Norint jaustis užtikrintai geometrijos pamokose ir sėkmingai spręsti uždavinius, neužtenka mokytis formulių. Visų pirma, jūs turite juos suprasti. Bijoti, jau nekalbant apie neapykantą formulių, yra neproduktyvu. Šiame straipsnyje prieinama kalba bus analizuojami įvairūs trapecijos ploto nustatymo būdai. Norėdami geriau suprasti atitinkamas taisykles ir teoremas, atkreipsime dėmesį į jo savybes. Tai padės suprasti, kaip veikia taisyklės ir kada reikėtų taikyti tam tikras formules.

Trapecijos apibrėžimas

Koks šis skaičius apskritai? Trapecija yra keturių kampų daugiakampis su dviem lygiagrečiomis kraštinėmis. Kitos dvi trapecijos pusės gali būti pakreiptos skirtingais kampais. Jo lygiagrečios kraštinės vadinamos bazėmis, o nelygiagrečioms – „šonų“ arba „šlaunų“ pavadinimas. Tokie skaičiai yra gana dažni kasdieniame gyvenime. Trapecijos kontūrai matomi drabužių, interjero daiktų, baldų, indų ir daugelio kitų siluetuose. Trapecija yra įvairių tipų: universali, lygiašonė ir stačiakampė. Išsamiau išanalizuosime jų tipus ir savybes vėliau straipsnyje.

Trapecijos savybės

Trumpai pakalbėkime apie šio paveikslo savybes. Kampų, esančių šalia bet kurios pusės, suma visada lygi 180 °. Reikėtų pažymėti, kad visi trapecijos kampai sudaro 360 °. Trapecija turi vidurio linijos sąvoką. Jei kraštinių vidurio taškus sujungsite su segmentu, tai bus vidurinė linija. Jį žymi m. Vidurinė linija turi svarbių savybių: ji visada lygiagreti pagrindams (atsimename, kad pagrindai taip pat lygiagrečiai vienas kitam) ir yra lygi jų pusei:

Šį apibrėžimą reikia išmokti ir suprasti, nes tai yra daugelio problemų sprendimo raktas!

Prie trapecijos visada galite nuleisti aukštį iki pagrindo. Aukštis yra statmenas, dažnai žymimas simboliu h, brėžiamas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kitą pagrindą arba jo tęsinį. Vidurinė linija ir aukštis padės rasti trapecijos plotą. Tokios užduotys dažniausiai pasitaiko mokykliniame geometrijos kurse ir reguliariai atsiranda tarp kontrolinių ir egzaminų darbų.

Paprasčiausios trapecijos ploto formulės

Išanalizuokime dvi populiariausias ir paprasčiausias formules, naudojamas trapecijos plotui rasti. Pakanka aukštį padauginti iš pusės pagrindų sumos, kad lengvai rastumėte tai, ko ieškote:

S = h * (a + b) / 2.

Šioje formulėje a, b žymi trapecijos pagrindą, h – aukštį. Patogumo dėlei šiame straipsnyje daugybos ženklai formulėse pažymėti (*), nors oficialiose žinynuose daugybos ženklas dažniausiai praleidžiamas.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

Duota: trapecija, kurios du pagrindai lygūs 10 ir 14 cm, aukštis 7 cm. Koks trapecijos plotas?

Išanalizuokime šios problemos sprendimą. Naudodami šią formulę, pirmiausia turite rasti bazių pusę sumos: (10 + 14) / 2 = 12. Taigi, pusinė suma lygi 12 cm. Dabar pusę sumos padauginame iš aukščio: 12 * 7 = 84. Rasta norima prekė. Atsakymas: trapecijos plotas 84 kv. cm.

Antroji gerai žinoma formulė sako: trapecijos plotas yra lygus vidurio linijos sandaugai iš trapecijos aukščio. Tai iš tikrųjų išplaukia iš ankstesnės vidurinės linijos sampratos: S = m * h.

Įstrižainių naudojimas skaičiavimams

Kitas būdas rasti trapecijos plotą iš tikrųjų nėra toks sunkus. Jis siejamas su jo įstrižainėmis. Pagal šią formulę, norėdami rasti plotą, turite padauginti jo įstrižainių pusgaminį (d 1 d 2) iš kampo tarp jų sinuso:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Apsvarstykite problemą, kuri parodo šio metodo taikymą. Duota: trapecija, kurios įstrižainės ilgis atitinkamai 8 ir 13 cm. Kampas a tarp įstrižainių lygus 30°. Raskite trapecijos plotą.

Sprendimas. Naudojant aukščiau pateiktą formulę, lengva apskaičiuoti, ko reikia. Kaip žinote, nuodėmė 30 ° yra 0,5. Todėl S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Atsakymas: plotas 52 kv. cm.

Ieškome lygiašonės trapecijos ploto

Trapecija gali būti lygiašonė (lygiašonė). Jo kraštinės yra vienodos IR kampai prie pagrindų yra vienodi, tai gerai parodyta paveikslėlyje. Lygiašonė trapecija turi tokias pačias savybes kaip ir įprasta trapecija, be to, daug specialių. Aplink lygiašonę trapeciją galima apibūdinti apskritimą, į kurį galima įrašyti apskritimą.

Kokie yra tokios figūros ploto apskaičiavimo metodai? Toliau pateiktam metodui reikės daug skaičiavimų. Norėdami jį naudoti, turite žinoti kampo ties trapecijos pagrindu sinuso (sin) ir kosinuso (cos) reikšmes. Norint juos apskaičiuoti, reikalingos Bradis lentelės arba inžinerinis skaičiuotuvas. Štai formulė:

S = c* nuodėmė a*(a - c* cos a),

kur su- šoninės šlaunies, a- kampas prie apatinio pagrindo.

Lygiašonės trapecijos įstrižainės yra vienodo ilgio. Taip pat yra priešingai: jei trapecijos įstrižainės yra lygios, tada ji yra lygiašonė. Taigi ši formulė, padedanti rasti trapecijos plotą, yra įstrižainių kvadrato pusgaminė iš kampo tarp jų sinuso: S = ½ d 2 sin a.

Raskite stačiakampės trapecijos plotą

Yra žinomas ypatingas stačiakampės trapecijos atvejis. Tai trapecija, kurios viena šoninė pusė (jos šlaunys) stačiu kampu ribojasi su pagrindais. Jis turi įprastos trapecijos savybių. Be to, jis turi labai įdomią funkciją. Skirtumas tarp tokios trapecijos įstrižainių kvadratų yra lygus skirtumui tarp jos pagrindų kvadratų. Tam naudojami visi anksčiau pateikti ploto skaičiavimo metodai.

Taikant išradingumą

Yra viena gudrybė, kuri gali padėti pamiršus konkrečias formules. Pažiūrėkime atidžiau, kas yra trapecija. Jei mintyse padalijame jį į dalis, gauname pažįstamas ir suprantamas geometrines figūras: kvadratą arba stačiakampį ir trikampį (vieną ar du). Jei žinote trapecijos aukštį ir kraštines, galite naudoti trikampio ir stačiakampio ploto formules ir pridėti visas gautas reikšmes.

Paaiškinkime tai tokiu pavyzdžiu. Jums suteikiama stačiakampė trapecija. Kampas C = 45 °, kampai A, D yra 90 °. Viršutinis trapecijos pagrindas 20 cm, aukštis 16 cm. Reikia apskaičiuoti figūros plotą.

Ši figūra akivaizdžiai susideda iš stačiakampio (jei abu kampai yra 90 °) ir trikampio. Kadangi trapecija yra stačiakampė, todėl jos aukštis lygus jos šoninei kraštinei, tai yra 16 cm. Turime stačiakampį, kurio kraštinės atitinkamai yra 20 ir 16 cm. Dabar apsvarstykite trikampį, kurio kampas yra 45 °. Žinome, kad viena jo kraštinė yra 16 cm.Kadangi ši kraštinė yra kartu ir trapecijos aukštis (ir žinome, kad aukštis krenta į pagrindą stačiu kampu), todėl antrasis trikampio kampas yra 90°. Taigi likęs trikampio kampas yra 45 °. Dėl to gauname stačiakampį lygiašonį trikampį, kurio dvi kraštinės yra vienodos. Tai reiškia, kad kita trikampio pusė lygi aukščiui, tai yra 16 cm. Belieka apskaičiuoti trikampio ir stačiakampio plotą ir pridėti gautas reikšmes.

Stačiakampio trikampio plotas lygus pusei jo kojų sandaugos: S = (16 * 16) / 2 = 128. Stačiakampio plotas lygus jo pločio ir ilgio sandaugai: S = 20 * 16 = 320. Radome reikiamą: trapecijos plotas S = 128 + 320 = 448 kv. žr. Galite lengvai dar kartą patikrinti save naudodami aukščiau pateiktas formules, atsakymas bus identiškas.

Naudojant Picko formulę

Galiausiai pateikiame dar vieną originalią formulę, kuri padeda rasti trapecijos plotą. Ji vadinama Picko formule. Patogu naudoti, kai trapecija nupiešta ant languoto popieriaus. Panašios užduotys dažnai randamos GIA medžiagoje. Tai atrodo taip:

S = M / 2 + N - 1,

šioje formulėje M yra mazgų skaičius, t.y. figūros linijų sankirtos su langelių linijomis ant trapecijos kraštų (oranžiniai taškai paveiksle), N – mazgų skaičius figūros viduje (mėlyni taškai). Patogiausia jį naudoti ieškant netaisyklingo daugiakampio ploto. Nepaisant to, kuo didesnis naudojamų technikų arsenalas, tuo mažiau klaidų ir tuo geresni rezultatai.

Žinoma, pateikta informacija neišsemia trapecijos tipų ir savybių, taip pat jos ploto nustatymo metodų. Šiame straipsnyje apžvelgiamos svarbiausios jo savybės. Sprendžiant geometrinius uždavinius, svarbu veikti palaipsniui, pradėti nuo lengvų formulių ir uždavinių, nuosekliai įtvirtinti supratimą, pereiti į kitą sudėtingumo lygį.

Dažniausiai pasitaikančių formulių sudarymas padės studentams įvairiais būdais naršyti apskaičiuojant trapecijos plotą ir geriau pasiruošti šios temos testams ir testams.

Daugiapusė trapecija ... Ji gali būti savavališka, lygiašonė arba stačiakampė. Ir kiekvienu atveju turite žinoti, kaip rasti trapecijos plotą. Žinoma, pagrindines formules lengviausia atsiminti. Tačiau kartais lengviau naudoti tą, kuris gaunamas atsižvelgiant į visas konkrečios geometrinės figūros ypatybes.

Keletas žodžių apie trapeciją ir jos elementus

Bet koks keturkampis, kurio dvi kraštinės lygiagrečios, gali būti vadinamas trapecija. Apskritai jie nėra lygūs ir vadinami bazėmis. Didesnis yra apatinis, o kitas - viršutinis.

Kitos dvi pusės yra į šoną. Savavališkai trapecijai jie yra skirtingo ilgio. Jei jie yra lygūs, tada figūra tampa lygiašone.

Jei staiga kampas tarp bet kurios pusės ir pagrindo yra lygus 90 laipsnių, tada trapecija yra stačiakampė.

Visos šios savybės gali padėti išspręsti problemą, kaip rasti trapecijos plotą.

Tarp figūros elementų, kurie gali būti būtini sprendžiant problemas, galime išskirti šiuos dalykus:

• aukštis, tai yra atkarpa, statmena abiem pagrindams;
• vidurinė linija, kurios galuose yra šoninių kraštinių vidurio taškai.

Pagal kokią formulę reikia apskaičiuoti plotą, jei žinomi pagrindai ir aukštis?

Ši išraiška pateikiama kaip pagrindinė, nes dažniausiai šias reikšmes galite sužinoti net tada, kai jos nėra aiškiai nurodytos. Taigi, norėdami suprasti, kaip rasti trapecijos plotą, turite pridėti abu pagrindus ir padalyti juos į dvi dalis. Tada gautą vertę padauginkite iš aukščio vertės.

Jei pagrindus pažymėsime raidėmis a 1 ir a 2, aukštį - n, tada ploto formulė atrodys taip:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Formulė, pagal kurią apskaičiuojamas plotas, jei nurodytas jo aukštis ir vidurio linija

Jei atidžiai pažvelgsite į ankstesnę formulę, nesunkiai pastebėsite, kad joje aiškiai yra vidurio linijos reikšmė. Būtent bazių suma padalinta iš dviejų. Tegul vidurinė linija bus pažymėta raide l, tada ploto formulė bus tokia:

S = l * n.

Galimybė rasti sritį pagal įstrižaines

Šis metodas padės, jei žinosite jų suformuotą kampą. Tarkime, kad įstrižainės pažymėtos raidėmis d 1 ir d 2, o kampai tarp jų yra α ir β. Tada formulė, kaip rasti trapecijos plotą, bus parašyta taip:

S = ((q 1 * q 2) / 2) * sin α.

Šioje išraiškoje α galite lengvai pakeisti β. Rezultatas nepasikeis.

Kaip sužinoti plotą, jei žinomos visos figūros pusės?

Taip pat yra situacijų, kai šiame paveiksle žinomos pusės. Ši formulė yra sudėtinga ir sunkiai įsimenama. Bet tikriausiai. Tegul kraštinės turi žymėjimą: ties 1 ir ties 2, 1 pagrindas yra didesnis nei 2. Tada ploto formulė atrodys taip:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (per 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Lygiašonės trapecijos ploto apskaičiavimo metodai

Pirmasis susijęs su tuo, kad jame galima įrašyti apskritimą. Ir žinodami jo spindulį (jis žymimas raide r), taip pat kampą prie pagrindo - γ, galite naudoti šią formulę:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Paskutinė bendroji formulė, pagrįsta žiniomis apie visas figūros puses, bus labai supaprastinta dėl to, kad pusės turi tą pačią reikšmę:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (b 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Stačiakampės trapecijos ploto apskaičiavimo metodai

Akivaizdu, kad bet kuri iš pirmiau minėtų dalykų tiks savavališkai figūrai. Tačiau kartais pravartu žinoti vieną tokios trapecijos ypatybę. Jis susideda iš to, kad skirtumas tarp įstrižainių ilgių kvadratų yra lygus skirtumui, sudarytam iš pagrindų kvadratų.

Dažnai pamirštamos trapecijos formulės, o stačiakampio ir trikampio plotų išraiškos prisimenamos. Tada galima taikyti paprastą būdą. Padalinkite trapeciją į dvi formas, jei ji yra stačiakampė, arba tris. Vienas tikrai bus stačiakampis, o antrasis arba kiti du – trikampiai. Suskaičiavus šių figūrų plotus, belieka juos sudėti.

Tai gana paprastas būdas rasti stačiakampės trapecijos plotą.

O jei žinomos trapecijos viršūnių koordinatės?

Šiuo atveju reikia naudoti išraišką, leidžiančią nustatyti atstumą tarp taškų. Galima tepti tris kartus: išsiaiškinti abu pagrindus ir vieną aukštį. Ir tada tiesiog pritaikykite pirmąją formulę, kuri aprašyta šiek tiek aukščiau.

Norint iliustruoti tokį metodą, galima pateikti tokį pavyzdį. Pateikiamos viršūnės su koordinatėmis A (5; 7), B (8; 7), C (10; 1), D (1; 1). Turite išsiaiškinti figūros plotą.

Prieš surasdami trapecijos plotą, iš koordinačių turite apskaičiuoti pagrindų ilgius. Jums reikės šios formulės:

atkarpos ilgis = √ ((pirmųjų taškų koordinačių skirtumas) 2 + (antrųjų taškų koordinačių skirtumas) 2).

Viršutinė bazė žymima AB, o tai reiškia, kad jos ilgis bus lygus √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Apatinė - SD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2) = √81 = 9.

Dabar turime nubrėžti aukštį nuo viršaus iki apačios. Tegul jos pradžia yra taške A. Atkarpos pabaiga bus apatiniame pagrinde taške su koordinatėmis (5; 1), tebūnie taškas H. Atkarpos AH ilgis bus lygus √ ((5) -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Belieka tik pakeisti gautas reikšmes į trapecijos ploto formulę:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problema buvo išspręsta be matavimo vienetų, nes nebuvo nurodyta koordinačių tinklelio skalė. Tai gali būti milimetras arba metras.

Užduočių pavyzdžiai

Nr 1. Būklė. Kampas tarp savavališkos trapecijos įstrižainių yra žinomas, jis lygus 30 laipsnių. Mažesnė įstrižainė yra 3 dm, o antroji yra 2 kartus didesnė už ją. Būtina apskaičiuoti trapecijos plotą.

Sprendimas. Pirmiausia reikia išsiaiškinti antrosios įstrižainės ilgį, nes be to atsakymo suskaičiuoti nepavyks. Tai nesunku apskaičiuoti, 3 * 2 = 6 (dm).

Dabar turime naudoti tinkamą sričiai formulę:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problema išspręsta.

Atsakymas: trapecijos plotas yra 4,5 dm 2.

Nr 2. Būklė. AVSD trapecijoje pagrindai yra kraujospūdžio ir BC segmentai. Taškas E yra SD pusės vidurys. Iš jo brėžiamas statmenas tiesei AB, šios atkarpos pabaiga žymima raide N. Žinoma, kad AB ir EH ilgiai yra atitinkamai 5 ir 4 cm. Reikia apskaičiuoti plotą trapecija.

Sprendimas. Pirmiausia reikia padaryti piešinį. Kadangi statmeno reikšmė yra mažesnė už kraštinę, į kurią jis nubrėžtas, trapecija bus šiek tiek pailgėjusi į viršų. Taigi EH bus figūros viduje.

Norėdami aiškiai matyti problemos sprendimo eigą, turėsite atlikti papildomą statybą. Būtent, nubrėžkite tiesią liniją, kuri bus lygiagreti AB pusei. Šios tiesės susikirtimo taškai su HELL yra P, o su BC tęsiniu - X. Gauta figūra ВХРА yra lygiagretainis. Be to, jo plotas lygus reikiamam. Taip yra dėl to, kad su papildoma konstrukcija gauti trikampiai yra lygūs. Tai išplaukia iš šono ir dviejų gretimų kampų lygybės, vienas yra vertikalus, kitas - kryžminis.

Lygiagretainio plotą galite rasti naudodami formulę, kurioje yra kraštinės sandauga ir nukritęs aukštis.

Taigi trapecijos plotas yra 5 * 4 = 20 cm 2.

Atsakymas: S = 20 cm 2.

Nr 3. Būklė. Lygiašonės trapecijos elementai turi šias reikšmes: apatinis pagrindas - 14 cm, viršutinis - 4 cm, smailusis kampas - 45º. Reikia apskaičiuoti jo plotą.

Sprendimas. Tegul mažesnis pagrindas yra pažymėtas BC. Iš taško B nubrėžtas aukštis bus vadinamas BH. Kadangi kampas yra 45º, trikampis ABN pasirodys stačiakampis ir lygiašonis. Taigi AH = BH. O NA labai lengva rasti. Jis lygus pusei bazių skirtumo. Tai yra (14–4) / 2 = 10/2 = 5 (cm).

Pagrindai žinomi, aukštis paskaičiuotas. Galite naudoti pirmąją formulę, kuri čia buvo laikoma savavališkai trapecijai.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Atsakymas: Reikalingas plotas yra 45 cm 2.

Nr 4. Būklė. Yra savavališkas trapecijos formos AVSD. Jo šoninėse pusėse paimti taškai O ir E, kad OE būtų lygiagreti kraujospūdžio pagrindui. AOED trapecijos plotas yra penkis kartus didesnis nei CFE. Apskaičiuokite OE reikšmę, jei žinomi baziniai ilgiai.

Sprendimas. Jums reikės nubrėžti dvi lygiagrečias AB tieses: pirmoji per tašką C, jo susikirtimas su OE - taškas T; antrasis per E ir susikirtimo su kraujospūdžiu taškas bus M.

Tegul nežinomas OE = x. Mažesnės trapecijos OVSE aukštis - n 1, didesnis AOED - n 2.

Kadangi šių dviejų trapecijų plotai yra susiję nuo 1 iki 5, galime parašyti tokią lygybę:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Trikampių aukščiai ir kraštinės yra proporcingi konstrukcijai. Todėl galima parašyti dar vieną lygybę:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

Paskutiniuose dviejuose įrašuose kairėje pusėje yra vienodos reikšmės, o tai reiškia, kad galite parašyti, kad (x + a 1) / (5 (x + a 2)) yra lygus (x - a 2) / (a ​​​1-x).

Čia reikia atlikti daugybę transformacijų. Pirmiausia padauginkite skersai. Atsiras skliaustai, rodantys kvadratų skirtumą, pritaikę šią formulę gausite trumpą lygtį.

Jame reikia atidaryti skliaustus ir perkelti visus terminus iš nežinomo „x“ į kairę, o tada ištraukti kvadratinę šaknį.

Atsakymas: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Praėjusių metų USE ir GIA praktika rodo, kad geometrijos problemos daugeliui moksleivių sukelia sunkumų. Su jais nesunkiai susidorosite, jei įsiminsite visas reikalingas formules ir pasimokysite spręsti problemas.

Šiame straipsnyje pamatysite formules, kaip rasti trapecijos plotą, taip pat problemų su sprendimų pavyzdžius. Tokius pačius KIM galite rasti per sertifikavimo egzaminus arba olimpiadose. Todėl elkitės su jais atsargiai.

Ką reikia žinoti apie trapeciją?

Pirma, prisiminkime tai trapecijos formos vadinamas keturkampiu, kuris turi dvi priešingas kraštines, jos dar vadinamos bazėmis, yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne.

Aukštis taip pat gali būti sumažintas trapecijoje (statmenai pagrindui). Nubrėžta vidurinė linija - tai tiesi linija, lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos. Taip pat įstrižainės, kurios gali susikirsti, sudarydamos aštrius ir bukus kampus. Arba kai kuriais atvejais stačiu kampu. Be to, jei trapecija lygiašonė, į ją galima įrašyti apskritimą. Ir apibūdinkite ratą aplink jį.

Trapecijos ploto formulės

Pirmiausia apsvarstykite standartines trapecijos ploto nustatymo formules. Žemiau apsvarstysime lygiašonių ir išlenktų trapecijų ploto apskaičiavimo būdus.

Taigi įsivaizduokite, kad turite trapeciją su pagrindais a ir b, kurioje aukštis h nuleistas į didesnį pagrindą. Apskaičiuoti figūros plotą šiuo atveju taip pat lengva, kaip kriaušes išlukštenti. Jums tereikia padalyti iš dviejų pagrindų ilgių sumą ir padauginti gautą skaičių iš aukščio: S = 1/2 (a + b) * h.

Paimkime kitą atvejį: tarkime, kad trapecijoje, be aukščio, nubrėžta vidurinė linija m. Žinome vidurio linijos ilgio nustatymo formulę: m = 1/2 (a + b). Todėl mes galime teisėtai supaprastinti trapecijos ploto formulę iki šios formos: S = m * h... Kitaip tariant, norėdami rasti trapecijos plotą, turite padauginti vidurio liniją iš aukščio.

Apsvarstykite kitą variantą: trapecijoje brėžiamos įstrižainės d 1 ir d 2, kurios nesikerta stačiu kampu α. Norėdami apskaičiuoti tokios trapecijos plotą, turite padalyti iš dviejų įstrižainių sandaugą ir padauginti rezultatą iš kampo tarp jų nuodėmės: S = 1 / 2d 1 d 2 * sinα.

Dabar apsvarstykite trapecijos ploto nustatymo formulę, jei apie ją nieko nežinoma, išskyrus visų jos kraštinių ilgius: a, b, c ir d. Tai sudėtinga ir sudėtinga formulė, tačiau jums bus naudinga ją prisiminti, bet kuriuo atveju: S = 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Beje, aukščiau pateikti pavyzdžiai tinka ir tuo atveju, kai reikia stačiakampės trapecijos ploto formulės. Tai trapecija, kurios šonas stačiu kampu prigludęs prie pagrindų.

Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios kraštinės lygios, vadinama lygiašone. Apsvarstysime keletą lygiašonės trapecijos ploto formulės variantų.

Pirmasis variantas: tam atvejui, kai lygiašonės trapecijos viduje įrašytas apskritimas, kurio spindulys yra r, o šoninė pusė ir didesnis pagrindas sudaro smailią kampą α. Į trapeciją galima įrašyti apskritimą, jei jo pagrindų ilgių suma lygi kraštinių ilgių sumai.

Lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip: įbrėžto apskritimo spindulio kvadratą padauginkite iš keturių ir viską padalinkite iš sinα: S = 4r 2 / sinα... Kita ploto formulė yra ypatingas atvejis, kai kampas tarp didelio pagrindo ir šono yra 30 0: S = 8r 2.

Antras variantas: šį kartą imame lygiašonę trapeciją, kurioje papildomai nubrėžtos įstrižainės d 1 ir d 2 bei aukštis h. Jei trapecijos įstrižainės yra viena kitai statmenos, aukštis yra pusė pagrindų sumos: h = 1/2 (a + b). Tai žinant, jau žinomą trapecijos ploto formulę nesunku paversti tokia forma: S = h 2.

Išlenktos trapecijos ploto formulė

Pradėkime nuo to, kas yra išlenkta trapecija. Įsivaizduokite koordinačių ašį ir ištisinės ir neneigiamos funkcijos f, kuri nekeičia ženklo x ašies atkarpoje, koordinačių ašį. Kreivinę trapeciją sudaro funkcijos y = f (x) grafikas - viršuje, x ašis - apačioje (segmentas), o šonuose - tiesios linijos, nubrėžtos tarp taškų a ir b ir funkcijos grafikas.

Neįmanoma apskaičiuoti tokios nestandartinės formos ploto aukščiau pateiktais metodais. Čia reikia taikyti matematinę analizę ir naudoti integralą. Būtent: Niutono-Leibnizo formulė - S = ∫ b a f (x) dx = F (x) │ b a = F (b) - F (a)... Šioje formulėje F yra mūsų funkcijos pasirinktame segmente antidarinys. O kreivinės trapecijos plotas atitinka tam tikro segmento antidarinio prieaugį.

Užduočių pavyzdžiai

Kad visos šios formulės geriau įsitvirtintų jūsų galvoje, pateikiame keletą problemų, susijusių su trapecijos ploto paieška. Geriausia bus, jei iš pradžių problemas bandysite išspręsti patys, o tik tada gautą atsakymą patikrinsite jau paruoštu sprendimu.

1 užduotis: Duota trapecija. Jo didesnis pagrindas 11 cm, mažesnis 4 cm. Į trapeciją brėžiamos įstrižainės, vienos 12 cm ilgio, kitos 9 cm ilgio.

Sprendimas: Sukurkite trapeciją AMRS. Nubrėžkite tiesę PX per viršūnę P taip, kad ji būtų lygiagreti MC įstrižai ir kerta tiesę AC taške X. Gausite trikampį ARX.

Mes apsvarstysime dvi figūras, gautas atlikus šias manipuliacijas: ARX trikampį ir CMRX lygiagretainį.

Lygiagretainio dėka sužinome, kad PX = MC = 12 cm ir CX = MR = 4 cm. Kur galime apskaičiuoti trikampio ARX kraštinę AX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Taip pat galime įrodyti, kad trikampis ARX yra stačiakampis (tam taikykite Pitagoro teoremą - AX 2 = AR 2 + PX 2). Ir apskaičiuokite jo plotą: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Tada turite įrodyti, kad trikampiai AMP ir PCX yra lygūs. Pagrindas bus pusių МР ir СХ lygybė (jau įrodyta aukščiau). Taip pat aukščiai, kuriuos nuleidžiate šiose pusėse – jie lygūs AMRS trapecijos aukščiui.

Visa tai leis jums teigti, kad S AMPC = S APX = 54 cm 2.

2 užduotis: Duota trapecija KRMS. O ir E taškai yra jo šoninėse pusėse, o OE ir KC yra lygiagrečiai. Taip pat žinoma, kad trapecijos ORME ir OCE plotai yra santykiu 1:5. PM = a ir KC = b. Būtina rasti OE.

Sprendimas: per tašką M nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią RC, ir nurodykite jos susikirtimo su OE tašką T. A - tiesės, nubrėžtos per tašką E, lygiagrečią RC, susikirtimo taškas su RC pagrindu. COP.

Įveskime dar vieną žymėjimą – OE = x. Taip pat aukštis h 1 TME trikampiui ir aukštis h 2 AEC trikampiui (galite nepriklausomai įrodyti šių trikampių panašumą).

Darysime prielaidą, kad b> a. Trapecijos ORME ir OKSE plotai yra susieti kaip 1: 5, o tai suteikia teisę sudaryti tokią lygtį: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Transformuokime ir gaukime: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Kadangi trikampiai TME ir AEC yra panašūs, turime h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Sujunkite abu įrašus ir gaukite: (x - a) / (b - x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) = (b) + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) = (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Taigi, OE = x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Išvada

Geometrija nėra pats lengviausias mokslas, bet su egzamino užduotimis tikrai susidorosi. Pakanka parodyti šiek tiek atkaklumo ruošiantis. Ir, žinoma, atsiminkite visas reikalingas formules.

Stengėmės vienoje vietoje surinkti visas trapecijos ploto skaičiavimo formules, kad galėtumėte jas panaudoti ruošdamiesi egzaminams ir peržiūrėdami medžiagą.

Būtinai pasidalinkite šiuo straipsniu su savo klasės draugais ir draugais socialiniuose tinkluose. Tegul būna daugiau gerų Vieningojo valstybinio egzamino ir Valstybinės egzaminų agentūros pažymių!

tinklaraštį., visiškai ar iš dalies nukopijuojant medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

IR . Dabar galite pradėti svarstyti, kaip rasti trapecijos plotą. Ši užduotis kasdieniame gyvenime pasitaiko labai retai, tačiau kartais paaiškėja, kad reikia, pavyzdžiui, rasti kambario plotą trapecijos pavidalu, kuris vis dažniau naudojamas statant modernius butus arba projektuoti renovacijos projektus.

Trapecija yra geometrinė figūra, sudaryta iš keturių susikertančių tiesių atkarpų, iš kurių dvi lygiagrečios viena kitai ir vadinamos trapecijos pagrindais. Kiti du segmentai vadinami trapecijos kraštinėmis. Be to, toliau bus naudingas dar vienas apibrėžimas. Tai trapecijos vidurinė linija, kuri yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus ir trapecijos aukštį, lygų atstumui tarp pagrindų.
Kaip ir trikampiai, trapecija turi tam tikrus vaizdus: lygiašonis (lygiašonis) trapecija, kurios kraštinių ilgiai yra vienodi, ir stačiakampė trapecija, kurios viena iš kraštinių sudaro stačią kampą su pagrindais.

Trapecijos turi keletą įdomių savybių:

1. Trapecijos vidurinė linija lygi bazių pusei ir yra lygiagreti jiems.
   
2. Lygiašonių trapecijų kraštinės ir kampai, kuriuos jie sudaro su pagrindais, yra lygūs.
   
3. Trapecijos įstrižainių vidurio taškai ir jos įstrižainių susikirtimo taškas yra toje pačioje tiesėje.
   
4. Jei trapecijos kraštinių suma lygi pagrindų sumai, tai į ją galima įrašyti apskritimą
   
5. Jei kampų, kuriuos sudaro trapecijos kraštinės bet kuriame iš jos pagrindų, suma yra 90, tai atkarpos, jungiančios pagrindų vidurio taškus, ilgis yra lygus jų pusės skirtumui.
   
6. Lygiašonę trapeciją galima apibūdinti apskritimu. Ir atvirkščiai. Jei trapecija telpa į apskritimą, tada ji yra lygiašonė.
   
7. Atkarpa, einanti per lygiašonės trapecijos pagrindų vidurio taškus, bus statmena jos pagrindams ir žymi simetrijos ašį.
   

Kaip rasti trapecijos plotą.

Trapecijos plotas bus lygus pusei jos pagrindų sumos, padauginta iš aukščio. Formulės pavidalu tai parašyta išraiškos forma:

kur S – trapecijos plotas, a, b – kiekvieno trapecijos pagrindo ilgis, h – trapecijos aukštis.

Šią formulę galite suprasti ir atsiminti taip. Kaip matyti iš toliau pateikto paveikslo, trapecija, naudojant vidurinę liniją, gali būti paversta stačiakampiu, kurio ilgis bus lygus pusei bazių sumos.

Taip pat galite išskaidyti bet kurią trapeciją į paprastesnes formas: stačiakampį ir vieną ar du trikampius, o jei jums lengviau, tada raskite trapecijos plotą kaip ją sudarančių figūrų plotų sumą.

Yra dar viena paprasta formulė jo plotui apskaičiuoti. Pagal ją trapecijos plotas lygus jos vidurio linijos sandaugai iš trapecijos aukščio ir rašomas taip: S = m * h, kur S yra plotas, m yra vidurio linijos ilgis, h yra trapecijos aukštis. Ši formulė labiau tinka matematinėms, o ne kasdienėms užduotims, nes realiomis sąlygomis be išankstinių skaičiavimų nesužinosite vidurio linijos ilgio. O jūs žinosite tik pagrindų ir šonų ilgius.

Šiuo atveju trapecijos plotą galima rasti pagal formulę:

S = ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2/2 (b-a)) 2

kur S – plotas, a, b – pagrindai, c, d – trapecijos kraštinės.

Yra dar keletas būdų, kaip rasti trapecijos plotą. Tačiau jie yra beveik tokie pat nepatogūs kaip paskutinė formulė, o tai reiškia, kad nėra prasmės prie jų galvoti. Todėl rekomenduojame naudoti pirmąją formulę iš straipsnio ir norime visada gauti tikslius rezultatus.

Trapecijos plotas. Sveikinimai! Šiame įraše pažvelgsime į nurodytą formulę. Kodėl ji lygiai tokia pati ir kaip ją suprasti. Jei yra supratimo, tai nereikia jo mokytis. Jei norite tiesiog pamatyti šią formulę ir tai, kas yra skubu, galite nedelsdami slinkti puslapiu žemyn))

Dabar išsamiai ir tvarkingai.

Trapecija yra keturkampis, dvi šio keturkampio kraštinės lygiagrečios, kitos dvi – ne. Tie, kurie nėra lygiagretūs, yra trapecijos pagrindai. Kiti du vadinami šonais.

Jei kraštinės lygios, tada trapecija vadinama lygiašone. Jei viena iš šoninių kraštinių yra statmena pagrindams, tai tokia trapecija vadinama stačiakampe.

Klasikinėje formoje trapecija vaizduojama taip - didesnis pagrindas yra apačioje, mažesnis - viršuje. Tačiau niekas nedraudžia jos vaizduoti ir atvirkščiai. Štai eskizai:

Kita svarbi koncepcija.

Trapecijos vidurio linija yra linijos atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus. Vidurinė linija lygiagreti trapecijos pagrindams ir lygi jų pusei.

Dabar pasigilinkime giliau. Kodėl taip yra?

Apsvarstykite trapeciją su pagrindais a ir b ir su vidurine linija l, ir atliksime keletą papildomų konstrukcijų: per pagrindus brėžsime tiesias linijas, o per vidurinės linijos galus – statmenas, kol susikirs su pagrindais:

* Viršūnių ir kitų taškų raidiniai žymėjimai nėra sąmoningai įvedami, kad būtų išvengta nereikalingų žymėjimų.

Žiūrėkite, 1 ir 2 trikampiai yra lygūs antrajame trikampių lygybės ženkle, 3 ir 4 trikampiai yra vienodi. Trikampių lygybė reiškia elementų, būtent kojų, lygybę (jos pažymėtos atitinkamai mėlyna ir raudona spalva).

Dabar dėmesio! Jei mintyse „nukirsime“ mėlyną ir raudoną segmentą nuo apatinio pagrindo, tada turėsime segmentą (tai yra stačiakampio kraštinė), lygų vidurinei linijai. Be to, jei nupjautą mėlyną ir raudoną liniją „priklijuosime“ prie viršutinio trapecijos pagrindo, taip pat gausime atkarpą (tai taip pat yra stačiakampio kraštinė), lygią vidurinei trapecijos linijai.

Supratau? Pasirodo, pagrindų suma bus lygi dviem vidurinėms trapecijos linijoms:

Žiūrėkite kitą paaiškinimą

Darykime taip – ​​nutieskite tiesią liniją, einančią per apatinį trapecijos pagrindą, ir tiesę, kuri eis per taškus A ir B:

Mes gauname trikampius 1 ir 2, jie lygūs šone ir kampai greta jo (antrasis trikampių lygybės ženklas). Tai reiškia, kad gautas segmentas (eskize jis pažymėtas mėlyna spalva) yra lygus viršutinei trapecijos pagrindui.

Dabar apsvarstykite trikampį:

* Šios trapecijos vidurio linija ir trikampio vidurio linija sutampa.

Yra žinoma, kad trikampis yra lygus pusei jo lygiagrečios bazės, tai yra:

Gerai, sutvarkiau. Dabar apie trapecijos plotą.

Trapecijos ploto formulė:

Jie sako: trapecijos plotas lygus jos pagrindų ir aukščio pusės sumos sandaugai.

Tai yra, paaiškėja, kad jis yra lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai:

Tikriausiai jau pastebėjote, kad tai akivaizdu. Geometriškai tai galima išreikšti taip: jei mintyse nupjausime 2 ir 4 trikampius nuo trapecijos ir atitinkamai juos pastatysime ant 1 ir 3 trikampių:

Tada gauname stačiakampį, kurio plotas lygus mūsų trapecijos plotui. Šio stačiakampio plotas bus lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai, tai yra, galime parašyti:

Bet esmė čia, žinoma, ne įraše, o supratimu.

Atsisiųskite (peržiūrėkite) straipsnio medžiagą * pdf formatu

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras.