Daugiakampis

Pagrindinis stereometrijos tyrimo objektas yra erdviniai kūnai. kūnas yra tam tikro paviršiaus ribojama erdvės dalis.

Daugiakampis vadinamas kūnu, kurio paviršių sudaro baigtinis skaičius plokščių daugiakampių. Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra vienoje kiekvieno plokščio daugiakampio plokštumos pusėje ant jo paviršiaus. Bendroji tokios plokštumos dalis ir daugiakampio paviršius vadinamas kraštas... Išgaubto politopo veidai yra plokšti išgaubti daugiakampiai. Veidų šonai vadinami daugiakampio kraštus o viršūnės yra daugiakampio viršūnės.

Pavyzdžiui, kubą sudaro šeši kvadratai, kurie yra jo veidai. Jame yra 12 kraštų (kvadratų kraštinės) ir 8 viršūnės (kvadratų viršūnės).

Paprasčiausios daugiakampės yra prizmės ir piramidės, kurias toliau nagrinėsime.

Prizmė

Prizmės apibrėžimas ir savybės

Prizmė vadinamas daugiakampiu, susidedančiu iš dviejų plokštumų daugiakampių, esančių lygiagrečiose plokštumose, sujungtų lygiagrečiu vertimu, ir visų segmentų, jungiančių atitinkamus šių daugiakampių taškus. Daugiakampiai vadinami prizmės pagrindai, o segmentai, jungiantys atitinkamas daugiakampių viršūnes, yra šoniniai prizmės kraštai.

Prizmės aukštis yra atstumas tarp jo bazių plokštumų (). Vadinamas segmentas, jungiantis dvi prizmės viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam veidui įstrižainės prizmė(). Prizmė vadinama n pusė jei jo pagrinde yra n-gonas.

Bet kuri prizmė turi šias savybes, atsirandančias dėl to, kad prizmės pagrindai lygiagrečiai perkeliami:

1. Prizmės pagrindai yra lygūs.

2. Prizmės šoniniai kraštai lygiagretūs ir lygūs.

Prizmės paviršių sudaro pagrindai ir šoninis paviršius... Šoninį prizmės paviršių sudaro lygiagretainiai (tai išplaukia iš prizmės savybių). Prizmės šoninio paviršiaus plotas yra šoninių paviršių plotų suma.

Tiesi prizmė

Prizmė vadinama tiesiai jei jo šoniniai kraštai statmeni pagrindams. Priešingu atveju prizmė vadinama įstrižai.

Tiesios prizmės veidai yra stačiakampiai. Tiesios prizmės aukštis yra lygus šoniniams paviršiams.

Visas prizmės paviršius vadinama šoninio paviršiaus ploto ir pagrindų plotų suma.

Teisinga prizmė vadinama tiesia prizme su taisyklingu daugiakampiu pagrinde.

13.1 teorema... Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas yra lygus perimetro sandaugai pagal prizmės aukštį (arba, tas pats, pagal šoninį kraštą).

Įrodymas. Tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai, kurių pagrindai yra daugiakampių kraštinės prizmės pagrinduose, o aukščiai - šoniniai prizmės kraštai. Tada pagal apibrėžimą šoninis paviršiaus plotas yra:

,

kur yra tiesios prizmės pagrindo perimetras.

Lygiagretis

Jei prizmės pagrinduose yra lygiagretainiai, tai vadinama lygiagretainis... Visi lygiagretainio veidai yra lygiagretainiai. Šiuo atveju gretasienio priešingos pusės yra lygiagrečios ir lygios.

13.2 teorema... Lygiagretainio įstrižainės susikerta viename taške, o susikirtimo taškas yra perpus mažesnis.

Įrodymas. Pavyzdžiui, apsvarstykite dvi savavališkas įstrižas ir. Kadangi lygiagretainio veidai yra lygiagretainiai, tada ir, taigi, pagal T apie dvi tiesias lygiagrečias trečiajai. Be to, tai reiškia, kad linijos ir yra toje pačioje plokštumoje (plokštumoje). Ši plokštuma kerta lygiagrečias plokštumas ir išilgai lygiagrečių linijų ir. Taigi keturkampis yra lygiagretainis, o lygiagretainio savybe jo įstrižainės ir susikerta, o susikirtimo taškas yra padalintas į pusę, ką ir turėjome įrodyti.

Tiesus gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis, vadinamas stačiakampis gretasienis... Visi stačiakampio gretasienio veidai yra stačiakampiai. Stačiakampio gretasienio nelygiagrečių briaunų ilgiai vadinami jo tiesiniais matmenimis (matavimais). Yra trys tokie dydžiai (plotis, aukštis, ilgis).

13.3 teorema... Stačiakampio lygiagretainio formos bet kurios įstrižainės kvadratas yra lygus trijų jo matmenų kvadratų sumai (įrodyta naudojant dvigubą T Pitagoro taikymą).

Stačiakampis gretasienis, kurio visi kraštai yra lygūs, vadinamas kubas.

Užduotys

13.1 Kiek įstrižainių n- kampinė prizmė

13.2 Įstrižoje trikampėje prizmėje atstumai tarp šoninių briaunų yra 37, 13 ir 40. Raskite atstumą tarp didesnio šoninio krašto ir priešingo šoninio krašto.

13.3 Per taisyklingos trikampės prizmės apatinio pagrindo kraštą brėžiama plokštuma, kuri kerta šoninius paviršius išilgai segmentų, tarp kurių yra kampas. Raskite šios plokštumos nuolydžio kampą prie prizmės pagrindo.

Apibrėžimas 1. Prizminis paviršius
Teorema 1. Ant lygiagrečių prizminio paviršiaus pjūvių
Apibrėžimas 2. Prizminio paviršiaus statmenas pjūvis
Apibrėžimas 3. Prizmė
Apibrėžimas 4. Prizmės aukštis
Apibrėžimas 5. Tiesi prizmė
Teorema 2. Prizmės šoninio paviršiaus plotas

Lygiagretis:
Apibrėžimas 6. Langelis
Teorema 3. Dėl lygiagretainio įstrižainių sankirtos
Apibrėžimas 7. Dešinysis gretasienis
Apibrėžimas 8. Stačiakampis gretasienis
Apibrėžimas 9. Lygiagretainio matavimai
Apibrėžimas 10. Kubas
Apibrėžimas 11. Romboedras
Teorema 4. Ant stačiakampio gretasienio įstrižainių
Teorema 5. Prizmės tūris
Teorema 6. Tiesios prizmės tūris
Teorema 7. Stačiakampio gretasienio tūris

Prizmė vadinamas daugiakampiu, kuriame du veidai (pagrindai) yra lygiagrečiose plokštumose, o kraštai, kurie nėra šiuose veiduose, yra lygiagrečiai vienas kitam.
Veidai, išskyrus pagrindus, vadinami šoninis.
Šoninių paviršių ir pagrindų pusės vadinamos prizmės šonkauliai, šonkaulių galai vadinami prizmės viršūnės. Šoniniai šonkauliai kraštai, kurie nepriklauso bazėms, vadinami. Šoninių veidų sąjunga vadinama šoninis prizmės paviršius, ir vadinama visų veidų sąjunga pilnas prizmės paviršius. Prizmės aukštis vadinamas statmeniu, nukritusiu nuo viršutinio pagrindo taško iki apatinio pagrindo plokštumos arba šio statmens ilgio. Tiesi prizmė vadinama prizme, kurioje šoniniai kraštai statmeni pagrindų plokštumoms. Teisingai vadinama tiesia prizme (3 pav.), kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis.

Legenda:
l - šoninis šonkaulis;
P yra pagrindo perimetras;
S o - bazinis plotas;
H - aukštis;
P ^ - statmenos sekcijos perimetras;
S b - šoninio paviršiaus plotas;
V yra tūris;
S p - viso prizmės paviršiaus plotas.

V = SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

1 apibrėžimas ... Prizminis paviršius yra figūra, sudaryta iš kelių plokštumų dalių, lygiagrečių vienai tiesei, kurią riboja tos tiesės, kuriomis šios plokštumos iš eilės kerta viena kitą *; šios tiesės yra lygiagrečios viena kitai ir vadinamos prizminio paviršiaus kraštai.
*Manoma, kad kas dvi iš eilės esančios plokštumos susikerta, o paskutinė plokštuma kerta pirmąją

1 teorema ... Prizminio paviršiaus pjūviai lygiagrečiai vienas kitam (bet ne lygiagrečiai jo kraštams) plokštumomis yra lygūs daugiakampiai.
Tegul ABCDE ir A "B" C "D" E "yra prizminio paviršiaus pjūviai dviem lygiagrečiomis plokštumomis. Kad įsitikintumėte, jog šie du daugiakampiai yra lygūs, pakanka parodyti, kad trikampiai ABC ir A" B "C" yra vienodi ir turi tą pačią sukimosi kryptį ir tas pats pasakytina apie trikampius ABD ir A "B" D ", ABE ir A" B "E". Bet atitinkamos šių trikampių kraštinės yra lygiagrečios (pavyzdžiui, kintamoji lygiagreti A "C") kaip tam tikros plokštumos ir dviejų lygiagrečių plokštumų susikirtimo linijos; iš to išplaukia, kad šios kraštinės yra lygios (pavyzdžiui, AC lygi A "C") kaip priešingos lygiagretainio kraštinės ir kad šių kraštinių suformuoti kampai yra lygūs ir turi tą pačią kryptį.

2 apibrėžimas ... Statmena prizminio paviršiaus atkarpa šio paviršiaus pjūviu vadinama plokštuma, statmena jo kraštams. Remiantis ankstesne teorema, visos to paties prizminio paviršiaus statmenos atkarpos bus vienodi daugiakampiai.

3 apibrėžimas ... Prizmė yra daugiakampis, kurį riboja prizminis paviršius ir dvi plokštumos, lygiagrečios viena kitai (bet ne lygiagrečios prizminio paviršiaus kraštams)
Šiuose paskutiniuose lėktuvuose gulintys veidai vadinami prizmės pagrindai; veidai, priklausantys prizminiam paviršiui - šoniniai veidai; prizminio paviršiaus kraštai - šoniniai prizmės kraštai... Remiantis ankstesne teorema, prizmės pagrindai yra lygūs daugiakampiai... Visi šoniniai prizmės paviršiai - lygiagretainiai; visi šoniniai kraštai yra lygūs.
Akivaizdu, kad jei jums bus duotas prizmės pagrindas ABCDE ir vienas iš kraštų AA "dydžio ir krypties, tuomet prizmę galite sukurti piešdami kraštus BB", CC ", .., lygius ir lygiagrečius kraštinei AA ".

4 apibrėžimas ... Prizmės aukštis yra atstumas tarp jo pagrindų plokštumų (HH ").

5 apibrėžimas ... Prizmė vadinama tiesia, jei jos pagrindai yra statmenos prizminio paviršiaus pjūviai. Šiuo atveju prizmės aukštis, žinoma, yra jo šoninis šonkaulis; šoniniai veidai bus stačiakampiai.
Prizmes galima klasifikuoti pagal šoninių paviršių skaičių, lygų daugiakampio, kuris yra jo pagrindas, kraštinių skaičiui. Taigi prizmės gali būti trikampės, keturkampės, penkiakampės ir kt.

2 teorema ... Prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus šoninio krašto sandaugai pagal statmenos pjūvio perimetrą.
Tegul ABCDEA "B" C "D" E " - ši prizmė ir abcde - jos statmena atkarpa, kad segmentai ab, bc, .. būtų statmeni jo šoniniams kraštams. Veidas ABA" B "yra lygiagretainis; jo plotas yra lygus bazės AA sandaugai iki aukščio, kuris sutampa su ab; BCB „C“ paviršiaus plotas yra lygus pagrindo BB sandaugai pagal aukštį bc ir pan. Todėl šoninis paviršius (tai yra šoninių paviršių suma) yra lygus gaminiui šoninio šonkaulio, kitaip tariant, bendras segmentų ilgis AA ", BB", .., sumai ab + bc + cd + de + ea.

Stereometrijos kurso mokyklos programoje tūrinių figūrų tyrimas paprastai prasideda paprastu geometriniu kūnu - prizmės daugiakampiu. Jo pagrindų vaidmenį atlieka 2 lygiagrečios plokštumos gulintys vienodi daugiakampiai. Ypatingas atvejis yra taisyklingoji keturkampė prizmė. Jo pagrindai yra 2 identiški taisyklingi keturkampiai, į kuriuos šoninės kraštinės yra statmenos, lygiagretainių pavidalu (arba stačiakampiai, jei prizmė nėra pasvirusi).

Kaip atrodo prizmė

Taisyklinga keturkampė prizmė vadinama šešiakampiu, kurio pagrinduose yra 2 kvadratai, o šoniniai paviršiai pavaizduoti stačiakampiais. Kitas šios geometrinės figūros pavadinimas yra tiesus gretasienis.

Žemiau pateiktas brėžinys, kuriame pavaizduota keturkampė prizmė.

Nuotraukoje taip pat parodyta svarbiausi elementai, sudarantys geometrinį kūną... Į juos įprasta kreiptis:

Kartais geometrijos uždaviniuose galima rasti pjūvio sąvoką. Apibrėžimas skambės taip: pjūvis yra visi tūrinio kūno taškai, priklausantys pjovimo plokštumai. Pjūvis yra statmenas (jis kerta figūros kraštus 90 laipsnių kampu). Stačiakampės prizmės atveju taip pat atsižvelgiama į įstrižainį pjūvį (didžiausias leidžiamas sekcijų skaičius yra 2), einantis per 2 pagrindo kraštus ir įstrižaines.

Jei pjūvis nubrėžtas taip, kad pjovimo plokštuma nebūtų lygiagreti nei pagrindams, nei šoniniams paviršiams, rezultatas yra sutrumpinta prizmė.

Siekiant rasti sumažintus prizminius elementus, naudojami įvairūs santykiai ir formulės. Kai kurie iš jų žinomi iš planimetrijos eigos (pavyzdžiui, norint rasti prizmės pagrindo plotą, pakanka prisiminti kvadrato ploto formulę).

Paviršius ir tūris

Norėdami nustatyti prizmės tūrį naudodami formulę, turite žinoti jos pagrindo plotą ir aukštį:

V = S pagrindinis h

Kadangi taisyklingos tetraedrinės prizmės pagrindas yra kvadratas su šonu a, Galite parašyti formulę išsamiau:

V = a² h

Jei mes kalbame apie kubą - taisyklingą vienodo ilgio, pločio ir aukščio prizmę, tūris apskaičiuojamas taip:

Norėdami suprasti, kaip rasti prizmės šoninio paviršiaus plotą, turite įsivaizduoti jo išsiskleidimą.

Brėžinyje parodyta, kad šoninis paviršius sudarytas iš 4 vienodų stačiakampių. Jo plotas apskaičiuojamas kaip pagrindo perimetro ir figūros aukščio sandauga:

Šonas = P pagrindinis h

Atsižvelgiant į tai, kad kvadrato perimetras yra P = 4a, formulė yra tokia:

Šoninė = 4a val

Kubui:

Šoninė = 4a²

Norėdami apskaičiuoti bendrą prizmės paviršiaus plotą, pridėkite 2 pagrindinius plotus prie šoninio ploto:

S pilnas = S kraštas + 2S pagrindinis

Kalbant apie taisyklingą keturkampę prizmę, formulė yra tokia:

S iš viso = 4a · h + 2a²

Kubo paviršiaus plotas:

S iš viso = 6a²

Žinodami tūrį ar paviršiaus plotą, galite apskaičiuoti atskirus geometrinio kūno elementus.

Prizmės elementų radimas

Dažnai yra problemų, kai nurodomas tūris arba žinoma šoninio paviršiaus ploto vertė, kai reikia nustatyti pagrindo šono ilgį arba aukštį. Tokiais atvejais galima gauti šias formules:

• pagrindo šono ilgis: a = S pusė / 4h = √ (V / h);
• aukščio arba šoninio briaunos ilgis: h = S kraštas / 4a = V / a²;
• bazinis plotas: Sosn = V / h;
• šoninė veido sritis: S pusėje. gr = S pusė / 4.

Norėdami nustatyti, kokį plotą turi įstrižainė, turite žinoti įstrižainės ilgį ir figūros aukštį. Už kvadratą d = a√2. Todėl:

Sdiag = ah√2

Norėdami apskaičiuoti prizmės įstrižainę, naudokite formulę:

dprize = √ (2a² + h²)

Norėdami suprasti, kaip taikyti aukščiau nurodytus koeficientus, galite praktikuoti ir išspręsti keletą paprastų užduočių.

Užduočių su sprendimais pavyzdžiai

Štai keletas užduočių, rastų matematikos valstybiniuose baigiamuosiuose egzaminuose.

1 pratimas.

Smėlis pilamas į dėžę taisyklingos keturkampės prizmės pavidalu. Jo lygio aukštis yra 10 cm.Koks smėlio lygis taps, jei jį perkelsite į tos pačios formos konteinerį, bet kurio pagrindo ilgis 2 kartus ilgesnis?

Jis turėtų būti pagrįstas taip. Smėlio kiekis pirmoje ir antroje talpyklose nepasikeitė, tai yra, jo tūris juose sutampa. Galite nurodyti pagrindo ilgį a... Tokiu atveju pirmojoje dėžutėje medžiagos tūris bus:

V₁ = ha² = 10a²

Antroje dėžutėje pagrindo ilgis yra 2a, bet smėlio lygio aukštis nežinomas:

V₂ = h (2a) ² = 4ha²

Tiek, kiek V₁ = V₂, galite sutapatinti išraiškas:

10a² = 4ha²

A2 atmetę abi lygties puses, gauname:

Dėl to naujasis smėlio lygis bus h = 10/4 = 2,5 cm.

2 užduotis.

ABCDA₁B₁C₁D₁ yra teisinga prizmė. Yra žinoma, kad BD = AB₁ = 6√2. Raskite bendrą kūno paviršiaus plotą.

Kad būtų lengviau suprasti, kurie elementai yra žinomi, galite pavaizduoti figūrą.

Kadangi mes kalbame apie teisingą prizmę, galime daryti išvadą, kad pagrinde yra kvadratas, kurio įstrižainė yra 6√2. Šoninio paviršiaus įstrižainė yra tokio paties dydžio, todėl šoninis paviršius taip pat turi kvadrato formą, lygią pagrindui. Pasirodo, kad visi trys matmenys - ilgis, plotis ir aukštis - yra lygūs. Galime daryti išvadą, kad ABCDA₁B₁C₁D₁ yra kubas.

Bet kurio krašto ilgis nustatomas per žinomą įstrižainę:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Bendras paviršiaus plotas nustatomas pagal kubo formulę:

Sful = 6a² = 6 6² = 216

3 užduotis.

Kambarys remontuojamas. Yra žinoma, kad jo grindys yra kvadrato formos, kurios plotas yra 9 m². Kambario aukštis yra 2,5 m. Kokia yra mažiausia kambario tapetų kaina, jei 1 m² kainuoja 50 rublių?

Kadangi grindys ir lubos yra kvadratai, tai yra taisyklingi keturkampiai, o jos sienos statmenos horizontaliems paviršiams, galime daryti išvadą, kad tai taisyklingoji prizmė. Būtina nustatyti jo šoninio paviršiaus plotą.

Kambario ilgis yra a = √9 = 3 m.

Teritorija bus padengta tapetais Šonas = 4 · 3 · 2,5 = 30 m².

Mažiausia šio kambario tapetų kaina bus 50 30 = 1500 rublių.

Taigi, norint išspręsti problemas stačiakampėje prizmėje, pakanka mokėti apskaičiuoti kvadrato ir stačiakampio plotą ir perimetrą, taip pat turėti savo tūrio ir paviršiaus ploto nustatymo formules.

Kaip rasti kubo plotą

Matematikos šaka, nagrinėjanti įvairių formų (taškų, linijų, kampų, dvimatių ir trimatių objektų) savybių, jų dydžio ir santykinės padėties tyrimą. Mokymo patogumui geometrija yra padalinta į planimetriją ir stereometriją. V…… Collier enciklopedija

Didesnių nei trijų matmenų erdvių geometrija; terminas taikomas toms erdvėms, kurių geometrija iš pradžių buvo sukurta trijų matmenų atveju ir tik tada apibendrinta iki matmenų skaičiaus n> 3, visų pirma, Euklido erdvės, ... ... Matematikos enciklopedija

N matmenų Euklido geometrija yra Euklido geometrijos apibendrinimas į daugiau matmenų erdvę. Nors fizinė erdvė yra trimatė, o žmogaus pojūčiai skirti trims matmenims suvokti, N yra matmenų ... ... Vikipedija

Šis terminas turi kitų reikšmių, žr. Pyramidatsu (reikšmės). Buvo suabejota šio straipsnio skyriaus teisingumu. Turėtumėte patikrinti šio skyriaus faktų teisingumą. Diskusijų puslapyje gali būti paaiškinimų ... Vikipedija

- (konstruktyvios kietos geometrijos, CSG) technologija, naudojama kietam modeliavimui. Struktūrinė blokų geometrija dažnai, bet ne visada, yra 3D ir CAD modeliavimo būdas. Tai leidžia jums sukurti sudėtingą sceną arba ... Vikipedija

Konstruktyvi kietoji geometrija (CSG) yra technologija, naudojama kietam modeliavimui. Struktūrinė blokų geometrija dažnai, bet ne visada, yra 3D ir CAD modeliavimo būdas. Ji ... ... Vikipedija

Šis terminas turi kitų reikšmių, žr. Apimtis (reikšmės). Tūris yra papildoma rinkinio (mato) funkcija, apibūdinanti jo užimamos erdvės plotą. Iš pradžių atsirado ir buvo taikoma be griežtų ... ... Vikipedijos

Kubo tipas Įprastas daugiakampis Veido kvadratas Vertices Edges Veidai ... Wikipedia

Tūris yra papildoma rinkinio (mato) funkcija, apibūdinanti jo užimamos erdvės plotą. Iš pradžių jis atsirado ir buvo taikomas be griežto apibrėžimo, susijusio su trimatės erdvinės Euklido erdvės kūnais ... ... Wikipedia

Erdvės dalis, kurią riboja baigtinio skaičiaus plokščių daugiakampių rinkinys (žr. GEOMETRY), sujungtas taip, kad kiekviena bet kurio daugiakampio pusė būtų lygiai vieno kito daugiakampio (vadinamo ... ... Collier enciklopedija

Knygos

• Stalų rinkinys. Geometrija. 10 klasė. 14 lentelių + metodika ,. Lentelės atspausdintos ant storo poligrafinio kartono, kurio dydis yra 680 x 980 mm. Rinkinyje yra brošiūra su gairėmis mokytojams. Mokomasis 14 lapų albumas. ...

Skirtingos prizmės nėra panašios. Tuo pačiu metu jie turi daug bendro. Norėdami rasti prizmės pagrindo plotą, turite išsiaiškinti, koks jis yra.

Bendra teorija

Prizmė yra bet koks daugiakampis, kurio kraštinės yra lygiagretainio formos. Be to, jo pagrinde gali atsirasti bet koks daugiakampis - nuo trikampio iki n -gono. Be to, prizmės pagrindai visada yra lygūs vienas kitam. Tai netaikoma šoniniams paviršiams - jie gali labai skirtis.

Sprendžiant problemas susiduriama ne tik su prizmės pagrindo sritimi. Gali prireikti žinoti šoninį paviršių, tai yra, visus veidus, kurie nėra pagrindai. Visas paviršius jau bus visų veidų, sudarančių prizmę, sąjunga.

Kartais užduotys apima aukštį. Jis statmenas pagrindams. Daugiakampio įstrižainė yra segmentas, jungiantis poromis bet kokias dvi viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam veidui.

Reikėtų pažymėti, kad tiesios arba pasvirusios prizmės pagrindo plotas nepriklauso nuo kampo tarp jų ir šoninių paviršių. Jei jie turi tas pačias formas viršutiniame ir apatiniame kraštuose, tada jų plotai bus lygūs.

Trikampė prizmė

Jo pagrinde yra figūra su trimis viršūnėmis, tai yra trikampis. Yra žinoma, kad jis yra kitoks. Jei tada pakanka prisiminti, kad jo plotą lemia pusė kojų produkto.

Matematinis žymėjimas atrodo taip: S = ½ vid.

Norint išsiaiškinti pagrindo plotą bendrąja forma, naudingos formulės: garnys ir ta, kurioje pusė šono yra paimta į jį nubrėžtą aukštį.

Pirmoji formulė turėtų būti parašyta taip: S = √ (p (p-a) (p-c) (p-c)). Šiame įraše yra pusiau perimetras (p), tai yra trijų pusių suma, padalyta iš dviejų.

Antra: S = ½ n a * a.

Jei norite sužinoti trikampio prizmės pagrindo plotą, kuris yra taisyklingas, tada trikampis pasirodo lygiakraštis. Tam yra formulė: S = ¼ a 2 * √3.

Keturkampė prizmė

Jo pagrindas yra bet kuris iš žinomų keturkampių. Tai gali būti stačiakampis arba kvadratas, lygiagretainis arba rombas. Kiekvienu atveju, norint apskaičiuoti prizmės pagrindo plotą, jums reikės kitokios formulės.

Jei pagrindas yra stačiakampis, tada jo plotas nustatomas taip: S = ab, kur a, b yra stačiakampio kraštinės.

Kalbant apie keturkampę prizmę, taisyklingos prizmės bazinis plotas apskaičiuojamas pagal kvadrato formulę. Nes būtent jis pasirodo esąs apačioje. S = a 2.

Tuo atveju, kai pagrindas yra lygiagretainis, reikės šios lygybės: S = a * na. Taip atsitinka, kad pateikiama lygiagretainio pusė ir vienas iš kampų. Tada, norėdami apskaičiuoti aukštį, turėsite naudoti papildomą formulę: n a = b * sin A. Be to, kampas A yra greta šono „b“, o aukštis n priešingas šiam kampui.

Jei prizmės pagrinde yra rombas, jo plotui nustatyti reikės tos pačios formulės, kaip ir lygiagretainio atveju (nes tai yra jo ypatingas atvejis). Bet jūs taip pat galite naudoti: S = ½ d 1 d 2. Čia d 1 ir d 2 yra dvi rombo įstrižainės.

Taisyklinga penkiakampė prizmė

Šis atvejis apima daugiakampio padalijimą į trikampius, kurių sritis lengviau išsiaiškinti. Nors atsitinka, kad skaičiai gali būti su skirtingu viršūnių skaičiumi.

Kadangi prizmės pagrindas yra taisyklingas penkiakampis, jį galima padalyti į penkis lygiakraščius trikampius. Tada prizmės pagrindo plotas yra lygus vieno tokio trikampio plotui (formulę galima pamatyti aukščiau), padauginus iš penkių.

Taisyklinga šešiakampė prizmė

Pagal penkiakampės prizmės aprašytą principą bazinį šešiakampį galima padalyti į 6 lygiakraščius trikampius. Tokios prizmės pagrindo ploto formulė yra panaši į ankstesnę. Tik jame reikia padauginti iš šešių.

Formulė atrodys taip: S = 3/2 ir 2 * √3.

Užduotys

№ 1. Pateikta teisinga tiesė. Jos įstrižainė yra 22 cm, daugiakampio aukštis - 14 cm. Apskaičiuokite prizmės pagrindo plotą ir visą paviršių.

Sprendimas. Prizmės pagrindas yra kvadratas, tačiau jo kraštas nėra žinomas. Jo vertę galite rasti iš kvadrato (x) įstrižainės, kuri yra susijusi su prizmės (d) įstrižaine ir jos aukščiu (h). x 2 = d 2 - n 2. Kita vertus, šis segmentas „x“ yra trikampio hipotenuzė, kurios kojos yra lygios kvadrato kraštinei. Tai yra, x 2 = a 2 + a 2. Taigi paaiškėja, kad a 2 = (d 2 - n 2) / 2.

Vietoj d pakeiskite 22, o „n“ pakeiskite jo reikšme - 14, tada paaiškės, kad kvadrato kraštinė yra 12 cm. Dabar tiesiog sužinokite pagrindo plotą: 12 * 12 = 144 cm 2 .

Norėdami sužinoti viso paviršiaus plotą, turite pridėti du kartus bazinį plotą ir keturis kartus padidinti šoną. Pastarąjį galima lengvai rasti naudojant stačiakampio formulę: padauginkite daugiakampio aukštį ir pagrindo kraštą. Tai yra 14 ir 12, šis skaičius bus lygus 168 cm 2. Bendras prizmės paviršiaus plotas yra 960 cm 2.

Atsakymas. Pagrindinis prizmės plotas yra 144 cm 2. Visas paviršius yra 960 cm 2.

№ 2. Dana Prie pagrindo yra trikampis, kurio kraštinė yra 6 cm. Šiuo atveju šoninio paviršiaus įstrižainė yra 10 cm. Apskaičiuokite plotus: pagrindą ir šoninį paviršių.

Sprendimas. Kadangi prizmė yra taisyklinga, jos pagrindas yra lygiakraštis trikampis. Todėl jo plotas lygus 6 kvadratui, padaugintam iš ¼ ir kvadratinės šaknies iš 3. Paprastas skaičiavimas lemia rezultatą: 9√3 cm 2. Tai yra vienos prizmės bazės plotas.

Visi šoniniai paviršiai yra vienodi ir yra stačiakampiai, kurių kraštinės yra 6 ir 10 cm.Skaičiuojant jų plotus, pakanka padauginti šiuos skaičius. Tada padauginkite juos iš trijų, nes yra tiek daug šoninių prizmės paviršių. Tada šoninio paviršiaus plotas yra 180 cm 2.

Atsakymas. Plotas: pagrindas - 9√3 cm 2, šoninis prizmės paviršius - 180 cm 2.