Koordinačių metodas yra labai efektyvus ir universalus būdas rasti bet kokius kampus ar atstumus tarp stereometrinių objektų erdvėje. Jei jūsų matematikos mokytojas yra aukštos kvalifikacijos, jis turėtų tai žinoti. Kitu atveju patarčiau pakeisti mokytoją į "C" dalį. Mano pasiruošimas matematikos C1-C6 egzaminui paprastai apima toliau aprašytų pagrindinių algoritmų ir formulių analizę.

Kampas tarp tiesių a ir b

Kampas tarp tiesių erdvėje yra kampas tarp bet kokių susikertančių tiesių, lygiagrečių joms. Šis kampas lygus kampui tarp šių tiesių krypties vektorių (arba jį papildo iki 180 laipsnių).

Kokį algoritmą naudoja matematikos mokytojas, kad surastų kampą?

1) Pasirinkite bet kokius vektorius ir turinčios tiesių a ir b kryptis (joms lygiagrečios).
2) Nustatykite vektorių koordinates ir pagal atitinkamas jų pradžios ir pabaigos koordinates (pradžios koordinates reikia atimti iš vektoriaus pabaigos koordinačių).
3) Rastas koordinates pakeiskite į formulę:
... Norėdami rasti patį kampą, turite rasti atvirkštinį rezultato kosinusą.

Normalus lėktuvui

Bet koks vektorius, statmenas šiai plokštumai, vadinamas normaliuoju plokštumai.
Kaip rasti normalų? Norint rasti normaliosios koordinates, pakanka išsiaiškinti bet kurių trijų taškų M, N ir K, esančių tam tikroje plokštumoje, koordinates. Naudodami šias koordinates randame vektorių koordinates ir ir reikalaujame sąlygų ir. Vektorių skaliarinę sandaugą prilyginus nuliui, sudarome lygčių sistemą su trimis kintamaisiais, iš kurių galima rasti normaliosios koordinates.

Matematikos mokytojo pastaba : Visai nebūtina visiškai išspręsti sistemos, nes pakanka pasirinkti bent vieną normalų. Norėdami tai padaryti, galite pakeisti bet kurį skaičių (pavyzdžiui, vieną) vietoj jo nežinomų koordinačių ir išspręsti dviejų lygčių sistemą su likusiais dviem nežinomaisiais. Jei jis neturi sprendimų, tai reiškia, kad normaliųjų šeimoje nėra nė vieno, kuris jį turėtų pasirinktam kintamajam. Tada pakeiskite vieną kitu kintamuoju (kita koordinate) ir išspręskite naują sistemą. Jei dar kartą praleisite, tada jūsų normalioji turės vieną paskutinėje koordinatėje, o ji pati pasirodys lygiagreti kokiai nors koordinačių plokštumai (šiuo atveju ją lengva rasti be sistemos).

Tarkime, kad krypties vektoriaus ir normaliosios koordinates mums duota tiesė ir plokštuma
Kampas tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Tegul ir yra bet kurios dvi normaliosios duotosios plokštumos. Tada kampo tarp plokštumų kosinusas yra lygus kampo tarp normaliųjų kosinuso moduliui:

Plokštumos erdvėje lygtis

Taškai, tenkinantys lygybę, sudaro plokštumą su normaliąja. Koeficientas yra atsakingas už nuokrypio (lygiagretaus poslinkio) dydį tarp dviejų plokštumų su ta pačia nurodyta norma. Norėdami parašyti plokštumos lygtį, pirmiausia turite rasti jos normaliąją vertę (kaip aprašyta aukščiau), tada į lygtį pakeisti bet kurio plokštumos taško koordinates kartu su rastos normalės koordinatėmis ir rasti koeficientą.

Geometrijos pamoka 11 klasėje

Tema: " Koordinačių metodas erdvėje“.

Tikslas: Tikrinti studentų teorines žinias, įgūdžius ir gebėjimus pritaikyti šias žinias sprendžiant uždavinius vektoriniais, vektoriniais-koordinačių metodais.

Užduotys:

1 .Sudaryti sąlygas kontroliuoti (savikontrolę, abipusę kontrolę) žinių ir įgūdžių įsisavinimui.

2. Lavinti matematinį mąstymą, kalbą, dėmesį.

3. Skatinti aktyvumą, mobilumą, bendravimo įgūdžius, bendrą mokinių kultūrą.

Dirigavimo forma: darbas grupėse.

Įranga ir informacijos šaltiniai: ekranas, multimedijos projektorius, žinių apskaitos lentelė, kreditinės kortelės, testai.

Per užsiėmimus

1 mobilizuojantis momentas.

Pamoka naudojant ĮSA; mokiniai skirstomi į 3 dinamines grupes, kuriose mokiniai su priimtinu, optimaliu ir pažengusiu lygiu. Kiekvienoje grupėje parenkamas koordinatorius, kuris vadovauja visos grupės darbui.

2 ... Mokinių apsisprendimas, pagrįstas numatymu.

Užduotis:tikslo nustatymas pagal schemą: prisiminti – išmokti – mokėti.

Įėjimo testas – užpildykite tuščias vietas (spaudiniuose)

Įėjimo testas

Užpildyti spragas…

1.Per erdvės tašką nubrėžtos trys poros statmenos linijos.

yra parenkami, kiekviename iš jų pasirenkama segmentų kryptis ir matavimo vienetas,

tada jie sako, kad nustatyta …………. kosmose.

2. Tiesios linijos su pasirinktomis kryptimis vadinamos …………… ..,

ir jų bendras dalykas yra …………. ...

3. Stačiakampėje koordinačių sistemoje kiekvienas erdvės taškas M yra susietas su skaičių tripletu, kuris jį vadina ………………… ..

4. Erdvės taško koordinatės vadinamos ……………… ..

5. Vektorius, kurio ilgis lygus vienetui, vadinamas ………… ..

6. Vektoriai iykyra vadinami ………….

7. Šansai xyz irimo metu a= xi + yj + zk paskambino

…………… vektoriai a .

8. Kiekviena dviejų ar daugiau vektorių sumos koordinatė yra lygi …………… ..

9. Kiekviena dviejų vektorių skirtumo koordinatė lygi ………………….

10. Kiekviena vektoriaus ir skaičiaus sandaugos koordinatė lygi ………………… ..

11.Kiekviena vektoriaus koordinatė lygi …………….

12. Kiekviena atkarpos vidurio taško koordinatė lygi ………………….

13. Vektoriaus ilgis a { xyz) apskaičiuojamas pagal formulę ……………………

14. Atstumas tarp taškų М 1 (x 1 ; y 1; z 1) ir M 2 (x 2; y 2 ; z2) apskaičiuojamas pagal formulę …………………

15. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga vadinama …………… ..

16. Nenulinių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui ………………… ..

17. Vektorių taškinė sandaugaa{ x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2) į išreiškiamas formule …………………

Kryžminis įvesties testo patikrinimas. Testo užduočių atsakymai ekrane.

Vertinimo kriterijus:

1-2 klaidos - "5"

3-4 klaidos - "4"

5-6 klaidos - "3"

Kitais atvejais - "2"

3. Darbų atlikimas. (pagal korteles).

Kiekvienoje kortelėje yra dvi užduotys: Nr. 1 – teorinė su įrodymu, Nr. 2 – užduotys.

Paaiškinkite į darbą įtrauktų užduočių sudėtingumo lygį. Grupė atlieka vieną užduotį, bet turi 2 dalis. Grupės koordinatorius vadovauja visos grupės darbui. Vienos informacijos aptarimas su keliais partneriais didina atsakomybę ne tik už savo sėkmę, bet ir už kolektyvinio darbo rezultatus, o tai teigiamai veikia mikroklimatą komandoje.

KORTELĖ Nr.1

1. Išveskite formules, išreiškiančias atkarpos vidurio taško koordinates jos galų koordinatėmis.

2.Problema: 1) Duoti taškai A (-3; 1; 2) ir B (1; -1; 2)

Rasti:

a) atkarpos AB vidurio koordinates

b) vektoriaus AB koordinates ir ilgį

2) Duotas kubas ABSDA1 B1 C1 D1. Naudodami koordinačių metodą suraskite kampą

tarp tiesių AB1 ir A1 D.

KORTELĖ Nr. 2

Išveskite formulę, skirtą vektoriaus ilgiui apskaičiuoti pagal jo koordinates.

Užduotis: 1) Duoti taškai M (-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Raskite atstumą nuo atkarpos M pradžios iki vidurio taškoN.

→ → → → →

2) Duoti vektoriai a ir b... Rasti b (a + b), jeigu a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

KORTELĖ Nr.3

Išveskite atstumo tarp taškų su nurodytomis koordinatėmis skaičiavimo formulę.

Uždavinys: 1) Duoti taškai A (2; 1; -8), B (1; -5; 0), C (8; 1; -4).

Įrodykite, kad ∆ABC yra lygiašonis, ir raskite trikampio, jungiančio šoninių kraštinių vidurio taškus, vidurio linijos ilgį.

2) Apskaičiuokite kampą tarp tiesių AB ir SD, jei A (1; 1; 0),

B (3; -1; 2), D (0; 1; 0).

KORTELĖ Nr. 4

Išveskite kampo tarp nulinių vektorių su nurodytomis koordinatėmis kosinuso formules.

Uždavinys: 1) Pateikiamos trijų AVSD lygiagretainio viršūnių koordinatės:

A (-6; -; 4; 0), B (6; -6; 2), C (10; 0; 4). Raskite taško D koordinates.

2) Raskite kampą tarp tiesių AB ir SD, jei A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

KORTELĖ Nr. 5

Pasakykite man, kaip apskaičiuoti kampą tarp dviejų linijų erdvėje naudojant šių linijų krypties vektorius. →→

Uždavinys: 1) Raskite vektorių taškinę sandaugąa ir b, jei:

→ → → ^ →

a) | a| =4; | b| =√3 (ab)=30◦

b) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Duoti taškai A (0; 4; 0), B (2; 0; 0), C (4; 0; 4) ir D (2; 4; 4). Įrodykite, kad AVSD yra rombas.

4. Dinaminių grupių darbo tikrinimas pagal korteles.

Klausomės grupių atstovų pasirodymo. Grupių darbą, dalyvaujant mokiniams, vertina mokytojas.

5. Refleksija. Įvertinimai už kompensaciją.

Galutinis kelių pasirinkimų testas (spaudiniai).

1) Duoti vektoriai a {2 ;-4 ;3} b(-3; ─; 1). Raskite vektoriaus koordinates

→ 2

c = a+ b

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Duoti vektoriai a(4; -3; 5) ir b(-3; 1; 2). Raskite vektoriaus koordinates

C=2 a – 3 b

a) (7; -2; 3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Apskaičiuokite vektorių taškinę sandaugąm ir n, jei m = a + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 a - b jei | a|=2 , ‌| b |=3, (ab‌) = 60 °, c ┴ a , c ┴ b.

a) -1; b) -27; 1; d) 35.

4) Vektoriaus ilgis a { xyz) yra lygus 5. Raskite vektoriaus a koordinates, jeix=2, z=-√5

a) 16; b) 4 arba -4; 9 val.; d) 3 arba -3.

5) Raskite plotą ∆ABS, jei A (1; -1; 3); B (3; -1; 1) ir C (-1; 1; -3).

a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.

Kryžminis testo patikrinimas. Bandomųjų elementų atsakymų kodai ekrane: 1 (b); 2 (c);

3 (a); 4 (b); 5 (c).

Vertinimo kriterijus:

Viskas teisingai - "5"

1 klaida - "4"

2 klaidos - "3"

Kitais atvejais - "2"

Studentų žinių lentelė

Dirbk toliau

kortelės

Galutinis

bandymas

Taškai už perdavimą

Užduotys

teorija

praktika

1 grupė

2-oji grupė

3 grupė

Studentų pasirengimo įskaitai vertinimas.

Geometrinių uždavinių sprendimo koordinačių metodo esmė

Esmė spręsti problemas naudojant koordinačių metodą, tai vienu ar kitu atveju įvesti mums patogią koordinačių sistemą ir naudojant ją perrašyti visus duomenis. Po to visi nežinomi kiekiai ar įrodymai atliekami naudojant šią sistemą. Kaip įeiti taško koordinates bet kurioje koordinačių sistemoje, mes svarstėme kitame straipsnyje - mes čia nenagrinėsime.

Supažindinkime su pagrindiniais teiginiais, kurie naudojami koordinačių metodu.

1 teiginys: Koordinatės vektorius bus nustatytas pagal skirtumą tarp atitinkamų šio vektoriaus pabaigos ir jo pradžios koordinačių.

2 teiginys: Atkarpos vidurio taško koordinatės bus nustatytos kaip atitinkamų jos ribų koordinačių pusė.

3 teiginys: Bet kurio vektoriaus $ \ overline (δ) $ ilgis su nurodytomis koordinatėmis $ (δ_1, δ_2, δ_3) $ bus nustatytas pagal formulę

$ | \ overline (δ) | = \ sqrt (δ_1 ^ 2 + δ_2 ^ 2 + δ_3 ^ 2) $

4 teiginys: Atstumas tarp bet kurių dviejų taškų, nurodytų koordinatėmis $ (δ_1, δ_2, δ_3) $ ir $ (β_1, β_2, β_3) $, bus nustatytas pagal formulę

$ d = \ kvadratas ((δ_1-β_1) ^ 2 + (δ_2-β_2) ^ 2 + (δ_3-β_3) ^ 2) $

Geometrinių uždavinių sprendimo koordinačių metodu schema

Norint išspręsti geometrines problemas naudojant koordinačių metodą, geriausia naudoti šią schemą:

Išanalizuokite, kas duota užduotyje:

• Nustatyti užduočiai tinkamiausią koordinačių sistemą;
• Uždavinio sąlyga, uždavinio klausimas surašytas matematiškai, šiam uždaviniui pastatytas brėžinys.

1. Įrašykite visus užduoties duomenis į pasirinktos koordinačių sistemos koordinates.

2. Sukurkite reikalingus ryšius iš problemos sąlygos, taip pat susiekite šiuos ryšius su tuo, ką reikia rasti (įrodykite užduotyje).
3. Gautas rezultatas verčiamas į geometrijos kalbą.

Koordinačių metodu sprendžiamų uždavinių pavyzdžiai

Pagrindinės užduotys, vedančios į koordinačių metodą, yra šios (jų sprendimų čia nepateiksime):

1. Užduotys ieškant vektoriaus koordinačių pagal jo pabaigą ir pradžią.
2. Užduotys, susijusios su segmento padalijimu bet kokiu atžvilgiu.
3. Įrodymas, kad trys taškai yra toje pačioje tiesėje arba kad keturi taškai yra toje pačioje plokštumoje.
4. Užduotys ieškant atstumo tarp dviejų nurodytų taškų.
5. Geometrinių formų tūrių ir plotų radimo užduotys.

Pirmosios ir ketvirtosios uždavinių sprendimo rezultatus pateikiame kaip pagrindinius aukščiau pateiktus teiginius ir dažnai naudojami kitiems uždaviniams spręsti koordinačių metodu.

Koordinačių metodo taikymo užduočių pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite įprastos piramidės kraštinę, kurios aukštis yra $ 3 $ cm, jei pagrindo kraštinė yra $ 4 $ cm.

Duokime taisyklingą piramidę $ ABCDS $, kurios aukštis yra $ SO $. Įveskime koordinačių sistemą, kaip parodyta 1 paveiksle.

Kadangi taškas $ A $ yra mūsų sukurtos koordinačių sistemos centras, tada

Kadangi taškai $ B $ ir $ D $ priklauso atitinkamai ašims $ Ox $ ir $ Oy $, tada

$ B = (4,0,0) $, $ D = (0,4,0) $

Kadangi taškas $ C $ priklauso plokštumai $ Oxy $, tada

Kadangi piramidė yra teisinga, $ O $ yra $$ segmento vidurys. Pagal 2 teiginį gauname:

$ O = (\ frac (0 + 4) (2), \ frac (0 + 4) (2), \ frac (0 + 0) (2)) = (2,2,0) $

Nuo $ SO $ aukščio

Norint naudoti koordinačių metodą, reikia gerai žinoti formules. Jų yra trys:

Iš pirmo žvilgsnio tai atrodo grėsmingai, tačiau užtenka šiek tiek praktikos ir viskas pavyks puikiai.

Užduotis. Raskite kampo tarp vektorių a = (4; 3; 0) ir b = (0; 12; 5) kosinusą.

Sprendimas. Kadangi vektorių koordinatės mums pateiktos, jas pakeičiame pirmoje formulėje:

Užduotis. Sudarykite lygtį plokštumai, einančia per taškus M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) ir K = (2; 1; 0), jei žinoma, kad ji nekerta kilmė.

Sprendimas. Bendroji plokštumos lygtis: Ax + By + Cz + D = 0, bet kadangi norima plokštuma nepereina per koordinačių pradžią - tašką (0; 0; 0) - tada dedame D = 1. Kadangi tai plokštuma eina per taškus M, N ir K, tada šių taškų koordinatės turėtų paversti lygtį teisinga skaitine lygybe.

Vietoj x pakeiskite y ir z taško M = (2; 0; 1) koordinates. Mes turime:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Panašiai taškams N = (0; 1; 1) ir K = (2; 1; 0) gauname lygtis:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Taigi, turime tris lygtis ir tris nežinomuosius. Sudarykime ir išspręskime lygčių sistemą:

Gavome, kad plokštumos lygtis yra tokia: - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Užduotis. Plokštuma pateikiama lygtimi 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Raskite vektoriaus, statmeno duotai plokštumai, koordinates.

Sprendimas. Naudodami trečiąją formulę gauname n = (7; - 2; 4) - viskas!

Vektorių koordinačių skaičiavimas

Bet ką daryti, jei užduotyje nėra vektorių - yra tik taškai, esantys tiesiose linijose, ir jums reikia apskaičiuoti kampą tarp šių tiesių? Tai paprasta: žinodami taškų koordinates – vektoriaus pradžią ir pabaigą – galite apskaičiuoti paties vektoriaus koordinates.

Norėdami rasti vektoriaus koordinates, iš jo pabaigos koordinačių atimkite pradžios koordinates.

Ši teorema vienodai veikia tiek plokštumoje, tiek erdvėje. Posakis „atimti koordinates“ reiškia, kad kito taško x koordinatė atimama iš vieno taško x koordinatės, tada tą patį reikia padaryti su y ir z koordinatėmis. Štai keletas pavyzdžių:

Užduotis. Erdvėje yra trys taškai, nurodyti jų koordinatėmis: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) ir C = (- 4; 3; - 2). Raskite vektorių AB, AC ir BC koordinates.

Apsvarstykite vektorių AB: jo pradžia yra taške A, o galas yra taške B. Todėl norint rasti jo koordinates, iš taško B koordinačių reikia atimti taško A koordinates:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Panašiai vektoriaus AC pradžia vis dar yra tas pats taškas A, bet pabaiga yra taškas C. Todėl turime:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Galiausiai, norėdami rasti vektoriaus BC koordinates, iš taško C koordinačių reikia atimti taško B koordinates:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Atsakymas: AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Atkreipkite dėmesį į paskutinio BC vektoriaus koordinačių skaičiavimą: daugelis žmonių klysta dirbdami su neigiamais skaičiais. Tai liečia kintamąjį y: taškas B turi y = - 1, o taškas C y = 3. Gauname tiksliai 3 - (- 1) = 4, o ne 3 - 1, kaip daugelis mano. Nedaryk tokių kvailų klaidų!

Tiesių linijų krypties vektorių skaičiavimas

Jei atidžiai perskaitysite užduotį C2, nustebsite pamatę, kad ten nėra vektorių. Yra tik tiesios linijos ir plokštumos.

Pradėkime nuo tiesių linijų. Čia viskas paprasta: bet kurioje tiesioje linijoje yra bent du skirtingi taškai ir, atvirkščiai, bet kurie du skirtingi taškai apibrėžia vieną tiesią liniją ...

Ar kas nors supranta, kas parašyta ankstesnėje pastraipoje? Aš pats to nesupratau, todėl paaiškinsiu paprasčiau: uždavinyje C2 tiesės visada pateikiamos taškų pora. Jei įvesime koordinačių sistemą ir šiuose taškuose atsižvelgsime į vektorių su pradžia ir pabaiga, gausime vadinamąjį tiesės krypties vektorių:

Kodėl reikalingas šis vektorius? Esmė ta, kad kampas tarp dviejų tiesių yra kampas tarp jų krypties vektorių. Taip nuo nesuprantamų tiesių pereiname prie konkrečių vektorių, kurių koordinates nesunku apskaičiuoti. Kaip tai lengva? Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nubrėžtos linijos AC ir BD 1. Raskite šių linijų krypties vektorių koordinates.

Kadangi sąlygoje kubo kraštinių ilgis nenurodytas, nustatome AB = 1. Įvedame koordinačių sistemą, kurios pradžia yra taške A, o ašys x, y, z nukreiptos išilgai tiesių AB, AD ir AA 1, atitinkamai. Vieneto segmentas yra lygus AB = 1.

Dabar rasime tiesės AC krypties vektoriaus koordinates. Mums reikia dviejų taškų: A = (0; 0; 0) ir C = (1; 1; 0). Iš čia gauname vektoriaus AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) koordinates - tai krypties vektorius.

Dabar panagrinėkime tiesią liniją BD 1. Jis taip pat turi du taškus: B = (1; 0; 0) ir D 1 = (0; 1; 1). Gauname krypties vektorių BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).

Atsakymas: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Užduotis. Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1, kurios visos briaunos lygios 1, nubrėžtos tiesės AB 1 ir AC 1. Raskite šių linijų krypties vektorių koordinates.

Supažindinkime su koordinačių sistema: pradžia yra taške A, x ašis sutampa su AB, z ašis sutampa su AA 1, y ašis sudaro OXY plokštumą su x ašimi, kuri sutampa su ABC plokštuma .

Pirmiausia panagrinėkime tiesę AB 1. Čia viskas paprasta: turime taškus A = (0; 0; 0) ir B 1 = (1; 0; 1). Gauname krypties vektorių AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Dabar rasime AC 1 krypties vektorių. Viskas vienodai – skirtumas tik tas, kad taškas C 1 turi neracionalias koordinates. Taigi, A = (0; 0; 0), taigi turime:

Atsakymas: AB 1 = (1; 0; 1);

Maža, bet labai svarbi pastaba apie paskutinį pavyzdį. Jei vektoriaus pradžia sutampa su pradžia, skaičiavimai labai supaprastėja: vektoriaus koordinatės tiesiog lygios pabaigos koordinatėms. Deja, tai galioja tik vektoriams. Pavyzdžiui, dirbant su plokštumomis, kilmės buvimas ant jų tik apsunkina skaičiavimus.

Plokštumų normaliųjų vektorių skaičiavimas

Normalūs vektoriai nėra vektoriai, kurie veikia ar gerai. Pagal apibrėžimą normalus vektorius (normalus) plokštumai yra vektorius, statmenas tai plokštumai.

Kitaip tariant, normalus yra vektorius, statmenas bet kuriam vektoriui tam tikroje plokštumoje. Tikrai sutikote tokį apibrėžimą – tačiau vietoj vektorių mes kalbėjome apie tiesias linijas. Tačiau kiek aukščiau buvo parodyta, kad uždavinyje C2 galima operuoti su bet kokiu patogiu objektu – net tiesia linija, net vektoriumi.

Dar kartą priminsiu, kad bet kuri plokštuma erdvėje apibrėžiama lygtimi Ax + By + Cz + D = 0, kur A, B, C ir D yra kai kurie koeficientai. Neprarasdami sprendinio bendrumo, galime daryti prielaidą, kad D = 1, jei plokštuma nekerta pradžios taško, arba D = 0, jei ji praeina. Bet kuriuo atveju normalaus vektoriaus koordinatės šiai plokštumai yra n = (A; B; C).

Taigi, plokštumą taip pat galima sėkmingai pakeisti vektoriumi – tuo pačiu normaliu. Bet kurią plokštumą erdvėje apibrėžia trys taškai. Kaip rasti plokštumos lygtį (taigi ir normalią), mes jau aptarėme pačioje straipsnio pradžioje. Tačiau šis procesas daugeliui sukelia problemų, todėl pateiksiu dar porą pavyzdžių:

Užduotis. Pjūvis A 1 BC 1 nupieštas kubu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Raskite normalųjį vektorių šios atkarpos plokštumai, jei pradžia yra taške A, o x, y ir z ašys sutampa atitinkamai su kraštinėmis AB, AD ir AA 1.

Kadangi plokštuma neeina per pradinę vietą, jos lygtis atrodo taip: Ax + By + Cz + 1 = 0, t.y. koeficientas D = 1. Kadangi ši plokštuma eina per taškus A 1, B ir C 1, šių taškų koordinatės plokštumos lygtį paverčia teisinga skaitine lygybe.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Panašiai taškams B = (1; 0; 0) ir C 1 = (1; 1; 1) gauname lygtis:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Bet mes jau žinome koeficientus A = - 1 ir C = - 1, todėl belieka rasti koeficientą B:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Gauname plokštumos lygtį: - A + B - C + 1 = 0, Todėl normaliojo vektoriaus koordinatės yra n = (- 1; 1; - 1).

Užduotis. Pjūvis AA 1 C 1 C nubrėžtas kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Raskite šios pjūvio plokštumos normalųjį vektorių, jei pradžia yra taške A, o x, y ir z ašys sutampa su kraštinėmis AB, AD ir AA 1 atitinkamai.

Šiuo atveju plokštuma eina per pradinę vietą, todėl koeficientas D = 0, o plokštumos lygtis atrodo taip: Ax + By + Cz = 0. Kadangi plokštuma eina per taškus A1 ir C, šių taškų koordinatės paverskite plokštumos lygtį teisinga skaitine lygybe.

Vietoj x, y ir z pakeiskite taško A 1 = (0; 0; 1) koordinates. Mes turime:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Panašiai taškui C = (1; 1; 0) gauname lygtį:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Dedame B = 1. Tada A = - B = - 1, o visos plokštumos lygtis yra tokia: - A + B = 0, Todėl normalaus vektoriaus koordinatės lygios n = (- 1; 1; 0).

Paprastai tariant, aukščiau pateiktuose uždaviniuose būtina sudaryti lygčių sistemą ir ją išspręsti. Bus trys lygtys ir trys kintamieji, tačiau antruoju atveju vienas iš jų bus laisvas, t.y. imti savavališkas vertes. Štai kodėl mes turime teisę dėti B = 1 – nepažeidžiant sprendimo bendrumo ir atsakymo teisingumo.

Labai dažnai C2 uždavinyje reikia dirbti su taškais, dalijančiais atkarpą per pusę. Tokių taškų koordinatės nesunkiai apskaičiuojamos, jei žinomos atkarpos galų koordinatės.

Taigi, atkarpą apibrėžkime jos galais – taškais A = (x a; y a; z a) ir B = (x b; y b; z b). Tada atkarpos vidurio taško koordinates - žymime jį tašku H - galima rasti pagal formulę:

Kitaip tariant, atkarpos vidurio taško koordinatės yra jos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Užduotis. Vieneto kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 dedamas į koordinačių sistemą taip, kad x, y ir z ašys būtų nukreiptos atitinkamai išilgai kraštinių AB, AD ir AA 1, o pradžia sutampa su tašku A. Taškas K yra briaunos A 1 B 1 vidurio taškas. Raskite šio taško koordinates.

Kadangi taškas K yra atkarpos A 1 B 1 vidurio taškas, jo koordinatės lygios galų koordinačių aritmetiniam vidurkiui. Užrašykime galų koordinates: A 1 = (0; 0; 1) ir B 1 = (1; 0; 1). Dabar suraskime taško K koordinates:

Užduotis. Vieneto kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 dedamas į koordinačių sistemą taip, kad x, y ir z ašys būtų nukreiptos atitinkamai išilgai kraštinių AB, AD ir AA 1, o pradžia sutampa su tašku A. Raskite taško L koordinatės, kur jos kerta kvadrato A 1 B 1 C 1 D 1 įstrižaines.

Iš planimetrijos kurso žinoma, kad kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas yra vienodu atstumu nuo visų jo viršūnių. Visų pirma, A 1 L = C 1 L, t.y. taškas L yra atkarpos A 1 C 1 vidurio taškas. Bet A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), taigi turime:

Atsakymas: L = (0,5; 0,5; 1)