)

I opet bih želeo da pozovem na tačnost. Razmotrite sljedeći primjer:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lijeva strana jednakosti definirana je, očigledno, za sve vrijednosti f (x), osim nule. Desna strana je samo za f (x)> 0! Uzimajući snagu iz logaritma, ponovo sužavamo ODV. Obrnuti postupak proširuje raspon važećih vrijednosti. Sve ove napomene se odnose ne samo na stepen 2, već i na bilo koji paran stepen.

Formula za prelazak na novu bazu

log a b = log c b log c a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1) (8)

Ovo je rijedak slučaj kada se ODV ne mijenja tokom transformacije. Ako ste razumno odabrali bazu c (pozitivnu i nije jednaku 1), formula za prijelaz na novu bazu je potpuno sigurna.

Ako odaberemo broj b kao novu bazu c, dobićemo važan poseban slučaj formule (8):

Log a b = 1 log b a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) (9)

Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima

Primjer 1. Izračunajte: lg2 + lg50.
Rješenje. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Koristili smo formulu za zbir logaritama (5) i definiciju decimalnog logaritma.

Primjer 2. Izračunajte: lg125 / lg5.
Rješenje. lg125 / lg5 = log 5 125 = 3. Koristili smo formulu za prelazak na novu bazu (8).

Tabela formula vezanih za logaritme

a log a b = b (a> 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a> 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a> 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0)

log a b c = log a b - log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0)

log a b p = p log a b (a> 0, a ≠ 1, b> 0)

log a b = log c b log c a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1)

Logaritamski izrazi, rješenje primjera. U ovom članku ćemo pogledati probleme vezane za rješavanje logaritama. U zadacima se postavlja pitanje pronalaženja značenja izraza. Treba napomenuti da se koncept logaritma koristi u mnogim zadacima i izuzetno je važno razumjeti njegovo značenje. Što se ispita tiče, logaritam se koristi pri rješavanju jednačina, u primijenjenim problemima, kao i u zadacima vezanim za proučavanje funkcija.

Evo nekoliko primjera za razumijevanje samog značenja logaritma:

Osnovni logaritamski identitet:

Svojstva logaritama koje se uvijek moraju zapamtiti:

* Logaritam proizvoda je zbir logaritama faktora.

* * *

* Logaritam količnika (razlomka) jednak je razlici između logaritama faktora.

* * *

* Logaritam stepena jednak je proizvodu eksponenta logaritmom njegove baze.

* * *

* Prelazak na novu bazu

* * *

Više nekretnina:

* * *

Izračunavanje logaritama je usko povezano sa upotrebom svojstava eksponenata.

Navedimo neke od njih:

Suština ovog svojstva je da kada se brojnik prenese na nazivnik i obrnuto, predznak eksponenta se obrće. Na primjer:

Posljedica ove imovine:

* * *

Kada se stepen diže na stepen, baza ostaje ista, a indikatori se množe.

* * *

Kao što ste vidjeli, sam koncept logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da je potrebna dobra praksa koja daje određenu vještinu. Naravno, potrebno je poznavanje formula. Ako se ne formira vještina pretvaranja elementarnih logaritama, tada prilikom rješavanja jednostavnih zadataka možete lako pogriješiti.

Vježbajte, prvo riješite najjednostavnije primjere iz matematike, pa pređite na teže. Ubuduće ću vam svakako pokazati kako se rješavaju "ružni" logaritmi, takvih logaritma neće biti na ispitu, ali su zanimljivi, nemojte propustiti!

To je sve! Uspeh Vama!

Srdačan pozdrav, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste nam rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.

Kao što znate, kada se množe izrazi sa potencijama, njihovi eksponenti se uvijek zbrajaju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon izveo je Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celih indikatora. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim sabiranjem. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log ab = c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) "b" na osnovu njegove baze "a" je stepen "c", na koju se mora podići osnova "a" da bi se na kraju dobila vrijednost "b". Analizirajmo logaritam koristeći primjere, na primjer, postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takav stepen da od 2 do željenog stepena dobijete 8. Nakon nekih proračuna u svom umu, dobijamo broj 3! I tačno, jer 2 na stepen od 3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali u stvari, logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri različite vrste logaritamskih izraza:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, osnova 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b prema osnovici a> 1.

Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji prilikom njihovog rješavanja.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno o njima se ne može pregovarati i istinita su. Na primjer, ne možete dijeliti brojeve sa nulom, i još uvijek ne možete izdvojiti paran korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• osnova "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
• ako je a> 0, onda a b> 0, ispada da "c" takođe mora biti veći od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dat je zadatak da se pronađe odgovor na jednadžbu 10 x = 100. Vrlo je lako, potrebno je odabrati takav stepen, podižući broj deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100 .

Sada ćemo predstaviti ovaj izraz kao logaritamski. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje se gotovo konvergiraju da bi se pronašla potencija na koju je potrebno uvesti bazu logaritma da bi se dobio dati broj.

Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, potrebno je naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, veće vrijednosti će zahtijevati tablicu snage. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je stepen c na koji se podiže broj a. Na sjecištu u ćelijama definiraju se vrijednosti brojeva, koji su odgovor (a c = b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanista razumjeti!

Jednačine i nejednačine

Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izraz može zapisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 = 81 može se napisati kao logaritam od 81 prema bazi 3, jednako četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32, zapišemo to kao logaritam, dobijemo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih oblasti matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo ispod, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.

Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1)> 3 - to je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I u izrazu se uspoređuju dvije vrijednosti: logaritam traženog broja u bazi dva je veći od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednačina je ta što jednadžbe s logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok rješavanje nejednakosti određuje i raspon dopuštenih vrijednosti ​i tačke koje prekidaju ovu funkciju. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup odvojenih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovne teoreme o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka za pronalaženje vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednačina, hajde da prvo analiziramo svako svojstvo detaljnije.

1. Glavni identitet izgleda ovako: a logaB = B. Primjenjuje se samo ako je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
2. Logaritam proizvoda se može predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, preduslov je: d, s 1 i s 2> 0; a ≠ 1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, sa primjerima i rješenjem. Neka je log kao 1 = f 1 i log kao 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (osobine powers ), i dalje po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log kao 2, što je i trebalo dokazati.
3. Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n / q log a b.

Ova formula se naziva "svojstvo stepena logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer se sva matematika zasniva na prirodnim postulatima. Hajde da pogledamo dokaz.

Neka log a b = t, ispada da je a t = b. Ako oba dijela podignemo na stepen m: a tn = b n;

ali pošto je a tn = (a q) nt / q = b n, dakle log a q b n = (n * t) / t, onda log a q b n = n / q log a b. Teorema je dokazana.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obavezni dio ispita iz matematike. Da biste ušli na fakultet ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, međutim, određena pravila se mogu primijeniti na svaku matematičku nejednačinu ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, potrebno je utvrditi da li se izraz može pojednostaviti ili dovesti u opći oblik. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi potrebno je odrediti kakav je logaritam pred nama: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da trebate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Za rješenja prirodnih logaritama potrebno je primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno rastaviti veliku vrijednost broja b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, primjenom četvrtog svojstva stepena logaritma, bilo je moguće riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Vi samo trebate faktorisati bazu, a zatim uzeti vrijednosti snage iz predznaka logaritma.

Zadaci sa ispita

Na prijemnim ispitima se često nalaze logaritmi, posebno puno logaritamskih problema na ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši probni dio ispita), već i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva tačno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih verzija Jedinstvenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dat je log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Najbolje je sve logaritme pretvoriti u jednu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod znakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se eksponent eksponenta izuzme faktorom koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan .