Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. 6. Приближенное извлечение квадратных корней. Если D

Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа с точностью до 1, нужно извлекать, как обыкновенно, и отбросить получаемый в конце действия остаток. Для приближеннаго извлечения корня из дроби, нужно предварительно сделать знаменателя полным квадратом.

В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам.

Формула столь же проста, как и умножение. У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования.

• Каталог заданий
• Вопросы и ответы

Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей!

Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней!

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. А почему нет? Умножить корень сам на себя — да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень.

Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится.

Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?

Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! Это и есть последнее, третье свойство корней.

• Алгебра
• 14 баллов

Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Если х Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями. В отличие от более простых разделов математики, здесь правильный ответ частенько не вытекает автоматически из формул.

Главный практический совет по работе с квадратными корнями. Если под знаком корня — минус, дальше можно не решать. Если под корнем всё нормально, плюс, а в результате извлечения получается заведомый минус — сделайте из него плюс! Этого требуют правила действий с квадратными корнями.

24 разделить на корней из 7+1

Все свойства корней связаны с умножением-делением. На сложение-вычитание корней — не существует специальных формул! Хотя одинаковые корни можно, конечно, складывать-вычитать. Но эти действия к специфическим свойствам корней не имеют никакого отношения.

Отлично. Корни — не ваша проблема. Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. В этом разделе вы познакомитесь с практической работой с корнями. Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Понизим степень косинуса по формуле: 1+cos2α=2cos2α. Следовательно, корней нет. При этом трехчлен 4y2-2y+5 при любом значении у будет принимать только положительные значения.

OFF: Число ПИ разделить на корень из 3, или математика для 1С-ника

Ведь если разность двух радикалов умножить на их сумму, то получится разность квадратов корней, т.е. получится выражение без знаков радикалов. 1) Представим подкоренное выражение второго множителя в виде квадрата суммы двух выражений, т.е. в виде(a + b)2. Это позволит нам извлечь арифметический квадратный корень.

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ. Напоминаю: здесь а — неотрицательное число (больше или равно нулю), b — положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет… Теперь в нашем арсенале уже две формулы.

Но именно эти действия вызывают массу проблем… С этим надо разобраться основательно. Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями… Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат. Приведём нашу степень к квадрату.

А если степень нечётная? Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Здесь всё понятно и просто. Не работает эта формула для отрицательных значений.

Мы же умеем корень из произведения извлекать. Корень в квадрате — штука бесхитростная. Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! А теперь попрактикуемся в корнях. Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например?

Деление корней цветов просто необходимо, если вы решили сразу за одно «мероприятие» получить пару сильных и взрослых растений, которые в будущем будут готовы к цветению. Но если рассматривать этот вопрос с иной стороны, то можно сказать, что деление корней может негативно сказаться на состоянии растений, особенно при неправильной работе с корнями.

Прежде чем разбирать вопрос – как делить корни, необходимо определиться с растениями, которые можно так размножать. Прежде всего, это травянистые экземпляры с хорошей корневой системой. Делить таким образом можно цветы и кустарники.

Алгоритм деления корней:

1. Цветок извлеките из грунта и стряхните большой ком земли.

2. Остатки почвы смойте водой, но не нужно полностью очищать корни, главное, чтобы почва не мешала вам при делении.

4. Осуществите обрезку побегов на высоту 10 см. Это мероприятие поможет использовать силы цветов для восстановления корней, а не роста побегов.

5. Если корневые отростки начали твердеть, и видно, что ничего хорошего с них не получиться, то эти корни срезают.

6. Желтые и сухие побеги, листья сразу уничтожают.

7. Обратите внимание на то, что центральная часть цветка делиться не должна. Вы отделяете лишь боковые корни.

8. Срезы обрабатывают древесным углем, а новые растения высаживают в специальные горшки.

Что вы еще должны знать о делении корней

Не выполняйте этот процесс во время цветения растения. Лучше проводить его после этого периода. Если соблюсти эту рекомендацию сложно, то за пару дней перед процессом бутоны и цветы уничтожают, иначе цветок прижиться не сможет.

Кустарник в открытой почве разделяют осенью, а комнатные цветы – весной. Перед извлечением растения из земли, грунт хорошо поливают, чтобы корневая система не повредилась. Ни в коем случае не тяните растение за наземную часть. Корневую систему вынимают вместе с грунтом, стуча по горшку. Если цветок растет на клумбе, то его осторожно подкапывают и достают при помощи садовых инструментов. Для минимального повреждения корневой системы используют острый нож. Корневую систему не ломайте руками! Это негативно скажется на состоянии будущего цветка.

Обратите внимание! Не делите куст на маленькие части, так как это может негативно сказаться на их росте и развитии. Приживаемость будет минимальной. Не забывайте, что на каждой части должны быть один взрослый побег.

В открытую почву сразу высаживать растения нельзя, так как им нужен период восстановления, да и лучи солнца на растения повлияют негативно.

Польза размножения делением куста

Кроме того, что растений становится больше, они еще и омолаживаются. Ведь спорить бессмысленно с тем, что биологический возраст всех живых существ не вечен, и растение не стало исключением. Так что вы можете при помощи деления корней обновить ваши многолетники без дополнительного выращивания рассады.

Размножение растений методом деления корня является одним из самых удобных способов, ведь разовая операция позволяет получить сразу несколько взрослых и сильных растений, готовых к цветению или плодоношению. С другой стороны, подходит данный метод не для всех культур, да и при неправильном выполнении может быть губительным для всего растения.

Делением корня размножают кустарники и травянистые растения, обладающие развитой корневой системой с образованием почек. В эту категорию можно отнести лещину, сирень, являющуюся кустарником , орхидеи, хризантемы, дельфиниумы и пионы, а также многие другие цветы.

Основные этапы процедуры :

• Аккуратно извлеките растение из почвы и отряхните жесткой кистью земляной ком.
• Остатки грунта смойте водой комнатной температуры, погрузив корни в емкость с водой. Всю землю смывать не нужно, главное чтобы грунт не мешал делению.
• Оцените сколько растений может получиться из данного куста, выбрав основные взрослые побеги и активные почки.
• Выполните обрезку всех побегов растения на высоту десять сантиметров (необходимо для высоких травянистых растений и кустарников) . Это позволит растению использовать энергию на восстановление корневой системы, не расходуя ее на питание надземной части.
• Если есть одеревесневшие побеги, например, при размножении розы , их срезают под самый корень.
• Удаляются все поврежденные и пожелтевшие побеги и листья.
• Сделайте уверенные разрезы, отделяя боковые части куста. Центральная часть растения не должна разделяться.
• Обработайте срезы древесным углем, высадите новые растения в подготовленные емкости и выполните полив раствором стимулятора роста.

Что нужно знать при делении куста

Размножение данным способом нельзя выполнять во время цветения. Лучше всего разделить после окончания данного периода. Если это затруднительно, за два дня перед делением срезают все цветы и бутоны. Иначе, растение может погибнуть.

Комнатные цветы лучше разделять в марте по окончанию периода покоя, а кустарники, растущие в открытом грунте, - осенью до начала заморозков.

Во время деления корневая система должна быть хорошо видна и легко отделяемая от грунта. Чтобы при извлечении не повредить корни, за день до выполнения деления грунт хорошо увлажняют. Нельзя тянуть за надземную часть растения. Корни с земляным комом вынимают, постукивая по цветочному горшку. Если растение находится на клумбе, его аккуратно откапывают используя садовую лопатку и жесткую малярную кисть.

Для деления корня используют острый нож, чтобы минимально травмировать растения. Садовые ножницы лучше не использовать, поскольку они могут смять срезы корня. Нельзя ломать корни руками!

Не стоит разделять растение на слишком мелкие части - это может быть губительным для всего куста, поскольку приживаемость будет значительно ниже. На каждой части должен обязательно быть зрелый побег.

Сразу высаживать в открытый грунт разделенные растения не желательно, поскольку им необходим период восстановления и прямые лучи солнца, а также вредители и болезни будут для них опасны, а потому лучше выдержать пару недель новые саженцы в защищенном грунте. Последний должен быть стерильным и соответствовать условиям роста разделяемого растения.

Для чего применяется деление куста

Помимо увеличения количества экземпляров, метод деления корня применяется для комплексного омоложения растений, биологический возраст которых подходит к концу. Таким образом вы сможете обновлять многолетники без выращивания рассады.

Очень эффективен данный метод, если требуется сохранить декоративные особенности материнского растения, которые при использовании других методов размножения могут быть утрачены.

Примеры размножения делением корня:

Видео 1. Размножение орхидеи фаленопсис

Видео 3. Размножение смородины делением куста

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу .

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

\[\begin{align} & \sqrt{20}\cdot \sqrt{\frac{125}{4}}=\sqrt{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt{625}=5; \\ & \sqrt{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt{0,16}=\sqrt{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt{{{\left(\frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. \\ \end{align}\]

И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

\[\begin{align} & \sqrt{{{a}^{2n+1}}}=a; \\ & \sqrt{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt{23}$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

Правило умножения корней. Чтобы умножить $\sqrt[n]{a}$ на $\sqrt[p]{b}$, достаточно выполнить вот такое преобразование:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны . Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

А пока рассмотрим парочку примеров:

\[\begin{align} & \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{{{3}^{4}}\cdot {{2}^{3}}}=\sqrt{81\cdot 8}=\sqrt{648}; \\ & \sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{{{2}^{5}}\cdot {{7}^{2}}}=\sqrt{32\cdot 49}=\sqrt{1568}; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt{625\cdot 9}=\sqrt{5625}. \\ \end{align}\]

Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

Умножать корни несложно

Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)~%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)

Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

\[\sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\]

Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}}\cdot \sqrt{{{b}^{n}}}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

\[\sqrt{-5}=\sqrt{{{\left(-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}}\]

Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

\[\begin{align} & \sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\Rightarrow \sqrt{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}; \\ & \sqrt{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}\Rightarrow \sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{5}. \\ \end{align}\]

Но тогда получается какая-то хрень:

\[\sqrt{-5}=\sqrt{5}\]

Этого не может быть, потому что $\sqrt{-5} \lt 0$, а $\sqrt{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

1. Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

Пример. В числе $\sqrt{-5}$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

\[\begin{align} & \sqrt{-5}=-\sqrt{5} \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt{-5}=-\sqrt{{{5}^{2}}}=-\sqrt{25}=-\sqrt{{{5}^{2}}}=-\sqrt{5} \lt 0 \\ \end{align}\]

Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)

Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:

1. Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
2. Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\].
3. 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)

Ну что? Потренируемся?

Пример 1. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt{48}\cdot \sqrt{-\frac{4}{3}}=\sqrt{48}\cdot \left(-\sqrt{\frac{4}{3}} \right)=-\sqrt{48}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}= \\ & =-\sqrt{48\cdot \frac{4}{3}}=-\sqrt{64}=-4; \end{align}\]

Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Пример 2. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt{32}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{{{2}^{5}}}\cdot \sqrt{{{2}^{2}}}=\sqrt{{{\left({{2}^{5}} \right)}^{3}}\cdot {{\left({{2}^{2}} \right)}^{4}}}= \\ & =\sqrt{{{2}^{15}}\cdot {{2}^{8}}}=\sqrt{{{2}^{23}}} \\ \end{align}\]

Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

Пример 3. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{4}}}=\sqrt{{{a}^{3}}\cdot {{\left({{a}^{4}} \right)}^{6}}}=\sqrt{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{24}}}= \\ & =\sqrt{{{a}^{27}}}=\sqrt{{{a}^{3\cdot 9}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \end{align}\]

Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

1. Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
2. В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.

Например, можно было поступить так:

\[\begin{align} & \sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{4}}}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{{{\left({{a}^{4}} \right)}^{2}}}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{8}}} \\ & =\sqrt{a\cdot {{a}^{8}}}=\sqrt{{{a}^{9}}}=\sqrt{{{a}^{3\cdot 3}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \\ \end{align}\]

По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}$. Теперь его можно расписать намного проще:

\[\begin{align} & \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt{{{\left({{5}^{2}}\cdot 3 \right)}^{2}}}= \\ & =\sqrt{{{\left(75 \right)}^{2}}}=\sqrt{75}. \end{align}\]

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

А извлечь корень из квадрата? Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 — множителем. Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями.

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Перемножьте все члены между собой, включая множители перед корнями и подкоренные выражения. Всегда ищите делитель, из которого можно взять целый корень; это облегчит процесс. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.

Метод 1 из 3: Умножение корней без множителей

Перемножьте числа под корнем. Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5. В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам.

Метод 3 из 3: Перемножение двучленов с квадратными корнями

Формула столь же проста, как и умножение. У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования.

Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней!

Как делить корни?

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Мы же умеем корень из произведения извлекать. Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение.

По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат. Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней.

Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! Это и есть последнее, третье свойство корней.

Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Если х

Главный практический совет по работе с квадратными корнями. Если под знаком корня — минус, дальше можно не решать. Если под корнем всё нормально, плюс, а в результате извлечения получается заведомый минус — сделайте из него плюс! Этого требуют правила действий с квадратными корнями.

Разберёмся теперь с корнем из квадрата. Или корень из степени. Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. А теперь попрактикуемся в корнях.