Længden af \u200b\u200bhøjden af \u200b\u200bden lige. Højre trekant.

Gennemsnitligt niveau

Højre trekant. Fuld illustreret vejledning (2019)

Højre trekant. Første niveau.

I opgaverne er den lige vinkel overhovedet ikke nødvendigt - venstre bund, så du skal lære at genkende den rektangulære trekant og i denne formular,

og i sådan

og i dette

Hvad er godt i en rektangulær trekant? Nå ..., for det første er der særlige smukke navne til hans sider.

Opmærksomhed på tegningen!

Husk og ikke forvirre: katetter - To og Hypotenuse - bare en (den eneste, unikke og længste)!

Nå, de navne diskuteret, nu det vigtigste: Pythagora Teorem.

Pythagoras sætning.

Denne sætning er en nøgle til at løse mange opgaver med deltagelse af en rektangulær trekant. Hun beviste af Pythagoras i helt immemorial tider, og siden da har hun bragt en stor fordel kyndig. Og det bedste i det er, at det er simpelt.

Så, Pythagoras sætning:

Husk joke: "Pythagoras bukser på alle sider er lige!"?

Lad os tegne de mest Pythagoras bukser og se på dem.

Sandt nok ser det ud som nogle shorts? Nå, på hvilke parter og hvor er det lige? Hvorfor og hvor kom joke fra? Og denne joke er forbundet lige fra Pythagora-sætningen, mere præcist, da Pythagore selv formulerede hans sætning. Og han formulerede det sådan:

"Beløb kvadrater firkanterbygget på catetes lige firkantet kvadrat.bygget på hypotenuse. "

Sandt, lidt anderledes lyde? Og så da Pythagoras trak godkendelsen af \u200b\u200bhans sætning, viste sig bare at være et sådant billede.

På dette billede er mængden af \u200b\u200bsmå firkanter lig med kvadratet af en stor firkant. Og så at børn er bedre husket, at summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne er lig med Hypotenuse's firkant, en persons vittige og opfandt denne joke om pythagorabukser.

Hvorfor er vi nu formulerende Pythagores sætning

Og pythagoras led og begrundet om pladsen?

Du ser, i oldtiden var der ingen ... algebraer! Der var ingen betegnelse og så videre. Der var ingen påskrifter. Vil du forestille dig, hvor fattige gamle elever var forfærdeligt at huske alle ord ??! Og vi kan nyde, at vi har en simpel formulering af Pythagores-sætningen. Lad os gentage det igen for at huske:

Nu skal det nemt:

Kvadratet af hypotenuse er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne.

Nå, den vigtigste sætning om den rektangulære trekant diskuteret. Hvis du er interesseret i, hvordan det er bevist, læs følgende niveauer af teorien, og lad os nu gå videre ... i den mørke skov ... Trigonometry! Til de forfærdelige ord af sinus, kosinus, tangent og kotangenes.

Sinus, cosinus, tangent, catangenes i en rektangulær trekant.

Faktisk er alt ikke så skræmmende. Selvfølgelig skal den "nuværende" definition af sinus, cosinus, tangent og catforens ses i artiklen. Men jeg vil virkelig ikke have, ikke? Vi kan henvise: For at løse problemer om en rektangulær trekant, kan du blot udfylde følgende enkle ting:

Og hvorfor er det kun om hjørnet? Hvor er vinklen? For at håndtere dette skal du vide, hvordan udsagnene 1 - 4 er skrevet af ord. Se, forstå og husk!

1.
Generelt lyder det sådan her:

Hvad er vinklen? Er der en catt, der er modsat vinklen, det vil sige det modsatte (for hjørnet) katat? Selvfølgelig har det! Det er Cathe!

Men hvad med vinklen? Se omhyggeligt ud. Hvilken katat støder op til hjørnet? Selvfølgelig katat. Så for hjørne katat - privatliv, og

Og nu, opmærksomhed! Se, hvad vi gjorde:

Se, hvor cool:

Lad os nu gå til Tangent og Kotannce.

Hvordan man skriver ud dette nu? Ser hvad der er i forhold til hjørnet? Med modsat, selvfølgelig, ligger han "modsat hjørnet. Og katat? Sprøjter til hjørnet. Så hvad skete der med os?

Se, tælleren og nævneren ændrede steder?

Og nu igen hjørnerne og udvekslet:

Resumé

Lad os kort skrive alt, hvad vi lærte.

Pythagoras sætning:

Hovedtætten på den rektangulære trekant er Pythagora-sætningen.

Pythagoras sætning

Forresten kan du huske godt, hvad Katenets og Hypotenuse er? Hvis ikke rigtig, så se på tegningen - ødelægge viden

Det er muligt, at du allerede har brugt soorem af Pythagora mange gange, men tænkte du på, hvorfor et sådant sætning er korrekt. Hvordan bevise det? Og lad os gøre som antikke grækere. Tegn en firkant med en side.

Se, hvordan lunning vi opdelte det på snitene af længder og!

Og tilslut nu de markerede punkter

Her vi, sandheden bemærkede også noget, men du ser mig selv på tegningen og tænker på hvorfor det.

Hvad er området på et større torv?

Ret, .

Og området er mindre?

Jo da, .

Der forblev det samlede areal på fire hjørner. Forestil dig, at vi tog dem to og førte dem til hinanden med hypotenuses.

Hvad skete der? To rektangler. Så området "trimning" er ens.

Lad os samle alt sammen.

Vi transformerer:

Så vi besøgte Pythagore - bevist det til sætning på en gammel måde.

Rektangulær trekant og trigonometri

For en rektangulær trekant udføres følgende forhold:

Sinen af \u200b\u200bakut vinkel er lig med holdningen til den modsatte kategori for hypotenuse

Kosinden af \u200b\u200bden akutte vinkel er lig med holdningen hos den tilstødende catech for hypotenuse.

Tangenten af \u200b\u200bakut vinkel er lig med holdningen af \u200b\u200bden modsatte catech til den tilstødende katelæg.

Cotangenes af akut vinkel er lig med holdningen hos den tilstødende catech til det modsatte katet.

Og igen, alt dette i form af en plade:

Det er meget praktisk!

Tegn på ligestilling af rektangulære trekanter

I. For to kategorier

II. På kattetten og hypotenuse

III. På hypotenuse og akut hjørne

Iv. På katetu og akut hjørne

en)

Opmærksomhed! Det er meget vigtigt her, at kartetterne er "relevante". For eksempel, hvis det er sådan her:

Derefter er trekanter ikke ensPå trods af at de har et identisk akut hjørne.

Behøver I begge trekanter var katat tilstødende eller i begge modsatte.

Har du bemærket, hvad tegnene på lighed af rektangulære trekanter adskiller sig fra de sædvanlige tegn på lighed af trekanter?

Ploit i emnet "og vær opmærksom på, at ligestilling mellem de" almindelige "trekanter har brug for lighed mellem de tre elementer: to sider og vinkel mellem dem, to vinkler og side mellem dem eller tre sider.

Men for ligheden af \u200b\u200brektangulære trekanter er kun to respektive elementer nok. Great, right?

Omtrent samme situation og tegn på ligheden af \u200b\u200brektangulære trekanter.

Tegn på lighed mellem rektangulære trekanter

I. Ved akut hjørne

II. I to kategorier.

III. På kattetten og hypotenuse

Median i en rektangulær trekant

Hvorfor er det så?

Overvej i stedet for en rektangulær trekant et helt rektangel.

Lad os trække en diagonal og overveje punktet - skæringspunktet mellem diagonaler. Hvad er kendt om rektangelsens diagonale?

Og hvad der følger af dette?

Så det viste sig det

- Mediana:

Husk denne kendsgerning! Hjælper meget!

Og det er endnu mere overraskende, så det er det, der er sandt og den modsatte erklæring.

Hvilket godt kan opnås fra det faktum, at den median, der bruges på hypotenuse, er lig med halvdelen af \u200b\u200bhypotenuse? Og lad os se på billedet

Se omhyggeligt ud. Vi har: der er, det vil sige afstanden fra punktet på alle tre hjørner af trekanten viste sig at være lige. Men i trekanten er der kun ét punkt, afstanden fra hvilken om alle tre hjørner af trekanten er ens, og dette er centrum for den beskrevne cirkel. Hvad skete der?

Her lad os starte med dette "udover ...".

Lad os se på og.

Men i sådanne trekanter er alle hjørner lige!

Det samme kan siges om og

Og nu vil jeg trække det sammen:

Hvilken form for fordel kan læres af denne "triple" lighed.

Nå, for eksempel - To formler til højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant.

Vi skriver forholdet mellem de respektive parter:

At finde den højde, vi løser andelen og får Den første formel "højde i en rektangulær trekant":

Så vi anvender en lighed:.

Hvad sker der nu?

Igen løser vi andelen, og vi får den anden formel:

Begge disse formler skal huske meget godt og anvende den, der er mere praktisk.

Vi skriver dem igen

Pythagoras sætning:

I en rektangulær trekant er torvet af hypotenuse lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne :.

Tegn på ligestilling af rektangulære trekanter:

i to kategorier:
på kattetten og hypotenuse: eller
på kattetten og tilstødende akut hjørne: eller
på katetu og modsat akut hjørne: eller
på hypotenuse og akutte hjørne: Or.

Tegn på lighed af rektangulære trekanter:

et akut hjørne: eller
af proportionaliteten af \u200b\u200bto kateter:
fra proportionaliteten af \u200b\u200bcatech og hypotenuses: Or.

Sinus, cosinus, tangent, catangen i en rektangulær trekant

Sinen af \u200b\u200bden spidse vinkel på den rektangulære trekant kaldes holdningen af \u200b\u200bden modsatte kategori for hypotenuse:
Kosinden af \u200b\u200bden rektangulære trekants akutte vinkel kaldes forholdet mellem den tilstødende kategori for hypotenuse:
Tangenten af \u200b\u200bdet skarpe hjørne af den rektangulære trekant kaldes holdningen af \u200b\u200bden modsatte kategori til den tilstødende:
Cotangence af den spidse vinkel på den rektangulære trekant kaldes forholdet mellem den tilstødende kategori til det modsatte :.

Højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant: eller.

I en rektangulær trekant er en median udført fra hjørnet af en direkte vinkel lig med halvdelen af \u200b\u200bhypotenuse :.

Området af den rektangulære trekant:

gennem katte:
gennem katat og skarp vinkel :.

Nå, emnet er færdigt. Hvis du læser disse linjer, så er du meget cool.

Fordi kun 5% af folk er i stand til at beherske noget alene. Og hvis du læser til slutningen, så kom du ind i disse 5%!

Nu er det vigtigste.

Du regnede ud af teorien om dette emne. Og jeg gentager, det ... det er bare super! Du er bedre end det absolutte flertal af dine jævnaldrende.

Problemet er, at dette måske ikke er nok ...

For hvad?

For en vellykket beståelse af brugen, til optagelse til instituttet på budgettet og vigtigst af alt for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig noget, jeg vil bare sige en ting ...

Folk, der modtog en god uddannelse, tjene meget mere end dem, der ikke modtog det. Disse er statistikker.

Men det er ikke det vigtigste.

Det vigtigste er, at de er lykkeligere (der er sådan forskning). Måske fordi der er meget flere muligheder for fordel for dem, og livet bliver lysere? Jeg ved ikke...

Men tror mig selv ...

Hvad du skal være sikker på at være bedre end andre på eksamen og være i sidste ende ... lykkeligere?

Fyld en hånd ved at løse opgaver på dette emne.

Du vil ikke spørge teorien om eksamen.

Du får brug for løs opgaver i et stykke tid.

Og hvis du ikke løste dem (meget!), Vær helt sikkert en tåbelig fejl eller bare ikke har tid.

Det er ligesom i sport - du skal gentage mange gange for at vinde sikkert.

Find hvor du vil have en samling, obligatorisk med løsninger, detaljeret analyse Og beslutte, beslutte, beslutte!

Du kan bruge vores opgaver (ikke nødvendigvis), og vi anbefaler selvfølgelig dem.

For at udfylde hånden ved hjælp af vores opgaver skal du hjælpe med at udvide livet til lærebog dig, som du læser nu.

Hvordan? Der er to muligheder:

Åbn adgang til alle skjulte opgaver i denne artikel - 299 Gnid.
Åbn adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - 499 Gnid.

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver, og alle skjulte tekster kan åbnes med det samme.

Adgang til alle skjulte opgaver er fastsat for hele eksistensen af \u200b\u200bwebstedet.

Afslutningsvis...

Hvis vores opgaver ikke kan lide, finder andre. Bare stop ikke på teorien.

"Jeg forstår" og "Jeg kan bestemme" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find opgaven og beslut dig!

(ABC) og dets egenskaber, som præsenteres i figuren. Den rektangulære trekant har en hypotenuse-side, der ligger modsat den direkte vinkel.

Tip 1: Sådan finder du en højde i en rektangulær trekant

De parter, der danner en straight vinkel, kaldes kategorier. På billedet af siden AD, DC og BD, DC - Kartets og sider AC. og St. - Hypotenuser.

Teorem 1. I en rektangulær trekant med en vinkel på 30 ° C rt, modsat dette hjørne rullet op halvdelen af \u200b\u200bhypotenuse.

hC.

AU. - hypotenuse

Ad. og Db.

Trekant
Der er en sætning:
kommentar system Cackl.E.

Løsning: 1) Diagonalen af \u200b\u200bethvert rektangel er lige. Det er 2) Hvis en er en skarp vinkel i en trekant, så er denne trekant akut. Ikke sandt. Typer af trekanter. Trianglen kaldes akut, hvis alle tre af sine hjørner er skarpe, er det mindre end 90 ° 3), hvis punktet ligger på.

Eller i en anden post,

Ifølge Pythagora Teorem

Hvad er lig med højden i den rektangulære trekant med formlen

Højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant

Højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant, udført til hypotenuse, kan findes på en eller anden måde afhængigt af dataene om problemet med problemet.

Eller i en anden post,

Hvor BK og KC projektion af katetter på hypotenuse (segmenter, som højden deler hypotenuse).

Højden udført til hypotenuse kan findes gennem området af den rektangulære trekant. Hvis du anvender formlen for at finde et trekantområde

(Halvdelen af \u200b\u200barbejdssiden til højden udført til denne side) til hypotenuse og højde udført til hypotenuse, vi får:

Herfra kan vi finde højden som forholdet mellem trekanten af \u200b\u200btrekanten til længden af \u200b\u200bhypotenuse:

Da området af en rektangulær trekant svarer til halvdelen af \u200b\u200bkateters arbejde:

Det vil sige, at længden af \u200b\u200bden højde, der udføres til hypotenuse, er lig med forholdet mellem produktet af kathens til hypotenuse. Hvis du udpeger længden af \u200b\u200bnødder gennem A og B, længden af \u200b\u200bhypotenuses gennem C, kan formlen omskrives som

Da radius af cirklen beskrevet nær den rektangulære trekant er lig med halvdelen af \u200b\u200bhypotenuse, kan længden af \u200b\u200bhøjden udtrykkes gennem Katenets og radius af den beskrevne cirkel:

Da højden stavet til hypotenuse danner to mere rektangulære trekanter, kan dens længde findes gennem forholdet i en rektangulær trekant.

Fra en rektangulær trekant abk

Fra den rektangulære trekant ACK

Længden af \u200b\u200bhøjden af \u200b\u200bden rektangulære trekant kan udtrykkes gennem katetens længde. Som

Ifølge Pythagora Teorem

Hvis du bygger begge dele af ligestilling til pladsen:

Du kan få en anden formel til at kommunikere højden af \u200b\u200ben rektangulær trekant med told:

Hvad er lig med højden i den rektangulære trekant med formlen

Højre trekant. Gennemsnitligt niveau.

Vil du teste din styrke og finde ud af resultatet, hvor meget er du klar til eksamen eller Oge?

Hovedtætten på den rektangulære trekant er Pythagora-sætningen.

Pythagoras sætning

Forresten kan du huske godt, hvad Katenets og Hypotenuse er? Hvis ikke rigtig, så se på tegningen - ødelægge viden

Se, hvordan lunning vi opdelte det på snitene af længder og!

Og tilslut nu de markerede punkter

Her vi, sandheden bemærkede også noget, men du ser mig selv på tegningen og tænker på hvorfor det.

Hvad er området på et større torv? Ret, . Og området er mindre? Jo da, . Der forblev det samlede areal på fire hjørner. Forestil dig, at vi tog dem to og førte dem til hinanden med hypotenuses. Hvad skete der? To rektangler. Så området "trimning" er ens.

Lad os samle alt sammen.

Så vi besøgte Pythagore - bevist det til sætning på en gammel måde.

Rektangulær trekant og trigonometri

For en rektangulær trekant udføres følgende forhold:

Sinen af \u200b\u200bakut vinkel er lig med holdningen til den modsatte kategori for hypotenuse

Kosinden af \u200b\u200bden akutte vinkel er lig med holdningen hos den tilstødende catech for hypotenuse.

Tangenten af \u200b\u200bakut vinkel er lig med holdningen af \u200b\u200bden modsatte catech til den tilstødende katelæg.

Cotangenes af akut vinkel er lig med holdningen hos den tilstødende catech til det modsatte katet.

Og igen, alt dette i form af en plade:

Har du bemærket en meget praktisk ting? Kig på pladen omhyggeligt.

Det er meget praktisk!

Tegn på ligestilling af rektangulære trekanter

II. På kattetten og hypotenuse

III. På hypotenuse og akut hjørne

Iv. På katetu og akut hjørne

Opmærksomhed! Det er meget vigtigt her, at kartetterne er "relevante". For eksempel, hvis det er sådan her:

Derefter er trekanter ikke ensPå trods af at de har et identisk akut hjørne.

Behøver I begge trekanter var katat tilstødende eller i begge modsatte.

Har du bemærket, hvad tegnene på lighed af rektangulære trekanter adskiller sig fra de sædvanlige tegn på lighed af trekanter? Ploy i emnet "Triangle" og være opmærksom på, at ligheden af \u200b\u200bde "almindelige" trekanter har brug for lighed mellem de tre elementer: to sider og vinkel mellem dem, to vinkler og siden mellem dem eller tre sider. Men for ligheden af \u200b\u200brektangulære trekanter er kun to respektive elementer nok. Great, right?

Omtrent samme situation og tegn på ligheden af \u200b\u200brektangulære trekanter.

Tegn på lighed mellem rektangulære trekanter

III. På kattetten og hypotenuse

Median i en rektangulær trekant

Overvej i stedet for en rektangulær trekant et helt rektangel.

Lad os trække en diagonal og overveje punktet på skæringspunktet for diagonaler. Hvad er kendt om rektangelsens diagonale?

Skæringspunktet for diagonalen er opdelt i halvdelen af \u200b\u200bdiagonalerne er ens

Og hvad der følger af dette?

Så det viste sig det

Husk denne kendsgerning! Hjælper meget!

Og det er endnu mere overraskende, så det er det, der er sandt og den modsatte erklæring.

Hvilket godt kan opnås fra det faktum, at den median, der bruges på hypotenuse, er lig med halvdelen af \u200b\u200bhypotenuse? Og lad os se på billedet

Her skal du starte med dette "udover. "

Men i sådanne trekanter er alle hjørner lige!

Det samme kan siges om og

Og nu vil jeg trække det sammen:

Og de samme skarpe hjørner!

Hvilken form for fordel kan læres af denne "triple" lighed.

Nå, for eksempel - To formler til højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant.

Vi skriver forholdet mellem de respektive parter:

At finde den højde, vi løser andelen og får Den første formel "højde i en rektangulær trekant":

Hvordan får man det andet?

Og nu vil vi anvende ligheden af \u200b\u200btrekanter og.

Så vi anvender en lighed:.

Hvad sker der nu?

Igen løser vi andelen og får den anden formel "Højde i en rektangulær trekant":

Begge disse formler skal huske meget godt og anvende den, der er mere praktisk. Vi skriver dem igen

Nå, nu, ansøge og kombinere denne viden med andre, vil du løse enhver opgave med en rektangulær trekant!

Kommentarer.

Fordeling af materialer uden forhandling er tilladt, hvis der er et dofollow link til source-siden.

Fortrolighedspolitik

Overholdelse af dit privatliv er vigtigt for os. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og gemmer dine oplysninger. Læs venligst vores privatlivspolitik og informer os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Under personlige oplysninger er underlagt data, der kan bruges til at identificere en bestemt person eller kommunikere med den.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du opretter forbindelse til os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer personlige oplysninger, som vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger vi indsamler:

Når du forlader et program på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mail-adresse osv.

Som vi bruger dine personlige oplysninger:

Egenskaben af \u200b\u200bhøjden af \u200b\u200bden rektangulære trekant, sænket på hypotenuse

Hvis du deltager i præmierne, konkurrencen eller lignende stimulerende begivenhed, kan vi bruge de oplysninger, du giver til at administrere sådanne programmer.

Informationsoplysning til tredjepart

Vi afslører ikke de oplysninger, der er modtaget fra dig til tredjepart.

Hvis det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, domstolsproceduren, i retssagen og / eller på grundlag af offentlige forespørgsler eller anmodninger fra statslige organer på Den Russiske Føderations område - at afsløre dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi definerer, at en sådan oplysning er nødvendig eller hensigtsmæssig med henblik på sikkerhed, opretholdelse af lov og orden eller andre socialt vigtige tilfælde. I tilfælde af omorganisering, fusioner eller salg kan vi formidle de personlige oplysninger, vi indsamler de tilsvarende til tredjeparten - en efterfølger.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi foretager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og samvittighedsfuldt brug såvel som fra uautoriseret adgang, oplysning, ændringer og ødelæggelse.

Overholdelse af dit privatliv på virksomhedens niveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, bringer vi normen for fortrolighed og sikkerhed til vores medarbejdere og følger strengt gennemførelsen af \u200b\u200bfortrolighedsforanstaltninger.

Tak for beskeden!

Din kommentar accepteres, efter moderation vil den blive offentliggjort på denne side.

Vil du vide, hvad der er skjult under skåret og få eksklusive materialer på forberedelsen til Oge og EGE? Forlad e-mail

Egenskaber af en rektangulær trekant

Overveje en rektangulær trekant (ABC) og dets egenskaber, som præsenteres i figuren. Den rektangulære trekant har en hypotenuse-side, der ligger modsat den direkte vinkel. De parter, der danner en straight vinkel, kaldes kategorier. På billedet af siden AD, DC og BD, DC - Kartets og sider AC. og St. - Hypotenuser.

Tegn på ligestilling mellem den rektangulære trekant:

Teorem 1. Hvis hypotenuse og rollen af \u200b\u200bden rektangulære trekant svarer til hypotenurusen og en rulle af en anden trekant, så er sådanne trekanter ens.

Teorem 2. Hvis to cent af den rektangulære trekant er lig med to kategorier af en anden trekant, så er sådanne trekanter ens.

SEOREM 3. Hvis hypotenuse og det akutte hjørne af den rektangulære trekant svarer til den hypotenourøse og akutte vinkel på en anden trekant, er sådanne trekanter ens.

Teorem 4. Hvis katat og tilstødende (modsat) er det skarpe hjørne af den rektangulære trekant lig med katele og det tilstødende (modsatte) akutte hjørne af den anden trekant, så er sådanne trekanter ens.

Egenskaber i kategorien, et modsat hjørne på 30 °:

Sætning 1.

Højde i en rektangulær trekant

I en rektangulær trekant med en vinkel på 30 ° C rts modsat dette hjørne rullet op halvdelen af \u200b\u200bhypotenuse.

Teorem 2. Hvis i en rektangulær trekant er katatten lig med halvdelen af \u200b\u200bhypotenuse, vinklen modsat er 30 °.

Hvis højden udføres fra hjørnet af den direkte vinkel til hypotenuse, er en sådan trekant opdelt i to mindre, svarende til udgående og lignende til den anden. Disse konklusioner følges af dette:

Højden er en gennemsnitlig geometrisk (medium proportional) to segmenter af hypotenuse.
Hver trekant CATT er en medium proportional hypotenuse og tilstødende segmenter.

I den rektangulære trekant i rollen som højder fremspringende rotter. Orthocentre er et sådant punkt, hvor højden af \u200b\u200btrekanten opstår. Det falder sammen med toppen af \u200b\u200bden lige vinkel på figuren.

hC. - Højde, der forlader det direkte hjørne af trekanten

AU. - hypotenuse

Ad. og Db. - Segmenter, der er opstået, når de opdeles hypotenuses højde.

Vende tilbage til visning certifikater på disciplinen "geometri"

Trekant - Dette er en geometrisk form bestående af tre punkter (hjørner), der ikke er på samme lige linje og tre segmenter, der forbinder disse punkter. Den rektangulære trekant kaldes en trekant med en af \u200b\u200bvinklerne ved 90 ° (lige vinkel).
Der er en sætning: Summen af \u200b\u200bde skarpe hjørner af den rektangulære trekant er 90 °.
kommentar system Cackl.E.

Nøgleord: Trekant, rektangulær, cathe, hypotenuse, pythagora sætning, cirkel

Triangle kaldet rektangulærHvis han har et lige hjørne.
Den rektangulære trekant har to gensidigt vinkelrette sider, kaldet catetie.; Den tredje side kaldes hypotenuse.

Ifølge egenskaberne af vinkelret og skrånende hypotenuses er længere end hver af kateterne (men mindre end deres sum).
Summen af \u200b\u200bde to skarpe hjørner af den rektangulære trekant er lig med direkte hjørne.
To højder af den rektangulære trekant falder sammen med dens told. Derfor falder et af fire vidunderlige punkter i toppen af \u200b\u200bdet direkte hjørne af trekanten.
Centret for den beskrevne cirkel af den rektangulære trekant ligger midt i hypotenuse.
Medianen af \u200b\u200ben rektangulær trekant, udført fra toppen af \u200b\u200bkuglevinklen på hypotenuse, er en radius af omkredsen beskrevet nær denne trekant.

Overvej en vilkårlig rektangulær trekant ABC og brug højde CD \u003d HC fra Vertex fra dens direkte vinkel.

Det bryder denne trekant i to rektangulære trekanter af ACD og ADM; Hver af disse trekanter har en fælles skarp vinkel med en trekant og ligner derfor ABC-trekanten.

Alle tre trekanter ABC, ACD og ALD ligner hinanden.

Af ligheden af \u200b\u200btrekanter, relationer bestemmes:

$$ H \u003d \\ SQRT (A_ (C) \\ CDOT B_ (C)) \u003d \\ Frac (A \\ CDOT B) (C) $$;
c \u003d AC + BC;
$$ A \u003d \\ SQRT (A_ (C) \\ CDOT C), B \u003d \\ SQRT (B_ (C) \\ CDOT C) $$;
$$ (\\ frac (a) (b)) ^ (2) \u003d \\ frac (A_ (c)) (b_ (c)) $$.

Pythagoras sætning Et af de grundlæggende sætninger af euklidisk geometri, som etablerer forholdet mellem siderne af den rektangulære trekant.

Geometrisk formulering. I en rektangulær trekant er pladsen af \u200b\u200bpladsen bygget på hypotenuse lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af firkanterne bygget på kategorierne.

Algebraisk ordlyd.I en rektangulær trekant er torvet af hypotenuse lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne.
Det vil sige, at der henvises til længden af \u200b\u200btrekanten hypotenuse gennem C, og længden af \u200b\u200bkatterne gennem A og B:
A2 + B2 \u003d C2

Pythagorean omvendt sætning.

Højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant

For enhver tredobbelt af positive tal A, B og C, sådan at
A2 + B2 \u003d C2,
Der er en rektangulær trekant med cates A og B og Hypotenurus C.

Tegn på ligestilling af rektangulære trekanter:

på kattetten og hypotenuse;
i to kategorier
på kattetten og akut hjørne;
på hypotenuse og akut hjørne.

Se også:
Området af trekanten, en ligevægt trekant, en ligesidet trekant

Geometri. 8 Klasse. Prøve 4. Mulighed 1 .

Ad. : CD \u003d CD. : BD. Derfor CD2 \u003d AD ∙ BD. De siger:

Ad. : AC \u003d AC. : Ab. Derfor AC2 \u003d AB ∙ Annonce. De siger:

BD. : BC \u003d BC. : Ab. Dermed BC2 \u003d AB ∙ BD.

Løs opgaverne:

EN) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant, udført til hypotenuse, deler hypotenuse til segmenter 9 og 36.

Bestemme længden af \u200b\u200bdenne højde.

EN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

EN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

EN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

EN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

8. Tegneserie af en rektangulær trekant er 30.

Sådan finder du en højde i en rektangulær trekant?

Find afstanden fra hjørnet af en direkte vinkel til hypotenuses, hvis radiusen af \u200b\u200bomkredsen beskrevet i nærheden af \u200b\u200bdenne trekant er 17.

EN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

EN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

EN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

EN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Tjek svarene!

G8.04.1. Proportional segmenter i en rektangulær trekant

Geometri. 8 Klasse. Prøve 4. Mulighed 1 .

I δ ABC ∠AV \u003d 90 °. AC og Sun Katenets, AB Hypotenuse.

CD-højden af \u200b\u200btrekanten udført til hypotenuse.

Annoncefremskrivning af CATE AU på hypotenuse,

BD projektion af CATE Sun på hypotenuse.

Højden af \u200b\u200bcd'en deler ABC-trekanten til to svarende til den (og hinanden) af trekanten: Δ ADC og Δ CDB.

Af proportionaliteten af \u200b\u200bsiderne af den tilsvarende A ADC og Δ CDB følger:

Ad. : CD \u003d CD. : BD.

Egenskaben af \u200b\u200bhøjden af \u200b\u200bden rektangulære trekant, sænket på hypotenuse.

Derfor CD2 \u003d AD ∙ BD. De siger: højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant, udført til hypotenuse,der er en gennemsnitlig proportional værdi mellem katetternes fremskrivninger på hypotenuse.

Fra ligheden af \u200b\u200bA ADC og Δ ACB følger:

Ad. : AC \u003d AC. : Ab. Derfor AC2 \u003d AB ∙ Annonce. De siger: hver katat er den gennemsnitlige proportional værdi mellem hele hypotenuse og projektionen af \u200b\u200bdenne kategori på hypotenuse.

Tilsvarende følger ligheden Δ CDV og Δ ACB:

BD. : BC \u003d BC. : Ab. Dermed BC2 \u003d AB ∙ BD.

Løs opgaverne:

1. For at finde højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant, udføres til hypotenuse, hvis den opdeler hypotenuse til segmenter 25 cm og 81 cm.

EN) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant, udført til hypotenuse, deler hypotenuse til segmenter 9 og 36. Bestem længden af \u200b\u200bdenne højde.

EN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant, udført til hypotenuse, er 22, fremspringet af en af \u200b\u200bkateterne er 16. Find projektionen af \u200b\u200ben anden kategori.

EN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Tegneserie af en rektangulær trekant er 18, og dens projektion på hypotenuse 12. Find hypotenuse.

EN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hypotenuse er 32. Find catat, hvis fremspring er 2 af hypotenuse.

EN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Hypotenusen af \u200b\u200bden rektangulære trekant er 45. Find catat, hvis fremspring er lig med hypotenuse 9.

8. Rødder af en rektangulær trekant er 30. Find afstanden fra hjørnet af den direkte vinkel til hypotenuse, hvis radiusen af \u200b\u200bomkredsen beskrevet i nærheden af \u200b\u200bdenne trekant er 17.

EN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Hypotenus af den rektangulære trekant er 41, og fremspringet af en af \u200b\u200bkateterne 16. Find længden af \u200b\u200bden højde, der udføres fra verten for den direkte vinkel til hypotenusen.

EN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

EN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Forskellen i fremskrivningerne af katetter på hypotenuse er 15, og afstanden fra hjørnet af den direkte vinkel til hypotenusen er 4. Find radiusen af \u200b\u200bden beskrevne cirkel.

EN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Først og fremmest er en trekant en geometrisk form, der dannes af tre, ikke lyver på en lige, prikker, der er forbundet med tre segmenter. For at finde det, der er lig med højden af \u200b\u200btrekanten, er det først og fremmest at bestemme dens type. Triangler varierer i værdierne af hjørnerne og mængden af \u200b\u200blige vinkler. Ved vinkelmængden kan trekanten være akut-vinklet, dum og rektangulær. Med hensyn til antallet af lige parter isoleres en ligevægt, ligesidet og alsidige trekanter. Højden er en vinkelret, som udelades på den modsatte side af trekanten fra dens vertex. Sådan finder du en trekanthøjde?

Sådan finder du højden af \u200b\u200ben ækvigible trekant

For en ligevægt trekant er parternes lighed præget af bunden, derfor er højden af \u200b\u200ben ækvigible trekant, der bruges til siderne, altid lig med hinanden. Også højden af \u200b\u200bdenne trekant samtidig median og bisector. Følgelig opdeler højden bunden i halvdelen. Vi betragter den resulterende rektangulære trekant og finder siden, det vil sige højden af \u200b\u200ben ækvigible trekant gennem Pytagora-sætningen. Udnyttelse af følgende formel, beregne højden: H \u003d 1/2 * √4 * A 2 - B 2, hvor: A er sidesiden af \u200b\u200ben given isobå trekant, B er grundlaget for en given isobid-trekant.

Sådan finder du højden af \u200b\u200bden ligesidede trekant

Trianglen med lige parter hedder ligevægt. Højden af \u200b\u200ben sådan trekant er afledt af formlen for højden af \u200b\u200ben ækvivalent trekant. Det viser sig: H \u003d √3 / 2 * A, hvor A er siden af \u200b\u200bdenne ligesidet trekant.

Sådan finder du højden af \u200b\u200ben alsidig trekant

Den alsidige hedder en trekant, hvis to parter ikke er lig med hinanden. I en sådan trekant vil alle tre højder være anderledes. Det er muligt at beregne længderne af højderne ved hjælp af formlen: H \u003d SIN60 * A \u003d A * (SGRT3) / 2, hvor A er siden af \u200b\u200btrekanten, eller først overveje området af en bestemt trekant ifølge Geron Formula, som ser ud: S \u003d (P * (PC) * (PB) * (PA)) ^ 1/2, hvor A, B, sider af en alsidig trekant og P er dens halvversion. Hver højde \u003d 2 * område / side

Sådan finder du højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant

Den rektangulære trekant har en straight vinkel. Den højde, der passerer til en af \u200b\u200bkateterne, er på samme tid det andet Cath. Derfor er det nødvendigt at anvende den ændrede formel for Pythagora: A \u003d √ (C2 - B 2), hvor A, B er Katenets (A-Catat, som skal findes), C er hypotenuse længden. For at finde den anden højde er det nødvendigt at sætte den opnåede værdi A på plads b. For at finde den tredje, underliggende trekant anvender højden følgende formel: H \u003d 2S / A, hvor H er højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant, S er dens område, A - længden af \u200b\u200bde parter, som højden er vinkelret på.

Trianglen kaldes akut, hvis alle dens hjørner er skarpe. I dette tilfælde er alle tre højder placeret inde i den akutte trekant. Trianglen kaldes dum i nærvær af en dum vinkel. To højder af en dum trekant er uden for trekanten og falder for at fortsætte siderne. Tredjeparten er inde i trekanten. Højden bestemmes af samme PYTYAGORA-sætning.

Generelle formler som trekanthøjdeberegninger

Formlen for at finde højden af \u200b\u200btrekanten gennem parterne: H \u003d 2 / A √P * (PC) * (PB) * (PB), hvor H er den højde, du vil finde, A, B og C - Parterne i denne trekant, P er den halvforanstaltning ,.
Formula for at finde højden af \u200b\u200btrekanten gennem vinklen og siden: H \u003d B SIN Y \u003d C SIN ß
Formlen for at finde højden af \u200b\u200btrekanten gennem området og side: H \u003d 2S / A, hvor A er siden af \u200b\u200btrekanten, og H er bygget til siden og højden.
Formlen for at finde højden af \u200b\u200btrekanten gennem radius og side: H \u003d BC / 2R.

Højre trekant. - Dette er en trekant, der har en af \u200b\u200bhjørnerne - lige, det vil sige 90 grader.

Siden modsætter sig det direkte hjørne kaldes hypotenuse (i figuren angivet som c. eller ab)
Siden ved siden af \u200b\u200bdet lige hjørne hedder Cathe. Hver rektangulær trekant har to kategorier (i figuren angivet som eN. og B eller AC og BC)

Formler og egenskaber af en rektangulær trekant

Betegnelser af formler:

(se tegning ovenfor)

a, B. - Rødder af en rektangulær trekant

c. - Hypotenuse.

α, β - skarpe hjørner af trekanten

S. - areal

h. - højde, sænket fra toppen af \u200b\u200bden direkte vinkel på hypotenuse

m A. eN. fra den modsatte vinkel ( α )

m B.- Median, brugt b. fra den modsatte vinkel ( β )

m C.- Median, brugt c. fra den modsatte vinkel ( γ )

I rektangulær trekant. nogen af \u200b\u200bkateterne mindre hypotenuse (Formler 1 og 2). Denne egenskab er en konsekvens af pythagoreanske sætning.

COSINE af nogen af \u200b\u200bde skarpe hjørner Mindre enhed (formel 3 og 4). Denne ejendom følger af den forrige. Da nogen af \u200b\u200bkateterne er mindre end hypotenuse, er forholdet mellem catech for hypotenuse altid mindre end en enhed.

Hypotenusfirkanten er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne (Pythagores sætning). (Formel 5). Denne ejendom bruges konstant ved løsning af problemer.

Firkantet af en rektangulær trekant Lige halvdelen af \u200b\u200bkateters arbejde (formel 6)

Summen af \u200b\u200bkvadraterne af medianen Til told, svarende til fem kvadrater af medianer til hypotenuse og fem kvadrater af hypotenuse divideret med fire (formel 7). Udover specificeret er der 5 flere formler.Derfor anbefales det også at gøre dig bekendt med lektionen af \u200b\u200bden "median rektangulære trekant" lektion, hvori egenskaberne af medianen er beskrevet mere detaljeret.

Højdeden rektangulære trekant er lig med produktet af kateter divideret med hypotenuse (formel 8)

Kathets kvadrater er omvendt proportional med højden af \u200b\u200bhøjden, sænket på hypotenuse (formel 9). Denne identitet er også en af \u200b\u200bkonsekvenserne af den pythagoreanske sætning.

Længde hypotenuses. svarende til diameteren (to radius) af den beskrevne cirkel (formel 10). Hypotenus af en rektangulær trekant er diameteren af \u200b\u200bden beskrevne cirkel. Denne ejendom bruges ofte til løsning af problemer.

Radius indskrevet i højre trekant. cirkeldu kan finde begge halvdelen af \u200b\u200budtrykket, der indeholder summen af \u200b\u200bkateterne i denne trekant minus længden af \u200b\u200bhypotenuse. Eller som et produkt af kateter, divideret med summen af \u200b\u200balle sider (perimeter) af denne trekant. (Formel 11)
Sinus Corner. forholdet mellem modsat Dette hjørne. cate for hypotenuse. (pr. Definition af sinus). (Formel 12). Denne ejendom bruges til løsning af opgaver. At kende parternes sider, kan du finde den vinkel, de danner.

COSINE ANGLE A (a, alfa) i en rektangulær trekant vil være ens forhold tilstødende Dette hjørne. Cate for hypotenuse. (pr. Definition af sinus). (Formel 13)

Trekant - Dette er en af \u200b\u200bde mest berømte geometriske former. Det bruges overalt - ikke kun på tegningerne, men også som indvendige ting, detaljer om forskellige designs og bygninger. Der er flere typer af denne figur - rektangulær en af \u200b\u200bdem. Dens karakteristiske træk er tilstedeværelsen af \u200b\u200ben straight vinkel ens 90 ° C.. For at finde to ud af tre højder, er det tilstrækkeligt at måle kartetter. Den tredje er størrelsen mellem hjørnet af den direkte vinkel og midten af \u200b\u200bhypotenuse. Ofte i geometri er spørgsmålet om, hvordan man finder højden af \u200b\u200bden rektangulære trekant. Lad os beslutte denne enkle opgave.

Brug for:

- Linje;
- en bog om geometri
- Højre trekant.

Instruktion:

Tegn en trekant med direkte vinkel AVS.hvor hjørne. AVS. lige med 90 ° det vil sige, er direkte. Sænk højden H. Fra en straight vinkel på hypotenuse - skåret Som. Sted hvor segmenter kommer i kontakt, markere punktet D..
Du er nødt til at få en anden trekant - Adb.. Bemærk venligst, at det ligner det eksisterende AVS.Siden hjørnerne. Abs. og Adb \u003d 90 °så er de lig med hinanden, og vinklen Dårligt. Det er almindeligt for begge geometriske former. Konklustede dem kan konkluderes, at parterne AD / AB \u003d BD / BS \u003d AB / AS. Fra de resulterende relationer kan udsendes det EN.D. lige med AB² / AS..
Siden den resulterende trekant Adb. Det har en direkte vinkel, under måling af sine sider og hypotenuser, kan du bruge PYTAGORA-sætningen. Her er hvad hun ser ud: AB \u003d AD² + BD². For at løse det, brug ligestilling Ad.. Du skal have følgende: BD² \u003d AB² - (AB² / AC) ². Siden den målte trekant Abs. er rektangulært da BS². lige med Som². — AB².. Derfor er festen BD2. lige med ABB² / AC².det med udvinding af roden vil være ens BD \u003d AB * BS / AS.
Tilsvarende kan opløsningen udledes ved hjælp af den anden modtagne trekant -
BDS.. I dette tilfælde ligner det også den oprindelige AVS.Takket være to hjørner - Abs. og BDS \u003d 90 °og hjørne. DSB. er almindelig. Som i det foregående eksempel udskrives andelen i forholdet mellem parterne, hvor BD / AB \u003d DS / BS \u003d BS / AS. Dermed størrelsen DS. Viser gennem ligestilling BS² / AS. Som, AB \u003d AD * AS , at BS² \u003d DS * AS. Herfra konkluderer vi det BD2. = (AB * BS / AS) ² eller AD * AS * DS * AS / AS²Hvad er lige. AD * DS.. For at finde højden i dette tilfælde er det nok at trække roden til arbejdet tilbage DS. og Ad..