Vektoriaus stačiakampės projekcijos į ašį savybės. Vektoriaus projekcija į ašį

o ant ašies ar kokio kito vektoriaus yra jos geometrinės projekcijos ir skaitinės (arba algebrinės) projekcijos sąvokos. Geometrinės projekcijos rezultatas yra vektorius, o algebrinės projekcijos rezultatas yra neneigiamas realusis skaičius. Tačiau prieš pereidami prie šių sąvokų, prisiminkime reikiamą informaciją.

Preliminari informacija

Pagrindinė sąvoka yra pati vektoriaus sąvoka. Norėdami pristatyti geometrinio vektoriaus apibrėžimą, prisiminkime, kas yra atkarpa. Pateikiame tokį apibrėžimą.

1 apibrėžimas

Atkarpa yra tiesės dalis, turinti dvi ribas taškų pavidalu.

Segmentas gali turėti 2 kryptis. Norėdami nurodyti kryptį, vieną iš atkarpos ribų vadinsime jos pradžia, o kitą ribą - pabaiga. Kryptis nurodoma nuo segmento pradžios iki pabaigos.

2 apibrėžimas

Vektorius arba nukreipta atkarpa yra atkarpa, kuriai žinoma, kuri iš atkarpos ribų laikoma pradžia, o kuri – pabaiga.

Pavadinimas: Dvi raidės: $ \ overline (AB) $ - (kur $ A $ yra jo pradžia ir $ B $ yra pabaiga).

Viena maža raidė: $ \ overline (a) $ (1 pav.).

Leiskite pristatyti dar keletą sąvokų, susijusių su vektoriaus sąvoka.

3 apibrėžimas

Du nuliniai vektoriai bus vadinami kolineariniais, jei jie yra toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose vienas kitam tiesėse (2 pav.).

4 apibrėžimas

Du nuliniai vektoriai bus vadinami bendrakrypčiais, jei tenkins dvi sąlygas:

Šie vektoriai yra kolineariniai.
Jei jie nukreipti viena kryptimi (3 pav.).

Pavadinimas: $ \ overline (a) \ overline (b) $

5 apibrėžimas

Du nuliniai vektoriai bus vadinami priešinga kryptimi, jei jie tenkins dvi sąlygas:

Šie vektoriai yra kolineariniai.
Jei jie nukreipti skirtingomis kryptimis (4 pav.).

Pavadinimas: $ \ overline (a) ↓ \ overline (d) $

6 apibrėžimas

Vektoriaus $ \ overline (a) $ ilgis yra atkarpos $ a $ ilgis.

Žymėjimas: $ | \ perbraukimas (a) | $

Pereikime prie dviejų vektorių lygybės apibrėžimo

7 apibrėžimas

Du vektoriai bus vadinami lygiais, jei tenkina dvi sąlygas:

Jie yra kartu vadovaujami;
Jų ilgiai lygūs (5 pav.).

Geometrinė projekcija

Kaip minėjome anksčiau, geometrinės projekcijos rezultatas bus vektorius.

8 apibrėžimas

Vektoriaus $ \ overline (AB) $ geometrinė projekcija į ašį yra vektorius, kuris gaunamas taip: Vektoriaus $ A $ pradžia projektuojama į šią ašį. Gauname tašką $ A "$ - norimo vektoriaus pradžia. Į šią ašį projektuojamas vektoriaus $ B $ pabaigos taškas. Gauname tašką $ B" $ - norimo vektoriaus pabaigą. Vektorius $ \ overline (A "B") $ bus norimas vektorius.

Apsvarstykite problemą:

1 pavyzdys

Sukurkite geometrinę projekciją $ \ overline (AB) $ $ l $ ašyje, kaip parodyta 6 paveiksle.

Nubraižykite iš taško $ A $ a statmenai ašiai $ l $, ant jo gausime tašką $ A "$. Toliau iš taško $ B $ a statmenai ašiai $ l $, gausime tašką $ B" $ ant jo (7 pav.).

1 °. Norint nustatyti vektorinis kiekis, be skaitinės reikšmės, būtina žinoti jos kryptį. Tokių dydžių pavyzdžiai yra greitis ir pagreitis, taško judėjimas kūnui judant. Apibrėžimas.Vektorius yra nukreiptas segmentas, ty atkarpa su skirtumu tarp pradžios ir pabaigos. Vektoriaus pradžia vadinama jo taikymo tašku; tiesiai l, ant kurios yra vektorius, vadinama jo veikimo linija. Apibrėžimas.Vektoriaus modulis yra jo ilgis. Vektoriaus modulis žymimas simboliu | А¯В| arba | а¯ |.

Apibrėžimas.Vektoriaus projekcija į ašį yra skaliarė, lygi vektoriaus komponento moduliui išilgai šios ašies, paimta su pliuso ženklu, jei komponento kryptis sutampa su ašies kryptimi, ir su minuso ženklu, jei šios kryptys yra priešingi. Jei vektorius yra statmenas ašiai, tada jo projekcija lygi nuliui.Vektorinės projekcijos ašyje savybės:

1. Vektoriaus projekcija į ašį nesikeičia nuo lygiagrečios vektorių transliacijos. NS l AB = pr l A 1 B 1

2. Projekcijos adityvumas. Vektorių sumos projekcija tam tikroje ašyje yra lygi šių vektorių projekcijų sumai šioje ašyje. pr l (a 1 + a 2 + a 3) = pr l a 1 + pr l a 2 + pr l a 3 3. Projekcijos vienodumas. Skaliarinis koeficientas gali būti paimtas iš vektoriaus projekcijos ašyje ženklo 4. Vektoriaus kryptis į ašį lygi. manuf. mod.vektorius kampo tarp vektoriaus ir ašies kosinusui pr l a‾ = / a‾ / * cosφ - jei kampas φ aštrus – projekcija teigiama

- jei kampas φ bukas – neigiama projekcija

6. Vektorių taškinės sandaugos samprata. SU skaliarinis dydis apibrėžiamas vienu skaičiumi, išreiškiančiu šio dydžio santykį su matavimo vienetu. Tokių dydžių pavyzdžiai yra temperatūra, tūris, masė.Dviejų vektorių skaliarinė sandauga vadinama: skaliarinė, lygi šių vektorių modulių sandaugai ir kampo tarp jų cos. Pavyzdys: rasti sprendimą:

Mechaninė taškinio produkto reikšmė: tegul materialusis taškas juda iš taško B į tašką C tiesia linija, veikiant jėgai – poslinkio vektoriui. Kaip žinia, šiuo atveju atliekamas A darbas,

Skaliarinis poslinkis Jei materialusis taškas yra kintamas. tiesiškai veikiant kokiai nors jėgai, tada jėgos skaliarinė sandauga pagal poslinkio vektorių = šiuo atveju atliktas darbas. Taškinio produkto savybės:

1) Komutacinis (perkėlimo įstatymas)

2) asociatyvinis (derinys) h.

3) Paskirstymo (distribute) h.

Veiksnių koordinačių skaičiavimo formulė:Vektoriaus a‾ koordinatės vadinamos jo projekcijomis a x, y ir z į koordinačių ašis. Dviejų vektorių vektorinė sandauga = trečios eilės sandauga, kurios vienetiniai vektoriai yra pirmoje eilutėje, pirmojo vektoriaus koordinatės – antroje eilutėje, o antrojo vektoriaus koordinatės – trečioje eilutėje.

pavyzdys:, sprendimas:

Atsakymas:

TEORMEKAS

1. Stiprumas, grafostatikos elementai.

Kūnų mechaninės sąveikos matas, t.y. sąveika, turinti įtakos jų ramybės ar judėjimo būsenai, pasižymi stiprumu. Stiprumą lemia:

Taigi jėga yra vektorinis dydis.

Jėgų sistema vadinsime vieną svarstomą kūną veikiančių jėgų aibę. Atskirkite konverguojančių, lygiagrečių ir atsitiktinai išsidėsčiusių jėgų sistemas.

Jei tam tikra jėgų sistema lygi vienai jėgai, tai ši jėga vadinama gaunamasši jėgų sistema.

Vadinamas dydis, lygus bet kurios sistemos geometrinei jėgų sumai pagrindinis vektoriusši jėgų sistema. Geometrinė suma R ch, (pagrindinis vektorius) bet kurios jėgų sistemos nustatomas arba nuosekliai sudedant sistemos jėgas pagal lygiagretainio (arba trikampio) taisyklę, arba sukonstruojant jėgos daugiakampį.

Konverguojančių jėgų sistemos rezultatas randamas tiesiogiai naudojant jėgų lygiagretainio dėsnį. Panaši problema gali būti išspręsta savavališkai jėgų sistemai, jei rasime būdą perkelti visas jėgas į vieną tašką. Ši galimybė egzistuoja. Perkelkite jėgą F iš taško A į tašką B.

Gauta trijų jėgų sistema yra jėga F 1 = F, bet taikomas taške B, ir pora F, F 2.(Jėgų pora – dviejų vienodo dydžio lygiagrečių ir priešingomis kryptimis nukreiptų jėgų sistema, veikianti absoliučiai standų kūną). Taigi, savavališkai išsidėsčiusių jėgų sistema, redukuota į savavališkai pasirinktą centrą, yra lygi vienai jėgai R hl (pagrindinis vektorius), taikomai redukcijos centre, ir vienai porai M hl (pagrindinis momentas).

Atkreipkite dėmesį, kad jėga R sk nėra gaunama jėgų sistema, nes pakeičia jėgų sistemą ne viena, o kartu su pora M sk .

Bet kurios jėgų sistemos pusiausvyrai būtina ir pakanka, kad R sk= 0 ir M sk =0.

2. Trapumas ir plastiškumas Trapumas-medžiagos gebėjimas sunaikinti, kai ji yra nereikšminga. liekamosios deformacijos. Plastmasinis- galimybė gauti reikšmingus likučius. Deformacijos be griuvimo. Projektuojant statybines konstrukcijas būtina nustatyti medžiagų stiprumo ir deformacines savybes apibūdinančių dydžių vertes. Daugiausia informacijos apie mechanines metalų savybes galima gauti atliekant statinius tempimo bandymus. Įtempimo diagramos, įrašytos naudojant specialų įrenginį (t. y. tempimo jėgos santykio grafikai F ir mėginio pailgėjimas ∆l) atrodyti kaip:

Pirmoji diagrama būdinga plastikinėms medžiagoms (mažo anglies plieno). Diagrama turi keletą charakteringų pjūvių: OA - elastinė zona, apkrova proporcinga deformacijai;

AB - iki taško B medžiagoje plastinės (liekamosios) deformacijos požymių nerasta;

CD - našumo plotas, deformacijos auga praktiškai nedidinant apkrovos;

BD - bendrojo takumo zona, šioje zonoje pastebimai vystosi plastinės deformacijos.

DE - kietėjimo zona, esant didžiausiai (arba šiek tiek mažesnei) jėgai bandiniui silpniausioje vietoje, susiaurėja - "kaklas";

EK yra lokalaus takumo zona, deformacijos atsiranda „kaklo“ srityje iki plyšimo taške K.

Antroji diagrama būdinga trapiai medžiagai (ketui). Diagramoje nėra ryškios pradinės tiesios atkarpos. Trapūs metaliniai bandiniai lūžta esant labai mažam pailgėjimui ir be kaklelio.

Diagrama F = f (∆l) priklauso nuo imties dydžio, todėl persirikiuoja į koordinates „įtempimas-įtempimas“. Įtempis yra vidinė jėga, tenkanti ploto vienetui tam tikrame nagrinėjamos atkarpos taške σ = F / A . Pradinio strypo ilgio l pokytis ∆l vadinamas absoliučiu pailgėjimu. Absoliutaus pailgėjimo ir pradinio ilgio santykis ε = ∆ l/l vadinamas pailgėjimu arba deformacija. Tampriųjų deformacijų atveju ryšys tarp deformacijų ir įtempių yra tiesinis ir apibūdinamas Huko dėsniu: σ = E* ε , kur E yra tamprumo modulis.

3. Sistemos laisvės laipsnis.

Laisvės laipsnis sistemos vadina mažiausią geometrinių parametrų skaičių (taškų koordinatės, sistemos elementų sukimosi kampai, jų ilgis), kurie gali savarankiškai keistis sistemai judant žemės atžvilgiu.

W = 3D-2SH-3ZH-Cop-C co 6 cm in

W yra sistemos laisvės laipsnis, D yra diskų skaičius,

W yra vyrių skaičius, W yra standžiųjų diskų skaičius, C op yra atraminių strypų skaičius, C sob yra savo sistemos strypų skaičius.

W<0. Sistema yra geometriškai kintama, jame nėra pakankamai nuorodų, kad būtų užtikrintas nekintamumas. Tokios sistemos statybose nenaudojamos. W> 0. Sistema turi vadinamųjų „papildomų“ jungčių, kurios nėra būtinos sistemos nekintamumui užtikrinti, ir yra vadinama statiškai neapibrėžtas. W< 0. Sistema geometriškai nekeičiama.

Statinis neapibrėžtumas gali būti išorinis arba vidinis. Pirmuoju atveju atramos reakcijos, taigi ir vidinės jėgos, negali būti nustatomos naudojant vien statikos lygtis. Antruoju atveju atramos reakcijas galima nustatyti naudojant statikos lygtis, bet ne vidines jėgas. W = 0 ... Sistema neturi nereikalingų jungčių, tai statiškai apibrėžiamas ir gali būti nekintamas. Norint išspręsti tokios sistemos tinkamumo klausimą, būtina atlikti jos struktūrinę analizę. Dėl netinkamo jungčių išdėstymo galimas taip vadinamų „akimirksniu“ kintamų sistemų, kurios negali būti naudojamos statybose, susidarymas.

4. SSS (streso įtempimo būsenos)

Centrinis ruožas (arba centrinis suspaudimas) yra deformacijos rūšis, kai strypo skerspjūvyje veikia tik išilginė jėga. N (tempimo arba gniuždymo), o visos kitos vidinės jėgos yra lygios nuliui.

Esant centrinei įtampai (suspaudimui), skerspjūvyje atsiranda tik normalūs įtempiai σ = N / A Skyrių pasirinkimas atliekamas pagal formulę

A = N / σ. Pagal lenkti suprasti tokio tipo įtempius, kuriems esant strypo skerspjūviuose atsiranda lenkimo momentai. Jei sijos skerspjūviuose atsiranda tik lenkimo momentai, tai yra gryno lenkimo atvejis, bet jei atsiranda lenkimo momentai ir šlyties jėgos, tai yra vadinamasis skersinis lenkimas.

Visuose sijos skerspjūvio taškuose normalus σ ir šlyties įtempius τ, kuriuos galima nustatyti pagal formules:

Įtempių brėžiniai strypo skerspjūviuose turi formą
Lenkto elemento sekcijos parinkimas atliekamas pagal maksimalią lenkimo momento vertę P x mpe6- reikalingas sekcijos pasipriešinimo momentas. Sukimas vadinama tokio tipo deformacija, kai veleno skerspjūvyje atsiranda tik sukimo momentas Mcr.

Įtempta būsena yra grynas poslinkis. Skerspjūviuose atsiranda tik tangentiniai įtempiai τ.

Pjūvio parinkimas atliekamas pagal formulę: Sudėtingas atsparumas reiškia paprastų įtempių būsenų (įtempimo, gniuždymo, šlyties, sukimo ir lenkimo) derinį.

Lenkimas vadinamas įstrižine, jeigu lenkimo momento veikimo plokštuma nesutampa su jokia pagrindine plokštuma. Įstrižas posūkis gali būti vertinamas kaip dviejų tiesių posūkių derinys viena kitai statmenose plokštumose. Esant įstrižai lenkimui sijos skerspjūviuose, bendru atveju atsiranda 4 vidinės jėgos faktoriai Q x, M x, Q y u M y.

Įvadas …………………………………………………………………………… 3

1. Vektorius ir skaliarinė reikšmė …………………………………………… .4

2. Taško projekcijos, ašies ir koordinatės nustatymas ………………… ... 5

3. Vektorinė projekcija ašyje …………………………………………… 6

4. Pagrindinė vektorinės algebros formulė ……………………………… ..8

5. Vektoriaus modulio apskaičiavimas jo projekcijomis …………………… ... 9

Išvada …………………………………………………………………… 11

Literatūra …………………………………………………………………… 12

Įvadas:

Fizika yra neatsiejamai susijusi su matematika. Matematika suteikia fizikai priemones ir būdus bendrai ir tiksliai išreikšti ryšį tarp fizikinių dydžių, kurie atrandami eksperimento ar teorinio tyrimo metu, nes pagrindinis fizikos tyrimo metodas yra eksperimentinis. Tai reiškia, kad mokslininkas identifikuoja skaičiavimus naudodamas matavimus. Nurodo ryšį tarp įvairių fizikinių dydžių. Tada viskas verčiama į matematikos kalbą. Formuojamas matematinis modelis. Fizika yra mokslas, tiriantis pačius paprasčiausius ir tuo pačiu bendriausius dėsnius. Fizikos uždavinys yra sukurti mūsų sąmonėje tokį fizinio pasaulio vaizdą, kuris geriausiai atspindėtų jo savybes ir suteiktų tokius modelio elementų ryšius, kokie egzistuoja tarp elementų.

Taigi, fizika kuria mus supančio pasaulio modelį ir tiria jo savybes. Tačiau bet koks modelis yra ribotas. Kuriant vieno ar kito reiškinio modelius, atsižvelgiama tik į savybes ir ryšius, kurie yra būtini tam tikram reiškinių diapazonui. Tai yra mokslininko menas - iš visos įvairovės pasirinkti pagrindinį dalyką.

Fiziniai modeliai yra matematiniai, bet matematika nėra jų pagrindas. Kiekybiniai ryšiai tarp fizikinių dydžių nustatomi matavimų, stebėjimų ir eksperimentinių tyrimų metu ir išreiškiami tik matematikos kalba. Tačiau nėra kitos kalbos fizinėms teorijoms kurti.

1. Vektoriaus ir skaliaro reikšmė.

Fizikoje ir matematikoje vektorius yra dydis, apibūdinamas jo skaitine verte ir kryptimi. Fizikoje yra daug svarbių dydžių, kurie yra vektoriai, pavyzdžiui, jėga, padėtis, greitis, pagreitis, sukimo momentas, impulsas, elektrinių ir magnetinių laukų stiprumas. Juos galima palyginti su kitais dydžiais, tokiais kaip masė, tūris, slėgis, temperatūra ir tankis, kuriuos galima apibūdinti įprastu skaičiumi, ir jie vadinami " skaliarai" .

Jie rašomi arba įprasto šrifto raidėmis, arba skaičiais (a, b, t, G, 5, −7 ....). Skalariai gali būti teigiami arba neigiami. Tuo pačiu metu kai kurie tyrimo objektai gali turėti tokių savybių, kurių pilnam aprašymui nepakanka žinių tik apie skaitinį matą, taip pat būtina šias savybes apibūdinti kryptimi erdvėje. Tokios savybės apibūdinamos vektoriniais dydžiais (vektoriais). Vektoriai, skirtingai nei skaliarai, žymimi paryškintomis raidėmis: a, b, g, F, C….
Dažnai vektorius žymimas įprasto (neparyškinto) šrifto raide, tačiau virš jos yra rodyklė:

Be to, vektorius dažnai žymimas raidžių pora (dažniausiai didžiosiomis raidėmis), kai pirmoji raidė reiškia vektoriaus pradžią, o antroji – jo pabaigą.

Vektoriaus modulis, tai yra nukreiptos tiesios linijos atkarpos ilgis, žymimas tomis pačiomis raidėmis kaip ir pats vektorius, bet įprastu (ne paryškintu) raštu ir be rodyklės virš jų arba kaip vektorius ( ty paryškintu arba normaliu šriftu, bet su rodykle), bet tada vektoriaus žymėjimas įterpiamas vertikaliais brūkšneliais.
Vektorius yra sudėtingas objektas, kuriam vienu metu būdingas dydis ir kryptis.

Taip pat nėra teigiamų ir neigiamų vektorių. Tačiau vektoriai gali būti lygūs vienas kitam. Tai yra tada, kai, pavyzdžiui, a ir b turi tuos pačius modulius ir yra nukreipti ta pačia kryptimi. Šiuo atveju žymėjimas galioja a= b. Taip pat reikia turėti omenyje, kad prieš vektoriaus simbolį gali atsirasti minuso ženklas, pavyzdžiui, - c, tačiau šis ženklas simboliškai rodo, kad vektorius -c turi tokį patį modulį kaip ir vektorius c, bet yra nukreiptas į priešinga kryptimi.

Vektorius -c vadinamas priešingu (arba atvirkštiniu) vektoriui c.
Tačiau fizikoje kiekvienas vektorius yra užpildytas specifiniu turiniu, o lyginant to paties tipo vektorius (pavyzdžiui, jėgas), jų taikymo taškai gali turėti didelę reikšmę.

2. Projekcijos, ašies ir taško koordinatės nustatymas.

Ašis- tai tiesi linija, kuriai suteikiama tam tikra kryptis.
Ašis žymima bet kuria raide: X, Y, Z, s, t... Paprastai ašyje (savavališkai) pasirenkamas taškas, kuris vadinamas pradine ir, kaip taisyklė, žymimas raide O. Nuo šio taško skaičiuojami atstumai iki kitų mums įdomių vietų.

Taško projekcija ant ašies vadinamas statmens, nuleistos iš šio taško šioje ašyje, pagrindu. Tai yra, taško projekcija į ašį yra taškas.

Koordinatės taškas duotoje ašyje vadinamas skaičius, kurio absoliuti reikšmė lygi ašies atkarpos ilgiui (pasirinktoje skalėje), esančios tarp ašies pradžios ir taško projekcijos šioje ašyje. Šis skaičius imamas su pliuso ženklu, jei taško projekcija yra ašies kryptimi nuo jo pradžios ir su minuso ženklu, jei taško projekcija yra priešinga.

3.Vektoriaus projekcija į ašį.

Vektoriaus projekcija į ašį yra vektorius, kuris gaunamas padauginus vektoriaus skaliarinę projekciją į šią ašį ir šios ašies vienetinį vektorių. Pavyzdžiui, jei x yra vektoriaus a skaliarinė projekcija į X ašį, tai a x i yra jo vektorinė projekcija į šią ašį.

Vektoriaus projekciją žymime taip pat, kaip ir patį vektorių, bet su ašies, į kurią projektuojamas vektorius, indeksu. Taigi, vektoriaus a vektorinė projekcija į X ašį žymima x (paryškinta raidė, žyminti vektorių ir ašies pavadinimo indeksą) arba

(ne paryškinta raidė, žyminti vektorių, bet su rodykle viršuje (!) ir ašies pavadinimo apatiniu indeksu).

Skaliarinė projekcija vadinamas vektoriumi vienai ašiai numerį, kurios absoliuti reikšmė lygi ašies atkarpos ilgiui (pasirinktoje skalėje), esančios tarp vektoriaus pradžios ir pabaigos taško projekcijų. Paprastai, užuot išreiškęs skaliarinė projekcija jie tik sako - projekcija... Projekcija žymima ta pačia raide kaip ir projektuojamas vektorius (įprastu, neparyškintu šriftu), su apatiniu indeksu (dažniausiai) ašies, į kurią projektuojamas šis vektorius, pavadinimo. Pavyzdžiui, jei vektorius projektuojamas į X ašį a, tada jo projekcija žymima x. Projektuojant tą patį vektorių į kitą ašį, jei Y ašis, jo projekcija bus žymima y.

Projekcijai apskaičiuoti vektorius ašyje (pavyzdžiui, X ašyje) atimkite pradžios taško koordinatę iš jo pabaigos taško koordinatės, tai yra

a x = x k - x n.

Vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius. Be to, projekcija gali būti teigiama, jei reikšmė x k yra didesnė už reikšmę x n,

neigiamas, jei reikšmė x k mažesnė už reikšmę x n

ir lygus nuliui, jei x k lygus x n.

Vektoriaus projekciją į ašį taip pat galima rasti žinant vektoriaus modulį ir kampą, kurį jis sudaro su šia ašimi.

Paveikslėlyje parodyta, kad a x = a Cos α

Tai reiškia, kad vektoriaus projekcija į ašį yra lygi vektoriaus modulio sandaugai kampo tarp ašies krypties ir kosinuso. vektoriaus kryptis... Jei kampas yra aštrus, tada
Cos α> 0 ir a x> 0, o jei jis bukas, tai bukojo kampo kosinusas yra neigiamas, o vektoriaus projekcija į ašį taip pat bus neigiama.

Kampai, skaičiuojami nuo ašies prieš laikrodžio rodyklę, laikomi teigiamais, o pakeliui – neigiamais. Tačiau kadangi kosinusas yra lyginė funkcija, tai yra Cos α = Cos (- α), tai skaičiuojant projekcijas, kampus galima skaičiuoti ir pagal laikrodžio rodyklę, ir prieš laikrodžio rodyklę.

Norint rasti vektoriaus projekciją į ašį, šio vektoriaus modulis turi būti padaugintas iš kampo tarp ašies krypties ir vektoriaus krypties kosinuso.

4. Pagrindinė vektorinės algebros formulė.

Projekto vektorius a stačiakampės koordinačių sistemos X ir Y ašyse. Raskime vektoriaus a vektorines projekcijas šiose ašyse:

a x = a x i ir y = a y j.

Bet pagal vektoriaus pridėjimo taisyklę

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Taigi vektorių išreiškėme jo projekcijomis ir stačiakampės koordinačių sistemos vienetiniais vektoriais (arba jo vektorių projekcijomis).

Vektorinės projekcijos a x ir a y vadinamos vektoriaus a komponentais arba komponentais. Mūsų atlikta operacija vadinama vektoriaus išplėtimu išilgai stačiakampės koordinačių sistemos ašių.

Jei vektorius pateiktas erdvėje, tada

a = a x i + a y j + a z k.

Ši formulė vadinama pagrindine vektorinės algebros formule. Žinoma, galima parašyti ir taip.

Tegul du vektoriai ir yra pateikti erdvėje. Atidėkite nuo savavališko taško O vektoriai ir. Kampas tarp vektorių ir vadinamas mažiausiu iš kampų. Žymima .

Apsvarstykite ašį l ir ant jo uždėkite vienetinį vektorių (t. y. vektorių, kurio ilgis lygus vienetui).

Kampas tarp vektoriaus ir ašies l suprasti kampą tarp vektorių ir.

Taigi tegul l- tam tikra ašis ir - vektorius.

Pažymėkime pagal A 1 ir B 1 ašies projekcija l atitinkamai taškais A ir B... Apsimeskime tai A 1 turi koordinates x 1, a B 1- koordinuoti x 2 ant ašies l.

Tada projekcija vektoriai vienai ašiai l vadinamas skirtumu x 1 – x 2 tarp šios ašies vektoriaus pabaigos ir pradžios projekcijų koordinačių.

Vektoriaus projekcija į ašį lžymės.

Aišku, kad jei kampas tarp vektoriaus ir ašies l tada aštrus x 2> x 1, ir projekcija x 2 – x 1> 0; jei šis kampas yra bukas, tada x 2< x 1 ir projekcija x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, tada x 2= x 1 ir x 2– x 1=0.

Taigi, vektoriaus projekcija į ašį l Ar segmento ilgis A 1 B 1, paimtas su tam tikru ženklu. Todėl vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius arba skaliaras.

Panašiai nustatoma vieno vektoriaus projekcija į kitą. Šiuo atveju randamos nurodyto vektoriaus galų projekcijos tiesėje, ant kurios guli 2-asis vektorius.

Pažvelkime į keletą pagrindinių projekcijos savybės.

LINIJAI PRIKLAUSOMOSIOS IR LINIJAI NEPRIKLAUSOMO VEKTORINĖS SISTEMOS

Panagrinėkime kelis vektorius.

Linijinis derinys iš šių vektorių vadinamas bet koks formos vektorius, kur yra keletas skaičių. Skaičiai vadinami tiesinės kombinacijos koeficientais. Jie taip pat sako, kad šiuo atveju tai yra tiesiškai išreiškiama šiais vektoriais, t.y. gaunamas iš jų naudojant tiesinius veiksmus.

Pavyzdžiui, jei pateikiami trys vektoriai, vektoriai gali būti laikomi jų tiesine kombinacija:

Jei vektorius pateikiamas kaip tiesinis kai kurių vektorių derinys, tada jie sako, kad tai suskaidytas palei šiuos vektorius.

Vektoriai vadinami tiesiškai priklausomas jei yra skaičių, ne visi lygūs nuliui, todėl ... Akivaizdu, kad pateikti vektoriai bus tiesiškai priklausomi, jei kuris nors iš šių vektorių bus tiesiškai išreikštas kitais.

Priešingu atveju, t.y. kai santykis atliekama tik tada, kai , šie vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

1 teorema. Bet kurie du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai yra kolinearūs.

Įrodymas:

Panašiai galima įrodyti ir toliau pateiktą teoremą.

2 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai yra vienodi.

Įrodymas.

PAGRINDAS

Pagrindas vadinama nenulinių tiesiškai nepriklausomų vektorių aibe. Pagrindo elementai bus pažymėti.

Ankstesnėje dalyje matėme, kad du nekolineariniai vektoriai plokštumoje yra tiesiškai nepriklausomi. Todėl pagal 1 teoremą, iš ankstesnės dalies, pagrindas plokštumoje yra bet kurie du nekolineariniai vektoriai šioje plokštumoje.

Panašiai bet kurie trys ne vienaplaniai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi erdvėje. Vadinasi, trys nevienaplaniai vektoriai vadinami pagrindu erdvėje.

Šis teiginys yra teisingas.

Teorema. Tegu pagrindas yra duotas erdvėje. Tada bet kuris vektorius gali būti pavaizduotas kaip tiesinis derinys , kur x, y, z- kai kurie skaičiai. Šis skilimas yra unikalus.

Įrodymas.

Taigi pagrindas leidžia nedviprasmiškai susieti kiekvieną vektorių su skaičių tripletu - šio vektoriaus plėtimosi koeficientais pagal pagrindo vektorius:. Kiekvienam skaičių trejetui taip pat yra atvirkščiai x, y, z naudodami pagrindą, galite suderinti vektorių, jei sudarote tiesinį derinį .

Jei pagrindas ir , tada skaičiai x, y, z yra vadinami koordinates vektoriai duotame pagrinde. Vektorinės koordinatės žymi.

DEKARTINĖ KOORDINAČIŲ SISTEMA

Tegu erdvėje duotas taškas O ir trys nevienaplaniai vektoriai.

Dekarto koordinačių sistema erdvėje (plokštumoje) vadinama taško ir pagrindo aibe, t.y. taško ir trijų nevienaplanių vektorių (2 nekolinearinių vektorių), išeinančių iš šio taško, aibė.

Taškas O vadinamas kilme; tiesės, einančios per pradinę vietą bazinių vektorių kryptimi, vadinamos koordinačių ašimis – abscisių, ordinačių ir taikomųjų ašių. Plokštumos, einančios per koordinačių ašis, vadinamos koordinačių plokštumos.

Apsvarstykite savavališką tašką pasirinktoje koordinačių sistemoje M... Supažindinkime su taško koordinačių sąvoka M... Vektorius, jungiantis pradžią su tašku M... paskambino spindulio vektorius taškų M.

Pasirinkto pagrindo vektorius gali būti susietas su skaičių trigubu - jo koordinatėmis: .

Taško spindulio vektoriaus koordinatės M... yra vadinami taško M koordinatės... nagrinėjamoje koordinačių sistemoje. M (x, y, z)... Pirmoji koordinatė vadinama abscisėmis, antroji – ordinatėmis, o trečioji – aplikacija.

Dekarto koordinatės plokštumoje nustatomos panašiai. Čia taškas turi tik dvi koordinates – abscisę ir ordinatę.

Nesunku pastebėti, kad tam tikroje koordinačių sistemoje kiekvienas taškas turi tam tikras koordinates. Kita vertus, kiekvienam skaičių tripletui yra vienas taškas, kuriame šie skaičiai yra koordinatės.

Jei pasirinktoje koordinačių sistemoje paimti į pagrindą vektoriai yra vienetinio ilgio ir yra poromis statmeni, tada koordinačių sistema vadinama Dekarto stačiakampis.

Tai lengva parodyti.

Vektoriaus krypties kosinusai visiškai apibrėžia jo kryptį, bet nieko nesako apie jo ilgį.

Atsakymas:

Projekcijos savybės:

Vektorinės projekcijos savybės

1 nuosavybė.

Dviejų vektorių sumos projekcija ašyje yra lygi vektorių projekcijų sumai toje pačioje ašyje:

Ši savybė leidžia pakeisti vektorių sumos projekciją jų projekcijų suma ir atvirkščiai.

2 nuosavybė. Jei vektorius padauginamas iš skaičiaus λ, tada jo projekcija į ašį taip pat dauginama iš šio skaičiaus:

3 nuosavybė.

Vektoriaus projekcija į l ašį yra lygi vektoriaus modulio sandaugai iš kampo tarp vektoriaus ir ašies kosinuso:

Ašies ort. Vektoriaus skaidymas koordinačių vienetais. Vektorinės koordinatės. Koordinatės savybės

Atsakymas:

Ašies vienetų vektoriai.

Stačiakampė koordinačių sistema (bet kokio matmens) taip pat apibūdinama vienetų vektorių rinkiniu, nukreiptu kartu su koordinačių ašimis. Vienetų vektorių skaičius yra lygus koordinačių sistemos matmeniui ir visi jie yra statmeni vienas kitam.

Trimačiu atveju dažniausiai žymimi vienetiniai vektoriai

IR taip pat gali būti taikomi rodyklės ir rodyklės užrašai.

Šiuo atveju dešiniarankės koordinačių sistemos atveju galioja šios formulės su vienetinių vektorių vektorinėmis sandaugomis:

Vektoriaus skaidymas koordinačių vienetais.

Koordinačių ašies vieneto vektorius žymimas per, ašys - per, ašys - per (1 pav.)

Bet kuriam vektoriui, kuris yra plokštumoje, vyksta toks skilimas:

Jei vektorius yra erdvėje, tada plėtimasis išilgai koordinačių ašių vienetų vektorių turi tokią formą:

Vektorinės koordinatės:

Norint apskaičiuoti vektoriaus koordinates, žinant jo pradžios A koordinates (x1; y1) ir jo galo B koordinates (x2; y2), iš pabaigos koordinačių reikia atimti pradžios koordinates: ( x2 – x1; y2 – y1).

Koordinatės savybės.

Apsvarstykite koordinačių tiesę su pradžios tašku O ir vieneto vektorių i. Tada bet kuriam vektoriui a šioje tiesėje: a = ašis.

Skaičių ašis vadinama vektoriaus a koordinate koordinačių ašyje.

1 nuosavybė. Pridedant vektorius ašyje, pridedamos jų koordinatės.

2 nuosavybė. Kai vektorius padauginamas iš skaičiaus, jo koordinatė padauginama iš šio skaičiaus.

Taškinė vektorių sandauga. Savybės.

Atsakymas:

Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius

lygus šių vektorių sandaugai kampo tarp jų kosinusu.

Savybės:

1. Skaliarinė sandauga turi kilnojamąjį turtą: ab = bа

Koordinačių vienetų vektorių skaliarinė sandauga. Vektorių, pateiktų jų koordinatėmis, taškinės sandaugos nustatymas.

Atsakymas:

Taškinės sandaugos (×) vieneto vektoriai

(X)	aš	J	K
aš
J
K

Vektorių, pateiktų jų koordinatėmis, taškinės sandaugos nustatymas.

Dviejų vektorių skaliarinę sandaugą, pateiktą jų koordinatėmis, galima apskaičiuoti pagal formulę

Dviejų vektorių kryžminė sandauga. Vektorinės produkto savybės.

Atsakymas:

Trys nevienaplaniai vektoriai sudaro dešinįjį tripletą, jei nuo trečiojo sukimosi pabaigos nuo pirmojo vektoriaus iki antrojo pasukama prieš laikrodžio rodyklę. Jei pagal laikrodžio rodyklę, tada į kairę., Jei ne, tada priešingai ( parodyk, kaip jis rodė su „rašikliais“)

Vektoriaus sandauga a vienam vektoriui b vadinamas vektoriumi iš kurių:

1. Statmenai vektoriams a ir b

2. Jo ilgis yra skaitiniu būdu lygus lygiagretainio, suformuoto ant, plotui a ir b vektoriai

3. Vektoriai, a, b, ir c sudaryti dešinįjį vektorių trigubą

Savybės:

Koordinačių vienetų vektorių vektorinė sandauga. Vektorių, pateiktų jų koordinatėmis, kryžminės sandaugos nustatymas.

Atsakymas:

Koordinačių vienetų vektorių vektorinė sandauga.

Vektorių, pateiktų jų koordinatėmis, kryžminės sandaugos nustatymas.

Tegul vektoriai a = (x1; y1; z1) ir b = (x2; y2; z2) pateikiami jų koordinatėmis stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje O, i, j, k, o trigubas i, j, k yra dešiniarankiams.

Išplėskime a ir b baziniais vektoriais:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Naudodamiesi vektorinės sandaugos savybėmis, gauname

[a; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2. (1)

Pagal vektorinės sandaugos apibrėžimą randame

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Atsižvelgiant į šias lygybes, formulę (1) galima parašyti taip: