I astronomi, når man overvejer bevægelsen af ​​kosmiske kroppe i baner, bruges begrebet "ellipse" ofte, da deres baner er karakteriseret ved netop denne kurve. I artiklen vil vi overveje spørgsmålet om, hvad den markerede figur repræsenterer, og også give formlen for ellipsens længde.

Hvad er en ellipse?

Ifølge den matematiske definition er en ellipse en lukket kurve, for hvilken summen af ​​afstandene fra et hvilket som helst af dets punkter til to andre specifikke punkter, der ligger på hovedaksen, kaldet foci, er en konstant værdi. Nedenfor er en figur, der forklarer denne definition.

På figuren er summen af ​​afstandene PF" og PF lig med 2 * a, det vil sige PF" + PF = 2 * a, hvor F" og F er ellipsens brændpunkter, "a" er længden af sin semi-hovedakse. Segmentet BB" kaldes semi-molaksen, og afstand CB = CB" = b - længden af ​​semi-molaksen. Her bestemmer punkt C figurens centrum.

Billedet ovenfor viser også en simpel metode med reb og to søm, der er meget brugt til at tegne elliptiske kurver. En anden måde at få denne figur på er at udføre den i en hvilken som helst vinkel til dens akse, hvilket ikke er lig med 90 o.

Hvis ellipsen drejes langs en af ​​dens to akser, danner den en tredimensionel figur, som kaldes en sfæroid.

Formel til omkredsen af ​​en ellipse

Selvom den pågældende figur er ret enkel, kan længden af ​​dens omkreds bestemmes nøjagtigt ved at beregne de såkaldte elliptiske integraler af den anden slags. Den selvlærte indiske matematiker Ramanujan foreslog dog i begyndelsen af ​​det 20. århundrede en ret simpel formel for længden af ​​en ellipse, som nærmer sig resultatet af de markerede integraler nedefra. Det vil sige, at værdien af ​​den pågældende værdi beregnet ud fra den vil være lidt mindre end den faktiske længde. Denne formel ser ud som: P ≈ pi *, hvor pi = 3,14 er tallet pi.

Lad for eksempel længderne af ellipsens to halvakser være lig med a = 10 cm og b = 8 cm, så dens længde P = 56,7 cm.

Alle kan kontrollere, at hvis a = b = R, det vil sige en almindelig cirkel betragtes, så reduceres Ramanujans formel til formen P = 2 * pi * R.

Bemærk, at der i skolebøger ofte gives en anden formel: P = pi * (a + b). Det er enklere, men også mindre præcist. Så hvis vi anvender det på det betragtede tilfælde, får vi værdien P = 56,5 cm.

Omkreds er en lukket plan kurve, hvis alle punkter er lige langt fra et givet punkt (cirklens centrum). Afstanden fra ethvert punkt i cirklen \(P\venstre((x,y) \right)\) til dens centrum kaldes radius. Cirklens centrum og selve cirklen ligger i samme plan. Ligning af en cirkel med radius \(R\) med centrum i origo ( kanonisk ligning af en cirkel ) har formen
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Ligning af en cirkel radius \(R\) med centrum i et vilkårligt punkt \(A\venstre((a,b) \højre)\) skrives som
\((\venstre((x - a) \højre)^2) + (\venstre((y - b) \højre)^2) = (R^2)\).



Ligning af en cirkel, der går gennem tre punkter , skrevet i formen: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^ 2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(array)) \right| = 0.\\\)
Her \(A\venstre(((x_1),(y_1)) \højre)\), \(B\venstre(((x_2),(y_2)) \højre)\), \(C\venstre(( (x_3),(y_3)) \right)\) er tre punkter, der ligger på cirklen.



Ligning af en cirkel i parametrisk form
\(\venstre\( \begin(justeret) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
hvor \(x\), \(y\) er koordinaterne for punkterne i cirklen, \(R\) er cirklens radius, \(t\) er parameteren.

Generel ligning af en cirkel
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
underlagt \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Cirklens centrum er placeret i punktet med koordinaterne \(\venstre((a,b) \højre)\), hvor
\(a = - \stor\frac(D)((2A))\normalstørrelse,\;\;b = - \stor\frac(E)((2A))\normalstørrelse.\)
Cirklens radius er
\(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\venstre| A \right|))\normalstørrelse) \)

Ellipse er en plan kurve for hvert punkt, hvoraf summen af ​​afstandene til to givne punkter ( ellipse foci ) er konstant. Afstanden mellem brændpunkterne kaldes brændvidde og er betegnet med \(2c\). Midten af ​​segmentet, der forbinder brændpunkterne, kaldes midten af ​​ellipsen . En ellipse har to symmetriakser: den første eller brændakse, der passerer gennem brændpunkterne, og den anden akse vinkelret på den. Disse aksers skæringspunkter med ellipsen kaldes toppe. Det segment, der forbinder midten af ​​ellipsen med toppunktet, kaldes ellipsens halvakse . Den semi-hovedakse er betegnet med \(a\), den semi-minor-akse med \(b\). En ellipse, hvis centrum er i origo, og hvis halvakser ligger på koordinatlinjer, beskrives ved følgende kanonisk ligning :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalstørrelse + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ normalstørrelse = 1.\)



Summen af ​​afstandene fra ethvert punkt på ellipsen til dens brændpunkter konstant:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
hvor \((r_1)\), \((r_2)\) er afstandene fra et vilkårligt punkt \(P\venstre((x,y) \right)\) til brændpunkterne \((F_1)\) og \((F_2)\), \(a\) er ellipsens semimajor akse.



Forholdet mellem ellipsens halvakser og brændvidden
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
hvor \(a\) er ellipsens semi-hovedakse, \(b\) er semi-molaksen, \(c\) er halvdelen af ​​brændvidden.

Ellipse excentricitet
\(e = \large\frac(c)(a)\normalstørrelse

Ligninger af ellipse-direktirser
En ellipses retning er en ret linje vinkelret på dens brændakse og skærer den i en afstand \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) fra centrum. Ellipsen har to retningslinjer placeret på modsatte sider af midten. Directrix-ligningerne er skrevet i formen
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalstørrelse = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalstørrelse.\)

Ligning af en ellipse i parametrisk form
\(\venstre\( \begin(justeret) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
hvor \(a\), \(b\) er ellipsens halvakser, \(t\) er parameteren.

Generel ellipseligning
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
hvor \((B^2) - 4AC

Generel ligning for en ellipse, hvis halvakser er parallelle med koordinatakserne
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
hvor \(AC > 0\).

Ellipse omkreds
\(L = 4aE\venstre(e \højre)\),
hvor \(a\) er ellipsens semimajor akse, \(e\) er excentriciteten, \(E\) er komplet elliptisk integral af den anden slags.

Tilnærmede formler for omkredsen af ​​en ellipse
\(L \ca. \pi \venstre[ (\large\frac(3)(2)\normalstørrelse\venstre((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \ca. \pi \sqrt (2\venstre(((a^2) + (b^2)) \højre)),\)
hvor \(a\), \(b\) er ellipsens halvakser.

Område af ellipsen
\(S = \pi ab\)

Linjer af anden orden.
Ellipse og dens kanoniske ligning. Cirkel

Efter grundig undersøgelse lige linjer i planet Vi fortsætter med at studere den todimensionelle verdens geometri. Indsatsen er fordoblet, og jeg inviterer dig til at besøge et malerisk galleri af ellipser, hyperbler, paraboler, som er typiske repræsentanter anden ordens linjer. Udflugten er allerede begyndt, og først en kort information om hele udstillingen på forskellige etager i museet:

Begrebet en algebraisk linje og dens rækkefølge

En linje på et fly kaldes algebraisk, hvis i affint koordinatsystem dens ligning har formen , hvor er et polynomium bestående af formens udtryk ( – reelt tal, – ikke-negative heltal).

Som du kan se, indeholder ligningen for en algebraisk linje ikke sinus, cosinus, logaritmer og andre funktionelle beau monde. Kun X'er og Y'er er med ikke-negative heltal grader.

Linjebestilling lig med den maksimale værdi af de vilkår, der er inkluderet i den.

Ifølge den tilsvarende sætning afhænger begrebet en algebraisk linje, såvel som dens rækkefølge, ikke af valget affint koordinatsystem, derfor antager vi, for at lette eksistensen, at alle efterfølgende beregninger finder sted i Cartesiske koordinater.

Generel ligning den anden ordrelinje har formen , hvor – vilkårlige reelle tal (Det er sædvanligt at skrive det med en faktor to), og koefficienterne er ikke lig med nul på samme tid.

Hvis , så forenkles ligningen til , og hvis koefficienterne ikke er lig med nul på samme tid, så er dette nøjagtigt generel ligning af en "flad" linje, som repræsenterer første ordrelinje.

Mange har forstået betydningen af ​​de nye begreber, men ikke desto mindre stikker vi fingrene ind i stikkontakten for at mestre materialet 100 %. For at bestemme linjerækkefølgen skal du gentage alle vilkår dens ligninger og find for hver af dem summen af ​​grader indkommende variable.

For eksempel:

udtrykket indeholder "x" i 1. potens;
udtrykket indeholder "Y" i 1. potens;
Der er ingen variable i udtrykket, så summen af ​​deres potenser er nul.

Lad os nu finde ud af, hvorfor ligningen definerer linjen anden bestille:

udtrykket indeholder "x" i 2. potens;
summand har summen af ​​potenserne af variablerne: 1 + 1 = 2;
udtrykket indeholder "Y" i 2. potens;
alle andre vilkår - mindre grader.

Maksimal værdi: 2

Hvis vi derudover føjer, f.eks., til vores ligning, vil det allerede bestemme tredje ordens linje. Det er indlysende, at den generelle form af 3. ordens linjeligningen indeholder et "fuldt sæt" af termer, hvor summen af ​​potenserne af variablerne er lig med tre:
, hvor koefficienterne ikke er lig med nul på samme tid.

I tilfælde af at du tilføjer et eller flere passende udtryk, der indeholder , så vil vi allerede tale om 4. ordens linjer, etc.

Vi bliver nødt til at støde på algebraiske linjer af 3., 4. og højere orden mere end én gang, især når vi stifter bekendtskab med polære koordinatsystem.

Men lad os vende tilbage til den generelle ligning og huske dens enkleste skolevariationer. Som eksempler opstår en parabel, hvis ligning let kan reduceres til en generel form, og en hyperbel med en tilsvarende ligning. Men ikke alt er så glat...

En væsentlig ulempe ved den generelle ligning er, at det næsten altid er uklart, hvilken linje den definerer. Selv i det enkleste tilfælde vil du ikke umiddelbart indse, at dette er en hyperbole. Sådanne layout er kun gode til en maskerade, så et typisk problem overvejes i løbet af analytisk geometri at bringe 2. ordens linjeligningen til kanonisk form.

Hvad er den kanoniske form af en ligning?

Dette er den almindeligt accepterede standardform for en ligning, når det i løbet af få sekunder bliver klart, hvilket geometrisk objekt det definerer. Derudover er den kanoniske form meget praktisk til at løse mange praktiske opgaver. Altså for eksempel ifølge den kanoniske ligning "flad" lige, for det første er det umiddelbart klart, at dette er en lige linje, og for det andet er punktet tilhørende den og retningsvektoren let synlige.

Det er åbenlyst, at evt 1. ordens linje er en lige linje. På anden sal er det ikke længere vægteren, der venter på os, men et meget mere mangfoldigt selskab med ni statuer:

Klassificering af anden ordens linjer

Ved hjælp af et særligt sæt handlinger reduceres enhver ligning af en andenordens linje til en af ​​følgende former:

(og er positive reelle tal)

1) – ellipsens kanoniske ligning;

2) – kanonisk ligning for en hyperbel;

3) – kanonisk ligning af en parabel;

4) – imaginært ellipse;

5) – et par skærende linjer;

6) - par imaginært skærende linjer (med et enkelt gyldigt skæringspunkt ved oprindelsen);

7) - et par parallelle linjer;

8) - par imaginært parallelle linjer;

9) – et par sammenfaldende linjer.

Nogle læsere kan have indtryk af, at listen er ufuldstændig. For eksempel, i punkt nr. 7, angiver ligningen parret direkte, parallelt med aksen, og spørgsmålet opstår: hvor er ligningen, der bestemmer linjerne parallelle med ordinataksen? Svar på det ikke betragtes som kanonisk. Lige linjer repræsenterer det samme standardtilfælde, roteret 90 grader, og den ekstra indgang i klassifikationen er overflødig, da den ikke bringer noget grundlæggende nyt.

Der er således ni og kun ni forskellige typer af 2. ordens linjer, men i praksis er de mest almindelige ellipse, hyperbel og parabel.

Lad os først se på ellipsen. Som sædvanlig fokuserer jeg på de punkter, der er af stor betydning for løsning af problemer, og hvis du har brug for en detaljeret udledning af formler, beviser for sætninger, henvises du for eksempel til lærebogen af ​​Bazylev/Atanasyan eller Aleksandrov.

Ellipse og dens kanoniske ligning

Stavemåde ... gentag venligst ikke fejlene fra nogle Yandex-brugere, der er interesserede i "hvordan man bygger en ellipse", "forskellen mellem en ellipse og en oval" og "excentriciteten af ​​en ellipse".

Den kanoniske ligning af en ellipse har formen , hvor er positive reelle tal, og . Jeg vil formulere selve definitionen af ​​en ellipse senere, men nu er det tid til at tage en pause fra den snakkende butik og løse et almindeligt problem:

Hvordan bygger man en ellipse?

Ja, bare tag det og tegn det. Opgaven forekommer ofte, og en væsentlig del af eleverne klarer ikke tegningen korrekt:

Eksempel 1

Konstruer ellipsen givet af ligningen

Løsning: Lad os først bringe ligningen til kanonisk form:

Hvorfor bringe? En af fordelene ved den kanoniske ligning er, at den giver dig mulighed for øjeblikkeligt at bestemme ellipsens hjørner, som er placeret på punkter. Det er let at se, at koordinaterne for hvert af disse punkter opfylder ligningen.

I dette tilfælde :


Linjestykke hedder hovedakse ellipse;
linjestykke – mindre akse;
nummer hedder semi-større skaft ellipse;
nummer – mindre akse.
i vores eksempel: .

For hurtigt at forestille sig, hvordan en bestemt ellipse ser ud, skal du bare se på værdierne for "a" og "be" i dens kanoniske ligning.

Alt er fint, glat og smukt, men der er en advarsel: Jeg lavede tegningen ved hjælp af programmet. Og du kan lave tegningen ved hjælp af enhver applikation. Men i den barske virkelighed ligger der et ternet stykke papir på bordet, og mus danser i cirkler på vores hænder. Folk med kunstnerisk talent kan selvfølgelig argumentere, men du har også mus (dog mindre). Det er ikke forgæves, at menneskeheden opfandt linealen, kompasset, vinkelmåleren og andre simple enheder til at tegne.

Af denne grund er det usandsynligt, at vi vil være i stand til nøjagtigt at tegne en ellipse, der kun kender hjørnerne. Det er i orden, hvis ellipsen er lille, for eksempel med halvakser. Alternativt kan du reducere skalaen og dermed dimensionerne på tegningen. Men generelt er det meget ønskeligt at finde yderligere point.

Der er to tilgange til at konstruere en ellipse - geometrisk og algebraisk. Jeg kan ikke lide konstruktion ved hjælp af kompas og lineal, fordi algoritmen ikke er den korteste, og tegningen er betydeligt rodet. I nødstilfælde henvises til lærebogen, men i virkeligheden er det meget mere rationelt at bruge algebraens redskaber. Fra ellipsens ligning i udkastet udtrykker vi hurtigt:

Ligningen opdeles derefter i to funktioner:
– definerer den øvre bue af ellipsen;
– definerer den nederste bue af ellipsen.

Ellipsen defineret af den kanoniske ligning er symmetrisk med hensyn til koordinatakserne, såvel som med hensyn til oprindelsen. Og det er fantastisk - symmetri er næsten altid en varsel om freebies. Det er åbenbart nok at beskæftige sig med 1. koordinatkvartal, så vi har brug for funktionen . Det beder om at blive fundet for yderligere punkter med abscisser . Lad os trykke på tre SMS-beskeder på lommeregneren:

Det er selvfølgelig også rart, at hvis der begås en alvorlig fejl i beregningerne, vil det med det samme vise sig under byggeriet.

Lad os markere punkterne på tegningen (rød), symmetriske punkter på de resterende buer (blå) og forsigtigt forbinde hele virksomheden med en linje:


Det er bedre at tegne den indledende skitse meget tyndt, og først derefter påføre tryk med en blyant. Resultatet skulle være en ganske anstændig ellipse. Vil du i øvrigt gerne vide, hvad denne kurve er?

Definition af en ellipse. Ellipse foci og ellipse excentricitet

En ellipse er et særligt tilfælde af en oval. Ordet "oval" skal ikke forstås i filistersk betydning ("barnet tegnede en oval" osv.). Dette er et matematisk udtryk, der har en detaljeret formulering. Formålet med denne lektion er ikke at overveje teorien om ovaler og deres forskellige typer, som praktisk talt ikke gives opmærksomhed i standardforløbet for analytisk geometri. Og i overensstemmelse med mere aktuelle behov går vi straks videre til den strenge definition af en ellipse:

Ellipse er mængden af ​​alle punkter i planen, summen af ​​afstandene til hver af dem fra to givne punkter, kaldet tricks ellipse, er en konstant størrelse, numerisk lig med længden af ​​denne ellipses hovedakse:.
I dette tilfælde er afstanden mellem fokuserne mindre end denne værdi: .

Nu bliver alt tydeligere:

Forestil dig, at den blå prik "rejser" langs en ellipse. Så uanset hvilket punkt af ellipsen vi tager, vil summen af ​​længderne af segmenterne altid være den samme:

Lad os sikre os, at værdien af ​​summen i vores eksempel virkelig er lig med otte. Mentalt placer punktet "um" ved ellipsens højre toppunkt, så: , hvilket er det, der skulle kontrolleres.

En anden metode til at tegne det er baseret på definitionen af ​​en ellipse. Højere matematik er nogle gange årsagen til spændinger og stress, så det er tid til endnu en aflæsningssession. Tag venligst whatman-papir eller et stort ark pap og sæt det fast på bordet med to søm. Det vil være tricks. Bind en grøn tråd til de udragende neglehoveder og træk den hele vejen med en blyant. Blyantsledningen vil ende på et bestemt punkt, der hører til ellipsen. Begynd nu at flytte blyanten langs stykket papir, mens du holder den grønne tråd stram. Fortsæt processen indtil du vender tilbage til udgangspunktet... super... tegningen kan tjekkes af læge og lærer =)

Hvordan finder man brændpunkterne for en ellipse?

I ovenstående eksempel skildrede jeg "færdige" fokuspunkter, og nu vil vi lære at udtrække dem fra geometriens dybder.

Hvis en ellipse er givet ved en kanonisk ligning, har dens foci koordinater , hvor er det afstand fra hvert fokus til ellipsens symmetricentrum.

Beregningerne er enklere end simple:

! De specifikke koordinater af foci kan ikke identificeres med betydningen af ​​"tse"! Jeg gentager, at dette er AFSTAND fra hvert fokus til midten(hvilket i det almindelige tilfælde ikke behøver at være placeret nøjagtigt ved oprindelsen).
Og derfor kan afstanden mellem brændpunkterne heller ikke bindes til ellipsens kanoniske position. Med andre ord kan ellipsen flyttes til et andet sted, og værdien forbliver uændret, mens brændpunkterne naturligt vil ændre deres koordinater. Tag venligst højde for dette, når du udforsker emnet yderligere.

Ellipseexcentricitet og dens geometriske betydning

Excentriciteten af ​​en ellipse er et forhold, der kan tage værdier inden for området.

I vores tilfælde:

Lad os finde ud af, hvordan formen på en ellipse afhænger af dens excentricitet. For det fastgør venstre og højre hjørner af den betragtede ellipse, det vil sige, at værdien af ​​halvhovedaksen forbliver konstant. Så vil excentricitetsformlen have formen: .

Lad os begynde at bringe excentricitetsværdien tættere på enhed. Dette er kun muligt hvis . Hvad betyder det? ...husk trickene . Det betyder, at ellipsens foci vil "bevæge sig fra hinanden" langs abscisseaksen til sidespidserne. Og da "de grønne segmenter ikke er gummi", vil ellipsen uundgåeligt begynde at flade ud og blive til en tyndere og tyndere pølse spændt på en akse.

Dermed, jo tættere ellipsens excentricitetsværdi er på enhed, jo mere forlænget er ellipsen.

Lad os nu modellere den modsatte proces: ellipsens brændpunkter gik hen imod hinanden og nærmede sig midten. Dette betyder, at værdien af ​​"ce" bliver mindre og mindre, og derfor har excentriciteten en tendens til nul: .
I dette tilfælde vil de "grønne segmenter" tværtimod "blive overfyldte", og de vil begynde at "skubbe" ellipselinjen op og ned.

Dermed, Jo tættere excentricitetsværdien er på nul, jo mere ligner ellipsen... se på det begrænsende tilfælde, når fokuspunkterne er succesfuldt genforenet ved oprindelsen:

En cirkel er et specialtilfælde af en ellipse

Faktisk, i tilfælde af lighed af halvakserne, antager den kanoniske ligning af ellipsen formen , som refleksivt transformeres til ligningen af ​​en cirkel med et centrum ved begyndelsen af ​​radius "a", velkendt fra skolen.

I praksis bruges notationen med det "talende" bogstav "er" oftere: . Radius er længden af ​​et segment, hvor hvert punkt i cirklen er fjernet fra midten med en radiusafstand.

Bemærk, at definitionen af ​​en ellipse forbliver fuldstændig korrekt: brændpunkterne falder sammen, og summen af ​​længderne af de sammenfaldende segmenter for hvert punkt på cirklen er en konstant. Da afstanden mellem brændpunkterne er , så excentriciteten af ​​enhver cirkel er nul.

Det er nemt og hurtigt at konstruere en cirkel, brug blot et kompas. Men nogle gange er det nødvendigt at finde ud af koordinaterne for nogle af dets punkter, i dette tilfælde går vi den velkendte vej - vi bringer ligningen til den muntre Matanov-form:

– funktion af den øvre halvcirkel;
– funktion af den nederste halvcirkel.

Så finder vi de nødvendige værdier, differentiere, integrere og gør andre gode ting.

Artiklen er selvfølgelig kun til reference, men hvordan kan du leve i verden uden kærlighed? Kreativ opgave til selvstændig løsning

Eksempel 2

Sammensæt den kanoniske ligning for en ellipse, hvis en af ​​dens foci og semi-molakse er kendt (centret er i origo). Find toppunkter, yderligere punkter og tegn en streg i tegningen. Beregn excentricitet.

Løsning og tegning i slutningen af ​​lektionen

Lad os tilføje en handling:

Roter og paralleloversætte en ellipse

Lad os vende tilbage til ellipsens kanoniske ligning, nemlig til tilstanden, hvis mysterium har plaget nysgerrige sind siden den første omtale af denne kurve. Så vi kiggede på ellipsen , men er det i praksis ikke muligt at opfylde ligningen ? Her ser det dog også ud til at være en ellipse!

Denne form for ligning er sjælden, men den kommer på tværs. Og det definerer faktisk en ellipse. Lad os afmystificere:

Som et resultat af konstruktionen blev vores oprindelige ellipse opnået, roteret 90 grader. Det er, - Det her ikke-kanonisk indgang ellipse . Optage!- ligningen definerer ikke nogen anden ellipse, da der ikke er nogen punkter (foci) på aksen, der ville opfylde definitionen af ​​en ellipse.

I astronomi, når man overvejer bevægelsen af ​​kosmiske kroppe i baner, bruges begrebet "ellipse" ofte, da deres baner er karakteriseret ved netop denne kurve. I artiklen vil vi overveje spørgsmålet om, hvad den markerede figur repræsenterer, og også give formlen for ellipsens længde.

Hvad er en ellipse?

Ifølge den matematiske definition er en ellipse en lukket kurve, for hvilken summen af ​​afstandene fra et hvilket som helst af dets punkter til to andre specifikke punkter, der ligger på hovedaksen, kaldet foci, er en konstant værdi. Nedenfor er en figur, der forklarer denne definition.

Du kan være interesseret i:

På figuren er summen af ​​afstandene PF" og PF lig med 2 * a, det vil sige PF" + PF = 2 * a, hvor F" og F er ellipsens brændpunkter, "a" er længden af sin semi-hovedakse. Segmentet BB" kaldes semi-molaksen, og afstand CB = CB" = b - længden af ​​semi-molaksen. Her bestemmer punkt C figurens centrum.

Billedet ovenfor viser også en simpel metode med reb og to søm, der er meget brugt til at tegne elliptiske kurver. En anden måde at opnå denne figur på er at skære keglen i en vilkårlig vinkel til dens akse, hvilket ikke er lig med 90o.

Hvis ellipsen drejes langs en af ​​dens to akser, danner den en tredimensionel figur, som kaldes en sfæroid.

Formel til omkredsen af ​​en ellipse

Selvom den pågældende figur er ret enkel, kan længden af ​​dens omkreds bestemmes nøjagtigt ved at beregne de såkaldte elliptiske integraler af den anden slags. Den selvlærte indiske matematiker Ramanujan foreslog dog i begyndelsen af ​​det 20. århundrede en ret simpel formel for længden af ​​en ellipse, som nærmer sig resultatet af de markerede integraler nedefra. Det vil sige, at værdien af ​​den pågældende værdi beregnet ud fra den vil være lidt mindre end den faktiske længde. Denne formel ser ud som: P ≈ pi *, hvor pi = 3,14 er tallet pi.

Lad for eksempel længderne af ellipsens to halvakser være lig med a = 10 cm og b = 8 cm, så dens længde P = 56,7 cm.

Alle kan kontrollere, at hvis a = b = R, det vil sige en almindelig cirkel betragtes, så reduceres Ramanujans formel til formen P = 2 * pi * R.

Bemærk, at der i skolebøger ofte gives en anden formel: P = pi * (a + b). Det er enklere, men også mindre præcist. Så hvis vi anvender det på det betragtede tilfælde, får vi værdien P = 56,5 cm.

Vi inviterer dig til at prøve den mest alsidige

bedst

på internettet. Vores

ellipse perimeter lommeregner online

vil ikke kun hjælpe dig med at finde

ellipse omkreds

på flere måder

afhængig af de kendte data, men vil også vise

detaljeret løsning

. Derfor dette

ellipse perimeter lommeregner online

Det er praktisk at bruge ikke kun til hurtige beregninger, men også til at kontrollere dine beregninger.

Ellipse perimeter lommeregner online

, præsenteret på vores hjemmeside, er et underafsnit

online lommeregner til omkredsen af ​​geometriske former

. Det er derfor, du ikke kun kan

indstille beregningsnøjagtigheden

, men også tak

nem navigation

vores

online lommeregner

, uden ekstra indsats, fortsæt til beregningen

omkreds

nogen af ​​følgende geometriske former: trekant, rektangel, firkant, parallelogram, rombe, trapez, cirkel, sektor af en cirkel, regulær polygon.

Du kan også bogstaveligt talt gå til

online lommeregner til området med geometriske former

og beregne

firkant

trekant

,

rektangel

,

firkant

,

parallelogram

,

rombe

,

trapez

,

cirkel

,

ellipse

,

sektorer af cirklen

,

regulær polygon

også på flere måder

og med

detaljeret løsning

.

Ellipse

er en lukket kurve på et plan, der kan opnås som skæringspunktet mellem et plan og en cirkulær

cylinder

, eller som en ortogonal projektion

cirkel

til flyet.

Cirkel

er et særligt tilfælde

ellipse

. Sammen med

hyperbole

Og

parabel

,

ellipse

er

konisk snit

Og

kvadrisk

.

ellipse

skæres af to parallelle linjer, derefter det segment, der forbinder midtpunkterne af segmenterne dannet ved skæringspunktet mellem linjerne og

ellipse

, vil altid passere igennem

midten af ​​ellipsen

. Denne egenskab gør det muligt, ved at konstruere ved hjælp af kompas og lineal, at opnå

ellipse centrum

.

Evoluta

ellipse

Der er

asteroide

, som strækkes langs den korte akse.

Bruger dette

Du kan gøre

beregning af ellipseomkreds

på følgende måder:

-

beregning af omkredsen af ​​en ellipse gennem to halvakser

;

-

beregning af omkredsen af ​​en ellipse gennem to akser

.

Bruger også

online ellipse perimeter lommeregner

Du kan vise alle muligheder præsenteret på webstedet

at beregne omkredsen af ​​en ellipse

.

Du vil kunne lide det

ellipse perimeter lommeregner online

eller ej, så efterlad stadig kommentarer og forslag. Vi er klar til at analysere enhver kommentar om arbejdet

online ellipse perimeter lommeregner

og gøre det bedre. Vi vil være glade for at se enhver positiv kommentar og taknemmelighed, da dette ikke er andet end en bekræftelse af, at vores arbejde og vores indsats er berettiget, og