Om zeker te zijn van meetkundelessen en om problemen met succes op te lossen, volstaat het niet om formules te leren. Allereerst moet je ze begrijpen. Bang zijn, laat staan ​​formules haten, is niet productief. In dit artikel, in een toegankelijke taal, worden verschillende manieren geanalyseerd om het gebied van een trapezium te vinden. Voor een beter begrip van de bijbehorende regels en stellingen zullen we wat aandacht besteden aan de eigenschappen ervan. Dit zal u helpen begrijpen hoe de regels werken en wanneer u bepaalde formules moet toepassen.

Een trapezium definiëren

Wat is dit cijfer in het algemeen? Een trapezium is een veelhoek van vier hoeken met twee evenwijdige zijden. De andere twee zijden van het trapezium kunnen onder verschillende hoeken worden gekanteld. De evenwijdige zijden worden basen genoemd en voor niet-parallelle zijden wordt de naam "zijden" of "dijen" gebruikt. Dergelijke cijfers komen vrij vaak voor in het dagelijks leven. De contouren van de trapezium zijn te zien in de silhouetten van kleding, interieurartikelen, meubels, servies en vele anderen. Het trapezium is van verschillende typen: veelzijdig, gelijkbenig en rechthoekig. We zullen hun typen en eigenschappen later in het artikel in meer detail analyseren.

Trapezium eigenschappen

Laten we even stilstaan ​​bij de eigenschappen van deze figuur. De som van de hoeken aan weerszijden is altijd gelijk aan 180°. Opgemerkt moet worden dat alle hoeken van het trapezium optellen tot 360 °. De trapezium heeft het concept van een middellijn. Als u de middelpunten van de zijden verbindt met een segment, is dit de middelste lijn. Het is aangewezen door m. De middelste lijn heeft belangrijke eigenschappen: hij is altijd evenwijdig aan de basen (we herinneren ons dat de bases ook evenwijdig aan elkaar zijn) en is gelijk aan hun halve som:

Deze definitie moet worden geleerd en begrepen, want het is de sleutel tot het oplossen van veel problemen!

Bij de trapezium kun je altijd de hoogte naar de basis verlagen. Hoogte is een loodlijn, vaak aangeduid met het symbool h, die van elk punt op een basis naar een andere basis of de verlenging ervan wordt getrokken. De middellijn en hoogte helpen u het gebied van de trapezium te vinden. Dergelijke taken komen het meest voor in de cursus meetkunde van de school en komen regelmatig voor tussen de controle- en examenpapieren.

De eenvoudigste formules voor het gebied van een trapezium

Laten we twee van de meest populaire en eenvoudige formules analyseren die worden gebruikt om het gebied van een trapezium te vinden. Het volstaat om de hoogte te vermenigvuldigen met de helft van de som van de basen om gemakkelijk te vinden wat u zoekt:

S = h * (a + b) / 2.

In deze formule duiden a, b de basis van het trapezium aan, h - de hoogte. Om de waarneming te vergemakkelijken, zijn in dit artikel de vermenigvuldigingstekens gemarkeerd met een (*)-symbool in de formules, hoewel het vermenigvuldigingsteken meestal wordt weggelaten in de officiële naslagwerken.

Laten we naar een voorbeeld kijken.

Gegeven: een trapezium met twee basen gelijk aan 10 en 14 cm, de hoogte is 7 cm Wat is de oppervlakte van het trapezium?

Laten we de oplossing voor dit probleem analyseren. Met deze formule moet je eerst de halve som van de basen vinden: (10 + 14) / 2 = 12. De halve som is dus 12 cm. Nu vermenigvuldigen we de halve som met de hoogte: 12 * 7 = 84. Het gezochte is gevonden. Antwoord: het gebied van de trapezium is 84 vierkante meter. cm.

De tweede bekende formule zegt: de oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het product van de middellijn door de hoogte van het trapezium. Dat wil zeggen, het volgt in feite uit het vorige concept van de middellijn: S = m * h.

Diagonalen gebruiken voor berekeningen

Een andere manier om de oppervlakte van een trapezium te vinden is eigenlijk niet zo moeilijk. Het wordt geassocieerd met zijn diagonalen. Volgens deze formule moet je om het gebied te vinden het halfproduct van de diagonalen (d 1 d 2) vermenigvuldigen met de sinus van de hoek ertussen:

S = ½ d 1 d 2 sin A.

Overweeg een probleem dat de toepassing van deze methode laat zien. Gegeven: een trapezium met een diagonale lengte van respectievelijk 8 en 13 cm De hoek a tussen de diagonalen is 30°. Zoek het gebied van het trapezium.

Oplossing. Met behulp van de bovenstaande formule is het gemakkelijk om te berekenen wat nodig is. Zoals je weet, is zonde 30° 0,5. Daarom S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Antwoord: de oppervlakte is 52 m². cm.

We zoeken het gebied van een gelijkbenige trapezium

Het trapezium kan gelijkbenig (gelijkbenig) zijn. De zijkanten zijn hetzelfde EN de hoeken aan de basis zijn gelijk, wat goed wordt geïllustreerd in de afbeelding. Een gelijkbenig trapezium heeft dezelfde eigenschappen als een regulier trapezium, plus een aantal speciale. Een cirkel kan worden beschreven rond een gelijkbenig trapezium en er kan een cirkel in worden ingeschreven.

Wat zijn de methoden om de oppervlakte van zo'n figuur te berekenen? De onderstaande methode vereist veel rekenwerk. Om het te gebruiken, moet u de waarden van de sinus (sin) en cosinus (cos) van de hoek aan de basis van het trapezium kennen. Om ze te berekenen, zijn Bradis-tabellen of een technische rekenmachine vereist. Hier is de formule:

S = C* zonde een*(een - C* dus een),

waar Met- laterale dij, een- hoek aan de onderkant.

Een gelijkbenig trapezium heeft diagonalen van dezelfde lengte. Het omgekeerde is ook waar: als een trapezium gelijke diagonalen heeft, dan is het gelijkbenig. Vandaar dat de volgende formule, die helpt om de oppervlakte van een trapezium te vinden, het halfproduct is van het kwadraat van de diagonalen door de sinus van de hoek ertussen: S = ½ d 2 sin A.

Vind het gebied van een rechthoekige trapezium

Een speciaal geval van een rechthoekig trapezium is bekend. Dit is een trapezium waarbij één zijde (de dij) haaks op de basis aansluit. Het heeft de eigenschappen van een gewone trapezium. Bovendien heeft het een zeer interessante functie. Het verschil tussen de vierkanten van de diagonalen van zo'n trapezium is gelijk aan het verschil tussen de vierkanten van zijn basis. Hiervoor worden alle eerder gegeven methoden voor het berekenen van het gebied gebruikt.

Vindingrijkheid toepassen

Er is één truc die kan helpen bij het vergeten van bepaalde formules. Laten we eens nader bekijken wat een trapezium is. Als we het mentaal in delen verdelen, krijgen we bekende en begrijpelijke geometrische vormen: een vierkant of rechthoek en een driehoek (een of twee). Als u de hoogte en zijkanten van de trapezium kent, kunt u de formules voor het gebied van een driehoek en een rechthoek gebruiken en vervolgens alle resulterende waarden toevoegen.

Laten we dit illustreren met het volgende voorbeeld. U krijgt een rechthoekig trapezium. Hoek C = 45°, hoeken A, D zijn 90°. De bovenste basis van het trapezium is 20 cm, de hoogte is 16 cm, het is nodig om het gebied van de figuur te berekenen.

Deze figuur bestaat uiteraard uit een rechthoek (als de twee hoeken 90 ° zijn) en een driehoek. Omdat het trapezium rechthoekig is, is de hoogte gelijk aan de zijkant, dat wil zeggen 16 cm.We hebben een rechthoek met zijden van respectievelijk 20 en 16 cm. Beschouw nu een driehoek waarvan de hoek 45° is. We weten dat een zijde ervan 16 cm is, aangezien deze zijde tegelijkertijd de hoogte is van de trapezium (en we weten dat de hoogte in een rechte hoek naar de basis daalt), daarom is de tweede hoek van de driehoek 90 °. De resterende hoek van de driehoek is dus 45°. Als gevolg hiervan krijgen we een rechthoekige gelijkbenige driehoek met twee gelijke zijden. Dit betekent dat de andere kant van de driehoek gelijk is aan de hoogte, dat wil zeggen 16 cm. Het blijft om het gebied van de driehoek en rechthoek te berekenen en de resulterende waarden toe te voegen.

De oppervlakte van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de helft van het product van zijn benen: S = (16 * 16) / 2 = 128. De oppervlakte van een rechthoek is gelijk aan het product van zijn breedte en lengte: S = 20 * 16 = 320. We vonden het vereiste: het gebied van de trapezium S = 128 + 320 = 448 sq. Zie je, je kunt jezelf gemakkelijk dubbelchecken met behulp van de bovenstaande formules, het antwoord zal identiek zijn.

De formule van Pick gebruiken

Ten slotte presenteren we nog een originele formule die helpt om het gebied van een trapezium te vinden. Het wordt de formule van Pick genoemd. Het is handig om het te gebruiken wanneer het trapezium op geruit papier is getekend. Soortgelijke taken zijn vaak terug te vinden in de materialen van de GIA. Het ziet er zo uit:

S = M / 2 + N - 1,

in deze formule is M het aantal knopen, d.w.z. de snijpunten van de lijnen van de figuur met de lijnen van de cellen op de randen van de trapezium (oranje punten in de figuur), N is het aantal knopen binnen de figuur (blauwe punten). Het is het handigst om het te gebruiken bij het vinden van het gebied van een onregelmatige veelhoek. Desalniettemin, hoe groter het arsenaal aan gebruikte technieken, hoe minder fouten en hoe beter de resultaten.

Natuurlijk zijn de soorten en eigenschappen van het trapezium niet uitputtend in de gegeven informatie, evenals de methoden om het gebied te vinden. Dit artikel geeft een overzicht van de belangrijkste kenmerken. Bij het oplossen van geometrische problemen is het belangrijk om geleidelijk te handelen, te beginnen met eenvoudige formules en problemen, om het begrip consequent te consolideren en naar een ander niveau van complexiteit te gaan.

Door de meest voorkomende formules samen te stellen, kunnen studenten op verschillende manieren navigeren om het gebied van een trapezium te berekenen en zich beter voor te bereiden op tests en tests over dit onderwerp.

Het veelzijdige trapezium ... Het kan willekeurig, gelijkbenig of rechthoekig zijn. En in elk geval moet u weten hoe u het gebied van de trapezium kunt vinden. Natuurlijk zijn de basisformules het gemakkelijkst te onthouden. Maar soms is het gemakkelijker om degene te gebruiken die is afgeleid, rekening houdend met alle kenmerken van een bepaalde geometrische figuur.

Een paar woorden over de trapezium en zijn elementen

Elke vierhoek met twee parallelle zijden kan een trapezium worden genoemd. Over het algemeen zijn ze niet gelijk en worden ze basen genoemd. De grotere is de onderste en de andere is de bovenste.

De andere twee zijden zijn zijwaarts. Voor een willekeurig trapezium hebben ze verschillende lengtes. Als ze gelijk zijn, wordt de figuur gelijkbenig.

Als plotseling de hoek tussen een zijde en de basis gelijk blijkt te zijn aan 90 graden, dan is het trapezium rechthoekig.

Al deze functies kunnen helpen bij het oplossen van het probleem van het vinden van het gebied van een trapezium.

Onder de elementen van de figuur die onmisbaar kunnen zijn bij het oplossen van problemen, kunnen we het volgende onderscheiden:

• hoogte, dat wil zeggen een segment loodrecht op beide bases;
• de middelste lijn, die aan de uiteinden de middelpunten van de laterale zijden heeft.

Wat is de formule om de oppervlakte te berekenen als de basis en hoogte bekend zijn?

Deze uitdrukking wordt als de belangrijkste gegeven, omdat u deze waarden meestal kunt achterhalen, zelfs als ze niet expliciet worden gegeven. Dus om te begrijpen hoe je het gebied van een trapezium kunt vinden, moet je beide basen toevoegen en ze in twee delen. Vermenigvuldig vervolgens de resulterende waarde met de hoogtewaarde.

Als we de bases aanduiden met de letters a 1 en a 2, de hoogte - n, dan ziet de formule voor het gebied er als volgt uit:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * n.

De formule waarmee het gebied wordt berekend als de hoogte en middellijn worden gegeven

Als je goed naar de vorige formule kijkt, zul je gemakkelijk merken dat er duidelijk een middellijnwaarde in zit. Namelijk de som van de basen gedeeld door twee. Laat de middelste lijn worden aangeduid met de letter l, dan ziet de formule voor het gebied er als volgt uit:

S = l * n.

De mogelijkheid om het gebied te vinden door diagonalen

Deze methode helpt als u de hoek kent die ze vormen. Stel dat de diagonalen worden aangegeven met de letters d 1 en d 2, en de hoeken ertussen zijn α en β. Vervolgens wordt de formule voor het vinden van het gebied van een trapezium als volgt geschreven:

S = ((q 1 * q 2) / 2) * sin α.

In deze uitdrukking kun je α gemakkelijk vervangen door β. Het resultaat zal niet veranderen.

Hoe het gebied te achterhalen als alle zijden van de figuur bekend zijn?

Er zijn ook situaties waarin de zijkanten in deze figuur bekend zijn. Deze formule is omslachtig en moeilijk te onthouden. Maar waarschijnlijk. Laat de zijkanten de aanduiding hebben: bij 1 en bij 2 is de basis van een 1 groter dan een 2. De oppervlakteformule ziet er dan als volgt uit:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Methoden voor het berekenen van het gebied van een gelijkbenige trapezium

De eerste hangt samen met het feit dat er een cirkel in kan worden ingeschreven. En als u de straal kent (deze wordt aangegeven met de letter r), evenals de hoek aan de basis - γ, kunt u de volgende formule gebruiken:

S = (4 * r 2) / sin γ.

De laatste algemene formule, die gebaseerd is op kennis van alle zijden van de figuur, zal sterk vereenvoudigd worden omdat de zijden dezelfde betekenis hebben:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (b 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Methoden voor het berekenen van de oppervlakte van een rechthoekige trapezium

Het is duidelijk dat elk van bovenstaande geschikt is voor een willekeurig cijfer. Maar soms is het handig om één kenmerk van zo'n trapezium te kennen. Het bestaat uit het feit dat het verschil tussen de vierkanten van de lengtes van de diagonalen gelijk is aan het verschil dat bestaat uit de vierkanten van de basis.

Vaak worden de formules voor het trapezium vergeten, terwijl de uitdrukkingen voor de gebieden van de rechthoek en driehoek worden onthouden. Dan kan een eenvoudige manier worden toegepast. Verdeel het trapezium in twee vormen als het rechthoekig is, of drie. De ene zal zeker een rechthoek zijn en de tweede, of de andere twee, zullen driehoeken zijn. Na het berekenen van de oppervlakten van deze figuren, hoeft u ze alleen nog maar op te tellen.

Dit is een vrij eenvoudige manier om het gebied van een rechthoekig trapezium te vinden.

Wat als de coördinaten van de hoekpunten van het trapezium bekend zijn?

In dit geval moet u een uitdrukking gebruiken waarmee u de afstand tussen punten kunt bepalen. Het kan drie keer worden toegepast: om zowel de basis als één hoogte te vinden. En pas dan gewoon de eerste formule toe, die hierboven is beschreven.

Om een ​​dergelijke methode te illustreren, kan het volgende voorbeeld worden gegeven. Vertices met coördinaten A (5; 7), B (8; 7), C (10; 1), D (1; 1) worden gegeven. U moet het gebied van de figuur weten.

Voordat u het gebied van de trapezium vindt, moet u de lengtes van de bases uit de coördinaten berekenen. Je hebt de volgende formule nodig:

segmentlengte = √ ((verschil van de eerste coördinaten van punten) 2 + (verschil van tweede coördinaten van punten) 2).

De bovenste basis wordt AB genoemd, wat betekent dat de lengte gelijk zal zijn aan √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Onder - SD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2) = √81 = 9.

Nu moeten we de hoogte van boven naar beneden tekenen. Laat het begin zijn in punt A. Het einde van het segment zal op de onderste basis zijn op het punt met coördinaten (5; 1), laat het punt H zijn. De lengte van het segment AH zal gelijk zijn aan √ ((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Het blijft alleen om de resulterende waarden in de formule voor het trapeziumgebied te vervangen:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Het probleem werd opgelost zonder meeteenheden, omdat de schaal van het coördinatenraster niet was gespecificeerd. Het kan een millimeter of een meter zijn.

Voorbeelden van taken

Nr. 1. Conditie. De hoek tussen de diagonalen van een willekeurig trapezium is bekend, deze is gelijk aan 30 graden. De kleinere diagonaal heeft een waarde van 3 dm en de tweede is 2 keer groter dan deze. Het is noodzakelijk om het gebied van het trapezium te berekenen.

Oplossing. Eerst moet je de lengte van de tweede diagonaal weten, want zonder deze is het niet mogelijk om het antwoord te tellen. Het is niet moeilijk om het te berekenen, 3 * 2 = 6 (dm).

Nu moeten we een geschikte formule voor het gebied gebruiken:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Het probleem is opgelost.

Antwoord: het gebied van het trapezium is 4,5 dm 2.

Nr. 2. Conditie. In het trapezium van AVSD zijn de bases de segmenten van bloeddruk en BC. Punt E is het midden van de SD-zijde. Hieruit wordt een loodlijn getrokken op lijn AB, het einde van dit segment wordt aangeduid met de letter N. Het is bekend dat de lengtes AB en EH respectievelijk 5 en 4 cm zijn. Het is noodzakelijk om het gebied van ​​te berekenen het trapezium.

Oplossing. Eerst moet je een tekening maken. Omdat de waarde van de loodlijn kleiner is dan de zijde waarnaar deze wordt getrokken, zal het trapezium iets naar boven toe verlengd zijn. Dus EH zal binnen de figuur zijn.

Om de voortgang van het oplossen van het probleem duidelijk te zien, moet u extra constructie uitvoeren. Teken namelijk een rechte lijn die evenwijdig is aan de AB-zijde. De snijpunten van deze rechte met HEL zijn P, en met het vervolg van BC - X. De resulterende figuur ВХРА is een parallellogram. Bovendien is het gebied gelijk aan het vereiste. Dit komt door het feit dat de verkregen driehoeken met de extra constructie gelijk zijn. Dit volgt uit de gelijkheid van de zijde en de twee aangrenzende hoeken, de ene is verticaal, de andere is kriskras.

U kunt het gebied van een parallellogram vinden met behulp van een formule die het product van de zijkant en de hoogte die erop valt, bevat.

Het gebied van het trapezium is dus 5 * 4 = 20 cm 2.

Antwoord: S = 20cm2.

Nr. 3. Conditie. Elementen van een gelijkbenig trapezium hebben de volgende betekenissen: onderste basis - 14 cm, bovenste - 4 cm, scherpe hoek - 45º. Je moet de oppervlakte berekenen.

Oplossing. Laat de kleinere basis BC worden genoemd. De hoogte die vanaf punt B wordt getrokken, wordt BH genoemd. Aangezien de hoek 45º is, zal de driehoek ABN rechthoekig en gelijkbenig blijken te zijn. Dus AH = BH. En NA is heel gemakkelijk te vinden. Het is gelijk aan de helft van het verschil in basen. Dat is (14 - 4) / 2 = 10/2 = 5 (cm).

De bases zijn bekend, de hoogte wordt berekend. U kunt de eerste formule gebruiken, die hier werd overwogen voor een willekeurig trapezium.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm2).

Antwoord: De benodigde oppervlakte is 45 cm2.

Nr. 4. Conditie. Er is een willekeurige trapezium AVSD. Aan de zijkanten zijn de punten O en E genomen, zodat OE evenwijdig is aan de basis van de bloeddruk. Het oppervlak van het AOED-trapezium is vijf keer groter dan dat van de CFE. Bereken de OE-waarde als de basislengtes bekend zijn.

Oplossing. U moet twee evenwijdige rechte AB-lijnen tekenen: de eerste door punt C, het snijpunt met OE - punt T; de tweede door E en het snijpunt met de bloeddruk is M.

Laat de onbekende OE = x. De hoogte van de kleinere trapeziumvormige OVSE - n 1, de grotere AOED - n 2.

Aangezien de oppervlakten van deze twee trapezoïden gerelateerd zijn als 1 tot 5, kunnen we de volgende gelijkheid schrijven:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

De hoogten en zijden van de driehoeken zijn proportioneel in constructie. Daarom kan nog een gelijkheid worden geschreven:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

In de laatste twee items aan de linkerkant staan ​​gelijke waarden, wat betekent dat je kunt schrijven dat (x + a 1) / (5 (x + a 2)) gelijk is aan (x - a 2) / (a ​​​​1 -x).

Hier zijn een aantal transformaties voor nodig. Vermenigvuldig eerst kruiselings. Er verschijnen haakjes die het verschil van de vierkanten aangeven, na het toepassen van deze formule krijg je een korte vergelijking.

Daarin moet je de haakjes openen en alle termen van de onbekende "x" naar links verplaatsen en vervolgens de vierkantswortel extraheren.

Antwoord: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

De praktijk van de USE en GIA van vorig jaar laat zien dat geometrieproblemen voor veel schoolkinderen problemen veroorzaken. Je kunt ze gemakkelijk aan als je alle benodigde formules uit je hoofd leert en oefent met het oplossen van problemen.

In dit artikel ziet u formules voor het vinden van het gebied van een trapezium, evenals voorbeelden van problemen met oplossingen. Je kunt dezelfde vinden in KIM's bij certificeringsexamens of bij olympiades. Behandel ze daarom zorgvuldig.

Wat u moet weten over een trapezium?

Laten we dat eerst onthouden trapezium een vierhoek genoemd, die twee tegenoverliggende zijden heeft, ze worden ook basen genoemd, zijn evenwijdig en de andere twee niet.

De hoogte kan ook in het trapezium (loodrecht op de basis) worden verlaagd. De middelste lijn wordt getrokken - dit is een rechte lijn die evenwijdig is aan de basis en gelijk is aan de helft van hun som. En ook diagonalen, die elkaar kunnen kruisen en scherpe en stompe hoeken vormen. Of, in sommige gevallen, in een rechte hoek. Als het trapezium gelijkbenig is, kan er bovendien een cirkel in worden ingeschreven. En beschrijf er een cirkel omheen.

Oppervlakteformules voor een trapezium

Overweeg om te beginnen de standaardformules voor het vinden van het gebied van een trapezium. We zullen manieren overwegen om het gebied van gelijkbenige en gebogen trapeziums hieronder te berekenen.

Stel je dus voor dat je een trapezium hebt met basen a en b, waarbij de hoogte h is verlaagd naar de grotere basis. Het berekenen van het gebied van de figuur is in dit geval net zo eenvoudig als het pellen van peren. Je hoeft alleen de som van de lengtes van de basen door twee te delen en te vermenigvuldigen wat je krijgt met de hoogte: S = 1/2 (a + b) * h.

Laten we een ander geval nemen: stel dat in het trapezium behalve de hoogte ook de middelste lijn m wordt getekend. We kennen de formule om de lengte van de middellijn te vinden: m = 1/2 (a + b). Daarom kunnen we de formule voor het gebied van een trapezium terecht vereenvoudigen tot de volgende vorm: S = m * h... Met andere woorden, om het gebied van een trapezium te vinden, moet u de middellijn vermenigvuldigen met de hoogte.

Overweeg een andere optie: in het trapezium worden diagonalen d 1 en d 2 getekend, die elkaar niet onder een rechte hoek α snijden. Om het gebied van zo'n trapezium te berekenen, moet je het product van de diagonalen door twee delen en het resultaat vermenigvuldigen met de sin van de hoek ertussen: S = 1 / 2d 1 d 2 * sinα.

Overweeg nu de formule voor het vinden van het gebied van een trapezium als er niets over bekend is, behalve de lengtes van al zijn zijden: a, b, c en d. Dit is een omslachtige en complexe formule, maar het is handig voor u om deze te onthouden, voor het geval dat: S = 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Trouwens, de bovenstaande voorbeelden zijn ook waar voor het geval je de formule nodig hebt voor het gebied van een rechthoekig trapezium. Dit is een trapezium waarvan de zijde haaks op de bases aansluit.

gelijkbenige trapezium

Een trapezium waarvan de zijden gelijk zijn, wordt gelijkbenig genoemd. We zullen verschillende opties overwegen voor de formule voor het gebied van een gelijkbenig trapezium.

De eerste optie: voor het geval dat een cirkel met een straal r is ingeschreven in het gelijkbenige trapezium, en de zijkant en de grotere basis een scherpe hoek vormen. Een cirkel kan ingeschreven worden in een trapezium, op voorwaarde dat de som van de lengtes van de basis gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden.

De oppervlakte van een gelijkbenig trapezium wordt als volgt berekend: vermenigvuldig het kwadraat van de straal van de ingeschreven cirkel met vier en deel het geheel door sinα: S = 4r 2 / sinα... Een andere oppervlakteformule is een speciaal geval voor het geval dat de hoek tussen de grote basis en de zijkant 30 0 is: S = 8r 2.

De tweede optie: deze keer nemen we een gelijkbenige trapezium, waarin bovendien de diagonalen d 1 en d 2 zijn getekend, evenals de hoogte h. Als de diagonalen van het trapezium onderling loodrecht staan, is de hoogte de helft van de som van de basen: h = 1/2 (a + b). Dit wetende, is het gemakkelijk om de al bekende formule voor het gebied van een trapezium om te zetten in de volgende vorm: S = h2.

Formule voor het gebied van een gebogen trapezium

Laten we beginnen met te kijken naar wat een gebogen trapezium is. Stel je een coördinatenas en een grafiek voor van een continue en niet-negatieve functie f die niet van teken verandert binnen een bepaald segment op de x-as. Een kromlijnig trapezium wordt gevormd door de grafiek van de functie y = f (x) - bovenaan de x-as - onderaan (segment), en aan de zijkanten - door rechte lijnen getrokken tussen de punten a en b en de grafiek van de functie.

Het is onmogelijk om het gebied van een dergelijke niet-standaard vorm te berekenen met behulp van de bovenstaande methoden. Hier moet je wiskundige analyse toepassen en de integraal gebruiken. Namelijk: de Newton-Leibniz formule - S = ∫ b a f (x) dx = F (x) │ b a = F (b) - F (a)... In deze formule is F de primitieve van onze functie op het geselecteerde segment. En het gebied van het kromlijnige trapezium komt overeen met de toename van het antiderivaat op een bepaald segment.

Voorbeelden van taken

Om al deze formules beter in je hoofd te laten passen, volgen hier enkele voorbeelden van problemen bij het vinden van het gebied van een trapezium. Het is het beste als u eerst de problemen zelf probeert op te lossen en pas daarna het ontvangen antwoord met de kant-en-klare oplossing controleert.

Taak nummer 1: Gegeven een trapezium. De grotere basis is 11 cm, de kleinere is 4 cm. In het trapezium zijn diagonalen getekend, de ene 12 cm lang, de andere 9 cm.

Oplossing: Construeer een trapeziumvormig AMRS. Trek lijn PX door hoekpunt P zodat deze evenwijdig aan de MC-diagonaal blijkt te zijn en lijn AC snijdt in punt X. Je krijgt een driehoek ARX.

We zullen twee figuren beschouwen die zijn verkregen als resultaat van deze manipulaties: de ARX-driehoek en het CMRX-parallellogram.

Dankzij het parallellogram leren we dat PX = MC = 12 cm en CX = MR = 4 cm. Waar kunnen we de zijde AX van driehoek ARX berekenen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

We kunnen ook bewijzen dat de driehoek ARX rechthoekig is (pas hiervoor de stelling van Pythagoras toe - AX 2 = AR 2 + PX 2). En bereken de oppervlakte: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Vervolgens moet je bewijzen dat driehoeken AMP en PCX gelijk zijn. De basis is de gelijkheid van de zijden МР en СХ (reeds hierboven bewezen). En ook de hoogten die je aan deze zijden verlaagt - ze zijn gelijk aan de hoogte van het AMRS-trapezium.

Dit alles stelt u in staat om te beweren dat S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Taak nummer 2: Gegeven een trapeziumvormige KRMS. De punten O en E bevinden zich aan de zijkanten, terwijl OE en KC evenwijdig zijn. Ook is bekend dat de oppervlakten van de trapeziums ORME en OCE in een verhouding van 1:5 zijn. PM = a en KC = b. Het is vereist om OE te vinden.

Oplossing: Trek een rechte lijn door punt M, evenwijdig aan de RC, en wijs het snijpunt met OE aan door T. A - het snijpunt van een rechte lijn getrokken door punt E evenwijdig aan de RC, met de basis van de agent.

Laten we nog een notatie introduceren - OE = x. En ook de hoogte h 1 voor de TME-driehoek en de hoogte h 2 voor de AEC-driehoek (je kunt de overeenkomst van deze driehoeken onafhankelijk bewijzen).

We nemen aan dat b> a. De oppervlakten van de trapeziums ORME en OKSE zijn gerelateerd als 1: 5, wat ons het recht geeft om de volgende vergelijking op te stellen: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Laten we transformeren en krijgen: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Aangezien driehoeken TME en AEC gelijkvormig zijn, hebben we h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Combineer beide records en krijg: (x - a) / (b - x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) = (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) = (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Dus OE = x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Gevolgtrekking

Meetkunde is niet de gemakkelijkste wetenschap, maar je kunt de examentaken zeker aan. Het volstaat om een ​​beetje doorzettingsvermogen te tonen in de voorbereiding. En onthoud natuurlijk alle benodigde formules.

We hebben geprobeerd alle formules voor het berekenen van het gebied van een trapezium op één plek te verzamelen, zodat u ze kunt gebruiken wanneer u zich voorbereidt op examens en het materiaal bekijkt.

Zorg ervoor dat je dit artikel deelt met je klasgenoten en vrienden op sociale netwerken. Laat er maar meer goede cijfers komen voor het Eengemaakt Staatsexamen en de Staatsexamendienst!

blog.site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal, is een link naar de bron vereist.

EN . Nu kunt u beginnen na te denken over hoe u het gebied van een trapezium kunt vinden. Deze taak in het dagelijks leven komt zeer zelden voor, maar soms blijkt het bijvoorbeeld nodig te zijn om het gebied van een kamer te vinden in de vorm van een trapezium, die steeds vaker wordt gebruikt bij de bouw van moderne appartementen, of in renovatieprojecten ontwerpen.

Een trapezium is een geometrische figuur gevormd door vier elkaar kruisende lijnsegmenten, waarvan er twee evenwijdig aan elkaar zijn en de basis van het trapezium worden genoemd. De andere twee segmenten worden de zijkanten van het trapezium genoemd. Daarnaast zal nog een definitie nuttig zijn in wat volgt. Dit is de middelste lijn van het trapezium, een lijnsegment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt met de hoogte van het trapezium, wat gelijk is aan de afstand tussen de basissen.
Net als driehoeken heeft een trapezium bepaalde aanzichten in de vorm van een gelijkbenig (gelijkbenig) trapezium, waarbij de lengtes van de zijden hetzelfde zijn, en een rechthoekig trapezium, waarbij een van de zijden een rechte hoek vormt met de basis.

Trapeziums hebben een aantal interessante eigenschappen:

1. De middelste lijn van het trapezium is gelijk aan de halve som van de basen en loopt er evenwijdig aan.
   
2. In gelijkbenige trapezoïden zijn de zijden en hoeken die ze vormen met de basis gelijk.
   
3. De middelpunten van de diagonalen van het trapezium en het snijpunt van zijn diagonalen liggen op dezelfde rechte lijn.
   
4. Als de som van de zijden van het trapezium gelijk is aan de som van de basen, dan kan er een cirkel in worden ingeschreven
   
5. Als de som van de hoeken gevormd door de zijden van een trapezium op een van zijn bases 90 is, dan is de lengte van het segment dat de middelpunten van de bases verbindt gelijk aan hun halve verschil.
   
6. Een gelijkbenig trapezium kan worden beschreven door een cirkel. En vice versa. Als het trapezium in een cirkel past, is het gelijkbenig.
   
7. Het segment dat door de middelpunten van de basis van een gelijkbenig trapezium gaat, staat loodrecht op de basis en vertegenwoordigt de symmetrie-as.
   

Hoe het gebied van een trapezium te vinden.

Het gebied van de trapezium is gelijk aan de halve som van de bases vermenigvuldigd met de hoogte. In de vorm van een formule wordt dit geschreven in de vorm van een uitdrukking:

waarbij S het gebied van het trapezium is, a, b de lengte is van elk van de bases van het trapezium, h is de hoogte van het trapezium.

U kunt deze formule als volgt begrijpen en onthouden. Zoals uit de onderstaande figuur blijkt, kan een trapezium met behulp van de middellijn worden omgezet in een rechthoek waarvan de lengte gelijk zal zijn aan de halve som van de basissen.

Je kunt ook elke trapezium ontbinden in eenvoudigere vormen: een rechthoek en een of twee driehoeken, en als het gemakkelijker voor je is, zoek dan de oppervlakte van de trapezium als de som van de oppervlakten van de samenstellende figuren.

Er is nog een eenvoudige formule om de oppervlakte te berekenen. Volgens deze is het gebied van het trapezium gelijk aan het product van de middellijn door de hoogte van het trapezium en wordt het geschreven als: S = m * h, waarbij S het gebied is, m de lengte van de middellijn, h is de hoogte van het trapezium. Deze formule is meer geschikt voor problemen in de wiskunde dan voor alledaagse problemen, omdat je in reële omstandigheden de lengte van de middellijn niet weet zonder voorafgaande berekeningen. En je weet alleen de lengtes van de basis en zijkanten.

In dit geval kan het gebied van het trapezium worden gevonden met de formule:

S = ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2/2 (b-a)) 2

waarbij S het gebied is, a, b de bases zijn, c, d de zijkanten van het trapezium.

Er zijn nog verschillende manieren om het gebied van een trapezium te vinden. Maar ze zijn ongeveer net zo onhandig als de laatste formule, wat betekent dat het geen zin heeft om er bij stil te staan. Daarom raden we u aan de eerste formule uit het artikel te gebruiken en we willen altijd nauwkeurige resultaten krijgen.

Trapezium gebied. De groeten! In dit bericht zullen we de gespecificeerde formule bekijken. Waarom is ze precies hetzelfde en hoe haar te begrijpen. Als er begrip is, hoef je het niet te leren. Als je alleen deze formule wilt zien en wat dringend is, dan kun je meteen naar beneden scrollen op de pagina))

Nu in detail en in orde.

Een trapezium is een vierhoek, twee zijden van deze vierhoek zijn evenwijdig, de andere twee niet. Degenen die niet parallel zijn, zijn de basis van het trapezium. De andere twee worden kanten genoemd.

Als de zijden gelijk zijn, wordt het trapezium gelijkbenig genoemd. Als een van de zijkanten loodrecht op de basis staat, wordt zo'n trapezium rechthoekig genoemd.

In de klassieke vorm wordt het trapezium als volgt afgebeeld: de grotere basis bevindt zich respectievelijk onderaan, de kleinere bovenaan. Maar niemand verbiedt haar te portretteren en vice versa. Dit zijn de schetsen:

Het volgende belangrijke concept.

De middellijn van de trapezium is het lijnsegment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt. De middelste lijn is evenwijdig aan de basis van het trapezium en is gelijk aan hun halve som.

Laten we nu dieper graven. Waarom is het zo?

Overweeg een trapezium met bases a en b en met de middelste lijn ik, en we zullen enkele aanvullende constructies uitvoeren: trek rechte lijnen door de basissen en loodlijnen door de uiteinden van de middellijn totdat ze de basis kruisen:

* Letteraanduidingen van hoekpunten en andere punten zijn niet bewust ingevoerd om onnodige aanduidingen te voorkomen.

Kijk, driehoeken 1 en 2 zijn gelijk in het tweede teken van gelijkheid van driehoeken, driehoeken 3 en 4 zijn hetzelfde. De gelijkheid van de driehoeken impliceert de gelijkheid van de elementen, namelijk de benen (ze zijn respectievelijk in blauw en rood aangegeven).

Nu aandacht! Als we mentaal het blauwe en rode segment van de onderste basis "afsnijden", dan hebben we een segment (dit is de zijde van de rechthoek) gelijk aan de middellijn. Verder, als we de afgesneden blauwe en rode lijn "lijmen" aan de bovenste basis van het trapezium, dan krijgen we ook een segment (dit is ook de zijkant van de rechthoek) gelijk aan de middelste lijn van het trapezium.

Begrepen? Het blijkt dat de som van de basen gelijk zal zijn aan de twee middelste lijnen van het trapezium:

Zie een andere uitleg

Laten we het volgende doen - bouw een rechte lijn die door de onderste basis van de trapezium gaat en een rechte lijn die door de punten A en B gaat:

We krijgen driehoeken 1 en 2, ze zijn gelijk aan de zijde en de aangrenzende hoeken (het tweede teken van gelijkheid van driehoeken). Dit betekent dat het resulterende segment (in de schets is dit blauw aangegeven) gelijk is aan de bovenste basis van het trapezium.

Beschouw nu de driehoek:

* De middellijn van deze trapezium en de middellijn van de driehoek vallen samen.

Het is bekend dat een driehoek gelijk is aan de helft van zijn parallelle basis, dat wil zeggen:

Oké, heb het geregeld. Nu over het gebied van het trapezium.

Formule trapeziumoppervlak:

Ze zeggen: de oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het product van de halve som van de bases en de hoogte.

Dat wil zeggen, het blijkt dat het gelijk is aan het product van de middellijn en de hoogte:

Je hebt waarschijnlijk al gemerkt dat dit duidelijk is. Geometrisch kan dit als volgt worden uitgedrukt: als we driehoeken 2 en 4 mentaal afsnijden van het trapezium en ze respectievelijk op driehoeken 1 en 3 plaatsen:

Dan krijgen we een rechthoek in oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van onze trapezium. Het gebied van deze rechthoek is gelijk aan het product van de middellijn en de hoogte, dat wil zeggen, we kunnen schrijven:

Maar het gaat hier natuurlijk niet om de opname, maar om het begrijpen.

Download (bekijk) artikelmateriaal in *pdf formaat

Dat is alles. Succes voor jou!

Met vriendelijke groet, Alexander.