Vremenom varira u skladu sa sinusoidnim zakonom:

Gdje X- vrijednost fluktuirajuće količine u trenutku t, A- amplituda, ω - kružna frekvencija, φ — početna faza oscilacija, ( φt + φ ) - puna faza oscilacija. Istovremeno, vrijednosti A, ω I φ - trajno.

Za mehaničke vibracije fluktuirajuće veličine X su, posebno, pomak i brzina, za električne vibracije - napon i struja.

Harmonične oscilacije zauzimaju posebno mjesto među svim vrstama oscilacija, jer je to jedina vrsta oscilacija čiji se oblik ne izobličuje pri prolasku kroz bilo koji homogeni medij, odnosno harmonijski će biti i valovi koji se šire od izvora harmonijskih oscilacija. Bilo koja neharmonična oscilacija može se predstaviti kao zbir (integral) različitih harmonijskih oscilacija (u obliku spektra harmonijskih oscilacija).

Energetske transformacije tokom harmonijskih vibracija.

Tokom procesa oscilovanja dolazi do prijenosa potencijalne energije Wp do kinetičke Wk i obrnuto. U položaju maksimalnog odstupanja od ravnotežnog položaja, potencijalna energija je maksimalna, a kinetička energija nula. Kako se vraća u ravnotežni položaj, brzina oscilirajućeg tijela se povećava, a sa njim se povećava i kinetička energija, dostižući maksimum u ravnotežnom položaju. Potencijalna energija pada na nulu. Dalje kretanje se događa sa smanjenjem brzine, koja pada na nulu kada otklon dostigne svoj drugi maksimum. Potencijalna energija se ovdje povećava do svoje početne (maksimalne) vrijednosti (u odsustvu trenja). Dakle, oscilacije kinetičke i potencijalne energije javljaju se dvostruko većom frekvencijom (u poređenju sa oscilacijama samog klatna) i nalaze se u antifazi (tj. između njih postoji fazni pomak jednak π ). Ukupna energija vibracija W ostaje nepromijenjena. Za tijelo koje oscilira pod djelovanjem elastične sile, jednako je:

Gdje v m— maksimalna brzina tijela (u ravnotežnom položaju), x m = A- amplituda.

Zbog prisustva trenja i otpora medija, slobodne vibracije se smanjuju: njihova energija i amplituda se smanjuju tokom vremena. Stoga se u praksi češće koriste prisilne oscilacije od slobodnih.

Oscilacije pokreti ili procesi koji se odlikuju određenom ponovljivošću tokom vremena nazivaju se. Oscilatorni procesi su rasprostranjeni u prirodi i tehnologiji, na primjer, njihanje satnog klatna, naizmjenična električna struja itd. Kada klatno oscilira mijenja se koordinata njegovog centra mase, u slučaju naizmjenične struje napon i struja u kolu fluktuiraju. Fizička priroda vibracija može biti različita, stoga postoje mehaničke, elektromagnetne itd. Međutim, različiti oscilatorni procesi se opisuju istim karakteristikama i istim jednačinama. Otuda i svrsishodnost zajednički pristup na proučavanje vibracija različite fizičke prirode.

Oscilacije se nazivaju besplatno, ako nastaju samo pod uticajem unutrašnjih sila koje deluju između elemenata sistema, nakon što je sistem izvučen iz ravnoteže spoljnim silama i prepušten sam sebi. Uvek besplatne vibracije prigušene oscilacije , jer su u realnim sistemima gubici energije neizbježni. U idealiziranom slučaju sistema bez gubitka energije, slobodne oscilacije (koje se nastavljaju koliko god se želi) nazivaju se vlastiti.

Najjednostavniji tip slobodnih neprigušenih oscilacija su harmonijske vibracije - oscilacije u kojima se oscilirajuća veličina mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa (kosinusa). Vibracije koje se nalaze u prirodi i tehnologiji često imaju karakter blizak harmoničnom.

Harmonične oscilacije su opisane jednadžbom koja se naziva jednačina harmonijskih oscilacija:

Gdje A- amplituda oscilacija, maksimalna vrijednost oscilirajuće veličine X; - kružna (ciklička) frekvencija prirodnih oscilacija; - početna faza oscilovanja u trenutku vremena t= 0; - faza oscilacije u trenutku vremena t. Faza oscilovanja određuje vrijednost oscilirajuće veličine u datom trenutku. Pošto kosinus varira od +1 do -1, onda X može uzeti vrijednosti od + A prije - A.

Vrijeme T tokom koje sistem dovrši jednu potpunu oscilaciju se zove period oscilovanja. Tokom T faza oscilovanja se povećava za 2 π , tj.

Gdje . (14.2)

Recipročna vrednost perioda oscilovanja

tj. broj kompletnih oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija oscilovanja. Upoređujući (14.2) i (14.3) dobijamo

Jedinica za frekvenciju je herc (Hz): 1 Hz je frekvencija na kojoj se jedna potpuna oscilacija javlja u 1 s.

Sistemi u kojima se mogu javiti slobodne vibracije nazivaju se oscilatori . Koja svojstva mora imati sistem da bi se u njemu pojavile slobodne vibracije? Mehanički sistem mora imati stabilan položaj ravnoteže, nakon izlaska koji se pojavljuje povratna sila usmjerena prema ravnotežnom položaju. Ova pozicija odgovara, kao što je poznato, minimalnoj potencijalnoj energiji sistema. Razmotrimo nekoliko oscilatornih sistema koji zadovoljavaju navedena svojstva.

Harmonične vibracije

Grafovi funkcija f(x) = sin( x) I g(x) = cos( x) na kartezijanskoj ravni.

Harmonične oscilacije- oscilacije u kojima se fizička (ili bilo koja druga) veličina mijenja tokom vremena prema sinusoidnom ili kosinusnom zakonu. Kinematska jednadžba harmonijskih oscilacija ima oblik

,

Gdje X- pomicanje (odstupanje) oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja u trenutku t; A- amplituda oscilacija, to je vrijednost koja određuje maksimalno odstupanje oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja; ω - ciklična frekvencija, vrijednost koja pokazuje broj potpunih oscilacija koje se dešavaju unutar 2π sekundi - puna faza oscilacija, - početna faza oscilacija.

Generalizirana harmonijska oscilacija u diferencijalnom obliku

(Svako netrivijalno rješenje ove diferencijalne jednadžbe je harmonijska oscilacija s cikličkom frekvencijom)

Vrste vibracija

Vremenska evolucija pomaka, brzine i ubrzanja u harmonijskom kretanju

• Besplatne vibracije odvijaju se pod uticajem unutrašnjih sila sistema nakon što je sistem uklonjen iz ravnotežnog položaja. Da bi slobodne oscilacije bile harmonične, potrebno je da oscilatorni sistem bude linearan (opisan linearnim jednačinama kretanja), i da u njemu nema disipacije energije (ovo bi izazvalo slabljenje).
• Prisilne vibracije izvode se pod uticajem spoljne periodične sile. Da bi bili harmonični, dovoljno je da je oscilatorni sistem linearan (opisan linearnim jednačinama kretanja), a sama vanjska sila se mijenja tokom vremena kao harmonijska oscilacija (odnosno da je vremenska ovisnost ove sile sinusoidalna) .

Aplikacija

Harmonične vibracije se izdvajaju od svih ostalih vrsta vibracija iz sljedećih razloga:

vidi takođe

Bilješke

Književnost

• fizika. Osnovni udžbenik fizike / Ed. G. S. Lansberg. - 3. izd. - M., 1962. - T. 3.
• Khaikin S. E. Fizičke osnove mehanike. - M., 1963.
• A. M. Afonin. Fizičke osnove mehanike. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
• Gorelik G. S. Oscilacije i talasi. Uvod u akustiku, radiofiziku i optiku. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 str.

Wikimedia Foundation. 2010.

• Commune Malbork
• Narodi Afrike

Pogledajte šta su "Harmonične oscilacije" u drugim rječnicima:

HARMONIČKE VIBRACIJE Moderna enciklopedija

Harmonične vibracije- HARMONIČKE VIBRACIJE, periodične promjene fizičke veličine koje se javljaju po zakonu sinusa. Grafički, harmonijske oscilacije su predstavljene sinusoidnom krivom. Harmonične oscilacije su najjednostavniji tip periodičnih kretanja, koje karakteriše... Ilustrovani enciklopedijski rječnik

Harmonične vibracije- Oscilacije u kojima se fizička veličina mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa. Grafički, GK su predstavljeni zakrivljenim sinusnim ili kosinusnim talasom (vidi sliku); mogu se napisati u obliku: x = Asin (ωt + φ) ili x... Velika sovjetska enciklopedija

HARMONIČKE VIBRACIJE- HARMONIČKE VIBRACIJE, periodično kretanje kao što je kretanje KLATNA, atomske vibracije ili oscilacije u električnom kolu. Tijelo vrši neprigušene harmonijske oscilacije kada oscilira duž linije, krećući se isto ... ... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

HARMONIČKE VIBRACIJE- vibracije, sa kojima fizičke (ili bilo koja druga) količina se mijenja tokom vremena prema sinusoidnom zakonu: x=Asin(wt+j), gdje je x vrijednost fluktuirajuće količine u datom trenutku. trenutak vremena t (za mehanički G.K., na primjer, pomak ili brzina, za ... ... Fizička enciklopedija

harmonijske vibracije- Mehaničke oscilacije, u kojima se generalizirana koordinata i (ili) generalizirana brzina mijenjaju proporcionalno sinusu s argumentom koji linearno ovisi o vremenu. [Zbirka preporučenih termina. Broj 106. Mehaničke vibracije. Akademija nauka… Vodič za tehnički prevodilac

HARMONIČKE VIBRACIJE- vibracije, sa kojima fizičke (ili bilo koja druga) količina se mijenja tokom vremena prema sinusoidnom zakonu, gdje je x vrijednost oscilirajuće količine u trenutku t (za mehaničke hidraulične sisteme, na primjer, pomak i brzina, za električni napon i jačinu struje) ... Fizička enciklopedija

HARMONIČKE VIBRACIJE- (vidi), u kojem fizičkom. količina se mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa (na primjer, promjene (vidi) i brzina tokom oscilacije (vidi) ili promjene (vidi) i jačina struje tokom električnih kola) ... Velika politehnička enciklopedija

HARMONIČKE VIBRACIJE- karakteriziraju se promjenom oscilirajuće vrijednosti x (na primjer, odstupanje klatna od ravnotežnog položaja, napon u kolu naizmjenične struje, itd.) u vremenu t prema zakonu: x = Asin (?t + ?), gdje je A amplituda harmonijskih oscilacija, ? ugao ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

Harmonične vibracije- 19. Harmonične oscilacije Oscilacije kod kojih se vrijednosti oscilirajuće veličine mijenjaju tokom vremena prema zakonu Izvor ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

HARMONIČKE VIBRACIJE- periodično fluktuacije, u kojima promjene u vremenu fizičke. veličine se javljaju prema zakonu sinusa ili kosinusa (vidi sliku): s = Asin(wt+f0), gdje je s odstupanje oscilirajuće veličine od njenog prosjeka. (ravnotežna) vrijednost, A=const amplituda, w= const kružna... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

Jednačina harmonijskih vibracija

Jednačina harmonijskog oscilovanja utvrđuje zavisnost koordinata tela o vremenu

Kosinusni graf u početnom trenutku ima maksimalnu vrijednost, a sinusni graf ima nultu vrijednost u početnom trenutku. Ako oscilaciju počnemo ispitivati ​​iz ravnotežnog položaja, tada će oscilacija ponoviti sinusoidu. Ako oscilaciju počnemo razmatrati s pozicije maksimalnog odstupanja, tada će oscilacija biti opisana kosinusom. Ili se takva oscilacija može opisati sinusnom formulom sa početnom fazom.

Promjena brzine i ubrzanja tokom harmonijskih oscilacija

Ne samo da se koordinate tijela mijenjaju tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa. Ali veličine kao što su sila, brzina i ubrzanje također se mijenjaju slično. Sila i ubrzanje su maksimalne kada je oscilirajuće tijelo na krajnjim pozicijama gdje je pomak maksimalan, a nula kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj. Brzina je, naprotiv, u ekstremnim položajima nula, a kada tijelo prođe kroz ravnotežni položaj, ono dostiže svoju maksimalnu vrijednost.

Ako je oscilacija opisana zakonom kosinusa

Ako je oscilacija opisana prema sinusnom zakonu

Maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja

Analizirajući jednadžbe zavisnosti v(t) i a(t), možemo pretpostaviti da brzina i ubrzanje poprimaju maksimalne vrijednosti u slučaju kada je trigonometrijski faktor jednak 1 ili -1. Određeno formulom

1.18. HARMONIČKE VIBRACIJE I NJIHOVE KARAKTERISTIKE

Definicija harmonijskih vibracija. Karakteristike harmonijskih oscilacija: pomak iz ravnotežnog položaja, amplituda oscilacija, faza oscilovanja, frekvencija i period oscilacija. Brzina i ubrzanje oscilirajuće tačke. Energija harmonijskog oscilatora. Primjeri harmonijskih oscilatora: matematički, opružni, torzijski i fizički Kineska klatna.

Akustika, radiotehnika, optika i druge grane nauke i tehnologije zasnivaju se na proučavanju oscilacija i talasa. Teorija vibracija igra važnu ulogu u mehanici, posebno u proračunima čvrstoće aviona, mostova i određenih vrsta mašina i komponenti.

Oscilacije su procesi koji se ponavljaju u pravilnim intervalima (i nisu svi procesi koji se ponavljaju oscilacije!). Ovisno o fizičkoj prirodi procesa koji se ponavlja, vibracije se razlikuju mehaničke, elektromagnetne, elektromehaničke itd. Tokom mehaničkih vibracija, položaji i koordinate tijela se periodično mijenjaju.

obnavljajuća sila - sila pod čijim uticajem nastaje oscilatorni proces. Ova sila teži da vrati tijelo ili materijalnu tačku, otklone od svog položaja mirovanja, u prvobitni položaj.

U zavisnosti od prirode udara na oscilirajuće tijelo, razlikuje se slobodne (ili prirodne) vibracije i prisilne vibracije.

U zavisnosti od prirode uticaja na oscilacioni sistem, razlikuju se slobodne oscilacije, prisilne oscilacije, autooscilacije i parametarske oscilacije.

Besplatno (vlastiti) oscilacije su one oscilacije koje se javljaju u sistemu prepuštenom samom sebi nakon što mu je dat pritisak, ili je uklonjen iz ravnotežnog položaja, tj. kada na oscilirajuće tijelo djeluje samo povratna sila.Primjer je oscilacija lopte okačene na niti. Da biste izazvali vibracije, morate ili gurnuti loptu ili je, pomjerajući je u stranu, pustiti. U slučaju da ne dođe do disipacije energije, slobodne oscilacije se ne prigušuju. Međutim, stvarni oscilatorni procesi su prigušeni, jer tijelo koje oscilira podložno je silama otpora kretanju (uglavnom silama trenja).

· Prisilno nazivaju se takve oscilacije, tokom kojih je oscilirajući sistem izložen vanjskoj sili koja se periodično mijenja (na primjer, oscilacije mosta koje nastaju kada ljudi hodaju po njemu, hodajući u korak). U mnogim slučajevima, sistemi prolaze kroz oscilacije koje se mogu smatrati harmonijskim.

· Samooscilacije , kao i prinudne oscilacije, one su praćene uticajem spoljašnjih sila na oscilujući sistem, međutim, trenutke vremena kada se ti uticaji dešavaju postavlja sam oscilujući sistem. Odnosno, sam sistem kontroliše spoljne uticaje. Primjer samooscilirajućeg sistema je sat u kojem klatno prima udare zbog energije podignute težine ili uvrnute opruge, a ti udari nastaju u trenucima kada klatno prolazi kroz srednji položaj.

· Parametrijski oscilacije nastaju kada se parametri oscilirajućeg sistema periodično mijenjaju (osoba koja se ljulja na ljuljašci povremeno podiže i spušta svoje težište, mijenjajući tako parametre sistema). Pod određenim uslovima sistem postaje nestabilan - nasumično odstupanje od ravnotežnog položaja dovodi do pojave i povećanja oscilacija. Ova pojava se naziva parametarska pobuda oscilacija (tj. oscilacije se pobuđuju promjenom parametara sistema), a same oscilacije se nazivaju parametarskim.

Unatoč njihovoj različitoj fizičkoj prirodi, vibracije karakteriziraju isti obrasci, koji se proučavaju općim metodama. Važna kinematička karakteristika je oblik vibracija. Određuje se tipom vremenske funkcije koja opisuje promjenu jedne ili druge fizičke veličine tokom oscilacija. Najvažnije fluktuacije su one kod kojih se fluktuirajuća količina mijenja tokom vremena. prema zakonu sinusa ili kosinusa . Zovu se harmonic .

Harmonične vibracije nazivaju se oscilacije u kojima se oscilirajuća fizička veličina mijenja prema zakonu sinusa (ili kosinusa).

Ova vrsta oscilacija je posebno važna iz sljedećih razloga. Prvo, vibracije u prirodi i tehnologiji često imaju karakter vrlo blizak harmonijskom. Drugo, periodični procesi različitog oblika (sa različitom vremenskom zavisnošću) mogu se predstaviti kao superpozicija, ili superpozicija, harmonijskih oscilacija.

Harmonic Oscillator Equation

Harmonične oscilacije opisane su periodičnim zakonom:

Rice. 18.1. Harmonične oscilacije

Z

ovdje
- karakteriše promijeniti bilo koja fizička veličina tokom oscilacija (pomak položaja klatna iz ravnotežnog položaja; napon na kondenzatoru u oscilatornom krugu, itd.), A - amplituda vibracije ,
- faza oscilovanja , - početna faza ,
- ciklička frekvencija ; veličina
takođe pozvan vlastiti frekvencija vibracija. Ovaj naziv naglašava da je ova frekvencija određena parametrima oscilatornog sistema. Zove se sistem čiji zakon kretanja ima oblik (18.1). jednodimenzionalni harmonijski oscilator . Pored navedenih veličina, pojmovi o period , tj. vrijeme jedne oscilacije.

(Period oscilacije T je najkraći vremenski period nakon kojeg se stanja oscilirajućeg sistema ponavljaju (završava se jedna potpuna oscilacija) i faza oscilovanja dobija prirast od 2p).

I frekvencije
, koji određuje broj oscilacija u jedinici vremena. Jedinica frekvencije je frekvencija takve oscilacije, čiji je period 1 s. Ova jedinica se zove hertz (Hz ).

Frekvencija oscilovanjan je recipročna vrednost perioda oscilovanja - broja kompletnih oscilacija izvršenih u jedinici vremena.

Amplituda- maksimalna vrijednost pomaka ili promjene varijable tokom oscilatornog ili talasnog kretanja.

Faza oscilovanja- argument periodične funkcije ili onaj koji opisuje harmonijski oscilatorni proces (ω - kutna frekvencija, t- vrijeme, - početna faza oscilacija, odnosno faza oscilacija u početnom trenutku vremena t = 0).

Prvi i drugi vremenski izvod harmonijski oscilirajuće veličine također izvode harmonijske oscilacije iste frekvencije:

U ovom slučaju se kao osnova uzima jednačina harmonijskih oscilacija napisana po kosinusnom zakonu. U ovom slučaju, prva jednačina (18.2) opisuje zakon prema kojem se mijenja brzina oscilirajuće materijalne tačke (tijela), druga jednačina opisuje zakon prema kojem se mijenja ubrzanje oscilirajuće tačke (tijela).

Amplitude
I
su jednake respektivno
I
. Oklevanje
naprijed
u fazi po ; i oklevanje
naprijed
on . Vrijednosti A I može se odrediti iz datih početnih uslova
I
:

,
. (18.3)

Energija oscilatora oscilatora

P

Rice. 18.2. Opružno klatno

Hajde sad da vidimo šta će se desiti energija vibracija . Kao primjer harmonijskih oscilacija, razmotrite jednodimenzionalne oscilacije koje izvodi tijelo mase m Pod uticajem elastična snagu
(na primjer, opružno klatno, vidi sliku 18.2). Sile različite prirode od elastičnih, ali u kojima je zadovoljen uslov F = -kx, nazivaju se kvazielastična. Pod uticajem ovih sila, tela vrše i harmonijske vibracije. neka bude:

pristrasnost:
brzina:
ubrzanje:

One. jednadžba takvih oscilacija ima oblik (18.1) sa prirodnom frekvencijom
. Kvazielastična sila je konzervativan . Stoga ukupna energija takvih harmonijskih oscilacija mora ostati konstantna. Tokom procesa oscilacija, kinetička energija se pretvara E To u potencijal E P i obrnuto, a u trenucima najvećeg odstupanja od ravnotežnog položaja ukupna energija je jednaka maksimalnoj vrijednosti potencijalne energije, a kada sistem prođe kroz ravnotežni položaj, ukupna energija je jednaka maksimalnoj vrijednosti kinetičke energije. Hajde da saznamo kako se kinetička i potencijalna energija mijenjaju tokom vremena:

Kinetička energija:

Potencijalna energija:

(18.5)

S obzirom da tj. , posljednji izraz se može napisati kao:

Tako se ispostavlja da je ukupna energija harmonijske oscilacije konstantna. Iz relacija (18.4) i (18.5) također slijedi da su prosječne vrijednosti kinetičke i potencijalne energije jednake jedna drugoj i polovina ukupne energije, budući da su prosječne vrijednosti
I
po periodu su jednake 0,5. Koristeći trigonometrijske formule, možemo pronaći da se kinetička i potencijalna energija mijenjaju s frekvencijom
, tj. sa frekvencijom dvostruko većom od frekvencije harmonijskih vibracija.

Primjeri harmonijskog oscilatora uključuju opružna klatna, fizička klatna, matematička klatna i torzijska klatna.

1. Opružno klatno- ovo je opterećenje mase m, koje je okačeno na apsolutno elastičnu oprugu i vrši harmonijske oscilacije pod djelovanjem elastične sile F = –kx, gdje je k krutost opruge. Jednačina kretanja klatna ima oblik ili (18.8) Iz formule (18.8) proizilazi da opružno klatno vrši harmonijske oscilacije po zakonu x = Asos(ω 0 t+φ) sa cikličkom frekvencijom

(18.9) i tačka

(18.10) Formula (18.10) vrijedi za elastične vibracije u granicama u kojima je zadovoljen Hukov zakon, odnosno ako je masa opruge mala u odnosu na masu tijela. Potencijalna energija opružnog klatna, koristeći (18.9) i formulu potencijalne energije iz prethodnog odjeljka, jednaka je (vidi 18.5)

2. Fizičko klatno je čvrsto tijelo koje pod utjecajem gravitacije oscilira oko fiksne horizontalne ose koja prolazi kroz tačku O, koja se ne poklapa sa centrom mase C tijela (slika 1).

Slika 18.3 Fizičko klatno

Ako se klatno od ravnotežnog položaja odbije za određeni ugao α, tada se, koristeći jednadžbu dinamike rotacionog kretanja krutog tijela, određuje moment M povratne sile (18.11) gdje je J moment inercije klatno u odnosu na osu koja prolazi kroz tačku vešanja O, l je rastojanje između ose i centra mase klatna, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα je sila vraćanja (znak minus označava da su pravci F τ i α su uvijek suprotni; sinα ≈ α budući da se oscilacije klatna smatraju malim, tj. klatno se od ravnotežnog položaja skreće za male uglove). Zapisujemo jednačinu (18.11) kao

Ili Uzimajući (18.12) dobijamo jednačinu

Identično kao (18.8), čije će se rješenje naći i napisati kao:

(18.13) Iz formule (18.13) proizilazi da za male oscilacije fizičko klatno vrši harmonijske oscilacije sa cikličkom frekvencijom ω 0 i periodom

(18.14) gdje je vrijednost L=J/(m l) - . Tačka O" na nastavku prave OS, koja se nalazi na udaljenosti smanjene dužine L od tačke O suspenzije klatna, naziva se zamahni centar fizičko klatno (slika 18.3). Primjenom Steinerove teoreme za moment inercije ose nalazimo

To jest, OO" je uvijek veći od OS. Tačka vješanja O klatna i centar zamaha O" imaju svojstvo zamjenjivosti: ako se tačka vešanja pomeri u centar zamaha, tada će prethodna tačka vešanja O biti novi centar zamaha, a period oscilovanja fizičkog klatna se neće promeniti.

3. Matematičko klatno je idealizovani sistem koji se sastoji od materijalne tačke mase m, koja je okačena na nerastezljivu bestežinsku nit, i koja osciluje pod uticajem gravitacije. Dobra aproksimacija matematičkog klatna je mala teška lopta koja je okačena na dugačku tanku nit. Moment inercije matematičkog klatna

(8) gdje l- dužina klatna.

Budući da je matematičko klatno poseban slučaj fizičkog klatna, ako pretpostavimo da je sva njegova masa koncentrisana u jednoj tački - centru mase, onda, zamjenom (8) u (7), nalazimo izraz za period malih oscilacija matematičkog klatna (18.15) Upoređujući formule (18.13 ) i (18.15), vidimo da ako je smanjena dužina L fizičkog klatna jednaka dužini l matematičkog klatna, onda su periodi oscilovanja ovih klatna isti. znači, smanjena dužina fizičkog klatna- ovo je dužina matematičkog klatna čiji se period oscilovanja poklapa sa periodom oscilovanja datog fizičkog klatna. Za matematičko klatno (materijalna tačka sa masom m, okačen na bestežinski nerastegljivi konac dužine l u gravitacionom polju sa ubrzanjem slobodnog pada jednakim g) pri malim uglovima odstupanja (koji ne prelaze 5-10 ugaonih stepeni) od ravnotežnog položaja, prirodna frekvencija oscilacija:
.

4. Telo okačeno na elastični konac ili drugi elastični element, koje osciluje u horizontalnoj ravni, je torzijsko klatno.

Ovo je mehanički oscilatorni sistem koji koristi sile elastične deformacije. Na sl. Slika 18.4 prikazuje ugaoni analog linearnog harmonijskog oscilatora koji izvodi torzijske oscilacije. Horizontalno postavljen disk visi na elastičnom navoju pričvršćenom za njegovo središte mase. Kada se disk rotira za ugao θ, javlja se moment sile M kontrola elastične torzijske deformacije:

Gdje I = IC je moment inercije diska u odnosu na osu, koja prolazi kroz centar mase, ε je kutno ubrzanje.

Po analogiji s opterećenjem na oprugu, možete dobiti.