Emnet kvadratrødder er obligatorisk i matematikforløbets skolepensum. Du kan ikke undvære dem, når du løser andengradsligninger. Og senere bliver det nødvendigt ikke kun at udtrække rødderne, men også at udføre andre handlinger med dem. Blandt dem er ret komplekse: eksponentiering, multiplikation og division. Men der er også ret simple: subtraktion og addition af rødder. Det virker de i øvrigt kun ved første øjekast. At udføre dem uden fejl er ikke altid let for en, der lige er begyndt at stifte bekendtskab med dem.

Hvad er en matematisk rod?

Denne handling opstod i modsætning til eksponentiering. Matematik antager tilstedeværelsen af ​​to modsatte operationer. Der er subtraktion til addition. Multiplikation er i modsætning til division. Gradens omvendte handling er udtrækningen af ​​den tilsvarende rod.

Hvis eksponenten er 2, vil roden være kvadratisk. Det er det mest almindelige i skolens matematik. Det har ikke engang en indikation af, at det er kvadratisk, det vil sige, at tallet ikke er tildelt det 2. Den matematiske notation af denne operator (radikal) er vist på figuren.

Fra den beskrevne handling følger dens definition glat. For at udtrække kvadratroden af ​​et bestemt tal, skal du finde ud af, hvad det radikale udtryk vil give, når det ganges med sig selv. Dette tal vil være kvadratroden. Hvis vi skriver dette matematisk, får vi følgende: x * x \u003d x 2 \u003d y, hvilket betyder √y \u003d x.

Hvilke handlinger kan der tages med dem?

I sin kerne er en rod en brøkpotens, der har en enhed i tælleren. Og nævneren kan være hvad som helst. For eksempel har kvadratroden en værdi på to. Derfor vil alle handlinger, der kan udføres med grader, også være gældende for rødder.

Og de har de samme krav til disse handlinger. Hvis multiplikation, division og hævning til en potens ikke møder vanskeligheder for eleverne, fører tilføjelsen af ​​rødder såvel som deres subtraktion nogle gange til forvirring. Og alt sammen fordi du vil udføre disse operationer uden at se på rodens tegn. Og det er her, fejlene begynder.

Hvad er reglerne for addition og subtraktion?

Først skal du huske to kategoriske "nej":

• det er umuligt at udføre addition og subtraktion af rødder, som med primtal, det vil sige, at det er umuligt at skrive summens rodudtryk under ét tegn og udføre matematiske operationer med dem;
• du kan ikke tilføje og trække rødder fra med forskellige eksponenter, såsom kvadrat og kubisk.

Et illustrativt eksempel på det første forbud: √6 + √10 ≠ √16 men √(6 + 10) = √16.

I det andet tilfælde er det bedre at begrænse os til at forenkle selve rødderne. Og i svaret forlade deres sum.

Nu til reglerne

1. Find og grupper lignende rødder. Det vil sige, at de, der ikke kun har de samme tal under det radikale, men de selv har én indikator.
2. Udfør tilføjelsen af ​​rødderne kombineret i én gruppe ved den første handling. Det er nemt at implementere, fordi du kun skal tilføje de værdier, der kommer før de radikale.
3. Udtræk rødderne i de termer, hvor det radikale udtryk danner en hel firkant. Med andre ord, lad ikke noget stå under de radikales tegn.
4. Forenkle rodudtryk. For at gøre dette skal du indregne dem i primfaktorer og se, om de giver kvadratet af et tal. Det er klart, at det er rigtigt, når det kommer til kvadratroden. Når eksponenten er tre eller fire, så skal primfaktorerne give terningen eller fjerde potens af tallet.
5. Tag en faktor, der giver en heltalsmagt, fra under det radikales tegn.
6. Se om lignende udtryk dukker op igen. Hvis ja, så udfør det andet trin igen.

I en situation, hvor problemet ikke kræver den nøjagtige værdi af roden, kan det beregnes på en lommeregner. Afrund den uendelige decimalbrøk, der vil blive vist i vinduet. Oftest gøres dette op til hundrededele. Og udfør derefter alle operationer for decimalbrøker.

Dette er al information om, hvordan tilføjelsen af ​​rødderne udføres. Eksemplerne nedenfor vil illustrere ovenstående.

Første opgave

Beregn værdien af ​​udtryk:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Hvis du følger algoritmen ovenfor, kan du se, at der ikke er noget for de to første handlinger i dette eksempel. Men man kan forenkle nogle radikale udtryk.

For eksempel faktor 32 til to faktorer 2 og 16; 18 vil være lig med produktet af 9 og 2; 128 er 2 gange 64. Givet dette vil udtrykket blive skrevet således:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Nu skal du fjerne de faktorer, der giver kvadratet af tallet, under det radikale tegn. Dette er 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Udtrykket vil have formen:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Vi skal forenkle skrivningen lidt. Til dette ganges koefficienterne før fortegnene på roden:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

I dette udtryk viste alle udtryk sig at være ens. Derfor skal de bare foldes sammen. Svaret vil være: 5√2.

b) Ligesom det foregående eksempel begynder tilføjelsen af ​​rødder med deres forenkling. Grundudtrykkene 75, 147, 48 og 300 vil være repræsenteret af følgende par: 5 og 25, 3 og 49, 3 og 16, 3 og 100. Hver af dem har et tal, der kan tages ud under rodtegnet :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Efter forenkling er svaret: 5√5 - 5√3. Det kan efterlades i denne form, men det er bedre at tage den fælles faktor 5 ud af parentesen: 5 (√5 - √3).

c) Og igen faktorisering: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Efter at have faktoriseret rodtegnet ud, har vi:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Efter at have reduceret lignende udtryk får vi resultatet: 7√11.

Brøkeksempel

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Følgende tal skal faktoriseres: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. På samme måde som dem, der allerede er overvejet, skal du tage faktorerne ud under roden underskriv og forenkle udtrykket:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Dette udtryk kræver, at man slipper for irrationaliteten i nævneren. For at gøre dette skal du gange det andet led med √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

For at fuldføre handlingen skal du vælge den heltallige del af faktorerne foran rødderne. Den første er 1, den anden er 2.

I vores tid med moderne elektroniske computere er det ikke en vanskelig opgave at beregne roden af ​​et tal. For eksempel, √2704=52, vil enhver lommeregner beregne dette for dig. Heldigvis er lommeregneren ikke kun i Windows, men også i en almindelig, selv den mest simple telefon. Sandt nok, hvis du pludselig (med en lille grad af sandsynlighed, hvis beregning i øvrigt inkluderer tilføjelse af rødder) befinder dig uden tilgængelige midler, så bliver du desværre kun nødt til at stole på dine hjerner.

Sindtræning fejler aldrig. Især for dem, der ikke arbejder med tal så ofte, og endnu mere med rødder. At tilføje og trække rødder fra er en god træning for et sind, der keder sig. Og jeg vil vise dig tilføjelsen af ​​rødder trin for trin. Eksempler på udtryk kan være følgende.

Ligningen der skal forenkles er:

√2+3√48-4×√27+√128

Dette er et irrationelt udtryk. For at forenkle det skal du bringe alle de radikale udtryk til en fælles form. Vi gør det i etaper:

Det første tal kan ikke længere forenkles. Lad os gå videre til anden periode.

3√48 faktoriserer vi 48: 48=2×24 eller 48=3×16. ud af 24 er ikke et heltal, dvs. har en brøkdel rest. Da vi har brug for en nøjagtig værdi, er omtrentlige rødder ikke egnede for os. Kvadratroden af ​​16 er 4, tag den ud fra under Vi får: 3×4×√3=12×√3

Vores næste udtryk er negativt, dvs. skrevet med et minustegn -4×√(27.) Factoring 27. Vi får 27=3×9. Vi bruger ikke brøkfaktorer, fordi det er sværere at beregne kvadratroden ud fra brøker. Vi tager 9 ud under skiltet, dvs. udregn kvadratroden. Vi får følgende udtryk: -4×3×√3 = -12×√3

Det næste led √128 beregner den del, der kan tages ud under roden. 128=64×2 hvor √64=8. Hvis det gør det lettere for dig, kan du repræsentere dette udtryk sådan her: √128=√(8^2×2)

Vi omskriver udtrykket med forenklede udtryk:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Nu tilføjer vi tallene med det samme radikale udtryk. Du kan ikke tilføje eller trække udtryk med forskellige radikale udtryk. Tilføjelse af rødder kræver overholdelse af denne regel.

Vi får følgende svar:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Jeg håber, at det er kutyme i algebra at udelade sådanne elementer, vil ikke være nyheder for dig.

Udtryk kan repræsenteres ikke kun med kvadratrødder, men også med terning eller n-te rødder.

Addition og subtraktion af rødder med forskellige eksponenter, men med et ækvivalent rodudtryk, sker som følger:

Hvis vi har et udtryk som √a+∛b+∜b, så kan vi forenkle dette udtryk sådan her:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Vi har reduceret to lignende udtryk til den fælles eksponent for roden. Røddernes egenskab blev brugt her, som siger: hvis tallet på graden af ​​det radikale udtryk og tallet på rodeksponenten ganges med det samme tal, så vil dets beregning forblive uændret.

Bemærk: eksponenter tilføjes kun, når de ganges.

Overvej et eksempel, hvor brøker er til stede i et udtryk.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Lad os løse det trin for trin:

5√8=5*2√2 - vi tager den ekstraherede del ud under roden.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Hvis rodens krop er repræsenteret af en brøk, vil denne brøk ofte ikke ændre sig, hvis kvadratroden af ​​udbyttet og divisor tages. Som et resultat har vi opnået den ovenfor beskrevne ligestilling.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Her er svaret.

Det vigtigste at huske er, at en rod med en lige eksponent ikke udvindes fra negative tal. Hvis et radikalt udtryk i lige grad er negativt, så er udtrykket uløseligt.

Tilføjelsen af ​​rødderne er kun mulig, hvis de radikale udtryk falder sammen, da de er lignende udtryk. Det samme gælder forskellen.

Tilføjelsen af ​​rødder med forskellige numeriske eksponenter udføres ved at reducere begge led til en fælles rodgrad. Denne lov fungerer på samme måde som reduktion til en fællesnævner, når der lægges til eller trækkes fra brøker.

Hvis det radikale udtryk indeholder et tal hævet til en potens, så kan dette udtryk forenkles, forudsat at der er en fællesnævner mellem roden og eksponenten.

I matematik kan rødder være kvadratisk, kubisk eller have en hvilken som helst anden eksponent (potens), som er skrevet til venstre over rodtegnet. Udtrykket under rodtegnet kaldes rodudtrykket. Tilføjelsen af ​​rødder svarer til tilføjelsen af ​​vilkårene for et algebraisk udtryk, det vil sige, det kræver definitionen af ​​lignende rødder.

Trin

Del 1 af 2: At finde rødder

Rodbetegnelse. Et udtryk under rodtegnet () betyder, at det er nødvendigt at udtrække en rod af en vis grad fra dette udtryk.

• Roden er angivet med et tegn.
• Rodens indeks (grad) er skrevet til venstre over rodtegnet. For eksempel skrives terningroden af ​​27 som: (27)
• Hvis rodens eksponent (grad) er fraværende, anses eksponenten for at være lig med 2, det vil sige, at den er kvadratroden (eller roden af ​​anden grad).
• Tallet skrevet før rodtegnet kaldes en multiplikator (det vil sige, at dette tal ganges med roden), for eksempel 5 (2)
• Hvis der ikke er nogen faktor foran roden, så er den lig med 1 (husk på, at ethvert tal ganget med 1 er lig med sig selv).
• Hvis du arbejder med rødder for første gang, skal du lave passende noter om multiplikatoren og eksponenten af ​​roden for ikke at blive forvirret og bedre forstå deres formål.

Husk hvilke rødder der kan foldes og hvilke der ikke kan. Ligesom du ikke kan tilføje forskellige udtryk i et udtryk, såsom 2a + 2b 4ab, kan du ikke tilføje forskellige rødder.

Du kan ikke tilføje rødder med forskellige rodudtryk, for eksempel (2) + (3) (5). Men du kan tilføje tal under den samme rod, for eksempel (2 + 3) = (5) (kvadratroden af ​​2 er cirka 1,414, kvadratroden af ​​3 er cirka 1,732, og kvadratroden af ​​5 er cirka 2,236 ).

Du kan ikke tilføje rødder med de samme rodudtryk, men forskellige eksponenter, for eksempel (64) + (64) (denne sum er ikke lig med (64), da kvadratroden af ​​64 er 8, er terningroden af ​​64 4, 8 + 4 = 12, hvilket er meget større end den femte rod af 64, som er cirka 2,297).

Del 2 af 2: Forenkling og tilføjelse af rødder

Identificer og grupper lignende rødder. Lignende rødder er rødder, der har de samme eksponenter og de samme rodudtryk. Overvej for eksempel udtrykket:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Omskriv først udtrykket, så rødder med samme eksponent er i serie.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Omskriv derefter udtrykket, så rødder med samme eksponent og samme rodudtryk er i serie.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Forenkle dine rødder. For at gøre dette skal du nedbryde (hvor det er muligt) de radikale udtryk i to faktorer, hvoraf den ene er taget ud under roden. I dette tilfælde ganges det gengivne tal og rodfaktoren.

I eksemplet ovenfor, faktor 50 til 2*25 og tal 32 til 2*16. Fra 25 og 16 kan du udtrække kvadratrødderne (henholdsvis 5 og 4) og tage 5 og 4 ud under roden, henholdsvis gange dem med faktor 2 og 1. Dermed får du et forenklet udtryk: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Tallet 81 kan indregnes i 3 * 27, og terningroden af ​​3 kan tages fra tallet 27. Dette tal 3 kan tages ud under roden. Dermed får du et endnu mere forenklet udtryk: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Tilføj faktorerne af lignende rødder. I vores eksempel er der tilsvarende kvadratrødder af 2 (de kan tilføjes) og lignende kvadratrødder af 3 (de kan også tilføjes). En terningrod på 3 har ingen sådanne rødder.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Endeligt forenklet udtryk: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Der er ingen almindeligt anerkendte regler for den rækkefølge, hvor rødder skrives i et udtryk. Derfor kan du skrive rødder i stigende rækkefølge af deres eksponenter og i stigende rækkefølge af radikale udtryk.

OBS, kun I DAG!

Alt sammen interessant

Tallet, der er under rodtegnet, forstyrrer ofte løsningen af ​​ligningen, det er ubelejligt at arbejde med det. Selvom det er hævet til en potens, brøktal eller ikke kan repræsenteres som et heltal til en vis grad, kan man forsøge at udlede det fra...

En rod af et tal x er et tal, der, når det hæves til rodens potens, vil være lig med x. Multiplikatoren er det tal, der ganges. Det vil sige, at i et udtryk som x*ª-&radic-y skal du tilføje x under roden. Instruktion 1 Bestem graden ...

Hvis rodudtrykket indeholder et sæt matematiske operationer med variable, er det nogle gange, som et resultat af dets forenkling, muligt at opnå en relativt simpel værdi, hvoraf en del kan tages ud under roden. Denne forenkling er nyttig...

Aritmetiske operationer med rødder af forskellige grader kan i høj grad forenkle beregninger i fysik og teknologi og gøre dem mere nøjagtige. Når du multiplicerer og dividerer, er det mere praktisk ikke at udtrække roden fra hver faktor eller udbytte og divisor, men først ...

Kvadratroden af ​​tallet x er tallet a, som, når det ganges med sig selv, giver tallet x: a * a = a^2 = x, x = a. Som med ethvert tal kan du udføre de aritmetiske operationer med addition og subtraktion på kvadratrødder. Instruktion...

En rod i matematik kan have to betydninger: det er en aritmetisk operation og hver af løsningerne til en ligning, algebraisk, parametrisk, differential eller en hvilken som helst anden. Instruktion 1 Roden af ​​den n-te grad af tallet a er et sådant tal, at ...

Når man udfører forskellige regneoperationer med rødder, er det ofte nødvendigt at kunne transformere radikale udtryk. For at forenkle beregningerne kan det være nødvendigt at tage faktoren ud af det radikales tegn eller lægge den under den. Denne handling kan...

Roden er et ikon, der angiver den matematiske operation for at finde et sådant tal, hvis forhøjelse i den grad, der er angivet før rodtegnet, skulle give det tal, der er angivet under netop dette tegn. Ofte for at løse problemer, hvor der er ...

Rodens tegn i de matematiske videnskaber er symbolet for rødderne. Tallet under rodtegnet kaldes det radikale udtryk. I mangel af en eksponent er roden et kvadrat, ellers angiver figuren ...

Den aritmetiske rod af den n'te grad af et reelt tal a er et sådant ikke-negativt tal x, hvis n'te potens er lig med tallet a. De der. (n) a = x, x^n = a. Der er forskellige måder at tilføje en aritmetisk rod og et rationelt tal...

Den n-te rod af et reelt tal a er et tal b, for hvilket ligheden b^n = a er sand. Ulige rødder eksisterer for negative og positive tal, og lige rødder eksisterer kun for positive tal...

Dit privatliv er vigtigt for os. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Læs venligst vores privatlivspolitik og lad os vide, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Det følgende er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende dig vigtige meddelelser og beskeder.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende incitament, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse til tredjeparter

Vi videregiver ikke oplysninger modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• I tilfælde af at det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsordenen, i retssager og / eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige organer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi vurderer, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige interesser.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante tredjepartsefterfølger.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug samt mod uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Opretholdelse af dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivets fred og sikkerhedspraksis til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materiale i specialafsnit 555.
For dem, der er stærke "ikke særlig. »
Og for dem, der “meget jævn. "")

I den forrige lektion fandt vi ud af, hvad en kvadratrod er. Det er tid til at finde ud af, hvad der er formler for rødder, hvad er rod egenskaber og hvad kan man gøre ved det hele.

Rodformler, rodegenskaber og regler for handlinger med rødder er i bund og grund det samme. Der er overraskende få formler for kvadratrødder. Hvilket selvfølgelig glæder! Tværtimod kan du skrive en masse af alle mulige formler, men kun tre er nok til praktisk og selvsikkert arbejde med rødder. Alt andet udspringer af disse tre. Selvom mange forvilder sig i røddernes tre formler, ja.

Lad os starte med det enkleste. Her er hun:

Jeg minder dig (fra forrige lektion): a og b er ikke-negative tal! Ellers giver formlen ingen mening.

Denne egenskab af rødder, som du kan se, enkel, kort og harmløs. Men med denne rodformel kan du gøre en masse nyttige ting! Lad os tage et kig på eksempler alle disse nyttige ting.

Nyttig ting først. Denne formel tillader os formere rødder.

Hvordan formerer man rødder?

Ja, meget simpelt. Lige til formlen. For eksempel:

Det ser ud til, at de har formeret sig, hvad så? Er der meget glæde? Jeg er enig, lidt. Men hvordan kan du lide det her eksempel?

Rødder udvindes ikke ligefrem fra faktorer. Og resultatet er fantastisk! Allerede bedre, ikke? For en sikkerheds skyld vil jeg informere dig om, at der kan være så mange multiplikatorer, som du vil. Rodmultiplikationsformlen virker stadig. For eksempel:

Så med multiplikation er alt klart, hvorfor dette er nødvendigt røddernes egenskab- er også forståeligt.

Nyttig ting den anden. Indtastning af et tal under rodens fortegn.

Hvordan indtaster man et tal under roden?

Lad os sige, at vi har dette udtryk:

Er det muligt at skjule toeren inde i roden? Let! Hvis du laver en rod ud af to, vil formlen for at gange rødderne fungere. Og hvordan laver man en rod fra en toer? Ja, det er heller ikke et spørgsmål! Det dobbelte er kvadratroden af ​​fire!

Roden kan i øvrigt laves ud fra et hvilket som helst ikke-negativt tal! Dette vil være kvadratroden af ​​kvadratet af dette tal. 3 er roden af ​​9. 8 er roden af ​​64. 11 er roden af ​​121. Nå, og så videre.

Selvfølgelig er der ingen grund til at male så detaljeret. Undtagen til at begynde med. Det er nok at indse, at ethvert ikke-negativt tal ganget med roden kan bringes under roden. Men glem det ikke! - under roden bliver dette nummer firkant ham selv. Denne handling - at indtaste et tal under roden - kan også kaldes at gange tallet med roden. Generelt kan man skrive:

Processen er enkel, som du kan se. Hvorfor er der brug for hende?

Som enhver transformation udvider denne procedure vores muligheder. Muligheder for at forvandle et grusomt og ubehageligt udtryk til et blødt og luftigt). Her er en enkel en til dig eksempel:

Som du kan se rod ejendom, som gør det muligt at indføre en faktor under rodens tegn, er ganske velegnet til forenkling.

Derudover gør tilføjelse af en multiplikator under roden det nemt og enkelt at sammenligne værdierne af forskellige rødder. Uden nogen beregning og lommeregner! Den tredje nyttige ting.

Hvordan sammenligner man rødder?

Denne færdighed er meget vigtig i solide missioner, når du låser op for moduler og andre fede ting.

Sammenlign disse udtryk. Hvilken er mere? Uden lommeregner! Hver med en lommeregner. øh-øh. Kort sagt, alle kan gøre det!)

Det siger du ikke med det samme. Og hvis du indtaster tal under rodens tegn?

Husk (pludselig, vidste det ikke?): hvis tallet under rodens tegn er større, så er selve roden større! Derfor det umiddelbart rigtige svar, uden nogen komplicerede udregninger og udregninger:

Det er fantastisk, ikke? Men det er ikke alt! Husk, at alle formler fungerer både fra venstre mod højre og fra højre mod venstre. Vi har hidtil brugt formlen til at gange rødder fra venstre mod højre. Lad os køre denne rodegenskab baglæns, fra højre mod venstre. Sådan her:

Og hvad er forskellen? Giver det dig noget!? Sikkert! Nu vil du selv se.

Antag, at vi skal udtrække (uden en lommeregner!) kvadratroden af ​​tallet 6561. Nogle mennesker vil på dette stadium falde i en ulige kamp med opgaven. Men vi er stædige, vi giver ikke op! Nyttig ting fjerde.

Hvordan udvinder man rødder fra store tal?

Vi husker formlen for udvinding af rødder fra et produkt. Den jeg postede ovenfor. Men hvor er vores arbejde? Vi har et stort antal 6561, og det er det. Ja, der er ingen kunst. Men hvis vi har brug for det, vi Lad os gøre det! Lad os faktorere dette tal. Vi har ret.

Lad os først finde ud af, hvad dette tal præcist er deleligt med? Hvad, ved du ikke!? Har du glemt tegnene på delelighed!? Forgæves. Gå til Special Section 555, emne "Brøker", der er de. Dette tal er deleligt med 3 og 9. Fordi summen af ​​cifrene (6+5+6+1=18) er delelig med disse tal. Dette er et af tegnene på delelighed. Vi behøver ikke at dividere med tre (nu vil du forstå hvorfor), men vi vil dividere med 9. I hvert fald i et hjørne. Vi får 729. Så vi fandt to faktorer! Den første er en nier (vi valgte den selv), og den anden er 729 (det blev sådan). Du kan allerede nu skrive:

Få ideen? Lad os gøre det samme med tallet 729. Det er også deleligt med 3 og 9. Igen, vi dividerer ikke med 3, vi dividerer med 9. Vi får 81. Og vi kender dette tal! Vi skriver ned:

Alt blev nemt og elegant! Roden skulle fjernes stykke for stykke, nå, okay. Dette kan gøres med et hvilket som helst stort antal. Multiplicer dem, og gå!

Forresten, hvorfor skulle du ikke dividere med 3, gættede du? Ja, for roden af ​​tre er ikke ligefrem udtrukket! Det giver mening at nedbrydes til sådanne faktorer, at mindst en rod godt kan udvindes. Det er 4, 9, 16 godt, og så videre. Divider dit enorme tal med disse tal på skift, ser du, og du er heldig!

Men ikke nødvendigvis. Måske ikke heldig. Lad os sige, at tallet 432, når det faktoriseres og bruger rodformlen for produktet, vil give følgende resultat:

Nå okay. Vi har alligevel forenklet udtrykket. I matematik er det kutyme at lade det mindst mulige tal stå under roden. I processen med at løse afhænger alt af eksemplet (måske er alt reduceret uden forenkling), men i svaret er det nødvendigt at give et resultat, der ikke kan forenkles yderligere.

Ved du forresten, hvad vi har gjort med roden af ​​432 nu?

Vi taget ud faktorer fra under rodens tegn ! Det er, hvad denne operation kaldes. Og så falder opgaven -" tag faktoren ud under rodens tegn"Men mændene ved det ikke engang.) Her er en anden brug for dig rod egenskaber. Nyttig ting femte.

Hvordan tager man multiplikatoren ud under roden?

Let. Faktoriser rodudtrykket og udtræk de rødder, der udvindes. Vi ser:

Intet overnaturligt. Det er vigtigt at vælge de rigtige multiplikatorer. Her har vi dekomponeret 72 som 36 2. Og alt blev godt. Eller de kunne have dekomponeret det anderledes: 72 = 6 12. Og hvad så!? Hverken fra 6 eller fra 12 udvindes roden. Hvad skal man gøre?!

Det er ok. Eller se efter andre nedbrydningsmuligheder, eller fortsæt med at lægge alt ud til stop! Sådan her:

Som du kan se, lykkedes alt. Dette er i øvrigt ikke den hurtigste, men den mest pålidelige måde. Neddel tallet i de mindste faktorer, og saml derefter de samme i bunker. Metoden anvendes også med succes, når der multipliceres ubelejlige rødder. For eksempel skal du beregne:

Gang alt - du får et vanvittigt tal! Og hvordan trækker man roden ud af det?! Multiplicere igen? Nej, vi har ikke brug for ekstra arbejde. Vi dekomponerer straks i faktorer og samler det samme i bunker:

Det er alt. Det er selvfølgelig ikke nødvendigt at lægge ud til stop. Alt er bestemt af dine personlige evner. Bragte eksemplet til en stat, hvor alt er klart for dig så du kan allerede tælle. Det vigtigste er ikke at lave fejl. Ikke en mand for matematik, men matematik for en mand!)

Lad os anvende viden i praksis? Lad os starte med en enkel:

Regel for tilføjelse af kvadratrødder

Egenskaber af kvadratrødder

Indtil videre har vi udført fem aritmetiske operationer på tal: addition, subtraktion, multiplikation, division og eksponentiering, og forskellige egenskaber ved disse operationer blev aktivt brugt i beregninger, for eksempel a + b = b + a, og n -b n = (ab) n osv.

Dette kapitel introducerer en ny operation - at tage kvadratroden af ​​et ikke-negativt tal. For at bruge det med succes, skal du stifte bekendtskab med egenskaberne for denne operation, hvilket vi vil gøre i dette afsnit.

Bevis. Lad os introducere følgende notation:
Vi skal bevise, at for ikke-negative tal x, y, z er ligheden x = yz sand.

Så x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Derefter x 2 \u003d y 2 z 2, dvs. x 2 \u003d (yz) 2.

Hvis en firkanter to ikke-negative tal er ens, så er tallene i sig selv ens, hvilket betyder, at fra ligheden x 2 \u003d (yz) 2 følger, at x \u003d yz, og dette var påkrævet for at blive bevist.

Vi giver en kort oversigt over beviset for sætningen:

Bemærkning 1. Sætningen forbliver gyldig i det tilfælde, hvor det radikale udtryk er produktet af mere end to ikke-negative faktorer.

Bemærkning 2. Sætning 1 kan skrives ved hjælp af "hvis. , så” (som det er kutyme for sætninger i matematik). Vi giver den tilsvarende formulering: hvis a og b er ikke-negative tal, så er ligheden .

Sådan formulerer vi følgende sætning.

(En kort formulering, der er mere praktisk at bruge i praksis: roden af ​​en brøk er lig med brøkdelen af ​​rødderne, eller roden af ​​kvotienten er lig med kvotienten af ​​rødderne.)

Denne gang vil vi kun give en kort oversigt over beviset, og du kan prøve at komme med passende kommentarer svarende til dem, der udgjorde essensen af ​​beviset for sætning 1.

Eksempel 1. Beregn .
Afgørelse. Brug af den første ejendom kvadratrødder(Sætning 1), får vi

Bemærkning 3. Selvfølgelig kan dette eksempel løses på en anden måde, især hvis du har en lommeregner ved hånden: gange tallene 36, 64, 9, og tag kvadratroden af ​​det resulterende produkt. Du er dog enig i, at løsningen foreslået ovenfor ser mere kulturel ud.

Bemærkning 4. I den første metode udførte vi direkte beregninger. Den anden måde er mere elegant:
vi søgte formel a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) og brugte egenskaben af ​​kvadratrødder.

Bemærkning 5. Nogle "hotheads" tilbyder nogle gange følgende "løsning" til eksempel 3:

Dette er selvfølgelig ikke sandt: ser du - resultatet er ikke det samme som i vores eksempel 3. Faktum er, at der ikke er nogen ejendom som nr og ejendomme Der er kun egenskaber vedrørende multiplikation og division af kvadratrødder. Vær forsigtig og forsigtig, tag ikke ønsketænkning.

Eksempel 4. Beregn: a)
Afgørelse. Enhver formel i algebra bruges ikke kun "fra højre til venstre", men også "fra venstre mod højre". Så den første egenskab af kvadratrødder betyder, at den om nødvendigt kan repræsenteres som , og omvendt, som kan erstattes af udtrykket Det samme gælder for den anden egenskab af kvadratrødder. Med dette i tankerne, lad os løse det foreslåede eksempel.

Afslutningsvis bemærker vi endnu en ret simpel og samtidig vigtig egenskab:
hvis a > 0 og n - naturligt tal, derefter

Eksempel 5 Beregn , uden at bruge en tabel med kvadrater af tal og en lommeregner.

Afgørelse. Lad os dekomponere rodtallet i primfaktorer:

Bemærkning 6. Dette eksempel kunne løses på samme måde som det lignende eksempel i § 15. Det er let at gætte på, at svaret bliver "80 med en hale", da 80 2 2 . Lad os finde "halen", altså det sidste ciffer i det ønskede nummer. Indtil videre ved vi, at hvis roden trækkes ud, så kan svaret være 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 eller 89. Kun to tal skal kontrolleres: 84 og 86, da kun de, når kvadratet, vil give som et resultat firecifret et tal, der ender på 6, dvs. det samme ciffer, der slutter med tallet 7056. Vi har 84 2 \u003d 7056 - det er det, vi har brug for. Midler,

Mordkovich A.G., Algebra. Karakter 8: Proc. til almen uddannelse institutioner - 3. udg., afsluttet. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 s.: ill.

Bøger, matematik lærebøger download, abstrakt for at hjælpe læreren og eleverne, lære online

Hvis du har rettelser eller forslag til denne lektion, så skriv til os.

Hvis du vil se andre rettelser og forslag til lektioner, så se her - Uddannelsesforum.

Sådan tilføjer du kvadratrødder

Kvadratroden af ​​et tal x kaldt et nummer EN, som er i færd med at formere sig af sig selv ( A*A) kan give et tal x.
De der. A * A = A 2 = X, og √X = A.

Over kvadratrødder ( √x), som med andre tal, kan du udføre aritmetiske operationer såsom subtraktion og addition. For at trække og tilføje rødder skal de forbindes ved hjælp af tegn, der svarer til disse handlinger (f.eks √x - √y ).
Og bring så rødderne til deres enkleste form - hvis der er lignende mellem dem, skal du lave en afstøbning. Det består i, at koefficienterne for lignende led med fortegnene for de tilsvarende led tages, så er de indesluttet i parentes, og den fælles rod vises uden for multiplikatorparenteserne. Den koefficient, vi har opnået, er forenklet efter de sædvanlige regler.

Trin 1. Udtrækning af kvadratrødder

For at tilføje kvadratrødder skal du først udtrække disse rødder. Dette kan gøres, hvis tallene under rodtegnet er perfekte kvadrater. Tag for eksempel det givne udtryk √4 + √9 . Første nummer 4 er kvadratet af tallet 2 . Andet nummer 9 er kvadratet af tallet 3 . Således kan følgende lighed opnås: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Alt, eksemplet er løst. Men sådan går det ikke altid.

Trin 2. Tag multiplikatoren af ​​et tal ud under roden

Hvis der ikke er hele kvadrater under rodtegnet, kan du prøve at tage multiplikatoren af ​​tallet ud under rodtegnet. Tag for eksempel udtrykket √24 + √54 .

Lad os faktorisere tallene:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

På listen 24 vi har en multiplikator 4 , kan den tages ud under kvadratrodstegnet. På listen 54 vi har en multiplikator 9 .

Vi får ligestillingen:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

I betragtning af dette eksempel får vi fjernelsen af ​​faktoren fra under rodtegnet, hvorved det givne udtryk forenkles.

Trin 3. Reduktion af nævneren

Overvej følgende situation: summen af ​​to kvadratrødder er nævneren af ​​en brøk, f.eks. A / (√a + √b).
Nu står vi over for opgaven med at "komme af med irrationaliteten i nævneren."
Lad os bruge følgende metode: gange brøkens tæller og nævner med udtrykket √a - √b.

Vi får nu den forkortede multiplikationsformel i nævneren:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

På samme måde, hvis nævneren indeholder forskellen mellem rødderne: √a - √b, ganges brøkens tæller og nævner med udtrykket √a + √b.

Lad os tage en brøkdel som eksempel:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Et eksempel på reduktion af kompleks nævner

Nu vil vi overveje et ret kompliceret eksempel på at slippe af med irrationalitet i nævneren.

Lad os tage en brøkdel som eksempel: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Du skal tage dens tæller og nævner og gange med udtrykket √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Trin 4. Beregn den omtrentlige værdi på lommeregneren

Hvis du kun skal bruge en omtrentlig værdi, kan dette gøres på en lommeregner ved at beregne værdien af ​​kvadratrødder. Separat, for hvert tal, beregnes og registreres værdien med den nødvendige nøjagtighed, som bestemmes af antallet af decimaler. Yderligere udføres alle de nødvendige operationer, som med almindelige tal.

Anslået beregningseksempel

Det er nødvendigt at beregne den omtrentlige værdi af dette udtryk √7 + √5 .

Som et resultat får vi:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Bemærk venligst: kvadratrødder må under ingen omstændigheder tilføjes som primtal, dette er fuldstændig uacceptabelt. Det vil sige, at hvis du tilføjer kvadratroden af ​​fem og tre, kan vi ikke få kvadratroden af ​​otte.

Nyttigt råd: Hvis du beslutter dig for at faktorisere et tal, for at udlede et kvadrat fra under rodtegnet, skal du foretage en omvendt kontrol, det vil sige at gange alle de faktorer, der er resultatet af beregningerne, og det endelige resultat af dette matematisk udregning skal være det tal, vi oprindeligt fik.

Handling med rødder: addition og subtraktion

At udtrække kvadratroden af ​​et tal er ikke den eneste operation, der kan udføres med dette matematiske fænomen. Ligesom almindelige tal kan kvadratrødder lægges til og trækkes fra.

Regler for at addere og trække kvadratrødder fra

Handlinger som at tilføje og trække en kvadratrod fra er kun mulige, hvis rodudtrykket er det samme.

Du kan tilføje eller trække udtryk fra 2 3 og 63, men ikke 5 6 og 9 4 . Hvis det er muligt at forenkle udtrykket og bringe det til rødder med samme rodnummer, så forenkle og derefter addere eller subtrahere.

Rodhandlinger: Det grundlæggende

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Forenkle rodudtrykket. For at gøre dette er det nødvendigt at dekomponere rodudtrykket i 2 faktorer, hvoraf den ene er et kvadrattal (det tal, hvorfra hele kvadratroden er udtrukket, for eksempel 25 eller 9).
2. Så skal du tage roden af ​​kvadrattallet og skriv den resulterende værdi før rodtegnet. Bemærk venligst, at den anden faktor indtastes under rodtegnet.
3. Efter forenklingsprocessen er det nødvendigt at understrege rødderne med de samme radikale udtryk - kun de kan tilføjes og trækkes fra.
4. For rødder med de samme radikale udtryk er det nødvendigt at tilføje eller trække de faktorer, der går forud for rodtegnet. Grundudtrykket forbliver uændret. Lad være med at tilføje eller trække rodnumre fra!

Hvis du har et eksempel med et stort antal identiske radikale udtryk, så understreg sådanne udtryk med enkelte, dobbelte og tredobbelte linjer for at lette beregningsprocessen.

Lad os prøve dette eksempel:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Først skal du dekomponere 50 i 2 faktorer 25 og 2, derefter tage roden af ​​25, hvilket er 5, og tage 5 ud under roden. Derefter skal du gange 5 med 6 (multiplikatoren ved roden) og få 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Først skal du dekomponere 8 i 2 faktorer: 4 og 2. Derefter, fra 4, skal du udtrække roden, som er lig med 2, og tage 2 ud fra under roden. Derefter skal du gange 2 med 2 (faktoren ved roden) og få 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Først skal du dekomponere 12 i 2 faktorer: 4 og 3. Udtræk derefter roden fra 4, som er 2, og tag den ud under roden. Derefter skal du gange 2 med 5 (faktoren ved roden) og få 10 3 .

Resultat af forenkling: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Som et resultat så vi, hvor mange identiske radikale udtryk, der er indeholdt i dette eksempel. Lad os nu øve os med andre eksempler.

• Forenkle (45) . Vi faktoriserer 45: (45) = (9 × 5) ;
• Vi tager 3 ud under roden (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Vi tilføjer faktorerne ved rødderne: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Forenkling 6 40 . Vi faktoriserer 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Vi tager 2 ud under roden (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Vi ganger de faktorer, der er foran roden: 12 10;
• Vi skriver udtrykket i en forenklet form: 12 10 - 3 10 + 5;
• Da de to første led har de samme rodtal, kan vi trække dem fra: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Som vi kan se, er det ikke muligt at forenkle de radikale tal, derfor leder vi i eksemplet efter medlemmer med de samme radikale tal, udfører matematiske operationer (adderer, subtraherer osv.) og skriver resultatet:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Råd:

• Før man tilføjer eller trækker fra, er det bydende nødvendigt at forenkle (hvis muligt) de radikale udtryk.
• Tilføjelse og fratrækning af rødder med forskellige rodudtryk er strengt forbudt.
• Tilføj eller subtraher ikke et heltal eller kvadratrod: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Når du udfører handlinger med brøker, skal du finde et tal, der er fuldstændigt deleligt med hver nævner, derefter bringe brøkerne til en fællesnævner, derefter tilføje tællere og lade nævnerne være uændrede.

Egenskaber for den aritmetiske kvadratrod. Power af den aritmetiske kvadratrod

Konvertering af aritmetiske kvadratrødder. Omregning af aritmetiske kvadratrødder

At udtrække kvadratroden af ​​et polynomium, er det nødvendigt at beregne polynomiet og udtrække roden fra det resulterende tal.

Opmærksomhed! Det er umuligt at udtrække roden fra hvert led (reduceret og subtraheret) separat.

Shchob at vinde kvadratroden af ​​polynomiet, kravet er at beregne den rige led og fra det subtraherede tal at tage roden.

Respekt! Det er umuligt at udvinde roden fra hudtilskuddet (ændret og synligt) OKremo.

For at udtrække kvadratroden af ​​produktet (kvotient), kan du beregne kvadratroden af ​​hver faktor (dividende og divisor) og tage de resulterende værdier af produktet (kvotient).

For at vinde kvadratroden af ​​dobutkaen (dele), kan du beregne kvadratroden af ​​hudmultiplikatoren (delt og dilnik), og fjerne værdien ved at tage en supplerende (hyppig).

At tage kvadratroden af ​​en brøk, skal du udtrække kvadratroden af ​​tælleren og nævneren separat og lade de resulterende værdier være en brøk eller beregne som en kvotient (hvis muligt efter betingelse).

For at vinde kvadratroden af ​​brøken, skal du tage kvadratroden af ​​talbogen og okremoens banner, og fratage værdien af ​​brøken med en brøk, eller tælle den som en del (som det er muligt for sindet).

En faktor kan tages ud under rodtegnet og en faktor kan indføres under rodtegnet. Når en faktor tages ud, udvindes roden fra den, og når den indføres, hæves den til den tilsvarende styrke.

Det 3. rodtegn kan ganges og rodtegnet kan ganges. Med multiplikatorens skyld snoes rødderne, og med introduktionen bygges rødderne ved de højere fødder.

Eksempler. ansøge

For at konvertere summen (forskellen) af kvadratrødder skal du bringe rodudtrykkene til en base af graden, hvis det er muligt, udtrække rødderne fra graderne og skrive dem før røddernes tegn, og de resterende kvadratrødder med de samme rodudtryk kan tilføjes, for hvilke koefficienterne lægges før fortegnsroden og tilføjer den samme kvadratrod.

For at genskabe summen (omkostningerne) af kvadratrødder, er det nødvendigt at bringe rodrødderne til en af ​​trinets baser, da det er muligt, at tage roden af ​​trinene og skrive dem ned før tegnene på rødderne, og løsningen af ​​kvadratrødderne med de samme grundord, som jeg kan sætte sammen til det jeg kan tilføje og tilføje den samme kvadratrod.

Vi bringer alle radikale udtryk til base 2.

Fra en lige grad trækkes roden helt ud, fra en ulige grad efterlades basens rod i grad 1 under rodens tegn.

Vi giver lignende heltal og tilføjer koefficienterne med de samme rødder. Vi skriver binomialet som produktet af et tal og binomialet af summen.

Bring alle underrødder af virazi'en til base 2.

Fra det parrede stadie trækkes rødderne på række, fra det uparrede stadie udfyldes basens rødder i stadie 1 under rodens tegn.

Det foreslås, at lignende tal og koefficienter lægges til de samme rødder. Vi skriver binomialet som et supplement til tallet i i sumi-binomialet.

Vi bringer de radikale udtryk til den mindste base eller produktet af magter med de mindste baser. Vi udvinder roden fra lige grader af radikale udtryk, efterlader resten i form af en base af en grad med en indikator på 1 eller produktet af sådanne baser under rodens tegn. Vi giver lignende udtryk (tilføj koefficienterne for de samme rødder).

Vi fører viraziens rod til den mindste base eller tilføjelse af trin med de mindste baser. Fra de dampende trin under virazens rødder tages rødderne, overskuddet i bunden af ​​trinnet med indikatoren 1 eller tilføjelsen af ​​sådanne baser fyldes under rodens tegn. Vi foreslår lignende udtryk (vi lægger koefficienterne for de samme rødder sammen).

Lad os erstatte divisionen af ​​brøker med multiplikation (med erstatning af den anden brøk med den gensidige). Multiplicer tællere og nævnere hver for sig. Under hvert tegn på roden fremhæver vi graderne. Lad os annullere de samme faktorer i tælleren og nævneren. Vi udvinder rødder fra lige magter.

Vi erstatter divisionen af ​​brøker med en multiplikation (med erstatning af en anden brøk med et afkast). Multiplicer okremo-tal og bannere med brøker. Trin er synlige under hudens tegn på roden. Vi vil fremskynde de samme multiplikatorer i talbogen og banneret. Skyld skylden på roden af ​​tvillingetrinene.

At sammenligne to kvadratrødder, skal deres radikale udtryk reduceres til grader med samme grundtal, så jo mere du viser graderne af det radikale udtryk, jo større værdi af kvadratroden.

I dette eksempel kan radikale udtryk ikke reduceres til én base, da basen er 3 i den første og 3 og 7 i den anden.

Den anden måde at sammenligne på er at indtaste koefficienten for roden i det radikale udtryk og sammenligne de numeriske værdier af de radikale udtryk. For en kvadratrod gælder, at jo større rodudtrykket er, desto større er værdien af ​​roden.

For at matche to kvadratrødder, skal deres underrødder bringes til niveauet med samme grundlag, mens jo større indikatoren for graden af ​​underroden af ​​virussen er, jo større er værdien af ​​kvadratroden.

I dette tilfælde er det ikke muligt at bringe viraziens rodrødder til et grundlag, da grundlaget i den første er 3, og i det andet - 3 og 7.

En anden måde at udligne er at tilføje rodkoefficienten til rodvirasen og udligne de numeriske værdier af rodvirasen. Kvadratroden har mere sub-rod viraz, jo mere værdi af roden.

Ved at bruge den distributive lov om multiplikation og reglen for at multiplicere rødder med de samme eksponenter (i vores tilfælde kvadratrødder), fik vi summen af ​​to kvadratrødder med produktet under rodtegnet. Vi nedbryder 91 i primfaktorer og tager roden ud af parenteser med almindelige radikale faktorer (13 * 5).

Vi har fået produktet af en rod og et binomial, hvor et af monomierne er et helt tal (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny lov om multiplikation og reglen om multiplikation af rødder med de samme indikatorer (i vores tilfælde - kvadratrødder), tog summen af ​​to kvadratrødder med en ekstra rod under rodens tegn. Vi kan lægge 91 multiplikatorer ud i enkle vendinger og tage roden til buerne fra rodmultiplikatorerne (13 * 5).

Vi tog tilføjelsen af ​​en rod og en binær, som har et af mononomierne i hele tallet (1).

Eksempel 9:

I de radikale udtryk udvælger vi med faktorer de tal, som vi kan udtrække hele kvadratroden fra. Vi udtrækker kvadratrødderne fra potenserne og sætter tallene ved kvadratrøddernes koefficienter.

Betingelserne for dette polynomium har en fælles faktor √3, som kan tages ud af parenteserne. Lad os præsentere lignende udtryk.

I underrodsviraser ses det som multiplikatorer af tallet, hvorfra man kan tage kvadratroden. Vi giver trinenes kvadratrødder skylden og sætter tallene ved kvadratrøddernes koefficienter.

Betingelserne for dette polynomium har en fælles multiplikator √3, som kan bebrejdes armene. Vi foreslår lignende tilføjelser.

Produktet af summen og forskellen af ​​to identiske grundtal (3 og √5) kan skrives ved at bruge den forkortede multiplikationsformel som forskellen mellem kvadraterne på grundfladerne.

Kvadratroden i anden er altid lig med det radikale udtryk, så vi slipper for radikalet (rodtegnet) i udtrykket.

Dobutok sum og forskel af to identiske baser (3 і √5) fra formlen for hurtig multiplikation kan skrives som en forskel på kvadratbaser.

Kvadratroden af ​​kvadratet zavzhd er lig med underrodsvirasen, så vi vil kalde virasens radikale (rodtegnet).

Tilbage til skolen. Tilføjelse af rødder

I vores tid med moderne elektroniske computere er det ikke en vanskelig opgave at beregne roden af ​​et tal. For eksempel, √2704=52, vil enhver lommeregner beregne dette for dig. Heldigvis er lommeregneren ikke kun i Windows, men også i en almindelig, selv den mest simple telefon. Sandt nok, hvis du pludselig (med en lille grad af sandsynlighed, hvis beregning i øvrigt inkluderer tilføjelse af rødder) befinder dig uden tilgængelige midler, så bliver du desværre kun nødt til at stole på dine hjerner.

Sindtræning fejler aldrig. Især for dem, der ikke arbejder med tal så ofte, og endnu mere med rødder. At tilføje og trække rødder fra er en god træning for et sind, der keder sig. Og jeg vil vise dig tilføjelsen af ​​rødder trin for trin. Eksempler på udtryk kan være følgende.

Ligningen der skal forenkles er:

Dette er et irrationelt udtryk. For at forenkle det skal du bringe alle de radikale udtryk til en fælles form. Vi gør det i etaper:

Det første tal kan ikke længere forenkles. Lad os gå videre til anden periode.

3√48 faktoriserer vi 48: 48=2×24 eller 48=3×16. Kvadratroden af ​​24 er ikke et heltal, dvs. har en brøkdel rest. Da vi har brug for en nøjagtig værdi, er omtrentlige rødder ikke egnede for os. Kvadratroden af ​​16 er 4, tag den ud under rodtegnet. Vi får: 3×4×√3=12×√3

Vores næste udtryk er negativt, dvs. skrevet med et minustegn -4×√(27.) Factoring 27. Vi får 27=3×9. Vi bruger ikke brøkfaktorer, fordi det er sværere at beregne kvadratroden ud fra brøker. Vi tager 9 ud under skiltet, dvs. udregn kvadratroden. Vi får følgende udtryk: -4×3×√3 = -12×√3

Det næste led √128 beregner den del, der kan tages ud under roden. 128=64×2 hvor √64=8. Hvis det gør det lettere for dig, kan du repræsentere dette udtryk sådan her: √128=√(8^2×2)

Vi omskriver udtrykket med forenklede udtryk:

Nu tilføjer vi tallene med det samme radikale udtryk. Du kan ikke tilføje eller trække udtryk med forskellige radikale udtryk. Tilføjelse af rødder kræver overholdelse af denne regel.

Vi får følgende svar:

√2=1×√2 - Jeg håber, at det er kutyme i algebra at udelade sådanne elementer, vil ikke være nyheder for dig.

Udtryk kan repræsenteres ikke kun med kvadratrødder, men også med terning eller n-te rødder.

Addition og subtraktion af rødder med forskellige eksponenter, men med et ækvivalent rodudtryk, sker som følger:

Hvis vi har et udtryk som √a+∛b+∜b, så kan vi forenkle dette udtryk sådan her:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Vi har reduceret to lignende udtryk til den fælles eksponent for roden. Røddernes egenskab blev brugt her, som siger: hvis tallet på graden af ​​det radikale udtryk og tallet på rodeksponenten ganges med det samme tal, så vil dets beregning forblive uændret.

Bemærk: eksponenter tilføjes kun, når de ganges.

Overvej et eksempel, hvor brøker er til stede i et udtryk.

Lad os løse det trin for trin:

5√8=5*2√2 - vi tager den ekstraherede del ud under roden.

Hvis rodens krop er repræsenteret af en brøk, vil denne brøk ofte ikke ændre sig, hvis kvadratroden af ​​udbyttet og divisor tages. Som et resultat har vi opnået den ovenfor beskrevne ligestilling.

Her er svaret.

Det vigtigste at huske er, at en rod med en lige eksponent ikke udvindes fra negative tal. Hvis et radikalt udtryk i lige grad er negativt, så er udtrykket uløseligt.

Tilføjelsen af ​​rødderne er kun mulig, hvis de radikale udtryk falder sammen, da de er lignende udtryk. Det samme gælder forskellen.

Tilføjelsen af ​​rødder med forskellige numeriske eksponenter udføres ved at reducere begge led til en fælles rodgrad. Denne lov fungerer på samme måde som reduktion til en fællesnævner, når der lægges til eller trækkes fra brøker.

Hvis det radikale udtryk indeholder et tal hævet til en potens, så kan dette udtryk forenkles, forudsat at der er en fællesnævner mellem roden og eksponenten.

Kvadratroden af ​​et produkt og en brøk

Kvadratroden af ​​a er et tal, hvis kvadrat er a. For eksempel er tallene -5 og 5 kvadratrødderne af tallet 25. Det vil sige, at rødderne af ligningen x^2=25 er kvadratrødderne af tallet 25. Nu skal du lære at arbejde med kvadratrodsdrift: studere dens grundlæggende egenskaber.

Kvadratroden af ​​produktet

√(a*b)=√a*√b

Kvadratroden af ​​produktet af to ikke-negative tal er lig med produktet af kvadratrødderne af disse tal. For eksempel, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Det er vigtigt at forstå, at denne egenskab også gælder for det tilfælde, hvor det radikale udtryk er produktet af tre, fire osv. ikke-negative multiplikatorer.

Nogle gange er der en anden formulering af denne egenskab. Hvis a og b er ikke-negative tal, så gælder følgende lighed: √(a*b) =√a*√b. Der er absolut ingen forskel på dem, du kan bruge enten den ene eller den anden formulering (hvilken en er mere praktisk at huske).

Kvadratroden af ​​en brøk

Hvis a>=0 og b>0, så er følgende lighed sand:

√(a/b)=√a/√b.

For eksempel, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Denne egenskab har også en anden formulering, efter min mening, mere praktisk at huske.
Kvadratroden af ​​kvotienten er lig med kvotienten af ​​rødderne.

Det er værd at bemærke, at disse formler fungerer både fra venstre mod højre og fra højre til venstre. Det vil sige, at vi om nødvendigt kan repræsentere produktet af rødderne som produktets rod. Det samme gælder den anden ejendom.

Som du kan se, er disse egenskaber meget praktiske, og jeg vil gerne have de samme egenskaber til addition og subtraktion:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Men desværre er sådanne ejendomme firkantede har ingen rødder, også kan ikke lade sig gøre i beregninger..

• 13. Kørsel gennem trafikkryds 2018 med kommentarer online 13.1. Ved højre- eller venstresving skal føreren vige for fodgængere og cyklister, der krydser den kørebane, som han drejer ind på. Denne instruktion gælder for alle […]
• Forældremøde "Forældres rettigheder, pligter og ansvar" Oplæg til lektionen Download oplæg (536,6 kB) OBS! Forhåndsvisningen af ​​dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle […]
• Regional moderskabshovedstad i Oryol-regionen Regional moderskabshovedstad (MK) i Orel og Oryol-regionen blev etableret i 2011. Nu er det en ekstra foranstaltning af social støtte til store familier i form af en engangs […]
• Størrelsen af ​​en engangsgodtgørelse for tidlig registrering i 2018 Den side, du anmodede om, blev ikke fundet. Du har muligvis indtastet den forkerte adresse, eller siden er blevet fjernet. Brug […]
• Jurist i økonomiske anliggender Kriminalitet i den økonomiske sfære er et ret omfangsrigt begreb. Sådanne aktiviteter omfatter svig, ulovlig forretning, hvidvaskning af penge, ulovlig bankvirksomhed […]
• Pressetjeneste Den Russiske Føderations Centralbank (Ruslands Bank) Pressetjeneste 107016, Moskva, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Ved udnævnelsen af ​​en midlertidig administration oplyser afdelingen for eksterne og offentlige relationer i Bank of Russia, at i overensstemmelse med paragraf 2 […]
• Generelle karakteristika og en kort oversigt over vandveje Klassificering af vandbassiner Klassificeringen af ​​vandbassiner til sejlads af (små) lystbåde, overvåget af GIMS i Rusland, udføres afhængigt af […]
• Kucherena = Viktor Tsois advokat Og dette er et eksklusivt: dagens brev fra Anatoly Kucherena. I forlængelse af emnet. Ingen har offentliggjort dette brev endnu. Og det burde det, synes jeg. Del 1 for nu. Snart vil jeg udgive anden del, underskrevet af den berømte advokat. Hvorfor er det vigtigt? […]