Prilikom rješavanja algebarske jednadžbe, često se mora razgraditi polinom za množine. Odlikovati polinom za množine - znači ga predstaviti u obliku rada dva ili više polinoma. Neke metode raspadanja polinoma koje često koristemo: čineći zajednički faktor, korištenje formula skraćenim množenjem, raspodjele cijelog kvadrata, grupiranje. Razmotrite još nekoliko metoda.

Ponekad, pri raspadanju polinoma do multiplikatora, sljedeće izjave su korisne:

1) Ako je polinom, sa cijelim koeficijentima, ima racionalni korijen (gdje je neupadljiv frakcija, zatim model slobodnog člana i trgovac viši koeficijent:

2) Ako na neki način odabere korijen polinoma u stupnju, tada se polinom može zastupati u obliku gdje je polinom

Polinom se može naći ili podijeliti polinom na zglobovi "stupca" ili odgovarajućeg grupiranja komponenti polinomnog i oslobađanja multiplikatora ili metodom neodređenih koeficijenata.

Primjer. Dekomponirajte polinomi

Odluka. Budući da je koeficijent na x4 1, tada su racionalni korijeni ovog polinomnog, postojali razvodnici broja 6, I.E. mogu biti cijeli brojevi ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Označite ovom polinomnom preko P4 (x). Budući da je p p4 (1) \u003d 4 i p4 (-4) \u003d 23, brojevi 1 i -1 nisu korijeni ra polinoma (x). Budući da je P4 (2) \u003d 0, X \u003d 2 korijen je polinomnog P4 (X), a znači da je ovaj polinom podijeljen u ubacivač X - 2. Stoga x4 -5x3 + 7x2 -5x +6 X-2 x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3

3x3 + 7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x

Slijedom toga, P4 (x) \u003d (x - 2) (x3 - zh2 + x - 3). Od XZ - ZH2 + X - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), zatim x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) ( X - 3) (x2 + 1).

Način primjene parametra

Ponekad, za vrijeme raspadanja polinoma za množine, metoda uvođenja parametra pomaže. Suština ove metode objašnjava se u sljedećem primjeru.

Primjer. X3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Odluka. Razmotrite polinom s parametrom A: X3 - (A + 1) x2 + A2, koji se kada A \u003d √3 pretvara u određeni polinom. Ovaj polinom pišemo kao kvadratni trostruki u odnosu na A: AG - AH2 + (X3 - X2).

Budući da su korijeni ovog trga relativno pokrenuti, ima A1 \u003d x i A2 \u003d X2 - X, zatim jednakost A2 - AH2 + (XS - X2) \u003d (A - X2 + X) važi. Slijedom toga, polinom X3 - (√3 + 1) X2 + 3 razgrađuje na faktoru √3 - X i √3 - X2 + X, I.E.

x3 - (√3 + 1) x2 + 3 \u003d (x - √3) (x2-x-√3).

Metoda uvođenja novog nepoznatog

U nekim slučajevima zamjenom izražavanja f (x), koji je uključen u polinonski RP (x), putem y može se dobiti polinomnom rođakom na y, što je već lako razgraditi na multiplikatoru. Zatim, nakon zamjene u f (x), dobivamo raspadanje polinoma polinoma RP (x).

Primjer. Otpremnik polinomi x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15) (x + 3) -15.

Odluka. Transformiramo ovaj polinom na sljedeći način: X (x + 1) (x + 2) -15 \u003d [x (x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 \u003d ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Označite x2 + 3x do y. Zatim imamo (Y + 2) - 15 \u003d U2 + 2Y - 15 \u003d Y2 + 2AU + 1 - 16 \u003d (Y + 1) 2 - 16 \u003d (Y + 1 + 4) (Y + 1 - 4) \u003d u + 5) (Y - 3).

Stoga je x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 \u003d (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).

Primjer. Decompojeri na polinimnim množiteljima (X-4) 4+ (x + 2) 4

Odluka. Označite x- 4 + x + 2 \u003d x - 1 do y.

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 \u003d (y - 3) 4 + (y + 3) 4 \u003d Y4 - 12U3 + 54U3 - 108U + 81 + U4 + 12U3 + 54U2 + 108U + 81 \u003d

2u4 + 108U2 + 162 \u003d 2 (U4 + 54U2 + 81) \u003d 2 [(UG + 27) 2 - 648] \u003d 2 (U2 + 27 - √B48) (U2 + 27 + √B48) \u003d

2 (((x - 1) 2 + 27-√B48) ((x - 1) 2 + 27 + √b48) \u003d 2 (x2-2x + 28-18³ 2) (x2- 2x + 28 + 18√ 2).

Kombinovanje različitih metoda

Često, za vrijeme raspada polinom do multiplikatora, potrebno je primijeniti uzastopno nekoliko metoda gore raspravljanih.

Primjer. Otpremnik polinomi x4 - 3x2 + 4x-3.

Odluka. Upotreba grupiranja, prepišite polinom u obliku x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Primjena na prvi nosač, metoda izolacije kompletnog trga imamo x4 - 3x3 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Koristeći formulu kompletnog kvadrata, sada možete zapisati da x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 -1) 2 - (x - 2) 2.

Na kraju, primjenjujući formulu razlike kvadrata, dobivamo taj x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 -x + 1).

§ 2. Simetrične jednadžbe

1. Simetrične jednadžbe trećeg stepena

Jednadžbe forme AH3 + BX2 + BX + A \u003d 0 i ≠ 0 (1) nazivaju se simetričnim jednadžbama trećeg stepena. Budući da AH3 + BX2 + BX + A \u003d A (x3 + 1) + BX (X + 1) \u003d (x + 1) (AH2 + (B - a) x + a), zatim jednadžba (1) ekvivalentna Totalitet jednadžbi X + 1 \u003d 0 i AH2 + (B - a) x + a \u003d 0, što nije teško odlučiti.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

3x3 + 4x2 + 4x + 3 \u003d 0. (2)

Odluka. Jednadžba (2) je simetrična jednadžba trećeg stepena.

Od 3x3 + 4xg + 4x + 3 \u003d 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) \u003d (x + 1) (3x2 - zh + 3 + 4x) \u003d (x + 1) (3x2 + x + 3) , Jednadžba (2) ekvivalentna je ukupnosti jednadžbi x + 1 \u003d 0 i 3x3 + x + 3 \u003d 0.

Rješenje prvog od ovih jednadžbi je X \u003d -1, druga jednadžba rješenja nema.

Odgovor: X \u003d -1.

2. simetrične jednadžbe četvrtog stepena

Pogledajte jednadžbu

(3) naziva se simetričnom jednadžbom četvrtog stepena.

Budući da X \u003d 0 nije korijen jednadžbe (3), a zatim podijeliti oba dijela jednadžbe (3) na x2, dobivamo jednadžbu, ekvivalentno originalu (3):

Prepisujemo jednadžbu (4) u obliku:

U ovoj jednačini ćemo zameniti, a zatim dobijamo kvadratnu jednadžbu

Ako jednadžba (5) ima 2 U1 i U2 korijene, tada je početna jednadžba ekvivalentno ukupnosti jednadžbi

Ako jednadžba (5) ima jedan u0 korijen, tada je početna jednadžba ekvivalentna jednadžbi

Konačno, ako jednadžba (5) nema korijena, tada i početna jednadžba nema korijene.

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Odluka. Ova jednadžba je simetrična jednadžba četvrtog stepena. Budući da je X \u003d 0 nije njegov korijen, a zatim podijeliti jednadžbu (6) na X2, dobivamo ekvivalentnu jednadžbu na nju:

Grupirali su pojmove, prepisuju jednadžbu (7) u obliku ili u obliku

Stavljanje, dobivamo jednadžbu imajući dva korijena U1 \u003d 2 i U2 \u003d 3. Shodno tome, početna jednadžba ekvivalentna je ukupnosti jednadžbi

Rješenje prve jednadžbe ove ukupnosti je x1 \u003d 1, a postoji odluka drugog i.

Slijedom toga, početna jednadžba ima tri korijena: x1, x2 i x3.

Odgovor: X1 \u003d 1 ,.

§3. Algebarske jednadžbe

1. Spustite stepen jednadžbe

Neke algebarske jednadžbe zamjenom nekih polinoma u njima mogu se svesti na algebrejske jednadžbe, od kojih je stupanj manji od stupnja izvorne jednadžbe i rješenja čiji je rješenje lakše.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Odluka. Označite, a zatim jednadžba (1) može prepisati u obliku posljednje jednadžbe ima korijen i zato je jednadžba (1) ekvivalentna ukupnosti jednadžbi i. Rješenje prve jednadžbe ove ukupnosti je i rješenja druge jednadžbe

Rješenja Jednadžbe (1) su

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Odluka. Pomnožavanje oba dijela jednadžbe za 12 i označavanje kroz

Dobivamo jednadžbu za prepisivanje ove jednadžbe u obliku

(3) i označava prepisivanje jednadžbe (3) kao posljednja jednadžba i stoga dobijamo tu jednadžbu (3) ekvivalentna kombinaciji dvije jednadžbe i rješavanje ovog skupa jednadžbi, a to je jednadžba (2) ekvivalent je ukupnosti jednadžbi i (2) četiri)

Rješenja agregata (4) su i, oni su rješenja jednadžbe (2).

2. Pogledajte jednadžbe

Jednadžba

(5) gdje se -Denny brojevi mogu smanjiti na BIC-dužnost jednadžbu pomoću zamjene nepoznatog, I.E. Zamjena

Primjer 3. Riješite jednadžbu

Odluka. Označavaju od, t. e. Zamijenit ćemo varijable ili tada jednadžba (6) može se prepisati u obliku ili, primjenjujući formulu, kao

Budući da su korijeni kvadratnog jednadžbe rješenja jednadžbe (7) Postoje rješenja za kombinaciju jednadžbi i. Ova ukupnost jednadžbi ima dva rješenja i stoga su rješenja jednadžbi (6) i

3. Pogledajte jednadžbe

Jednadžba

(8) gdje su brojevi α, β, γ, δ i α takva α

Primjer 4. Riješite jednadžbu

Odluka. Napravit ćemo zamjenu nepoznatog t. E. y \u003d x + 3 ili x \u003d y - 3. Zatim jednadžba (9) može se prepisati kao

(Y-2) (Y-1) (Y + 1) (Y + 2) \u003d 10, I.E. u obliku

(Y2- 4) (y2-1) \u003d 10 (10)

Biquette jednadžba (10) ima dva korijena. Shodno tome, jednadžba (9) također ima dva korijena:

4. Pregledajte jednadžbe

Jednadžba, (11)

Gdje, nema korijen x \u003d 0, dakle, razdvaja jednadžbu (11) na x2, dobivamo ekvivalentnu jednadžbu

Koji, nakon zamjene nepoznatog, prepisan u obliku kvadratnog jednadžbe, čija rješenje ne predstavlja poteškoće.

Primjer 5. Riješite jednadžbu

Odluka. Pošto je H \u003d 0 nije korijen jednadžbe (12), tada ga razdvajamo na x2, mi dobijamo ekvivalentne ekvivalent

Izrada nepoznatog zamjene, dobivamo jednadžbe (Y + 1) (Y + 2) \u003d 2, koja ima dva korijena: y1 \u003d 0 i y1 \u003d -3. Shodno tome, početna jednadžba (12) ekvivalentna je ukupnošću jednadžbi

Ova kombinacija ima dva korijena: x1 \u003d -1 i x2 \u003d -2.

Odgovor: x1 \u003d -1, x2 \u003d -2.

Komentar. Jednadžba tipa

U kojem možete uvijek dovesti do uma (11) i, osim toga, brojanje α\u003e 0 i λ\u003e 0 u obrazac.

5. Pregledajte jednadžbe

Jednadžba

, (13) Gdje su brojevi, α, β, γ, δ i α takva da se αβ \u003d γδ ≠ 0 može prepisati, premjestiti prvi nosač s drugom, a treći s četvrtom, u obliku toga, u obliku toga tj. jednadžba (13) sada je napisana u obrascu (11), a njegova odluka može se provesti na isti način kao i rješenje jednadžbi (11).

Primjer 6. Riješite jednadžbu

Odluka. Jednadžba (14) ima obrazac (13), pa ga prepisujemo kao

Budući da X \u003d 0 nije rješenje ove jednadžbe, zatim ga odvajamo s oba dijela na X2, dobivamo ekvivalent izvorne jednadžbe. Izrada zamjene varijabli, dobivamo kvadratnu jednadžbu, čija je otopina i. Slijedom toga, početna jednadžba (14) ekvivalentna je ukupnošću jednadžbi i.

Rješenje prve jednadžbe ove ukupnosti je

Druga jednadžba ovog skupa rješenja nema. Dakle, početna jednadžba ima korijenje x1 i x2.

6. Pogledajte jednadžbe

Jednadžba

(15) Gdje su brojevi A, B, C, Q, A su takvi da, nema korijen x \u003d 0, dakle, razdvajanje jednadžbe (15) na X2. Dobivamo ekvivalentnu jednadžbu, koja nakon zamjene nepoznatog, prepiši u obliku kvadratnog jednadžbe, čija rješenje ne predstavlja poteškoće.

Primjer 7. Rješenje jednadžbe

Odluka. Budući da je x \u003d 0 nije korijen jednadžbe (16), a zatim odvajajući oba dijela nje na X2, dobivamo jednadžbu

, (17) ekvivalentna jednadžba (16). Pravljenje zamjene nepoznatog, jednadžba (17) za prepisivanje u obrascu

Kvadratna jednadžba (18) ima 2 korijena: U1 \u003d 1 i y2 \u003d -1. Stoga je jednadžba (17) ekvivalentna ukupnosti jednadžbi i (19)

Kombinacija jednadžbi (19) ima 4 korijena :,.

Oni će biti korijeni jednadžbe (16).

§Four. Racionalne jednadžbe

Jednadžbe oblika \u003d 0, gdje su n (x) i q (x) polinomi, nazvani racionalnim.

Pronalaženje korijena jednadžbe H (x) \u003d 0, onda trebate provjeriti koji od njih nisu korijeni jednadžbe Q (x) \u003d 0. Ovi korijeni i samo oni će riješiti jednadžbu.

Razmotrite neke metode za rješavanje jednadžbe obrasca \u003d 0.

1. Pregledajte jednadžbe

Jednadžba

(1) Pod nekim uvjetima, brojevi se mogu riješiti na sljedeći način. Grupiranje članova jednadžbe (1) i sažimaju svaki par, potrebno je dobiti polinoma prve ili nulte diplome u numeričkom broju, razlikuju se u samo numeričkim faktorima, a u nazimima - tri metra sa istim dva pojma sa istim dva pojma koja sadrže x , zatim nakon zamjene varijabli, jednadžba će također imati, obrazac (1), ali s manjim brojem pojmova ili će biti ekvivalentne kombinaciji dvije jednadžbe, a jedna će biti prva stepena i Drugo će biti jednačina obrasca (1), ali s manjim brojem pojmova.

Primjer. Riješite jednadžbu

Odluka. Grumping u lijevom dijelu jednadžbe (2) Prvi član s potonjem, a drugi sa pretposljednjom, prepisivati \u200b\u200bjednadžbu (2) u obliku

Summing u svakom pojmu zagrade, prepisati jednadžbu (3) kao

Budući da ne postoji jednadžba rešenja (4), a zatim podijeli ovu jednadžbu, dobijamo jednadžbu

, (5) ekvivalentna jednadžba (4). Zamijenit ćemo nepoznatu, a zatim jednadžbu (5) prepisati u obliku

Dakle, rješenje jednadžbe (2) sa pet pojmova na lijevom dijelu svodi se na rješenje jednadžbe (6) iste vrste, ali s tri pojma na lijevoj strani. Sažimanje svih članova u lijevom dijelu jednadžbe (6), prepisujte ga u obliku

Rješenja jednadžbe su također. Nijedan od ovih brojeva ne izvlači nulu nazivnika racionalne funkcije u lijevom dijelu jednadžbe (7). Slijedom toga, jednadžba (7) ima ova dva korijena, a samim tim i početna jednadžba (2) ekvivalentna je ukupnošću jednadžbi

Rješenja prve jednadžbe ove ukupnosti

Rješenja druge jednadžbe iz ove ukupnosti

Dakle, početna jednadžba ima korijene

2. Pogledajte jednadžbe

Jednadžba

(8) Pod nekim uvjetima mogu se riješiti ovako: potrebno je dodijeliti cijeli dio u svakom od frakcija jednadžbe, I.E., zamijeni jednadžbu (8) jednadžbom

Da biste je smanjili u obrazac (1), a zatim je riješi na način opisan u prethodnom stavku.

Primjer. Riješite jednadžbu

Odluka. Pišemo jednadžbu (9) kao ili kao

Rezimiranje komponenti u zagradama, prepisati jednadžbu (10) kao

Izrada zamjene nepoznatog, prepisivanja jednadžbu (11) kao

Rezimiranje članova u lijevom dijelu jednadžbe (12), prepisujte ga kao

Lako je vidjeti tu jednadžbu (13) ima dva korijena: i. Shodno tome, početna jednadžba (9) ima četiri korijena:

3) jednadžbe vrste.

Jednadžba obrasca (14) pod određenim uvjetima u brojevima može se riješiti ovako: raspadanje (ako jeste, naravno, moguće je) svaka od frakcija u lijevom dijelu jednadžbe (14) u sumi u sumi Najjednostavnije frakcije

Da bi se smanjila jednadžba (14) u formiranje (1), a zatim provođenje pogodne preuređenje članova dobivene jednadžbe, za rješavanje metode utvrđene u stavku 1).

Primjer. Riješite jednadžbu

Odluka. Od i, pomnožite brojčanika svake frakcije u jednadžbi (15) sa 2 i primjećujući da jednadžba (15) može biti napisana kao

Jednadžba (16) ima obrazac (7). Navlažite komponente u ovoj jednadžbi, prepišite ga u obliku ili u obliku

Jednadžba (17) ekvivalentna je ukupnošću jednadžbi i

Da biste riješili drugu jednadžbu seta (18), zamijenit ćemo nepoznatu, tada će se prepisati u obliku ili u obliku

Zminju sve članove u lijevom dijelu jednadžbe (19), prepisujte ga u obliku

Budući da jednadžba nema korijene, jednadžba (20) također nema.

Prva jednadžba agregata (18) ima jedini korijen jer je ovaj korijen uključen u OTZ druge jednadžbe skupa (18), tada je to jedini korijen agregata (18), a samim tim i početna jednadžba .

4. Pregledajte jednadžbe

Jednadžba

(21) Pod nekim uvjetima u brojevima i A, nakon prezentacije svakog izraza na lijevoj strani, može se smanjiti na obrazac (1).

Primjer. Riješite jednadžbu

Odluka. Prepisati jednadžbu (22) kao ili kao

Dakle, jednadžba (23) se smanjuje na obrazac (1). Sada, grupiranje prvog člana sa poslednjem, a drugi sa trećim, prepisuju jednadžbu (23) u obliku

Ova jednačina ekvivalentna je ukupnošću jednadžbi i. (24)

Posljednja jednačina ukupnosti (24) može se prepisati kao

Rješenja ove jednadžbe su i, jer je uključena u OTZ druge jednadžbe skupa (30), a zatim agregat (24) ima tri korijena :. Svi su rješenja originalne jednadžbe.

5. Jednadžbe vrste.

Jednadžba obrasca (25)

U nekim uvjetima, broj nepoznatog može se smanjiti na jednadžbu tipa

Primjer. Riješite jednadžbu

Odluka. Budući da nije rešenje jednadžbe (26), a zatim podijeliti brojčanik i nazivnik svakog frakcije na levoj strani, prepisati ga kao

Izrada zamjene varijabli okretanjem jednadžbe (27) kao

Rješavanje jednadžbe (28) je takođe. Stoga je jednadžba (27) ekvivalentna ukupnosti jednadžbi i. (29)

Upotreba jednadžbi je raširena u našem životu. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnjom građevina, pa čak i sportova. Jednadžbe osobe korištene u antici i od tada se njihova primjena samo povećava. U matematici su jednadžbe viših stupnjeva sa cijelim koeficijentima sasvim česte. Da biste riješili ovu vrstu jednadžbe, potrebno je:

Odrediti racionalne korijene jednadžbe;

Raspadaju se na polinimnim množiteljima, koji se nalazi na lijevoj strani jednadžbe;

Pronađite korijene jednadžbe.

Pretpostavimo da smo dobili jednadžbu sljedećeg obrasca:

Svim stvarnim korijenima nalazimo. Pomnožite lijeve i desne dijelove jednadžbe na \\

Izvršite zamjenu varijabli \\

Stoga smo dobili određenu jednadžbu četvrtog stepena, koji se riješi prema standardnom algoritmu: provjeravamo razdjelnike, izvodemo diviziju i kao rezultat toga otkrivamo da jednadžba ima dva valjana korijena \\ i dva kompleksa. Sljedeći odgovor dobijamo na našu jednadžbu četvrtog stepena:

Gdje mogu riješiti jednadžbu najviših stupnjeva internetskog rješenja?

Možete riješiti jednadžbu na našoj web stranici HTTPS: // Site. Besplatni internetski solver rešit će internetsku jednadžbu bilo koje složenosti u sekundi. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u Solver. Takođe možete gledati video instrukcije i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih pitati u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek smo sretni što vam možemo pomoći.

Da biste uživali u prezentacijama prezentacija, otvorite sebi račun (račun) Google i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Potpisi za slajdove:

Jednadžbe viših stupnjeva (korijeni polinoma iz jedne varijable).

P LAN predavanje. № 1. Jednadžbe najviših stupnjeva u školskom toku matematike. № 2. Standardna vrsta polinoma. № 3. Korijeni polinoma. Gorner shema. № 4. FRAKCIJSKI KORITI POLINOMSKIH. № 5. Jednadžbe oblika: (x + a) (x + c) (x + c) (x + c) ... \u003d broj 6. povratni jednadžbe. Br. 7. Ujednačene jednadžbe. 8. 8. Metoda neizvjesnih koeficijenata. Br. 9. funkcionalno - grafička metoda. Br. 10. Vieta formule za jednadžbe viših stupnjeva. Br. 11. Ne-standardne metode za rješavanje jednadžbi viših stupnjeva.

Jednadžbe najviših stupnjeva u školskom toku matematike. 7. razred. Standardna vrsta polinoma. Akcije sa polinomima. Dekompozicija polinoma na multiplikatoru. U uobičajenoj klasi 42 sata, u posebnom razredu od 56 sati. 8 posebna klasa. Cijeli korijeni polinoma, podjela polinoma, povrat jednadžbe, razlika i količina pumpi ovlaštenja dvoje mero, metoda neizvjesnih koeficijenata. Yu.n. Makarychev "Dodatna poglavlja u školskom kursu 8 klase algebresa", m.l.galitsky kolekcija zadataka na algebri 8 - 9. razred. " 9 posebna klasa. Racionalni korijeni polinoma. Generalizovane povratne jednadžbe. Vieta formule za jednadžbe viših stupnjeva. N.YA. Vilenkin "Algebra 9. razred sa dubinskim studijom. 11 Specijalna klasa. Identitet polinoma. Polinom iz nekoliko varijabli. Funkcionalno - grafički način rješavanja jednadžbi viših stupnjeva.

Standardna vrsta polinoma. Polinomijski P (x) \u003d A ⁿ x ⁿ + i P-1 x P-1 + ... + A₂h ² + a₁h + a₀. Naziva polinom standardne vrste. A P X ⁿ je stariji član polinomnog PA - koeficijent sa starijim članom polinoma. Na p \u003d 1 p (x) se naziva gore navedenim polinimnim. A ₀ - besplatan član polinomnog P (x). P - stepen polinoma.

Cijeli korijeni su polinom. Gorner shema. Theorem br. 1. Ako je cijeli broj A je korijen polinomnog p (x), a zatim A je besplatan razdjelnik člana p (x). Primjer broj 1. Odlučiti jednadžba. X⁴ + 2x³ \u003d 11xx - 4x - 4 Predstavljamo jednadžbu standardnom obliku. X⁴ + 2x³ - 11xQM + 4x + 4 \u003d 0. Imamo polinom P (x) \u003d x ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 BESPLATNE DIĐlore članova: ± 1, ± 2, ± 4. x \u003d 1 korijenska jednadžba jer P (1) \u003d 0, x \u003d 2 korijenska jednadžba jer P (2) \u003d 0 Teorema moure. Ostatak iz podjele polinomnog P (x) na Biccunu (X - A) jednak je p (a). Korolija. Ako je korijen polinomnog p (x), tada je p (x) podijeljen u (x - a). U našoj jednadžbi P (x) podijeljen je u (x - 1) i na (X - 2), pa, pa (x - 1) (X - 2). Prilikom razdvajanja P (x) na (x ² - 3x + 2), ispada da je trile x ² + 5x + 2 \u003d 0, koji ima korijenje x \u003d (- 5 ± √17) / 2

Frakcijske korijene polinoma. Theorem broj 2. Ako je P / G korijen polinomnog P (x), a zatim P je besplatan divider člana, G je koeficijent razdjelnik koeficijenta višijeg člana P (x). Primjer br. 2. Odlučite jednadžbu. 6x³ - 11xx - 2x + 8 \u003d 0. Besplatni razborici: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. Nijedan od ovih brojeva ne zadovoljava jednadžbu. Nema korijena. Prirodni razdjelnici koeficijenta višijeg člana P (x): 1, 2, 3, 6. Mogući frakcijski korijeni jednadžbe: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Provjera su uvjereni da je p (4/3) \u003d 0. x \u003d 4/3 korijen jednadžbe. Prema shemi hornera, dijelimo P (x) na (X - 4/3).

Primjeri za samoposluživanje. Odlučite jednadžbe: 9x³ - 18x \u003d x - 2, x ³ - x ² \u003d x - 1, x ³ - 3x² -3x + 1 \u003d 0, x ⁴ - 2x³ + 2x - 1 \u003d 0, x⁴ - 3x² + 2 \u003d 0 , x ⁵ + 5x³ - 6x² \u003d 0, x ³ + 4xqm + 5x + 2 \u003d 0, x⁴ + 4 x³ - x ² - 16x - 12 \u003d 0 4h³ + x ² - x + 5 \u003d 0 3x⁴ + 5x³ - 9x⁴ + 5x³ - 9x⁴ - 9x + 10 \u003d 0. Odgovori: 1) ± 1/3; 2 2) ± 1, 3) -1; 2 ± √3, 4) ± 1, 5) ± 1; ± √2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -one; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; jedan.

Jednadžbe oblika (x + a) (x + c) (x + c) (x + d) ... \u003d A. Primjer broj 3. Odlučite jednadžbu (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) \u003d 24. A \u003d 1, b \u003d 2, c \u003d 3, d \u003d 4 a + d \u003d b + c. Prvi nosač okrećem četvero i drugoj i drugo s trećim. (x + 1) (x + 4) (x + 20 (x + 3) \u003d 24. (x ² + 5x + 4) (x ² + 5x + 6) \u003d 24. Let x ² + 5x + 4 \u003d y , zatim (y + 2) \u003d 24, u² + 2y - 24 \u003d 0 y³ \u003d - 6, u₂ \u003d 4. x ² + 5x + 4 \u003d -6 ili x ² + 5x + 4 \u003d 4. x ² + 5x + 10 \u003d 0, d

Primjeri za samoposluživanje. (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d -15, x (x + 4) (x + 5) (x + 9) + 96 \u003d 0, x (x + 3) ) (x + 5) (x + 8) + 56 \u003d 0, (x - 4) (x - 3) (x - 1) (x - 1) \u003d 24, (x - 3) (x -4) (x -4) ( X - 5) (x - 6) \u003d 1680, (x ² - 5x) (x + 3) (x - 8) + 108 \u003d 0, (x + 4) ² (x + 10) (x - 2) + 243 \u003d 0 (x ² + 3x + 2) (x ² + 9x + 20) \u003d 4, indikacija: x + 3x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2), x ² + 9x + 20 \u003d (x + 4) (x + 5) Odgovori: 1) -4 ± √6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± √97) / 2 7) -7; -one; -4 ± √3.

Povratne jednadžbe. Definicija broj 1. Jednadžba obrasca: AH⁴ + VX ³ + CX ² + BX + A \u003d 0 se naziva jednadžbom povratka četvrtog stepena. Definicija broj 2. Jednadžba obrasca: AH⁴ + VX ³ + CX ² + KVC + C² A \u003d 0 se naziva generalizirano vraćeno jednadžba za četvrtoj mjeri. K² A: A \u003d c²; SQ: B \u003d k. Primjer broj 6. Odredite jednadžbu x ⁴ - 7x³ + 14xqm - 7x + 1 \u003d 0. Podijelimo oba dijela jednadžbe na x ². x ² - 7x + 14 - 7 / x + 1 / x ² \u003d 0, (x ² + 1 / x ²) - 7 (x + 1 / x) + 14 \u003d 0. Neka je x + 1 / x \u003d y. Izgradimo oba dijela jednakosti na trgu. x ² + 2 + 1 / x ² \u003d u², x ² + 1 / x ² \u003d u² - 2. Dobivamo kvadratnu jednadžbu u² - 7U + 12 \u003d 0, u₁ \u003d 3, y \u003d 4. x + 1 / x \u003d 3 ili x + 1 / x \u003d 4. Dobivamo dvije jednadžbe: x ² - 3x + 1 \u003d 0, x ² - 4x + 1 \u003d 0. Primjer broj 7. 3x⁴ - 2x³ - 31xqm + 10x + 75 \u003d 0. 75: 3 \u003d 25, 10: (- 2) \u003d -5, (-5) ² \u003d 25. Stanje generalizirane povratne jednake vrši se na \u003d -5. Riješeno je analogno na primjer br. 6. Oba dijelu jednadžbe podijelimo na x ². 3x⁴ - 2x - 31 + 10 / x + 75 / x ² \u003d 0, 3 (x ⁴ + 25 / x ²) - 2 (x - 5 / x) - 31 \u003d 0. Neka je x - 5 / x \u003d y, Izgrađujemo oba dijela jednakosti u kvadratu x ² - 10 + 25 / x ² \u003d u², x ² + 25 / x ² \u003d uq² + 10. Imamo kvadratnu jednadžbu u boji u 4OW ² - 2Au - 1 \u003d 0, u₁ \u003d 1, U₂ \u003d - 1/3. X - 5 / x \u003d 1 ili x - 5 / x \u003d -1/3. Dobivamo dvije jednadžbe: x ² - x - 5 \u003d 0 i 3x² + x - 15 \u003d 0

Primjeri za samoposluživanje. 1. 78x⁴ - 133x³ + 78xqm - 133x + 78 \u003d 0, 2. x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 \u003d 0, 3. x ⁴ - x ³ - 10xqm + 2x + 4 \u003d 0, 4. 6x⁴ + 5x³ - 38xqm -10x + 24 \u003d 0, 5. x ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0, 6. x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 \u003d 0. Odgovora: 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± √3; (3 ± √17) / 2, 4) -1 ± √3; (7 ± √ 337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± √17) / 2, 6) 1; 2.

Uniformne jednadžbe. Definicija. Jednadžba forme A₀ U³ + A₁ U² V + A₂ UV² + A₃ V³ \u003d 0 naziva se homogenom jednadžbom trećeg stepena u odnosu na u v. Definicija. Jednadžba forme A₀ U⁴ + A₁ U³V + A₂ U²V² + A₃ UV³ + A₄ V⁴ \u003d 0 naziva se homogenom jednadžbom četvrtog stepena u odnosu na u v. Primjer broj 8. Odlučite jednadžbu (x ² - x + 1) ³ + 2x⁴ (x ² - x + 1) - 3x³ \u003d 0 Jedinstvena jednadžba trećeg stepena u odnosu na U \u003d x ² + 1, v \u003d x ². Podijelimo oba dijela jednadžbe na x ⁶. Prethodno provjereno da x \u003d 0 nije korijen jednadžbe. (x ² - x + 1 / x ²) ³ + 2 (x ² - x + 1 / x ²) - 3 \u003d 0. (x ² - x + 1) / x ²) \u003d y, y ³ + 2e - 3 \u003d 0, y \u003d 1 korijenska jednadžba. Podijelimo polinom P (x) \u003d u³ + 2Au - 3 na y - 1 prema planinskom shemu. U privatnom ćemo dobijamo trošica, što nema korijene. Odgovor: 1.

Primjeri za samoposluživanje. 1. 2 (x ² + 6x + 1) ² + 5 (x² + 6x + 1) (x² + 1) + 2 (x² + 1) ² \u003d 0, 2. (x + 5) ⁴ - 13xqm (x + 5) ² + 36x³ \u003d 0, 3. 2 (x² + x + 1) ² - 7 (x - 1) ² \u003d 13 (x³ - 1), 4. 2 (x -1) ⁴ - 5 (x² - 3x + 2) ² + 2 (x - 2) ⁴ \u003d 0, 5. (x ² + x + 4) ² + 3x (x ² + x + 4) + 2x² \u003d 0, odgovori: 1) -1; -2 ± √3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2; 4 4) ± √2; 3 ± √2, 5) Nema korijena.

Način nesigurnih koeficijenata. Theorem broj 3. Dva polinomija P (x) i G (x) su identična ako su i samo ako imaju isti stepen i koeficijenti s istim stupnjevima varijable u oba polinoma jednaki su. Primjer broj 9. Decisid na multiplikatoru polinoma U⁴ - 4u³ + 5U² - 4u + 1. U⁴ - 4u³ + 5U² - 4u + 1 \u003d (u² + vo + c) (u² + ₁u + s₁) \u003d y ⁴ + u ³ (₁ + c) + U² (s₁ + c + v₁v) + u (sunce ₁ + SV ₁) + ss ₁. Prema Theorem br. 3, imamo sistem jednadžbi: ₁ + B \u003d -4, C + C + V₁B \u003d 5, Sun ₁ + SV ₁ \u003d -4, SS ₁ \u003d 1. Potrebno je riješiti sistem u cijelim brojevima. Potonju jednadžbi u cijelim brojevima može imati rješenja: C \u003d 1, c₁ \u003d 1; C \u003d -1, s₁ \u003d -1. Neka je c \u003d c ₁ \u003d 1, tada imamo iz prve jednadžbe u \u003d -4-in. Zamjenjujemo u drugoj jednadžbi sustava c² + 4b + 3 \u003d 0, b \u003d -1, v₁ \u003d -3 ili b \u003d -3, v₁ \u003d -1. Te su vrijednosti pogodne za treću jednadžbu sistema. Kad je c \u003d c ₁ \u003d -1 d

Primjer broj 10. Polinom je raspadati polinom u ³ - 5U + 2. U ³ -5U + 2 \u003d (U + A) (U² + VO + C) \u003d u ³ + (A + C) U² + (AV + C) Y + zvučnici. Imamo sustav jednadžbi: A + B \u003d 0, AB + C \u003d -5, AC \u003d 2. Moguća cijela rješenja treće jednadžbe: (2; 1), (1; 2), (-2; -1) ), (-1; -2). Neka je A \u003d -2, C \u003d -1. Od prve jednadžbe sistema B \u003d 2, koji zadovoljava drugu jednadžbu. Zamjena ovih vrijednosti u željenoj ravnopravnosti dobit ćemo odgovor: (Y - 2) (U² + 2OW - 1). Drugi način. U ³ - 5U + 2 \u003d y ³ -5U + 10 - 8 \u003d (y ³ - 8) - 5 (Y - 2) \u003d (Y - 2) (U² + 2U -1).

Primjeri za samoposluživanje. Raširite na multiplikatoru polinoma: 1. U⁴ + 4u³ + 6U + 4U -8, 2. U⁴ - 4u³ + 7u² - 6u + 2, 3. x ⁴ + 324, 4. U⁴ -8u³ + 24u² -32U + 15, 5. Odredite jednadžbu koristeći metodu raspadanja u množitelje: a) x ⁴ -3x² + 2 \u003d 0, b) x ⁵ + 5x³ -6x² \u003d 0. Odgovora: 1) (u² + 2u +4), 2) (Y - 1) ² (U² -2U + 2), 3) (x ² -6x + 18) (x ² + 6x + 18), 4) (Y - 1) (Y - 3) ) (u² - 4u + 5), 5a) ± 1; ± √2, 5b) 0; jedan.

Funkcionalno - grafički način rješavanja jednadžbi viših stupnjeva. Primjer broj 11. Odredite jednadžbu X ⁵ + 5x -42 \u003d 0. Funkcija y \u003d x ⁵ Povećanje, funkcija y \u003d 42 - 5x smanjuje (na

Primjeri za samoposluživanje. 1. Koristeći svojstvo monotonije funkcije, dokažite da jednadžba ima jedini korijen i pronađite ovaj korijen: a) x ³ \u003d 10 - x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 - x. Odgovori: a) 2, b) √2. 2. Odredite jednadžbu koristeći funkcionalno - grafički način: a) x \u003d ³ √h, b) l x l \u003d ⁵ √h, c) 2 \u003d 6 - x, g) (1/3) \u003d x +4, d) ( X - 1) ² \u003d Log₂ X, E) Log \u003d (x + ½) ², g) 1 - √h \u003d ln x, h) √h - 2 \u003d 9 / x. Odgovori: a) 0; ± 1, b) 0; 1, c) 2, d) -1, e) 1; 2, e) ½, g) 1, h) 9.

Vieta formule za jednadžbe viših stupnjeva. Theorem br. 5 (Vieta teorem). Ako jednadžba sjekira ⁿ + AX \u200b\u200bⁿ + ... + A₁H + A₀ ima različite važeće korijene x ₁, x ₂, ..., x, tada zadovoljavaju jednakosti: za kvadratnu jednadžbu AH² + VX + C \u003d O : x ₁ + x ₂ \u003d -b / a, x₁h ₂ \u003d s / a; Za kubnu jednadžbu, ³ + a₂h ² + a₁h + a₀ \u003d o: x ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d -a₂ / a₃; x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂h ₃ \u003d a / a₃; x₁h₂h ₃ \u003d -a₀ / a₃; ... za jednadžbu N-diploma: X ₁ + x ₂ + ... x \u003d - A / A, X₁x ₂ + x ₃ x ₃ + ... + xx \u003d a / a, ..., x ₂ · ... · x \u003d (- 1) ⁿ / a. Izvodi se obrnuta teorema.

Primjer №13. Napišite kubnu jednadžbu, čiji su korijeni obnavljaju korijenje jednadžbe x ³ - 6xqm + 12x - 18 \u003d 0, a koeficijent na X ³ je 2. 1. po teorimi Viete za kubnu jednadžbu imam: x ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d 6, x₁ ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ \u003d 12, x₁x₂h ₃ \u003d 18. 2. Pravimo obrnute vrijednosti ovih korijena i za njih koristimo obrnutu teoru Vieta. 1 / x ₁ + 1 / x ₂ + 1 / x ₃ \u003d (x₂x ₃ + x₁x ₃ + x₁x ₂) / x₁x₂h ₃ \u003d 12/18 \u003d 2/3. 1 / x₁x ₂ + 1 / x₁x ₃ + 1 / x₂x ₃ \u003d (x ₃ + x ₂ + x ₁) / x₁x₂h ₃ \u003d 6/18 \u003d 1/3, 1 / x₁x ₃ \u003d 1/18. Dobivamo jednadžbu x ³ + 2 / 3xqm + 1 / 3x - 1/18 \u003d 0 · 2 Odgovor: 2x³ + 4 / 3xqm + 2 / 3x -1/9 \u003d 0.

Primjeri za samoposluživanje. 1. Napišite kubnu jednadžbu, čiji su korijeni obrnuti kvadrat korijena jednadžbe X ³ - 6xqm + 11x - 6 \u003d 0, a koeficijent na x ³ je 8. Odgovor: 8x³ - 98 / 9xqm + 28 / 9x -2/9 \u003d 0. Ne-standardne metode za rješavanje jednadžbi viših stupnjeva. Primjer broj 12. Odredite jednadžbu X ⁴ -8x + 63 \u003d 0. Spasio je lijevi dio jednadžbe faktora. Izdvajamo tačne trgove. X⁴ - 8x + 63 \u003d (x ⁴ + 16xqm + 64) - (16xqm + 8x + 1) \u003d (x ² + 8) ² - (4x + 1) ² \u003d (x ² + 4x + 9) (x² - 4x + 7) \u003d 0. Oba diskriminanta su negativna. Odgovor: Nema korijena.

Primjer broj 14. Odlučite jednadžbu 21x³ + x ² - 5x - 1 \u003d 0. Ako je besplatni član jednadžbe ± 1, jednadžba se pretvara u zadanu jednadžbu zamjenom x \u003d 1 / y. 21 / U³ + 1 / U² - 5 / Y - 1 \u003d 0 · U ³, y ³ + 5U² - 21 \u003d 0. U \u003d -3 korijenska jednadžba. (u + 3) (u² + 2ow -7) \u003d 0, y \u003d -1 ± 2√2. X ₁ \u003d -1/3, x ₂ \u003d 1 / -1 + 2√2 \u003d (2√2 + 1) / 7, x₃ \u003d 1 / -1 -2√2 \u003d (1-2√2) / 7 . Primjer broj 15. Riješite jednadžbu 4x³-10x² + 14x - 5 \u003d 0. Pomnožite oba dijela jednadžbe na 2. 8x³ -20x² + 28x - 10 \u003d 0, (2x) ² - 5 (2x) ² - 14 · (2x) -10 \u003d 0. Uvodimo novu varijablu y \u003d 2x, dobivamo smanjenu jednadžbu u ³ - 5U ² + 14U -10 \u003d 0, y \u003d 1 korijen jednadžbe. (y - 1) (u² - 4. + 10) \u003d 0, d

Primjer broj 16. Dokažite da jednadžba x ⁴ + x ³ + x - 2 \u003d 0 ima jedan pozitivan korijen. Neka f (x) \u003d x ⁴ + x ³ + x - 2, f '(x) \u003d 4 x³ + 3xqm + 1\u003e o sa x\u003e o. Funkcija F (x) povećava se na x\u003e o, a vrijednost f (o) \u003d -2. Očito je da jednadžba ima jedan pozitivan korijen Ch.t.d. Primjer broj 17. Odlučite jednadžbu 8x (2xqm - 1) (8x⁴ - 8xqm + 1) \u003d 1. Ako je Sharygin "opcionalni kurs iz matematike za 11. razred. Obrazovanje 1991 P90. 1. l x l 1 2x² - 1\u003e 1 i 8x⁴ -8x² + 1\u003e 1 2. Zamijenit ćemo x \u003d ugodno, u € (0; n). Uz preostale vrijednosti y, vrijednosti x se ponavljaju, a jednadžba nema više od 7 korijena. 2xqm - 1 \u003d 2 cos² - 1 \u003d cos2y, 8x⁴ - 8xqm + 1 \u003d 2 (2xqm - 1) ² - 1 \u003d 2 cos²2y - 1 \u003d cos4y. 3. Jednadžba uzima obrazac 8 Cosycos2ycos4y \u003d 1. Pomnožite oba dijela jednadžbe na sin. 8 sinycosycos2ycos4y \u003d siny. Primjena 3 puta više od formule dvostrukog ugla, dobivamo jednadžbu SIN8Y \u003d SINY, SIN8Y - SINY \u003d 0

Kraj odluke primjera br. 17. Koristimo formulu razliku od sinusa. 2 SIN7Y / 2 · cos9y / 2 \u003d 0. S obzirom na to da u € (0; p), y \u003d 2pk / 3, k \u003d 1, 2, 3 ili y \u003d n / 9 + 2pk / 9, k \u003d 0, 1, 2, 3. Vraćanje na varijabli x Dobijte odgovor: cos2 p / 7, cos4 p / 7, cos6 p / 7, cos p / 9, ½, cos5 p / 9, cos7 p / 9. Primjeri za samoposluživanje. Pronađite sve vrijednosti a, u kojoj jednadžbi (x ² + x) (x ² + 5x + 6) \u003d i ima tačno tri korijena. Odgovor: 9/16. Napomena: Izgradite grafikon lijevog dijela jednadžbe. F max \u003d f (0) \u003d 9/16. Ravno y \u003d 9/16 prelazi grafikon funkcije u tri boda. Odlučite jednadžbu (x ² + 2x) ² - (x + 1) ² \u003d 55. Odgovor: -4; 2. Odlučite jednadžbu (x + 3) ⁴ + (x + 5) ⁴ \u003d 16. Odgovor: -5; -3. Odlučite jednadžbu 2 (x ² + x + 1) ² -7 (x - 1) ² \u003d 13 (x ³ - 1). Odgovor: -1; -1/2, 2; 4 Pronađite broj važećih korijena jednadžbe X ³ - 12x + 10 \u003d 0 na [-3; 3/2]. Napomena: Pronađite izvedenog i istražite monot.

Primjeri za samoposlužna rješenja (nastavak). 6. Pronađite broj važećih korijena jednadžbe X ⁴ - 2x³ + 3/2 \u003d 0. Odgovor: 2 7. Let X ₁, X ₂, x ₃ - korijenje polinomnog P (x) \u003d x ³ - 6xqm -15x + 1. Pronađi X₁² + x ₂² + x ₃². Odgovor: 66. Napomena: Primijenite teoremu Vieta. 8. Dokažite da u A\u003e O i proizvoljni materijal u jednadžbi X ³ + AH + B \u003d O ima samo jedan pravi korijen. NAPOMENA: Prevucite prstom dokaz iz gadnog. Primijenite Theorem Vieta. 9. Odlučite jednadžbu 2 (x ² + 2) ² \u003d 9 (x ³ + 1). Odgovor: ½; jedan; (3 ± √13) / 2. Napomena: Dajte jednadžbi homogenom koristeći jednakost x² + 2 \u003d x + 1 + x ² - x + 1, x ³ + 1 \u003d (x + 1) (x ² - x + 1). 10. Odlučite sistem jednadžbi x + y \u003d x ², u 3Ow - x \u003d u². Odgovor: (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. Odredite sistem: 4u² -3hu \u003d 2x -u, 5xqm - 3u² \u003d 4x - 2. Odgovor: (o; o), (1; 1), (297/265; - 27/53).

Ispitivanje. 1 opcija. 1. Odlučite jednadžbe (x ² + x) - 8 (x ² + x) + 12 \u003d 0. 2. Odlučite jednadžbu (x + 1) (x + 5) (x + 5) \u003d - 15 . 3. Odlučite jednadžbu 12xqm (x - 3) + 64 (x - 3) ² \u003d x ⁴. 4. Odredite jednadžbu x ⁴ - 4 x³ + 5xqm - 4x + 1 \u003d 0 5. Odredite sistem u dobi: x ² + 2 ² - x + 2ow \u003d 6, 1,5xqm + 3 ² - x + 5U \u003d 12.

2 opcija 1. (x ² - 4x) ² + 7 (x ² - 4x) + 12 \u003d 0. 2. x (x + 1) (x + 5) (x + 6) \u003d 24. 3. x ⁴ + 18 (x + 4) ² \u003d 11xqm (x + 4). 4. x ⁴ - 5x³ + 6xqm - 5x + 1 \u003d 0. 5. x ² - 2h + o² + 2xqm - 9 \u003d 0, x - y - x² od + 3 \u003d 0. 3 opcija. 1. (x ² + 3x) ² - 14 (x ² + 3x) + 40 \u003d 0 2. (x - 5) (x - 3) (x + 3) (x + 1) \u003d - 35. 3. x4 + 8h² (x + 2) \u003d 9 (x + 2) ². 4. x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 \u003d 0. 5. x + u + x ² + u ² \u003d 18, HU + x ² + u² \u003d 19.

4 opcija. (x ² - 2x) ² - 11 (x ² - 2x) + 24 \u003d o. (x -7) (x - 4) (x - 2) (x + 1) \u003d -36. X⁴ + 3 (x -6) ² \u003d 4xqm (6 - x). X⁴ - 6x³ + 7xQM - 6x + 1 \u003d 0. x² + 3h + US² \u003d - 1, 2xqm - 3h - 3U ² \u003d - 4. Dodatni zadatak: ostatak iz podjele polinomnog P (x) na (X - 1) je 4, ravnoteža podjele na (X + 1) je 2, a pri dijeljenjem (x - 2) je 8. Pronađi ravnotežu od razdvajanja P (x) do (x ³ - 2x² - X + 2) .

Odgovori i uputstva: Opcija broj 1 br. 2. br. 3. br. 4. br. 1. - 3; ± 2; 1 1; 2; 3. -pet; -rour; jedan; 2. Jedinstvena jednadžba: u \u003d x -3, v \u003d x² -2; -one; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3). Napomena: 1 · (-3) + 2 · 2 2. -6; -2; -4 ± √6. -3 ± 2√3; - Četiri; - 2. 1 ± √11; četiri; - 2. jednolična jednadžba: u \u003d x + 4, v \u003d x² 1; 5; 3 ± √13. (2; 1); (0; 3); (- Trideset). Napomena: 2 · 2 + 1. 3. -6; 2; četiri; 12 -3; -2; četiri; 12 -6; -3; -one; 2. Uniform u \u003d x + 2, v \u003d x² -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). Napomena: 2 -1. 4. (3 ± √5) / 2 2 ± √3 2 ± √3; (3 ± √5) / 2 (5 ± √21) / 2 (1; -2), (-1; 2). Napomena: 1 · 4 + 2.

Odluka Dodatni zadatak. Po teorem blatu: P (1) \u003d 4, p (-1) \u003d 2, p (2) \u003d 8. p (x) \u003d g (x) (x ³ - 2x² - x + 2) + ah² + vx + od. Zamjena 1; - jedan; 2. P (1) \u003d g (1) · 0 + A + B + C \u003d 4, A + B + C \u003d 4. P (-1) \u003d A - B + C \u003d 2, P (2) \u003d 4A² + 2V + C \u003d 8. Dobijamo rješavanje rezultata tri jednadžbe: A \u003d B \u003d 1, C \u003d 2. Odgovor: x ² + x + 2.

Kriterij br. 1 - 2 boda. 1 bod je jedna greška računarstva. № 2,3,4 - 3 boda. 1 rezultat - doveo do kvadratne jednadžbe. 2 boda - jedna greška u računanju. Br. 5. - 4 boda. 1 rezultat - izrazio jednu varijablu kroz drugu. 2 boda - dobio jedno od rešenja. 3 boda - jedna računarska greška. Dodatni zadatak: 4 boda. 1 Ocjena - primijenio je teoremu moure za sva četiri slučaja. 2 boda - čini se sistemom jednadžbi. 3 boda - jedna računarska greška.

Metode rješavanja algebarske jednadžbe viših stupnjeva.

Habibullina Alfia Yakubovna ,

učitelj matematike najviše kategorije Mbou Sosh №177

gradovi Kazanj, Počasni učitelj Republike Tatarstan,

kandidat pedagoških nauka.

Definicija 1. Algebarska jednadžba stepena n Jednadžba obrasca P N (x) \u003d 0, gdje je p n (x) polinom stepena N, I.E. P n (x) \u003d 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n a 0.

Definicija 2. Korijen Jednadžbe - Numerička vrijednost varijable X, koja, kada zamjena, daje vjernu ravnopravnost u ovoj jednačini.

Definicija 3. Odlučiti jednadžba znači pronaći sve svoje korijene ili dokazati da nisu.

I. Način razgradnje polinoma na množitelje sa sljedećim snimkom.

Jednadžba se može razgraditi na multiplikatoru i riješiti metodu drobljenja, koja se probija na skupu jednadžbi manjih stupnjeva.

Komentar: Općenito, prilikom rješavanja jednadžbe drobljenjem ne bismo trebali zaboraviti da je proizvod nula tada, a samo ako je barem jedan od multiplikatora nula, dok drugi zadržavaju značenje.

Načini raspadaju polinoma na množitelje:

1. Uklanjanje zajedničkog faktora za zagrade.

2. Trg može se razgraditi na multiplikatoru sa formulas Ah 2 + WX + C \u003d A (x-x 1 ) (xh 2 ), Gde sam 0, x 1 i x 2 - kvadratni trostruki korijeni.

3. Upotreba formule skraćenim množenjem :

a n - u n \u003d (a - c) (i n-1 + cn-2 a n-2 b + cn-3 a n-3 b + ... + c 1 a u n-2 + u n- 1), N. N.

Izbor kompletnog trga. Polinom se može razgraditi na multiplikatoru koristeći kvadratnu formulu razmenu, prethodno označavaju cijeli kvadrat zbroja ili razlike izraza.

4. Grupisanje (U kombinaciji s prijenosom zajedničkog faktora iza zagrada).

5. Koristeći efekat teoreme.

1) Ako jednadžba A 0 x N + A 1 X N-1 + ... + A N-1 X + A n \u003d 0, 0 0 C cijeli koeficijenti imaju racionalni korijen x 0 \u003d (Gde - nestabilna frakcija, str
TUŽILAC WHITING - PITANJE:
), a zatim p sekvencer besplatnog pojasa A n, i q je razvodnik višeg koeficijenta 0.

2) ako je x \u003d x 0 korijen jednadžbe p n (x) \u003d 0, a zatim p n (x) \u003d 0 je ekvivalentan jednadžbi

(x - x 0) P n-1 (x) \u003d 0, gdje je r n-1 (x) polinom koji se može naći u diviziji

P n (x) na (x - x 0) "kutak" ili metodom neodređenih koeficijenata.

II. . Način uvođenja nove varijable (zamjena )

Razmislite o jednadžbi f (x) \u003d g (x). Ekvivalent je jednadžbi f (x) -G (x) \u003d 0. označava razliku f (x) -g (x) \u003d h (p (x)) i
. Uvodemo zamjenu T \u003d P (x) (funkcija T \u003d P (x) se naziva zamjena ). Zatim dobijamo jednadžbu H (p (x)) \u003d 0 ili h (t) \u003d 0, rješavajući posljednju jednadžbu, mi nađemo t 1, t 2, ... povratak u zamjenu P (x) \u003d t 1, P (x) \u003d t 2, ..., pronađite vrijednosti varijable x.

III Metoda stroge monotonije.

Teorem. Ako je y \u003d f (x) strogo monotonne po p, a zatim jednadžba f (x) \u003d A (A - CONST) nema više od jednog korijena na setu. (Funkcija je strogo monotona: bilo samo smanjenje ili samo raste)

Komentar. Možete koristiti modifikaciju ove metode. Razmislite o jednadžbi f (x) \u003d g (x). Ako funkcija Y \u003d F (x) smanjuje monotono na P, a funkcija y \u003d g (x) monotono smanjuje na P (ili obrnuto), jednadžbe f (x) \u003d g (x) nema više od jednog korijena na setu.

IV. Metoda za usporedbu skupa vrijednosti oba dijela jednadžbe (metoda procjene)

Teorema Ako je za bilo koji x iz set P, nejednakosti se izvode nejednakosti f (x) a i g (x) a, zatim jednadžba f (x) \u003d g (x) na setu P ekvivalentna je sustavu
.

Vijećnjak: Ako na setu r
ili
, Jednadžba f (x) \u003d g (x) nema korijenje.

Ova metoda je prilično efikasna u rješavanju transcendentnih jednadžbi.

V. Metoda gašenja Divizora ekstremnih koeficijenata

Razmotrite jednadžbu A 0 x N + A 1 X N-1 + ... + A N-1 X + A n \u003d 0

Teorem. Ako je x 0 \u003d - Korijen algebarske jednadžbe stepena N, i ja sam cijeli broj koeficijenti, a zatim P je besplatan divider član A N, i Q je trgovac viši koeficijent 0. Na 0 \u003d 1 x 0 \u003d p (besplatan divider).

Vijećnjak Teoreme: Ako je x 0 korijen algebarske jednadžbe, zatim PN (x) podijeljen u (x - x 0) bez ostatka, tj. PN (x) \u003d (x - x 0) q n-1 (x) .

VI Način nesigurnih koeficijenata.

Zasnovan je na sljedećim navodima:

dva polinoma su identična jednaka tada i samo ako su njihovi koeficijenti jednaki s istim stupnjevima x.

bilo koji polinom trećeg stepena razgrađuje u radu dva množitelja: linearnog i kvadrata.

bilo koji polinom četvrtog stepena razgrađuje u radu dva polinoma

drugi stepen.

VII. Gorner shema .

Uz pomoć koeficijenta tablice algoritmom grada, izbor je korijenje jednadžbe među slobodnim djelistima članova.

VIII. . Derivativna metoda.

Teorem. Ako 2 polinoma P (x) i q (x) imaju identično jednake derivate, tada je takva osnova da je p (x) \u003d q (x) + c za X. R.

Vesem. Ako a
(x) i
(x) su podijeljeni u
T.
(x) je podijeljeno u
.

Vijećnjak: Ako a
(x) i
(x) podijeljeni su u polinom r (x), onda
(x) je podijeljeno u (x) i najveći opći razvodnik polinoma
(x) i
(x) ima korijene koji su samo korijeni polinoma
(x) umnožavanje najmanje 2.

Ix . Simetrična, povratna jednadžbe .

Definicija. Jednadžba A 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 X + A n \u003d 0 Nazvani simetričan , ako a

1. Razmislite o slučaju kada n-čak, n \u003d 2k. Ako a
, tada x \u003d 0 nije korijen jednadžbe, što daje pravo podijeliti jednadžbu na

0
+
+
+\u003d 0 Uvodimo zamjenu T \u003d
I, s obzirom na LEMMA, odlučujući kvadratnu jednadžbu u odnosu na varijabli T. Reverzna zamjena dat će rješenje u odnosu na varijablu x.

2. Razmislite o slučaju kada N-neparni, n \u003d 2k + 1. Onda \u003d -1 je korijen jednadžbe. Podijelimo jednadžbu na osnovu
I dobijamo slučaj 1 .. Uzakodno vam omogućava da pronađete vrijednosti x. Imajte na umu da se na M \u003d -1 jednadžbu naziva transformacijom algebarske jednadžbe p n (x) \u003d 0 (gdje je p n (x) polinom od stupnjeva n) u jednadžbu obrasca F (x) \u003d g (x) \u003d g ( x). Postavili smo funkcije y \u003d f (x), y \u003d g (x); Opisujemo njihova svojstva i konstruišu grafikone u jednom koordinatnom sustavu. Ubjave na mjestima raskrižja bit će korijene jednadžbe. Ček se izvodi zamjenom na početnu jednadžbu.

Općenito, jednadžba koja ima diplomu iznad 4 ne može se riješiti u radikalima. Ali ponekad i dalje možemo pronaći korijenje polinomnog stajanja na lijevoj strani u jednadžbi najvišeg stepena, ako ga predstavimo u obliku proizvoda polinoma do određenog stupnja ne više od četvrtog. Rješenje takvih jednadžbi temelji se na raspadanju polinoma na množine, tako da vam savjetujemo da ponovite ovu temu prije nego što naučite ovaj članak.

Najčešće se moraju baviti jednadžbi viših stupnjeva sa cijelim koeficijentima. U tim slučajevima možemo pokušati pronaći racionalne korijene, a potom se raspadati polinom za množine kako bi je pretvorili u jednadžbu nižeg stepena koja će se jednostavno odlučiti. Kao dio ovog materijala razmotrit ćemo samo takve primjere.

Jednadžbe najvišeg stepena sa celim koeficijentima

Sve jednadžbe imaju oblik a n + a n - 1 x n - 1 +. . . + 1 X + A 0 \u003d 0, možemo dovesti do jednadžbe u istoj mjeri koristeći množenje oba dijela pomoću N N - 1 i zamjenom varijable obrasca y \u003d a n x:

a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 X + A 0 \u003d 0 Ann · Xn + An - 1 · Ann - 1 · Xn - 1 + ... + A 1 · (An) N - 1 · X + A 0 · (An) N - 1 \u003d 0 y \u003d anx ⇒ yn + bn - 1 yn - 1 + ... + b 1 y + b 0 \u003d 0

Ti će koeficijenti koji su se pokazali na kraju bili i cijeli broj. Dakle, morat ćemo riješiti zadanu jednadžbu N-noerat sa cijelim koeficijentima koji imaju oblik x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0.

Izračunajte čitave korijene jednadžbe. Ako jednadžba ima čitave korijene, morate ih potražiti među razdjelnicima besplatnog roka a 0. Pišemo ih i zamijenit ćemo u početnoj ravnopravnosti zauzvrat, provjeravajući rezultat. Čim smo primili identitet i pronašli jedan od korijena jednadžbe, možemo ga napisati u obliku X - X 1 · P N - 1 (X) \u003d 0. Ovdje je X 1 korijen jednadžbe, a P N - 1 (X) je privatni od podjele X N + A N X N - 1 + ... + A 1 X + A 0 do X - X 1.

Zamjenimo preostale ispuštene djelisere u P N - 1 (x) \u003d 0, počevši od x 1, jer se korijenje mogu ponoviti. Nakon primitka identiteta, root X 2 se smatra da je pronađen, a jednadžba se može napisati u obliku (x - x 1) (X - X 2) · PN - 2 (x) \u003d 0. PN - 2 (x) Bit će privatni iz Division P N - 1 (x) do X - X 2.

I dalje idemo kroz razdjelnike. Nalazimo sve cijele korijene i označavamo njihov broj kao m. Nakon toga, početna jednadžba može biti predstavljena kao x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · p n - m (x) \u003d 0. Ovdje je P N - m (x) polinom n - M-stepeni. Za izračun, prikladno je koristiti shemu Horner.

Ako naša početna jednadžba ima čitave koeficijente, ne možemo rezultirati frakcijskim korijenima.

Na kraju smo stekli jednadžbu p n - m (x) \u003d 0, čiji korijeni se mogu naći na bilo koji pogodan način. Mogu biti iracionalni ili složeni.

Pokažimo se određenom primjeru, kao što se primjenjuje shema rješenja.

Primjer 1.

Stanje: Pronađite otopinu jednadžbe x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d 0.

Odluka

Započnimo sa nalazima čitavih korijena.

Imamo besplatan član jednaku minus tri. Ima divisorije jednake 1, - 1, 3 i - 3. Zamijenite ih izvornom jednadžbi i da vidimo koji će od njih biti dati identitet.

Za X, jednak jednoj, dobivamo 1 4 + 1 3 + 2 · 1 - 1 - 3 \u003d 0, znači da će jedinica biti korijen ove jednadžbe.

Sada ćemo izvesti podjele polinoma x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 na (x - 1) u stupcu:

Dakle, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 \u003d 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 \u003d 0

Imali smo identitet, znači da smo našli još jedan korijen jednadžbe jednak 1.

Podijelimo polinom x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 na (x + 1) u stupcu:

To shvatamo

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) \u003d \u003d (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Sljedeći razdjelnik zamjenjujemo jednakost x 2 + x + 3 \u003d 0, počevši od - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Jednakost dobivena na kraju bit će netačna, to znači da jednadžba više nema cijele korijene.

Preostali korijeni bit će korijeni izražavanja x 2 + x + 3.

D \u003d 1 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 11< 0

Iz ovoga slijedi da ovaj kvadrat tri declete nema valjanih korijena, ali postoje sveobuhvatno konjugat: x \u003d - 1 2 ± i 11 2.

Navest ćemo da umjesto podjele u kolonu možete koristiti shemu Gunner. To se radi ovako: nakon što smo identificirali prvi korijen jednadžbe, popunite tablicu.

U tablici koeficijenta možemo odmah vidjeti koeficijente pojedinca iz dijeljenja polinoma, to znači da je x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Nakon pronalaska sljedećeg korijena, jednak - 1, dobićemo sljedeće:

Odgovor: X \u003d - 1, X \u003d 1, X \u003d - 1 2 ± I 11 2.

Primer 2.

Stanje: Odlučite jednadžbu x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 \u003d 0.

Odluka

Besplatni član ima razdjelnike 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Provjerite ih po redu:

1 4 - 1 3 - 5 · 1 + 12 \u003d 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 \u003d 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 \u003d 0

Dakle, X \u003d 2 bit će korijen jednadžbe. Split smo x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 na x - 2, koristeći Gunner shemu:

Kao rezultat toga, dobivamo x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) \u003d 0.

2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 \u003d 0

Dakle, 2 će ponovo biti korijen. Split smo x 3 + x 2 - 3 x - 6 \u003d 0 do x - 2:

Kao rezultat toga, dobivamo (X - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) \u003d 0.

Provjera preostalih djejtora nema smisla, jer je jednakost x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 brži i prikladniji za rješavanje uz pomoć diskriminacije.

Jednadžba StEst Square:

x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 d \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0

Dobivamo sveobuhvatno konjugirani par korijena: X \u003d - 3 2 ± I 3 2.

Odgovoriti: x \u003d - 3 2 ± i 3 2.

Primjer 3.

Stanje: Pronađi za jednadžbu x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 valjanih korijena.

Odluka

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0

Izvodimo zapis 2 3 oba dijela jednadžbe:

2 x 4 + x 3 - 5 X - 6 \u003d 0 2 4 · X 4 + 2 3 X 3 - 20 · 2 · X - 48 \u003d 0

Zamjenjujemo varijable y \u003d 2 x:

2 4 · X 4 + 2 3 X 3 - 20 · 2 · X - 48 \u003d 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 \u003d 0

Kao rezultat toga imali smo standardnu \u200b\u200bjednadžbu 4., što se može riješiti u skladu sa standardnom shemom. Provjeravamo razdjelnike, dijelimo i dobijamo kao rezultat da ima 2 valjane korijene y \u003d - 2, y \u003d 3 i dva kompleksa. Odluka u potpunosti ovdje nećemo voditi. Na osnovu zamjene s važećim korijenima ove jednadžbe, x \u003d y 2 \u003d - 2 2 \u003d - 1 i x \u003d y 2 \u003d 3 2 će biti x \u003d 3 2.

Odgovor: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter