De coördinatenmethode is een zeer efficiënte en veelzijdige manier om hoeken of afstanden tussen stereometrische objecten in de ruimte te vinden. Als je wiskundeleraar hooggekwalificeerd is, zou hij dit moeten weten. Anders zou ik adviseren voor het "C"-gedeelte om de tutor te veranderen. Mijn voorbereiding op het examen wiskunde C1-C6 omvat meestal een analyse van de hieronder beschreven basisalgoritmen en formules.

Hoek tussen lijnen a en b

De hoek tussen lijnen in de ruimte is de hoek tussen alle elkaar evenwijdige kruisende lijnen. Deze hoek is gelijk aan de hoek tussen de richtingsvectoren van deze lijnen (of vult deze aan tot 180 graden).

Welk algoritme gebruikt de wiskundeleraar om de hoek te vinden?

1) Kies een vector en met richtingen van lijnen a en b (parallel daaraan).
2) We bepalen de coördinaten van de vectoren en door de overeenkomstige coördinaten van hun begin en einde (de coördinaten van het begin moeten worden afgetrokken van de coördinaten van het einde van de vector).
3) We vervangen de gevonden coördinaten in de formule:
. Om de hoek zelf te vinden, moet je de boogcosinus van het resultaat vinden.

Normaal naar vliegtuig

Een normaal op een vlak is elke vector die loodrecht op dat vlak staat.
Hoe het normaal te vinden? Om de coördinaten van de normaal te vinden, volstaat het om de coördinaten te kennen van drie willekeurige punten M, N en K die in het gegeven vlak liggen. Met behulp van deze coördinaten vinden we de coördinaten van de vectoren en eisen dat aan de voorwaarden wordt voldaan. Door het scalaire product van vectoren gelijk te stellen aan nul, stellen we een systeem van vergelijkingen samen met drie variabelen, waaruit we de coördinaten van de normaal kunnen vinden.

Opmerking van de wiskundeleraar : Het is niet nodig om het systeem volledig op te lossen, omdat het voldoende is om minimaal één normaal te kiezen. Om dit te doen, kunt u een willekeurig getal (bijvoorbeeld één) vervangen in plaats van een van de onbekende coördinaten en een stelsel van twee vergelijkingen oplossen met de resterende twee onbekenden. Als het geen oplossingen heeft, betekent dit dat er in de familie van normalen niemand is die een eenheid heeft voor de geselecteerde variabele. Vervang dan een voor een andere variabele (een andere coördinaat) en los een nieuw systeem op. Als je opnieuw mist, heeft je normaal een eenheid op de laatste coördinaat, en het zal parallel blijken te zijn aan een of ander coördinatenvlak (in dit geval is het gemakkelijk te vinden zonder een systeem).

Laten we zeggen dat we een lijn en een vlak krijgen met de coördinaten van de richtingsvector en de normaal
De hoek tussen een rechte lijn en een vlak wordt berekend met de volgende formule:

Laat en zijn twee normaalwaarden voor de gegeven vlakken. Dan is de cosinus van de hoek tussen de vlakken gelijk aan de modulus van de cosinus van de hoek tussen de normalen:

Vergelijking van een vliegtuig in de ruimte

Punten die voldoen aan de gelijkheid vormen een vlak met de normaal. De coëfficiënt is verantwoordelijk voor de hoeveelheid afwijking (parallelle verschuiving) tussen twee vlakken met dezelfde gegeven normaal. Om de vergelijking van een vlak te schrijven, moet je eerst zijn normaal vinden (zoals hierboven beschreven), en dan de coördinaten van een willekeurig punt op het vlak, samen met de coördinaten van de gevonden normaal, in de vergelijking vervangen en de coëfficiënt vinden .

Lestoets meetkunde in leerjaar 11

Onderwerp: " Methode van coördinaten in de ruimte".

Doel: Controleer de theoretische kennis van studenten, hun vaardigheden en capaciteiten om deze kennis toe te passen bij het oplossen van problemen op vector, vector-coördinaat manieren.

Taken:

1 Voorwaarden scheppen voor beheersing (zelfbeheersing, onderlinge beheersing) van de assimilatie van kennis en vaardigheden.

2. Ontwikkel wiskundig denken, spraak, aandacht.

3. Om activiteit, mobiliteit, het vermogen om te communiceren, de algemene cultuur van studenten te bevorderen.

Gedragsformulier: werk in groepen.

Apparatuur en informatiebronnen: scherm, multimediaprojector, spreadsheet, creditcards, tests.

Tijdens de lessen

1. Mobiliserend moment.

Les met MVO; studenten worden verdeeld in 3 dynamische groepen, waarin studenten met een acceptabel, optimaal en gevorderd niveau. Elke groep heeft een coördinator die het werk van de hele groep aanstuurt.

2 . Zelfbeschikking van studenten op basis van anticipatie.

Taak:doelen stellen volgens het schema: onthouden-leren-kunnen.

Toelatingstest - Vul de lege plekken in (op afdrukken)

toelatingsproef

De gaten opvullen…

1. Er worden drie paarsgewijze loodrechte lijnen door een punt in de ruimte getrokken

wij, op elk van hen, worden de richting en meeteenheid van de segmenten geselecteerd,

dan zeggen ze dat het is ingesteld …………. in de ruimte.

2. Rechte lijnen met daarop gekozen richtingen heten …………..,

en hun gemeenschappelijke punt is …………. .

3. In een rechthoekig coördinatensysteem wordt elk punt M van de ruimte geassocieerd met een drietal getallen die het ……………….. noemen.

4. De coördinaten van een punt in de ruimte heten ………………..

5. Een vector waarvan de lengte gelijk is aan één heet …………..

6. Vectoren ijakworden genoemd………….

7. Kansen xjaz in ontbinding a= xi + jaj + zk genaamd

……………vector a .

8. Elke coördinaat van de som van twee of meer vectoren is gelijk aan ……………..

9. Elke coördinaat van het verschil van twee vectoren is gelijk aan ……………….

10. Elke coördinaat van het product van een vector en een getal is gelijk aan………………..

11.Elke coördinaat van de vector is gelijk aan ………….

12. Elke coördinaat van het midden van het segment is gelijk aan……………….

13. Vectorlengte a { xjaz) wordt berekend met de formule ……………………

14. Afstand tussen punten M 1(x 1 ; ja 1; z 1) en M 2 (x 2; ja 2 ; z2) wordt berekend met de formule ………………

15. Het scalaire product van twee vectoren heet………………..

16. Het scalaire product van vectoren die niet nul zijn is gelijk aan nul………………..

17. Puntproduct van vectorena{ x 1; ja 1; z 1} b { x 2 ; ja 2 ; z 2) in uitgedrukt door de formule ………………

Wederzijdse verificatie van de toelatingsproef. Antwoorden op de taken van de test op het scherm.

Evaluatiecriteria:

1-2 fouten - "5"

3-4 fouten - "4"

5-6 fouten - "3"

In andere gevallen - "2"

3. Werken. (voor kaarten).

Elke kaart bevat twee taken: nr. 1 - theoretisch met bewijs, nr. 2 bevat taken.

Leg de moeilijkheidsgraad uit van de taken die bij het werk horen. De groep voert één taak uit, maar met 2 delen. De groepscoördinator stuurt het werk van de hele groep aan. Bespreking van dezelfde informatie met meerdere partners vergroot niet alleen de verantwoordelijkheid voor het eigen succes, maar ook voor de resultaten van collectief werk, wat een positief effect heeft op het microklimaat in het team.

KAART #1

1. Leid formules af die de coördinaten van het midden van het segment uitdrukken in termen van de coördinaten van de uiteinden.

2. Taak: 1) Punten A (-3; 1; 2) en B (1; -1; 2) worden gegeven

Vind:

a) de coördinaten van het middelpunt van het segment AB

b) coördinaten en lengte van de vector AB

2) De kubus ABCDA1 B1 C1 D1 wordt gegeven. Gebruik de coördinatenmethode om de hoek te vinden

tussen lijnen AB1 en A1 D.

KAART #2

Leid een formule af om de lengte van een vector te berekenen uit zijn coördinaten.

Taak: 1) Gegeven punten M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Vind de afstand van de oorsprong van de coördinaten tot het midden van het segment MN.

→ → → → →

2) Vectorgegevens a en b. Vind b(a+b), indien a(-2;3;6),b=6i-8k

KAART #3

Leid een formule af voor het berekenen van de afstand tussen punten met gegeven coördinaten.

Taak: 1) Punten A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4) worden gegeven.

Bewijs dat ∆ABC gelijkbenig is en bepaal de lengte van de middellijn van de driehoek die de middelpunten van de zijden verbindt.

2) Bereken de hoek tussen rechte lijnen AB en SD als A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

KAART #4

Leid formules af voor de cosinus van de hoek tussen vectoren die niet nul zijn met gegeven coördinaten.

Taak: 1) De coördinaten van drie hoekpunten van het parallellogram ABCD worden gegeven:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Zoek de coördinaten van punt D.

2) Zoek de hoek tussen de lijnen AB en CD, als A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

KAART #5

Vertel ons hoe we de hoek tussen twee lijnen in de ruimte kunnen berekenen met behulp van de richtingsvectoren van deze lijnen. →→

Taak: 1) Zoek het scalaire product van vectorena en b, indien:

→ → → ^ →

a) | a| =4; | b| =√3 (ab)=30◦

b) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Punten A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) en D(2;4;4) worden gegeven. Bewijs dat ABCD een ruit is.

4. Het werk van dynamische groepen op kaarten controleren.

We luisteren naar de toespraken van de vertegenwoordigers van de groepen. Het werk van de groepen wordt geëvalueerd door de docent met deelname van studenten.

5. Reflectie. Cijfers voor krediet.

Eindtoets met keuze uit antwoorden (in afdrukken).

1) Vectoren worden gegeven a {2 ;-4 ;3} b(-3; ─ ; 1). Vind vectorcoördinaten

→ 2

c = a+ b

a) (-5; 3 ; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 −; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Vectoren worden gegeven a(4; -3; 5) en b(-3; 1; 2). Vind vectorcoördinaten

C=2 a – 3 b

a) (7;-2;3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Bereken het scalaire product van vectorenm en n, indien m = a + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 a - b als | a|=2 , ‌| b |=3, (ab‌)=60°, c ┴ a , c ┴ b.

a)-1; b) -27; in 1; d) 35.

4) Vectorlengte a { xjaz) is gelijk aan 5. Vind de coördinaten van de vector a alsx=2, z=-√5

een) 16; b) 4 of -4; Om 9 uur; d) 3 of -3.

5) Vind het gebied ∆ABC als A(1;-1;3); B(3;-1;1) en C(-1;1;-3).

a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.

Kruisvalidatietest. Responscodes om taken op het scherm te testen: 1(b); 2(c);

3(a); 4(b); 5(c).

Evaluatiecriteria:

Alles klopt - "5"

1 fout - "4"

2 fouten - "3"

In andere gevallen - "2"

Kennistafel voor studenten

Werken aan

kaarten

laatste

test

Kredietwaardigheid

Taken

theorie

oefening

1 groep

2 groep

3 groep

Evaluatie van de voorbereiding van de studenten op de toets.

De essentie van de coördinatenmethode voor het oplossen van geometrische problemen

Essence probleemoplossing het gebruik van de coördinatenmethode is om een ​​coördinatensysteem te introduceren dat in een of ander geval handig voor ons is en alle gegevens ermee te herschrijven. Daarna worden alle onbekende hoeveelheden of bewijzen met dit systeem vastgehouden. Hoe naar binnen te gaan punt coördinaten in elk coördinatensysteem, werd door ons in een ander artikel beschouwd - we zullen hier niet verder op ingaan.

Laten we de belangrijkste beweringen introduceren die in de coördinatenmethode worden gebruikt.

Stelling 1: Coördinaten vector wordt bepaald door het verschil tussen de corresponderende coördinaten van het einde van de gegeven vector en het begin ervan.

Stelling 2: De middelpuntcoördinaten van het segment worden gedefinieerd als de helft van de som van de corresponderende coördinaten van zijn grenzen.

Stelling 3: De lengte van elke vector $\overline(δ)$ met gegeven coördinaten $(δ_1,δ_2,δ_3)$ wordt bepaald door de formule

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Stelling 4: De afstand tussen twee willekeurige punten gegeven door de coördinaten $(δ_1,δ_2,δ_3)$ en $(β_1,β_2,β_3)$ wordt bepaald door de formule

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Schema voor het oplossen van geometrische problemen met behulp van de coördinatenmethode

Om geometrische problemen op te lossen met behulp van de coördinatenmethode, is het het beste om dit schema te gebruiken:

Analyseer wat er in het probleem wordt gegeven:

• Stel het meest geschikte coördinatensysteem in voor de taak;
• Wiskundig wordt de toestand van het probleem, de vraagstelling van het probleem opgeschreven, voor dit probleem wordt een tekening gemaakt.

1. Noteer alle gegevens van het probleem in de coördinaten van het geselecteerde coördinatensysteem.

2. Stel de benodigde relaties samen uit de condities van het probleem, en verbind deze relaties ook met wat gevonden moet worden (bewezen in het probleem).
3. Het verkregen resultaat wordt vertaald in de taal van de geometrie.

Voorbeelden van problemen die zijn opgelost met de coördinatenmethode

De volgende taken kunnen worden aangemerkt als de belangrijkste taken die leiden tot de coördinatenmethode (we zullen hier niet hun oplossingen geven):

1. Taken voor het vinden van de coördinaten van een vector aan het einde en het begin.
2. Taken die in elk opzicht verband houden met de verdeling van een segment.
3. Bewijs dat drie punten op dezelfde lijn liggen of dat vier punten op hetzelfde vlak liggen.
4. Taken om de afstand tussen twee gegeven punten te vinden.
5. Problemen met het vinden van volumes en gebieden met geometrische vormen.

De resultaten van het oplossen van de eerste en vierde problemen worden door ons gepresenteerd als de belangrijkste uitspraken hierboven en worden vrij vaak gebruikt om andere problemen op te lossen met behulp van de coördinatenmethode.

Voorbeelden van taken voor het toepassen van de coördinatenmethode

voorbeeld 1

Zoek de zijkant van een regelmatige piramide waarvan de hoogte $ 3 $ cm is als de zijkant van de basis $ 4 $ cm is.

Laten we een gewone piramide $ABCDS$ krijgen, waarvan de hoogte $SO$ is. Laten we een coördinatensysteem introduceren, zoals in figuur 1.

Aangezien het punt $A$ het middelpunt is van het coördinatensysteem dat we hebben geconstrueerd, dan

Aangezien de punten $B$ en $D$ respectievelijk tot de assen $Ox$ en $Oy$ behoren,

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Aangezien het punt $C$ bij het vlak $Oxy$ hoort, dan

Aangezien de piramide regelmatig is, is $O$ het middelpunt van het segment $$. Volgens stelling 2 krijgen we:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

Sinds de hoogte $SO$

Om de coördinatenmethode te gebruiken, moet u de formules goed kennen. Er zijn er drie:

Op het eerste gezicht ziet het er dreigend uit, maar een beetje oefenen - en alles zal geweldig werken.

Taak. Zoek de cosinus van de hoek tussen de vectoren a = (4; 3; 0) en b = (0; 12; 5).

Beslissing. Omdat we de coördinaten van de vectoren hebben gekregen, vervangen we ze in de eerste formule:

Taak. Schrijf een vergelijking voor een vlak dat door de punten M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) en K = (2; 1; 0) gaat, als bekend is dat het er niet doorheen gaat de oorsprong.

Beslissing. De algemene vergelijking van het vlak: Ax + By + Cz + D = 0, maar aangezien het gewenste vlak niet door de oorsprong gaat - het punt (0; 0; 0) - stellen we D = 1. Aangezien dit vlak passeert door de punten M, N en K, dan zouden de coördinaten van deze punten de vergelijking in een echte numerieke gelijkheid moeten veranderen.

Laten we de coördinaten van het punt M = (2; 0; 1) vervangen in plaats van x, y en z. We hebben:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Evenzo verkrijgen we voor de punten N = (0; 1; 1) en K = (2; 1; 0) de vergelijkingen:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

We hebben dus drie vergelijkingen en drie onbekenden. We stellen het stelsel vergelijkingen op en lossen het op:

We hebben gezien dat de vergelijking van het vlak de vorm heeft: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0.

Taak. Het vlak wordt gegeven door de vergelijking 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Vind de coördinaten van de vector loodrecht op het gegeven vlak.

Beslissing. Met behulp van de derde formule krijgen we n = (7; − 2; 4) - dat is alles!

Berekening van coördinaten van vectoren

Maar wat als er geen vectoren in het probleem zijn - er zijn alleen punten die op rechte lijnen liggen en het is nodig om de hoek tussen deze rechte lijnen te berekenen? Het is eenvoudig: als u de coördinaten van de punten kent - het begin en einde van de vector - kunt u de coördinaten van de vector zelf berekenen.

Om de coördinaten van een vector te vinden, is het noodzakelijk om de coördinaten van het begin af te trekken van de coördinaten van het einde.

Deze stelling werkt zowel op het vliegtuig als in de ruimte. De uitdrukking “coördinaten aftrekken” betekent dat de x-coördinaat van een ander punt wordt afgetrokken van de x-coördinaat van een punt, dan moet hetzelfde worden gedaan met de y- en z-coördinaten. Hier zijn enkele voorbeelden:

Taak. Er zijn drie punten in de ruimte, gegeven door hun coördinaten: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) en C = (− 4; 3; − 2). Zoek de coördinaten van vectoren AB, AC en BC.

Beschouw de vector AB: het begin is in punt A en het einde is in punt B. Om zijn coördinaten te vinden, is het daarom noodzakelijk om de coördinaten van punt A af te trekken van de coördinaten van punt B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Evenzo is het begin van de vector AC nog steeds hetzelfde punt A, maar het einde is punt C. Daarom hebben we:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Ten slotte, om de coördinaten van de vector BC te vinden, is het noodzakelijk om de coördinaten van punt B af te trekken van de coördinaten van punt C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Antwoord: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)

Let op bij het berekenen van de coördinaten van de laatste vector BC: veel mensen maken fouten als ze met negatieve getallen werken. Dit betreft de variabele y: punt B heeft coördinaat y = − 1, en punt C heeft y = 3. We krijgen precies 3 − (− 1) = 4, en niet 3 − 1, zoals veel mensen denken. Maak niet zulke domme fouten!

Berekeningsrichtingsvectoren voor rechte lijnen

Als je probleem C2 aandachtig leest, zul je verrast zijn te ontdekken dat er geen vectoren zijn. Er zijn alleen rechte lijnen en vlakken.

Laten we beginnen met rechte lijnen. Alles is hier eenvoudig: op elke lijn zijn er minstens twee verschillende punten en omgekeerd definiëren twee verschillende punten een enkele lijn...

Begrijpt iemand wat er in de vorige alinea staat? Ik begreep het zelf niet, dus ik zal het eenvoudiger uitleggen: in opgave C2 worden lijnen altijd gegeven door een paar punten. Als we een coördinatensysteem introduceren en een vector beschouwen met het begin en einde op deze punten, krijgen we de zogenaamde richtingsvector voor een rechte lijn:

Waarom is deze vector nodig? Het punt is dat de hoek tussen twee rechte lijnen de hoek is tussen hun richtingsvectoren. We gaan dus van onbegrijpelijke rechte lijnen naar specifieke vectoren, waarvan de coördinaten gemakkelijk kunnen worden berekend. Hoe makkelijk? Bekijk de voorbeelden:

Taak. De lijnen AC en BD 1 zijn getekend in de kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Zoek de coördinaten van de richtingsvectoren van deze lijnen.

Omdat de lengte van de randen van de kubus niet is gespecificeerd in de voorwaarde, stellen we AB = 1 in. Laten we een coördinatensysteem introduceren met de oorsprong in punt A en de assen x, y, z gericht langs de lijnen AB, AD en AA 1, respectievelijk. Het eenheidssegment is gelijk aan AB = 1.

Laten we nu de coördinaten zoeken van de richtingsvector voor de rechte AC. We hebben twee punten nodig: A = (0; 0; 0) en C = (1; 1; 0). Vanaf hier krijgen we de coördinaten van de vector AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - dit is de richtingsvector.

Laten we nu de rechte lijn BD 1 behandelen. Het heeft ook twee punten: B = (1; 0; 0) en D 1 = (0; 1; 1). We krijgen de richtingsvector BD 1 = (0 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Antwoord: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Taak. In een regelmatig driehoekig prisma ABCA 1 B 1 C 1 , waarvan alle randen gelijk zijn aan 1, worden rechte lijnen AB 1 en AC 1 getekend. Zoek de coördinaten van de richtingsvectoren van deze lijnen.

We introduceren een coördinatensysteem: de oorsprong ligt in punt A, de x-as valt samen met AB, de z-as valt samen met AA 1 , de y-as vormt het OXY-vlak met de x-as, die samenvalt met het ABC-vlak .

Laten we eerst de rechte lijn AB 1 behandelen. Alles is hier eenvoudig: we hebben de punten A = (0; 0; 0) en B 1 = (1; 0; 1). We krijgen de richtingsvector AB 1 = (1 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Laten we nu de richtingsvector voor AC 1 zoeken. Alles is hetzelfde - het enige verschil is dat het punt C 1 irrationele coördinaten heeft. Dus A = (0; 0; 0), dus we hebben:

Antwoord: AB 1 = (1; 0; 1);

Een kleine maar zeer belangrijke opmerking over het laatste voorbeeld. Als het begin van de vector samenvalt met de oorsprong, zijn de berekeningen sterk vereenvoudigd: de coördinaten van de vector zijn gewoon gelijk aan de coördinaten van het einde. Helaas geldt dit alleen voor vectoren. Wanneer u bijvoorbeeld met vlakken werkt, bemoeilijkt de aanwezigheid van de oorsprong van coördinaten daarop de berekeningen alleen maar.

Berekening van normaalvectoren voor vlakken

Normale vectoren zijn geen vectoren die het goed doen, of die goed voelen. Per definitie is een normaalvector (normaal) op een vlak een vector loodrecht op het gegeven vlak.

Met andere woorden, een normaal is een vector die loodrecht staat op elke vector in een bepaald vlak. Je bent zo'n definitie vast wel eens tegengekomen, maar in plaats van vectoren ging het om rechte lijnen. Maar net daarboven werd aangetoond dat men in het C2-probleem kan werken met elk handig object - zelfs een rechte lijn, zelfs een vector.

Laat me je er nogmaals aan herinneren dat elk vlak in de ruimte wordt gedefinieerd door de vergelijking Ax + By + Cz + D = 0, waarbij A, B, C en D enkele coëfficiënten zijn. Zonder afbreuk te doen aan de algemeenheid van de oplossing, kunnen we aannemen dat D = 1 als het vlak niet door de oorsprong gaat, of D = 0 als dat wel het geval is. In ieder geval zijn de coördinaten van de normaalvector naar dit vlak n = (A; B; C).

Het vlak kan dus ook met succes worden vervangen door een vector - dezelfde normaal. Elk vlak wordt in de ruimte gedefinieerd door drie punten. Hoe we de vergelijking van het vlak (en dus de normaal) kunnen vinden, hebben we al helemaal aan het begin van het artikel besproken. Dit proces veroorzaakt echter voor velen problemen, dus ik zal nog een paar voorbeelden geven:

Taak. De doorsnede A 1 BC 1 is getekend in de kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Zoek de normaalvector voor het vlak van deze sectie, als de oorsprong in punt A ligt en de x-, y- en z-assen samenvallen met respectievelijk de randen AB, AD en AA 1.

Aangezien het vlak niet door de oorsprong gaat, ziet de vergelijking er als volgt uit: Ax + By + Cz + 1 = 0, d.w.z. coëfficiënt D \u003d 1. Aangezien dit vlak door de punten A 1, B en C 1 gaat, veranderen de coördinaten van deze punten de vergelijking van het vlak in de juiste numerieke gelijkheid.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Evenzo verkrijgen we voor de punten B = (1; 0; 0) en C 1 = (1; 1; 1) de vergelijkingen:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Maar de coëfficiënten A = − 1 en C = − 1 zijn ons al bekend, dus het blijft om de coëfficiënt B te vinden:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

We krijgen de vergelijking van het vlak: - A + B - C + 1 = 0, Daarom zijn de coördinaten van de normaalvector n = (- 1; 1; - 1).

Taak. Een doorsnede AA 1 C 1 C is getekend in de kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Vind de normaalvector voor het vlak van deze doorsnede als de oorsprong in punt A ligt en de x-, y- en z-assen samenvallen met de randen AB, AD en AA 1 respectievelijk.

In dit geval gaat het vlak door de oorsprong, dus de coëfficiënt D \u003d 0, en de vergelijking van het vlak ziet er als volgt uit: Ax + By + Cz \u003d 0. Aangezien het vlak door de punten A 1 en C gaat, coördinaten van deze punten veranderen de vergelijking van het vlak in de juiste numerieke gelijkheid.

Laten we de coördinaten van het punt A 1 = (0; 0; 1) vervangen in plaats van x, y en z. We hebben:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Evenzo krijgen we voor het punt C = (1; 1; 0) de vergelijking:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 A + B = 0 ⇒ A = − B;

Zij B = 1. Dan is A = − B = − 1, en is de vergelijking van het hele vlak: − A + B = 0. Daarom zijn de coördinaten van de normaalvector n = (− 1; 1; 0).

Over het algemeen is het bij de bovenstaande problemen noodzakelijk om een ​​stelsel vergelijkingen samen te stellen en op te lossen. Er zullen drie vergelijkingen en drie variabelen zijn, maar in het tweede geval is er één vrij, d.w.z. willekeurige waarden aannemen. Daarom hebben we het recht om B = 1 te stellen - onverminderd de algemeenheid van de oplossing en de juistheid van het antwoord.

Heel vaak is het in opgave C2 vereist om te werken met punten die het segment in tweeën delen. De coördinaten van dergelijke punten zijn gemakkelijk te berekenen als de coördinaten van de uiteinden van het segment bekend zijn.

Dus, laat het segment worden gegeven door zijn uiteinden - punten A \u003d (x a; y a; z a) en B \u003d (x b; y b; z b). Dan zijn de coördinaten van het midden van het segment - we geven het aan met het punt H - te vinden met de formule:

Met andere woorden, de coördinaten van het midden van een segment zijn het rekenkundig gemiddelde van de coördinaten van de uiteinden.

Taak. De eenheidskubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 wordt zo in het coördinatenstelsel geplaatst dat de x-, y- en z-assen langs respectievelijk de randen AB, AD en AA 1 zijn gericht en de oorsprong samenvalt met punt A. Punt K is het middelpunt van rand A 1 B een . Zoek de coördinaten van dit punt.

Aangezien het punt K het midden van het segment A 1 B 1 is, zijn de coördinaten gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de coördinaten van de uiteinden. Laten we de coördinaten van de uiteinden opschrijven: A 1 = (0; 0; 1) en B 1 = (1; 0; 1). Laten we nu de coördinaten van punt K zoeken:

Taak. De eenheidskubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 wordt zo in het assenstelsel geplaatst dat de x-, y- en z-assen langs respectievelijk de randen AB, AD en AA 1 zijn gericht en de oorsprong samenvalt met punt A. Zoek de coördinaten van het punt L waar ze de diagonalen van het vierkant A 1 B 1 C 1 D 1 snijden.

Uit het verloop van de planimetrie is bekend dat het snijpunt van de diagonalen van een vierkant op gelijke afstand van al zijn hoekpunten ligt. In het bijzonder A1L = C1L, d.w.z. punt L is het middelpunt van het segment A 1 C 1 . Maar A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), dus we hebben:

Antwoord: L = (0,5; 0,5; 1)