Pure buigformule. pure buiging

De hypothese van vlakke secties in buigen kan worden uitgelegd aan de hand van een voorbeeld: laten we een raster toepassen op het zijoppervlak van een onvervormde balk, bestaande uit longitudinale en transversale (loodrecht op de as) rechte lijnen. Door de doorbuiging van de balk zullen de langslijnen een kromlijnige vorm aannemen, terwijl de dwarslijnen praktisch recht en loodrecht op de gebogen as van de balk zullen blijven.

Formulering van de vlakke sectiehypothese: doorsneden die vlak zijn en loodrecht op de as van de balk voor , blijven vlak en loodrecht op de gebogen as nadat deze is vervormd.

Deze omstandigheid geeft aan dat wanneer: vlakke sectie hypothese, zoals met en

Naast de hypothese van vlakke secties wordt een aanname gedaan: de longitudinale vezels van de balk drukken elkaar niet wanneer deze wordt gebogen.

De hypothese van vlakke secties en de aanname worden genoemd Bernoulli's vermoeden.

Beschouw een balk met een rechthoekige dwarsdoorsnede die pure buiging ervaart (). Laten we een balkelement met een lengte selecteren (Fig. 7.8.a). Als gevolg van het buigen zullen de dwarsdoorsneden van de balk roteren en een hoek vormen. De bovenste vezels staan onder druk en de onderste vezels onder spanning. De kromtestraal van de neutrale vezel wordt aangegeven met .

We gaan er voorwaardelijk van uit dat de vezels van lengte veranderen, terwijl ze recht blijven (Fig. 7.8.b). Dan de absolute en relatieve verlenging van de vezel, op een afstand y van de neutrale vezel:

Laten we aantonen dat de longitudinale vezels, die tijdens het buigen van de balk geen spanning of compressie ervaren, door de centrale hoofdas x gaan.

Aangezien de lengte van de balk tijdens het buigen niet verandert, moet de langskracht (N) die in de dwarsdoorsnede ontstaat nul zijn. Elementaire langskracht.

Gezien de uitdrukking :

De vermenigvuldiger kan uit het integraalteken worden gehaald (hangt niet af van de integratievariabele).

De uitdrukking vertegenwoordigt de dwarsdoorsnede van de balk ten opzichte van de neutrale x-as. Het is nul wanneer de neutrale as door het zwaartepunt van de doorsnede gaat. Bijgevolg gaat de neutrale as (nullijn) wanneer de balk wordt gebogen door het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede.

Vanzelfsprekend: het buigmoment hangt samen met normale spanningen die optreden op de punten van de dwarsdoorsnede van de staaf. Elementair buigmoment gecreëerd door elementaire kracht:

waar is het axiale traagheidsmoment van de dwarsdoorsnede rond de neutrale as x, en de verhouding is de kromming van de as van de bundel.

Stijfheid balken in buigen(hoe groter, hoe kleiner de kromtestraal).

De resulterende formule vertegenwoordigt De wet van Hooke bij het buigen voor een staaf: het in de doorsnede optredende buigmoment is evenredig met de kromming van de staafas.

Uitdrukken uit de formule van de wet van Hooke voor een staaf bij het buigen van de kromtestraal () en de waarde ervan in de formule vervangen , verkrijgen we de formule voor normaalspanningen () op een willekeurig punt van de dwarsdoorsnede van de balk, op een afstand y van de neutrale as x: .

In de formule voor normaalspanningen () op een willekeurig punt van de doorsnede van de balk, moeten de absolute waarden van het buigmoment () en de afstand van het punt tot de neutrale as (y-coördinaten) worden vervangen . Of de spanning op een bepaald punt trek- of druk zal zijn, is gemakkelijk vast te stellen door de aard van de vervorming van de balk of door het diagram van buigmomenten, waarvan de ordinaat is uitgezet vanaf de zijkant van de samengedrukte vezels van de balk.

Dit blijkt uit de formule: normaalspanningen () veranderen langs de hoogte van de dwarsdoorsnede van de balk volgens een lineaire wet. Op afb. 7.8 wordt de plot getoond. De grootste spanningen tijdens het buigen van de balk treden op op punten die het verst verwijderd zijn van de neutrale as. Als een lijn wordt getrokken in de dwarsdoorsnede van de balk evenwijdig aan de neutrale as x, dan ontstaan op al zijn punten dezelfde normaalspanningen.

Eenvoudige analyse normale spanningsdiagrammen laat zien dat wanneer de balk wordt gebogen, het materiaal dat zich in de buurt van de neutrale as bevindt, praktisch niet werkt. Om het gewicht van de balk te verminderen, wordt daarom aanbevolen om doorsnedevormen te kiezen waarbij het meeste materiaal van de neutrale as wordt verwijderd, zoals bijvoorbeeld een I-profiel.

Vlakke dwarsbuiging van balken. Interne buigkrachten. Differentiële afhankelijkheden van interne krachten. Regels voor het controleren van diagrammen van interne krachten bij het buigen. Normaal- en schuifspanningen bij buigen. Sterkteberekening voor normaal- en schuifspanningen.

10. EENVOUDIGE SOORTEN WEERSTAND. VLAKKE BOCHT

10.1. Algemene concepten en definities

Buigen is een soort belasting waarbij de staaf wordt belast met momenten in vlakken die door de lengteas van de staaf gaan.

Een staaf die bij het buigen werkt, wordt een balk (of balk) genoemd. In de toekomst zullen we rechte balken overwegen, waarvan de doorsnede ten minste één symmetrieas heeft.

In de weerstand van materialen is buigen vlak, schuin en complex.

Platte buiging is een buiging waarbij alle krachten die de balk buigen in een van de symmetrievlakken van de balk liggen (in een van de hoofdvlakken).

De belangrijkste traagheidsvlakken van de balk zijn de vlakken die door de hoofdassen van de dwarsdoorsneden en de geometrische as van de balk (x-as) gaan.

Een schuine bocht is een bocht waarin de belastingen werken in één vlak dat niet samenvalt met de hoofdtraagheidsvlakken.

Complexe buiging is een buiging waarbij belastingen in verschillende (willekeurige) vlakken werken.

10.2. Bepaling van interne buigkrachten

Laten we eens kijken naar twee karakteristieke gevallen van buiging: in het eerste geval wordt de vrijdragende balk gebogen door een geconcentreerd moment M o ; in de tweede, door de geconcentreerde kracht F.

Met behulp van de methode van mentale secties en het opstellen van de evenwichtsvergelijkingen voor de afgesneden delen van de balk, bepalen we de interne krachten in beide gevallen:

De rest van de evenwichtsvergelijkingen zijn uiteraard identiek gelijk aan nul.

Dus, in het algemene geval van vlakke buiging in het balkgedeelte, ontstaan uit zes interne krachten twee - buigend moment M z en afschuifkracht Q y (of bij buigen om een andere hoofdas - buigmoment M y en afschuifkracht Q z ).

In dit geval, in overeenstemming met de twee beschouwde gevallen van belasting, kan vlak buigen worden verdeeld in puur en transversaal.

Zuiver buigen is een vlakke buiging, waarbij slechts één op de zes interne krachten in de secties van de staaf ontstaat - een buigmoment (zie het eerste geval).

dwarse bocht- buigen, waarbij naast het interne buigmoment ook een dwarskracht ontstaat in de secties van de staaf (zie het tweede geval).

Strikt genomen behoort alleen pure buiging tot de eenvoudige soorten weerstand; dwarsbuiging wordt voorwaardelijk aangeduid als eenvoudige soorten weerstand, omdat in de meeste gevallen (voor voldoende lange liggers) de werking van een dwarskracht kan worden verwaarloosd in sterkteberekeningen.

Bij het bepalen van interne krachten houden we ons aan de volgende tekenregel:

1) de dwarskracht Q y wordt als positief beschouwd als deze de neiging heeft om het betreffende balkelement met de klok mee te roteren;

2) buigend moment M z wordt als positief beschouwd als, wanneer het balkelement wordt gebogen, de bovenste vezels van het element worden samengedrukt en de onderste vezels worden uitgerekt (parapluregel).

De oplossing van het probleem van het bepalen van de interne krachten bij het buigen zal dus worden gebouwd volgens het volgende plan: 1) in de eerste fase, rekening houdend met de evenwichtsomstandigheden van de constructie als geheel, bepalen we, indien nodig, onbekende reacties van de steunen (merk op dat voor een vrijdragende balk reacties in de inbedding wel en niet kunnen worden gevonden als we de balk vanaf het vrije uiteinde beschouwen); 2) in de tweede fase selecteren we de karakteristieke secties van de balk, waarbij we als de grenzen van de secties de punten van toepassing van krachten, punten van verandering in de vorm of afmetingen van de balk, bevestigingspunten van de balk nemen; 3) in de derde fase bepalen we de interne krachten in de balksecties, rekening houdend met de evenwichtsomstandigheden voor de balkelementen in elk van de secties.

10.3. Differentiële afhankelijkheden bij buigen

Laten we enkele relaties vaststellen tussen interne krachten en externe buigbelastingen, evenals de karakteristieke kenmerken van Q- en M-diagrammen, waarvan de kennis de constructie van diagrammen zal vergemakkelijken en u in staat stelt hun juistheid te controleren. Voor het gemak van de notatie geven we aan: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Laten we een klein element dx toewijzen aan een sectie van een balk met een willekeurige belasting op een plaats waar geen geconcentreerde krachten en momenten zijn. Omdat de hele balk in evenwicht is, zal het element dx ook in evenwicht zijn onder invloed van dwarskrachten die erop worden uitgeoefend, buigende momenten en externe belasting. Aangezien Q en M over het algemeen langs de as van de balk veranderen, zullen er in de secties van het element dx dwarskrachten Q en Q + dQ zijn, evenals buigmomenten M en M + dM . Uit de evenwichtstoestand van het geselecteerde element verkrijgen we:

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Uit de tweede vergelijking, waarbij we de term q dx (dx /2) negeren als een oneindig kleine hoeveelheid van de tweede orde, vinden we

Relaties (10.1), (10.2) en (10.3) worden genoemd differentiële afhankelijkheden van D. I. Zhuravsky bij het buigen.

Analyse van de bovenstaande differentiële afhankelijkheden in buiging stelt ons in staat om enkele kenmerken (regels) vast te stellen voor het construeren van diagrammen van buigmomenten en schuifkrachten:

a - in gebieden waar geen verdeelde belasting q is, zijn diagrammen Q beperkt tot rechte lijnen evenwijdig aan de basis, en diagrammen M - schuine rechte lijnen;

b - in gebieden waar een verdeelde belasting q op de balk wordt uitgeoefend, worden Q-diagrammen beperkt door hellende rechte lijnen en worden M-diagrammen beperkt door kwadratische parabolen. Als we tegelijkertijd het diagram M "op een uitgerekte vezel" bouwen, dan zal de convexiteit van de pa-

het werk zal worden gericht in de richting van actie q, en het extremum zal worden geplaatst in het gedeelte waar de plot Q de basislijn snijdt;

c - in secties waar een geconcentreerde kracht op de balk wordt uitgeoefend, op het Q-diagram zullen er sprongen zijn met de waarde en in de richting van deze kracht, en op het M-diagram zijn er knikken, de punt gericht in de richting van deze kracht; d - in secties waar een geconcentreerd moment wordt toegepast op de balk op de plot

er zullen geen veranderingen zijn in re Q, en op het diagram M zullen er sprongen zijn met de waarde van dit moment; e - in gebieden waar Q > 0, het moment dat M toeneemt, en in gebieden waar Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normale spanningen in zuivere buiging van een rechte balk

Laten we het geval van een zuivere vlakke buiging van een balk beschouwen en een formule afleiden om de normaalspanningen voor dit geval te bepalen. Merk op dat het in de elasticiteitstheorie mogelijk is om een exacte afhankelijkheid voor normale spanningen in zuivere buiging te verkrijgen, maar als dit probleem wordt opgelost door de methoden van weerstand van materialen, is het noodzakelijk om enkele aannames te introduceren.

Er zijn drie van dergelijke hypothesen voor buigen:

a - vlakke sectie hypothese (Bernoulli's hypothese)

- vlakke secties vóór vervorming blijven vlak na vervorming, maar roteren alleen ten opzichte van een bepaalde lijn, die de neutrale as van de balksectie wordt genoemd. In dit geval worden de vezels van de balk, die aan de ene kant van de neutrale as liggen, uitgerekt en aan de andere kant samengedrukt; vezels die op de neutrale as liggen, veranderen niet van lengte;

b - de hypothese van de constantheid van normale spanningen

nii - spanningen die op dezelfde afstand y van de neutrale as werken, zijn constant over de breedte van de balk;

c – hypothese over de afwezigheid van zijdelingse druk –

grijze langsvezels drukken niet op elkaar.

Voor een vrijdragende balk die is belast met een verdeelde belasting van intensiteit kN / m en een geconcentreerd moment kN m (Fig. 3.12), is het vereist: om diagrammen van afschuifkrachten en buigmomenten te bouwen, selecteer een balk met cirkelvormige dwarsdoorsnede bij een toelaatbare normale spanning kN / cm2 en controleer de sterkte van de balk volgens schuifspanningen bij toelaatbare schuifspanning kN/cm2. Afmetingen balk m; m; m.

Ontwerpschema voor het probleem van directe dwarsbuiging

Rijst. 3.12

Het probleem van "directe dwarsbuiging" oplossen

Ondersteuningsreacties bepalen

De horizontale reactie in de inbedding is nul, omdat externe belastingen in de richting van de z-as niet op de balk inwerken.

We kiezen de richtingen van de resterende reactiekrachten die ontstaan in de inbedding: laten we de verticale reactie bijvoorbeeld naar beneden richten, en het moment - met de klok mee. Hun waarden worden bepaald aan de hand van de vergelijkingen van statica:

Bij het samenstellen van deze vergelijkingen beschouwen we het moment als positief wanneer we tegen de klok in draaien, en de projectie van de kracht is positief als de richting ervan samenvalt met de positieve richting van de y-as.

Uit de eerste vergelijking vinden we het moment in de beëindiging:

Uit de tweede vergelijking - verticale reactie:

De positieve waarden die we op dit moment hebben verkregen en de verticale reactie in de beëindiging geven aan dat we hun richting hebben geraden.

In overeenstemming met de aard van de bevestiging en belasting van de balk, verdelen we de lengte in twee secties. Langs de grenzen van elk van deze secties schetsen we vier doorsneden (zie Fig. 3.12), waarin we de waarden van dwarskrachten en buigmomenten zullen berekenen volgens de methode van secties (ROZU).

Sectie 1. Laten we mentaal de rechterkant van de balk weggooien. Laten we de actie aan de resterende linkerkant vervangen door een snijkracht en een buigend moment. Voor het gemak van het berekenen van hun waarden, sluiten we de rechterkant van de door ons weggegooide balk met een stuk papier, waarbij de linkerrand van het vel wordt uitgelijnd met het betreffende gedeelte.

Bedenk dat de dwarskracht die in een dwarsdoorsnede ontstaat, alle externe krachten (actief en reactief) moet compenseren die inwerken op het deel van de balk dat we beschouwen (dat wil zeggen, zichtbaar). Daarom moet de schuifkracht gelijk zijn aan de algebraïsche som van alle krachten die we zien.

Laten we ook de tekenregel voor de afschuifkracht geven: een externe kracht die op het beschouwde deel van de balk inwerkt en de neiging heeft om dit deel ten opzichte van de sectie met de klok mee te "draaien", veroorzaakt een positieve schuifkracht in de sectie. Zo'n externe kracht wordt in de algebraïsche som voor de definitie met een plusteken meegerekend.

In ons geval zien we alleen de reactie van de steun, die het zichtbare deel van de balk roteert ten opzichte van de eerste sectie (ten opzichte van de rand van het stuk papier) tegen de klok in. Dus

kN.

Het buigmoment in elke sectie moet in evenwicht zijn met het moment dat wordt gecreëerd door externe krachten die we zien met betrekking tot de sectie in kwestie. Daarom is het gelijk aan de algebraïsche som van de momenten van alle inspanningen die inwerken op het deel van de balk die we beschouwen, ten opzichte van de sectie in kwestie (met andere woorden, ten opzichte van de rand van het stuk papier). In dit geval veroorzaakt een externe belasting die het beschouwde deel van de balk buigt met een convexiteit naar beneden, een positief buigmoment in de sectie. En het moment gecreëerd door een dergelijke belasting wordt opgenomen in de algebraïsche som voor de definitie met een plusteken.

We zien twee pogingen: de reactie en het moment van beëindiging. De arm van de kracht ten opzichte van sectie 1 is echter gelijk aan nul. Dus

kN m

We hebben het plusteken genomen omdat het reactieve moment het zichtbare deel van de bundel met een convexiteit naar beneden buigt.

Sectie 2. Net als eerder bedekken we de hele rechterkant van de balk met een stuk papier. Nu, in tegenstelling tot de eerste sectie, heeft de kracht een schouder: m. Daarom

kN; kN m

Sectie 3. Als we de rechterkant van de balk sluiten, vinden we:

kN;

Sectie 4. Laten we de linkerkant van de balk afsluiten met een blad. Dan

kN m

Op basis van de gevonden waarden bouwen we diagrammen van schuifkrachten (Fig. 3.12, b) en buigmomenten (Fig. 3.12, c).

Onder onbelaste secties loopt het diagram van de dwarskrachten evenwijdig aan de as van de balk, en onder een verdeelde belasting q, langs een hellende rechte lijn naar boven. Onder de steunreactie op het diagram is er een sprong naar beneden met de waarde van deze reactie, dat wil zeggen met 40 kN.

Op het diagram van buigmomenten zien we een breuk onder de steunreactie. De breukhoek is gericht op de reactie van de drager. Onder een verdeelde belasting q verandert het diagram langs een kwadratische parabool, waarvan de convexiteit naar de belasting is gericht. In sectie 6 van het diagram is er een extremum, aangezien het diagram van de schuifkracht op deze plaats hier door de nulwaarde gaat.

Bepaal de vereiste diameter van de doorsnede van de balk

De sterktevoorwaarde voor normale spanningen heeft de vorm:

waar is het moment van weerstand van de balk bij het buigen. Voor een balk met cirkelvormige doorsnede is deze gelijk aan:

Het buigmoment met de grootste absolute waarde vindt plaats in het derde deel van de balk: kN cm

Vervolgens wordt de vereiste straaldiameter bepaald door de formule

cm.

Wij accepteren mm. Dan

kN/cm2 kN/cm2.

"Overspanning" is

wat is toegestaan.

We controleren de sterkte van de balk voor de hoogste tangentiële spanningen

De hoogste schuifspanningen die optreden in de doorsnede van een cirkelvormige ligger worden berekend met de formule

waar is de dwarsdoorsnede.

Volgens de grafiek is de grootste algebraïsche waarde van de dwarskracht gelijk aan kN. Dan

kN/cm2 kN/cm2,

dat wil zeggen dat aan de voorwaarde van sterkte en schuifspanningen bovendien met een grote marge wordt voldaan.

Een voorbeeld van het oplossen van het probleem "directe dwarsbuiging" nr. 2

Conditie van het probleemvoorbeeld voor directe dwarsbuiging

Voor een scharnierende balk belast met een verdeelde belasting van intensiteit kN / m, een geconcentreerde kracht kN en een geconcentreerd moment kN m (Fig. 3.13), is het vereist om dwarskrachten en buigmomenten te plotten en een I-balkdoorsnede te selecteren met een toelaatbare normaalspanning kN/cm2 en toelaatbare schuifspanning kN/cm2. Balkoverspanning m.

Een voorbeeld van een taak voor een rechte bocht - een ontwerpschema

Rijst. 3.13

Oplossing van een voorbeeld van een probleem met een rechte buiging

Ondersteuningsreacties bepalen

Voor een gegeven zwenkbare ondersteunde balk is het nodig om drie ondersteuningsreacties te vinden: , en . Aangezien alleen verticale belastingen op de balk werken, loodrecht op zijn as, is de horizontale reactie van de vaste scharnierende steun A gelijk aan nul: .

De richtingen van verticale reacties en zijn willekeurig gekozen. Laten we bijvoorbeeld beide verticale reacties naar boven richten. Om hun waarden te berekenen, stellen we twee statische vergelijkingen op:

Bedenk dat de resulterende lineaire belasting, gelijkmatig verdeeld over een sectie met lengte l, gelijk is aan, dat wil zeggen, gelijk is aan het gebied van het diagram van deze belasting en wordt toegepast in het zwaartepunt van dit diagram, dat wil zeggen, in het midden van de lengte.

;

kN.

Wij controleren: .

Bedenk dat krachten waarvan de richting samenvalt met de positieve richting van de y-as, op deze as worden geprojecteerd (geprojecteerd) met een plusteken:

dat is juist.

We bouwen diagrammen van schuifkrachten en buigmomenten

We breken de lengte van de balk in afzonderlijke secties. De grenzen van deze secties zijn de punten van toepassing van geconcentreerde krachten (actief en/of reactief), evenals de punten die overeenkomen met het begin en einde van de verdeelde belasting. Er zijn drie van dergelijke gebieden in ons probleem. Langs de grenzen van deze secties schetsen we zes doorsneden, waarin we de waarden van schuifkrachten en buigmomenten zullen berekenen (Fig. 3.13, a).

Sectie 1. Laten we mentaal de rechterkant van de balk weggooien. Voor het gemak van het berekenen van de afschuifkracht en het buigmoment dat in deze sectie optreedt, sluiten we het deel van de balk dat door ons is weggegooid met een stuk papier, waarbij de linkerrand van het stuk papier wordt uitgelijnd met de sectie zelf.

De dwarskracht in de balksectie is gelijk aan de algebraïsche som van alle externe krachten (actief en reactief) die we zien. In dit geval zien we de reactie van de drager en de lineaire belasting q, verdeeld over een oneindig kleine lengte. De resulterende lineaire belasting is nul. Dus

kN.

Het plusteken wordt genomen omdat de kracht het zichtbare deel van de balk met de klok mee roteert ten opzichte van het eerste gedeelte (de rand van het stuk papier).

Het buigend moment in de sectie van de balk is gelijk aan de algebraïsche som van de momenten van alle krachten die we zien, ten opzichte van de sectie in kwestie (dat wil zeggen, ten opzichte van de rand van een stuk papier). We zien de reactie van de drager en de lineaire belasting q, verdeeld over een oneindig kleine lengte. De hefboomwerking van de kracht is echter nul. De resulterende lineaire belasting is ook gelijk aan nul. Dus

Sectie 2. Net als eerder bedekken we de hele rechterkant van de balk met een stuk papier. Nu zien we de reactie en de belasting q werken op een lengtedoorsnede. De resulterende lineaire belasting is gelijk aan . Het is bevestigd in het midden van een sectie met een lengte van . Dus

Bedenk dat bij het bepalen van het teken van het buigmoment, we mentaal het deel van de balk loslaten dat we zien van alle daadwerkelijke steunbevestigingen en ons voorstellen dat het wordt geknepen in de betreffende sectie (dat wil zeggen, de linkerrand van het stuk van papier wordt door ons mentaal voorgesteld als een rigide zegel).

Sectie 3. Laten we het rechtergedeelte sluiten. Krijgen

Sectie 4. We sluiten de rechterkant van de balk af met een blad. Dan

Laten we nu, om de juistheid van de berekeningen te controleren, de linkerkant van de balk bedekken met een stuk papier. We zien de geconcentreerde kracht P, de reactie van de rechter ondersteuning en de lineaire belasting q, verdeeld over een oneindig kleine lengte. De resulterende lineaire belasting is nul. Dus

kN m

Dat wil zeggen, alles klopt.

Sectie 5. Sluit nog steeds de linkerkant van de balk. Zal hebben

kN;

kN m

Sectie 6. Laten we de linkerkant van de balk weer sluiten. Krijgen

kN;

Op basis van de gevonden waarden bouwen we diagrammen van schuifkrachten (Fig. 3.13, b) en buigmomenten (Fig. 3.13, c).

We zijn ervan overtuigd dat onder het onbelaste gedeelte het dwarskrachtdiagram evenwijdig loopt aan de as van de balk, en onder een verdeelde belasting q - langs een rechte lijn met een neerwaartse helling. Er zijn drie sprongen in het diagram: onder de reactie - 37,5 kN omhoog, onder de reactie - 132,5 kN omhoog en onder de kracht P - 50 kN omlaag.

Op het diagram van buigmomenten zien we breuken onder de geconcentreerde kracht P en onder de steunreacties. De breukhoeken zijn op deze krachten gericht. Onder een verdeelde belasting met intensiteit q verandert het diagram langs een kwadratische parabool, waarvan de convexiteit naar de belasting is gericht. Onder het geconcentreerde moment is er een sprong van 60 kN·m, dat wil zeggen door de grootte van het moment zelf. In sectie 7 van het diagram is er een extremum, aangezien het diagram van de dwarskracht voor deze sectie door de nulwaarde () gaat. Laten we de afstand van sectie 7 tot de linkersteun bepalen.

pure buiging dit type buigen genoemd, waarin de actie plaatsvindt alleen buigend moment(Afb. 3.5, een). Laten we mentaal het doorsnedevlak I-I loodrecht op de lengteas van de balk tekenen op een afstand * van het vrije uiteinde van de balk, waarop het externe moment wordt toegepast mz. Laten we acties uitvoeren die vergelijkbaar zijn met die welke door ons zijn uitgevoerd bij het bepalen van spanningen en rekken tijdens torsie, namelijk:

1) stel de evenwichtsvergelijkingen op van het mentaal afgesneden deel van het deel;
2) we bepalen de vervorming van het materiaal van het onderdeel op basis van de voorwaarden voor de compatibiliteit van vervormingen van elementaire volumes van een bepaalde sectie;
3) los de evenwichtsvergelijkingen en compatibiliteit van vervormingen op.

Uit de evenwichtstoestand van het afgesneden deel van de balk (Fig. 3.5, B)

we snappen dat het moment van interne krachten Mz gelijk aan het moment van externe krachten t: M = t.

Rijst. 3.5.

Het moment van interne krachten wordt gecreëerd door normaalspanningen ov gericht langs de x-as. Bij puur buigen zijn er geen externe krachten, dus de som van de projecties van interne krachten op een willekeurige coördinaatas is nul. Op basis hiervan schrijven we de evenwichtsvoorwaarden in de vorm van gelijkheden

waar EEN- dwarsdoorsnede van de balk (staaf).

Bij puur buigen, externe krachten F x , F, F v evenals momenten van externe krachten t x, t y zijn gelijk aan nul. Daarom zijn de rest van de evenwichtsvergelijkingen identiek gelijk aan nul.

Van de evenwichtsvoorwaarde voor o > 0 volgt dat

normale spanning met x in doorsnede nemen zowel positieve als negatieve waarden. (De ervaring leert dat bij het buigen het materiaal van de onderkant van de balk in Fig. 3.5, een uitgerekt en de bovenste wordt samengedrukt.) Daarom zijn er in de dwarsdoorsnede tijdens het buigen zulke elementaire volumes (van de overgangslaag van compressie naar spanning) waarin er geen rek of compressie is. Deze - neutrale laag. De snijlijn van de neutrale laag met het vlak van de doorsnede heet neutrale lijn.

De voorwaarden voor de compatibiliteit van vervormingen van elementaire volumes tijdens het buigen worden gevormd op basis van de hypothese van vlakke secties: vlakke dwarsdoorsneden van de balk vóór buigen (zie Fig. 3.5, B) blijft zelfs na het buigen vlak (Fig. 3.6).

Als gevolg van de werking van een extern moment buigt de balk en draaien de vlakken van secties I-I en II-II ten opzichte van elkaar over een hoek verdorie(Afb. 3.6, B). Bij puur buigen is de vervorming van alle secties langs de as van de balk hetzelfde, daarom is de kromtestraal pk van de neutrale laag van de balk langs de x-as hetzelfde. Omdat dx= p k duik, dan is de kromming van de neutrale laag gelijk aan 1 / p k = duik / dx en is constant over de lengte van de balk.

De neutrale laag vervormt niet, de lengte voor en na de vervorming is gelijk aan: dx. Onder deze laag wordt het materiaal uitgerekt, daarboven wordt het samengedrukt.

Rijst. 3.6.

De waarde van de verlenging van de uitgerekte laag, gelegen op een afstand y van de neutrale, is gelijk aan ydq. Relatieve verlenging van deze laag:

In het aangenomen model wordt dus een lineaire verdeling van spanningen verkregen afhankelijk van de afstand van een bepaald elementair volume tot de neutrale laag, d.w.z. langs de hoogte van de balksectie. Ervan uitgaande dat er geen wederzijdse aandrukking van parallelle materiaallagen op elkaar is (o y \u003d 0, a, \u003d 0), schrijven we de wet van Hooke voor lineaire spanning:

Volgens (3.13) worden de normaalspanningen in de dwarsdoorsnede van de balk verdeeld volgens een lineaire wet. De spanning van het elementaire volume van het materiaal, het verst verwijderd van de neutrale laag (Fig. 3.6, v), maximaal en gelijk aan

? Taak 3.6

Bepaal de elastische limiet van een stalen blad met een dikte / = 4 mm en een lengte / = 80 cm, als het buigen in een halve cirkel geen blijvende vervorming veroorzaakt.

Oplossing

Buigspanning o v = EU/ p k. Laten we y max = nemen t/ 2i pk = / / Naar.

De elastische limiet moet overeenkomen met de voorwaarde met yn > c v = 1/2 kE t/1.

Antwoord: ongeveer = ] / 2 tot 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; de vloeigrens van dit staal is een m > 1800 MPa, wat meer is dan een m van de sterkste verenstaalsoorten. ?

? Taak 3.7

Bepaal de minimale straal van de trommel voor het opwikkelen van een band met een dikte / = 0,1 mm van een verwarmingselement gemaakt van een nikkellegering, waarbij het bandmateriaal niet plastisch vervormt. module E= 1,6 10 5 MPa, elastische limiet o yn = 200 MPa.

Antwoord: minimale straal р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m.?

1. Door de eerste evenwichtsvergelijking (3.12) en de spann(3.13) gezamenlijk op te lossen, verkrijgen we:

Betekenis E/ r k f 0 en hetzelfde voor alle elementen dA gebied van integratie. Daarom wordt aan deze gelijkheid alleen voldaan onder de voorwaarde:

Deze integraal heet statisch moment van het dwarsdoorsnede-oppervlak rond de asz? Wat is de fysieke betekenis van deze integraal?

Laten we een plaat met constante dikte / nemen, maar met een willekeurig profiel (Fig. 3.7). Hang dit bord op de punt MET zodat het in een horizontale positie staat. We duiden met het symbool y m het soortelijk gewicht van het materiaal van de plaat aan, dan het gewicht van een elementair volume met een oppervlakte dA gelijk aan dq= ja JdA. Aangezien de plaat in een evenwichtstoestand is, dan van de gelijkheid tot nul van de projecties van krachten op de as Bij we krijgen

waar G= ja MtA- plaatgewicht.

Rijst. 3.7.

De som van de krachtmomenten van alle krachten om de as z passeren in een deel van de plaat is ook gelijk aan nul:

Gezien het feit dat Y c = G, Schrijf op

Dus als een integraal van de vorm J xdA per gebied EEN gelijk aan

nul, dan xc = 0. Dit betekent dat punt C samenvalt met het zwaartepunt van de plaat. Daarom, van de gelijkheid Sz = J ydA= 0 bij

buiging volgt dat het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede van de balk op de neutrale lijn ligt.

Daarom is de waarde ons doorsnede van de balk is nul.

1. De neutrale lijn gaat tijdens het buigen door het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede van de balk.
2. Het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede is het verminderingscentrum van de momenten van externe en interne krachten.

Taak 3.8

Taak 3.9

2. Door de tweede evenwichtsvergelijking (3.12) en de spann(3.13) gezamenlijk op te lossen, verkrijgen we:

Integraal Jz= J y2dA genaamd traagheidsmoment van de transversale

doorsnede van een balk (staaf) ten opzichte van de z-as, door het zwaartepunt van de doorsnede gaan.

Op deze manier, M z \u003d E J z / p k. Gezien het feit dat c x = Ee x = Ey/ pk en E/ pk = een x / ja, we verkrijgen de afhankelijkheid van normale spanningen Oh bij het buigen:

1. De buigspanning op een bepaald snijpunt is niet afhankelijk van de normale elasticiteitsmodulus e, maar hangt af van de geometrische parameter van de doorsnede Jz en afstand Bij van dit punt naar het zwaartepunt van de doorsnede.

2. De maximale buigspanning treedt op in de elementaire volumes, het verst verwijderd van de neutrale lijn (zie Fig. 3.6, v):

waar Wz- weerstandsmoment van de doorsnede om de as Z-

De sterktevoorwaarde bij pure buiging is vergelijkbaar met de sterktevoorwaarde bij lineaire spanning:

waar [ben | - toelaatbare buigspanning.

Het is duidelijk dat de interne volumes van het materiaal, vooral in de buurt van de neutrale as, praktisch niet worden belast (zie Fig. 3.6, v). Dit is in tegenspraak met de eis om het materiaalverbruik van de constructie te minimaliseren. Hieronder worden enkele manieren getoond om deze tegenstrijdigheid te overwinnen.

Bij directe zuivere buiging ontstaat er slechts één krachtfactor in de dwarsdoorsnede van de staaf - het buigmoment M x(Figuur 1). Omdat Q y \u003d dM x / dz \u003d 0, dan M x=const en pure directe buiging kan worden gerealiseerd wanneer de staaf wordt belast met krachtparen die worden uitgeoefend in de eindsecties van de staaf. Sinds het buigend moment M x is per definitie gelijk aan de som van de momenten van interne krachten om de as Oh het is verbonden met normale spanningen door de statische vergelijking die uit deze definitie volgt

Laten we de premissen formuleren van de theorie van zuivere directe buiging van een prismatische staaf. Om dit te doen, analyseren we de vervormingen van een model van een staaf gemaakt van een materiaal met een lage modulus, op het zijoppervlak waarvan een raster van longitudinale en transversale krassen is aangebracht (Fig. 2). Aangezien de transversale risico's, wanneer de staaf wordt gebogen door paren van krachten die in de eindsecties worden uitgeoefend, recht blijven en loodrecht op de gebogen longitudinale risico's, stelt dit ons in staat te concluderen dat vlakdoorsnede hypothesen, die, zoals de oplossing van dit probleem door de methoden van de elasticiteitstheorie laat zien, ophoudt een hypothese te zijn, maar een exact feit wordt - de wet van vlakke secties. Door de verandering in de afstanden tussen de longitudinale risico's te meten, komen we tot de conclusie over de validiteit van de hypothese van niet-druk van de longitudinale vezels.

Orthogonaliteit van longitudinale en transversale krassen voor en na vervorming (als een weerspiegeling van de werking van de wet van vlakke secties) duidt ook op de afwezigheid van verschuivingen, schuifspanningen in de transversale en longitudinale secties van de staaf.

Figuur 1. Verband tussen interne inspanning en stress

Fig. 2. Zuiver buigmodel

Zo wordt zuivere directe buiging van een prismatische staaf gereduceerd tot uniaxiale spanning of samendrukking van longitudinale vezels door spanningen (index G later weggelaten). In dit geval bevindt een deel van de vezels zich in de spanningszone (in figuur 2 zijn dit de onderste vezels), en het andere deel bevindt zich in de compressiezone (bovenste vezels). Deze zones worden gescheiden door een neutrale laag (pp), de lengte niet veranderend, waarbij de spanningen gelijk zijn aan nul. Rekening houdend met de hierboven geformuleerde voorwaarden en ervan uitgaande dat het materiaal van de staaf lineair elastisch is, d.w.z. de wet van Hooke heeft in dit geval de vorm: , we leiden formules af voor de kromming van de neutrale laag (-krommingsstraal) en normale spanningen. We merken eerst op dat de constantheid van de doorsnede van de prismatische staaf en het buigmoment (Mx = const), zorgt voor de constantheid van de kromtestraal van de neutrale laag langs de lengte van de staaf (Fig. 3, een), neutrale laag (n—n) beschreven door een cirkelboog.

Overweeg een prismatische staaf onder omstandigheden van directe zuivere buiging (Fig. 3, a) met een dwarsdoorsnede symmetrisch om de verticale as OE. Deze voorwaarde heeft geen invloed op het eindresultaat (om een rechte bocht mogelijk te maken, het samenvallen van de as Oh met hoofdtraagheidsas van de doorsnede, die de symmetrieas is). As OS zet op de neutrale laag, position van wie vooraf niet bekend.

een) rekenschema, B) spanningen en spanningen

Afb.3. Fragment van een zuivere buiging van een balk

Beschouw een element gesneden uit een staaf met lengte dz, die wordt weergegeven op een schaal met verhoudingen die voor de duidelijkheid zijn vervormd in Fig. 3, B. Aangezien de vervormingen van het element, bepaald door de relatieve verplaatsing van zijn punten, van belang zijn, kan een van de eindsecties van het element als vast worden beschouwd. Gezien de kleinheid nemen we aan dat de punten van de doorsnede, wanneer ze over deze hoek worden geroteerd, niet langs bogen bewegen, maar langs de overeenkomstige raaklijnen.

Laten we de relatieve vervorming van de longitudinale vezel berekenen AB, gescheiden van de neutrale laag door Bij:

Van de gelijkenis van driehoeken C00 1 en 0 1 BB 1 volgt dat

Longitudinale vervorming bleek een lineaire functie te zijn van de afstand tot de neutrale laag, wat een direct gevolg is van de wet van vlakke secties

Deze formule is niet geschikt voor praktisch gebruik, omdat deze twee onbekenden bevat: de kromming van de neutrale laag en de positie van de neutrale as Oh, waarvan de coördinaat wordt geteld j. Om deze onbekenden te bepalen, gebruiken we de evenwichtsvergelijkingen van statica. De eerste drukt de eis uit dat de langskracht gelijk moet zijn aan nul

Uitdrukking (2) in deze vergelijking vervangen

en rekening houdend met dat, krijgen we dat

De integraal aan de linkerkant van deze vergelijking is het statische moment van de staafdoorsnede rond de neutrale as Oh, die alleen ten opzichte van de centrale as gelijk kan zijn aan nul. Daarom is de neutrale as Oh gaat door het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede.

De tweede statische evenwichtsvergelijking is die die normale spanningen relateert aan het buigmoment (dat gemakkelijk kan worden uitgedrukt in termen van externe krachten en daarom als een gegeven waarde wordt beschouwd). Vervanging van de uitdrukking voor in de bundelvergelijking. spanning krijgen we:

en gezien dat waar J x is het belangrijkste centrale traagheidsmoment om de as Oh, voor de kromming van de neutrale laag krijgen we de formule

Afb.4. Normale spanningsverdeling

die voor het eerst werd verkregen door S. Coulomb in 1773. Om de tekenen van het buigend moment te evenaren M x en normale spanningen, wordt het minteken aan de rechterkant van formule (5) geplaatst, aangezien at Mx >0 normale spanningen bij ja>0 blijken samentrekkend te zijn. In praktische berekeningen is het echter handiger om, zonder de formele regel van tekens te volgen, de spanningen modulo te bepalen en het teken volgens de betekenis te plaatsen. Normale spanningen in zuivere buiging van een prismatische staaf zijn een lineaire functie van de coördinaat Bij en de hoogste waarden bereiken in de vezels die het verst verwijderd zijn van de neutrale as (Fig. 4), d.w.z.

Hier wordt de geometrische eigenschap geïntroduceerd , die de afmeting m 3 heeft en wordt genoemd moment van weerstand bij het buigen. Omdat voor een gegeven M x Spanning maximaal? hoe minder hoe meer Wx, moment van weerstand is geometrisch kenmerk van de sterkte van de buiging in dwarsdoorsnede. Laten we voorbeelden geven van het berekenen van de weerstandsmomenten voor de eenvoudigste vormen van doorsneden. Voor een rechthoekige doorsnede (Fig. 5, een) we hebben J x \u003d bh 3 / 12, y max = h/2 en B x = J x /y max = bh 2 /6. Evenzo voor een cirkel (Fig. 5 , een J x =d4 /64, ymax=d/2) we krijgen W x =d3/32, voor een cirkelvormige ringvormige sectie (Fig. 5, v), welke