§ 87. Sabiranje razlomaka.

Sabiranje razlomaka ima mnogo sličnosti sa sabiranjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u činjenici da se nekoliko datih brojeva (članova) spoji u jedan broj (zbir), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica članova.

Razmotrićemo tri slučaja uzastopno:

1. Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.
3. Sabiranje mješovitih brojeva.

1. Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima.

Razmotrimo primjer: 1/5 + 2/5.

Uzmimo segment AB (slika 17), uzmimo ga kao jedan i podijelimo ga na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog odsječka biti jednak 1/5 segmenta AB, a dio istog segmenta CD će biti jednak 2/5 AB.

Iz crteža je jasno da ako uzmemo segment AD, on će biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbir segmenata AC i CD. Tako da možemo napisati:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Uzimajući u obzir ove članove i rezultujući zbir, vidimo da je brojnik zbira dobijen sabiranjem brojilaca članova, a imenilac je ostao nepromenjen.

Iz ovoga dobijamo sledeće pravilo: Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, morate sabrati njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.

Pogledajmo primjer:

2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.

Dodajmo razlomke: 3 / 4 + 3 / 8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:

Međulink 6/8 + 3/8 nije mogao biti napisan; napisali smo to ovdje radi jasnoće.

Dakle, da biste sabrali razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na najmanji zajednički imenilac, dodati njihove brojioce i označiti zajednički imenilac.

Razmotrimo primjer (dodatne faktore ćemo napisati iznad odgovarajućih razlomaka):

3. Sabiranje mješovitih brojeva.

Dodajmo brojeve: 2 3/8 + 3 5/6.

Hajde da prvo dovedemo razlomke naših brojeva u zajednički nazivnik i prepišemo ih ponovo:

Sada dodajemo cijeli broj i razlomak redom:

§ 88. Oduzimanje razlomaka.

Oduzimanje razlomaka definirano je na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Ovo je radnja uz pomoć koje se, s obzirom na zbir dva člana i jednog od njih, pronalazi drugi pojam. Razmotrimo tri slučaja za redom:

1. Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

1. Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.

Pogledajmo primjer:

13 / 15 - 4 / 15

Uzmimo segment AB (slika 18), uzmemo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će dio AC ovog segmenta predstavljati 1/15 AB, a dio AD istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Odvojimo još jedan segment ED jednak 4/15 AB.

Od 13/15 trebamo oduzeti razlomak 4/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Tako da možemo napisati:

Primer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobijen oduzimanjem brojilaca, ali je imenilac ostao isti.

Stoga, da biste oduzeli razlomke sa sličnim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojnik oduzetog od brojnika minusa i ostavite isti nazivnik.

2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.

Primjer. 3/4 - 5/8

Prvo, smanjimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:

Intermedijer 6 / 8 - 5 / 8 je napisan ovdje radi jasnoće, ali se može preskočiti kasnije.

Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate svesti na najmanji zajednički imenilac, zatim od brojnika minusa oduzeti brojnik minusa i potpisati zajednički nazivnik ispod njihove razlike.

Pogledajmo primjer:

3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

Primjer. 10 3/4 - 7 2/3.

Smanjimo razlomke minuenda i oduzmimo na najmanji zajednički nazivnik:

Od cjeline smo oduzeli cjelinu, a od razlomka razlomak. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio oduzetog dijela veći od razlomnog dijela minuenda. U takvim slučajevima potrebno je od cijelog dijela minuenda uzeti jednu jedinicu, podijeliti je na dijelove u kojima je izražen razlomak i dodati je razlomkom minuenda. A onda će se oduzimanje izvršiti na isti način kao u prethodnom primjeru:

§ 89. Množenje razlomaka.

Kada proučavamo množenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka datog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka sa razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Koncept interesa.
7. Pronalaženje procenta datog broja. Razmotrimo ih redom.

1. Množenje razlomka cijelim brojem.

Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Pomnožiti razlomak (množenik) cijelim brojem (faktorom) znači stvoriti zbir identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množenju, a broj članova jednak množitelju.

To znači da ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, to se može učiniti ovako:

Lako smo dobili rezultat, jer se radnja svela na sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima. dakle,

Razmatranje ove radnje pokazuje da je množenje razlomka cijelim brojem jednako povećanju ovog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem brojača

ili smanjenjem njegovog nazivnika , tada možemo ili pomnožiti brojilac cijelim brojem ili podijeliti nazivnik s njim, ako je takvo dijeljenje moguće.

Odavde dobijamo pravilo:

Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, pomnožite brojilac s tim cijelim brojem i ostavite imenilac isti, ili, ako je moguće, podijelite imenilac s tim brojem, a brojilac ostane nepromijenjen.

Prilikom množenja moguće su skraćenice, na primjer:

2. Pronalaženje razlomka datog broja. Postoji mnogo zadataka u kojima morate pronaći ili izračunati dio datog broja. Razlika između ovih problema i drugih je u tome što oni daju broj nekih objekata ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je ovdje također označen određenim razlomkom. Da bismo olakšali razumijevanje, prvo ćemo dati primjere takvih problema, a zatim predstaviti metodu za njihovo rješavanje.

Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; Potrošio sam 1/3 ovog novca na kupovinu knjiga. Koliko su knjige koštale?

Zadatak 2. Vlak mora prijeći udaljenost između gradova A i B jednaku 300 km. Već je prešao 2/3 ove udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?

Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, 3/4 su zidane, ostale su drvene. Koliko ukupno ima zidanih kuća?

Ovo su neki od mnogih problema s kojima se susrećemo da bismo pronašli dio datog broja. Obično se nazivaju problemima za pronalaženje razlomka datog broja.

Rješenje problema 1. Od 60 rub. Potrošio sam 1/3 na knjige; To znači da da biste pronašli cijenu knjiga trebate podijeliti broj 60 sa 3:

Rješavanje problema 2. Poenta problema je da morate pronaći 2/3 od 300 km. Prvo izračunajmo 1/3 od 300; ovo se postiže dijeljenjem 300 km sa 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Da biste pronašli dvije trećine od 300, trebate udvostručiti rezultirajući količnik, tj. pomnožiti sa 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Rješavanje problema 3. Ovdje morate odrediti broj kuća od cigle koje čine 3/4 od 400. Hajde da prvo pronađemo 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Da biste izračunali tri četvrtine od 400, rezultujući količnik se mora utrostručiti, tj. pomnožiti sa 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na osnovu rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:

Da biste pronašli vrijednost razlomka iz datog broja, trebate ovaj broj podijeliti sa nazivnikom razlomka i pomnožiti rezultujući količnik sa njegovim brojiteljem.

3. Množenje cijelog broja razlomkom.

Ranije (§ 26) je utvrđeno da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao sabiranje identičnih članova (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). U ovom stavu (tačka 1) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje sume identičnih članova jednakog ovom razlomku.

U oba slučaja množenje se sastojalo od pronalaženja zbira identičnih članova.

Sada prelazimo na množenje cijelog broja sa razlomkom. Ovdje ćemo se susresti, na primjer, sa množenjem: 9 2 / 3. Jasno je da se prethodna definicija množenja ne odnosi na ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti sabiranjem jednakih brojeva.

Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje šta treba shvatiti pod množenjem razlomkom, kako treba shvatiti ovu radnju.

Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: množenje cijelog broja (množenika) s razlomkom (množenika) znači pronalaženje ovog razlomka množenika.

Naime, množenje 9 sa 2/3 znači pronalaženje 2/3 od devet jedinica. U prethodnom pasusu takvi problemi su riješeni; tako da je lako zaključiti da ćemo završiti sa 6.

Ali sada se postavlja zanimljivo i važno pitanje: zašto se tako naizgled različite operacije, kao što je pronalaženje zbira jednakih brojeva i pronalaženje razlomka broja, u aritmetici nazivaju istom riječju "množenje"?

To se događa zato što prethodna radnja (ponavljanje broja sa terminima nekoliko puta) i nova radnja (pronalaženje razlomka broja) daju odgovore na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od razmatranja da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju istom radnjom.

Da biste to razumjeli, razmotrite sljedeći problem: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takvog platna?

Ovaj problem se rješava množenjem broja rubalja (50) sa brojem metara (4), odnosno 50 x 4 = 200 (rubalji).

Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?”

Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) sa brojem metara (3/4).

Brojeve u njemu možete promijeniti još nekoliko puta, bez promjene značenja problema, na primjer, uzmite 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.

Kako ovi zadaci imaju isti sadržaj i razlikuju se samo po brojevima, radnje koje se koriste u njihovom rješavanju nazivamo istom riječju - množenje.

Kako pomnožite cijeli broj sa razlomkom?

Uzmimo brojeve na koje smo naišli u zadnjem zadatku:

Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Nađimo prvo 1/4 od 50, a zatim 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 broja 50 je .

Dakle.

Razmotrimo još jedan primjer: 12 5 / 8 =?

1/8 broja 12 je 12/8,

5/8 od broja 12 je .

dakle,

Odavde dobijamo pravilo:

Da biste cijeli broj pomnožili razlomkom, trebate cijeli broj pomnožiti sa brojnikom razlomka i ovaj proizvod učiniti brojnikom, a nazivnik ovog razlomka potpisati kao nazivnik.

Napišimo ovo pravilo koristeći slova:

Da bi ovo pravilo bilo potpuno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno uporediti pronađeno pravilo sa pravilom za množenje broja sa količnikom, koje je navedeno u § 38.

Važno je zapamtiti da prije množenja trebate učiniti (ako je moguće) smanjenja, Na primjer:

4. Množenje razlomka sa razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kada množite razlomak razlomkom, morate pronaći razlomak koji je u faktoru iz prvog razlomka (množenik).

Naime, množenje 3/4 sa 1/2 (pola) znači pronaći polovinu od 3/4.

Kako množite razlomak sa razlomkom?

Uzmimo primjer: 3/4 pomnoženo sa 5/7. To znači da morate pronaći 5/7 od 3/4. Nađimo prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7

1/7 od broja 3/4 će se izraziti na sljedeći način:

5/7 brojevi 3/4 će biti izraženi na sljedeći način:

dakle,

Drugi primjer: 5/8 pomnoženo sa 4/9.

1/9 od 5/8 je ,

4/9 od broja 5/8 je .

dakle,

Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:

Da biste pomnožili razlomak razlomkom, potrebno je da pomnožite brojilac sa brojicom, a nazivnik sa nazivnikom, i da prvi proizvod bude brojilac, a drugi proizvod nazivnik proizvoda.

Ovo pravilo se može napisati u opštem obliku na sledeći način:

Prilikom množenja potrebno je izvršiti (ako je moguće) redukcije. Pogledajmo primjere:

5. Množenje mješovitih brojeva. Budući da se mješoviti brojevi lako mogu zamijeniti nepravilnim razlomcima, ova se okolnost obično koristi kada se množe mješoviti brojevi. To znači da u slučajevima kada su množenik, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, oni se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožimo, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Pretvorimo svaki od njih u nepravilan razlomak, a zatim pomnožimo rezultirajuće razlomke prema pravilu za množenje razlomka s razlomkom:

Pravilo. Da biste pomnožili mješovite brojeve, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim ih pomnožiti prema pravilu za množenje razlomaka s razlomcima.

Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvršiti na osnovu zakona distribucije na sljedeći način:

6. Koncept interesa. Prilikom rješavanja zadataka i izvođenja raznih praktičnih proračuna koristimo sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine dopuštaju ne bilo kakve, već prirodne podjele za njih. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti kopejka, dvije stotinke su 2 kopejke, tri stote su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili komad od deset kopejki. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, odnosno 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali praktično ne uzimaju npr. 2/7 rublje jer se rublja ne dijeli na sedmine.

Jedinica težine, odnosno kilogram, prvenstveno dozvoljava decimalne podjele, na primjer 1/10 kg, ili 100 g. A takvi razlomci kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1/13 nisu uobičajeni.

Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dozvoljavaju decimalne podjele.

Međutim, treba napomenuti da je izuzetno korisno i zgodno u velikom broju slučajeva koristiti isti (jednoliki) metod podjele veličina. Dugogodišnje iskustvo je pokazalo da je tako opravdana podjela „stota“ podjela. Razmotrimo nekoliko primjera koji se odnose na najrazličitija područja ljudske prakse.

1. Cijena knjiga je smanjena za 12/100 od prethodne cijene.

Primjer. Prethodna cijena knjige bila je 10 rubalja. Smanjen je za 1 rublju. 20 kopejki

2. Štedionice isplaćuju štedišama 2/100 iznosa položenog za štednju u toku godine.

Primjer. 500 rubalja se polaže u kasu, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.

3. Broj maturanata jedne škole iznosio je 5/100 od ukupnog broja učenika.

PRIMJER U školi je bilo samo 1.200 učenika, od kojih je 60 diplomiralo.

Stoti dio broja naziva se postotak.

Riječ "posto" je posuđena iz latinskog i njen korijen "cent" znači sto. Zajedno s prijedlogom (procentum), ova riječ znači „za stotinu“. Značenje ovog izraza proizilazi iz činjenice da je u početku u starom Rimu kamata bio naziv za novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu „za svakih sto“. Riječ "cent" čuje se u takvim poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (recimo centimetar).

Na primjer, umjesto da kažemo da je u proteklih mjesec dana fabrika proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvodila bila neispravna, reći ćemo ovo: u proteklom mjesecu fabrika je proizvela jedan posto nedostataka. Umjesto da kažemo: fabrika je proizvela 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: fabrika je premašila plan za 4 posto.

Gore navedeni primjeri mogu se drugačije izraziti:

1. Cijena knjiga je niža za 12 posto od prethodne cijene.

2. Štedionice plaćaju štedišama 2 posto godišnje na iznos položene štednje.

3. Broj diplomaca jedne škole iznosio je 5 posto svih učenika škole.

Da biste skratili slovo, uobičajeno je pisati simbol % umjesto riječi "postotak".

Međutim, morate imati na umu da se u proračunima znak % obično ne piše, već se može napisati u iskazu problema i u konačnom rezultatu. Kada izvodite proračune, trebate napisati razlomak sa nazivnikom 100 umjesto cijelog broja sa ovim simbolom.

Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj označenom ikonom s razlomkom sa nazivnikom 100:

Suprotno tome, morate se naviknuti da pišete cijeli broj sa naznačenim simbolom umjesto razlomka sa nazivnikom 100:

7. Pronalaženje procenta datog broja.

Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubnih metara. m ogrevnog drveta, od čega 30% otpada na breza. Koliko je bilo brezovog ogreva?

Smisao ovog problema je da su breza ogrjevna drva činila samo dio ogrevnog drva koje je dostavljeno školi, a taj dio je izražen u razlomku 30/100. To znači da imamo zadatak da pronađemo razlomak broja. Da bismo ga riješili, moramo 200 pomnožiti sa 30/100 (problemi nalaženja razlomka broja rješavaju se množenjem broja sa razlomkom.).

To znači da je 30% od 200 jednako 60.

Razlomak 30/100 koji se susreće u ovom problemu može se smanjiti za 10. Ovo smanjenje bi bilo moguće uraditi od samog početka; rješenje problema se ne bi promijenilo.

Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različitih uzrasta. Djeca od 11 godina su činila 21%, djeca od 12 godina su činila 61% i na kraju djeca od 13 godina su činila 18%. Koliko je djece svakog uzrasta bilo u kampu?

U ovom zadatku potrebno je izvršiti tri proračuna, tj. uzastopno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.

To znači da ćete ovdje morati pronaći razlomak broja tri puta. uradimo to:

1) Koliko je bilo djece od 11 godina?

2) Koliko je bilo djece od 12 godina?

3) Koliko je bilo djece od 13 godina?

Nakon rješavanja zadatka, korisno je dodati pronađene brojeve; njihov zbir bi trebao biti 300:

63 + 183 + 54 = 300

Također treba napomenuti da je zbir postotaka datih u iskazu problema 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To sugerira da je ukupan broj djece u kampu uzet kao 100%.

3 a d a h a 3. Radnik je primao 1.200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% potrošio na hranu, 6% na stanove i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% ušteđenih. Koliko je novca potrošeno na potrebe navedene u problemu?

Da biste riješili ovaj problem, morate pronaći razlomak od 1200 5 puta. Uradimo ovo.

1) Koliko je novca potrošeno na hranu? Problem kaže da je ovaj trošak 65% ukupne zarade, odnosno 65/100 od broja 1200. Uradimo računicu:

2) Koliko ste platili za stan sa grijanjem? Rezonujući slično prethodnom, dolazimo do sljedeće računice:

3) Koliko novca ste platili za plin, struju i radio?

4) Koliko je novca potrošeno na kulturne potrebe?

5) Koliko je novca radnik uštedio?

Da biste provjerili, korisno je zbrojiti brojeve koji se nalaze u ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1.200 rubalja. Sva zarada se uzima kao 100%, što je lako provjeriti sabiranjem procentualnih brojeva navedenih u opisu problema.

Riješili smo tri problema. I pored toga što su se ovi problemi bavili različitim stvarima (isporuka drva za školu, broj djece različitog uzrasta, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima bilo potrebno pronaći nekoliko posto datih brojeva.

§ 90. Podjela razlomaka.

Dok proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.
2. Deljenje razlomka celim brojem
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
4. Deljenje razlomka sa razlomkom.
5. Podjela mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja iz njegovog zadanog razlomka.
7. Pronalaženje broja po procentu.

Razmotrimo ih redom.

1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.

Kao što je naznačeno u odjeljenju za cijele brojeve, dijeljenje je radnja koja se sastoji u tome da se, s obzirom na proizvod dva faktora (dividenda) i jednog od ovih faktora (djelitelj), pronađe drugi faktor.

Pogledali smo dijeljenje cijelog broja cijelim brojem u odjeljku o cijelim brojevima. Tamo smo naišli na dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka, ili “u potpunosti” (150: 10 = 15), i dijeljenje s ostatkom (100: 9 = 11 i 1 ostatak). Stoga možemo reći da u polju cijelih brojeva nije uvijek moguće točno dijeljenje, jer dividenda nije uvijek proizvod djelitelja na cijeli broj. Nakon uvođenja množenja razlomkom, možemo smatrati mogućim svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva (isključuje se samo dijeljenje nulom).

Na primjer, dijeljenje 7 sa 12 znači pronalaženje broja čiji bi proizvod sa 12 bio jednak 7. Takav broj je razlomak 7 / 12 jer je 7 / 12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14 / 25, jer je 14 / 25 25 = 14.

Dakle, da biste podijelili cijeli broj cijelim brojem, trebate stvoriti razlomak čiji je brojnik jednak dividendi, a nazivnik jednak djelitelju.

2. Deljenje razlomka celim brojem.

Podijelite razlomak 6/7 sa 3. Prema gore datoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo proizvod (6/7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći drugi faktor koji bi, kada se pomnoži sa 3, dao dati proizvod 6/7. Očigledno, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji je pred nas bio da smanjimo razlomak 6/7 za 3 puta.

Već znamo da se smanjenje razlomka može izvršiti ili smanjenjem brojioca ili povećanjem nazivnika. Stoga možete napisati:

U ovom slučaju, brojilac 6 je djeljiv sa 3, pa brojnik treba smanjiti za 3 puta.

Uzmimo još jedan primjer: 5 / 8 podijeljeno sa 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv sa 2, što znači da će se imenilac morati pomnožiti sa ovim brojem:

Na osnovu toga može se donijeti pravilo: Da biste razlomak podijelili cijelim brojem, trebate podijeliti brojilac razlomka s tim cijelim brojem.(ako je moguće), ostavljajući isti imenilac, ili pomnožite imenilac razlomka sa ovim brojem, ostavljajući isti brojnik.

3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.

Neka je potrebno podijeliti 5 sa 1/2, tj. pronaći broj koji će, nakon množenja sa 1/2, dati proizvod 5. Očigledno, ovaj broj mora biti veći od 5, jer je 1/2 pravi razlomak , a pri množenju broja proizvod pravilnog razlomka mora biti manji od proizvoda koji se množi. Da bi ovo bilo jasnije, napišimo naše akcije na sljedeći način: 5: 1 / 2 = X , što znači x 1 / 2 = 5.

Moramo pronaći takav broj X , što bi, ako bi se pomnožilo sa 1/2, dalo 5. Pošto množenje određenog broja sa 1/2 znači pronalaženje 1/2 ovog broja, onda, dakle, 1/2 nepoznatog broja X je jednako 5, i cijeli broj X duplo više, tj. 5 2 = 10.

Dakle 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

provjerimo:

Pogledajmo još jedan primjer. Recimo da želite podijeliti 6 sa 2/3. Pokušajmo prvo pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).

Fig.19

Nacrtajmo segment AB jednak 6 jedinica i svaku jedinicu podijelimo na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) cijelog segmenta AB je 6 puta veće, tj. e. 18/3. Koristeći male zagrade, povezujemo 18 rezultirajućih segmenata od 2; Biće samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u 6 jedinica 9 puta, ili, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. dakle,

Kako dobiti ovaj rezultat bez crteža koristeći samo proračune? Razmotrimo ovako: trebamo podijeliti 6 sa 2/3, tj. trebamo odgovoriti na pitanje koliko puta je 2/3 sadržano u 6. Hajde da prvo saznamo: koliko puta je 1/3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici ima 3 trećine, a u 6 jedinica 6 puta više, odnosno 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj moramo 6 pomnožiti sa 3. To znači da je 1/3 sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 sadržano u b jedinicama ne 18 puta, već upola manje, tj. 18: 2 = 9 Dakle, prilikom deljenja 6 sa 2/3 uradili smo sledeće:

Odavde dobijamo pravilo za deljenje celog broja razlomkom. Da biste cijeli broj podijelili razlomkom, trebate pomnožiti ovaj cijeli broj sa nazivnikom datog razlomka i, čineći ovaj proizvod brojicom, podijeliti ga brojnikom datog razlomka.

Napišimo pravilo koristeći slova:

Da bi ovo pravilo bilo potpuno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno uporediti pronađeno pravilo sa pravilom za dijeljenje broja količnikom, koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je ista formula dobijena tamo.

Prilikom podjele moguće su skraćenice, na primjer:

4. Deljenje razlomka sa razlomkom.

Recimo da trebamo podijeliti 3/4 sa 3/8. Šta će značiti broj koji je rezultat dijeljenja? Odgovorit će na pitanje koliko puta je razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).

Uzmimo segment AB, uzmimo ga kao jedan, podijelimo ga na 4 jednaka dijela i označimo 3 takva dijela. Segment AC će biti jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri originalna segmenta na pola, tada će se segment AB podijeliti na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Povežimo 3 takva segmenta sa lukovima, tada će svaki od segmenata AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da se segment jednak 3/8 nalazi u segmentu jednakom 3/4 tačno 2 puta; To znači da se rezultat dijeljenja može zapisati na sljedeći način:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Pogledajmo još jedan primjer. Recimo da trebamo podijeliti 15/16 sa 3/32:

Možemo zaključiti ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon množenja sa 3/32, dati proizvod jednak 15/16. Zapišimo proračune ovako:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nepoznati broj X su 15/16

1/32 nepoznatog broja X je ,

32 / 32 brojeva X šminka .

dakle,

Dakle, da biste podijelili razlomak razlomkom, trebate pomnožiti brojilac prvog razlomka sa nazivnikom drugog, i pomnožiti nazivnik prvog razlomka s brojnikom drugog, a prvi proizvod učiniti brojicom, a drugi imenilac.

Napišimo pravilo koristeći slova:

Prilikom podjele moguće su skraćenice, na primjer:

5. Podjela mješovitih brojeva.

Prilikom dijeljenja mješovitih brojeva, oni se prvo moraju pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim se dobiveni razlomci moraju podijeliti prema pravilima za dijeljenje razlomaka. Pogledajmo primjer:

Pretvorimo mješovite brojeve u nepravilne razlomke:

Sada podijelimo:

Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, morate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim podijeliti koristeći pravilo za dijeljenje razlomaka.

6. Pronalaženje broja iz njegovog zadanog razlomka.

Među raznim problemima s razlomcima, ponekad postoje i oni u kojima je data vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći taj broj. Ovaj tip problema će biti inverzan problemu pronalaženja razlomka datog broja; tamo je dat broj i trebalo je pronaći neki dio ovog broja, ovdje je dat djelić broja i trebalo je pronaći sam ovaj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješavanju ove vrste problema.

Zadatak 1. Prvog dana staklari su zastaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima u ovoj kući?

Rješenje. Problem kaže da 50 zastakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da je ukupno 3 puta više prozora, tj.

Kuća je imala 150 prozora.

Zadatak 2. U prodavnici je prodato 1.500 kg brašna, što je 3/8 ukupne zalihe brašna koju je trgovina imala. Koja je bila početna zaliha brašna u prodavnici?

Rješenje. Iz uslova problema je jasno da 1.500 kg prodatog brašna čini 3/8 ukupne zalihe; To znači da će 1/8 ove rezerve biti 3 puta manje, odnosno da biste je izračunali morate smanjiti 1500 za 3 puta:

1.500: 3 = 500 (ovo je 1/8 rezerve).

Očigledno je da će cjelokupna ponuda biti 8 puta veća. dakle,

500 8 = 4.000 (kg).

Početna zaliha brašna u prodavnici bila je 4.000 kg.

Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.

Da biste pronašli broj iz date vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je ovu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti sa nazivnikom razlomka.

Rješili smo dva zadatka o pronalaženju broja prema njegovom razlomku. Ovakvi problemi, kao što se posebno jasno vidi iz posljednjeg, rješavaju se s dvije radnje: dijeljenjem (kada se pronađe jedan dio) i množenjem (kada se pronađe cijeli broj).

Međutim, nakon što smo naučili dijeljenje razlomaka, gornji problemi se mogu riješiti jednom radnjom, a to je: dijeljenje razlomkom.

Na primjer, posljednji zadatak se može riješiti u jednoj radnji ovako:

U budućnosti ćemo rješavati probleme pronalaženja broja iz njegovog razlomka jednom radnjom - dijeljenjem.

7. Pronalaženje broja po procentu.

U ovim zadacima morat ćete pronaći broj koji zna nekoliko posto tog broja.

Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam 60 rubalja od štedionice. prihod od iznosa koji sam stavio na štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio u štedionicu? (Blagajne daju štedišama prinos od 2% godišnje.)

Poenta problema je u tome što sam određenu sumu novca stavio u štedionicu i tu ostao godinu dana. Nakon godinu dana od nje sam dobio 60 rubalja. prihod, što je 2/100 novca koji sam položio. Koliko sam novca uložio?

Prema tome, znajući dio ovog novca, izražen na dva načina (u rubljama i razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznat, iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Sljedeći problemi se rješavaju dijeljenjem:

To znači da je u štedionici položeno 3.000 rubalja.

Zadatak 2. Ribari su za dvije sedmice ispunili mjesečni plan za 64 posto, ulovivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?

Iz uslova problema poznato je da su ribari završili dio plana. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% od plana. Ne znamo koliko tona ribe treba pripremiti prema planu. Pronalaženje ovog broja bit će rješenje problema.

Takvi problemi se rješavaju podjelom:

To znači da je prema planu potrebno pripremiti 800 tona ribe.

Zadatak 3. Voz je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika je pitao konduktera u prolazu koliki su dio puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: "Već smo prešli 30% cijelog putovanja." Kolika je udaljenost od Rige do Moskve?

Iz problematičnih uslova jasno je da 30% rute od Rige do Moskve iznosi 276 km. Moramo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cjelinu:

§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.

Uzmimo razlomak 2/3 i zamijenimo brojilac umjesto nazivnika, dobićemo 3/2. Dobili smo inverz ovog razlomka.

Da biste dobili razlomak koji je inverzan datom razlomku, potrebno je da stavite njegov brojilac na mjesto imenioca, a nazivnik na mjesto brojioca. Na ovaj način možemo dobiti recipročnu vrijednost bilo kojeg razlomka. Na primjer:

3/4, revers 4/3; 5/6, revers 6/5

Dva razlomka koji imaju svojstvo da je brojnik prvog imenilac drugog, a imenilac prvog brojnik drugog, nazivaju se međusobno inverzno.

Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročan od 1/2. Očigledno, to će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći inverzni razlomak datog, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije izolovan; naprotiv, za sve razlomke sa brojiocem 1 (jedan), recipročni će biti cijeli brojevi, na primjer:

1/3, revers 3; 1/5, revers 5

Budući da smo u pronalaženju recipročnih razlomaka naišli i na cijele brojeve, u nastavku nećemo govoriti o recipročnim razlomcima, već o recipročnim brojevima.

Hajde da shvatimo kako napisati inverz od celog broja. Za razlomke, ovo se može jednostavno riješiti: trebate staviti imenilac na mjesto brojnika. Na isti način, možete dobiti inverz od cijelog broja, jer svaki cijeli broj može imati imenilac 1. To znači da će inverz od 7 biti 1/7, jer je 7 = 7/1; za broj 10 inverzno će biti 1/10, pošto je 10 = 10/1

Ova ideja se može izraziti drugačije: recipročna vrednost datog broja se dobija dijeljenjem jedan sa datim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. U stvari, ako trebamo napisati inverz od razlomka 5/9, onda možemo uzeti 1 i podijeliti ga sa 5/9, tj.

Istaknimo sada jednu stvar imovine recipročni brojevi, koji će nam biti korisni: proizvod recipročnih brojeva jednak je jedan. Zaista:

Koristeći ovo svojstvo, recipročne brojeve možemo pronaći na sljedeći način. Recimo da trebamo pronaći inverz od 8.

Označimo ga slovom X , zatim 8 X = 1, dakle X = 1/8. Nađimo drugi broj koji je inverzan od 7/12 i označimo ga slovom X , zatim 7/12 X = 1, dakle X = 1: 7 / 12 ili X = 12 / 7 .

Ovdje smo uveli koncept recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o dijeljenju razlomaka.

Kada broj 6 podijelimo sa 3/5, radimo sljedeće:

Obratite posebnu pažnju na izraz i uporedite ga sa datim: .

Ako izraz uzmemo odvojeno, bez veze s prethodnim, onda je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 sa 3/5 ili od množenja 6 sa 5/3. U oba slučaja dešava se ista stvar. Stoga možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende inverzom djelitelja.

Primjeri koje dajemo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.

Druga operacija koja se može izvesti s običnim razlomcima je množenje. Pokušat ćemo objasniti njegova osnovna pravila pri rješavanju zadataka, pokazati kako se običan razlomak množi prirodnim brojem i kako pravilno pomnožiti tri obična razlomka ili više.

Zapišimo prvo osnovno pravilo:

Definicija 1

Ako pomnožimo jedan obični razlomak, tada će brojilac rezultirajućeg razlomka biti jednak umnošku brojnika originalnih razlomaka, a nazivnik će biti jednak umnošku njihovih nazivnika. U doslovnom obliku, za dva razlomka a / b i c / d, ovo se može izraziti kao a b · c d = a · c b · d.

Pogledajmo primjer kako pravilno primijeniti ovo pravilo. Recimo da imamo kvadrat čija je stranica jednaka jednoj brojevnoj jedinici. Tada će površina figure biti 1 kvadrat. jedinica. Ako kvadrat podijelimo na jednake pravokutnike sa stranicama jednakim 1 4 i 1 8 brojevnim jedinicama, dobićemo da se sada sastoji od 32 pravokutnika (jer je 8 4 = 32). Prema tome, površina svakog od njih bit će jednaka 1 32 površine cijele figure, tj. 1 32 sq. jedinice.

Imamo osenčeni fragment sa stranicama jednakim 5 8 numeričkih jedinica i 3 4 numeričkim jedinicama. U skladu s tim, da biste izračunali njegovu površinu, morate prvi razlomak pomnožiti s drugim. To će biti jednako 5 8 · 3 4 sq. jedinice. Ali možemo jednostavno izbrojati koliko je pravokutnika uključeno u fragment: ima ih 15, što znači da je ukupna površina 15 32 kvadratne jedinice.

Kako je 5 3 = 15 i 8 4 = 32, možemo napisati sljedeću jednakost:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

To potvrđuje pravilo koje smo formulirali za množenje običnih razlomaka, a koje se izražava kao a b · c d = a · c b · d. Radi isto i za pravilne i za nepravilne razlomke; Može se koristiti za množenje razlomaka sa različitim i identičnim nazivnicima.

Pogledajmo rješenja nekoliko problema koji uključuju množenje običnih razlomaka.

Primjer 1

Pomnožite 7 11 sa 9 8.

Rješenje

Prvo, izračunajmo proizvod brojila navedenih razlomaka množenjem 7 sa 9. Imamo 63. Zatim izračunamo proizvod nazivnika i dobijemo: 11 · 8 = 88. Sastavimo dva broja i odgovor je: 63 88.

Cijelo rješenje se može napisati ovako:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

odgovor: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Ako u odgovoru dobijemo razlomak koji se može smanjiti, moramo završiti proračun i izvršiti njegovo smanjenje. Ako dobijemo nepravilan razlomak, moramo iz njega izdvojiti cijeli dio.

Primjer 2

Izračunaj proizvod razlomaka 4 15 i 55 6 .

Rješenje

Prema gore proučenom pravilu, trebamo pomnožiti brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Zapis rješenja će izgledati ovako:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Dobili smo svodljivi razlomak, tj. onaj koji je deljiv sa 10.

Smanjimo razlomak: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Kao rezultat, dobijamo nepravilan razlomak, iz kojeg biramo cijeli dio i dobivamo mješoviti broj: 22 9 = 2 4 9.

odgovor: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Radi lakšeg izračunavanja, također možemo smanjiti originalne razlomke prije izvođenja operacije množenja, za koju trebamo svesti razlomak na oblik a · c b · d. Razložimo vrijednosti varijabli na jednostavne faktore i smanjimo iste.

Hajde da objasnimo kako ovo izgleda koristeći podatke iz određenog zadatka.

Primjer 3

Izračunaj proizvod 4 15 55 6.

Rješenje

Zapišimo proračune na osnovu pravila množenja. dobićemo:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Kako je 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 i 6 = 2 3, onda je 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Odgovori: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Numerički izraz u kojem se množe obični razlomci ima komutativno svojstvo, odnosno, ako je potrebno, možemo promijeniti redoslijed faktora:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Kako pomnožiti razlomak prirodnim brojem

Hajdemo odmah da zapišemo osnovno pravilo, a zatim ga pokušajmo objasniti u praksi.

Definicija 2

Da biste običan razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je pomnožiti brojilac tog razlomka s tim brojem. U ovom slučaju, nazivnik konačnog razlomka će biti jednak nazivniku originalnog običnog razlomka. Množenje određenog razlomka a b prirodnim brojem n može se zapisati kao formula a b · n = a · n b.

Ovu formulu je lako razumjeti ako se sjetite da se bilo koji prirodni broj može predstaviti kao običan razlomak s nazivnikom jednakim jedan, to jest:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Objasnimo našu ideju konkretnim primjerima.

Primjer 4

Izračunaj proizvod 2 27 puta 5.

Rješenje

Kao rezultat množenja brojnika originalnog razlomka sa drugim faktorom, dobijamo 10. Na osnovu gore navedenog pravila, dobićemo 10 27 kao rezultat. Cijelo rješenje je dato u ovom postu:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

odgovor: 2 27 5 = 10 27

Kada prirodni broj množimo razlomkom, često moramo skratiti rezultat ili ga predstaviti kao mješoviti broj.

Primjer 5

Uslov: izračunaj proizvod 8 sa 5 12.

Rješenje

Prema gornjem pravilu, prirodni broj množimo brojicom. Kao rezultat, dobijamo da je 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Konačni razlomak ima znakove djeljivosti sa 2, pa ga moramo smanjiti:

LCM (40, 12) = 4, dakle 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Sada sve što treba da uradimo je da odaberemo ceo deo i zapišemo spreman odgovor: 10 3 = 3 1 3.

U ovom unosu možete vidjeti cjelokupno rješenje: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Također bismo mogli smanjiti razlomak tako što ćemo brojilac i imenilac razložiti na proste faktore, a rezultat bi bio potpuno isti.

odgovor: 5 12 8 = 3 1 3.

Numerički izraz u kojem se prirodni broj množi razlomkom također ima svojstvo pomaka, odnosno redoslijed faktora ne utječe na rezultat:

a b · n = n · a b = a · n b

Kako pomnožiti tri ili više uobičajenih razlomaka

Na radnju množenja običnih razlomaka možemo proširiti ista svojstva koja su karakteristična za množenje prirodnih brojeva. To proizilazi iz same definicije ovih pojmova.

Zahvaljujući poznavanju svojstava kombinovanja i komutacije, možete pomnožiti tri ili više običnih razlomaka. Prihvatljivo je preurediti faktore radi veće udobnosti ili rasporediti zagrade na način koji olakšava brojanje.

Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Primjer 6

Pomnožite četiri obična razlomka 1 20, 12 5, 3 7 i 5 8.

Rješenje: Prvo, snimimo rad. Dobijamo 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Moramo zajedno pomnožiti sve brojioce i nazivnike: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Prije nego što počnemo s množenjem, možemo malo olakšati sebi stvari i faktorizirati neke brojeve u proste faktore za daljnje smanjenje. To će biti lakše nego smanjiti rezultujuću frakciju koja je već spremna.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280

odgovor: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.

Primjer 7

Pomnožite 5 brojeva 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Rješenje

Radi praktičnosti, možemo grupirati razlomak 7 8 sa brojem 8, a broj 12 sa razlomkom 5 36, jer će nam buduće skraćenice biti očigledne. Kao rezultat, dobićemo:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 7 5 10 6 2 3

odgovor: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Množenje običnih razlomaka

Pogledajmo primjer.

Neka postoji $\frac(1)(3)$ dio jabuke na tanjiru. Moramo pronaći njegov dio $\frac(1)(2)$. Traženi dio je rezultat množenja razlomaka $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Rezultat množenja dva obična razlomka je običan razlomak.

Množenje dva obična razlomka

Pravilo za množenje običnih razlomaka:

Rezultat množenja razlomka razlomkom je razlomak čiji je brojilac jednak umnošku brojnika razlomaka koji se množe, a nazivnik je jednak proizvodu nazivnika:

Primjer 1

Izvršite množenje uobičajenih razlomaka $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.

Rješenje.

Koristimo pravilo za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

odgovor:$\frac(15)(77)$

Ako množenje razlomaka rezultira svodljivim ili nepravilnim razlomkom, morate ga pojednostaviti.

Primjer 2

Pomnožite razlomke $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.

Rješenje.

Koristimo pravilo za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Kao rezultat, dobili smo razlomak koji se može smanjiti (na osnovu dijeljenja sa $3$. Podijelimo brojilac i imenilac razlomka sa $3$, dobićemo:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

odgovor:$\frac(1)(24).$

Prilikom množenja razlomaka možete smanjiti brojioce i nazivnike dok ne pronađete njihov proizvod. U ovom slučaju, brojnik i nazivnik razlomka se razlažu na jednostavne faktore, nakon čega se ponavljajući faktori poništavaju i rezultat se nalazi.

Primjer 3

Izračunajte proizvod razlomaka $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.

Rješenje.

Koristimo formulu za množenje običnih razlomaka:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Očigledno, brojilac i nazivnik sadrže brojeve koji se u parovima mogu svesti na brojeve $2$, $3$ i $5$. Razložimo brojilac i imenilac u jednostavne činioce i napravimo smanjenje:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

odgovor:$\frac(1)(20).$

Prilikom množenja razlomaka možete primijeniti komutativni zakon:

Množenje običnog razlomka prirodnim brojem

Pravilo za množenje običnog razlomka prirodnim brojem:

Rezultat množenja razlomka prirodnim brojem je razlomak u kojem je brojilac jednak umnošku brojnika pomnoženog razlomka prirodnim brojem, a nazivnik jednak nazivniku pomnoženog razlomka:

gdje je $\frac(a)(b)$ običan razlomak, $n$ je prirodan broj.

Primjer 4

Pomnožite razlomak $\frac(3)(17)$ sa $4$.

Rješenje.

Koristimo pravilo za množenje običnog razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

odgovor:$\frac(12)(17).$

Ne zaboravite provjeriti rezultat množenja reducibilnošću razlomka ili nepravilnim razlomkom.

Primjer 5

Pomnožite razlomak $\frac(7)(15)$ brojem $3$.

Rješenje.

Koristimo formulu za množenje razlomka prirodnim brojem:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Dijeljenjem sa brojem $3$) možemo utvrditi da se rezultujući razlomak može smanjiti:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultat je bio netačan razlomak. Odaberimo cijeli dio:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kratko rješenje:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Razlomci se također mogu smanjiti zamjenom brojeva u brojniku i nazivniku njihovim faktorizacijama u proste faktore. U ovom slučaju rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

odgovor:$1\frac(2)(5).$

Kada množite razlomak prirodnim brojem, možete koristiti komutativni zakon:

Dijeljenje razlomaka

Operacija dijeljenja je inverzna od množenja i njen rezultat je razlomak kojim se poznati razlomak mora pomnožiti da bi se dobio poznati proizvod dva razlomka.

Dijeljenje dva obična razlomka

Pravilo za dijeljenje običnih razlomaka: Očigledno, brojnik i imenilac rezultujućeg razlomka mogu se faktorisati i smanjiti:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Kao rezultat, dobijamo nepravilan razlomak iz kojeg biramo cijeli dio:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

odgovor:$1\frac(5)(9).$

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija „Ahilej i kornjača“. Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju do danas; naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji obmana.

Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.

Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju je da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba mešati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Razlike između skupa i multiseta su vrlo dobro opisane na Wikipediji. da vidimo.

Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu apsurdnu logiku. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta dok su testirali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze „pamet, ja sam u kući“, odnosno „matematika proučava apstraktne pojmove“, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i izdajemo plate. Dakle, matematičar dolazi kod nas po svoj novac. Odbrojavamo mu cijeli iznos i slažemo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov „matematički skup plaće“. Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: „Ovo se može primijeniti na druge, ali ne i na mene!“ Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plate u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će matematičar početi mahnito da se prisjeća fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...

I sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu da leži.

Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površine polja su iste - što znači da imamo višestruki skup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Šta je tačno? I ovdje matematičar-šaman-oštrica izvlači keca aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i da ga koristimo, ali zato su oni šamani, da svoje potomke uče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja." Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula koja se može koristiti za pronalaženje zbira cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: „Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj. Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.

Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Dodajte dobijene brojeve. Ovo je matematika.

Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su „tečajevi krojenja i šivanja“ koje podučavaju šamani koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa matematičke tačke gledišta, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak posmatrati pod mikroskopom; to smo već uradili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da odredite površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.

Nula izgleda isto u svim brojevnim sistemima i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Mogu to dozvoliti za šamane, ali ne i za naučnike. Realnost nije samo u brojevima.

Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome ko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

Oh! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje nedefilske svetosti duša tokom njihovog uspona na nebo! Halo na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole su muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip o percepciji grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

Razmotrit ćemo množenje običnih razlomaka u nekoliko mogućih opcija.

Množenje običnog razlomka sa razlomkom

Ovo je najjednostavniji slučaj u kojem trebate koristiti sljedeće pravila za množenje razlomaka.

To pomnožiti razlomak sa razlomkom, potrebno:

• pomnoži brojilac prvog razlomka sa brojicom drugog razlomka i njihov proizvod upiše u brojnik novog razlomka;
• pomnoži nazivnik prvog razlomka sa nazivnikom drugog razlomka i njihov proizvod upiše u nazivnik novog razlomka;

Prije množenja brojionika i nazivnika, provjerite da li se razlomci mogu smanjiti. Smanjenje razlomaka u proračunima znatno će olakšati vaše izračune.



Množenje razlomka prirodnim brojem

Da napravim razlomak pomnožiti prirodnim brojem Morate pomnožiti brojilac razlomka sa ovim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjen.

Ako je rezultat množenja nepravilan razlomak, ne zaboravite ga pretvoriti u mješoviti broj, odnosno označiti cijeli dio.



Množenje mješovitih brojeva

Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.



Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem

Ponekad je prilikom izračunavanja zgodnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojilac ostaviti isti.



Kao što se može vidjeti iz primjera, ova verzija pravila je pogodnija za korištenje ako je nazivnik razlomka djeljiv prirodnim brojem bez ostatka.

Operacije sa razlomcima

Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:

• Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima
• Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Dodajte brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:



Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

Primjer 2. Dodajte razlomke i .

Opet, zbrajamo brojioce i ostavljamo imenilac nepromijenjen:



Ispostavilo se da je odgovor nepravilan razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je da se riješite nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju, cijeli dio se lako izoluje - dva podijeljena sa dva jednako je jedan:



Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate jednu celu picu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .



Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate pizzu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u zbrajanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik isti;
2. Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu sabirati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo se osvrnuti na samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti komplikovanim.

Suština ove metode je da prvo tražimo najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika oba razlomka. LCM se zatim dijeli sa nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Brojioci i imenioci razlomaka se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabirati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajmo razlomke i

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju preko razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:



Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:



Ovim je primjer završen. Ispada da dodam.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).



Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri od šest komada). Zbrajanjem ovih komada dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo izdvojili cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. U obrazovnim ustanovama nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM oba imenioca i dodatne faktore uz njih, kao i brzo pomnožite pronađene dodatne faktore vašim brojiocima i imeniocima. Da smo u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:



Ali postoji i druga strana medalje. Ako ne vodite detaljne bilješke u prvim fazama proučavanja matematike, tada počinju da se pojavljuju pitanja te vrste. “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

3. Naći LCM nazivnika razlomaka;
4. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
5. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
6. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
7. Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo dijagram koji smo dali gore.

Korak 1. Pronađite LCM za nazivnike razlomaka

Naći LCM za nazivnike oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4. Za ove brojeve morate pronaći LCM:

Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobijamo drugi dodatni faktor 4. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobijamo treći dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima

Množimo brojioce i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Sve što ostaje je sabirati ove razlomke. Dodaj to:



Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, pomiče se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, onda označite cijeli njegov dio

Naš odgovor se pokazao kao nepravilan razlomak. Moramo istaći cijeli dio toga. Ističemo:



Dobili smo odgovor

Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

8. Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
9. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, ali ostavite imenilac isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti. Uradimo ovo:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojila prvog razlomka oduzmite brojilac drugog razlomka, a nazivnik ostavite isti:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojioca prvog razlomka morate oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Ako je primjer završen, uobičajeno je da se riješite nepravilnog razlomka. Oslobodimo se nepravilnog razlomka u odgovoru. Da bismo to učinili, izaberimo cijeli njegov dio:

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti;

Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik se nalazi po istom principu koji smo koristili kada smo sabirali razlomke s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je napisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji je napisan iznad drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

Prvo nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Dobili smo odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako od pizze isečete picu, dobijate picu

Ovo je detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje ovih razlomaka na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):

Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a imenilac trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa nastavak prebacujemo na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Bilo bi potrebno učiniti ga jednostavnijim i estetski ugodnijim. Šta se može učiniti? Možete skratiti ovaj razlomak. Podsjetimo da je smanjenje razlomka dijeljenje brojnika i nazivnika najvećim zajedničkim djeliteljem brojnika i nazivnika.

Da biste ispravno smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 20 i 30.

GCD ne treba brkati sa NOC. Najčešća greška mnogih početnika. GCD je najveći zajednički djelitelj. Nalazimo da smanjujemo razlomak.

A LCM je najmanji umnožak. Nalazimo ga da bismo razlomke doveli do istog (zajedničkog) nazivnika.

Sada ćemo pronaći najveći zajednički djelitelj (GCD) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD za brojeve 20 i 30:

GCD (20 i 30) = 10

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojilac i nazivnik razlomka sa 10:

Dobili smo divan odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je pomnožiti brojilac datog razlomka s tim brojem, a imenilac ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojilac razlomka brojem 1

Snimak se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, proizvod se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ova notacija se može shvatiti kao uzimanje polovine jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovinu, onda ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac razlomka sa 4

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pice, dobit ćete dvije cijele pizze

A ako zamijenimo množitelj i množitelj, dobićemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:

Kako uzeti dvije trećine iz ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravićemo picu. Zapamtite kako pizza izgleda kada je podijeljena na tri dijela:

Jedan komad ove pizze i dva koja smo uzeli imaće iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o pizzi iste veličine. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac prvog razlomka sa brojiteljem drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka sa imeniocem drugog razlomka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, ali bi bilo dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, on se mora podijeliti s gcd brojnika i nazivnika. Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

GCD za (105 i 150) je 15

Sada dijelimo brojilac i imenilac našeg odgovora sa gcd:

Predstavljanje cijelog broja kao razlomak

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Ovo neće promijeniti značenje petice, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znamo, jednako pet:

Recipročni brojevi

Sada ćemo se upoznati sa veoma zanimljivom temom iz matematike. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broj a je broj koji, kada se pomnoži sa a daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožite razlomak sam po sebi, samo naopako:

Šta će se dogoditi kao rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada pomnožite 5 sa dobijete jedan.

Recipročna vrijednost broja također se može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

• recipročna vrijednost 3 je razlomak
• recipročna vrijednost 4 je razlomak

Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.