I denne lektion vil vi se på yderligere to operationer med vektorer: krydsprodukt af vektorer Og blandet produkt af vektorer (øjeblikkeligt link til dem der har brug for det). Det er okay, det sker nogle gange, at for fuldstændig lykke, foruden prikprodukt af vektorer, der skal mere og mere til. Sådan er vektorafhængighed. Man kan få det indtryk, at vi er på vej ind i junglen af ​​analytisk geometri. Det er ikke sandt. I dette afsnit af højere matematik er der generelt lidt brænde, undtagen måske nok til Pinocchio. Faktisk er materialet meget almindeligt og enkelt – næppe sværere end det samme skalært produkt, selv der vil være færre typiske opgaver. Det vigtigste inden for analytisk geometri, som mange vil se eller allerede har set, er IKKE AT FEJLGE BEREGNINGER. Gentag som en besværgelse, og du vil blive glad =)

Hvis vektorerne funkler et sted langt væk, som et lyn i horisonten, er det lige meget, start med lektionen Vektorer til dummies at genoprette eller generhverve grundlæggende viden om vektorer. Mere forberedte læsere kan selektivt stifte bekendtskab med informationen, jeg forsøgte at samle den mest komplette samling af eksempler, der ofte findes i praktisk arbejde

Hvad vil gøre dig glad? Da jeg var lille, kunne jeg jonglere med to og endda tre bolde. Det lykkedes godt. Nu er der ingen grund til at jonglere overhovedet, da vi vil overveje kun rumvektorer, og flade vektorer med to koordinater vil blive udeladt. Hvorfor? Sådan blev disse handlinger født - vektoren og det blandede produkt af vektorer er defineret og fungerer i tredimensionelt rum. Allerede nemmere!

I denne operation, på samme måde som i det skalære produkt, to vektorer. Lad det være uforgængelige bogstaver.

Selve handlingen angivet på følgende måde:. Der er andre muligheder, men jeg plejede at betegne krydsproduktet af vektorer på denne måde i firkantede parenteser med et kryds.

Og straks spørgsmål: hvis i prikprodukt af vektorer to vektorer er involveret, og her multipliceres to vektorer også hvad er forskellen? En klar forskel, først og fremmest, i RESULTATET:

Resultatet af skalarproduktet af vektorer er et TAL:

Resultatet af krydsproduktet af vektorer er en VEKTOR: , det vil sige, at vi multiplicerer vektorerne og får en vektor igen. Lukket klub. Faktisk deraf navnet på operationen. I forskellig undervisningslitteratur kan betegnelserne også variere, jeg vil bruge bogstavet .

Definition af krydsprodukt

Først vil der være en definition med et billede, derefter kommentarer.

Definition: krydsprodukt ikke-kollineær vektorer, taget i denne rækkefølge kaldes VECTOR, længde hvilket er numerisk lig med arealet af parallelogrammet, bygget på disse vektorer; vektor ortogonalt på vektorer, og er rettet således, at grundlaget har en rigtig orientering:

Vi analyserer definitionen af ​​knogler, der er mange interessante ting!

Så vi kan fremhæve følgende væsentlige punkter:

1) Kildevektorer, angivet med røde pile, pr. definition ikke collineær. Det vil være passende at overveje tilfældet med kollineære vektorer lidt senere.

2) Vektorer taget i en streng rækkefølge: – "a" ganges med "være", ikke "være" til "a". Resultatet af vektormultiplikation er VEKTOR , som er angivet med blåt. Hvis vektorerne ganges i omvendt rækkefølge, får vi en vektor lige lang og modsat i retningen (karminrød farve). Altså ligestillingen .

3) Lad os nu blive bekendt med den geometriske betydning af vektorproduktet. Dette er en meget vigtig pointe! LÆNGDEN af den blå vektor (og derfor den crimson vektor ) er numerisk lig med OMRÅDET af parallelogrammet bygget på vektorerne . På figuren er dette parallelogram skraveret i sort.

Bemærk : tegningen er skematisk, og selvfølgelig er den nominelle længde af krydsproduktet ikke lig med arealet af parallelogrammet.

Vi husker en af ​​de geometriske formler: arealet af et parallelogram er lig med produktet af tilstødende sider og sinus af vinklen mellem dem. Derfor, baseret på det foregående, er formlen til beregning af LÆNGDEN af et vektorprodukt gyldig:

Jeg understreger, at vi i formlen taler om vektorens LÆNGDE, og ikke om vektoren selv. Hvad er den praktiske betydning? Og betydningen er sådan, at i problemer med analytisk geometri findes arealet af et parallelogram ofte gennem konceptet om et vektorprodukt:

Vi får den anden vigtige formel. Parallelogrammets diagonal (rød stiplet linje) deler det i to lige store trekanter. Derfor kan arealet af en trekant bygget på vektorer (rød skygge) findes ved formlen:

4) En lige så vigtig kendsgerning er, at vektoren er ortogonal på vektorerne, dvs . Selvfølgelig er den modsat rettede vektor (crimson pil) også ortogonal til de originale vektorer.

5) Vektoren er rettet således, at basis Det har højre orientering. I en lektion om overgang til et nyt grundlag Jeg har talt detaljeret om plan orientering, og nu vil vi finde ud af, hvad rummets orientering er. Jeg vil forklare på dine fingre højre hånd . Mentalt kombinere pegefinger med vektor og lange finger med vektor. Ringfinger og lillefinger tryk ind i din håndflade. Som resultat tommelfinger- vektorproduktet vil slå op. Dette er det højreorienterede grundlag (det er på figuren). Skift nu vektorerne ( pege- og langfinger) nogle steder vil tommelfingeren som følge heraf dreje rundt, og vektorproduktet vil allerede se ned. Dette er også et højreorienteret grundlag. Måske har du et spørgsmål: hvilket grundlag har en venstreorientering? "Tildel" de samme fingre venstre hånd vektorer, og få venstre basis og venstre rum orientering (i dette tilfælde vil tommelfingeren være placeret i retning af den nederste vektor). Billedligt talt "vrider" disse baser eller orienterer rummet i forskellige retninger. Og dette koncept bør ikke betragtes som noget fjernt eller abstrakt - for eksempel ændrer det mest almindelige spejl rummets orientering, og hvis du "trækker det reflekterede objekt ud af spejlet", så vil det generelt ikke være muligt at kombinere det med "originalen". Tag i øvrigt tre fingre hen til spejlet og analyser refleksionen ;-)

... hvor er det godt, du nu ved om højre og venstre orienteret baserer, fordi nogle underviseres udtalelser om orienteringsændringen er forfærdelige =)

Vektorprodukt af kollineære vektorer

Definitionen er blevet udarbejdet i detaljer, det er tilbage at finde ud af, hvad der sker, når vektorerne er kollineære. Hvis vektorerne er kollineære, så kan de placeres på én lige linje, og vores parallelogram "folder" også til én lige linje. Området for sådanne, som matematikere siger, degenerere parallelogram er nul. Det samme følger af formlen - sinus af nul eller 180 grader er lig med nul, hvilket betyder at arealet er nul

Så hvis, så . Strengt taget er selve krydsproduktet lig med nulvektoren, men i praksis negligeres dette ofte og skrives, at det blot er lig nul.

Et specialtilfælde er vektorproduktet af en vektor og sig selv:

Ved hjælp af krydsproduktet kan du tjekke kolineariteten af ​​tredimensionelle vektorer, og vi vil også analysere dette problem bl.a.

For at løse praktiske eksempler kan det være nødvendigt trigonometrisk tabel at finde værdierne af sinus fra det.

Nå, lad os starte en ild:

Eksempel 1

a) Find længden af ​​vektorproduktet af vektorer if

b) Find arealet af et parallelogram bygget på vektorer if

Opløsning: Nej, dette er ikke en tastefejl, jeg lavede med vilje de indledende data i tilstandselementerne til de samme. Fordi designet af løsningerne bliver anderledes!

a) Ifølge betingelsen kræves det at finde længde vektor (vektorprodukt). Ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Da der blev spurgt om længden, så angiver vi i svaret dimensionen - enheder.

b) Efter betingelsen kræves det at finde areal parallelogram bygget på vektorer. Arealet af dette parallelogram er numerisk lig med længden af ​​krydsproduktet:

Svar:

Bemærk venligst, at i svaret om vektorproduktet er der slet ingen snak, vi blev spurgt om figur areal dimensionen er henholdsvis kvadratiske enheder.

Vi ser altid på HVAD der skal findes af tilstanden, og ud fra dette formulerer vi klar svar. Det kan virke som bogstavelighed, men der er bogstaveligt talt nok blandt lærerne, og opgaven med gode chancer vender tilbage til revision. Selvom der ikke er tale om en særlig anstrengt nips – hvis svaret er forkert, så får man det indtryk, at personen ikke forstår simple ting og/eller ikke har forstået essensen af ​​opgaven. Dette øjeblik bør altid holdes under kontrol og løse ethvert problem i højere matematik og også i andre fag.

Hvor blev det store bogstav "en" af? I princippet kunne det desuden sidde fast på løsningen, men for at forkorte rekorden gjorde jeg det ikke. Jeg håber, at alle forstår det og er betegnelsen for det samme.

Et populært eksempel på en gør-det-selv-løsning:

Eksempel 2

Find arealet af en trekant bygget på vektorer hvis

Formlen til at finde arealet af en trekant gennem vektorproduktet er givet i kommentarerne til definitionen. Løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

I praksis er opgaven virkelig meget almindelig, trekanter kan generelt blive tortureret.

For at løse andre problemer har vi brug for:

Egenskaber for krydsproduktet af vektorer

Vi har allerede overvejet nogle egenskaber ved vektorproduktet, men jeg vil inkludere dem i denne liste.

For vilkårlige vektorer og et vilkårligt tal er følgende egenskaber sande:

1) I andre informationskilder skelnes denne post normalt ikke i egenskaberne, men den er meget vigtig i praksis. Så lad det være.

2) - ejendommen er også omtalt ovenfor, nogle gange kaldes det antikommutativitet. Med andre ord har rækkefølgen af ​​vektorerne betydning.

3) - kombination eller associativ vektor produkt love. Konstanterne tages let ud af vektorproduktets grænser. Virkelig, hvad laver de der?

4) - distribution el fordeling vektor produkt love. Der er heller ingen problemer med at åbne beslag.

Som en demonstration kan du overveje et kort eksempel:

Eksempel 3

Find evt

Opløsning: Af betingelse er det igen påkrævet at finde længden af ​​vektorproduktet. Lad os male vores miniature:

(1) Ifølge de associative love udtager vi konstanterne ud over vektorproduktets grænser.

(2) Vi tager konstanten ud af modulet, mens modulet "spiser" minustegnet. Længden kan ikke være negativ.

(3) Det følgende er klart.

Svar:

Det er tid til at kaste brænde på bålet:

Eksempel 4

Beregn arealet af en trekant bygget på vektorer hvis

Opløsning: Find arealet af en trekant ved hjælp af formlen . Hagen er, at vektorerne "ce" og "te" i sig selv er repræsenteret som summer af vektorer. Algoritmen her er standard og minder en del om eksempel nr. 3 og 4 i lektionen. Punktprodukt af vektorer. Lad os opdele det i tre trin for klarhedens skyld:

1) Ved det første trin udtrykker vi vektorproduktet gennem vektorproduktet, faktisk, udtrykke vektoren i form af vektoren. Intet ord om længde endnu!

(1) Vi erstatter udtryk for vektorer.

(2) Åbn parenteserne ved hjælp af distributive love i henhold til reglen om multiplikation af polynomier.

(3) Ved hjælp af de associative love udtager vi alle konstanterne ud over vektorprodukterne. Med lidt erfaring kan handling 2 og 3 udføres samtidigt.

(4) Det første og sidste led er lig med nul (nul vektor) på grund af den behagelige egenskab . I det andet udtryk bruger vi vektorproduktets antikommutativitetsegenskab:

(5) Vi præsenterer lignende udtryk.

Som et resultat viste vektoren sig at blive udtrykt gennem en vektor, hvilket var det, der krævedes for at blive opnået:

2) På andet trin finder vi længden af ​​vektorproduktet, vi skal bruge. Denne handling ligner eksempel 3:

3) Find arealet af den ønskede trekant:

Trin 2-3 i løsningen kunne arrangeres i én linje.

Svar:

Det overvejede problem er ret almindeligt i test, her er et eksempel på en uafhængig løsning:

Eksempel 5

Find evt

Kort løsning og svar i slutningen af ​​lektionen. Lad os se, hvor opmærksom du var, da du studerede de tidligere eksempler ;-)

Krydsprodukt af vektorer i koordinater

, givet i det ortonormale grundlag , er udtrykt ved formlen:

Formlen er virkelig enkel: vi skriver koordinatvektorerne i den øverste linje af determinanten, vi "pakker" vektorernes koordinater i anden og tredje linje, og vi sætter i streng rækkefølge- først koordinaterne for vektoren "ve", derefter koordinaterne for vektoren "dobbelt-ve". Hvis vektorerne skal ganges i en anden rækkefølge, skal linjerne også byttes:

Eksempel 10

Tjek om følgende rumvektorer er kollineære:
men)
b)

Opløsning: Testen er baseret på et af udsagn i denne lektion: hvis vektorerne er kollineære, så er deres krydsprodukt nul (nul vektor): .

a) Find vektorproduktet:

Så vektorerne er ikke kollineære.

b) Find vektorproduktet:

Svar: a) ikke collineær, b)

Her er måske al den grundlæggende information om vektorproduktet af vektorer.

Dette afsnit vil ikke være særlig stort, da der er få problemer, hvor det blandede produkt af vektorer bruges. Faktisk vil alt hvile på definitionen, geometrisk betydning og et par arbejdsformler.

Det blandede produkt af vektorer er produktet af tre vektorer:

Sådan stillede de sig op som et tog og venter, de kan ikke vente til de er beregnet.

Først igen definitionen og billedet:

Definition: Blandet produkt ikke-coplanar vektorer, taget i denne rækkefølge, Hedder volumen af ​​parallelepipedet, bygget på disse vektorer, udstyret med et "+"-tegn, hvis basis er højre, og et "-"-tegn, hvis basis er venstre.

Lad os tegne. Linjer, der er usynlige for os, er tegnet med en stiplet linje:

Lad os dykke ned i definitionen:

2) Vektorer taget i en bestemt rækkefølge, det vil sige, at permutationen af ​​vektorer i produktet, som du måske kan gætte, ikke går uden konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer den geometriske betydning, vil jeg bemærke det åbenlyse faktum: det blandede produkt af vektorer er et TAL: . I undervisningslitteraturen kan designet være noget anderledes, jeg plejede at betegne et blandet produkt igennem, og resultatet af beregninger med bogstavet "pe".

Per definition det blandede produkt er volumenet af parallelepipedet, bygget på vektorer (figuren er tegnet med røde vektorer og sorte streger). Det vil sige, at tallet er lig med volumenet af det givne parallelepipedum.

Bemærk : Tegningen er skematisk.

4) Lad os ikke igen bekymre os om konceptet om orienteringen af ​​grundlaget og rummet. Betydningen af ​​den sidste del er, at der kan tilføjes et minustegn til volumen. Enkelt sagt kan det blandede produkt være negativt: .

Formlen til beregning af volumen af ​​et parallelepipedum bygget på vektorer følger direkte af definitionen.

Arealet af et parallelogram bygget på vektorer er lig med produktet af længderne af disse vektorer og vinklen på den vinkel, der ligger mellem dem.

Det er godt, når længderne af de samme vektorer er givet efter betingelserne. Det sker dog også, at det kun er muligt at anvende formlen for arealet af et parallelogram bygget på vektorer efter beregninger på koordinaterne.
Hvis du er heldig, og længderne af vektorerne er givet i henhold til betingelserne, skal du bare anvende formlen, som vi allerede har analyseret i detaljer i artiklen. Arealet vil være lig med produktet af modulerne og sinus af vinklen mellem dem:

Overvej et eksempel på beregning af arealet af et parallelogram bygget på vektorer.

En opgave: Parallelogrammet er bygget på vektorerne og . Find arealet hvis , og vinklen mellem dem er 30°.
Lad os udtrykke vektorerne i form af deres værdier:

Måske har du et spørgsmål - hvor kom nullerne fra? Det er værd at huske på, at vi arbejder med vektorer, og for dem . bemærk også, at hvis vi får et udtryk som resultat, så bliver det konverteret til. Lad os nu lave de endelige beregninger:

Lad os vende tilbage til problemet, når længderne af vektorerne ikke er angivet i betingelserne. Hvis dit parallelogram ligger i det kartesiske koordinatsystem, skal du gøre følgende.

Beregning af længderne af siderne af en figur givet ved koordinater

Til at begynde med finder vi vektorernes koordinater og trækker de tilsvarende startkoordinater fra slutkoordinaterne. Lad os antage koordinaterne for vektoren a (x1;y1;z1) og vektoren b (x3;y3;z3).
Nu finder vi længden af ​​hver vektor. For at gøre dette skal hver koordinat kvadreres, og derefter tilføje resultaterne og udtrække roden fra et endeligt tal. I henhold til vores vektorer vil følgende beregninger blive lavet:


Nu skal vi finde prikproduktet af vores vektorer. For at gøre dette multipliceres og adderes deres respektive koordinater.

Givet længderne af vektorerne og deres prikprodukt, kan vi finde cosinus af vinklen mellem dem.
Nu kan vi finde sinus af samme vinkel:
Nu har vi alle de nødvendige mængder, og vi kan nemt finde arealet af et parallelogram bygget på vektorer ved hjælp af den allerede kendte formel.