МОСКВА ОДДЕЛЕНИЕ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ

ДРЖАВНИОТ БУЏЕТ СТРУЧЕН

ОБРАЗОВНА ИНСТИТУЦИЈА во Москва

„Политехнички колеџ бр.47 на име В.Г.Федоров“

Лекција

во дисциплината Математика

„Тригонометриски равенки сведени на квадратни“

Наставник

Протасевич Олга Николаевна

ПРОФЕСИЈА: Хардверски и софтверски инженер

ДИСЦИПЛИНА: Математика

ДОБРО : 1

СЕМЕСТАР : 2

ГРУПА :

Тема на лекцијата:

„Тригонометриските равенки сведени на квадратни равенки“.

Тип на лекција: комбинирана лекција

Формат на лекција: колективна обука по методологија на В.К. Дјаченко

(образование во мали групни системи)

Цели на лекцијата:

Образовни – разгледајте општи пристапи, сумирајте информации за видовите и методите на решавање тригонометриски равенки што може да се сведат на квадратни; да развива вештини и способности за примена на знаењата при решавање на основни равенки и примена на стекнатото знаење во професионалните активности.

Развојна - промовирање на развојотлогично размислување кај учениците, развивање на вештини за анализа, расудување, споредување, донесување заклучоци, разбирање на материјалот;

Образовни – негување когнитивен интерес, елементи на култура на комуникација, поттикнување на учениците да ги надминат тешкотиите во процесот на ментална активност, развивање вештини за работа во работен и образовен тим.

Цел на лекцијата:

Да ги запознае учениците со главните видови и методи на решавање тригонометриски равенки кои можат да се сведат на квадратни.

Поддршка (ресурси):

Хардвер: компјутер, мултимедијален проектор.

Софтвер:МајкрософтExcel.

Основни концепти:

Квадратна равенка; едноставни тригонометриски равенки; инверзни тригонометриски функции; тригонометриски равенки сведени на квадратни.

Литература:

Башмаков М.И. Математика: учебник за основно и средно стручно образование – М.; „Академија“, 2010. - 256 стр.

Дјаченко В.К. - М.; „Јавно образование“, 2001 г. - 496 с.

Методолошка литература:

Башмаков М.И. Математика: книга за наставници. Методолошки прирачник - М. « Академија“, 2013 - 224 стр.

Електронски ресурси:

Материјали на локацијатасоцијално и педагошко движење за создавање колективен начин на настава:www.kco-kras.ru.

Чекори од лекцијата

Време на организирање.

Проверка на домашната задача.

Ажурирање на основните знаења.

Учење нов материјал.

Консолидација и систематизација на стекнатото знаење.

Рефлексија. Сумирајќи. Домашна работа.

За време на часовите

Време на организирање.

Наставникот им поставува цели на часот за учениците:

1) Воведете ги главните типови на тригонометриски равенки кои можат да се сведат на квадратни;

2) Воведување на стандардни методи за решавање на тригонометриски равенки кои можат да се сведат на квадратни.

3) Научи како да ги применуваат стекнатите знаења и вештини за решавање на стандардни равенки;

4) Научете како да работите со информации презентирани во различни форми, да вежбате меѓусебна контрола и самоконтрола и да го применувате стекнатото знаење во професионалните активности.

II . Проверка на домашната задача.

Наставникот вклучува презентација „Домашна работа“, според која учениците самостојно ги проверуваат домашните задачи и, доколку е потребно, прават измени и корекции на работата.

Наставникот на барање на учениците ги коментира решенијата на равенките кои предизвикале потешкотии, по што ги објавува имињата на учениците кои на крајот од часот ги предаваат своите тетратки на проверка.

№ 1

Одговор:

№ 2

Одговор:

№ 3

Одговор:

№ 4

бидејќи тогаш равенката нема корени

Одговор: нема корени

№ 5

Одговор:

№ 6

Одговор:

III . Ажурирање на основните знаења.

Наставникот формира студиски групи/парови и предлага со помош на дадените форми да се воспостави кореспонденција помеѓу равенките и одговорите: „Пред вас е слајд со едукативна задача. Поврзете ги равенките (левата страна на табелата) со одговорите (десната страна на табелата). Запишете ги броевите на точните парови на искази во вашата тетратка“.

Наведените задачи се дуплираат во вклучената презентација.

Натпревар

стр/стр

Равенката

стр/стр

Одговори

без корени

На крајот од работата, наставникот фронтално ги интервјуира претставниците на групата, по што ја вклучува страницата за презентација со точните решенија.

Вистински одговори

стр/стр

Равенката

стр/стр

Одговори

без корени

без корени

11.

13.

10.

12.

IV . Учење нов материјал.

Наставникот вклучува презентација на нов материјал „Тригонометриски равенки сведени на квадратни. Видови равенки и методи за нивни решенија“.

Ги повикува учениците да ги запишат потребните точки и почнува да коментира за секој слајд, по што ја вклучуваат презентацијата.

Ајде да го претставиме концептот:

Општ приказ на квадратна равенка:

1 тип на тригонометриски равенки кои можат да се сведуваат на квадратни равенки – равенки кои се алгебарски во однос на една од тригонометриските функции.

Наставникот ги објаснува решенијата.

1. Директна замена

Замена ,

И

без корени

Одговор:

Слично решение имаат и равенките на формата

Замена

Замена

2. Равенки кои бараат конверзија со помош на формулата за тригонометриска единица

Замена , тогаш равенката добива форма

И

без корени

Одговор:

Равенките на формата имаат слично решение:

ќе замениме , користејќи ја формулата за тригонометриска единица

.

Добиваме равенка која содржи само една тригонометриска функција :

Замена

3. Равенки кои бараат трансформација користејќи ја формулата за поврзување tgx И Со tgx

Ја применуваме формулата:

Помножете ја равенката со

Замена , тогаш равенката добива форма

И

Одговор:

Тип 2 тригонометриски равенки сведувајќи се на квадратни равенки– хомогени равенки во кои секој член има ист степен.

Поделете ја равенката со

Замена , тогаш равенката добива форма

И

Одговор:

Наставникот предлага да се сумира презентираниот материјал и поставува прашања: „На колку видови се поделени тригонометриските равенки што може да се сведуваат на квадратни равенки? Нивното име? Наведете начини за решавање на тригонометриски равенки што може да се сведат на квадратни“.

Наставникот ги води постапките на учениците при креирање на алгоритам за решавање на равенки од овој тип.

Тригонометриските равенки кои се сведуваат на квадратни равенки се поделени на два главни типа:

tgx И Со tgx :

Тип 2 - хомогени равенки во кои секој член има ист степен:

Наставникот прави приспособена Алгоритам за решение:

1. Определи го типот на равенката. Доколку е потребно, преуредете ја равенката така што да содржи само една тригонометриска функција. За да го направите ова, изберете ја саканата формула: илиили подели на

2. Воведена е замена (на пример, sinx = т , cosx = т , tgx = т ).

5. Запишете го одговорот.

За да се консолидираат стекнатите знаења, наставникот предлага да се воспостави кореспонденција помеѓу равенките и можните методи за нивно решавање: „Пред вас е слајд со задача за обука.

1. Класифицирајте ги равенките според методите за решавање според табелата подолу

(печатените верзии на табелата се на вашите клупи).

2. Внесете го бројот на методот на решение во соодветното поле.

Пополнете ја табелата“.

Работата се врши во парови.

стр/стр

Равенката

метод

Методи:

1) Внесете нова променлива.

2) Внесете нова променлива

3) Внесете нова променлива.

4) Трансформирајте ја равенката користејќи ја формулата и воведете нова променлива.

5) Трансформирајте ја равенката користејќи ја формулата, воведете нова променлива.

6) Поделете го секој член од равенката со, воведете нова променлива.

7) Трансформирајте ја равенката користејќи ја формулата, помножете ги условите на равенката со, внесете нова променлива.

Задачата се проверува во форма на фронтален разговор.

Наставник: „Пред вас е слајд со точни одговори на воспитно-образовната задача. . Проверете со проверка на точните одговори на задачата за учење. Работете на грешките во вашата тетратка“.

Листовите со задачи се собираат на крајот од часот.

стр/стр

Равенката

метод

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI . Консолидација и систематизација на стекнатото знаење.

Наставникот ги повикува учениците да продолжат да работат во групи.

Наставник: „Реши ги равенките. Проверете го резултатот во уредникот Мајкрософт Excel . На крајот од решението, претставник од групата оди на таблата и го презентира решението на равенката пополнета од групата. Наставникот го проверува решението, ја оценува работата на групата и, доколку е потребно, укажува на грешки“.

Наставник:

1 ) Разговарајте за решенијата како група.

2) Решението и добиениот одговор запишете ги во вашата тетратка.

3) Проверете го резултатот во уредникот Мајкрософт Excel .

4) Известете го вашиот наставник дека сте подготвени.

5) Објаснете ја вашата одлука со тоа што ќе ја запишете на таблата на членовите на другите групи.

6) Внимателно слушајте ги говорите на вашите другари, поставувајте прашања доколку е потребно.

Студиските групи кои целосно ги завршиле задачите се поканети да ги завршат задачите на другите групи. Успешните групи се наградуваат со зголемување на конечниот резултат за една единица.

Првата група:

Ја применуваме формулата:

И

без корени

бидејќи

Одговор:

Втора група:

Ја применуваме формулата:

Замена, тогаш равенката станува

И

Одговор: ;

Трета група:

Ја применуваме формулата:

Помножете ја равенката со

Замена, тогаш равенката станува

И

Одговор:

Четврта група:

Поделете ја равенката со

Замена, тогаш равенката станува

И

Одговор:

Петта група:

Замена, тогаш равенката станува

И

Одговор:; .

VII . Рефлексија. Сумирајќи. Домашна работа.

Наставник: Ајде да ја сумираме вашата работа, поврзувајќи ги резултатите од вашите активности со вашата цел.

Да повториме концепти:

• „Тригонометриските равенки кои се сведуваат на квадратни равенки со трансформација и промена на променливата се нарекуваат тригонометриски равенки сведени на квадратни равенки“.

Тип 1 - равенки, алгебарски во однос на една од тригонометриските функции:

- директна замена - замена или;

- равенки кои бараат конверзија со помош на формулата за тригонометриска единица;

- равенки кои бараат трансформација според формулата за поврзување tgx и со tgx :

Тип 2 - хомогени равенки во кои секој член има ист степен: поделете ја равенката со, па заменете.

Алгоритам за решение:

1. Определи го типот на равенката. Доколку е потребно, преуредете ја равенката така што да содржи само една тригонометриска функција.

За да го направите ова, изберете ја саканата формула:

или или подели на

2. Воведена е замена (на пример, sinx = т , cosx = т , tgx = т ).

3. Реши ја квадратната равенка.

4. Направена е обратна замена, и се решава наједноставната тригонометриска равенка.

5. Запишете го одговорот.

Наставникот ја оценува работата на учениците и студиските групи и ги објавува оценките.

Наставник: „Запиши ја домашната задача: Башмаков М.И. Математика: учебник за основни и средни стручни лица. образование – М.; „Академија“, 2010. Стр. 114-115. Во бројот 10 решете ги равенките број 4,5,7,9. стр. 118. Проверете го резултатот во уредникот Мајкрософт Excel ».

Тема на часот: „Решавање тригонометриски равенки со воведување нова променлива“

Тип на лекција: лекција за учење нов материјал

Цели на лекцијата: Образовни: консолидираат знаења и вештини за решавање на наједноставните проблеми

тригонометриски равенки, научете како да решавате тригонометриски равенки

со воведување на нова променлива.

Развојни: развиваат способност за решавање на тригонометриски равенки, развиваат

способност за брзо и правилно одредување на видот на равенката и како да се реши.

Образовни: создаваат култура на работа и почитување еден кон друг.

План за лекција: 1. Време на организирање.

2. Проверка на домашната задача.

3. Ажурирање на знаењето.

4. Учење нов материјал.

5. Консолидација на нов материјал.

6. Минута за физичко образование.

7. Примарна контрола на знаењето.

8. Сумирајќи.

9. Рефлексија.

10. Домашна работа.

За време на часовите.

1. Организациски момент .

2. Проверка на домашната задача. 18 бр. 13 (в)

3. Ажурирање на знаењето. Реши ја равенката:

грев x = 0

cosx = 1

cosx = 2

tg x =

Соtgx = 0

1. X 2 + 3x =0

   X 2 – 9 = 0

   3x 2 + 29 = 0

   X 2 +5x +6 = 0

   X 4 +2x 2 – 3 = 0

Како се викаат равенките запишани во левата колона? во десната колона?

Кои методи се користени за решавање на равенките во левата колона?

грев 2 x - 6 грев x + 5 =0

Што мислите, која ќе биде темата на лекцијата денес?

Ги отворивме тетратките и го запишавме бројот, работа на час, тема на часот: „Решавање на тригонометриски равенки со воведување нова променлива“.

Која е нашата цел за лекцијата?Научете да решавате тригонометриски равенки користејќи го методот на замена на променливи.

4. Проучување на нов материјал.

Оваа лекција ќе го опфати најчестиот метод за решавање на тригонометриски равенки.

Тригонометриски равенки сведени на квадратни равенки .

Оваа класа може да вклучува равенки кои вклучуваат една функција (синус или косинус, тангента или котангента) или две функции од истиот аргумент, но едната од нив се сведува на втората користејќи основни тригонометриски идентитети.Агрев 2 x + bsinx + в =0, а.

На пример, аковОсx ја внесува равенката со парни сили, па ја заменуваме со 1-грев 2 x, Акогрев 2 x, потоа го заменуваме со 1-cos 2 x.

5. Консолидација на нов материјал.

Пример.

Реши ја равенката:грев 2 x - 6 гревx + 5 =0, 2 грев 2 x - 3cosx -3 = 0.

6. Записник за физичко воспитување.

Задача за ослободување од замор на очите: не треба да ги движите рацете, туку само очите Табелата содржи броеви од 1 до 20, но недостасуваат четири броеви. Ваша задача: именувајте ги овие броеви.

7. Примарна контрола

Работа во парови: реши ја равенката:

1. 3 тг 2 x +2 tg x-1=0;

2,5 грев 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Разговараме за решенија на равенки, решаваме, а потоа ги проверуваме решенијата со таблата.

1. 3 tg 2 x +2 tgx-1= 0

Некаtgx = т.

3 т 2 + 2 т – 1 = 0

Д = 16

т 1 = , т 2 = -1.

tgx= илиtgx = -1

x = arctg + З x = - + З

2. 5 грев 2 x + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - Со ос 2 x ) + 6cos x - 6 = 0

5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0

Некаcos x =t.

5 т 2 - 6 т + 1 = 0

Д = 16

т 1 = , т 2 = 1.

Да се ​​вратиме на оригиналната променлива:

cosx= илиcosx = 1

x = лакови + З x = З

8. Консолидација.

Решете ги равенките:

1. 2 Соtg 2 x+3Соtg x + 3= 5;

2.2 грев 2 -гревX + 2 = 3.

1. Реши ја равенката 2 cos 2 x - 3 cos (x) - 3 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на сегментот [ - ; ].

2. 3 тг x - 2Сотен x = 5

Секоја опција ги решава равенките и ги проверува одговорите на табла. Момците се оценуваат себеси за оваа работа. Се предаваат листови со раствори. На следниот час ќе ги објавам оценките за оваа работа.

8. Сумирајќи .

Запомнете: Која е темата на лекцијата? Која е нашата цел за денешната лекција? Дали ја постигнавме нашата цел?

9. Рефлексија.

„На денешната лекција сфатив...“;

„Би се пофалил...“;

„Особено ми се допадна...“;

„Денес успеав...“;

„Успеав...“;

„Беше тешко…“;

„Сфатив дека...“;

"Сега можам…";

„Почувствував дека...“;

"Научив…";

"Бев изненаден..."

10. Домашна задача.

1) §18, бр. 6 (в), 8 (б), 9 (а), 21 (а).

2) §18, бр. 7 (б), 9 (г). Задачи бр. 1 или 2.

1. Решете ја равенката + 4tgx- 6 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на отсечката [; ].

2. = 0.

Работа во парови

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 грев 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Работа во парови

1. 3 тг 2 x +2 tg x-1=0;

2,5 грев 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Работа во парови

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 грев 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Работа во парови

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 грев 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Работа во парови

1. 3 тг 2 x +2 tg x-1=0;

2,5 грев 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Домашна работа:

1. Решете ја равенката + 4tgx

[ ; ].

2. Реши ја равенката

Домашна работа:

1. Решете ја равенката + 4tgx- 6 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на сегментот

[ ; ].

2. Реши ја равенката

Домашна работа:

1. Решете ја равенката + 4tgx- 6 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на сегментот

[ ; ].

2. Реши ја равенката

Домашна работа:

1. Решете ја равенката + 4tgx- 6 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на сегментот

[ ; ].

2. Реши ја равенката

Домашна работа:

1. Решете ја равенката + 4tgx- 6 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на сегментот

[ ; ].

2. Реши ја равенката

Домашна работа:

1. Решете ја равенката + 4tgx- 6 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на сегментот

[ ; ].

2. Реши ја равенката

Домашна работа:

1. Решете ја равенката + 4tgx- 6 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на сегментот

[ ; ].

2. Реши ја равенката

Домашна работа:

1. Решете ја равенката + 4tgx- 6 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на сегментот

[ ; ].

2. Реши ја равенката

Домашна работа:

1. Решете ја равенката + 4tgx- 6 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на сегментот

[ ; ].

2. Реши ја равенката

Домашна работа:

1. Решете ја равенката + 4tgx- 6 = 0. Наведете ги корените кои припаѓаат на сегментот

[ ; ].

2. Реши ја равенката

Можете да нарачате детално решение за вашиот проблем!!!

Еднаквоста што содржи непозната под знакот на тригонометриска функција („sin x, cos x, tan x“ или „ctg x“) се нарекува тригонометриска равенка, а нивните формули ќе ги разгледаме понатаму.

Наједноставните равенки се `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, каде што `x` е аголот што треба да се најде, `a` е кој било број. Дозволете ни да ги запишеме коренските формули за секоја од нив.

1. Равенка `sin x=a`.

За `|a|>1` нема решенија.

Кога `|а| \leq 1` има бесконечен број решенија.

Формула на коренот: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Равенка `cos x=a`

За `|a|>1` - како и во случајот со синус, тој нема решенија меѓу реалните броеви.

Кога `|а| \leq 1` има бесконечен број решенија.

Формула на коренот: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специјални случаи за синус и косинус во графикони.

3. Равенка `tg x=a`

Има бесконечен број решенија за која било вредност на `a`.

Формула на коренот: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Равенка `ctg x=a`

Исто така, има бесконечен број решенија за сите вредности на `a`.

Формула на коренот: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометриските равенки во табелата

За синус:
За косинус:
За тангента и котангента:
Формули за решавање равенки кои содржат инверзни тригонометриски функции:

Методи за решавање на тригонометриски равенки

Решавањето на која било тригонометриска равенка се состои од две фази:

• со помош на трансформирање на наједноставно;
• решете ја наједноставната равенка добиена со помош на коренските формули и табелите напишани погоре.

Ајде да ги разгледаме главните методи на решение користејќи примери.

Алгебарски метод.

Овој метод вклучува замена на променлива и нејзина замена во еднаквост.

Пример. Решете ја равенката: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направи замена: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, потоа `2y^2-3y+1=0`,

ги наоѓаме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, од кои следуваат два случаи:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Одговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизација.

Пример. Решете ја равенката: `sin x+cos x=1`.

Решение. Да ги преместиме сите членови на еднаквоста налево: `sin x+cos x-1=0`. Со помош на , ја трансформираме и факторизираме левата страна:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Одговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Намалување на хомогена равенка

Прво, треба да ја намалите оваа тригонометриска равенка на една од двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогена равенка од прв степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогена равенка од втор степен).

Потоа поделете ги двата дела со `cos x \ne 0` - за првиот случај, и со `cos^2 x \ne 0` - за вториот. Добиваме равенки за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, кои треба да се решат со познати методи.

Пример. Решете ја равенката: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Ајде да ја напишеме десната страна како `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ова е хомогена тригонометриска равенка од втор степен, ја делиме нејзината лева и десна страна со `cos^2 x \ne 0`, добиваме:

`\ frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Да ја воведеме замената `tg x=t`, што резултира со `t^2 + t - 2=0`. Корените на оваа равенка се `t_1=-2` и `t_2=1`. Потоа:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Одговори. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \во Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \во Z`.

Преместување на половина агол

Пример. Решете ја равенката: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Да ги примениме формулите за двоен агол, што резултира со: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применувајќи го алгебарскиот метод опишан погоре, добиваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \во Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \во Z`.

Одговори. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \во Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \во Z`.

Воведување на помошен агол

Во тригонометриската равенка „a sin x + b cos x =c“, каде што a,b,c се коефициенти и x е променлива, поделете ги двете страни со `sqrt (a^2+b^2)`:

`\ frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

Коефициентите од левата страна имаат својства на синус и косинус, имено збирот на нивните квадрати е еднаков на 1, а нивните модули не се поголеми од 1. Да ги означиме на следниов начин: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тогаш:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Да го разгледаме подетално следниот пример:

Пример. Решете ја равенката: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Поделете ги двете страни на еднаквоста со `sqrt (3^2+4^2)`, добиваме:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 грев x+4/5 cos x=2/5`.

Да означиме `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Бидејќи `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, тогаш земаме `\varphi=arcsin 4/5` како помошен агол. Потоа ја пишуваме нашата еднаквост во форма:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применувајќи ја формулата за збир на агли за синус, ја запишуваме нашата еднаквост во следнава форма:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Одговори. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробни рационални тригонометриски равенки

Станува збор за равенки со дропки чии броител и именители содржат тригонометриски функции.

Пример. Решете ја равенката. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Помножете ја и поделете ја десната страна на еднаквоста со `(1+cos x)`. Како резултат добиваме:

`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\ frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Имајќи предвид дека именителот не може да биде еднаков на нула, добиваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Да го изедначиме броителот на дропката со нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Потоа `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \во Z`.

Имајќи предвид дека ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенијата се `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \во Z`.

Одговори. `x=2\pi n`, `n \во Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \во Z`.

Тригонометријата, а особено тригонометриските равенки, се користат во речиси сите области на геометријата, физиката и инженерството. Учењето започнува во 10-то одделение, секогаш има задачи за Единствениот државен испит, затоа обидете се да ги запомните сите формули на тригонометриски равенки - тие дефинитивно ќе ви бидат корисни!

Сепак, дури и не треба да ги меморирате, главната работа е да ја разберете суштината и да можете да ја изведете. Не е толку тешко како што изгледа. Уверете се сами гледајќи го видеото.

Главните методи за решавање на тригонометриски равенки се: намалување на равенките на наједноставни (со користење на тригонометриски формули), воведување нови променливи и факторинг. Ајде да ја разгледаме нивната употреба со примери. Обрнете внимание на форматот на пишување решенија за тригонометриски равенки.

Неопходен услов за успешно решавање на тригонометриските равенки е познавањето на тригонометриските формули (тема 13 од работа 6).

Примери.

1. Равенки сведени на наједноставните.

1) Реши ја равенката

Решение:

Одговор:

2) Најдете ги корените на равенката

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, што припаѓа на сегментот.

Решение:

Одговор:

2. Равенки кои се сведуваат на квадратни.

1) Решете ја равенката 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение:Користејќи ја формулата sin 2 x = 1 – cos 2 x, добиваме

Одговор:

2) Решете ја равенката cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение:Користејќи ја формулата cos 2x = 2 cos 2 x – 1, добиваме

Одговор:

3) Решете ја равенката tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Одговор:

3. Хомогени равенки

1) Решете ја равенката 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Нека cosx = 0, потоа 2sinx = 0 и sinx = 0 – контрадикција со фактот дека sin 2 x + cos 2 x = 1. Тоа значи cosx ≠ 0 и можеме да ја поделиме равенката со cosx. Добиваме

Одговор:

2) Решете ја равенката 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Ги користиме формулите 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, добиваме

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Нека cosx = 0, потоа sin 2 x = 0 и sinx = 0 - контрадикција со фактот дека sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ова значи cosx ≠ 0 и можеме да ја поделиме равенката со cos 2 x . Добиваме

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Да означиме tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
а) tgx = 4, x= арктан4 + 2 к, к
б) tgx = 2, x= арктан2 + 2 к, к .

Одговор: arctg4 + 2 к, арктан2 + 2 к, к

4. Равенки на формата а sinx + б cosx = с, с≠ 0.

1) Решете ја равенката.

Решение:

Одговор:

5. Равенки решени со факторизација.

1) Решете ја равенката sin2x – sinx = 0.

Корен на равенката ѓ (X) = φ ( X) може да послужи само како број 0. Ајде да го провериме ова:

cos 0 = 0 + 1 - еднаквоста е вистина.

Бројот 0 е единствениот корен од оваа равенка.

Одговор: 0.

Час и презентација на тема: „Решавање едноставни тригонометриски равенки“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Прирачници и симулатори во онлајн продавницата Integral за одделение 10 од 1C
Решавање проблеми во геометријата. Интерактивни задачи за градење во просторот
Софтверско опкружување „1C: Mathematical Constructor 6.1“

Што ќе проучуваме:
1. Што се тригонометриски равенки?

3. Два главни методи за решавање на тригонометриски равенки.
4. Хомогени тригонометриски равенки.
5. Примери.

Што се тригонометриски равенки?

Момци, ние веќе проучувавме арксин, аркозин, арктангенс и аркотангенс. Сега да ги погледнеме тригонометриските равенки воопшто.

Тригонометриските равенки се равенки во кои променливата е содржана под знакот на тригонометриска функција.

Да ја повториме формата за решавање на наједноставните тригонометриски равенки:

1)Ако |a|≤ 1, тогаш равенката cos(x) = a има решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ако |a|≤ 1, тогаш равенката sin(x) = a има решение:

3) Ако |а| > 1, тогаш равенката sin(x) = a и cos(x) = a немаат решенија 4) Равенката tg(x)=a има решение: x=arctg(a)+ πk

5) Равенката ctg(x)=a има решение: x=arcctg(a)+ πk

За сите формули k е цел број

Наједноставните тригонометриски равенки имаат форма: T(kx+m)=a, T е некоја тригонометриска функција.

Пример.

Решете ги равенките: а) sin(3x)= √3/2

Решение:

А) Да означиме 3x=t, а потоа ќе ја преработиме нашата равенка во форма:

Решението на оваа равенка ќе биде: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Од табелата со вредности добиваме: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Да се ​​вратиме на нашата променлива: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тогаш x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Одговор: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, каде што n е цел број. (-1)^n – минус еден до моќта на n.

Повеќе примери на тригонометриски равенки.

Реши ги равенките: а) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

А) Овој пат да преминеме директно на пресметување на корените на равенката веднаш:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогаш x/5= πk => x=5πk

Одговор: x=5πk, каде k е цел број.

Б) Го пишуваме во форма: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Знаеме дека: арктан(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Одговор: x=2π/9 + πk/3, каде k е цел број.

Решете ги равенките: cos(4x)= √2/2. И пронајдете ги сите корени на сегментот.

Решение:

Да ја решиме нашата равенка во општа форма: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Сега да видиме кои корени паѓаат на нашиот сегмент. На k На k=0, x= π/16, сме во дадената отсечка.
Со k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 повторно удираме.
За k=2, x= π/16+ π=17π/16, но овде не погодивме, што значи дека за големо k ние исто така очигледно нема да погодиме.

Одговор: x= π/16, x= 9π/16

Два главни методи на решение.

Ги разгледавме наједноставните тригонометриски равенки, но има и посложени. За нивно решавање се користи методот на воведување на нова променлива и методот на факторизација. Ајде да погледнеме примери.

Да ја решиме равенката:

Решение:
За да ја решиме нашата равенка, ќе го користиме методот на воведување нова променлива, која означува: t=tg(x).

Како резултат на замена добиваме: t 2 + 2t -1 = 0

Да ги најдеме корените на квадратната равенка: t=-1 и t=1/3

Потоа tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, ја добиваме наједноставната тригонометриска равенка, ајде да ги најдеме нејзините корени.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Одговор: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример за решавање на равенка

Решете ги равенките: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Да го искористиме идентитетот: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Нашата равенка ќе ја има формата: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Да ја воведеме замената t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решението на нашата квадратна равенка се корените: t=2 и t=-1/2

Потоа cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Бидејќи косинус не може да земе вредности поголеми од една, тогаш cos(x)=2 нема корени.

За cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Одговор: x= ±2π/3 + 2πk

Хомогени тригонометриски равенки.

Дефиниција: Равенките од формата a sin(x)+b cos(x) се нарекуваат хомогени тригонометриски равенки од прв степен.

Равенки на формата

хомогени тригонометриски равенки од втор степен.

За да решите хомогена тригонометриска равенка од прв степен, поделете ја со cos(x): Не можете да поделите со косинус ако е еднаков на нула, ајде да се увериме дека тоа не е случај:
Нека cos(x)=0, тогаш asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синусот и косинусот не се еднакви на нула во исто време, добиваме контрадикција, па можеме безбедно да се подели со нула.

Реши ја равенката:
Пример: cos 2 (x) + sin (x) cos(x) = 0

Решение:

Да го извадиме заедничкиот фактор: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Потоа треба да решиме две равенки:

Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Размислете за равенката cos(x)+sin(x)=0 Поделете ја нашата равенка со cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Одговор: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Како да се решат хомогени тригонометриски равенки од втор степен?
Момци, секогаш следете ги овие правила!

1. Види на што е еднаков коефициентот a, ако a=0 тогаш нашата равенка ќе има форма cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), чиешто решение е пример на претходниот слајд

2. Ако a≠0, тогаш треба да ги поделите двете страни на равенката со косинусот на квадрат, добиваме:

Ја менуваме променливата t=tg(x) и ја добиваме равенката:

Реши пример бр.:3

Реши ја равенката:
Решение:

Ајде да ги поделиме двете страни на равенката со косинусниот квадрат:

Ја менуваме променливата t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Да ги најдеме корените на квадратната равенка: t=-3 и t=1

Тогаш: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Одговор: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Реши пример бр.:4

Реши ја равенката:

Решение:
Ајде да го трансформираме нашиот израз:

Можеме да решиме такви равенки: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Одговор: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Реши пример бр.:5

Реши ја равенката:

Решение:
Ајде да го трансформираме нашиот израз:

Да ја воведеме замената tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Решението на нашата квадратна равенка ќе бидат корените: t=-2 и t=1/2

Тогаш добиваме: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Одговор: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Проблеми за самостојно решавање.

1) Реши ја равенката

А) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 г) ctg(0.5x) = -1.7

2) Реши ги равенките: sin(3x)= √3/2. И најдете ги сите корени на отсечката [π/2; π].

3) Решете ја равенката: креветче 2 (x) + 2 креветче (x) + 1 =0

4) Реши ја равенката: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Реши ја равенката: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Решете ја равенката: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)