Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių suradimo uždavinius, išvestinę apibrėžiant kaip argumento prieaugio santykio ribą, išvestinių lentelę ir tiksliai apibrėžtas diferenciacijos taisykles. pasirodė. Pirmieji darinių radimo srityje buvo Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).

Todėl mūsų laikais, norint rasti kokios nors funkcijos išvestinę, nebūtina skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tiesiog reikia naudoti išvestinių lentelę ir diferenciacijos taisykles. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.

Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po brūkšnio ženklu išardyti paprastas funkcijas ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susietos. Toliau elementariųjų funkcijų išvestinės randamos išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formulės – diferenciacijos taisyklėse. Išvestinė lentelė ir diferenciacijos taisyklės pateikiamos po pirmųjų dviejų pavyzdžių.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.

Iš išvestinių lentelės sužinome, kad „x“ išvestinė yra lygi vienetui, o sinuso – kosinusui. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių suma ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:

2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Diferencijuojame kaip sumos išvestinę, kurioje antrasis narys su pastoviu koeficientu gali būti paimtas už išvestinės ženklo ribų:

Jei vis dar kyla klausimų, iš kur kas ateina, jie, kaip taisyklė, tampa aiškesni susipažinus su išvestinių lentele ir paprasčiausiomis diferenciacijos taisyklėmis. Mes einame pas juos dabar.

Paprastų funkcijų išvestinė lentelė

1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200 ...), esantis funkcijos išraiškoje. Visada nulis. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai.
2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai „x“. Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti ilgą laiką.
3. Išvestinis laipsnis. Sprendžiant problemas, reikia transformuoti ne kvadratines šaknis į laipsnį.
4. Kintamojo išvestinė su laipsniu -1
5. Kvadratinės šaknies išvestinė
6. Sinuso išvestinė
7. Kosinuso išvestinė
8. Liestinės išvestinė
9. Kotangento išvestinė
10. Arsinuso išvestinė
11. Arkosino vedinys
12. Arktangento išvestinė
13. Lanko kotangento išvestinė
14. Natūralaus logaritmo išvestinė
15. Logaritminės funkcijos išvestinė
16. Rodiklio išvestinė
17. Eksponentinės funkcijos išvestinė

Diferencijavimo taisyklės

1. Sumos arba skirtumo išvestinė
2. Kūrinio išvestinė
2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė
3. Dalinio išvestinė
4. Sudėtinės funkcijos išvestinė

1 taisyklė.Jei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi, tada tame pačiame taške funkcijos

be to

tie. funkcijų algebrinės sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.

Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų išvestinės yra lygios, t.y.

2 taisyklė.Jei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi, tada tame pačiame taške jų produktas taip pat skiriasi

be to

tie. dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės.

1 išvada. Pastovus koeficientas gali būti perkeltas už išvestinės ženklo ribų:

2 išvada. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno faktoriaus išvestinės visų kitų sandaugų sumai.

Pavyzdžiui, dėl trijų veiksnių:

3 taisyklė.Jei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi ir , tada šioje vietoje jis yra diferencijuotas ir jų koeficientasu / v ir

tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra skirtumas tarp vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės iš vardiklio išvestinės, o vardiklis yra kvadratas ankstesnis skaitiklis.

Kur ko ieškoti kituose puslapiuose

Realiuose uždaviniuose randant sandaugos išvestinę ir koeficientą, visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl straipsnyje yra daugiau šių išvestinių pavyzdžių„Kūrinio ir tam tikros funkcijos vedinys“.

komentuoti. Nepainiokite konstantos (ty skaičiaus) kaip suminės sumos ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipiška klaida, pasitaikanti pradiniame išvestinių studijų etape, tačiau išsprendęs kelis vieno ar dviejų komponentų pavyzdžius, vidutinis studentas šios klaidos nebedaro.

Ir jei, atskirdami kūrinį ar konkretų dalyką, turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (šis atvejis analizuojamas 10 pavyzdyje).

Kita dažna klaida – sudėtingos funkcijos išvestinės kaip paprastos funkcijos išvestinės mechaninis sprendimas. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirtas atskiras straipsnis. Tačiau pirmiausia išmoksime rasti paprastų funkcijų išvestinius.

Pakeliui neapsieisite be išraiškos transformacijų. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti mokymo programas naujuose languose Veiksmai su galiomis ir šaknimis ir Veiksmai su trupmenomis .

Jei ieškote trupmenų su laipsniais ir šaknimis išvestinių sprendimų, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada sekite pamoką Trupmenų su laipsniais ir šaknimis išvestinė.

Jei turite tokią užduotį , tada jūsų pamoka „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.

Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę

3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Nustatome funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reprezentuoja sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus veiksnys. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės:

Toliau taikome sumos diferencijavimo taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis terminas su minuso ženklu. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi, „x“ mums virsta vienetu, o minus 5 – nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto, kaip ir „x“ išvestinė. Gauname šias išvestinių reikšmes:

Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:

4 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio išvestinės skirtumas. vardiklis, o vardiklis yra ankstesnio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:

Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:

Jei ieškote sprendimų problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir galių krūva, pvz., tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų su laipsniais ir šaknimis sumos išvestinė" .

Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kitų trigonometrinių funkcijų išvestis, tai yra, kai funkcija atrodo kaip , tada tavo pamoka "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .

5 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Pagal sandaugos diferenciacijos taisyklę ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę gauname:

6 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Pagal dalinio diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę gauname:

Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš.

Akademinės disciplinos „Aukštosios matematikos elementai“ egzamino klausimai

specialybei 230115 „Programavimas kompiuterinėse sistemose“

2012 \ 2013 mokslo metai.

Matricos ir veiksmai su jais.

(O. Nulinė matrica yra matrica, kurios visi elementai lygūs 0.

O. Vadinamos dvi to paties matmens mxn matricos lygus jei i-osios eilutės ir j-ojo stulpelio sankirtoje vienoje ir kitoje matricoje yra tas pats skaičius; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Leisti būti A= (a ij) yra tam tikra matrica, o g yra savavališkas skaičius, tada g A= (g a ij), tai yra, padauginus matricą A iš skaičiaus g, visi skaičiai, sudarantys matricą A, dauginami iš skaičiaus g.

Tegul A ir B yra to paties matmens A = (a ij), B = (b ij) matricos, tada jų suma A + B yra to paties matmens matrica C = (c ij), nustatyta iš formulės c ij. = a ij + b ij, tai yra, sudėjus dvi matricas, jose identiškai išsidėstę skaičiai sudedami poromis.

Matrica A gali būti padauginta iš matricos B, ty rasti matricą C = AB, jei matricos A stulpelių skaičius n lygus matricos B eilučių skaičiui, o matricoje C bus tiek eilučių, kiek yra eilučių. matrica A ir tiek stulpelių, kiek stulpelių matricoje B. Kiekvienas matricos C elementas apibrėžiamas formule.

Produkto matricos C elementas c ij lygus pirmosios matricos koeficiento i-eilės elementų sandaugų sumai iš antrojo matricos koeficiento j-ojo stulpelio atitinkamų elementų.

Determinanto samprata ir jo savybės.

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Determinantas (vertės) .

Determinantas(arba determinantas) yra viena iš pagrindinių sąvokų tiesinė algebra... Determinantas matricos yra daugianario iš kvadratinės matricos (tai yra tokios, kurioje eilučių ir stulpelių skaičius yra lygus) elementų. Apskritai matrica gali būti apibrėžtas per bet kurį komutacinį žiedas, šiuo atveju determinantas bus to paties žiedo elementas.

Savybė 1. Determinanto reikšmė nepasikeis, jei visos jo eilutės bus pakeistos stulpeliais, o kiekviena eilutė bus pakeista stulpeliu su tuo pačiu numeriu, tai yra

SAVYBĖ 2. Dviejų determinanto stulpelių arba dviejų eilučių permutacija prilygsta jo padauginimui iš -1.

SAVYBĖ 3. Jei determinantas turi du vienodus stulpelius arba dvi identiškas eilutes, tada jis lygus nuliui.

SAVYBĖ 4. Vieno stulpelio arba vienos determinanto eilutės visų elementų padauginimas iš bet kurio skaičiaus k yra tolygus determinanto padauginimui iš šio skaičiaus k.

SAVYBĖ 5. Jeigu kurio nors stulpelio ar kurios nors eilutės visi elementai lygūs nuliui, tai pats determinantas lygus nuliui. Ši savybė yra ypatingas ankstesnio atvejis (jei k = 0).

SAVYBĖ 6. Jeigu determinanto dviejų stulpelių arba dviejų eilučių atitinkami elementai yra proporcingi, tai determinantas lygus nuliui.

SAVYBĖ 7. Jei kiekvienas determinanto n-ojo stulpelio arba n-osios eilutės elementas yra dviejų narių suma, tai determinantas gali būti pavaizduotas kaip dviejų determinantų suma, iš kurių vienas yra n-tame stulpelyje arba , atitinkamai, n-toje eilutėje yra pirmasis iš minėtų terminų, o kitas - antrasis; likusiose vietose esantys elementai yra vienodi trijų determinantų etapams.

SAVYBĖ 8. Jei prie kurio nors stulpelio (ar kurios nors eilutės) elementų pridėsime atitinkamus kito stulpelio (ar kitos eilutės) elementus, padaugintus iš bet kurio bendro koeficiento, tai determinanto reikšmė nepasikeis. Pavyzdžiui. Tolesnės determinantų savybės yra susijusios su algebrinio papildinio ir minoro samprata. Tam tikro elemento minoras yra determinantas, gautas iš duoto elemento išbraukus eilutę ir stulpelį, kurių sankirtoje šis elementas yra.

Bet kurio determinanto elemento algebrinis papildinys yra lygus šio elemento mažajai, paimtai su savo ženklu, jei eilutės ir stulpelio, kurių sankirtoje yra elementas, skaičių suma yra lyginis skaičius, ir su priešingu ženklu, jei šis skaičius nelyginis.

Elemento algebrinį papildymą žymėsime didžiąja to paties pavadinimo raide ir tuo pačiu skaičiumi, kaip ir patį elementą žyminčią raidę.

SAVYBĖ 9. Determinantas lygus bet kurio stulpelio (arba eilutės) elementų sandaugų sumai pagal jų algebrinius papildinius. Kitaip tariant, galioja šios lygybės:

Determinantų skaičiavimas.

Determinantai apskaičiuojami remiantis žinomomis jų savybėmis, kurios taikomos visų eilių determinantams. Šios savybės yra:

1. Jei pertvarkysite dvi determinanto eilutes (arba du stulpelius), determinantas pakeis ženklą.

2. Jei determinanto dviejų stulpelių (arba dviejų eilučių) atitinkami elementai yra lygūs arba proporcingi, tai determinantas lygus nuliui.

3. Determinanto reikšmė nepasikeis, jei sukeisite eilutes ir stulpelius, išlaikydami jų tvarką.

4. Jei bet kurios eilutės (ar stulpelio) visi elementai turi bendrą koeficientą, tai jį galima išimti iš determinanto ženklo.

5. Determinanto reikšmė nepasikeis, jei prie vienos eilutės (ar stulpelio) elementų bus pridėti atitinkami kitos eilutės (ar stulpelio) elementai, padauginti iš to paties skaičiaus. Trečiosios eilės determinantams ši savybė gali būti parašyta, pavyzdžiui, taip:

6. Antrosios eilės determinantas apskaičiuojamas pagal formulę

7. Trečiosios eilės determinantas apskaičiuojamas pagal formulę

Yra patogi trečios eilės determinanto skaičiavimo schema (žr. 1 pav. ir 2 pav.).

Pagal schemą, parodytą fig. 1, sujungtų elementų gaminiai paimti su savo ženklu, o pagal schemą pav. 2 - su priešingai. Determinanto reikšmė lygi šešių gautų sandaugų algebrinei sumai.

Tiesinių lygčių sistemos. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai.

SistemaPonas tiesinės algebrinės lygtys sun nežinomas(arba, linijinė sistema, taip pat naudotas santrumpa LĖTAI) v tiesinė algebra yra formos lygčių sistema

Trijų kintamųjų tiesinių lygčių sistema apibrėžia aibę lėktuvai... Sankirtos taškas yra sprendimas.

Čia yra lygčių skaičius ir nežinomųjų skaičius. x 1 , x 2 , …, x n- nežinomi nustatinėjami. a 11 , a 12 , …, a mn- sistemos koeficientai - ir b 1 , b 2 , … b m– laisvieji nariai – manoma, kad yra žinomi ... Šansų indeksai ( a ij) sistemos žymi lygties ( i) ir nežinomas ( j), kai šis koeficientas yra atitinkamai .

Sistema (1) vadinama vienalytis jei visi jo laisvieji terminai yra lygūs nuliui ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), kitaip - nevienalytis.

Sistema (1) vadinama kvadratas jei numeris m lygtys yra lygios skaičiui n nežinomieji.

Sprendimas sistema (1) - rinkinys n numeriai c 1 , c 2 , …, c n toks, kad kiekvieno pakeitimas c i vietoj x iį sistemą (1) paverčia visas savo lygtis į tapatybes.

Sistema (1) vadinama Bendras jei jis turi bent vieną sprendimą ir nenuoseklus jei ji neturi sprendimų.

(1) formos jungtinė sistema gali turėti vieną ar daugiau sprendinių.

Sprendimai c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) ir c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) vadinama nuosekli (1) formos sistema įvairių jei pažeidžiama bent viena iš lygybių:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Vadinama (1) formos jungtinė sistema tam tikras jei ji turi unikalų sprendimą; jei jis turi bent du skirtingus sprendimus, tada jis vadinamas neapibrėžtas... Jei lygčių yra daugiau nei nežinomųjų, ji vadinama iš naujo apibrėžta .

Tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai (Cramer ir Gauss metodas).

Gauso metodas - klasikinis sprendimo būdas tiesinių algebrinių lygčių sistemos(LĖTAI). Tai yra nuoseklios išimties metodas kintamieji, kai elementariųjų transformacijų pagalba lygčių sistema redukuojama į lygiavertę trikampės formos sistemą, iš kurios nuosekliai, pradedant nuo paskutinių (pagal skaičių) kintamuosius, randami visi kiti kintamieji .

Cramerio metodas (Cramerio taisyklė)- būdas išspręsti kvadratą tiesinių algebrinių lygčių sistemos su ne nuliu determinantas pagrindinė matrica(be to, tokioms lygtims sprendimas egzistuoja ir yra unikalus). Pavadinta vardu Gabrielius Krameris(1704-1752), kuris išrado metodą.

Vektoriai. Tiesinės operacijos su jais.

Vektorius yra nukreipta atkarpa. Jei vektoriaus pradžia yra taške A, o pabaiga yra taške B, tada vektorius žymimas AB. Jei vektoriaus pradžia ir pabaiga nenurodytos, tada ji žymima lotyniškos abėcėlės mažąja raide a, b, c,…. Per BA žymimas vektorius, nukreiptas priešais vektoriui AB. Vektorius, kurio pradžia ir pabaiga sutampa, vadinamas nuliu ir žymimas ō. Jo kryptis neaiški.

Vektoriaus ilgis arba modulis yra atstumas tarp jo pradžios ir pabaigos. Įrašai | AB | ir | a | žymime vektorių AB ir a modulius.

Vektoriai vadinami kolineariais, jei yra lygiagretūs vienai tiesei, ir koplaniniais, jei yra lygiagrečiai tai pačiai plokštumai.

Sakoma, kad du vektoriai yra lygūs, jei jie yra kolinijiniai, tos pačios krypties ir vienodo ilgio.

Linijinės operacijos su vektoriais apima:

1) vektoriaus dauginimas iš skaičiaus (Vektoriaus a ir skaičiaus α sandauga yra vektorius, žymimas α ∙ a. (Ar atvirkščiai a ∙ α), kurio modulis yra | α a | = | α || a |, o kryptis sutampa su vektoriaus a kryptimi, jei α> 0, ir priešinga jai, jei α< 0.

2) vektorių pridėjimas (vektorių suma yra vektorius, kurio pradžia pirmojo vektoriaus pradžioje yra a 1, o pabaiga - paskutinio vektoriaus an pabaigoje, trūkinė linija, sudaryta iš vektoriaus dėmenų seka. Ši sudėjimo taisyklė vadinama trūkinės linijos uždarymo taisykle. dviejų vektorių suma, tai lygiagretainio taisyklei)

Tiesi linija e su nurodyta kryptimi, laikoma teigiama, vadinama e ašimi.

Linijinis vektorių derinys a i yra vektorius a, nustatytas pagal formulę, kur yra keletas skaičių.

Jei n vektorių sistemai a i lygybė

yra teisinga tik tuo atveju, jei ši sistema vadinama tiesiškai nepriklausoma. Jei lygybė (1) galioja bent vienai iš kurių nėra nulis, tada vektorių sistema aі vadinama tiesiškai priklausoma. Pavyzdžiui, bet kokie kolineariniai vektoriai, trys lygiagrečiai vektoriai, keturi ar daugiau vektorių trimatėje erdvėje visada yra tiesiškai priklausomi.

Trys tvarkingi tiesiškai nepriklausomi vektoriai ē 1, ē 2, ē 3 erdvėje vadinami baze. Sutvarkytas nevienaplanių vektorių tripletas visada sudaro pagrindą. Bet kuris vektorius a erdvėje gali būti išplėstas baze ē 1, ē 2, ē 3, ty a gali būti pavaizduotas kaip tiesinis bazinių vektorių derinys: a = xē 1 + yē 2 + zē 3, kur x, y, z yra koordinačių vektorius a pagrindu ē 1, ē 2, ē 3. Pagrindas vadinamas ortonormaliu, jei jo vektoriai yra vienas kitą statmeni ir turi vienetinį ilgį. Toks pagrindas žymimas i, j, k, t.y., i = (1,0,0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

5 pavyzdys. Vektoriai nurodomi ortonormaliu pagrindu i, j, k koordinatėmis: a = (2; -1; 8), е 1 = (1,2,3), е 2 = (1, -1, - 2), e 3 = (1, -6,0). Įsitikinkite, kad trigubas e 1, e 2, e 3 sudaro pagrindą ir jame raskite vektoriaus koordinates.

Sprendimas. Jei determinantas , sudarytas iš vektorių e 1, e 2, e 3 koordinačių, nėra lygus 0, tada vektoriai e 1, e 2, e 3 yra tiesiškai nepriklausomi ir todėl sudaro pagrindą. Įsitikiname, kad = -18-4 + 3-12 = -31 Taigi, trigubas e 1, e 2, e 3 yra pagrindas.

Vektoriaus a koordinates baze е 1, е 2, е 3 pažymėkime x, y, z. Tada a = (x, y, z) = хе 1 + yе 2 + zе 3. Kadangi pagal sąlygą a = 2i - j + 8k, e 1 = i + 2j + 3k, e 2 = i - j -2k, e 3 = i - 6j, tai iš lygybės a = xe1 + ye 2 + ze 3 iš to seka taip, kad 2i - j + 8k = xi + 2xj + 3xk + yi - yj -2yk + zi -6zj = (x + y + z) i + (2x-y-6z) j + (3x-2y) k .. Kaip matote, vektorius kairėje gautos lygybės pusėje yra lygus vektoriui dešinėje, ir tai įmanoma tik tada, kai jų atitinkamos koordinatės yra lygios. Taigi gauname nežinomųjų x, y, z paieškos sistemą:

Jo sprendinys: x = 2, y = -1, z = 1. Taigi, a = 2e 1 - e 2 + e 3 = (2, -1,1).

Vektorių skaidymas. Taškinė vektorių sandauga.

Skaliarinis produktas kartais vidinis darbas- operacija ant dviejų vektoriai, kurio rezultatas yra skaičius ( skaliarinis), kuri nepriklauso nuo koordinačių sistemos ir apibūdina faktorių vektorių ilgius bei kampą tarp jų. Ši operacija atitinka dauginimą ilgio vektorius x įjungtas projekcija vektorius y pagal vektorių x. Ši operacija paprastai vertinama kaip komutacinės ir linijinis kiekvienam veiksniui.

Dažniausiai naudojamas vienas iš šių susitarimų:

arba ( paskirtis Dirakas dažnai naudojamas Kvantinė mechanika būsenos vektoriams):

Paprastai daroma prielaida, kad taškinis produktas yra teigiamas apibrėžtas, ty

Visiems .

Jei tai nėra manoma, darbas vadinamas neterminuota.

Taškinis produktas v vektorinė erdvė aukščiau lauke kompleksas(arba medžiaga) numeriai vadinama elementų funkcija, kuri įgauna reikšmes (arba), apibrėžta kiekvienai elementų porai ir atitinkanti šias sąlygas:

Atkreipkite dėmesį, kad iš apibrėžimo 2 punkto išplaukia, kad. Todėl 3 punktas turi prasmę, nepaisant sudėtingų (bendruoju atveju) reikšmių taškinis produktas.

Vektorių sandauga.

Vektorinis produktas- tai yra pseudovektorius, statmenai plokštuma, sudaryta iš dviejų veiksnių, o tai yra rezultatas dvejetainė operacija„Vektoriaus daugyba“ baigėsi vektoriai trimatėje Euklido erdvė... Darbas nei vienas komutacinės nei asociatyvus(tai yra antikomutacinis) ir skiriasi nuo vektorių taškinė sandauga... Daugelyje inžinerijos ir fizikos problemų būtina mokėti sukurti vektorių, statmeną dviem esamiems – kryžminė sandauga suteikia tokią galimybę. Kryžminė sandauga naudinga vektorių statmenumui „matuoti“ – dviejų vektorių kryžminės sandaugos ilgis lygus jų ilgių sandaugai, jei jie statmeni, ir sumažėja iki nulio, jei vektoriai lygiagretūs arba antilygiagretūs.

Kryžminį sandaugą galima apibrėžti įvairiai ir teoriškai bet kokio matmens erdvėje n galite apskaičiuoti produktą n-1 vektorius, taip gaunant vieną vektorių, statmeną jiems visiems. Bet jei sandauga apsiriboja netrivialiais dvejetainiais sandaugais su vektoriniais rezultatais, tada tradicinė vektorinė sandauga apibrėžiama tik trimatėje ir septynių matmenų erdvės. Vektorinės sandaugos, kaip ir skaliarinės sandaugos, rezultatas priklauso nuo metrikos Euklido erdvė.

Skirtingai nuo vektorių koordinačių skaičiavimo formulės taškinis produktas trimatėje stačiakampė koordinačių sistema, kryžminio sandaugos formulė priklauso nuo orientacija stačiakampė koordinačių sistema arba, kitaip tariant, jos " chiralumas».

Mišrus vektorių sandauga

Mišrus darbas vektoriai - skaliarinis produktas vektoriusįjungta kryžminis produktas vektoriai ir:

Kartais tai vadinama trijų taškų gaminys vektoriai, greičiausiai dėl to, kad rezultatas yra skaliarinis(tiksliau - pseudoskalarinis).

Geometrinė reikšmė: Mišraus produkto modulis yra skaitiniu būdu lygus tūriui gretasienis suformuotas vektoriai .

Mišrus darbas pasviręs-simetriškas dėl visų jos argumentų:

tai yra bet kurių dviejų veiksnių permutacija pakeičia gaminio ženklą. Iš to išplaukia

Visų pirma,

Mišrus darbas parašytas patogiai naudojant simbolis (tenzorius) Levi-Civita:

(paskutinėje formulėje ortonormaliame pagrinde visi indeksai gali būti rašomi žemesniais; šiuo atveju ši formulė visiškai tiesiogiai pakartoja formulę su determinantu, tačiau šiuo atveju koeficientas (-1) kairiosioms bazėms gaunamas automatiškai).

Dekarto stačiakampių koordinačių sistema plokštumoje.

Paimkite plokštumoje dvi viena kitai statmenas tieses – dvi koordinačių ašis Ox ir Oy su nurodytomis teigiamomis kryptimis (1 pav.). Tiesės Ox ir Oy vadinamos koordinačių ašimis, jų susikirtimo taškas O – pradžia.

Koordinačių ašys Ox, Oy su pasirinktu mastelio vienetu vadinamos Dekarto stačiakampe (arba stačiakampe) koordinačių sistema plokštumoje.

Savavališkam plokštumos taškui M įvedame du skaičius: abscisę x, lygią atstumui nuo taško M iki ašies Oy, paimtą su „+“ ženklu, jei M yra dešinėje nuo Oy, ir su ženklas „-“, jei M yra kairėje nuo Oy; ordinatė y, lygi atstumui nuo taško M iki Ox ašies, paimta su "+" ženklu, jei M yra virš Ox, ir su "-" ženklu, jei M yra žemiau Ox. Abscisė x ir ordinatė y vadinamos taško M (x; y) Dekarto stačiakampėmis koordinatėmis.

Pradinė vieta turi koordinates (0; 0). Koordinačių ašys padalija plokštumą į keturias dalis, vadinamas ketvirčiais arba kvadrantais (kartais dar vadinamais koordinačių kampais). Plokštumos dalis, esanti tarp teigiamų pusašių Oх ir Oy, vadinama pirmuoju kvadrantu. Toliau kvadrantų numeracija vyksta prieš laikrodžio rodyklę (2 pav.). Visiems I kvadranto taškams x> 0, y> 0; x kvadranto taškams I I<0, у>0, I I I kvadrante x<0, у<0 и в IV квадранте х>0 m<0.

Polinės koordinatės.

Poliarinė koordinačių sistema– dvimatė koordinačių sistema, kurioje kiekvienas plokštumos taškas apibrėžiamas dviem skaičiais – poliariniu kampu ir poliariniu spinduliu. Polinė koordinačių sistema ypač naudinga, kai ryšius tarp taškų lengviau pavaizduoti spinduliais ir kampais; dažniau, kartezietis arba stačiakampę koordinačių sistemą, tokius ryšius galima nustatyti tik taikant trigonometrinis lygtys.

Poliarinę koordinačių sistemą apibrėžia spindulys, kuris vadinamas nuline arba poline ašimi. Taškas, iš kurio išeina šis spindulys, vadinamas pradžia arba poliu. Bet kuris plokštumos taškas apibrėžiamas dviem polinėmis koordinatėmis: radialine ir kampine. Radialinė koordinatė (dažniausiai žymima) atitinka atstumą nuo taško iki pradžios. Kampinė koordinatė, dar vadinama poliariniu kampu arba azimutas ir žymimas lygus kampui, kuriuo polinė ašis turi būti pasukta prieš laikrodžio rodyklę, kad būtų pasiektas šis taškas.

Tokiu būdu nustatyta radialinė koordinatė gali paimti reikšmes iš subraižyti prieš begalybė, o kampinė koordinatė svyruoja nuo 0 ° iki 360 °. Tačiau patogumo dėlei polinės koordinatės verčių diapazonas gali būti išplėstas už ribos

Tiesės lygtis plokštumoje

Apibrėžimas. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

o konstantos A, B tuo pačiu metu nėra lygios nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis. Atsižvelgiant į konstantų A, B ir C vertes, galimi šie specialūs atvejai:

C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linija eina per pradžios tašką

A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (by + C = 0) – tiesė lygiagreti Ox ašiai

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – tiesė lygiagreti Oy ašiai

B = C = 0, A ≠ 0 - tiesė sutampa su Oy ašimi

A = C = 0, B ≠ 0 - tiesi linija sutampa su Ox ašimi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, priklausomai nuo bet kokių pradinių sąlygų.

Pagrindinės tiesės lygties naudojimo problemos

negaliu atsakyti

Antros eilės kreivės

Antros eilės kreivė yra taškų, kurių Dekarto stačiakampės koordinatės atitinka formos lygtį, vieta

kurioje bent vienas iš koeficientų lygus nuliui.

Skaičių sekos riba ir funkcijos

Skaitmeninės sekos riba. Apsvarstykite skaičių seką, kurios bendras narys artėja prie tam tikro skaičiaus a padidinti serijos numerį n... Šiuo atveju sakoma, kad skaičių seka turi riba... Ši sąvoka turi griežtesnį apibrėžimą.

Šis apibrėžimas reiškia a yra riba skaitinė seka, jei jos bendras terminas neribotai artėja prie a didėjant n... Geometriškai tai reiškia, kad bet kuriam > 0 galima rasti tokį skaičių N kad pradedant nuo n > N visi sekos nariai yra intervale ( a a). Seka, kuri turi ribą, vadinama susiliejantys; kitaip - skiriasi.

Seka vadinama ribotas jei yra toks skaičius M kas | u n | M  visiems n . Didėjanti arba mažėjanti seka vadinama monotoniškas.

Pagrindinės teoremos apie ribas ir jų taikymas

1 teorema . (dėl perėjimo prie lygybės ribos) Jei dvi funkcijos greta kurio nors taško įgyja tas pačias reikšmes, tada jų ribos šiame taške sutampa.

2 teorema. (dėl perėjimo prie nelygybės ribos) Jei funkcijos reikšmės f(x) kurio nors taško kaimynystėje neviršija atitinkamų funkcijos reikšmių g(x) , tada funkcijos riba f(x) šiuo metu neviršija funkcijos ribos g(x) .

Teorema 3 . Konstantos riba lygi pastoviausiajai.

Įrodymas. f(x) = su, mes tai įrodysime.

Paimkite savavališkai > 0. Kaip , galite paimti bet kurį

teigiamas skaičius. Tada val

Teorema 4. Funkcija negali turėti dviejų skirtingų ribų

vienas taškas.

Įrodymas. Tarkime, priešingai. Leisti būti

ir .

Autorius teorema apie ryšį tarp ribos ir be galo mažos funkcijos:

f(x)- A= - b.m. ,

f(x)- B= - b.m. adresu .

Atėmus šias lygybes, gauname:

B-A= - .

Pereinant prie abiejų lygybės pusių ribų, turime:

B-A= 0, t.y. B=A... Gauname prieštaravimą, kuris įrodo teoremą.

5 teorema. Jei kiekvienas algebrinės funkcijų sumos narys turi ribą at, tai algebrinė suma taip pat turi ribą at, o algebrinės sumos riba lygi ribų algebrinei sumai.

.

Įrodymas. Leisti būti , , .

Tada, iki teorema apie ryšį tarp ribos ir b.m... funkcijas:

kur - b.m. adresu .

Sudėkime šias lygybes algebriškai:

f(x)+ g(x)- h(x) – (A + B–C)= ,

kur b.m. adresu .

Pagal teoremą apie ryšį tarp ribos ir begalinio mažumo funkcijos:

A + B-C= .

Teorema 6. Jei kiekvienas iš baigtinio skaičiaus funkcijų sandaugos faktorių turi ribą at, tai sandauga taip pat turi ribą at, o sandaugos riba lygi ribų sandaugai.

.

Pasekmė. Pastovus daugiklis gali būti paimtas už ribinio ženklo ribų.

.

Teorema 7. Jei funkcijos f(x) ir g(x) turėti ribą,

be to, tada jų dalinys turi ribą ties, o dalinio riba yra lygi ribų daliniui.

, .

Funkcijos tęstinumas

Fig. 15, ir parodytas funkcijos grafikas ... Natūralu tai vadinti ištisiniu grafiku, nes jį galima nubrėžti vienu pieštuko brūkštelėjimu nenuplėšiant nuo popieriaus. Nustatykime savavališką tašką (skaičius). Kitas artimas taškas gali būti parašytas formoje, kurioje yra teigiamas arba neigiamas skaičius, vadinamas prieaugiu. Skirtumas

vadinamas funkcijos prieaugiu taške, atitinkančiame prieaugį. Čia turima omenyje tai ... Fig. 15 ir lygus atkarpos ilgiui.

Būsime linkę į nulį; tada akivaizdu, kad nagrinėjamos funkcijos atveju ji bus lygi nuliui:

. (1)

Dabar apsvarstykite grafiką 15 paveiksle, b. Jį sudaro dvi ištisinės dalys ir. Tačiau šios dalys nėra nuolat sujungtos, todėl natūralu grafą vadinti nepertraukiamu. Kad grafikas taške pavaizduotų vienareikšmę funkciją, sutinkame, kad ji lygi atkarpos, jungiančios ir, ilgiui; kaip tai ženklas, taškas diagramoje rodomas apskritimu, o taškas nubrėžiamas rodykle, rodančia, kad jis nepriklauso grafikui. Jei taškas priklausytų grafikui, tada funkcija taške būtų dviženklė.

Dabar pridėkime prieaugį ir apibrėžkime atitinkamą funkcijos padidėjimą:

Jei mes linkę į nulį, tai dabar jau nebegalime sakyti, kad jis bus linkęs į nulį. Neigiamiems, linkusiems į nulį, taip yra, o teigiamiems visai ne: iš paveikslo matyti, kad jei, likdamas teigiamas, linkęs į nulį, tai atitinkamas prieaugis linkęs į teigiamą skaičių, lygų iki segmento ilgio.

Atsižvelgus į šiuos svarstymus, natūralu iškviesti funkciją, apibrėžtą tolydžioje atkarpoje šios atkarpos taške, jei jos prieaugis šiame taške, atitinkantis prieaugį, yra linkęs į nulį, taikant bet kurį nulinės tendencijos metodą. Tai (tęstinumo savybė) rašoma santykio (1) forma arba taip:

Įrašas (2) skamba taip: riba yra nulis, kai ji linkusi į nulį pagal bet kurį dėsnį. Tačiau posakis „pagal bet kokį įstatymą“ dažniausiai praleidžiamas, tai numanant.

Jei funkcija, apibrėžta taške, nėra tolydi, tai yra, jei savybė (2) jai negalioja bent vienu būdu linkti į nulį, tada ji taške vadinama nenutrūkstama.

Funkcija, parodyta pav. 15, a, yra ištisinis bet kuriame taške, o funkcija, parodyta Fig. Akivaizdu, kad 15b yra tęstinis bet kuriame taške, išskyrus tašką, nes pastarajam santykis (2) netenkinamas, kai išlieka teigiamas.

Funkcija, kuri yra ištisinė bet kuriame atkarpos taške (intervalas), vadinama tęstine šiame segmente (intervalas).

Tęstinė funkcija matematiškai išreiškia savybę, su kuria dažnai susiduriame praktikoje, t. y. nedidelis nepriklausomo kintamojo prieaugis atitinka mažą priklausomo kintamojo (funkcijos) prieaugį. Įvairūs kūnų judėjimo dėsniai, išreiškiantys kūno nueinamo kelio priklausomybę nuo laiko, gali pasitarnauti kaip puikūs nuolatinės funkcijos pavyzdžiai. Laikas ir erdvė yra nenutrūkstami. Vienas ar kitas judėjimo dėsnis nustato tarp jų tam tikrą nenutrūkstamą ryšį, pasižymintį tuo, kad nedidelis laiko prieaugis atitinka nedidelį kelio žingsnį.

Į tęstinumo abstrakciją žmogus atėjo stebėdamas jį supančias vadinamąsias ištisines terpes – kietas, skystas ar dujines, pavyzdžiui, metalus, vandenį, orą. Tiesą sakant, bet kokia fizinė aplinka yra daugybės judančių dalelių, atskirtų viena nuo kitos, sankaupa. Tačiau šios dalelės ir atstumai tarp jų yra tokie maži, lyginant su terpės tūriais, su kuriais tenka susidoroti makroskopiniuose fizikiniuose reiškiniuose, kad daugelį tokių reiškinių galima gana gerai ištirti, jei manytume, kad terpės masė tyrimas yra maždaug nuolat paskirstytas be jokių spragų jo užimamoje erdvėje. Šia prielaida remiasi daugelis fizinių disciplinų, pavyzdžiui, hidrodinamika, aerodinamika ir elastingumo teorija. Matematinė tęstinumo samprata natūraliai vaidina svarbų vaidmenį šiose disciplinose, kaip ir daugelyje kitų.

Ištisinės funkcijos sudaro pagrindinę funkcijų klasę, su kuria veikia matematinė analizė.

Tęstinių funkcijų pavyzdžiai yra elementarios funkcijos (žr. § 3.8 toliau). Jie yra nuolatiniai keitimo intervalais, kur jie yra apibrėžti.

Nenutrūkstamos funkcijos matematikoje atspindi nenutrūkstamus procesus, vykstančius gamtoje. Pavyzdžiui, smūgio metu kūno greičio reikšmė staigiai pasikeičia. Daugelį kokybiškų perėjimų lydi šuoliai. Pavyzdžiui, santykis tarp vieno gramo vandens (ledo) temperatūros ir jame esančios šilumos kalorijų skaičiaus, kai ji kinta tarp ir, jei įprastai pripažįstama, kad vertė išreiškiama šiomis formulėmis:

Manome, kad ledo šiluminė talpa yra 0,5. Kai ši funkcija pasirodo neapibrėžta – daugiareikšmė; dėl patogumo galima susitarti, kad, pavyzdžiui, ji įgauna tiksliai apibrėžtą vertę. Funkcija akivaizdžiai nepertraukiama, parodyta Fig. 16.

Pateiksime funkcijos tęstinumo taške apibrėžimą.

Funkcija taške vadinama tęstine, jei ji apibrėžta tam tikroje šio taško kaimynystėje, įskaitant patį tašką, ir jei jos padidėjimas šiame taške, atitinkantis argumento prieaugį, linkęs į nulį taip:

Jei įdėsime, tada gausime tokį lygiavertį tęstinumo apibrėžimą: funkcija yra tolydi taške, jei ji apibrėžta kurioje nors šio taško kaimynystėje, įskaitant ir patį tašką, ir jei

; (4)

ar dar kalboje: jei visiems yra toks

Lygybė (4) taip pat gali būti parašyta taip:

. (4’)

Tai rodo, kad po tolydžios funkcijos ženklu galima pereiti prie ribos.

PAVYZDYS 1. Konstanta yra funkcija, kuri yra ištisinė bet kuriame taške. Iš tiesų taškas atitinka funkcijos reikšmę, taškas – tą pačią reikšmę ... Štai kodėl

.

PRI me R 2. Funkcija yra ištisinė bet kuriai reikšmei, nes ir, vadinasi, at.

PRI me R 3. Funkcija yra nuolatinė bet kuriai. Iš tikrųjų,

Tačiau bet kokiai nelygybei

Jei, tai išplaukia iš Fig. 17, kuriame pavaizduotas 1 spindulio apskritimas (ilgio lankas yra didesnis nei jo sutraukta styga, turinti ilgį). Mat nelygybė (6) virsta lygybe. Jei tada ... Galiausiai, jei, tada ... Iš (5) remiantis (6) išplaukia

,

Bet tada aišku

Taip pat galite pasakyti, kad kiekvienam galite rasti būtent tokį

Atkreipiame dėmesį į svarbią teoremą.

TEOREMA 1. Jei funkcijos ir yra tolydžios taške, tai jų suma, skirtumas, sandauga ir koeficientas (at) taip pat yra tolydžios šiame taške.

Ši teorema tiesiogiai išplaukia iš §3.2 6 teoremos, jei atsižvelgsime į tai šiuo atveju

Taip pat teisinga svarbi teorema apie funkcijos funkcijos tęstinumą (sudėtinė funkcija).

2 TEOREMA. Tegu yra funkcija, kuri yra tolydi taške, ir kita funkcija, kuri yra ištisinė taške, ir tegul. Tada sudėtinga funkcija yra ištisinis taške.

Įrodymas. Atkreipkite dėmesį, kad apibrėžus funkcijos tęstinumą taške, išplaukia, kad ji yra apibrėžta tam tikroje šio taško kaimynystėje. Štai kodėl

Čia mes įvedėme pakeitimą ir atsižvelgėme į tęstinumą taške .

4 PAVYZDYS. Funkcija

kur yra pastovūs koeficientai, vadinamas laipsnio daugianario. Tai tęsiasi bet kam. Juk norint gauti, reikia, remiantis pastoviais skaičiais ir funkcija, atlikti baigtinį skaičių aritmetinių operacijų – sudėties, atimties ir daugybos. Bet konstanta yra nuolatinė funkcija (žr. 1 pavyzdį), o funkcija taip pat yra tolydi (žr. 2 pavyzdį), todėl tęstinumas išplaukia iš 1 teoremos.

5 PAVYZDYS. Funkcija yra nuolatinė. Tai dviejų tęstinių funkcijų kompozicija:,.

6 PAVYZDYS. Funkcija

yra tolydis nurodytoms vienetams, nes (žr. 1 teoremą) jis lygus tolydinių funkcijų dalybos daliniui, o daliklis nelygus nuliui (nurodytoms).

7 PAVYZDYS. Funkcija

yra tolydi bet kuriai, nes tai yra tęstinių funkcijų kompozicija:,, (žr. 2 teoremą).

8 PAVYZDYS. Funkcija yra nuolatinė, nes

9 PAVYZDYS. Jei funkcija yra ištisinė taške, tai funkcija ir šiame taške yra tolydi.

Tai išplaukia iš 2 teoremos ir 8 pavyzdžio, nes funkcija yra dviejų tęstinių funkcijų sudėtis.

Atkreipiame dėmesį į dar dvi teoremas, kurios tiesiogiai išplaukia iš atitinkamų §3.2 1 ir 2 teoremų, skirtų funkcijos ribai.

3 TEOREMA. Jei funkcija taške yra ištisinė, tai yra šio taško kaimynystė, su kuria ji yra ribojama.

4 TEOREMA. Jei funkcija yra tolydi taške u, tada egzistuoja taško, kuriame

.

Be to, jei, tada

o jei, tada

Išvestinė koncepcija.

Darinys(funkcijos taške) – pagrindinė sąvoka diferencialinis skaičiavimas charakterizuojantys funkcijos kitimo greitį (tam tikrame taške). Apibrėžtas kaip riba funkcijos prieaugio ir jos prieaugio santykis argumentas kai linkę padidinti argumentą iki nulis jei tokia riba egzistuoja. Funkcija, turinti baigtinę išvestinę (tam tikru momentu), vadinama diferencijuojamąja (tam tikrame taške).

Išvestinės apskaičiavimo procesas vadinamas diferenciacija... Atvirkštinis procesas – radimas antidarinys - integracija.

Darinio geometrinė ir mechaninė reikšmė.

Diferencijavimo taisyklės.

Algebrinės funkcijų sumos išvestinė

1 teorema. Darinys dviejų diferencijuojamų funkcijų suma (skirtumas) yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai (skirtumui):

(u ± v) "= u" ± v "

Pasekmė. Diferencijuojamų funkcijų baigtinės algebrinės sumos išvestinė lygi tai pačiai terminų išvestinių algebrinei sumai. Pavyzdžiui,

(u - v + w) "= u" - v "+ w"

Funkcijų sandaugos išvestinė nustatoma pagal

2 teorema. Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi pirmosios funkcijos sandaugai iš antrosios išvestinės plius antrosios funkcijos sandaugai iš pirmosios išvestinės, tai yra,

(uv) "= u" v + uv "

Išvada 1. Pastovų koeficientą galima paimti už išvestinės (cv) ženklo "= cv" (c = const) ribų.

Išvada 2. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš jų išvestinės visų kitų sandaugų sumai.

Pavyzdžiui, (uvw) "= u" vw + uv "w + uvw"

Dviejų funkcijų dalinio išvestinė

išreiškiamas tokia teorema.

3 teorema. Dviejų diferencijuojamųjų funkcijų dalinio išvestinė apibrėžiama formule

Sudėtinės funkcijos išvestinė išreiškia

4 teorema. Jei y = f (u) ir u = (φ (x)) yra jų argumentų diferencijuojamos funkcijos, tai sudėtinės funkcijos išvestinė y = f (f (x)) egzistuoja ir yra lygus šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu iš tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu, t.y.

Labai dažnai į matematikos testai išvestinėms pateiktos kompleksinės funkcijos, pavyzdžiui, y = sin (cos5x). Tokios funkcijos išvestinė yra -5sin5x * sin (cos5x)

Šiame vaizdo įraše žiūrėkite sudėtingos funkcijos skaičiavimo pavyzdį.

Elementariųjų funkcijų dariniai.

Paprasto argumento elementariųjų funkcijų išvestiniai	Funkcijay = f (kx + b )	Sudėtingo argumento elementariųjų funkcijų išvestiniai
y=xn	y=nxn−1	y=(kx+b)n	y=nk(kx+b)n−1
		y=(kx+b)

Todėl lygybė (3.10) vaidina svarbų vaidmenį tiek teoriniuose tyrimuose, tiek apytiksliuose skaičiavimuose.

Vadinamos funkcijos išvestinės ir diferencialinės paieškos operacijos diferenciacijašią funkciją. Bendras abiejų operacijų pavadinimas yra dėl akivaizdžios jų priklausomybės. Pagal (3.8) formulę funkcijos diferencialas gaunamas paprastai padauginus jos sandaugą

santykinės paklaidos, atsirandančios, kai funkcijos prieaugis pakeičiamas jos skirtumu.

Raskite funkcijos prieaugį ir diferencialą

y = 3 (x + x) 2 + (x + x) - 3 x2 - x = 6 x x + 3 (x) 2 + x = (6 x + 1) x + (x) 2.

Tada dy = (6 x + 1) x. Apskaičiuokite y ir dy taške x = 1, jei x = 0, 1 y = 7 0, 1 + 3 0, 01 = 0, 73; dy = 7 0, 1 = 0, 7.

Absoliuti paklaida y - dy = 0, 73 - 0, 7 = 0, 03 ir santykinė klaida

y = 0 0 .03 73 ≈0,04.

3.5. Funkcijų sumos, sandaugos ir koeficiento išvestinė

Prisiminkime iš vidurinės mokyklos kurso žinomas diferenciacijos taisykles, kurios kai kuriais atvejais leidžia rasti funkcijų išvestinius, nesiimant tiesiogiai apibrėžimo.

3.3 teorema. Jei funkcijos u = u (x) ir v = v (x)

taške x, tada šiame taške
				(u + v)
				(UV)		U v + v u;
					u v - v u				V = v (x) ≠ 0.

skiriasi

Padauginus šias lygybes iš dx, gauname tas pačias taisykles, parašytas diferencialais

d (u + v) = du + dv;
d (uv) = udv + vdu;

					udv - vdu

Įrodymas. Kadangi įrodymas yra visiškai vienodas visoms teoremos dalims, įrodome vieną iš jų, pavyzdžiui, antrą.

Nustatome y = uv. Suteikite x x prieaugį ir leiskite

u, Δ v, Δ y bus funkcijų u, v, y žingsniai taške									x, atitinkantis
didėjantis		x, argumentas. Tada
y = (u + u) (v + v) - uv = v u + u v + u v.
Atsižvelgiant į tai, kad u	ir v yra funkcijų reikšmės taške							x nepriklauso nuo
auga ginčas		x, pagal apibrėžimą (3.1) ir ribojimo savybes
perėjimą (žr. (2.14), (2.15) formules, randame
y ′ = lim		V lim		U lim	v + lim
x → 0		x → 0		x → 0		x → 0		x → 0
Funkcija v = v (x)	aptariamame taške					x pagal teoremos hipotezę

yra referencinis ir todėl tęstinis (3.2 teorema), vadinasi

	v = 0 (2.17 tęstinumo apibrėžimas) ir ankstesnė lygybė
x → 0					y′ = vu′ + uv′ + u′0. Pakeičiamas čia
pateikia išvestinės išraišką:
y = uv, gauname formulę (3.12).							y = C (čia
	Pastovios funkcijos išvestinė ir diferencialas
SU -	pastovus skaičius visiems x X)					yra lygūs nuliui.
	x X C
					dC = C dx = 0.
Iš tiesų, bet kuriame aibės X taške tokia funkcija turi vieną
ir ta pati prasmė, dėl kurios jai						y ≡ 0 bet kuriam	x ir x tokie
	x, x + x X. Vadinasi,			pagal išvestinės apibrėžimą ir
renialas, toliau pateikiamos formulės (3.17).
	Formulė (3.11) apibendrinta bet kurio baigtinio silpnųjų skaičiaus atveju
funkcijas.
	Jei u = C, kur	C – const, formulės (3.12) ir (3.15),					pagal (3.17),
				d (Cv) = CD. Tai yra, pastovus daugiklis
pateikti lygybes: (Cv)

korpusas gali būti išvestas dėl išvestinės ir diferencialo ženklų.

Trijų veiksnių atveju iš eilės taikant formulę

(3.12), randame

(uvw) ′ = ((uv) w) ′ = (uv) ′ w + (uv) w ′ + (u ′ v + uv ′) w + uvw ′ = = u ′ vw + uv ′ w + uvw ′.

Panaši taisyklė galioja diferencijuojant bet kokio skaičiaus veiksnių sandaugą.

Tolesnėse pastraipose bus gautos pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės.

3.6. Trigonometrinių funkcijų dariniai

Raskime trigonometrinių funkcijų išvestines, būtent

		Cosx						= - sinx
	(nuodėmė x)					(cos x)
	(tgx) ′ =					(ctgx) ′
			cos2 x						sin2 x

Paimkime pirmąjį. Funkcijos y = sin x padidėjimas taške x, ko-

	atitinkamas prieaugis				argumentas bus
	y = sin (x +		x) - sinx = 2sin				x cos (x +		x).
	Atsižvelgiant į tai, kad nuodėmė 2 x		2 x at
						x → 0	ir naudojant apibrėžimą
	vandens, randame				2sin 2 x cos (x +			2x)
	y ′ = lim		y = lim
		x → 0		x → 0
		2 2 x cos (x +		2x)		Limcos (x +		x) = cosx.
	x → 0					x → 0

Antroji formulė įrodoma panašiai. Trečioji ir ketvirtoji formulės gaunamos išreiškiant liestinę ir kotangentą sinusu ir kosinusu ir naudojant formulę (3.13).

3.7. Logaritminių funkcijų diferencijavimas

	Galioja šios formulės
					loga e
		(loga x)				2. (lnx)

Įrodykime pirmąjį iš jų. Funkcijos y = log a x padidėjimas taške x, kartu

atitinkantį prieaugį x		argumentas bus
y = loga (x + x) - loga x = loga		x + x	Loga (1+	x) = loga e ln (1+	x);

(čia naudojome tapatybės log a A = log a e ln A).

Kadangi ln (1 + x x) x x		x → 0		Tada pagal apibrėžimą išvestinė
mes gauname:	y = loga e lim								x) =
y ′ = lim							ln (1+
x → 0			x → 0
Loga e lim								loga e.
	x → 0

3.8. Sudėtingos funkcijos diferencijavimas.

Galios ir eksponentinių funkcijų išvestinės

Tegul argumento x kompleksinė funkcija y pateikiama formulėmis y = f (u),

u = ϕ (x) (žr. 1.4.3 skirsnį)

3.4 teorema (apie sudėtinės funkcijos išvestinę). Jei funkcijos

y = f (u), u = ϕ (x) yra diferencijuojami		atitinkamose	vienas kitą
taškai u ir x, tada kompleksinė funkcija		f [ϕ (x)] taip pat skiriasi
	x ir	y ′ x = y ′ u u ′ x.
	y ′ = f ′ (u) u ′ arba
Įrodymas. Nepriklausomam kintamajam x suteikiamas prieaugis
	x, tada funkcija u = ϕ (x) įgyja prieaugį u,		kas sukels

funkcijos y prieaugis y = f (u). Kadangi funkcija y = f (u), remiantis teoremos hipoteze, yra diferencijuojama nagrinėjamame taške u, jos prieaugis šiame taške gali būti pavaizduotas kaip (žr. 3.4 apibrėžimą)

			u, kur α (		u) → o kaip u → 0.
y = f (u) u + α (u)
				f (u)	x + α (u)
Funkcija u = ϕ (x)			diferencijuojamas, taigi ir nenutrūkstamas iki taško
ne x, atitinkantis aukščiau esantį tašką u							(3.2 teorema).
Vadinasi,				tęstinumą		lim u = 0,	ir todėl
						x → 0
lim α (u) = 0.
x → 0
Atsižvelgiant į tai,		perėjimas į			Paskutinis	lygybė su	riba ties

x → 0, gauname (3.18).

Lygybę (3.18) padauginę iš dx, gauname sudėtinės funkcijos diferencialo išraišką

dy = f ′ (u) du.

komentuoti. Funkcijos y = f (u) diferencialas turėtų lygiai tokią pat formą, jei argumentas u būtų ne funkcija, o nepriklausomas kintamasis. Tai yra vadinamasis nekintamumo savybė(nepriklausomybė) nuo diferencialo formos argumento atžvilgiu. Reikėtų nepamiršti, kad jei u yra nepriklausomas kintamasis, tai du = u yra savavališkas jo padidėjimas, jei u yra tarpinis argumentas (tai yra funkcija), tada du yra šios funkcijos diferencialas, ty a reikšmė, kuri nesutampa su jos prieaugiu u.

Naudojant paskutinę teoremą, lengva gauti diferencialo formules

eksponentinės ir eksponentinės funkcijos santykis:

α−1

2). (a

ln a;

3). (e

1). (x

) = α x

tikrai,

darant prielaidą

x> 0,

abiejų dalių logaritmas

formulės y = x α; ln y = α ln x. Čia y

Tai yra x funkcija, pagal kurią

paskutinės lygybės kairioji pusė yra sudėtinga x funkcija. Diferencijuodami abi paskutinės lygybės puses x atžvilgiu (kairė pusė kaip kompleksinė funkcija), gauname

1 y y ′ = a 1 x,

y ′ = ay x = ax x a = ax a - 1.

Nesunku parodyti, kad šis rezultatas tinka ir x< 0 , если только при

šis x α turi prasmę. Anksčiau rezultatas buvo gautas atveju α = n. Antroji formulė gaunama panašiu būdu, iš kurios konkrečiu atveju a = e seka paskutinė formulė.

komentuoti. Preliminaraus logaritmo metodas, kuris buvo naudojamas galios funkcijos diferenciacijos formulei gauti, turi nepriklausomą reikšmę ir vadinamas kartu su vėlesniu funkcijos logaritmo išvestinės radimu.

lnx) "= cosx lnx + sin x x.

Vadinasi,

y′ = x sin x (cosx lnx + sin x x)

komentuoti. Sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklė taip pat gali būti taikoma norint rasti netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę.

Iš tiesų, jei ryšys tarp x ir y pateikiamas forma F (x, y) = 0 ir ši lygtis yra sprendžiama y atžvilgiu, tada išvestinę y ′ galima rasti iš lygties

					(F (x, y (x)) = 0.
3.4 pavyzdys.								y = f (x), duota ne-
		Raskite funkcijos išvestinę
aiškiai pagal lygtį		arctan (y) – y + x = 0.				y kaip x funkcija:
Atskiriame lygybę x atžvilgiu, darant prielaidą
	y						1 + y
			- y ′ + 1 = 0, iš kur			y ′ =
	1 + y 2

3.9. Atvirkštinės funkcijos diferencijavimas.

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų diferencijavimas

Tegu yra dvi viena kitai atvirkštinės funkcijos y = f (x) ir x = ϕ (y)

(žr. 1.4.8 punktą).

3.5 teorema (apie atvirkštinės funkcijos išvestinę). Jei funkcijos

y = f (x),

x = ϕ (y)

padidinti (sumažinti) ir taške x funkcija f (x)

skiriasi,

f ′ (x) ≠ 0, tada atitinkamame taške

funkcija ϕ (y) taip pat yra diferencijuojama (y atžvilgiu), ir

Įrodymas.

nustatykite prieaugį

x = ϕ (y)

didėja

(mažėja)

x = ϕ (y + y) - ϕ (y) ≠ 0 ir

Teoremos sąlygomis

x = ϕ (y)

x → 0

y → 0

yra tęstinis (3.2 teorema), dėl kurios

Pirmas lygis

Funkcijos išvestinė. Išsamus vadovas (2019 m.)

Įsivaizduokite tiesų kelią per kalvotą vietovę. Tai yra, jis eina aukštyn ir žemyn, bet nesisuka nei į dešinę, nei į kairę. Jei ašis nukreipta išilgai kelio horizontaliai, o vertikaliai, tada kelio linija bus labai panaši į kokios nors ištisinės funkcijos grafiką:

Ašis yra tam tikras nulinio aukščio lygis, gyvenime mes naudojame jūros lygį kaip jį.

Judėdami į priekį tokiu keliu, mes taip pat judame aukštyn arba žemyn. Taip pat galime pasakyti: pasikeitus argumentui (judėjimas išilgai abscisės), pasikeičia funkcijos reikšmė (judėjimas išilgai ordinatės). Dabar pagalvokime, kaip nustatyti mūsų kelio „statumą“? Kokia tai galėtų būti vertė? Tai labai paprasta: kiek pasikeis aukštis judant į priekį tam tikru atstumu. Iš tiesų, skirtingose ​​kelio atkarpose, judėdami į priekį (išilgai abscisių) vienu kilometru, pakilsime arba nukrisime skirtingu metrų skaičiumi, palyginti su jūros lygiu (išilgai ordinatės).

Nurodysime judėjimą į priekį (jis rašomas „delta x“).

Graikiška raidė (delta) matematikoje dažniausiai naudojama kaip priešdėlis, reiškiantis „pokytį“. Tai yra – tai vertės pokytis, – pokytis; tada kas tai? Teisingai, masto pokytis.

Svarbu: išraiška yra viena visuma, vienas kintamasis. Niekada neturėtumėte nuplėšti „deltos“ nuo „x“ ar kitos raidės! Tai, pavyzdžiui,.

Taigi, mes judėjome į priekį, horizontaliai, toliau. Jei lyginsime kelio liniją su funkcijos grafiku, kaip įvardysime kilimą? Žinoma, . Tai yra, kai judame į priekį, kylame aukščiau.

Skaičiuoti reikšmę nesunku: jei pradžioje buvome aukštyje, o pajudėję – aukštyje, tada. Jei pabaigos taškas yra žemesnis už pradžios tašką, jis bus neigiamas - tai reiškia, kad mes einame ne aukštyn, o leidžiamės žemyn.

Atgal į „statumą“: tai reikšmė, nurodanti, kiek (stačiu) aukštis didėja judant į priekį vienu atstumo vienetu:

Tarkime, kad tam tikroje tako dalyje, einant į priekį km, kelias kilometrais kyla aukštyn. Tada statumas šiuo metu yra. O jei kelias judant m nuskendo km? Tada nuolydis yra.

Dabar apsvarstykite kalvos viršūnę. Paėmus atkarpos pradžią pusę kilometro prieš viršūnę, o pabaigą – puskilometrį po jos, matosi, kad aukštis praktiškai toks pat.

Tai yra, pagal mūsų logiką paaiškėja, kad čia statumas beveik lygus nuliui, o tai akivaizdžiai netiesa. Tiesiog km atstumu gali daug kas pasikeisti. Norint adekvačiau ir tiksliau įvertinti statumą, būtina atsižvelgti į mažesnius ruožus. Pavyzdžiui, jei išmatuosite aukščio pokytį pajudėjus vieną metrą, rezultatas bus daug tikslesnis. Bet ir šio tikslumo mums gali nepakakti – juk jei vidury kelio yra stulpas, galime tiesiog pro jį praslysti. Kokį atstumą tada pasirinksime? Centimetras? Milimetras? Mažiau yra geriau!

Realiame gyvenime atstumo matavimo milimetro tikslumu yra daugiau nei pakankamai. Tačiau matematikai visada siekia tobulumo. Todėl koncepcija buvo išrasta be galo mažas, tai yra, dydis yra mažesnis už bet kurį skaičių, kurį galime pavadinti. Pavyzdžiui, jūs sakote: vienas trilijonas! Kiek mažiau? Ir padalysite šį skaičių iš – ir bus dar mažiau. ir kt. Jei norime parašyti, kad reikšmė yra be galo maža, rašome taip: (skaitome „x linkęs į nulį“). Labai svarbu suprasti kad šis skaičius nėra nulis! Bet jam labai artima. Tai reiškia, kad galite iš jo padalinti.

Sąvoka, priešinga be galo mažam, yra be galo didelė (). Tikriausiai jau susidūrėte su tuo, kai susiduriate su nelygybėmis: šis skaičius yra modulio didesnis nei bet kuris skaičius, kurį galite įsivaizduoti. Jei sugalvosite didžiausią įmanomą skaičių, tiesiog padauginkite jį iš dviejų ir gausite dar daugiau. Ir begalybė yra dar didesnė už tai, ką gauni. Tiesą sakant, be galo didelis ir be galo mažas yra atvirkščiai vienas kitam, tai yra, at ir atvirkščiai: at.

Dabar grįžkime į savo kelią. Idealiai apskaičiuotas nuolydis yra kreivumas, apskaičiuotas be galo mažai kelio atkarpai, ty:

Atkreipkite dėmesį, kad esant be galo mažam poslinkiui, aukščio pokytis taip pat bus be galo mažas. Tačiau priminsiu, kad be galo mažas dar nereiškia lygus nuliui. Jei be galo mažus skaičius padalinsite vienas iš kito, galite gauti visiškai įprastą skaičių, pavyzdžiui,. Tai yra, viena maža reikšmė gali būti lygiai dvigubai didesnė už kitą.

Kam visa tai? Kelias, statumas... Mes nevažiuojame į automobilių ralį, o mokome matematikos. O matematikoje viskas lygiai taip pat, tik kitaip vadinasi.

Išvestinė koncepcija

Funkcijos išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažu argumento prieaugiu.

Padidinus matematikoje kaita vadinama. Vadinamas, kiek pasikeitė argumentas () judant išilgai ašies argumentų prieaugis ir žymimas Tai, kiek pasikeitė funkcija (aukštis), judant į priekį išilgai ašies atstumu, vadinamas funkcijos padidėjimas ir yra nurodytas.

Taigi funkcijos išvestinė yra santykis su at. Išvestinę žymime ta pačia raide kaip ir funkciją, tik su pirminiu ženklu viršuje dešinėje: arba tiesiog. Taigi, parašykime išvestinę formulę naudodami šiuos žymėjimus:

Kaip ir analogijoje su keliu, čia, funkcijai didėjant, išvestinė yra teigiama, o funkcijai mažėjant – neigiama.

Ar yra išvestinė, lygi nuliui? Žinoma. Pavyzdžiui, jei važiuojame lygiu, horizontaliu keliu, statumas lygus nuliui. Išties aukštis visai nesikeičia. Taip yra ir su išvestine: pastovios funkcijos (konstantos) išvestinė lygi nuliui:

kadangi tokios funkcijos prieaugis lygus nuliui bet kuriai.

Prisiminkime kalvos viršūnės pavyzdį. Ten paaiškėjo, kad segmento galus galima išdėstyti priešingose ​​viršūnės pusėse taip, kad aukštis galuose būtų vienodas, tai yra, segmentas būtų lygiagretus ašiai:

Tačiau dideli ruožai yra netikslaus matavimo požymis. Mes pakelsime savo segmentą lygiagrečiai sau, tada jo ilgis sumažės.

Galų gale, kai būsime be galo arti viršaus, atkarpos ilgis taps be galo mažas. Bet tuo pačiu metu jis išliko lygiagretus ašiai, tai yra, aukščių skirtumas jo galuose yra lygus nuliui (jis nėra linkęs, bet yra lygus). Vadinasi, išvestinė

Suprasti galima taip: kai stovime pačiame viršuje, nedidelis poslinkis į kairę arba dešinę mūsų ūgį keičia nežymiai.

Taip pat yra grynai algebrinis paaiškinimas: viršūnės kairėje funkcija didėja, o dešinėje - mažėja. Kaip jau išsiaiškinome anksčiau, funkcijai didėjant, išvestinė yra teigiama, o funkcijai mažėjant – neigiama. Bet keičiasi sklandžiai, be šuolių (nes kelias niekur staigiai nekeičia savo nuolydžio). Todėl būtinai turi būti tarp neigiamų ir teigiamų verčių. Tai bus ten, kur funkcija nei didėja, nei mažėja – viršūnės taške.

Tas pats pasakytina apie apačią (sritį, kurioje funkcija mažėja kairėje ir didėja dešinėje):

Šiek tiek daugiau informacijos apie žingsnius.

Taigi argumentą keičiame į vertę. Keisti nuo kokios vertės? Koks jis (argumentas) dabar? Galime pasirinkti bet kurį tašką, o dabar iš jo šoksime.

Apsvarstykite tašką su koordinate. Funkcijos reikšmė jame yra. Tada darome tą patį žingsnį: padidiname koordinatę. Kam dabar lygus argumentas? Labai lengva: . Kokia dabar funkcijos vertė? Kur vyksta argumentas, taip pat ir funkcija:. O kaip su funkcijos prieaugiu? Nieko naujo: tai vis dar yra suma, kurią pakeitė funkcija:

Praktikuokite žingsnių paiešką:

1. Raskite funkcijos prieaugį taške, kurio argumento prieaugis lygus.
2. Tas pats pasakytina ir apie funkciją taške.

Sprendimai:

Skirtinguose taškuose su tuo pačiu argumento padidėjimu funkcijos padidėjimas bus skirtingas. Tai reiškia, kad išvestinė kiekviename taške yra skirtinga (tai aptarėme pačioje pradžioje – kelio statumas skirtinguose taškuose yra skirtingas). Todėl, kai rašome išvestinę, turime nurodyti, kurioje vietoje:

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija vadinama funkcija, kai argumentas tam tikru mastu yra (logiškas, ar ne?).

Ir bet kokiu mastu:.

Paprasčiausias atvejis, kai eksponentas:

Suraskime jo išvestinę taške. Prisiminkime darinio apibrėžimą:

Taigi, argumentas keičiasi iš į. Koks yra funkcijos padidėjimas?

Prieaugis yra toks. Bet funkcija bet kuriame taške yra lygi jos argumentui. Štai kodėl:

Išvestinė yra lygi:

Išvestinė yra lygi:

b) Dabar apsvarstykite kvadratinę funkciją ():.

Dabar prisiminkime tai. Tai reiškia, kad prieaugio vertės gali būti nepaisoma, nes ji yra be galo maža, todėl nereikšminga, atsižvelgiant į kitą terminą:

Taigi, turime kitą taisyklę:

c) Tęsiame loginę seriją:.

Šią išraišką galima supaprastinti įvairiais būdais: išplėskite pirmąjį skliaustelį, naudodami sutrumpinto sumos kubo daugybos formulę, arba koeficientuokite visą išraišką naudodami skirtumo tarp kubelių formulę. Pabandykite tai padaryti patys bet kuriuo iš siūlomų būdų.

Taigi aš baigiau taip:

Ir vėl prisimink tai. Tai reiškia, kad galite nepaisyti visų terminų, kuriuose yra:

Mes gauname:.

d) Panašios taisyklės gali būti taikomos ir aukštesniems laipsniams:

e) Pasirodo, kad šią taisyklę galima apibendrinti laipsnio funkcijai su savavališku eksponentu, net ne sveikuoju skaičiumi:

(2)

Taisyklę galima suformuluoti žodžiais: "laipsnis pateikiamas kaip koeficientas, o tada jis sumažėja".

Šią taisyklę įrodysime vėliau (beveik pačioje pabaigoje). Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių. Raskite funkcijų išvestinę:

1. (dviem būdais: pagal formulę ir naudojant išvestinės apibrėžimą – skaičiuojant funkcijos prieaugį);

1. ... Tikėkite ar ne, tai yra galios funkcija. Jei turite klausimų, pavyzdžiui, „Kaip tai? O kur laipsnis? “, Prisiminkite temą“ “!
   Taip, šaknis taip pat yra laipsnis, tik trupmeninė dalis:.
   Taigi mūsų kvadratinė šaknis yra tik laipsnis su eksponentu:
   .
   Išvestinės ieškome pagal neseniai išmoktą formulę:

   Jei šioje vietoje vėl pasidaro neaišku, pakartokite temą "" !!! (apie laipsnį su neigiamu rodikliu)

2. ... Dabar eksponentas:

   O dabar per apibrėžimą (ar jau pamiršote?):
   ;
   .
   Dabar, kaip įprasta, nepaisome termino, kuriame yra:
   .

3. ... Ankstesnių atvejų derinys:.

Trigonometrinės funkcijos.

Čia panaudosime vieną faktą iš aukštosios matematikos:

Kai išraiška.

Įrodymą išmoksite pirmaisiais instituto metais (o kad ten patektumėte, turite gerai išlaikyti egzaminą). Dabar aš tiesiog parodysiu tai grafiškai:

Matome, kad funkcija neegzistuoja – taškas grafike yra pradurtas. Bet kuo arčiau reikšmės, tuo arčiau funkcija. Tai yra pati „siekiama“.

Be to, šią taisyklę galite patikrinti naudodami skaičiuotuvą. Taip, taip, nesidrovėkite, pasiimkite skaičiuotuvą, mums dar ne egzaminas.

Taigi, pabandykime:;

Nepamirškite skaičiuotuvo įjungti „Radianų“ režimą!

ir tt Matome, kad kuo mažesnis, tuo santykio reikšmė artimesnė.

a) Apsvarstykite funkciją. Kaip įprasta, suraskime jo prieaugį:

Sinusų skirtumą paverskime sandauga. Tam naudojame formulę (prisiminkime temą ""):.

Dabar išvestinė:

Pakeiskime:. Tada be galo mažiems jis taip pat yra be galo mažas:. Išraiška yra tokia:

Dabar prisiminkite, kad kai išraiška. Ir taip pat, ką daryti, jei sumoje galima nepaisyti be galo mažo kiekio (ty at).

Taigi, gauname tokią taisyklę: sinuso darinys yra lygus kosinusui:

Tai baziniai („lentelės“) dariniai. Štai jie yra viename sąraše:

Vėliau juos papildysime dar keletu, bet šie yra patys svarbiausi, nes naudojami dažniausiai.

Praktika:

1. Raskite funkcijos išvestinę taške;
2. Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimai:

1. Pirmiausia randame išvestinę bendrą formą, o tada pakeičiame jo vertę:
   ;
   .
2. Čia turime kažką panašaus į galios funkciją. Pabandykime ją atvesti
   normalus vaizdas:
   .
   Puiku, dabar galite naudoti formulę:
   .
   .
3. ... Eeeeee ... .. Kas tai yra ????

Gerai, tu teisus, kol kas nežinome, kaip rasti tokių darinių. Čia yra kelių tipų funkcijų derinys. Norėdami dirbti su jais, turite išmokti dar keletą taisyklių:

Rodiklis ir natūralusis logaritmas.

Matematikoje yra tokia funkcija, kurios išvestinė bet kuriai yra lygi pačios funkcijos reikšmei. Ji vadinama "eksponentu" ir yra eksponentinė funkcija

Šios funkcijos pagrindas – konstanta – yra begalinė dešimtainė trupmena, tai yra neracionalusis skaičius (pvz.,). Jis vadinamas „Eulerio skaičiumi“, todėl žymimas raide.

Taigi taisyklė tokia:

Tai labai lengva prisiminti.

Na, toli neikime, iš karto svarstysime atvirkštinę funkciją. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (tai yra logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj jo rašyti.

Kam lygu? Žinoma, .

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijos išvestinę.
2. Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Rodiklis ir natūralusis logaritmas yra unikaliai paprastos funkcijos išvestinės požiūriu. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip kitaip vienu žodžiu pavadinti šį procesą? Ne darinys... Matematikos diferencialas vadinamas tuo pačiu funkcijos prieaugiu ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikia formulių jų padidėjimui:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta perkeliama už išvestinio ženklo ribų.

Jei yra koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė taip pat tinka skirtumui:.

Įrodykime tai. Leisk, arba lengviau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

1. taške;
2. taške;
3. taške;
4. taške.

Sprendimai:

1. (išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes tai tiesinė funkcija, pamenate?);

Kūrinio vedinys

Čia viskas taip pat: pristatome naują funkciją ir randame jos prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijų ir išvestines;
2. Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kurios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentą (ar pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Mes jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją perkelti į naują radiksą:

Norėdami tai padaryti, naudosime paprastą taisyklę:. Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Įvyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: kaip buvo, taip ir lieka, atsirado tik daugiklis, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, jis negali būti parašytas paprastesne forma. Todėl atsakyme paliekame jį tokia forma.

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turite perkelti šį logaritmą į pagrindą. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to rašysime:

Vardiklis yra tik konstanta (pastovus skaičius, be kintamųjų). Išvestinė labai paprasta:

Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių beveik niekada nerandama egzamine, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šios funkcijos gali būti sunkiai suvokiamos (nors jei logaritmas jums atrodo sunkus, skaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas praeis), tačiau matematikos požiūriu žodis „sunku“ nereiškia „sunku“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka kažkokį veiksmą su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis šokoladinį plytelę įvynioja į vyniotinį, o antrasis suriša juostele. Pasirodo toks kompozicinis objektas: šokolado plytelė apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelsime kvadratu. Taigi, mums duodamas skaičius (šokolado plytelė), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji tai, ką turiu (susiriši kaspinu). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o tada kitą antrą veiksmą su pirmojo rezultatu.

Galime atlikti tuos pačius veiksmus atvirkštine tvarka: pirmiausia kvadratu, o tada aš ieškau gauto skaičiaus kosinuso:. Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi sudėtingų funkcijų ypatybė: pakeitus veiksmų tvarką, pasikeičia ir funkcija.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Pirmuoju pavyzdžiu,.

Antras pavyzdys: (tas pats). ...

Veiksmas, kurį atliekame paskutinis, bus vadinamas „Išorinė“ funkcija, o veiksmas, atliktas pirmiausia, – atitinkamai „Vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

1. Koks yra pirmasis veiksmas? Pirmiausia apskaičiuosime sinusą, o tik tada pakelsime į kubą. Tai reiškia, kad tai vidinė, bet išorinė funkcija.
   Ir pradinė funkcija yra jų sudėtis:.
2. Vidinis:; išorinis:.
   Egzaminas:.
3. Vidinis:; išorinis:.
   Egzaminas:.
4. Vidinis:; išorinis:.
   Egzaminas:.
5. Vidinis:; išorinis:.
   Egzaminas:.

keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime savo šokoladinį plytelę – ieškokite darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Kalbant apie pradinį pavyzdį, jis atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Viskas atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

Sprendimai:

1) Vidinis:;

Išorinis:;

2) Vidinis:;

(tik dabar nemėginkite sumažinti! Nieko negalima ištraukti iš po kosinuso, pamenate?)

3) Vidinis:;

Išorinis:;

Iš karto aišku, kad čia yra trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau savaime yra kompleksinė funkcija ir iš jos ištraukiame ir šaknį, tai yra atliekame trečią veiksmą (dedame šokoladą vyniotinį ir įdėkite jį į portfelį su kaspinu). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šiaip šią funkciją „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo galo.

Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada visa tai padauginame.

Tokiais atvejais patogu sunumeruoti žingsnius. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Paimkime pavyzdį:

Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo atitinkama funkcija bus „išoriškesnė“. Veiksmų seka – kaip ir anksčiau:

Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Apibrėžkime veiksmų kryptį.

1. Radikali išraiška. ...

2. Šaknis. ...

3. Sinusas. ...

4. Kvadratas. ...

5. Viską sudėti:

IŠVEDINIMAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento padidėjimo santykis su be galo mažu argumento prieaugiu:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta perkeliama už išvestinio ženklo ribų:

Sumos išvestinė:

Darbo išvestinė:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

1. Apibrėžiame „vidinę“ funkciją, randame jos išvestinę.
2. Apibrėžiame „išorinę“ funkciją, randame jos išvestinę.
3. Pirmo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.