Pavyzdžiui, trinario \ (3x ^ 2 + 2x-7 \) diskriminantas bus \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). O trinario \ (x ^ 2-5x + 11 \) atveju jis bus \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

Diskriminantas žymimas raide \ (D \) ir dažnai naudojamas sprendžiant. Be to, pagal diskriminanto reikšmę galite suprasti, kaip apytiksliai atrodo grafikas (žr. toliau).

Diskriminantas ir lygties šaknys

Diskriminacinė reikšmė rodo kvadratinės lygties dydį:
- jei \ (D \) teigiamas - lygtis turės dvi šaknis;
- jei \ (D \) yra lygus nuliui - tik viena šaknis;
- jei \ (D \) yra neigiamas, šaknų nėra.

To nereikia mokytis, nesunku padaryti tokią išvadą, tiesiog žinant, kas iš diskriminanto (tai yra \ (\ sqrt (D) \)) patenka į formulę, skirtą lygties šaknims apskaičiuoti: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) ir \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) ( 2a) \) Pažvelkime į kiekvieną atvejį atidžiau ...

Jei diskriminantas teigiamas

Šiuo atveju jo šaknis yra koks nors teigiamas skaičius, o tai reiškia, kad \ (x_ (1) \) ir \ (x_ (2) \) bus skirtingos reikšmės, nes pirmoje formulėje \ (\ sqrt (D) \) pridedamas , o antruoju - atimamas. Ir mes turime dvi skirtingas šaknis.

Pavyzdys : Raskite lygties \ šaknis (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
Sprendimas :

Atsakymas : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Jei diskriminantas lygus nuliui

O kiek bus šaknų, jei diskriminantas lygus nuliui? Pamąstykime.

Šakninės formulės atrodo taip: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) ir \ (x_ (2) = \) \ (\ frac () -b- \ sqrt (D)) (2a) \). Ir jei diskriminantas yra nulis, tada jo šaknis taip pat yra nulis. Tada paaiškėja:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + 0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

Tai yra, lygties šaknų reikšmės bus vienodos, nes nulio pridėjimas ar atėmimas nieko nekeičia.

Pavyzdys : Raskite lygties \ šaknis (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
Sprendimas :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		Išrašome koeficientus:
\ (a = 1; \) \ (b = -4; \) \ (c = 4; \)		Apskaičiuokite diskriminantą pagal formulę \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		Raskite lygties šaknis
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- (- 4) - \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \)		Gavome dvi vienodas šaknis, todėl nėra prasmės jas rašyti atskirai – užrašome kaip vieną.

Atsakymas : \ (x = 2 \)

Ši tema iš pradžių gali pasirodyti sudėtinga dėl daugybės sudėtingų formulių. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus įrašus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso yra trys naujos formulės. Tai nėra lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendus tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia siūlomas aiškus jų įrašymas, kai pirmiausia įrašomas aukščiausias laipsnis, o tada mažėjančia tvarka. Dažnai pasitaiko situacijų, kai terminai yra netinkami. Tada geriau perrašyti lygtį mažėjančia kintamojo laipsnio tvarka.

Supažindinkime su užrašu. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos pavadinimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio įrašo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė žymima skaičiumi vienu.

Pateikus lygtį neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpale bus dvi šaknys;
• atsakymas yra vienas skaičius;
• lygtis iš viso neturės šaknų.

O kol sprendimas neprieinamas iki galo, sunku suprasti, kuris iš variantų konkrečiu atveju iškris.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotyse gali būti skirtingų įrašų. Jie ne visada atrodys kaip bendroji kvadratinė lygtis. Kartais pritrūks kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite kažką kito. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik tie terminai, kuriuose koeficientai „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiu būdu negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik dviejų tipų, be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra skaičius du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Turite žinoti šį skaičių, kad galėtumėte apskaičiuoti lygties šaknis. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kuri turės skaičių keturi.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius su skirtingais ženklais. Jei atsakymas yra taip, tada lygties atsakymas bus dvi skirtingos šaknys. Esant neigiamam skaičiui, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, atsakymas bus vienas.

Kaip išsprendžiama visa kvadratinė lygtis?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Nustačius, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti šią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Kvadratinės šaknies išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Penkta formulė. Tas pats įrašas rodo, kad jei diskriminantas yra nulis, tada abi šaknys įgis tokias pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar nebuvo parengtas, tada prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla painiava.

Kaip sprendžiama nepilna kvadratinė lygtis?

Čia viskas daug paprasčiau. Net nereikia papildomų formulių. Ir jums nereikės tų, kurie jau buvo įrašyti diskriminantui ir nežinomam.

Pirma, apsvarstykite nepilną lygtį numeris du. Šioje lygybėje iš skliaustų išimamas nežinomas dydis ir išspręsta tiesinė lygtis, kuri lieka skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra faktorius, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis gaunamas sprendžiant tiesinę lygtį.

Neužbaigta lygtis numeris trys išspręsta perkeliant skaičių iš kairės lygties pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento prieš nežinomą. Belieka ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti du kartus užsirašyti priešingais ženklais.

Toliau parašyti keli veiksmai, padedantys išmokti išspręsti visų rūšių lygtis, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti neatsargumo klaidų. Šie trūkumai yra prastų pažymių priežastis studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė)“. Vėliau šių veiksmų nereikės nuolat atlikti. Nes atsiras stabilus įgūdis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, tai gali apsunkinti pradedančiajam studijuoti kvadratines lygtis. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis savo ženklą į priešingą.

• Lygiai taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad panaikintumėte vardiklius.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Pirmoji lygtis: x 2 - 7x = 0. Ji yra nepilna, todėl sprendžiama taip, kaip aprašyta formulei numeris du.

Išėjus iš skliaustų, paaiškėja: x (x - 7) = 0.

Pirmoji šaknis įgyja reikšmę: x 1 = 0. Antroji bus rasta iš tiesinės lygties: x - 7 = 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.

Antroji lygtis: 5x 2 + 30 = 0. Vėlgi nepilna. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygybės pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Trečioji lygtis: 15 - 2x - x 2 = 0. Toliau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės perrašant jas standartine forma: - x 2 - 2x + 15 = 0. Dabar atėjo laikas pasinaudoti antruoju naudingu patarimu ir padaugink viską iš minus vieno... Pasirodo x 2 + 2x - 15 = 0. Pagal ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Tai teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia apskaičiuoti naudojant penktąją formulę. Pasirodo, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x = 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 = 0. Jos diskriminantas lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x = -12 / (2 * 1) = -6.

Šeštoji lygtis (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad prieš atidarant skliaustus reikia pateikti panašius terminus. Vietoj pirmosios bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus tokius narius, lygtis įgis tokią formą: x 2 - x = 0. Jis virto nepilnu... Kažkas panašaus į jį jau buvo svarstyta šiek tiek aukščiau. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

Mes ir toliau studijuojame temą “ sprendžiant lygtis“. Mes jau susitikome su tiesinėmis lygtimis ir pereiname prie jų pažinimo kvadratines lygtis.

Pirmiausia išanalizuosime, kas yra kvadratinė lygtis, kaip ji rašoma bendra forma ir pateiksime susijusius apibrėžimus. Po to, naudodamiesi pavyzdžiais, išsamiai išanalizuosime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tada pereiname prie pilnųjų lygčių sprendimo, gauname šaknų formulę, susipažįstame su kvadratinės lygties diskriminantu ir svarstome tipinių pavyzdžių sprendinius. Galiausiai atsekime ryšį tarp šaknų ir koeficientų.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė lygtis? Jų rūšys

Pirmiausia turite aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl logiška pradėti kalbėti apie kvadratines lygtis su kvadratinės lygties apibrėžimu, taip pat su jais susijusiais apibrėžimais. Po to galite apsvarstyti pagrindinius kvadratinių lygčių tipus: redukuotas ir nesumažintas, taip pat pilnas ir nepilnas lygtis.

Kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Apibrėžimas.

Kvadratinė lygtis Yra formos lygtis a x 2 + b x + c = 0, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a yra nulis.

Iš karto pasakykime, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtimis. Taip yra todėl, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Įgarsintas apibrėžimas leidžia pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžių. Taigi 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 ir kt. Ar kvadratinės lygtys.

Apibrėžimas.

Skaičiai a, b ir c vadinami kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c = 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba didžiausiu, arba koeficientu ties x 2, b yra antrasis koeficientas, arba koeficientas ties x, o c yra laisvasis narys.

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5x2 −2x3 = 0, čia pirmaujantis koeficientas yra 5, antrasis koeficientas yra −2, o kirtis −3. Atkreipkite dėmesį, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, kaip ką tik pateiktame pavyzdyje, tada kvadratinės lygties trumpoji forma yra 5 x 2 −2 x − 3 = 0, o ne 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) = 0.

Verta pažymėti, kad kai koeficientai a ir (arba) b yra lygūs 1 arba –1, tada kvadratinėje lygtyje jie paprastai nėra aiškiai išreikšti, o tai yra dėl tokių rašymo ypatumų. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 −y + 3 = 0 pagrindinis koeficientas yra vienas, o koeficientas y yra −1.

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Priklausomai nuo pirmaujančio koeficiento reikšmės, skiriamos redukuotos ir neredukuotos kvadratinės lygtys. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurios pirmaujantis koeficientas yra 1 redukuota kvadratinė lygtis... Priešingu atveju kvadratinė lygtis yra nesumažintas.

Pagal šį apibrėžimą kvadratinės lygtys x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0 ir kt. - duota, kiekviename iš jų pirmasis koeficientas yra lygus vienetui. A 5 x 2 −x − 1 = 0 ir kt. - neredukuotos kvadratinės lygtys, kurių pirmaujantys koeficientai skiriasi nuo 1.

Iš bet kurios neredukuotos kvadratinės lygties, padalijus abi jos dalis iš pirmaujančio koeficiento, galite pereiti prie redukuotos. Šis veiksmas yra lygiavertė transformacija, tai yra, tokiu būdu gauta redukuota kvadratinė lygtis turi tas pačias šaknis kaip ir pradinė neredukuota kvadratinė lygtis arba, kaip ji, neturi šaknų.

Išanalizuokime pavyzdžiu, kaip atliekamas perėjimas iš neredukuotos kvadratinės lygties į redukuotą.

Pavyzdys.

Iš lygties 3 x 2 + 12 x − 7 = 0 pereikite prie atitinkamos sumažintos kvadratinės lygties.

Sprendimas.

Mums užtenka abi pradinės lygties puses padalinti iš pirmaujančio koeficiento 3, jis nėra lygus nuliui, todėl galime atlikti šį veiksmą. Turime (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, kuris yra tas pats, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0 ir daugiau (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, iš kur. Taigi mes gavome sumažintą kvadratinę lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei.

Atsakymas:

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygties apibrėžime yra sąlyga a ≠ 0. Ši sąlyga būtina, kad lygtis a x 2 + b x + c = 0 būtų tiksliai kvadratinė, nes esant a = 0 ji iš tikrųjų tampa b x + c = 0 formos tiesine lygtimi.

Kalbant apie koeficientus b ir c, jie gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek kartu. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratine lygtimi a x 2 + b x + c = 0 Nebaigtas jei bent vienas iš koeficientų b, c yra lygus nuliui.

Savo ruožtu

Apibrėžimas.

Pilna kvadratinė lygtis Tai lygtis, kurioje visi koeficientai nėra lygūs nuliui.

Tokie vardai duoti neatsitiktinai. Tai paaiškės iš toliau pateiktų svarstymų.

Jei koeficientas b lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis yra a x 2 + 0 x + c = 0 ir yra lygi lygčiai a x 2 + c = 0. Jei c = 0, tai yra, kvadratinė lygtis yra a x 2 + b x + 0 = 0, tada ją galima perrašyti kaip a x 2 + b x = 0. Ir kai b = 0 ir c = 0, gauname kvadratinę lygtį a x 2 = 0. Gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų. Iš čia ir kilo jų pavadinimas – nepilnos kvadratinės lygtys.

Taigi lygtys x 2 + x + 1 = 0 ir −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 yra pilnų kvadratinių lygčių pavyzdžiai, o x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Iš ankstesnėje pastraipoje pateiktos informacijos matyti, kad yra trijų rūšių nepilnos kvadratinės lygtys:

• a · x 2 = 0, tai atitinka koeficientus b = 0 ir c = 0;
• a x 2 + c = 0, kai b = 0;
• ir a x 2 + b x = 0, kai c = 0.

Išanalizuokime eilės tvarka, kaip sprendžiamos kiekvieno iš šių tipų nepilnos kvadratinės lygtys.

a x 2 = 0

Pradėkime spręsdami nepilnas kvadratines lygtis, kuriose koeficientai b ir c lygūs nuliui, tai yra a · x 2 = 0 formos lygtimis. Lygtis a · x 2 = 0 yra lygiavertė lygčiai x 2 = 0, kuri gaunama iš originalo, padalijus abi jo dalis iš nulinio skaičiaus a. Akivaizdu, kad lygties x 2 = 0 šaknis yra lygi nuliui, nes 0 2 = 0. Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama iš tikrųjų, bet kuriam nuliui nepriklausančiam skaičiui p galioja nelygybė p 2> 0, iš ko išplaukia, kad esant p ≠ 0 lygybė p 2 = 0 niekada nepasiekiama.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a · x 2 = 0 turi vieną šaknį x = 0.

Kaip pavyzdį pateikiame nepilnos kvadratinės lygties −4 · x 2 = 0 sprendinį. Ji yra lygiavertė lygčiai x 2 = 0, jos vienintelė šaknis yra x = 0, todėl pradinė lygtis turi unikalią šaknies nulį.

Trumpas sprendimas šiuo atveju gali būti suformuluotas taip:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Dabar panagrinėkime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b lygus nuliui, o c ≠ 0, tai yra lygtys, kurių forma yra a · x 2 + c = 0. Žinome, kad perkėlus terminą iš vienos lygties pusės į kitą, turintį priešingą ženklą, taip pat padalijus abi lygties puses iš nulinio kito skaičiaus, gaunama lygiavertė lygtis. Todėl galime atlikti tokias lygiavertes nepilnos kvadratinės lygties a x 2 + c = 0 transformacijas:

• perkelkite c į dešinę, taip gaunama lygtis 2 = −c,
• ir abi jo dalis padaliname iš a, gauname.

Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo a ir c reikšmių, išraiškos reikšmė gali būti neigiama (pavyzdžiui, jei a = 1 ir c = 2, tada) arba teigiama (pavyzdžiui, jei a = -2 ir c = 6 , tada), jis nėra lygus nuliui , nes pagal hipotezę c ≠ 0. Panagrinėkime atskirai atvejus ir.

Jei, tada lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kada, tada bet kurio skaičiaus p lygybė negali būti teisinga.

Jei, tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Tokiu atveju, jei prisimenate apie, tada lygties šaknis iš karto tampa akivaizdi, tai yra skaičius, nes. Nesunku atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis. Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurias galima parodyti, pavyzdžiui, prieštaravimu. Padarykime tai.

Pažymime ką tik skambėjusios lygties šaknis x 1 ir −x 1. Tarkime, kad lygtis turi dar vieną šaknį x 2, kuri skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir −x 1. Yra žinoma, kad jos šaknų pakeitimas lygtyje, o ne x, paverčia lygtį tikra skaitine lygybe. Turime x 1 ir −x 1, o x 2 turime. Skaitinių lygybių savybės leidžia atlikti tikrąsias skaitines lygybes po termino atimtį, todėl atėmus atitinkamas lygybių dalis gaunama x 1 2 −x 2 2 = 0. Veiksmų su skaičiais savybės leidžia perrašyti gautą lygybę į (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Žinome, kad dviejų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Todėl iš gautos lygybės išplaukia, kad x 1 - x 2 = 0 ir (arba) x 1 + x 2 = 0, kuri yra ta pati, x 2 = x 1 ir (arba) x 2 = −x 1. Taip priėjome prieštaravimą, nes pradžioje sakėme, kad lygties x 2 šaknis skiriasi nuo x 1 ir −x 1. Tai įrodo, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus ir.

Apibendrinkime šio elemento informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c = 0 yra lygiavertė lygčiai, kuri

• neturi šaknų, jei
• turi dvi šaknis ir jei.

Apsvarstykite a · x 2 + c = 0 formos nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

Pradėkime nuo kvadratinės lygties 9 x 2 + 7 = 0. Perkėlus laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, jis įgaus formą 9 · x 2 = −7. Padalinę abi gautos lygties puses iš 9, gauname. Kadangi dešinėje pusėje yra neigiamas skaičius, ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 · x 2 + 7 = 0 neturi šaknų.

Išspręskite kitą nepilną kvadratinę lygtį −x 2 + 9 = 0. Perkelkite devynis į dešinę: −x 2 = −9. Dabar padalijame abi puses iš −1, gauname x 2 = 9. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio darome išvadą, kad arba. Tada užrašome galutinį atsakymą: nepilna kvadratinė lygtis −x 2 + 9 = 0 turi dvi šaknis x = 3 arba x = −3.

a x 2 + b x = 0

Belieka išspręsti paskutinio tipo nepilnų kvadratinių lygčių, kai c = 0, sprendimą. Neišsamios kvadratinės lygtys formos a x 2 + b x = 0 leidžia išspręsti faktorizavimo metodas... Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka išskirti bendrą koeficientą x. Tai leidžia mums pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės x · (a · x + b) = 0 formos lygties. Ir ši lygtis yra lygiavertė aibei dviejų lygčių x = 0 ir a x + b = 0, iš kurių paskutinė yra tiesinė ir jos šaknis x = −b / a.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 + b x = 0 turi dvi šaknis x = 0 ir x = −b / a.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, analizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Perkėlus x iš skliaustų gaunama lygtis. Tai lygi dviem lygtims x = 0 ir. Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį:, ir padalijus mišrųjį skaičių iš paprastosios trupmenos, randame. Todėl pradinės lygties šaknys yra x = 0 ir.

Įgijus reikiamą praktiką, galima trumpai parašyti tokių lygčių sprendinius:

Atsakymas:

x = 0,.

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Yra kvadratinių lygčių sprendimo šakninė formulė. Užsirašykime kvadratinė formulė: , kur D = b 2 −4 a c- vadinamasis kvadratinis diskriminantas... Žymėjimas iš esmės reiškia tai.

Naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknies formulė ir kaip ji taikoma ieškant kvadratinių lygčių šaknų. Išsiaiškinkime.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Tarkime, kad turime išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• Abi šios lygties puses galime padalyti iš nulinio skaičiaus a, todėl gauname sumažintą kvadratinę lygtį.
• Dabar pasirinkite visą kvadratą jo kairėje pusėje:. Po to lygtis įgis formą.
• Šiame etape galima atlikti paskutinių dviejų terminų perkėlimą į dešinę pusę su priešingu ženklu, mes turime.
• Taip pat transformuojame išraišką dešinėje pusėje:.

Dėl to gauname lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei kvadratinei lygčiai a x 2 + b x + c = 0.

Panašios formos lygtis jau išsprendėme ankstesnėse pastraipose, kai jas analizavome. Tai leidžia padaryti tokias išvadas apie lygties šaknis:

• jei, tai lygtis neturi realių sprendinių;
• jei, tada lygtis turi formą, taigi, iš kur matoma vienintelė jos šaknis;
• jei, tada arba, kuris yra tas pats, arba, tai yra, lygtis turi dvi šaknis.

Taigi, lygties šaknų, taigi ir pradinės kvadratinės lygties, buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos ženklo dešinėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklą lemia skaitiklio ženklas, nes vardiklis 4 · a 2 visada yra teigiamas, tai yra išraiškos b 2 −4 · a · c ženklas. Ši išraiška buvo vadinama b 2 −4 a c kvadratinės lygties diskriminantas ir pažymėtas raide D... Vadinasi, diskriminanto esmė aiški – pagal jo reikšmę ir ženklą daroma išvada, ar kvadratinė lygtis turi realias šaknis, o jei taip, koks jų skaičius – vienas ar du.

Grįždami prie lygties, perrašykite ją naudodami diskriminacinį žymėjimą:. Ir mes darome išvadas:

• jei D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jei D = 0, tai ši lygtis turi vieną šaknį;
• galiausiai, jei D> 0, tai lygtis turi dvi šaknis arba, kurios dėl dorybės gali būti perrašytos į formą arba, ir išplėtę bei sumažinę trupmenas iki bendro vardiklio, gauname.

Taigi išvedėme kvadratinės lygties šaknų formules, jos turi tokią formą, kur diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D = b 2 −4 · a · c.

Su jų pagalba, naudodami teigiamą diskriminantą, galite apskaičiuoti abi realiąsias kvadratinės lygties šaknis. Kai diskriminantas yra lygus nuliui, abi formulės suteikia tą pačią šaknies reikšmę, atitinkančią unikalų kvadratinės lygties sprendimą. O naudojant neigiamą diskriminantą, bandydami panaudoti kvadratinės lygties šaknų formulę, susiduriame su neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimu, o tai perkelia mus už mokyklos mokymo programos ribų. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturi tikrų šaknų, bet turi porą kompleksinis konjugatasšaknis, kurias galima rasti pagal tas pačias mūsų gautas šaknų formules.

Kvadratinių lygčių sprendimo, naudojant šaknų formules, algoritmas

Praktiškai spręsdami kvadratines lygtis galite iš karto naudoti šaknies formulę, su kuria galite apskaičiuoti jų reikšmes. Bet tai daugiau apie sudėtingų šaknų paiešką.

Tačiau mokyklos algebros kurse dažniausiai kalbama ne apie sudėtingas, o apie realias kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia surasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), ir tik po to kurie apskaičiuoja šaknų reikšmes.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašyti kvadratinių lygčių sprendėjas... Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0, jums reikia:

• pagal diskriminanto formulę D = b 2 −4 · a · c apskaičiuokite jo reikšmę;
• daryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
• apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį pagal formulę, jei D = 0;
• Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

Čia tik pažymime, kad kai diskriminantas yra lygus nuliui, formulė taip pat gali būti naudojama, ji duos tokią pat reikšmę kaip.

Galite pereiti prie kvadratinių lygčių sprendimo algoritmo naudojimo pavyzdžių.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Apsvarstykite trijų kvadratinių lygčių sprendinius su teigiamais, neigiamais ir nuliniais diskriminatoriais. Išnagrinėjus jų sprendimą, pagal analogiją bus galima išspręsti bet kurią kitą kvadratinę lygtį. Pradėkime.

Pavyzdys.

Raskite lygties x 2 + 2 x − 6 = 0 šaknis.

Sprendimas.

Šiuo atveju turime tokius kvadratinės lygties koeficientus: a = 1, b = 2 ir c = −6. Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą, tam mes pakeisime nurodytus a, b ir c į diskriminanto formulę, turime D = b 2 -4 a c = 2 2 -4 1 (-6) = 4 + 24 = 28... Kadangi 28> 0, tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Mes juos randame naudodami šaknies formulę, gauname, čia galite supaprastinti darant gautas išraiškas išskiriant šaknies ženklą vėliau sumažinant frakciją:

Atsakymas:

Pereikime prie kito tipinio pavyzdžio.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį −4x2 + 28x − 49 = 0.

Sprendimas.

Pradedame rasdami diskriminantą: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Todėl ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, kurią randame kaip, tai yra,

Atsakymas:

x = 3,5.

Belieka apsvarstyti kvadratinių lygčių sprendimą su neigiamu diskriminantu.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Sprendimas.

Štai kvadratinės lygties koeficientai: a = 5, b = 6 ir c = 2. Pakeitę šias reikšmes į diskriminacinę formulę, turime D = b 2 -4 a c = 6 2 -4 5 2 = 36-40 = -4... Diskriminantas yra neigiamas, todėl ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Jei reikia nurodyti sudėtingas šaknis, taikome gerai žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę ir atliekame kompleksinių skaičių operacijos:

Atsakymas:

nėra tikrų šaknų, sudėtingos šaknys yra tokios:.

Dar kartą atkreipkite dėmesį, kad jei kvadratinės lygties diskriminantas yra neigiamas, tada mokykloje jie paprastai iš karto užrašo atsakymą, kuriame nurodo, kad nėra tikrų šaknų, o sudėtingų šaknų nerandama.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Kvadratinės lygties šaknų formulė, kur D = b 2 −4 a ln5 = 2 7 ln5). Išimkime.

Tarkime, kad reikia išspręsti kvadratinę lygtį, kurios forma yra a x 2 + 2 n x + c = 0. Raskime jo šaknis pagal mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokite diskriminantą D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), tada naudojame formulę šaknims:

Išraišką n 2 - a · c pažymėkime kaip D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 n įgauna formą , kur D 1 = n 2 - a · c.

Nesunku pastebėti, kad D = 4 · D 1 arba D 1 = D / 4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminanto dalis. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas. Tai reiškia, kad D 1 ženklas taip pat yra kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu 2 n, jums reikia

• Apskaičiuokite D 1 = n 2 −a · c;
• Jei D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jei D 1 = 0, tada formule apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį;
• Jei D 1> 0, tada pagal formulę raskite dvi realias šaknis.

Apsvarstykite galimybę išspręsti pavyzdį naudodami šioje pastraipoje gautą šaknies formulę.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį 5x2 −6x − 32 = 0.

Sprendimas.

Antrasis šios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2 · (−3). Tai yra, galite perrašyti pradinę kvadratinę lygtį į formą 5 x 2 + 2 (-3) x - 32 = 0, čia a = 5, n = -3 ir c = -32, ir apskaičiuoti ketvirtąją kvadratinės lygties dalį. diskriminuojantis: D 1 = n 2 -a c = (- 3) 2 -5 (-32) = 9 + 160 = 169... Kadangi jos reikšmė yra teigiama, lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos naudodami atitinkamą šaknies formulę:

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės lygties šaknims buvo galima naudoti įprastą formulę, tačiau šiuo atveju tektų atlikti daugiau skaičiavimo darbų.

Atsakymas:

Kvadratinių lygčių vaizdo supaprastinimas

Kartais, prieš pradedant skaičiuoti kvadratinės lygties šaknis formulėmis, nepakenks užduoti klausimą: "Ar galima supaprastinti šios lygties formą?" Sutikite, kad skaičiavimų požiūriu kvadratinę lygtį 11 x 2 −4 x − 6 = 0 išspręsti bus lengviau nei 1100 x 2 −400 x − 600 = 0.

Paprastai kvadratinės lygties formos supaprastinimas pasiekiamas padauginus arba padalijus abi jos dalis iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje mums pavyko supaprastinti lygtį 1100x2 −400x − 600 = 0, padalijus abi puses iš 100.

Panaši transformacija atliekama su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra. Šiuo atveju abi lygties pusės paprastai dalijamos iš absoliučių jo koeficientų verčių. Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 12 x 2 −42 x + 48 = 0. absoliučios jo koeficientų vertės: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Abi pradinės kvadratinės lygties puses padalijus iš 6, gauname lygiavertę kvadratinę lygtį 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

O abiejų kvadratinės lygties pusių dauginimas paprastai atliekamas norint atsikratyti trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju dauginimas atliekamas pagal jo koeficientų vardiklius. Pavyzdžiui, jei abi kvadratinės lygties pusės yra padaugintos iš LCM (6, 3, 1) = 6, tada ji įgis paprastesnę formą x 2 + 4 x − 18 = 0.

Baigdami šią pastraipą pažymime, kad beveik visada atsikratome minuso ties kvadratinės lygties pirmaujančiu koeficientu, pakeisdami visų narių ženklus, o tai atitinka abiejų dalių padauginimą (arba padalijimą) iš −1. Pavyzdžiui, paprastai iš kvadratinės lygties −2x2 −3x + 7 = 0 pereinama prie sprendimo 2x2 + 3x − 7 = 0.

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis jos koeficientais. Remdamiesi šaknų formule, galite gauti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Žinomiausios ir labiausiai pritaikomos formulės yra iš Vietos teoremos formos ir. Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pagal kvadratinės lygties 3 x 2 −7 x + 22 = 0 formą galime iš karto pasakyti, kad jos šaknų suma yra 7/3, o šaknų sandauga yra 22/3.

Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais:.

Bibliografija.

• Algebra: studijuoti. už 8 cl. bendrojo išsilavinimo. institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008 .-- 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovičius Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. – 11 leid., Ištrinta. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p .: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Naudodami šią matematikos programą galite išspręsti kvadratinę lygtį.

Programa ne tik atsako į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą dviem būdais:
- naudojant diskriminantą
- naudojant Vietos teoremą (jei įmanoma).

Be to, atsakymas rodomas tikslus, o ne apytikslis.
Pavyzdžiui, lygties \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) atsakymas rodomas tokia forma:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $ $ ir ne taip: \ (x_1 = 0,247; \ keturkampis x_2 = -0,05 \)

Ši programa gali praversti vyresniųjų vidurinių mokyklų mokiniams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, tikrinant žinias prieš egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiu sprendimu.

Tokiu būdu galite vesti savo mokymą ir (arba) mokyti savo jaunesnius brolius ar seseris, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje didėja.

Jei nesate susipažinę su kvadratinio daugianario įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės

Bet kuri lotyniška raidė gali būti naudojama kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ir kt.

Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai.
Be to, trupmeninius skaičius galima įvesti ne tik kablelio, bet ir paprastosios trupmenos pavidalu.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis nuo visumos gali būti atskirta tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, dešimtaines trupmenas galite įvesti taip: 2,5x - 3,5x ^ 2

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikasis skaičius gali būti naudojamas kaip skaitiklis, vardiklis ir visa trupmenos dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersandu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 - 5 ir 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultatas: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Įvedant išraišką galima naudoti skliaustus... Šiuo atveju, sprendžiant kvadratinę lygtį, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.
Pavyzdžiui: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

Nuspręsk

Nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt įjungėte „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

„JavaScript“ jūsų naršyklėje išjungta.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, kurie nori išspręsti problemą, jūsų prašymas yra eilėje.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palauk prašau sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu nuspręsi ir ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Kvadratinė lygtis ir jos šaknys. Nebaigtos kvadratinės lygtys

Kiekviena iš lygčių
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
turi formą
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
kur x yra kintamasis, a, b ir c yra skaičiai.
Pirmoje lygtyje a = -1, b = 6 ir c = 1,4, antrojoje a = 8, b = -7 ir c = 0, trečiojoje a = 1, b = 0 ir c = 4/9. Tokios lygtys vadinamos kvadratines lygtis.

Apibrėžimas.
Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \ (a \ neq 0 \).

Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, skaičius b – antruoju koeficientu, o skaičius c – laisvuoju terminu.

Kiekvienoje iš ax 2 + bx + c = 0 formos lygčių, kur \ (a \ neq 0 \), didžiausia kintamojo x galia yra kvadratas. Iš čia ir kilo pavadinimas: kvadratinė lygtis.

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis taip pat vadinama antrojo laipsnio lygtimi, nes jos kairioji pusė yra antrojo laipsnio daugianario.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurioje koeficientas ties x 2 yra 1 redukuota kvadratinė lygtis... Pavyzdžiui, sumažintos kvadratinės lygtys yra lygtys
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Jei kvadratinėje lygtyje ax 2 + bx + c = 0 bent vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, tai tokia lygtis vadinama nepilna kvadratinė lygtis... Taigi, lygtys -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 yra nepilnos kvadratinės lygtys. Pirmajame iš jų b = 0, antrajame c = 0, trečiame b = 0 ir c = 0.

Neišsamios kvadratinės lygtys yra trijų tipų:
1) ax 2 + c = 0, kur \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, kur \ (b \ neq 0 \);
3) kirvis 2 = 0.

Panagrinėkime kiekvieno iš šių tipų lygčių sprendimą.

Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 + c = 0 \ (c \ neq 0 \), perkelkite jos laisvąjį narį į dešinę pusę ir padalykite abi lygties puses iš a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ rodyklė dešinėn x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Kadangi \ (c \ neq 0 \), tada \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Jei \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), tada lygtis turi dvi šaknis.

Jei \ (- \ frac (c) (a) Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 + bx = 0 su \ (b \ neq 0 \), padalinkite jos kairiąją pusę į koeficientus ir gaukite lygtį
\ (x (ax + b) = 0 \ rodyklė dešinėn \ kairė \ (\ pradžia (masyvas) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė. \ Rodyklė dešinėn \ kairė \ (\ pradžia (masyvas) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ pabaiga (masyvas) \ dešinė. \)

Tai reiškia, kad nepilna kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 + bx = 0 \ (b \ neq 0 \), visada turi dvi šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios forma yra ax 2 = 0, yra lygiavertė lygčiai x 2 = 0, todėl turi unikalią šaknį 0.

Kvadratinės lygties šaknų formulė

Dabar panagrinėkime, kaip sprendžiamos kvadratinės lygtys, kuriose ir nežinomųjų koeficientai, ir laisvasis narys yra nulis.

Išspręskime kvadratinę lygtį bendra forma ir gausime šaknų formulę. Tada šią formulę galima pritaikyti bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.

Išspręskite kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0

Abi jo dalis padalijus iš a, gauname ekvivalentinę sumažintą kvadratinę lygtį
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Šią lygtį transformuojame pasirinkdami dvinario kvadratą:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ rodyklė dešinėn \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ kairė (\ frac (b) (2a) \ dešinė) ^ 2 = \ kairė (\ frac (b) (2a) \ dešinė) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ rodyklė dešinėn \) \ (\ kairė (x + \ frac (b) (2a) \ dešinė) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac (c) (a) \ Rodyklė dešinėn \ kairė (x + \ frac (b) (2a) \ dešinė) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Rodyklė dešinėn \) \ (x + \) frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Rodyklė dešinėn x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt () b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Rodyklė dešinėn \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Radikali išraiška vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ax 2 + bx + c = 0 („diskriminantas“ lotyniškai – diskriminatorius). Jis žymimas raide D, t.y.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Dabar, naudodami diskriminanto žymėjimą, perrašome kvadratinės lygties šaknų formulę:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), kur \ (D = b ^ 2-4ac \)

Akivaizdu, kad:
1) Jei D> 0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.
2) Jei D = 0, tai kvadratinė lygtis turi vieną šaknį \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Jei D Taigi, priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis gali turėti dvi šaknis (kai D> 0), vieną šaknį (kai D = 0) arba neturėti šaknų (kai D Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant š. formulę, patartina elgtis taip:
1) apskaičiuokite diskriminantą ir palyginkite jį su nuliu;
2) jei diskriminantas yra teigiamas arba lygus nuliui, tada naudokite šaknies formulę, jei diskriminantas yra neigiamas, tada užrašykite, kad šaknų nėra.

Vietos teorema

Duota kvadratinė lygtis ax 2 -7x + 10 = 0 turi šaknis 2 ir 5. Šaknų suma lygi 7, sandauga lygi 10. Matome, kad šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingumu. ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Bet kuri kvadratinė lygtis su šaknimis turi šią savybę.

Duotos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Tie. Vietos teorema teigia, kad sumažintos kvadratinės lygties x 2 + px + q = 0 šaknys x 1 ir x 2 turi savybę:
\ (\ left \ (\ pradžia (masyvas) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ pabaiga (masyvas) \ dešinė. \)

Tarp viso mokyklinio algebros programos kurso viena iš didžiausių temų yra kvadratinių lygčių tema. Šiuo atveju kvadratinė lygtis reiškia ax 2 + bx + c = 0 formos lygtį, kur a ≠ 0 (skaitykite: ir padauginkite iš x kvadrato plius be x plius tse yra lygi nuliui, kur a nelygu nulis). Šiuo atveju pagrindinę vietą užima formulės, skirtos nurodyto tipo kvadratinės lygties diskriminantui rasti, kuri suprantama kaip išraiška, leidžianti nustatyti šaknų buvimą ar nebuvimą kvadratinėje lygtyje, taip pat jų skaičių. numerį (jei yra).

Kvadratinės lygties diskriminanto formulė (lygtis).

Visuotinai priimta kvadratinės lygties diskriminanto formulė yra tokia: D = b 2 - 4ac. Skaičiuojant diskriminantą pagal nurodytą formulę, galima ne tik nustatyti šaknų buvimą ir skaičių kvadratinėje lygtyje, bet ir pasirinkti šių šaknų radimo būdą, kurių yra keletas, priklausomai nuo kvadratinės lygties tipo.

Ką reiškia, jei diskriminantas yra nulis \ Kvadratinės lygties šaknų formulė, jei diskriminantas yra nulis

Diskriminantas, kaip matyti iš formulės, žymimas lotyniška raide D. Tuo atveju, kai diskriminantas lygus nuliui, darytina išvada, kad kvadratinė lygtis formos ax 2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0 , turi tik vieną šaknį, kuri apskaičiuojama pagal supaprastintą formulę. Ši formulė taikoma tik su nuliniu diskriminantu ir atrodo taip: x = –b / 2a, kur x yra kvadratinės lygties šaknis, b ir a yra atitinkami kvadratinės lygties kintamieji. Norint rasti kvadratinės lygties šaknį, reikia neigiamą kintamojo b reikšmę padalyti iš padvigubintos kintamojo a reikšmės. Gauta išraiška bus kvadratinės lygties sprendimas.

Kvadratinės lygties sprendimas diskriminanto atžvilgiu

Jei apskaičiuojant diskriminantą pagal aukščiau pateiktą formulę, gaunama teigiama reikšmė (D yra didesnė už nulį), tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis, kurios apskaičiuojamos naudojant šias formules: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b – vD) / 2a. Dažniausiai diskriminantas neskaičiuojamas atskirai, o radikali išraiška diskriminanto formulės forma tiesiog pakeičiama į D reikšmę, iš kurios išgaunama šaknis. Jei kintamasis b turi lyginę reikšmę, tada kvadratinės lygties, kurios formos ax 2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0, šaknis apskaičiuoti taip pat galite naudoti šias formules: x 1 = (–k + v (k2 - ac)) / a , x 2 = (–k + v (k2 - ac)) / a, kur k = b / 2.

Kai kuriais atvejais praktiniam kvadratinių lygčių sprendimui galite naudoti Vietos teoremą, kuri teigia, kad x 2 + px + q = 0 formos kvadratinės lygties šaknų sumai reikšmė x 1 + x 2 = –p galios, o nurodytos lygties šaknų sandaugai - išraiška x 1 xx 2 = q.

Ar diskriminantas gali būti mažesnis už nulį

Skaičiuodami diskriminanto reikšmę galite susidurti su situacija, kuri nepatenka į nė vieną iš aprašytų atvejų – kai diskriminanto reikšmė yra neigiama (ty mažesnė už nulį). Šiuo atveju įprasta manyti, kad kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0, neturi realių šaknų, todėl jos sprendimas apsiribos diskriminanto apskaičiavimu, o aukščiau paminėta. kvadratinės lygties šaknų formulės šiuo atveju netaikomos bus. Šiuo atveju kvadratinės lygties atsakyme rašoma, kad „lygtis neturi realių šaknų“.

Aiškinamasis vaizdo įrašas: