Շատ հաճախ կոտորակի համարիչը և հայտարարը հանրահաշվական արտահայտություններ են, որոնք նախ պետք է բաժանել գործոնների, այնուհետև, գտնելով նույնը նրանց մեջ, բաժանել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը, այսինքն՝ կրճատել կոտորակը: 7-րդ դասարանի հանրահաշիվ դասագրքի մի ամբողջ գլուխ նվիրված է բազմանդամի ֆակտորիզացման առաջադրանքներին: Ֆակտորինգ կարելի է անել 3 ճանապարհ, ինչպես նաև այս մեթոդների համակցությունը։

1. Բազմապատկման կրճատ բանաձեւերի կիրառում

Ինչպես հայտնի է բազմանդամը բազմապատկել բազմանդամով, անհրաժեշտ է մեկ բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամը բազմապատկել մյուս բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով և ավելացնել ստացված արտադրյալները։ Հայեցակարգում ներառված են բազմանդամների բազմապատկման առնվազն 7 (յոթ) ընդհանուր դեպքեր: Օրինակ,

Աղյուսակ 1. Ֆակտորիզացիա 1-ին ճանապարհով

2. Ընդհանուր գործոնը փակագծից հանելը

Այս մեթոդը հիմնված է բազմապատկման բաշխիչ օրենքի կիրառման վրա։ Օրինակ,

Բնօրինակ արտահայտության յուրաքանչյուր տերմինը բաժանում ենք այն գործակցի վրա, որը հանում ենք, և միևնույն ժամանակ ստանում ենք փակագծերի արտահայտությունը (այսինքն՝ եղածը մեր հանածի վրա բաժանելու արդյունքը մնում է փակագծերում)։ Նախևառաջ անհրաժեշտ է ճիշտ որոշել բազմապատկիչը, որը պետք է փակագծված լինի։

Փակագծերում բազմանդամը կարող է նաև ընդհանուր գործոն լինել.

«Factorize» առաջադրանքը կատարելիս պետք է հատկապես զգույշ լինել ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելիս նշանների նկատմամբ։ Փակագծում յուրաքանչյուր անդամի նշանը փոխելու համար (բ - ա), հանում ենք ընդհանուր գործոնը -1 , մինչդեռ փակագծում յուրաքանչյուր անդամ բաժանվում է -1-ի. (բ - ա) = - (ա - բ) .

Այն դեպքում, երբ փակագծերում արտահայտությունը քառակուսի է (կամ ցանկացած նույնիսկ հզորության), ապա փակագծերում գտնվող թվերը կարող են փոխանակվել բոլորովին անվճար, քանի որ փակագծերից հանված մինուսները բազմապատկելիս դեռ կվերածվեն գումարածի. (բ - ա) 2 = (ա - բ) 2, (բ - ա) 4 = (ա - բ) 4 և այլն…

3. Խմբավորման մեթոդ

Երբեմն արտահայտության մեջ ոչ բոլոր տերմիններն ունեն ընդհանուր գործոն, այլ միայն որոշները: Ապա դուք կարող եք փորձել խմբային պայմաններ փակագծերում, որպեսզի յուրաքանչյուրից որոշ գործոն հանվի: Խմբավորման մեթոդընդհանուր գործոնների կրկնակի փակագծում է:

4. Միանգամից մի քանի մեթոդների կիրառում

Երբեմն պետք է կիրառել ոչ թե մեկ, այլ մի քանի եղանակ՝ բազմանդամը գործակիցների միանգամից վերածելու համար:

Սա թեմայի ամփոփումն է։ «Ֆակտորիզացիա». Ընտրեք հաջորդ քայլերը.

• Անցեք հաջորդ վերացականին.

Նյութը համախմբելու համար կդիտարկվեն մի քանի օրինակներ և կդիտարկվեն կոտորակների ամենապարզների տարրալուծման տեսությունը: Մենք մանրամասն կդիտարկենք անորոշ գործակիցների մեթոդը և մասնակի արժեքների մեթոդը, կուսումնասիրենք բոլոր հնարավոր համակցությունները։

Պարզ կոտորակները կոչվում են տարրական կոտորակներ:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Կոտորակներն առանձնացնում են.

1. A x - a;
2. A (x - a) n;
3. M x + N x 2 + p x + q;
4. M x + N (x 2 + p x + q) n .

A , M , N , a , p , q թվեր են, իսկ 3 և 4 կոտորակների դիսկրիմինանտը փոքր է զրոյից, այսինքն՝ արտահայտությունն արմատներ չունի։

Երբ արտահայտությունը պարզեցվում է, հաշվողական գործառույթներն ավելի արագ են կատարվում: Կոտորակի ռացիոնալ կոտորակի ներկայացումը որպես պարզ կոտորակների գումարի նման է: Դա անելու համար Laurent շարքերը օգտագործվում են հզորության շարքերի ընդլայնման կամ ինտեգրալների որոնման համար:

Օրինակ, եթե ձեզ անհրաժեշտ է վերցնել ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x ձևի կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալը: Դրանից հետո անհրաժեշտ է ինտեգրանդը ընդլայնել պարզ կոտորակների։ Այս ամենը հանգեցնում է պարզ ինտեգրալների առաջացմանը։ Մենք դա հասկանում ենք

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ∫ d (x 2 + 1) x 2 + 1 - 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan (x) + Գ

Օրինակ 1

Ընդարձակեք ձևի մի մասը՝ 2 x + 3 x 3 + x:

Լուծում

Երբ բազմանդամի համարիչի աստիճանը պակաս է հայտարարի բազմանդամի աստիճանից, տեղի է ունենում տարրալուծում պարզ կոտորակների։ Հակառակ դեպքում, բաժանումն օգտագործվում է ամբողջ թվի մասի մեկուսացման համար, որից հետո կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան ընդլայնվում է։

Եկեք օգտագործենք բաժանումը անկյան վրա: Մենք դա հասկանում ենք

Սրանից հետևում է, որ կոտորակը կընդունի ձևը

2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Սա նշանակում է, որ նման տարրալուծումը կհանգեցնի նրան, որ արդյունքը հավասար կլինի - 2 x + 3 x 3 + x:

Անորոշ գործակիցների մեթոդի ալգորիթմ

Որպեսզի ճիշտ քայքայվի, դուք պետք է հետևեք մի քանի կետերի.

• Կատարել ֆակտորիզացիա: կարող եք կիրառել փակագծեր, կրճատված բազմապատկման բանաձևեր, արմատային ընտրություն: Գոյություն ունեցող x 3 + x \u003d x x 2 + 1 օրինակը պարզության համար հանում է x-ը փակագծերից:
• Կոտորակի տարրալուծումը պարզ կոտորակների՝ անորոշ գործակիցներով:

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Օրինակ 2

Երբ հայտարարը պարունակում է (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) ձևի արտահայտություն, գործոնների թիվը նշանակություն չունի, կոտորակը կարող է ներկայացվել որպես առաջին տիպի կոտորակ: A x - a + B x - b + C x - c + D x - d , որտեղ a , b , c և d թվեր են, A , B , C և D չսահմանված գործակիցներ:

Օրինակ 3

Երբ հայտարարն ունի (x - a) 2 (x - b) 4 (x - c) 3 արտահայտությունը, գործոնների թիվը նույնպես նշանակություն չունի, և կոտորակն ինքնին պետք է կրճատվի ձևի երկրորդ կամ առաջին տեսակի: :

A 2 x - a 2 + A 1 x - a + B 4 x - b 4 + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + C 3 x - c 3 + C 2 x - c 2 + C 1 x - c

որտեղ առկա են a , b , c թվերը, իսկ A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , C 1 , C 2 , C 3 անորոշ գործակիցներ են: Որքա՞ն է բազմանդամի աստիճանը, մենք ունենք այդպիսի թվով անդամներ.

Օրինակ 4

Երբ հայտարարը x 2 + p x + q x 2 + r x + s է, ապա քառակուսի ֆունկցիաների թիվը նշանակություն չունի, և կոտորակը ստանում է երրորդ տիպի P x + Q x 2 + p x + q ձևը: + R x + S x 2 + r x + s , որտեղ առկա p , q , r և s թվերը թվեր են, իսկ P , Q , R և S որոշակի գործակիցներ:

Օրինակ 5

Երբ հայտարարն ունի x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2 ձևը, ապա գործոնների քանակը և դրանց աստիճանները կարևոր չեն, կոտորակը ներկայացված է ձևի երրորդ և քառյակի տեսքով:

P 4 x + Q 4 (x 2 + p x + q) 4 + P 3 x + Q 3 (x 2 + p x + q) 3 + P 2 x + Q 2 (x 2 + p x + q) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 (x 2 + r x + s) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s

որտեղ առկա են p, q, r և s թվեր, իսկ P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , R 1 , R 2 , S 1 , S 2 անորոշ գործակիցներ են։

Օրինակ 6

Երբ կա (x - a) (x - b) 3 (x 2 + p x + q) (x 2 + r x + s) 2 ձևի հայտարար, ապա կոտորակը պետք է ներկայացվի որպես չորրորդ տեսակ.

A x - a + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s

Որպես օրինակ վերցնենք կոտորակը։ Երբ կոտորակը ընդլայնվում է երրորդ տիպով գումարի մեջ 2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1, որտեղ A , B և C-ն անորոշ գործակիցներ են:

Անորոշ գործակցի առկայության դեպքում պարզ կոտորակների ստացված գումարը կրճատելով ընդհանուր հայտարարի վրա՝ մենք կիրառում ենք խմբավորման մեթոդը x-ի նույն հզորությունների համար և ստանում ենք, որ

2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A (x 2 + 1) + (B x + C) x x ( x 2 + 1) = A x 2 + A + B x 2 + C x x (x 2 + 1) = = x 2 (A + B) + x C + A x (x 2 + 1)

Երբ x-ը տարբերվում է 0-ից, ապա լուծումը հանգում է երկու բազմանդամների հավասարմանը: Մենք ստանում ենք 2 x - 3 = x 2 (A + B) + x C + A: Բազմանդամները համարվում են հավասար, երբ նույն հզորությունների գործակիցները նույնն են:

• Գործակիցների հավասարում x-ի նույն հզորություններին: Մենք ստանում ենք, որ գծային հավասարումների համակարգը որոշակի գործակիցների առկայության դեպքում.
  A + B = 0 C = 2 A = - 3
• Ստացված համակարգի լուծումը անորոշ գործակիցներ գտնելու ցանկացած մեթոդի միջոցով՝ A + B = 0 C = 2 A = - 3 ⇔ A = - 3 B = 3 C = 2
• Պատասխանի գրանցում.
  2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x (x 2 + 1) = = 2 - A x + B x + C x 2 + 1 = 2 - - 3x + 3x + 2x 2 + 1 = 2 + 3x - 3x + 2x 2 + 1

Պետք է անընդհատ ստուգել. Սա նպաստում է նրան, որ ընդհանուր հայտարարի կրճատումը ձևավորվի

2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x (x 2 + 1) - (3 x + 2) x x (x 2 + 1) = 2 x 3 + 3 x 3 + x

Անորոշ գործակիցների մեթոդը համարվում է կոտորակի այլ պարզերի տարրալուծման եղանակ։

Մասնակի արժեքի մեթոդի օգտագործումը նպաստում է գծային գործոնների ներկայացմանը հետևյալ կերպ.

x - a x - b x - c x - d.

Օրինակ 7

Ընդարձակեք կոտորակը 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x:

Լուծում

Պայմանով ունենք, որ համարիչ բազմանդամի աստիճանը պակաս է հայտարարի բազմանդամի աստիճանից, ապա բաժանումն անհրաժեշտ չէ։ Պետք է անցնել ֆակտորիզացիայի։ Նախ պետք է փակագծերից հանել x-ը: Մենք դա հասկանում ենք

x 3 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6)

Քառակուսի եռանկյունը x 2 - 5 x + 6 ունի արմատներ, որոնք հայտնաբերվում են ոչ թե դիսկրիմինանտով, այլ Վիետայի թեորեմով: Մենք ստանում ենք.

x 1 + x 2 = 5 x 1 x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2

Եռանկյունը կարելի է գրել x 2 - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2) .

Այնուհետև հայտարարը կփոխվի՝ x 2 - 5 x 2 + 6 x \u003d x (x 2 - 5 x + 6) \u003d x (x - 3) (x - 2)

Ունենալով նման հայտարար՝ կոտորակը տարրալուծում ենք պարզ կոտորակների՝ անորոշ գործակիցներով։ Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.

2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2

Ստացված արդյունքը պետք է հասցվի ընդհանուր հայտարարի: Այնուհետև մենք ստանում ենք.

2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2 = = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2)

Պարզեցումից հետո մենք հասնում ենք ձևի անհավասարությանը

2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2) ⇒ ⇒ 2 x 2 - x - 7 = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)

Այժմ մենք դիմում ենք անորոշ գործակիցների որոնմանը: Ստացված արժեքները անհրաժեշտ է փոխարինել հավասարության մեջ, որպեսզի հայտարարը վերածվի զրոյի, այսինքն՝ x \u003d 0, x \u003d 2 և x \u003d 3 արժեքները:

Եթե ​​x = 0, մենք ստանում ենք.

2 0 2 - 0 - 7 = A (0 - 3) (0 - 2) + B 0 (0 - 2) + C 0 (0 - 3) - 7 = 6 A ⇒ A = - 7 6

Եթե ​​x = 2, ապա

2 2 2 - 2 - 7 = A (2 - 3) (2 - 2) + B 2 (2 - 2) + C 2 (2 - 3) - 1 = - 2 C ⇒ C = 1 2

Եթե ​​x = 3, ապա

2 3 2 - 3 - 7 = A (3 - 3) (3 - 2) + B 3 (3 - 2) + C 3 (3 - 3) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3

Պատասխան. 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = A x + B x - 3 + C x - 2 = - 7 6 1 x + 8 3 1 x - 3 + 1 2 1 x - 2

Գործակիցների մեթոդը և մասնակի արժեքների մեթոդը տարբերվում են միայն անհայտների հայտնաբերման եղանակով: Այս մեթոդները կարող են համակցվել արտահայտությունը արագ պարզեցնելու համար:

Օրինակ 8

Ընդարձակեք x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 արտահայտությունը պարզ կոտորակների:

Լուծում

Պայմանով ունենք, որ բազմանդամի համարիչի աստիճանը փոքր է հայտարարից, ինչը նշանակում է, որ տարրալուծումը կունենա ձև.

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3

Մենք կրճատում ենք կատարում ընդհանուր հայտարարի. Մենք դա ունենք

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3 ) 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3

Հավասարեցրե՛ք համարիչները և ստացանք դա

x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2

Վերոնշյալից պարզ է դառնում, որ հայտարարի զրոներն են x \u003d 1, x \u003d - 1 և x \u003d 3: Այնուհետեւ կիրառում ենք մասնակի լուծումների մեթոդը։ Դա անելու համար փոխարինեք x-ի արժեքները: մենք ստանում ենք, որ եթե x=1:

5 = - 16 A ⇒ A = 5 16

Եթե ​​x = - 1

15 = 128 B ⇒ B = - 15 128

157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8

Դրանից բխում է, որ անհրաժեշտ է գտնել C 1 և C 3 արժեքները:

Հետևաբար, ստացված արժեքը փոխարինում ենք համարիչով, այնուհետև

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = = 5 16 (x + 1) (x - 3) 3 - 15 128 (x - 1) (x - 3) 3 + 157 8 (x - 1) (x + 1) + + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2

Բացենք փակագծերը, որպեսզի բերենք նույն աստիճաններով նման տերմիններ։ Մենք հասնում ենք ձևի արտահայտմանը

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 + + x 2 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 - C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128

Անհրաժեշտ է համապատասխան գործակիցները հավասարեցնել նույն հզորություններին, ապա կարող ենք գտնել C 1 և C 3-ի ցանկալի արժեքը։ Այժմ մենք պետք է լուծենք համակարգը.

25 128 + C 1 = 1 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 = 3 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 - C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128 = 11

Առաջին հավասարումը հնարավորություն է տալիս գտնել C 1 \u003d 103 128, իսկ երկրորդը C 2 \u003d 3 + 85 64 + 6 C 1 \u003d 3 + 85 64 + 6 103 128 \u003d 293 32:

Լուծման արդյունքը ֆրակցիայի ցանկալի տարրալուծումն է ամենապարզ տեսակների.

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C 3 x - 3 3 + C 2 x - 3 2 + C 1 x - 3 = = 5 16 1 x - 1 - 15 128 1 x + 1 + 157 8 1 x - 3 3 + 293 32 1 x - 3 2 + 103 128 1 x - 3

Նշում

Անորոշ գործակիցների մեթոդի ուղղակի կիրառմամբ անհրաժեշտ կլինի լուծել բոլոր հինգ գծային հավասարումները՝ միավորված համակարգում: Այս մեթոդը հեշտացնում է փոփոխականների արժեքի որոնումը և ագրեգատում հետագա որոշումը: Երբեմն օգտագործվում են մի քանի մեթոդներ. Սա անհրաժեշտ է ամբողջ արտահայտությունը արագ պարզեցնելու և արդյունքը գտնելու համար:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս դասում կդիտարկվեն հանրահաշվական կոտորակները գումարել-հանելիս հայտարարը գործակիցների վերածելու տարբեր եղանակներ: Փաստորեն, մենք կհիշենք այն մեթոդները, որոնք արդեն ուսումնասիրվել են ավելի վաղ: Սա ներառում է ընդհանուր գործակիցը փակագծերից հանելը և տերմինների խմբավորումը և կրճատված բազմապատկման բանաձևերի օգտագործումը, ինչպես նաև ամբողջ քառակուսու ընդգծումը: Այս բոլոր մեթոդներն օգտագործվում են տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակներ գումարելու և հանելու համար։ Դասի շրջանակներում մենք կհիշենք վերը նշված բոլոր կանոնները, ինչպես նաև կվերլուծենք այս կանոնների կիրառման օրինակները:

Հիշեցնենք, որ արտահայտությունը կոչվում է հանրահաշվական կոտորակ, որտեղ կան բազմանդամներ: Իսկ բազմանդամները կարող են և պետք է կարողանան ֆակտորիզացնել: Ենթադրենք, մեզ պետք է գումարել կամ հանել երկու հանրահաշվական կոտորակներ.

Ո՞րն է մեր գործողությունների ալգորիթմը:

1. Փոքրացնել կամ պարզեցնել կոտորակներից յուրաքանչյուրը:

2. Գտի՛ր երկու կոտորակի ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը:

Այս գործողությունները պահանջում են ֆակտորինգային բազմանդամներ:

Դիտարկենք կոտորակների կրճատման (պարզեցման) մի քանի օրինակ:

Օրինակ 1Պարզեցնել.

Լուծում:

Առաջին բանը, որ պետք է փորձել անել կրճատելիս, ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելն է:

Մեր դեպքում և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը ունեն գործոններ, որոնք կարելի է փակագծերում դնել:

.

Այնուհետև կրճատում ենք համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցները։ Մենք ստանում ենք.

Միաժամանակ հաշվի ենք առնում, որ կոտորակի հայտարարը չի կարող հավասար լինել . Այն է: .

Պատասխան..

Օրինակ 2Պարզեցնել.

Լուծում:

Նախորդ օրինակի լուծման սխեմայի համաձայն՝ մենք կփորձենք փակագծել ընդհանուր գործոնը։ Դա չի կարելի անել համարիչով, բայց հայտարարում այն ​​կարելի է հանել փակագծից։

Եթե ​​դուք չեք կարող հանել ընդհանուր գործոնը, դուք պետք է փորձեք օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը: Իրոք, համարիչը տարբերության լրիվ քառակուսին է։ Մենք ստանում ենք.

.

Նման փակագծեր տեսնում ենք համարիչում և հայտարարում։

Այնուամենայնիվ, նրանք տարբերվում են նշանով.

Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք հավասարությունը. Այստեղից մենք ստանում ենք. Մենք ստանում ենք.

Պատասխան..

Դիտարկենք հիմա մի օրինակ, որտեղ անհրաժեշտ է պարզեցնել երկու կոտորակների տարբերությունը:

Օրինակ 3Պարզեցնել.

Լուծում:

Քանի որ առաջին կոտորակի հայտարարը խորանարդների տարբերությունն է, մենք կօգտագործենք բազմապատկման կրճատ բանաձևը։ Մենք ստանում ենք.

Պատասխան..

Հիշենք՝ ի՞նչ է բազմանդամը։ միանդամների գումարն է։ Միանդամը փոփոխականների և թվերի հզորությունների արտադրյալն է։

Այժմ մենք թվարկում և վերլուծում ենք բազմանդամների տարրալուծման օրինակներ։

Մեթոդ 1. Ընդհանուր գործոնի փակագծում:

Օրինակ 4Գործոնավորում.

Օրինակ 5Գործոնավորում.

Վերջին օրինակում ընդհանուր գործակիցը երկանդամն է:

Մեթոդ 2. Խմբավորում.

Օրինակ 6Գործոնավորում.

Լուծում:

Այս օրինակում հնարավոր չէ փակագծերից հանել ընդհանուր գործոնը: Այս դեպքում անհրաժեշտ է փորձել խմբավորել տերմիններ, որոնք ունեն ընդհանուր գործոններ։

Այս օրինակում հարմար է խմբավորել և պարունակող միանունները: Մենք ստանում ենք. Տեսնում ենք, որ փակագծերում արտահայտությունները մինչև նշանը գրեթե նույնն են։ Մենք ստանում ենք.

Պատասխան..

Մեթոդ 3. Կրճատված բազմապատկման բանաձևեր.

Մենք թվարկում ենք կրճատ բազմապատկման հիմնական բանաձևերը.

1. - քառակուսիների տարբերություն;

2. - գումարի քառակուսի (տարբերություն);

3. - խորանարդների տարբերությունը (երկրորդ փակագծի արտահայտությունը կոչվում է գումարի ոչ լրիվ քառակուսի);

Խորանարդների գումարը (երկրորդ փակագծի արտահայտությունը կոչվում է տարբերության ոչ լրիվ քառակուսի):

Պետք է ոչ միայն հիշել այս բանաձեւերը, այլեւ կարողանալ դրանք գտնել ու կիրառել իրական խնդիրների մեջ։

Օրինակ 7Գործոնավորում.

Օրինակ 8Գործոնավորում.

Լուծում:

Այստեղ գալիս է տարբերության քառակուսու բանաձևը: Այնուամենայնիվ, հարց է առաջանում՝ ինչպես կիրառել այս բանաձեւը։ Ամենահեշտ ձևը քառակուսիներն ընտրելն է, այնուհետև գտնել կրկնակի արտադրյալը: Այս օրինակում. Այսինքն՝ դերում Մենք ստանում ենք.

Պատասխան..

Մի մոռացեք, որ իր մաքուր տեսքով այս մեթոդները հազվադեպ են օգտագործվում: Ավելի հաճախ օգտագործվում են համակցված մեթոդներ:

Մեթոդ 4. Լրիվ քառակուսու ընտրություն:

Դիտարկենք այս մեթոդի կիրառումը կոնկրետ օրինակի վրա:

Օրինակ 9Գործոնավորում.

Լուծում:

Լրիվ քառակուսու ընտրությունը սովորաբար տեղի է ունենում առաջին երկու ժամկետներում: Իսկապես, առաջինի հրապարակը մենք արդեն ունենք: Սա նշանակում է, որ երկրորդ անդամը պետք է լինի առաջին արտահայտության կրկնակի արտադրյալը երկրորդով: Այն է: . Այսպիսով, եթե տարբերության քառակուսու բանաձևի դերում կա , ապա դերում պետք է լինի . Այս բանաձևը կիրառելու համար մենք բավարար չենք. Եթե ​​ինչ-որ բան բացակայում է, ապա այս արտահայտությունը կարելի է ավելացնել և հանել, որպեսզի չփոխվի արտահայտության արժեքը։ Մենք ստանում ենք.

Այս ծառայությունը նախատեսված է ձևի մի մասը քայքայելու համար.

Պարզ կոտորակների գումարը. Այս ծառայությունը օգտակար կլինի ինտեգրալների լուծման համար։ տես օրինակ.

Հրահանգ. Մուտքագրեք կոտորակի համարիչը և հայտարարը: Սեղմեք Լուծել կոճակը:

Որպես փոփոխական ձևաչափելիս օգտագործեք x t z u p λ

Նշում:Օրինակ, x 2-ը գրվում է որպես x^2, (x-2) 3-ը գրվում է որպես (x-2)^3: Գործակիցների միջև դնում ենք բազմապատկման նշանը (*):

Գործառույթների մուտքագրման կանոններ

Այս դաշտը նախատեսված է արտահայտության համարիչը մուտքագրելու համար
Ընդհանուր x փոփոխականը նախ պետք է հանել փակագծերից: Օրինակ՝ x 3 + x \u003d x (x 2 + 1) կամ x 3 - 5x 2 + 6x \u003d x (x 2 - 5x + 6) \u003d x (x-3) (x-2):

Գործառույթների մուտքագրման կանոններ

Այս դաշտը նախատեսված է արտահայտության հայտարարի մուտքագրման համար, օրինակ x 2-ը գրվում է x^2 , (x-2) 3-ը գրվում է որպես (x-2)^3: Գործակիցների միջև դնում ենք բազմապատկման նշանը (*):
Ընդհանուր x փոփոխականը նախ պետք է հանել փակագծերից: Օրինակ՝ x 3 + x \u003d x (x 2 + 1) կամ x 3 - 5x 2 + 6x \u003d x (x 2 - 5x + 6) \u003d x (x-3) (x-2):

Անորոշ գործակիցների մեթոդի ալգորիթմ

1. Հայտարարի գործոնացում.
2. Կոտորակի տարրալուծումը որպես անորոշ գործակիցներով պարզ կոտորակների գումար:
3. Խմբավորելով համարիչը x-ի նույն հզորություններով:
4. Անորոշ գործակիցներով որպես անհայտ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի ստացում։
5. SLAE լուծում. Կրամերի մեթոդ, Գաուսի մեթոդ, հակադարձ մատրիցային մեթոդ կամ անհայտների վերացում:

Օրինակ. Մենք օգտագործում ենք տարրալուծման մեթոդը ամենապարզին: Եկեք բաժանենք ֆունկցիան պարզ բառերի.


Հավասարեցրեք համարիչները և հաշվի առեք, որ գործակիցները նույն հզորությամբ են X, ձախ և աջ կողմում կանգնածները պետք է համընկնեն
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A-2B+C+4D=0
Լուծելով այն՝ մենք գտնում ենք.
A = 1/16 ;B = - 1/9 ;C = - 5/12 ;D = 7/144 ;

Ինչ ֆակտորիզացիան?Սա անհարմար և բարդ օրինակը պարզ և գեղեցիկ օրինակի վերածելու միջոց է:) Շատ հզոր հնարք: Դա տեղի է ունենում ամեն քայլափոխի ինչպես տարրական մաթեմատիկայի, այնպես էլ բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ:

Նման փոխակերպումները մաթեմատիկական լեզվում կոչվում են արտահայտությունների նույնական փոխակերպումներ։ Ով չկա թեմայի մեջ - քայլեք հղումով։ Շատ քիչ է, պարզ և օգտակար։) Ցանկացած նույնական փոխակերպման իմաստը արտահայտությունը գրելն է այլ ձևովպահպանելով իր էությունը։

Իմաստը ֆակտորիզացիաներչափազանց պարզ և հասկանալի: Անմիջապես վերնագրից: Դուք կարող եք մոռանալ (կամ չիմանալ), թե ինչ է բազմապատկիչը, բայց կարո՞ղ եք պարզել, որ այս բառը առաջացել է «բազմապատկել» բառից): Ֆակտորինգ նշանակում է. արտահայտել արտահայտությունը որպես ինչ-որ բանի բազմապատկում ինչ-որ բանով: Ներեցեք ինձ մաթեմատիկան և ռուսաց լեզուն ...) Եվ վերջ:

Օրինակ, դուք պետք է քայքայեք 12 թիվը: Դուք կարող եք ապահով գրել.

Այսպիսով, մենք ներկայացրինք 12 թիվը որպես 3-ի 4-ի բազմապատկում: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ աջ (3 և 4) թվերը բոլորովին տարբերվում են ձախից (1 և 2): Բայց մենք քաջ գիտակցում ենք, որ 12-ը և 3 4-ը նույնը. 12 թվի էությունը վերափոխումից չի փոխվել.

Հնարավո՞ր է 12-ը այլ կերպ քայքայել։ Հեշտությամբ!

12=3 4=2 6=3 2 2=0.5 24=........

Քայքայման տարբերակներն անվերջ են։

Թվերը գործոնների բաժանելը օգտակար բան է։ Դա շատ է օգնում, օրինակ, երբ գործ ունենք արմատների հետ։ Բայց հանրահաշվական արտահայտությունների ֆակտորիզացիան օգտակար բան չէ, այն է՝ անհրաժեշտ!Պարզապես օրինակ.

Պարզեցնել.

Նրանք, ովքեր չգիտեն, թե ինչպես ֆակտորիզացնել արտահայտությունը, հանգստանում են կողքին: Ով գիտի, թե ինչպես - պարզեցնում և ստանում է.

Էֆեկտը զարմանալի է, չէ՞) Ի դեպ, լուծումը բավականին պարզ է։ Դուք ինքներդ կհամոզվեք ստորև։ Կամ, օրինակ, այսպիսի առաջադրանք.

Լուծե՛ք հավասարումը.

x 5 - x 4 = 0

Մտքում, ի դեպ, որոշել է. Ֆակտորացման օգնությամբ։ Ստորև կլուծենք այս օրինակը։ Պատասխան. x 1 = 0; x2 = 1.

Կամ, նույնը, բայց մեծերի համար).

Լուծե՛ք հավասարումը.

Այս օրինակներում ես ցույց եմ տվել Գլխավոր նպատակֆակտորիզացիաներ՝ կոտորակային արտահայտությունների պարզեցում և որոշ տեսակի հավասարումների լուծում։ Խորհուրդ եմ տալիս հիշել հիմնական կանոնը.

Եթե ​​ունենք սարսափելի կոտորակային արտահայտություն, կարող ենք փորձել ֆակտորիզացնել համարիչն ու հայտարարը: Շատ հաճախ կոտորակը կրճատվում և պարզեցվում է:

Եթե ​​մեր առջև հավասարություն ունենք, որտեղ աջ կողմում զրո է, իսկ ձախում՝ չհասկանաք, թե ինչ, կարող եք փորձել ֆակտորիզացնել ձախ կողմը: Երբեմն դա օգնում է:)

Ֆակտորացման հիմնական մեթոդները.

Ահա ամենատարածված ուղիները.

4. Քառակուսի եռանդամի տարրալուծում.

Այս մեթոդները պետք է հիշել. Դա այդ հերթականությամբ է: Ստուգվում են բարդ օրինակներ տարրալուծման բոլոր հնարավոր մեթոդների համար:Եվ ավելի լավ է ստուգել հերթականությամբ, որպեսզի չշփոթվեք ... Սկսենք կարգով:)

1. Ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը.

Պարզ և հուսալի միջոց. Նրանից վատ չի ստացվում։ Կամ լավ է լինում, կամ ընդհանրապես չի լինում։) Ուստի նա առաջինն է։ Մենք հասկանում ենք.

Բոլորը գիտեն (ես հավատում եմ) կանոնը.

a(b+c) = ab+ac

Կամ, ավելի ընդհանուր առմամբ.

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Բոլոր հավասարությունները գործում են և՛ ձախից աջ, և՛ հակառակը՝ աջից ձախ: Դուք կարող եք գրել.

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = ա(բ+գ+դ+.....)

Սա է ընդհանուր գործոնը փակագծերից դուրս դնելու ողջ իմաստը:

Ձախ կողմում ա - ընդհանուր գործոնբոլոր պայմանների համար: Բազմապատկված է ամեն ինչով։) Իրավունքն ամենաշատն է աարդեն փակագծերից դուրս:

Մենք կքննարկենք մեթոդի գործնական կիրառումը օրինակներով: Սկզբում տարբերակը պարզ է, նույնիսկ պարզունակ։) Բայց այս տարբերակում ես կնշեմ (կանաչով) շատ կարևոր կետեր ցանկացած ֆակտորիզացիայի համար։

Բազմապատկել:

ah + 9x

Որը գեներալարդյո՞ք բազմապատկիչը երկու տերմիններով է: X, իհարկե! Փակագծերից կհանենք։ Մենք այդպես ենք անում։ Անմիջապես փակագծերից դուրս գրում ենք x.

կացին+9x=x(

Իսկ փակագծերում գրում ենք բաժանման արդյունքը յուրաքանչյուր տերմինհենց այս x-ի վրա. Որպեսզի:

Այսքանը: Իհարկե, պետք չէ այդքան մանրամասն նկարել, Սա արվում է մտքում։ Բայց հասկանալու համար, թե ինչն ինչ է, ցանկալի է): Մենք ամրագրում ենք հիշողության մեջ.

Ընդհանուր գործոնը գրում ենք փակագծերից դուրս։ Փակագծերում գրում ենք բոլոր տերմինները այս շատ սովորական գործակցի վրա բաժանելու արդյունքները։ Որպեսզի.

Այստեղ մենք ընդլայնել ենք արտահայտությունը ah + 9xբազմապատկիչների համար. Այն վերածվեց x-ով բազմապատկելու (a + 9):Նշում եմ, որ սկզբնական արտահայտության մեջ եղել է նաև բազմապատկում, նույնիսկ երկու. a x և 9 x.Բայց այն չի ֆակտորիզացվել:Որովհետև այս արտահայտությունը բացի բազմապատկումից պարունակում էր նաև գումարում՝ «+» նշանը։ Իսկ արտահայտության մեջ x(a+9) ոչ այլ ինչ, քան բազմապատկում:

Ինչու այդպես!? - Լսում եմ ժողովրդի վրդովված ձայնը - Իսկ փակագծերում!)

Այո, փակագծերի ներսում կա լրացում։ Բայց հնարքն այն է, որ մինչ փակագծերը բացված չեն, մենք դրանք համարում ենք մեկ տառի նման:Եվ մենք բոլոր գործողությունները կատարում ենք փակագծերով ամբողջությամբ, մեկ տառի նման:Այս առումով արտահայտության մեջ x(a+9)ոչ այլ ինչ, քան բազմապատկում: Սա է ֆակտորիզացիայի ողջ իմաստը:

Ի դեպ, կա՞ որևէ միջոց ստուգելու՝ արդյոք ամեն ինչ ճիշտ ենք արել։ Հեշտ! Բավական է դուրս բերվածը (x) բազմապատկել փակագծերով և տեսնել, թե ստացվել է օրիգինալարտահայտությունը? Եթե ​​ստացվեց, ապա ամեն ինչ լավ է:)

x(a+9)=ax+9x

Տեղի է ունեցել.)

Այս պարզունակ օրինակում խնդիր չկա։ Բայց եթե կան մի քանի տերմիններ, և նույնիսկ տարբեր նշաններով ... Մի խոսքով, ամեն երրորդ ուսանողը խառնվում է): Հետևաբար.

Անհրաժեշտության դեպքում ստուգեք գործոնացումը հակադարձ բազմապատկմամբ:

Բազմապատկել:

3ax + 9x

Մենք ընդհանուր գործոն ենք փնտրում։ Դե X-ով ամեն ինչ պարզ է, կարելի է դիմանալ։ Էլի կա՞ գեներալգործոն? Այո՛ Սա եռյակ է։ Կարող եք նաև արտահայտությունը գրել այսպես.

3x+3 3x

Այստեղ միանգամից պարզ է դառնում, որ ընդհանուր գործոնը լինելու է 3x. Ահա մենք այն հանում ենք.

3ax+3 3x=3x(a+3)

Տարածեք:

Եվ ինչ կլինի, եթե վերցնեք միայն x?Առանձնապես ոչինչ:

3ax+9x=x(3a+9)

Սա էլ կլինի ֆակտորիզացիա։ Բայց այս հետաքրքրաշարժ գործընթացում ընդունված է ամեն ինչ պառկել այնքան ժամանակ, մինչև այն դադարի, քանի դեռ կա հնարավորություն։ Այստեղ փակագծերում եռակի հանելու հնարավորություն կա։ Ստանալ:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Նույնը՝ միայն մեկ հավելյալ գործողությամբ։) Հիշեք.

Ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելիս փորձում ենք հանել առավելագույնըընդհանուր բազմապատկիչ.

Շարունակե՞նք զվարճանքը:

Արտահայտության գործոնավորում.

3ax+9x-8a-24

Ի՞նչ ենք հանելու։ Երեք, X? Չէ-էէ... Չես կարող։ Հիշեցնում եմ ձեզ, որ դուք կարող եք միայն վերցնել գեներալբազմապատկիչ, այսինքն բոլորի մեջարտահայտման պայմանները. Ահա թե ինչու նա գեներալ.Այստեղ նման բազմապատկիչ չկա ... Ինչ է, դուք չեք կարող դասավորել: Դե, այո, մենք հիացած էինք, թե ինչպես ... Meet:

2. Խմբավորում.

Իրականում խմբավորումը դժվար թե կարելի է անվանել ֆակտորիզացիայի անկախ եղանակ։ Սա ավելի շուտ բարդ օրինակից դուրս գալու միջոց է:) Պետք է խմբավորել տերմինները, որպեսզի ամեն ինչ ստացվի: Սա կարելի է ցույց տալ միայն օրինակով։ Այսպիսով, մենք ունենք արտահայտություն.

3ax+9x-8a-24

Կարելի է տեսնել, որ կան որոշ ընդհանուր տառեր և թվեր։ Բայց... Գեներալբոլոր տերմիններով բազմապատկիչ չկա: Մի կորցրու սիրտը և արտահայտությունը կտոր-կտոր ենք անում.Մենք խմբավորում ենք. Որպեսզի յուրաքանչյուր կտորում ընդհանուր գործոն կար, հանելու բան կար։ Ինչպե՞ս ենք մենք կոտրում: Այո, միայն փակագծեր:

Հիշեցնեմ, որ փակագծերը կարելի է տեղադրել ցանկացած վայրում և ցանկացած ձևով։ Եթե ​​միայն օրինակի էությունը չի փոխվել.Օրինակ, դուք կարող եք դա անել.

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք երկրորդ փակագծերին։ Նրանց նախորդում է մինուս նշանը, և 8 աև 24 դառնալ դրական! Եթե ​​ստուգման համար ետ բացենք փակագծերը, նշանները կփոխվեն, և մենք ստանում ենք օրիգինալարտահայտություն. Նրանք. փակագծերից արտահայտության էությունը չի փոխվել.

Բայց եթե ուղղակի փակագծերի մեջ դնես՝ հաշվի չառնելով նշանի փոփոխությունը, օրինակ՝ այսպես.

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8ա-24 )

դա սխալ կլինի։ Ճիշտ - արդեն այլարտահայտություն. Ընդարձակեք փակագծերը, և ամեն ինչ պարզ կդառնա։ Այլևս չես կարող որոշել, այո...)

Բայց վերադառնանք ֆակտորիզացիային: Նայեք առաջին փակագծերին (3ax + 9x)ու մտածիր՝ հնարավո՞ր է ինչ-որ բանի դիմանալ։ Դե, վերևում լուծեցինք այս օրինակը, կարող ենք հանել 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Մենք ուսումնասիրում ենք երկրորդ փակագծերը, այնտեղ կարող եք հանել ութը.

(8a+24)=8(a+3)

Մեր ամբողջ արտահայտությունը կլինի.

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

Բազմապատկվե՞լ է: Ոչ Քայքայումը պետք է հանգեցնի միայն բազմապատկում,իսկ մենք մինուս նշան ունենք, ամեն ինչ փչացնում է: Բայց... Երկու տերմիններն էլ ընդհանուր գործոն ունեն։ այն (a+3). Իզուր չէի ասում, որ փակագծերն ամբողջությամբ, ասես, մեկ տառ են։ Այսպիսով, այս փակագծերը կարելի է հանել փակագծերից: Այո, դա հենց այն է, ինչ հնչում է):

Մենք անում ենք այնպես, ինչպես նկարագրված է վերևում: Գրե՛ք ընդհանուր գործակիցը (a+3), երկրորդ փակագծերում գրում ենք անդամները բաժանելու արդյունքները (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Ամեն ինչ! Աջ կողմում ոչինչ չկա, քան բազմապատկումը: Այսպիսով, ֆակտորիզացիան հաջողությամբ ավարտվեց:) Ահա այն.

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Վերանայենք խմբի էությունը.

Եթե ​​արտահայտությունը չի գեներալբազմապատկիչ համար բոլորըտերմիններով արտահայտությունը բաժանում ենք փակագծերով այնպես, որ փակագծերի ներսում ընդհանուր գործոնը էր.Եկեք այն հանենք և տեսնենք, թե ինչ կլինի: Եթե ​​մեր բախտը բերի, և փակագծերում մնան նույն արտահայտությունները, ապա մենք այս փակագծերը հանում ենք փակագծերից։

Ավելացնեմ, որ խմբավորումը ստեղծագործական գործընթաց է): Միշտ չէ, որ դա առաջին անգամ է աշխատում: Ամեն ինչ կարգին է. Երբեմն դուք պետք է փոխեք տերմինները, հաշվի առեք խմբավորման տարբեր տարբերակներ, մինչև գտնեք լավը: Այստեղ գլխավորը սիրտը չկորցնելն է։)

Օրինակներ.

Այժմ, հարստանալով գիտելիքներով, կարող եք նաև լուծել խրթին օրինակներ:) Դասի սկզբում երեքն էին այս ...

Պարզեցնել.

Փաստորեն, մենք արդեն լուծել ենք այս օրինակը։ Ինքս ինձ համար աննկատ։) Հիշեցնում եմ՝ եթե մեզ ահավոր կոտորակ են տալիս, մենք փորձում ենք համարիչն ու հայտարարը բաժանել գործակիցների։ Այլ պարզեցման տարբերակներ պարզապես ոչ:

Դե, այստեղ հայտարարը չի քայքայվում, այլ համարիչը... Դասի ընթացքում արդեն քայքայել ենք համարիչը։ Սրա նման:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Ընդլայնման արդյունքը գրում ենք կոտորակի համարիչի մեջ.

Կոտորակների կրճատման կանոնի համաձայն (կոտորակի հիմնական հատկությունը) կարելի է համարիչն ու հայտարարը բաժանել (միաժամանակ!) նույն թվով կամ արտահայտությամբ։ Սրանից կոտորակ չի փոխվում.Այսպիսով, մենք համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք արտահայտության վրա (3x-8). Եվ արի ու տես, որ մենք միավորներ ենք ստանում: Պարզեցման վերջնական արդյունքը.

Մասնավորապես շեշտում եմ՝ կոտորակի կրճատումը հնարավոր է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե ի լրումն արտահայտությունների բազմապատկման ոչինչ չկա.Ահա թե ինչու գումարի (տարբերության) փոխակերպումը բազմապատկումայնքան կարևոր է պարզեցնել: Իհարկե, եթե արտահայտությունները բազմազան,այդ դեպքում ոչինչ չի կրճատվի։ Բիվետ. Բայց ֆակտորիզացիան հնարավորություն է տալիս.Առանց տարրալուծման այս հնարավորությունը պարզապես գոյություն չունի:

Հավասարման օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

x 5 - x 4 = 0

Ընդհանուր գործոնը հանելը x 4փակագծերի համար. Մենք ստանում ենք.

x 4 (x-1)=0

Մենք ենթադրում ենք, որ գործոնների արտադրյալը հավասար է զրոյի հետո և միայն այն ժամանակերբ դրանցից որևէ մեկը հավասար է զրոյի: Եթե ​​կասկածում եք, գտեք ինձ մի երկու ոչ զրոյական թվեր, որոնք բազմապատկելուց զրո կտան:) Այսպիսով, մենք գրում ենք, նախ առաջին գործակիցը.

Այս հավասարության դեպքում երկրորդ գործոնը մեզ չի անհանգստացնում. Ցանկացած մարդ կարող է լինել, այնուամենայնիվ, ի վերջո զրո կստացվի։ Որքա՞ն է զրոյի չորրորդ աստիճանի թիվը: Միայն զրո! Եվ ուրիշ ոչինչ... Հետևաբար.

Մենք պարզեցինք առաջին գործոնը, գտանք մեկ արմատ: Անդրադառնանք երկրորդ գործոնին. Այժմ մենք չենք մտածում առաջին բազմապատկիչի մասին):

Այստեղ մենք գտանք լուծում. x 1 = 0; x2 = 1. Այս արմատներից որևէ մեկը համապատասխանում է մեր հավասարմանը:

Շատ կարևոր նշում. Նշենք, որ մենք լուծել ենք հավասարումը քիչ առ քիչ!Յուրաքանչյուր գործոն սահմանվել է զրոյի: անկախ այլ գործոններից:Ի դեպ, եթե նման հավասարման մեջ լինի ոչ թե երկու գործոն, ինչպիսին մենք ունենք, այլ երեք, հինգ, որքան ուզեք, մենք կորոշենք. համանման.Կտոր առ կտոր։ Օրինակ:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Նա, ով բացում է փակագծերը, բազմապատկում է ամեն ինչ, հավերժ կկախվի այս հավասարումից:) Ճիշտ աշակերտը անմիջապես կտեսնի, որ ձախում, բացի բազմապատկումից, ոչինչ չկա, աջում՝ զրո: Եվ նա կսկսի (իր մտքում!) բոլոր փակագծերը հերթականությամբ հավասարեցնել զրոյի: Եվ նա կստանա (10 վայրկյանում) ճիշտ լուծումը. x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.

Հիանալի է, չէ՞) Նման նրբագեղ լուծում հնարավոր է, եթե հավասարման ձախ կողմը բաժանվել բազմակի.Ակնարկը պարզ է?)

Դե, վերջին օրինակը, մեծերի համար).

Լուծե՛ք հավասարումը.

Ինչ-որ չափով նման է նախորդին, չե՞ք կարծում) Իհարկե։ Ժամանակն է հիշել, որ յոթերորդ դասարանում հանրահաշիվը, սինուսները, լոգարիթմները և ցանկացած այլ բան կարող են թաքնվել տառերի տակ: Ֆակտորինգն աշխատում է բոլոր մաթեմատիկայում։

Ընդհանուր գործոնը հանելը lg4xփակագծերի համար. Մենք ստանում ենք.

lg 4x=0

Սա մեկ արմատ է: Անդրադառնանք երկրորդ գործոնին.

Ահա վերջնական պատասխանը. x 1 = 1; x2 = 10.

Հուսով եմ, որ դուք հասկացել եք ֆակտորինգի ուժը կոտորակները պարզեցնելու և հավասարումներ լուծելիս:)

Այս դասում մենք ծանոթացանք ընդհանուր գործոնի հեռացմանը և խմբավորմանը։ Մնում է զբաղվել կրճատ բազմապատկման և քառակուսի եռանդամի բանաձևերով։

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։