Logaritminių nelygybių sprendimas intervalų pavyzdžių metodu. Sudėtingos logaritminės nelygybės

Mums svarbus jūsų privatumas. Dėl šios priežasties sukūrėme privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Prašome perskaityti mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkrečiam asmeniui identifikuoti arba su juo susisiekti.

Kreipdamiesi į mus, jūsų gali bet kada paprašyti pateikti savo asmeninę informaciją.

Žemiau pateikiami keli asmeninės informacijos, kurią galime rinkti, pavyzdžiai ir kaip galime naudoti tokią informaciją.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai paliekate užklausą svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. Pašto adresą ir kt.

Kaip mes naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir pranešti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus įvykius bei būsimus įvykius.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniams tikslams, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir pateikti jums rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašiame reklaminiame renginyje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją toms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas tretiesiems asmenims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Jei būtina - vadovaujantis įstatymais, teismo nutartimi, teisminiais procesais ir (arba) remiantis viešais paklausimais ar Rusijos Federacijos teritorinės valdžios institucijų prašymais - atskleisti jūsų asmeninę informaciją. Mes taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nustatysime, kad toks atskleidimas yra būtinas ar tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų socialiai svarbių priežasčių.
Pertvarkymo, susijungimo ar pardavimo atveju mes galime perduoti surinktą asmeninę informaciją atitinkamai trečiajai šaliai - įpėdinei.

Asmeninės informacijos apsauga

Imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, kad apsaugotume jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir piktnaudžiavimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Pagarba jūsų privatumui įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pristatome konfidencialumo ir saugumo taisykles ir griežtai stebime, kaip įgyvendinamos konfidencialumo priemonės.

Tarp visų logaritminių nelygybių įvairovės atskirai tiriamos nelygybės su kintama baze. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri dėl kokių nors priežasčių retai sakoma mokykloje:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

Vietoj žymės langelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai yra vienodi.

Taigi mes atsikratome logaritmų ir problemą sumažiname iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti yra daug lengviau, tačiau metant logaritmus gali atsirasti nereikalingų šaknų. Norėdami juos nutraukti, pakanka rasti priimtinų verčių diapazoną. Jei pamiršote logaritmo ODZ, primygtinai rekomenduoju jį pakartoti - žr. „Kas yra logaritmas“.

Viskas, kas susiję su leistinų verčių diapazonu, turi būti parašyta ir išspręsta atskirai:

f (x)> 0; g (x)> 0; k (x)> 0; k (x) ≠ 1.

Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti įvykdytos vienu metu. Kai randamas priimtinų verčių diapazonas, belieka jį kirsti racionalios nelygybės sprendimu - ir atsakymas paruoštas.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Pirmiausia užrašykime logaritmo ODZ:

Pirmosios dvi nelygybės pildomos automatiškai, o paskutinė turės būti aprašyta. Kadangi skaičiaus kvadratas yra nulis tik tada ir tik tada, kai pats skaičius yra nulis, mes turime:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Dabar mes išsprendžiame pagrindinę nelygybę:

Mes atliekame perėjimą nuo logaritminės nelygybės prie racionalios. Pradinėje nelygybėje yra ženklas „mažiau“, o tai reiškia, kad atsirandanti nelygybė taip pat turi būti su ženklu „mažiau“. Mes turime:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

Šios išraiškos nuliai: x = 3; x = −3; x = 0. Be to, x = 0 yra antrojo daugybos šaknis, o tai reiškia, kad einant pro ją funkcijos ženklas nesikeičia. Mes turime:

Gauname x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Šis rinkinys yra visiškai įtrauktas į logaritmo ODZ, o tai reiškia, kad tai yra atsakymas.

Transformuojančios logaritminės nelygybės

Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Jį lengva pataisyti pagal standartines darbo su logaritmais taisykles - žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“. Būtent:

Bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su tam tikra baze;
Tų pačių bazių logaritmų sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu.

Taip pat norėčiau jums priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, kiekvienam iš jų reikia rasti ODV. Taigi bendra logaritminių nelygybių sprendimo schema yra tokia:

Raskite kiekvieno į nelygybę įtraukto logaritmo ODV;
Sumažinkite nelygybę iki standartinės pagal logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules;
Išspręskite susidariusią nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Raskime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (ODZ):

Mes sprendžiame intervalų metodu. Raskite skaitiklio nulius:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Tada vardiklio nuliai:

x - 1 = 0;
x = 1.

Ant koordinačių rodyklės pažymime nulius ir ženklus:

Gauname x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Antrasis ODV logaritmas bus tas pats. Jei netikite, galite tai patikrinti. Dabar mes pakeičiame antrąjį logaritmą taip, kad pagrinde būtų du:

Kaip matote, trejetai prie pagrindo ir priešais logaritmą susitraukė. Gavo du logaritmus su ta pačia baze. Pridedame juos:

žurnalas 2 (x - 1) 2< 2;
žurnalas 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Gavo standartinę logaritminę nelygybę. Mes atsikratome logaritmų pagal formulę. Kadangi pradinėje nelygybėje yra mažiau nei ženklas, gauta racionalioji išraiška taip pat turi būti mažesnė už nulį. Mes turime:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Turime du rinkinius:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
Kandidato atsakymas: x ∈ (−1; 3).

Belieka kirsti šiuos rinkinius - mes gauname tikrąjį atsakymą:

Mus domina aibių sankirta, todėl pasirenkame intervalus, užpildytus ant abiejų rodyklių. Gauname x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - visi taškai pradurti.

Nelygybė vadinama logaritma, jei joje yra logaritminė funkcija.

Logaritminių nelygybių sprendimo metodai niekuo nesiskiria, išskyrus du dalykus.

Pirma, pereinant nuo logaritminės nelygybės prie sublogaritminių funkcijų nelygybės, daroma išvada, kad stebėkite atsirandančios nelygybės ženklą... Jis laikosi šios taisyklės.

Jei logaritminės funkcijos bazė yra didesnė nei 1 USD, tada, pereinant nuo logaritminės nelygybės prie sublogaritminių funkcijų nelygybės, nelygybės ženklas išsaugomas, o jei jis yra mažesnis nei 1 USD, tada pasikeičia priešingai.

Antra, bet kokios nelygybės sprendimas yra intervalas, todėl pasibaigus sublogaritminių funkcijų nelygybės sprendimui, būtina sudaryti dviejų nelygybių sistemą: pirmoji šios sistemos nelygybė bus sublogaritminių funkcijų nelygybė, o antrasis-logaritminių funkcijų, įtrauktų į logaritminę nelygybę, apibrėžimo srities intervalas.