Svi koji su u školi studirali matematiku i geometriju poznaju ove nauke barem površno. Ali vremenom, ako se u njima ne vježba, znanje se zaboravlja. Mnogi čak vjeruju da su samo gubili vrijeme proučavajući geometrijske proračune. Međutim, oni nisu u pravu. Tehničari obavljaju svakodnevni posao geometrijskih proračuna. Što se tiče izračunavanja površine poligona, onda i ovo znanje nalazi svoju primjenu u životu. Oni će biti potrebni barem da bi se izračunala površina zemljišne parcele. Dakle, hajde da saznamo kako pronaći površinu poligona.

Definicija poligona

Prvo, hajde da definišemo šta je poligon. To je ravan geometrijski oblik koji nastaje presjekom tri ili više pravih linija. Još jedna jednostavna definicija: poligon je zatvorena polilinija. Prirodno, kada se prave seku, formiraju se tačke preseka, čiji je broj jednak broju linija koje formiraju poligon. Tačke sjecišta se nazivaju vrhovi, a segmenti linija se nazivaju stranice poligona. Susjedni segmenti poligona nisu na istoj pravoj liniji. Prave koje nisu uzastopne su one koje ne prolaze kroz zajedničke tačke.

Zbir površina trouglova

Kako da pronađem površinu poligona? Površina poligona je unutrašnjost ravnine koja nastaje kada se linije ili stranice poligona sijeku. Budući da je poligon kombinacija oblika kao što su trokut, romb, kvadrat, trapez, jednostavno ne postoji univerzalna formula za izračunavanje njegove površine. U praksi je najsvestranija metoda podjele poligona na jednostavnije oblike, čiju površinu nije teško pronaći. Sabiranjem zbroja površina ovih jednostavnih oblika, dobijate površinu poligona.

Kroz područje kruga

U većini slučajeva, poligon je pravilan i formira oblik sa jednakim stranicama i uglovima između njih. Izračunavanje površine u ovom slučaju je vrlo jednostavno pomoću upisanog ili opisanog kruga. Ako je površina kruga poznata, onda se mora pomnožiti s obimom poligona, a zatim se rezultirajući proizvod podijeli sa 2. Kao rezultat, formula za izračunavanje površine takvog poligona je dobijeno: S = ½ ∙ P ∙ r., gdje je P površina kruga, a r obim poligona ...

Metoda podjele poligona na "prikladne" oblike je najpopularnija u geometriji, omogućava vam da brzo i ispravno pronađete površinu poligona. 4. razred srednja škola obično uči takve tehnike.

Sposobnost određivanja područja različitih oblika igra značajnu ulogu u životu svake osobe. Prije ili kasnije, morate se suočiti sa ovim znanjem. Na primjer, u procesu renoviranja prostorije za određivanje potrebnog broja rola tapeta, linoleuma, parketa, pločica u kupaonici ili kuhinji, morate biti u mogućnosti izračunati potrebnu površinu.

Znanje iz oblasti geometrije korišćeno je u starom Babilonu i drugim zemljama. Na prvim koracima ka kulturi uvijek je postojala potreba za mjerenjem lokacije, udaljenosti. Prilikom izgradnje prvih značajnih objekata bila je potrebna sposobnost održavanja vertikale, izrade plana.

Značajna je bila i uloga estetskih potreba ljudi. Uređenje doma, odjeća, crtanje slika doprinijelo je formiranju i akumulaciji informacija iz oblasti geometrije, koje su ljudi tog vremena dobivali empirijski, malo po malo, i prenosili s generacije na generaciju.

Danas je znanje geometrije neophodno za rezača, građevinara, arhitektu i svakog običnog čovjeka u svakodnevnom životu.

Stoga morate naučiti kako izračunati površinu različitih oblika i zapamtite da svaka od formula može biti korisna kasnije u praksi, uključujući formulu pravilnog šesterokuta. Šestougao je poligonalni oblik sa ukupno šest uglova.

Površina pravilnog šestougla

Pravilni šestougao je šestougaoni oblik koji ima jednake stranice. Uglovi pravilnog šestougla su takođe jednaki jedan drugom.

U svakodnevnom životu često možemo pronaći predmete koji imaju oblik pravilnog šesterokuta. Ovo je metalna matica, ćelije saća i struktura pahuljice. Heksagonalni oblici su odlični za punjenje ravnina. Tako, na primjer, prilikom popločavanja ploča za popločavanje možemo vidjeti kako su pločice položene jedna do druge, ne ostavljajući praznine.

Svojstva regularnog heksagona

• Pravilni šestougao će uvijek imati jednake uglove, od kojih je svaki 120˚.
• Strana oblika jednaka je poluprečniku opisane kružnice.
• Sve strane pravilnog šestougla su jednake.
• Pravilni šestougao ispunjava ravninu čvrsto.

Površina pravilnog šesterokuta može se izračunati dijeljenjem na šest trokuta, od kojih će svaki imati jednake stranice.

Za izračunavanje površine pravilnog trokuta koristi se sljedeća formula:

Poznavajući površinu jednog od trokuta, lako možete izračunati površinu šesterokuta. Formula za izračunavanje je jednostavna: budući da je pravilan šesterokut šest jednakih trokuta, površinu našeg trokuta treba pomnožiti sa 6.

Ako povučemo okomicu iz središta lika na bilo koju njegovu stranu, dobićemo segment koji se zove apotema. Razmislite kako pronaći površinu šesterokuta s poznatim apotemom:

1. Površina = 1/2 * perimetar * apotema.
2. Pretpostavimo da je naš apotem 5√3 cm.

1. Koristeći apotemu, nalazimo perimetar: Pošto je apotema okomita na stranu šestougla, uglovi trougla stvorenog apotemom biće 30˚-60˚-90˚. Svaka stranica rezultujućeg trougla će odgovarati: x-x√3-2x, pri čemu je kratka strana koja je nasuprot ugla od 30˚ x, duga strana nasuprot ugla od 60˚ je x√3, a hipotenuza je 2x.
2. Pošto je apotema predstavljena kao x√3, možete je zamijeniti formulom a = x√3 i riješiti. Ako je, na primjer, apotema = 5√3, onda ovu vrijednost zamjenjujemo u formulu i dobijamo: 5√3 cm = x√3, ili x = 5 cm.
3. Dakle, kratka stranica trougla je 5 cm.Pošto je ova vrijednost polovina dužine stranice šestougla, pomnožite 5 sa 2 i dobijete 10 cm, što je dužina stranice.
4. Znajući dužinu stranice, pomnožite je sa 6 i dobijete obim šesterokuta: 10 cm x 6 = 60 cm
5. Zamenimo dobijene rezultate u našu formulu:

Površina = 1/2 * Perimetar * Apotema

Površina = ½ * 60 cm * 5√3

Sada ostaje pojednostaviti odgovor kako bismo se riješili kvadratnih korijena i naznačili dobiveni rezultat u kvadratnim centimetrima:

½ * 60 cm * 5√3 cm = 30 * 5√3 cm = 150 √3 cm = 259,8 cm²

Video o tome kako pronaći površinu pravilnog šesterokuta

Površina nepravilnog šestougla

Postoji nekoliko opcija za određivanje površine nepravilnog šesterokuta:

• Trapezijum metoda.
• Metoda za izračunavanje površine nepravilnih poligona pomoću koordinatne ose.
• Metoda za cijepanje šesterokuta u druge oblike.

Ovisno o početnim podacima koje poznajete, odabire se odgovarajuća metoda.

Trapezijum metoda

Površina šesterokuta proizvoljnog (nepravilnog) oblika izračunava se metodom trapeza, čija je suština podijeliti šesterokut na zasebne trapeze, a zatim izračunati površinu svakog od njih.

Metoda sa koordinatnim osama

Osim toga, površina nepravilnog šesterokuta može se izračunati metodom izračunavanja površine nepravilnih poligona. Razmotrimo to na sljedećem primjeru:

Proračun će se izvršiti korištenjem koordinata vrhova poligona:

1. U ovoj fazi treba napraviti tabelu i zapisati koordinate vrhova x i y. Odaberite vrhove u nizu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, završavajući kraj liste ponovnim pisanjem koordinata prvog vrha:

1. Sada biste trebali pomnožiti vrijednosti x koordinate 1. vrha sa y 2. vrha i tako nastaviti množenje dalje. Zatim morate zbrojiti rezultate. U našem slučaju, dobili smo 82:

1. Uzastopno pomnožite vrijednosti koordinata y1-tog vrha sa vrijednostima x-koordinata 2. vrha. Hajde da sumiramo dobijene rezultate. U našem slučaju imamo 38:

1. Oduzmite iznos koji smo dobili u četvrtoj fazi od iznosa koji smo dobili u trećoj fazi: 82 - (-38) = 120

1. Sada moramo podijeliti rezultat koji smo dobili u prethodnom koraku i pronaći površinu naše figure: S = 120/2 = 60 cm²

Metoda za cijepanje šesterokuta u druge oblike

Svaki poligon se može podijeliti na nekoliko drugih oblika. To mogu biti trokuti, trapezi, pravokutnici. Na osnovu poznatih podataka, koristeći formule za određivanje površina navedenih figura, njihove se površine uzastopno izračunavaju i zatim sumiraju.

Neki nepravilni šestouglovi su sastavljeni od dva paralelograma. Da biste odredili površinu paralelograma, pomnožite njegovu dužinu sa širinom, a zatim dodajte dvije već poznate površine.

Video o tome kako pronaći površinu poligona

Područje jednakostranog šestougla

Jednakostranični šestougao ima šest jednakih stranica i pravilan je šestougao.

Površina jednakostraničnog šesterokuta jednaka je 6 površina trokuta na koje je podijeljena pravilna šesterokutna figura.

Svi trokuti u šesterokutu pravilnog oblika su jednaki, pa će za pronalaženje površine takvog šesterokuta biti dovoljno znati površinu barem jednog trokuta.

Da biste pronašli površinu jednakostraničnog šesterokuta, naravno, koristite formulu površine pravilnog šesterokuta opisanu gore.

Jeste li znali kako pronaći površinu šesterokuta? Šta mislite, gdje će vam ovo znanje koristiti u životu? Podijelite svoje mišljenje o

1.1 Proračun površina u antici

1.2 Različiti pristupi proučavanju pojmova "područje", "poligon", "područje poligona"

1.2.1 Koncept područja. Svojstva područja

1.2.2 Koncept poligona

1.2.3 Koncept površine poligona. Deskriptivna definicija

1.3 Različite formule za površine poligona

1.4 Izvođenje formula za površine poligona

1.4.1 Površina trougla. Heronova formula

1.4.2 Površina pravougaonika

1.4.3 Područje trapeza

1.4.4 Površina četvorougla

1.4.5 Univerzalna formula

1.4.6 Površina n-ugla

1.4.7 Izračunavanje površine poligona po koordinatama njegovih vrhova

1.4.8 Formula vrha

1.5 Pitagorina teorema o zbiru površina kvadrata izgrađenih na katetama pravokutnog trokuta

1.6 Jednaki sastav trouglova. Bolyai-Gerwin teorema

1.7 Omjer površina sličnih trouglova

1.8 Oblici s najvećom površinom

1.8.1 Trapez ili pravougaonik

1.8.2 Izvanredno svojstvo trga

1.8.3 Područja različitog oblika

1.8.4 Trougao najveće površine

Poglavlje 2. Metodološke karakteristike proučavanja površina poligona u nastavi matematike

2.1 Tematsko planiranje i nastava u nastavi matematike

2.2 Metodologija izvođenja nastave

2.3 Rezultati eksperimentalnog rada

Zaključak

Književnost

Uvod

Tema "Površine poligona" sastavni je dio školskog predmeta matematike, što je sasvim prirodno. Zaista, istorijski gledano, sama pojava geometrije povezana je s potrebom da se uporede zemljišne parcele jednog ili drugog oblika. Istovremeno, treba napomenuti da su obrazovne mogućnosti za razotkrivanje ove teme u srednjoj školi daleko od toga da se koriste u potpunosti.

Osnovni zadatak nastave matematike u školi je osigurati trajno i svjesno ovladavanje učenika sistemom matematičkih znanja i vještina neophodnih u svakodnevnom životu i radna aktivnost svakom članu modernog društva, dovoljan za proučavanje srodnih disciplina i nastavak školovanja.

Uz rješavanje osnovnog problema, dubinsko izučavanje matematike omogućava formiranje stabilnog interesovanja za predmet kod učenika, identifikaciju i razvoj njihovih matematičkih sposobnosti, orijentaciju na zanimanja koja su značajno povezana s matematikom i pripremu za fakultetske studije. .

Kvalifikacioni rad obuhvata sadržaj predmeta matematike u opšteobrazovnoj školi i niz dodatnih pitanja koja su direktno vezana za ovaj predmet i produbljuju ga po glavnim ideološkim linijama.

Uključivanje dodatnih pitanja ima dvije međusobno povezane svrhe. S jedne strane, ovo je stvaranje, u sprezi sa glavnim dijelovima predmeta, osnove za zadovoljenje interesovanja i razvoj sposobnosti učenika sa sklonostima matematici, s druge strane ispunjenje sadržaja. praznine glavnog predmeta, dajući sadržaju dubinskog proučavanja neophodnu cjelovitost.

Kvalifikacioni rad se sastoji od uvoda, dva poglavlja, zaključka i citirane literature. U prvom poglavlju razmatraju se teorijske osnove proučavanja površina poligona, a u drugom poglavlju - direktno već metodološke karakteristike proučavanja područja.

Poglavlje 1. Teorijske osnove proučavanja površina poligona

1.1 Proračun površina u antici

Rudimenti geometrijskog znanja vezanog za mjerenje površina gube se u dubinama milenijuma.

Još prije 4-5 hiljada godina, Babilonci su znali odrediti površinu pravokutnika i trapeza u kvadratnim jedinicama. Kvadrat je dugo služio kao standard za mjerenje površina zbog mnogih svojih izvanrednih svojstava: jednakih stranica, jednakih i pravih uglova, simetrije i općeg savršenstva oblika. Kvadrate je lako nacrtati ili možete ispuniti ravan bez praznina.

U staroj Kini, mjera površine je bila pravougaonik. Kada su zidari određivali površinu pravokutnog zida kuće, množili su visinu i širinu zida. Ovo je definicija prihvaćena u geometriji: površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih susjednih stranica. Obje ove strane moraju biti izražene u istim linearnim jedinicama. Njihov proizvod će činiti površinu pravokutnika, izraženu u odgovarajućim kvadratnim jedinicama. Recimo, ako se visina i širina zida mjere u decimetrima, onda će proizvod oba mjerenja biti izražen u kvadratnim decimetrima. A ako je površina svake obložene splavi kvadratni decimetar, tada će rezultirajući proizvod ukazati na broj pločica potrebnih za oblaganje. Ovo proizilazi iz tvrdnje koja je u osnovi mjerenja površina: površina figure sastavljene od figura koje se ne sijeku jednaka je zbroju njihovih površina.

Stari Egipćani prije 4000 godina koristili su gotovo iste tehnike kao mi za mjerenje površine pravokutnika, trokuta i trapeza: osnova trokuta je podijeljena na pola i pomnožena visinom; za trapez, zbir paralelnih stranica je podijeljen na pola i pomnožen sa visinom, itd. Za izračunavanje površine

četvorougao sa stranicama (sl.1.1) primenjena je formula (1.1)

one. poluzbir suprotnih strana pomnožen.

Ova formula očigledno nije tačna ni za jedan četvorougao; ona posebno implicira da su površine svih rombova iste. U međuvremenu, očigledno je da površine takvih rombova zavise od veličine uglova na vrhovima. Ova formula vrijedi samo za pravougaonik. Uz njegovu pomoć možete izračunati približnu površinu četverokuta, u kojima su uglovi blizu desnog.

Za određivanje područja

jednakokraki trokut (slika 1.2), u kojem su Egipćani koristili približnu formulu:
(1.2) Rice. 1.2 Greška napravljena u ovom slučaju je manja, što je manja razlika između stranice i visine trougla, drugim riječima, što je vrh(ovi) bliži osnovi visine od. Zato je približna formula (1.2) primenljiva samo za trouglove sa relativno malim uglom na vrhu.

Ali već su stari Grci znali kako ispravno pronaći područja poligona. U svojim "Počecima" Euklid ne koristi riječ "oblast", jer pod riječju "lik" razumije dio ravni omeđen jednom ili drugom zatvorenom linijom. Euklid ne izražava rezultat mjerenja površine brojem, već međusobno uspoređuje površine različitih figura.

Kao i drugi antički naučnici, Euklid se bavi transformacijom nekih figura u druge, njima jednake. Područje složenog oblika se ne mijenja ako su njegovi dijelovi postavljeni drugačije, ali bez sjecišta. Stoga je, na primjer, moguće, na osnovu formula za površinu pravokutnika, pronaći formule za površine drugih figura. Dakle, trokut je podijeljen na takve dijelove, od kojih možete napraviti pravougaonik iste veličine. Iz ove konstrukcije slijedi da je površina trokuta jednaka polovini umnoška njegove osnove i visine. Pribjegavajući sličnom ponovnom crtanju, otkrivaju da je površina paralelograma jednaka umnošku osnove i visine, a površina trapeza jednaka je umnošku poluzbira baza i visina.

Kada zidari moraju da oblažu zid složene konfiguracije, mogu odrediti površinu zida prebrojavanjem broja pločica koje su ušle u oblogu. Neke pločice, naravno, morat će se otkinuti tako da se rubovi obloge poklope s rubom zida. Broj svih pločica koje su ušle u rad procjenjuje površinu zida s viškom, broj nepolomljenih pločica - s nedostatkom. Kako se veličina ćelija smanjuje, količina otpada se smanjuje, a površina zida, određena brojem pločica, sve se preciznije izračunava.

Jedan od kasnih grčkih matematičara - enciklopedista, čiji su radovi uglavnom bili primenjene prirode, bio je Heron Aleksandrijski, koji je živeo u 1. veku pre nove ere. n. NS. Kao izvanredan inžinjer, takođe je nazvan "Heron Mechanic". U svom djelu "Dioptrica" ​​Heron opisuje različite mašine i praktične mjerne instrumente.

Jednu od Heronovih knjiga on je nazvao "Geometrija" i predstavlja svojevrsnu zbirku formula i odgovarajućih problema. Sadrži primjere za izračunavanje površina kvadrata, pravokutnika i trokuta. O pronalaženju površine trokuta duž njegovih stranica, Heron piše: „Neka, na primjer, jedna strana trokuta ima dužinu od 13 dimenzionalnih užeta, druga 14, a treća 15. Da biste pronašli površinu, postupite kao slijedi. Dodajte 13, 14 i 15; to će biti 42. Polovina ovoga će biti 21. Oduzmite od ove tri strane jednu za drugom; prvo oduzmite 13 - 8 ostataka, zatim 14 - 7 ostataka i na kraju 15 - 6. Sada ih pomnožite: 21 puta 8 dat će 168, uzmite ovo 7 puta - dobijete 1176, a ovo još 6 puta - dobijete 7056. Dakle kvadratni korijen će biti 84. Toliko će izmjerenih žica biti u području trokuta."

\ [(\ Velika (\ tekst (Osnovne činjenice o području))) \]

Možemo reći da je površina poligona veličina koja označava dio ravnine koji zauzima dati poligon. Jedinica za mjerenje površine je površina kvadrata sa stranicom od \ (1 \) cm, \ (1 \) mm itd. (jedinica kvadrata). Tada će se površina mjeriti u cm \ (^ 2 \), mm \ (^ 2 \), respektivno.

Drugim riječima, možemo reći da je površina figure veličina čija brojčana vrijednost pokazuje koliko puta jedinični kvadrat stane u datu figuru.

Svojstva područja

1. Površina bilo kojeg poligona je pozitivna vrijednost.

2. Jednaki poligoni imaju jednake površine.

3. Ako je poligon sastavljen od više poligona, tada je njegova površina jednaka zbiru površina ovih poligona.

4. Površina kvadrata sa stranicom \ (a \) je \ (a ^ 2 \).

\ [(\ Veliki (\ tekst (Površina pravougaonika i paralelograma))) \]

Teorema: površina pravougaonika

Površina pravokutnika sa stranicama \ (a \) i \ (b \) je \ (S = ab \).

Dokaz

Dopunimo pravougaonik \ (ABCD \) do kvadrata sa stranicom \ (a + b \), kao što je prikazano na slici:

Ovaj kvadrat se sastoji od pravougaonika \ (ABCD \), drugog njemu jednakog pravougaonika i dva kvadrata sa stranicama \ (a \) i \ (b \). dakle,

\ (\ početak (više redova *) S_ (a + b) = 2S _ (\ tekst (pr-k)) + S_a + S_b \ Strelica lijevo (a + b) ^ 2 = 2S _ (\ tekst (pr-k) ) + a ^ 2 + b ^ 2 \ Strelica ulevo \\ a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2S _ (\ tekst (pr-k)) + a ^ 2 + b ^ 2 \ Strelica udesno S _ (\ tekst ( pr-k) ) = ab \ end (više redova *) \)

Definicija

Visina paralelograma je okomica povučena iz vrha paralelograma na stranu (ili na produžetak stranice) koja ne sadrži ovaj vrh.
Na primjer, visina \ (BK \) pada na stranu \ (AD \), a visina \ (BH \) pada na produžetak \ (CD \) strane:

Teorema: površina paralelograma

Površina paralelograma jednaka je umnošku visine i stranice na koju je ta visina povučena.

Dokaz

Nacrtajmo okomite \ (AB "\) i \ (DC" \), kao što je prikazano na slici. Imajte na umu da su ove okomite jednake visini paralelograma \ (ABCD \).

Tada je \ (AB "C" D \) pravougaonik, dakle \ (S_ (AB "C" D) = AB "\ cdot AD \).

Imajte na umu da su pravokutni trouglovi \ (ABB "\) i \ (DCC" \) jednaki. dakle,

\ (S_ (ABCD) = S_ (ABC "D) + S_ (DCC") = S_ (ABC "D) + S_ (ABB") = S_ (AB "C" D) = AB "\ cdot AD. \)

\ [(\ Veliki (\ tekst (Oblast trougla))) \]

Definicija

Stranicu na koju je povučena visina u trouglu zvaćemo osnovom trougla.

Teorema

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove osnove na visinu povučenu ovoj osnovici.

Dokaz

Neka je \ (S \) površina trokuta \ (ABC \). Uzmite stranu \ (AB \) kao osnovu trougla i nacrtajte visinu \ (CH \). Hajde da to dokažemo \ Dopunimo trokut \ (ABC \) do paralelograma \ (ABDC \) ​​kao što je prikazano na slici:

Trokuti \ (ABC \) i \ (DCB \) su jednaki na tri strane (\ (BC \) je njihova zajednička stranica, \ (AB = CD \) i \ (AC = BD \) kao suprotne strane paralelograma \ (ABDC \ )), pa su im površine jednake. Dakle, površina \ (S \) trokuta \ (ABC \) jednaka je polovini površine paralelograma \ (ABDC \), tj. \ (S = \ dfrac (1) (2) AB \ cdot CH \).

Teorema

Ako dva trokuta \ (\ trougao ABC \) i \ (\ trougao A_1B_1C_1 \) imaju jednake visine, tada se njihove površine nazivaju osnovama na koje su ove visine povučene.

Posljedica

Medijan trougla dijeli ga na dva trougla jednake površine.

Teorema

Ako dva trokuta \ (\ trougao ABC \) i \ (\ trougao A_2B_2C_2 \) imaju jednak ugao, onda su njihove površine povezane kao proizvodi stranica koje formiraju ovaj ugao.

Dokaz

Neka je \ (\ ugao A = \ ugao A_2 \). Kombinujmo ove uglove kao što je prikazano na slici (tačka \ (A \) poravnata sa tačkom \ (A_2 \)):

Nacrtajmo visine \ (BH \) i \ (C_2K \).

Trokuti \ (AB_2C_2 \) i \ (ABC_2 \) imaju istu visinu \ (C_2K \), dakle: \ [\ dfrac (S_ (AB_2C_2)) (S_ (ABC_2)) = \ dfrac (AB_2) (AB) \]

Trokuti \ (ABC_2 \) i \ (ABC \) imaju istu visinu \ (BH \), dakle: \ [\ dfrac (S_ (ABC_2)) (S_ (ABC)) = \ dfrac (AC_2) (AC) \]

Množenjem posljednje dvije jednakosti dobijamo: \ [\ dfrac (S_ (AB_2C_2)) (S_ (ABC)) = \ dfrac (AB_2 \ cdot AC_2) (AB \ cdot AC) \ qquad \ text (ili) \ qquad \ dfrac (S_ (A_2B_2C_2)) (S_ (ABC)) = \ dfrac (A_2B_2 \ cdot A_2C_2) (AB \ cdot AC) \]

Pitagorina teorema

U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata dužina kateta:

Vrijedi i obrnuto: ako je u trokutu kvadrat dužine jedne strane jednak zbiru kvadrata dužina druge dvije strane, onda je takav trokut pravougaonog oblika.

Teorema

Površina pravokutnog trokuta je polovina proizvoda nogu.

Teorem: Heronova formula

Neka je \ (p \) poluperimetar trokuta, \ (a \), \ (b \), \ (c \) dužine njegovih stranica, tada je njegova površina \

\ [(\ Veliki (\ tekst (Oblast romba i trapeza))) \]

Komentar

Jer romb je paralelogram, onda za njega vrijedi ista formula, tj. površina romba jednaka je umnošku visine i strane na koju je ta visina povučena.

Teorema

Površina konveksnog četverokuta čije su dijagonale okomite je polovina proizvoda dijagonala.

Dokaz

Razmotrimo četverougao \ (ABCD \). Označavamo \ (AO = a, CO = b, BO = x, DO = y \):

Imajte na umu da se ovaj četverougao sastoji od četiri pravokutna trokuta, pa je njegova površina jednaka zbroju površina ovih trokuta:

\ (\ početak (više redova *) S_ (ABCD) = \ frac12ax + \ frac12xb + \ frac12by + \ frac12ay = \ frac12 (ax + xb + by + ay) = \\ \ frac12 ((a + b) x + ( a + b) y) = \ frac12 (a + b) (x + y) \ kraj (više redova *) \)

Rezultat: površina romba

Površina romba jednaka je polovini umnoška njegovih dijagonala: \

Definicija

Visina trapeza je okomita povučena od vrha jedne baze do druge baze.

Teorema: površina trapeza

Površina trapeza jednaka je umnošku poluzbira osnova i visine.

Dokaz

Razmotrimo trapez \ (ABCD \) sa bazama \ (BC \) i \ (AD \). Nacrtajmo \ (CD "\ paralelni AB \), kao što je prikazano na slici:

Tada je \ (ABCD "\) paralelogram.

Nacrtajmo i \ (BH "\ perp AD, CH \ perp AD \) (\ (BH" = CH \) - visine trapeza).

Onda \ (S_ (ABCD ") = BH" \ cdot AD "= BH" \ cdot BC, \ quad S_ (CDD ") = \ dfrac12CH \ cdot D" D \)

Jer trapez se sastoji od paralelograma \ (ABCD "\) i trokuta \ (CDD" \), tada je njegova površina jednaka zbroju površina paralelograma i trokuta, odnosno:

\ \ [= \ dfrac12 CH \ lijevo (BC + AD "+ D" D \ desno) = \ dfrac12 CH \ lijevo (BC + AD \ desno) \]

Takvu figuru svakako će karakterizirati dvije pozicije:

1. Susedne strane ne pripadaju istoj pravoj liniji.
2. Nesusedni nemaju zajedničkih tačaka, odnosno ne seku se.

Da biste razumjeli koji su vrhovi susjedni, morate vidjeti da li pripadaju istoj strani. Ako da, onda susjedne. Inače se mogu povezati segmentom, koji se mora nazvati dijagonalom. Mogu se nacrtati samo u poligonima sa više od tri vrha. Koje su njihove vrste? Poligon sa više od četiri ugla može biti konveksan ili konkavan. Razlika između potonjeg je u tome što neki od njegovih vrhova mogu ležati na suprotnim stranama prave linije povučene kroz proizvoljnu stranu poligona.

Područje poligona

Izračunavanje površine poligona koristeći polumjer upisane kružnice i dužinu stranice: [(A × P) / 2] [Apotema (A) = stranica / (2 × Tan (π / N))] Unesite dužinu = Unesite broj strana = Površina Poligon = Izračunavanje površine duž dužine stranice: Površina poligona = ((strana) ² * N) / (4Tan (π / N)) Perimetar poligona = N * (strana) Izračunavanje površine duž poluprečnika opisane kružnice: Površina poligona = ½ * R² * Sin (2π / N) Izračunavanje površine po poluprečniku upisane kružnice: Površina poligona Poligon = A² * N * Tan (π / N) gdje je A = R * Cos (π / N) Po polumjeru upisane kružnice i dužini stranice: Površina poligona = ( A * P) / 2 gdje je A = strana / (2 * Tan (π / N)) gdje je,

• N = Broj strana,
• A = poluprečnik upisane kružnice,
• R = poluprečnik opisane kružnice,
• P = Perimetar

Primjeri: Zadatak 1: Pronađite površinu i obim poligona ako je dužina stranice = 2 i broj stranica = 4.

Pravilna poligonska površina

Od njega je lako dobiti onaj koji je koristan za posebne slučajeve:

1. trougao: S = (3√3) / 4 * R2;
2. kvadrat: S = 2 * R2;
3. šestougao: S = (3√3) / 2 * R2.

Situacija s pogrešnom figurom Izlaz kako saznati površinu poligona, ako nije ispravan i ne može se pripisati nijednoj od prethodno poznatih figura, je sljedeći algoritam:

• razbiti ga na jednostavne oblike, kao što su trouglovi, tako da se ne sijeku;
• izračunajte njihove površine koristeći bilo koju formulu;
• zbrojite sve rezultate.

Šta ako problem sadrži koordinate vrhova poligona? To jest, poznat je skup parova brojeva za svaku tačku koji ograničavaju strane figure.

Obično se pišu kao (x1; y1) za prvi, (x2; y2) za drugi, a n-ti vrh ima takve vrijednosti (xn; yn).

Površina i perimetar poligona

Tada se površina poligona definira kao zbir n članova.

Pažnja

Svaki od njih izgleda ovako: ((yi + 1 + yi) / 2) * (xi + 1 - xi).

U ovom izrazu, i se mijenja iz jedan u n. Treba napomenuti da će predznak rezultata ovisiti o obilasku figure.
Kada koristite navedenu formulu i krećete se u smjeru kazaljke na satu, odgovor će biti negativan.

Primjer zadatka Uvjet. Koordinate vrhova date su vrijednostima (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5).

Info

Želite da izračunate površinu poligona. Rješenje.

Prema gornjoj formuli, prvi član će biti (1,8 + 0,6) / 2 * (3,6 - 2,1). Ovdje samo trebate uzeti vrijednosti za igru ​​i x iz drugog i prvog poena. Jednostavan izračun će dovesti do rezultata 1.8. Drugi član se dobija na sličan način: (2,2 + 1,8) / 2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Prilikom rješavanja takvih problema ne treba se plašiti negativnih vrijednosti.
Sve ide kako treba.
Korak 1: Pronađite poluprečnik upisane kružnice A = R * Cos (π / N) = 2 * Cos (3,14 / 5) = 2 * Cos (0,63) = 2 * 0,81 Apotema (poluprečnik upisane kružnice) = 1.62 Korak 2: Pronađite površinu Površina = A² * N * Tan (π / N) = 1,62² * 5 * Tan (3,14 / 5) = 2,62 * 5 * Tan (0,63) = 13,1 * 0,73 Površina = 9,5. Problem 4: Pronađite površinu poligona koristeći apotemu (polumjer upisane kružnice) ako je dužina stranice 2, a broj stranica 5. Korak 1: Pronađite apotemu. Apotema = dužina stranice / (2 * Tan ( π / N)) = 2 / ( 2 * Tan (π / 4)) = 2 / (2 * Tan (0,785)) = 2 / (2 * 0,999) = 2 / 1,998 Apotema (A) = 1. Korak 2 : Pronađite perimetar Obim (P) = (N * (dužina strane) = 4 * 2 = 8 Korak 3: Pronađite područje Površina = (A * P) / 2 = (1 * 8) / 2 = 8/ 2 Površina = 4.

Gornji primjeri pokazuju kako ručno izračunati površinu i perimetar poligona.

Regularni poligon

S tan⁡ 〖(180 °) / n〗) / n) / 2 tan⁡ 〖(180 °) / n〗 = √ (S / (n tan⁡ 〖(180 °) / n〗)) R = a / (2 sin⁡ 〖(180 °) / n〗) = √ ((4S tan⁡ 〖(180 °) / n〗) / n) / 2 sin⁡ 〖(180 °) / n〗 = √ (S / ( n cos⁡ 〖(180 °) / n〗)) Moguće je izračunati obim pravilnog poligona kroz površinu ako ga predstavimo kao proizvod broja stranica n dobijenim radikalom umjesto stranice, i zatim pojednostavite izraz uvođenjem n u korijen. P = na = n√ ((4S tan⁡ 〖(180 °) / n〗) / n) = √ (4nS tan⁡ 〖(180 °) / n〗) Ugao pravilnog poligona može se izračunati pomoću formule koji ima samo jednu varijablu - broj strana figure, tako da ne zahtijeva nikakve promjene.

Kalkulator površine poligona

Zamjenom broja stranica figure umjesto n, možete dobiti formulu za određivanje površine bilo kojeg pravilnog poligona, koja će biti površina kvadrata a ^ 2 pomnožena određenim koeficijentom.

Zanimljivo je da će se s povećanjem broja uglova i ovaj koeficijent povećati, na primjer, za pentagon - 1,72, a za šesterokut - 2,59. Budući da je oko svakog pravilnog poligona moguće opisati krug ili ga upisati u njega, možemo koristiti odgovarajuće polumjere za izračunavanje površina poligona.

Strana i polumjer opisane kružnice za bilo koji poligon povezani su kao: a = R × 2 sin (pi / n), gdje je R polumjer opisane kružnice, n broj stranica geometrijske figure.

Za krug upisan u poligon, omjer se neznatno mijenja i izgleda ovako: a = r × 2 tg (pi / n), gdje je r polumjer upisane kružnice.

Kako izračunati površinu pravilnog poligona

Primjer poligona Ovaj kalkulator izračunava površinu poligona iz unesenih stranica i dijagonala koje dijele poligon na nepovezane trokute.

Pogledajte sliku - površina poligona ABCDE može se izračunati kao zbir površina trokuta ABD, BCD i ADE.

Za to, naravno, osim dužina stranica poligona, morate znati i dužine dijagonala BD i AD, ali ovo je sve što je potrebno - površina bilo kojeg trokuta može se izračunati samo po dužinama njegovih stranica, bez mjerenja uglova.

I to je prilično zgodno, na primjer, za popravke u domaćinstvu - dužine je lakše izmjeriti nego kutove.

Dakle, mjerimo dužine stranica poligona koji nas zanima, unosimo ih u tabelu, mentalno dijelimo poligon na trokute, mjerimo potrebne dijagonale, također ih unosimo u tabelu, nakon čega kalkulator izračunava površinu cijelu figuru.

Kako znate površinu poligona?

Šta učiniti s pravilnim poligonom sa više od četiri vrha? Za početak, takvu figuru karakterizira činjenica da su u njoj sve strane jednake. Plus, poligon ima iste uglove. Ako opišete krug oko takve figure, tada će se njegov polumjer poklopiti sa segmentom od središta poligona do jednog od vrhova. Stoga, da biste izračunali površinu pravilnog poligona sa proizvoljnim brojem vrhova, potrebna vam je sljedeća formula: Sn = 1/2 * n * Rn2 * sin (360º / n), gdje je n broj vrhovima poligona.
Dakle, da biste odredili površinu bilo kojeg ispravnog poligona, morate navesti broj strana n i bilo koji parametar za odabir:

• dužina strane a;
• poluprečnik upisane kružnice r;
• poluprečnik opisane kružnice R.

Pogledajmo nekoliko primjera za pronalaženje površine bilo kojeg poligona.

Primjeri iz života Saće Saće je jedinstveni prirodni objekt koji se sastoji od mnogih heksagonalnih prizmatičnih ćelija.

Hajde da izbrojimo koliko ovih šesterokuta ima u jednoj ćeliji.

Da bismo to učinili, moramo znati ukupnu površinu i površinu jedne ćelije.

Sa Wikipedije znamo da standardni okvir sa saćem ima dimenzije 435 x 300 mm, tako da je ukupna površina 130.500 kvadratnih milimetara.

Takođe ukazuje da je horizontalni prečnik jedne ćelije približno 5,5 mm.

Dijagonala 2 Ugao α ($ glavni.uglovi $) Ugao β ($ glavni.uglovi $) Unesite bilo koje 3 vrednosti Strana A Strana B Visina ha Visina hb Dijagonala 1 Dijagonala 2 Ugao α ($ glavni.uglovi $) Ugao β ( $ main .angles $) Unesite bilo koje 3 vrijednosti Baza A Osnova C Visina H Popunite stranice da biste pronašli obod Strana B Strana D Unesite 1 vrijednost Strana A Radijus kruga (R) Radijus upisane kružnice (r) Broj strana poligona Unesite 1 vrijednost Strana A Poluprečnik opisane kružnice (R) Poluprečnik upisane kružnice (r) Unesite 1 vrijednost Strana A = poluprečnik opisane kružnice (R) Poluprečnik upisane kružnice (r) Rezultat izračuna

• Perimetar: ($ rezultat.p | broj: 4 $)
• Carve: ($ result.s | broj: 4 $)

Poligon ili poligon - geometrijski oblik koji ima n-ti broj uglova.
Općenito, poligon je dio ravni koji je omeđen zatvorenim poligonom.

Geometrija poligona Općenito, takva geometrijska figura može imati apsolutno bilo koji oblik.

Na primjer, simboli zvijezde i kompasa, poligon za modeliranje ili lice zupčanika su poligoni.

Poligonalni oblici se dijele u dvije grupe:

• nekonveksni, koji imaju bilo koji bizaran oblik sa mogućim samopresjecima (najočigledniji primjer je zvijezda);
• konveksni, čije su sve tačke na jednoj strani prave linije povučene kroz dva susedna vrha (kvadrat, trougao).

Konveksni poligon u kojem su svi uglovi jednaki i sve strane jednake smatra se ispravnim i ima svoje ime.