In de astronomie wordt bij het beschouwen van de beweging van kosmische lichamen in banen vaak het concept van 'ellips' gebruikt, omdat hun trajecten precies door deze curve worden gekenmerkt. In het artikel zullen we nadenken over de vraag wat de gemarkeerde figuur vertegenwoordigt, en ook de formule geven voor de lengte van de ellips.

Wat is een ellips?

Volgens de wiskundige definitie is een ellips een gesloten curve waarvoor de som van de afstanden van een van zijn punten tot twee andere specifieke punten die op de hoofdas liggen, brandpunten genoemd, een constante waarde is. Hieronder ziet u een figuur die deze definitie uitlegt.

In de figuur is de som van de afstanden PF" en PF gelijk aan 2 * a, dat wil zeggen PF" + PF = 2 * a, waarbij F" en F de brandpunten van de ellips zijn, "a" is de lengte van zijn halve lange as. Het segment BB" wordt de halve korte as genoemd, en afstand CB = CB" = b - lengte van de halve korte as. Hier bepaalt punt C het midden van de figuur.

De afbeelding hierboven toont ook een eenvoudige methode met touw en twee spijkers die veel wordt gebruikt voor het tekenen van elliptische bochten. Een andere manier om dit cijfer te verkrijgen is door het onder elke hoek ten opzichte van zijn as uit te voeren, die niet gelijk is aan 90 o.

Als de ellips langs een van zijn twee assen wordt geroteerd, vormt deze een driedimensionale figuur, die een sferoïde wordt genoemd.

Formule voor de omtrek van een ellips

Hoewel de figuur in kwestie vrij eenvoudig is, kan de lengte van zijn omtrek nauwkeurig worden bepaald door de zogenaamde elliptische integralen van de tweede soort te berekenen. De autodidactische Indiase wiskundige Ramanujan stelde echter aan het begin van de 20e eeuw een vrij eenvoudige formule voor voor de lengte van een ellips, die het resultaat van de gemarkeerde integralen van onderaf benadert. Dat wil zeggen dat de hieruit berekende waarde van de betreffende waarde iets minder zal zijn dan de werkelijke lengte. Deze formule ziet er als volgt uit: P ≈ pi *, waarbij pi = 3,14 het getal pi is.

Stel dat de lengtes van de twee halve assen van de ellips bijvoorbeeld gelijk zijn aan a = 10 cm en b = 8 cm, dan is de lengte P = 56,7 cm.

Iedereen kan controleren of als a = b = R, dat wil zeggen als een gewone cirkel wordt beschouwd, de formule van Ramanujan wordt gereduceerd tot de vorm P = 2 * pi * R.

Merk op dat in schoolboeken vaak een andere formule wordt gegeven: P = pi * (a + b). Het is eenvoudiger, maar ook minder nauwkeurig. Dus als we het toepassen op het beschouwde geval, krijgen we de waarde P = 56,5 cm.

Omtrek is een gesloten vlakke kromme, waarvan alle punten op gelijke afstand liggen van een bepaald punt (het middelpunt van de cirkel). De afstand vanaf elk punt van de cirkel \(P\left((x,y) \right)\) tot het middelpunt ervan wordt genoemd straal. Het middelpunt van de cirkel en de cirkel zelf liggen in hetzelfde vlak. Vergelijking van een cirkel met straal \(R\) met middelpunt in de oorsprong ( canonieke vergelijking van een cirkel ) heeft de vorm
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Vergelijking van een cirkel straal \(R\) met het middelpunt op een willekeurig punt \(A\left((a,b) \right)\) wordt geschreven als
\((\left((x - a) \right)^2) + (\left((y - b) \right)^2) = (R^2)\).



Vergelijking van een cirkel die door drie punten gaat , geschreven in de vorm: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^ 2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(array)) \right| = 0.\\\)
Hier \(A\left(((x_1),(y_1)) \right)\), \(B\left(((x_2),(y_2)) \right)\), \(C\left(( (x_3),(y_3)) \right)\) zijn drie punten die op de cirkel liggen.



Vergelijking van een cirkel in parametrische vorm
\(\left\( \begin(uitgelijnd) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(uitgelijnd) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
waarbij \(x\), \(y\) de coördinaten zijn van de punten van de cirkel, \(R\) de straal van de cirkel is, \(t\) de parameter is.

Algemene vergelijking van een cirkel
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
onderworpen aan \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Het middelpunt van de cirkel bevindt zich op het punt met coördinaten \(\left((a,b) \right)\), waar
\(a = - \groot\frac(D)((2A))\normalegrootte,\;\;b = - \grote\frac(E)((2A))\normalegrootte.\)
De straal van de cirkel bedraagt
\(R = \sqrt (\groot\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\left| A \right|))\normalsize) \)

Ovaal is een vlakke kromme voor elk punt waarvan de som van de afstanden tot twee gegeven punten ( ellips brandpunten ) is constant. De afstand tussen de brandpunten wordt genoemd brandpuntsafstand en wordt aangegeven met \(2c\). Het midden van het segment dat de brandpunten verbindt, wordt genoemd het midden van de ellips . Een ellips heeft twee symmetrieassen: de eerste of brandpuntsas, die door de brandpunten gaat, en de tweede as loodrecht daarop. De snijpunten van deze assen met de ellips worden genoemd pieken. Het segment dat het midden van de ellips met het hoekpunt verbindt, wordt genoemd halve as van de ellips . De halve lange as wordt aangegeven met \(a\), de halve korte as met \(b\). Een ellips waarvan het middelpunt zich in de oorsprong bevindt en waarvan de halve assen op coördinaatlijnen liggen, wordt hieronder beschreven canonieke vergelijking :
\(\groot\frac(((x^2)))(((a^2)))\normale grootte + \groot\frac(((y^2)))(((b^2)))\ normale grootte = 1.\)



De som van de afstanden vanaf elk punt van de ellips tot zijn brandpunten constante:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
waarbij \((r_1)\), \((r_2)\) de afstanden zijn van een willekeurig punt \(P\left((x,y) \right)\) tot de brandpunten \((F_1)\) en \(( F_2)\), \(a\) is de halve lange as van de ellips.



De relatie tussen de halve assen van de ellips en de brandpuntsafstand
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
waarbij \(a\) de halve lange as van de ellips is, \(b\) de halve korte as is, \(c\) de helft van de brandpuntsafstand is.

Ellips-excentriciteit
\(e = \groot\frac(c)(a)\normalegrootte

Vergelijkingen van ellipsrichtlijnen
De richtlijn van een ellips is een rechte lijn die loodrecht op de brandpuntsas staat en deze snijdt op een afstand \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) van het midden. De ellips heeft twee richtlijnen die zich aan weerszijden van het midden bevinden. De directricevergelijkingen zijn geschreven in de vorm
\(x = \pm \groot\frac(a)(e)\normalegrootte = \pm \grote\frac(((a^2)))(c)\normalegrootte.\)

Vergelijking van een ellips in parametrische vorm
\(\left\( \begin(uitgelijnd) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(uitgelijnd) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
waarbij \(a\), \(b\) de halve assen van de ellips zijn, \(t\) de parameter is.

Algemene vergelijking van ellips
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
waarbij \((B^2) - 4AC

Algemene vergelijking van een ellips waarvan de halve assen evenwijdig zijn aan de coördinaatassen
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
waarbij \(AC > 0\).

Ellips omtrek
\(L = 4aE\links(e \rechts)\),
waarbij \(a\) de halve lange as van de ellips is, \(e\) de excentriciteit is, \(E\) is volledige elliptische integraal van de tweede soort.

Geschatte formules voor de omtrek van een ellips
\(L \circa \pi \left[ (\large\frac(3)(2)\normalsize\left((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \circa \pi \sqrt (2\left(((a^2) + (b^2)) \right)),\)
waarbij \(a\), \(b\) de halve assen van de ellips zijn.

Gebied van de ellips
\(S = \pi ab\)

Lijnen van de tweede orde.
Ellips en zijn canonieke vergelijking. Cirkel

Na grondige studie rechte lijnen in het vlak We blijven de geometrie van de tweedimensionale wereld bestuderen. De inzet wordt verdubbeld en ik nodig je uit om een ​​pittoreske galerij van ellipsen, hyperbolen en parabolen te bezoeken, die typische vertegenwoordigers zijn tweede orde lijnen. De excursie is al begonnen, eerst een korte informatie over de gehele tentoonstelling op verschillende verdiepingen van het museum:

Het concept van een algebraïsche lijn en zijn volgorde

Een lijn in een vlak wordt genoemd algebraïsch, indien binnen affiene coördinatensysteem de vergelijking heeft de vorm , waarbij een polynoom bestaat uit termen van de vorm ( – reëel getal, – niet-negatieve gehele getallen).

Zoals u kunt zien, bevat de vergelijking van een algebraïsche lijn geen sinussen, cosinussen, logaritmen en andere functionele beau monde. Alleen X's en Y's zijn binnen niet-negatieve gehele getallen graden.

Lijnvolgorde gelijk aan de maximale waarde van de daarin opgenomen termen.

Volgens de overeenkomstige stelling is het concept van een algebraïsche lijn, evenals de volgorde ervan, niet afhankelijk van de keuze affiene coördinatensysteem Daarom gaan we er voor het gemak van uit dat alle daaropvolgende berekeningen plaatsvinden in Cartesiaanse coördinaten.

Algemene vergelijking de tweede orderregel heeft de vorm , waar – willekeurige reële getallen (Het is gebruikelijk om het met een factor twee te schrijven), en de coëfficiënten zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul.

Als , dan vereenvoudigt de vergelijking tot , en als de coëfficiënten niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, dan is dit precies het geval algemene vergelijking van een “platte” lijn, wat vertegenwoordigt eerste orderregel.

Velen hebben de betekenis van de nieuwe termen begrepen, maar toch, om de stof 100% onder de knie te krijgen, steken we onze vingers in de kom. Om de regelvolgorde te bepalen, moet u herhalen alle termen de vergelijkingen en zoek voor elk ervan som van graden binnenkomende variabelen.

Bijvoorbeeld:

de term bevat “x” tot de eerste macht;
de term bevat “Y” tot de eerste macht;
Er zijn geen variabelen in de term, dus de som van hun machten is nul.

Laten we nu eens kijken waarom de vergelijking de lijn definieert seconde volgorde:

de term bevat “x” tot de tweede macht;
de summand heeft de som van de machten van de variabelen: 1 + 1 = 2;
de term bevat “Y” tot de tweede macht;
alle andere voorwaarden - minder graden.

Maximale waarde: 2

Als we bijvoorbeeld nog iets aan onze vergelijking toevoegen, zal deze al bepalend zijn derde orde lijn. Het is duidelijk dat de algemene vorm van de regelvergelijking van de derde orde een “volledige reeks” termen bevat, waarbij de som van de machten van de variabelen gelijk is aan drie:
, waarbij de coëfficiënten niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul.

In het geval dat u een of meer geschikte termen toevoegt die bevatten , dan zullen we het er al over hebben 4e orde regels, enz.

We zullen algebraïsche lijnen van de 3e, 4e en hogere orde meer dan eens tegenkomen, vooral wanneer we kennis maken met polair coördinatensysteem.

Laten we echter terugkeren naar de algemene vergelijking en de eenvoudigste schoolvariaties onthouden. Als voorbeeld ontstaat er een parabool, waarvan de vergelijking gemakkelijk kan worden teruggebracht tot een algemene vorm, en een hyperbool met een equivalente vergelijking. Maar niet alles verloopt zo soepel...

Een belangrijk nadeel van de algemene vergelijking is dat het bijna altijd niet duidelijk is welke lijn deze definieert. Zelfs in het eenvoudigste geval zul je niet meteen beseffen dat dit een overdrijving is. Dergelijke lay-outs zijn alleen goed bij een maskerade, dus een typisch probleem wordt in de loop van de analytische meetkunde in overweging genomen de lijnvergelijking van de tweede orde in een canonieke vorm brengen.

Wat is de canonieke vorm van een vergelijking?

Dit is de algemeen aanvaarde standaardvorm van een vergelijking, waarbij binnen enkele seconden duidelijk wordt welk geometrisch object het definieert. Bovendien is de canonieke vorm erg handig voor het oplossen van veel praktische taken. Dus bijvoorbeeld volgens de canonieke vergelijking "plat" recht Ten eerste is het meteen duidelijk dat dit een rechte lijn is, en ten tweede zijn het daarbij behorende punt en de richtingsvector gemakkelijk zichtbaar.

Het is duidelijk dat welke 1e orderregel is een rechte lijn. Op de tweede verdieping staat niet langer de wachter op ons te wachten, maar een veel diverser gezelschap van negen beelden:

Classificatie van tweede orde lijnen

Met behulp van een speciale reeks acties wordt elke vergelijking van een lijn van de tweede orde teruggebracht tot een van de volgende vormen:

(en zijn positieve reële getallen)

1) – canonieke vergelijking van de ellips;

2) – canonieke vergelijking van een hyperbool;

3) – canonieke vergelijking van een parabool;

4) – denkbeeldig Ovaal;

5) – een paar kruisende lijnen;

6) – paar denkbeeldig snijdende lijnen (met één geldig snijpunt bij de oorsprong);

7) – een paar parallelle lijnen;

8) – paar denkbeeldig parallelle lijnen;

9) – een paar samenvallende lijnen.

Sommige lezers kunnen de indruk hebben dat de lijst onvolledig is. In punt nr. 7 specificeert de vergelijking bijvoorbeeld het paar direct, evenwijdig aan de as, en de vraag rijst: waar is de vergelijking die de lijnen bepaalt die evenwijdig zijn aan de ordinaat-as? Antwoord Het niet als canoniek beschouwd. Rechte lijnen vertegenwoordigen hetzelfde standaardgeval, 90 graden gedraaid, en de extra vermelding in de classificatie is overbodig, omdat het niets fundamenteel nieuws oplevert.

Er zijn dus negen en slechts negen verschillende soorten tweede orde lijnen, maar in de praktijk zijn dit de meest voorkomende ellips, hyperbool en parabool.

Laten we eerst naar de ellips kijken. Zoals gewoonlijk concentreer ik me op die punten die van groot belang zijn voor het oplossen van problemen, en als je een gedetailleerde afleiding van formules of bewijzen van stellingen nodig hebt, verwijs dan bijvoorbeeld naar het leerboek van Bazylev/Atanasyan of Aleksandrov.

Ellips en zijn canonieke vergelijking

Spelling... herhaal alstublieft niet de fouten van sommige Yandex-gebruikers die geïnteresseerd zijn in "hoe je een ellips bouwt", "het verschil tussen een ellips en een ovaal" en "de excentriciteit van een ellips".

De canonieke vergelijking van een ellips heeft de vorm , waarbij positieve reële getallen zijn, en . Ik zal later de definitie van een ellips formuleren, maar voor nu is het tijd om een ​​pauze te nemen van de praatjes en een veelvoorkomend probleem op te lossen:

Hoe bouw je een ellips?

Ja, neem het gewoon en teken het gewoon. De taak komt vaak voor en een aanzienlijk deel van de studenten kan de tekening niet correct verwerken:

voorbeeld 1

Construeer de ellips gegeven door de vergelijking

Oplossing: Laten we eerst de vergelijking in een canonieke vorm brengen:

Waarom brengen? Een van de voordelen van de canonieke vergelijking is dat u hiermee onmiddellijk kunt bepalen hoekpunten van de ellips, die zich op punten bevinden. Het is gemakkelijk in te zien dat de coördinaten van elk van deze punten aan de vergelijking voldoen.

In dit geval :


Lijnstuk genaamd hoofdas Ovaal;
lijnstuk – kleine as;
nummer genaamd semi-grote as Ovaal;
nummer – kleine as.
in ons voorbeeld: .

Om je snel voor te stellen hoe een bepaalde ellips eruit ziet, kijk je gewoon naar de waarden van “a” en “be” van zijn canonieke vergelijking.

Alles is in orde, soepel en mooi, maar er is één kanttekening: ik heb de tekening gemaakt met behulp van het programma. En u kunt de tekening met elke toepassing maken. In de harde realiteit ligt er echter een geruit stuk papier op tafel en dansen muizen in cirkels op onze handen. Mensen met artistiek talent kunnen natuurlijk ruzie maken, maar je hebt ook muizen (hoewel kleinere). Het is niet voor niets dat de mensheid de liniaal, het kompas, de gradenboog en andere eenvoudige tekenapparaten heeft uitgevonden.

Om deze reden is het onwaarschijnlijk dat we een ellips nauwkeurig kunnen tekenen als we alleen de hoekpunten kennen. Het is prima als de ellips klein is, bijvoorbeeld met halve assen. Als alternatief kunt u de schaal en daarmee de afmetingen van de tekening verkleinen. Maar over het algemeen is het zeer wenselijk om aanvullende punten te vinden.

Er zijn twee benaderingen voor het construeren van een ellips: geometrisch en algebraïsch. Ik hou niet van bouwen met behulp van een kompas en een liniaal, omdat het algoritme niet het kortste is en de tekening aanzienlijk rommelig is. Raadpleeg in geval van nood het leerboek, maar in werkelijkheid is het veel rationeler om de hulpmiddelen van de algebra te gebruiken. Uit de vergelijking van de ellips in het ontwerp drukken we snel uit:

De vergelijking valt vervolgens uiteen in twee functies:
– definieert de bovenste boog van de ellips;
– definieert de onderste boog van de ellips.

De ellips gedefinieerd door de canonieke vergelijking is symmetrisch ten opzichte van de coördinaatassen, evenals ten opzichte van de oorsprong. En dit is geweldig: symmetrie is bijna altijd een voorbode van gratis geschenken. Het is duidelijk voldoende om met het eerste coördinatenkwartaal om te gaan, dus we hebben de functie nodig . Het vraagt ​​om extra punten met abscis . Laten we drie sms-berichten op de rekenmachine tikken:

Natuurlijk is het ook fijn dat als er een ernstige fout wordt gemaakt in de berekeningen, dit tijdens de bouw meteen duidelijk wordt.

Laten we de punten op de tekening markeren (rood), symmetrische punten op de resterende bogen (blauw) en het hele bedrijf zorgvuldig verbinden met een lijn:


Het is beter om de eerste schets heel dun te tekenen en pas daarna druk uit te oefenen met een potlood. Het resultaat zou een behoorlijk behoorlijke ellips moeten zijn. Wil je trouwens weten wat deze curve is?

Definitie van een ellips. Ellipsfoci en ellips-excentriciteit

Een ellips is een speciaal geval van een ovaal. Het woord ‘ovaal’ mag niet in de kleinburgerlijke zin worden opgevat (‘het kind tekende een ovaal’, enz.). Dit is een wiskundige term met een gedetailleerde formulering. Het doel van deze les is niet om in te gaan op de theorie van ovalen en hun verschillende typen, die vrijwel geen aandacht krijgen in de standaardcursus analytische meetkunde. En in overeenstemming met de meer huidige behoeften gaan we onmiddellijk verder met de strikte definitie van een ellips:

Ovaal is de verzameling van alle punten van het vlak, de som van de afstanden tot elk daarvan vanaf twee gegeven punten, genaamd trucs ellips, is een constante grootheid, numeriek gelijk aan de lengte van de hoofdas van deze ellips: .
In dit geval zijn de afstanden tussen de brandpunten kleiner dan deze waarde: .

Nu zal alles duidelijker worden:

Stel je voor dat de blauwe stip langs een ellips ‘beweegt’. Dus ongeacht welk punt van de ellips we nemen, de som van de lengtes van de segmenten zal altijd hetzelfde zijn:

Laten we ervoor zorgen dat in ons voorbeeld de waarde van de som werkelijk gelijk is aan acht. Plaats mentaal het punt “um” op het rechter hoekpunt van de ellips, en dan: , wat gecontroleerd moest worden.

Een andere manier om het te tekenen is gebaseerd op de definitie van een ellips. Hogere wiskunde is soms de oorzaak van spanning en stress, dus het is tijd voor een nieuwe ontladingssessie. Neem Whatman-papier of een groot vel karton en speld het met twee spijkers op de tafel. Dit zullen trucjes zijn. Bind een groene draad aan de uitstekende spijkerkoppen en trek deze helemaal uit met een potlood. De potloodstift komt op een bepaald punt terecht dat bij de ellips hoort. Beweeg nu het potlood over het vel papier en houd de groene draad strak strak. Ga door met het proces totdat je terugkeert naar het startpunt... geweldig... de tekening kan worden gecontroleerd door de dokter en leraar =)

Hoe vind je de brandpunten van een ellips?

In het bovenstaande voorbeeld heb ik kant-en-klare brandpunten afgebeeld, en nu zullen we leren hoe we ze uit de diepten van de geometrie kunnen halen.

Als een ellips wordt gegeven door een canonieke vergelijking, dan hebben de brandpunten ervan coördinaten , waar is het afstand van elk brandpunt tot het symmetriecentrum van de ellips.

De berekeningen zijn eenvoudiger dan eenvoudig:

! De specifieke coördinaten van brandpunten kunnen niet worden geïdentificeerd met de betekenis van “tse”! Ik herhaal dat dit zo is AFSTAND van elke focus tot het midden(die in het algemeen niet precies op de oorsprong hoeft te liggen).
En daarom kan de afstand tussen de brandpunten ook niet worden gekoppeld aan de canonieke positie van de ellips. Met andere woorden: de ellips kan naar een andere plaats worden verplaatst en de waarde blijft ongewijzigd, terwijl de brandpunten op natuurlijke wijze hun coördinaten zullen veranderen. Houd hier rekening mee als u het onderwerp verder onderzoekt.

Ellips-excentriciteit en zijn geometrische betekenis

De excentriciteit van een ellips is een verhouding die waarden kan aannemen binnen het bereik.

In ons geval:

Laten we eens kijken hoe de vorm van een ellips afhangt van zijn excentriciteit. Voor deze repareer de linker- en rechterhoekpunten van de beschouwde ellips, dat wil zeggen dat de waarde van de halve lange as constant zal blijven. Dan zal de excentriciteitsformule de vorm aannemen: .

Laten we beginnen de excentriciteitswaarde dichter bij eenheid te brengen. Dit is alleen mogelijk als. Wat betekent het? ...onthoud de trucs . Dit betekent dat de brandpunten van de ellips langs de abscis-as "uit elkaar zullen bewegen" naar de zijhoekpunten. En aangezien “de groene segmenten geen rubber zijn”, zal de ellips onvermijdelijk platter worden en veranderen in een steeds dunnere worst die op een as is geregen.

Dus, hoe dichter de excentriciteitswaarde van de ellips bij de eenheid ligt, hoe langer de ellips is.

Laten we nu het tegenovergestelde proces modelleren: de brandpunten van de ellips liepen naar elkaar toe, het centrum naderend. Dit betekent dat de waarde van “ce” steeds minder wordt en dienovereenkomstig de excentriciteit neigt naar nul: .
In dit geval zullen de “groene segmenten” daarentegen “druk raken” en zullen ze de ellipslijn op en neer gaan “duwen”.

Dus, Hoe dichter de excentriciteitswaarde bij nul ligt, hoe meer de ellips daarop lijkt... kijk naar het grensgeval wanneer de brandpunten met succes herenigd zijn bij de oorsprong:

Een cirkel is een speciaal geval van een ellips

In het geval van gelijkheid van de halve assen neemt de canonieke vergelijking van de ellips inderdaad de vorm aan, die reflexmatig transformeert in de vergelijking van een cirkel met een middelpunt aan de oorsprong van straal “a”, bekend uit school.

In de praktijk wordt vaker de notatie met de “sprekende” letter “er” gebruikt: . De straal is de lengte van een segment, waarbij elk punt van de cirkel een straalafstand verwijderd is van het midden.

Merk op dat de definitie van een ellips volledig correct blijft: de brandpunten vallen samen, en de som van de lengtes van de samenvallende segmenten voor elk punt op de cirkel is een constante. Omdat de afstand tussen de brandpunten dan is de excentriciteit van elke cirkel is nul.

Een cirkel construeren is gemakkelijk en snel, gebruik gewoon een kompas. Soms is het echter nodig om de coördinaten van sommige punten te achterhalen, in dit geval gaan we op de bekende manier - we brengen de vergelijking naar de vrolijke Matanov-vorm:

– functie van de bovenste halve cirkel;
– functie van de onderste halve cirkel.

Dan vinden we de vereiste waarden, differentiëren, integreren en andere goede dingen doen.

Het artikel is uiteraard alleen ter referentie, maar hoe kun je in de wereld leven zonder liefde? Creatieve taak voor onafhankelijke oplossing

Voorbeeld 2

Stel de canonieke vergelijking van een ellips samen als een van de brandpunten en de halve korte as bekend is (het middelpunt bevindt zich in de oorsprong). Zoek hoekpunten, extra punten en teken een lijn in de tekening. Bereken excentriciteit.

Oplossing en tekening aan het einde van de les

Laten we een actie toevoegen:

Roteer en parallel vertaal een ellips

Laten we terugkeren naar de canonieke vergelijking van de ellips, namelijk naar de toestand waarvan het mysterie nieuwsgierige geesten heeft gekweld sinds de eerste vermelding van deze curve. Dus keken we naar de ellips , maar is het in de praktijk niet mogelijk om aan de vergelijking te voldoen? ? Maar ook hier lijkt het een ellips te zijn!

Dit soort vergelijkingen zijn zeldzaam, maar komen wel voor. En het definieert feitelijk een ellips. Laten we demystificeren:

Als resultaat van de constructie werd onze oorspronkelijke ellips verkregen, 90 graden gedraaid. Dat is, - Dit niet-canonieke toegang Ovaal . Dossier!- de vergelijking definieert geen andere ellips, aangezien er geen punten (brandpunten) op de as zijn die zouden voldoen aan de definitie van een ellips.

In de astronomie wordt bij het beschouwen van de beweging van kosmische lichamen in banen vaak het concept van 'ellips' gebruikt, omdat hun trajecten precies door deze curve worden gekenmerkt. In het artikel zullen we nadenken over de vraag wat de gemarkeerde figuur vertegenwoordigt, en ook de formule geven voor de lengte van de ellips.

Wat is een ellips?

Volgens de wiskundige definitie is een ellips een gesloten curve waarvoor de som van de afstanden van een van zijn punten tot twee andere specifieke punten die op de hoofdas liggen, brandpunten genoemd, een constante waarde is. Hieronder ziet u een figuur die deze definitie uitlegt.

Mogelijk bent u geïnteresseerd in:

In de figuur is de som van de afstanden PF" en PF gelijk aan 2 * a, dat wil zeggen PF" + PF = 2 * a, waarbij F" en F de brandpunten van de ellips zijn, "a" is de lengte van zijn halve lange as. Het segment BB" wordt de halve korte as genoemd, en afstand CB = CB" = b - lengte van de halve korte as. Hier bepaalt punt C het midden van de figuur.

De afbeelding hierboven toont ook een eenvoudige methode met touw en twee spijkers die veel wordt gebruikt voor het tekenen van elliptische bochten. Een andere manier om dit cijfer te verkrijgen is door de kegel onder een willekeurige hoek ten opzichte van zijn as te snijden, die niet gelijk is aan 90o.

Als de ellips langs een van zijn twee assen wordt geroteerd, vormt deze een driedimensionale figuur, die een sferoïde wordt genoemd.

Formule voor de omtrek van een ellips

Hoewel de figuur in kwestie vrij eenvoudig is, kan de lengte van zijn omtrek nauwkeurig worden bepaald door de zogenaamde elliptische integralen van de tweede soort te berekenen. De autodidactische Indiase wiskundige Ramanujan stelde echter aan het begin van de 20e eeuw een vrij eenvoudige formule voor voor de lengte van een ellips, die het resultaat van de gemarkeerde integralen van onderaf benadert. Dat wil zeggen dat de hieruit berekende waarde van de betreffende waarde iets minder zal zijn dan de werkelijke lengte. Deze formule ziet er als volgt uit: P ≈ pi *, waarbij pi = 3,14 het getal pi is.

Stel dat de lengtes van de twee halve assen van de ellips bijvoorbeeld gelijk zijn aan a = 10 cm en b = 8 cm, dan is de lengte P = 56,7 cm.

Iedereen kan controleren of als a = b = R, dat wil zeggen als een gewone cirkel wordt beschouwd, de formule van Ramanujan wordt gereduceerd tot de vorm P = 2 * pi * R.

Merk op dat in schoolboeken vaak een andere formule wordt gegeven: P = pi * (a + b). Het is eenvoudiger, maar ook minder nauwkeurig. Dus als we het toepassen op het beschouwde geval, krijgen we de waarde P = 56,5 cm.

Wij nodigen u uit om de meest veelzijdige te proberen

best

op het internet. Ons

ellipsomtrekcalculator online

zal u niet alleen helpen vinden

ellips omtrek

op verschillende manieren

afhankelijk van de bekende gegevens, maar zal ook worden weergegeven

gedetailleerde oplossing

. Daarom dit

ellipsomtrekcalculator online

Het is niet alleen handig om te gebruiken voor snelle berekeningen, maar ook voor het controleren van uw berekeningen.

Ellips-omtrekcalculator online

, gepresenteerd op onze website, is een onderafdeling

online calculator voor de omtrek van geometrische vormen

. Dit is waarom je dat niet alleen kunt doen

stel de berekeningsnauwkeurigheid in

, maar ook bedankt

gemakkelijke navigatie

ons

online rekenmachine

Ga zonder extra moeite verder met de berekening

omtrek

een van de volgende geometrische vormen: driehoek, rechthoek, vierkant, parallellogram ruit, trapezium, cirkel, sector van een cirkel, regelmatige veelhoek.

Je kunt er ook letterlijk naar toe

online rekenmachine op het gebied van geometrische vormen

en berekenen

vierkant

driehoek

,

rechthoek

,

vierkant

,

parallellogram

,

ruit

,

trapeziums

,

cirkel

,

Ovaal

,

sectoren van de cirkel

,

regelmatige veelhoek

ook op meerdere manieren

en met

gedetailleerde oplossing

.

Ovaal

is een gesloten curve op een vlak die kan worden verkregen als het snijpunt van een vlak en een cirkel

cilinder

, of als een orthogonale projectie

cirkel

naar het vliegtuig.

Cirkel

is een speciaal geval

Ovaal

. Samen met

hyperbool

En

parabool

,

Ovaal

is

conisch gedeelte

En

kwadratisch

.

Ovaal

wordt doorsneden door twee evenwijdige lijnen, waarna het segment dat de middelpunten van de segmenten verbindt, gevormd op het snijpunt van de lijnen, en

Ovaal

, zal altijd passeren

midden van de ellips

. Deze eigenschap maakt het mogelijk om, door te construeren met behulp van een passer en liniaal, te verkrijgen

ellips midden

.

Evoluta

Ovaal

Er bestaat

asteroïde

, die langs de korte as wordt uitgerekt.

Dit gebruiken

Je kunt het doen

berekening van de omtrek van de ellips

op de volgende manieren:

-

berekening van de omtrek van een ellips door twee halve assen

;

-

berekening van de omtrek van een ellips door twee assen

.

Ook gebruiken

online ellipsomtrekcalculator

Je kunt weergeven alle opties gepresenteerd op de site

het berekenen van de omtrek van een ellips

.

Je zult het leuk vinden

ellipsomtrekcalculator online

of niet, laat nog steeds opmerkingen en suggesties achter. We zijn klaar om elke opmerking over het werk te analyseren

online ellipsomtrekcalculator

en maak het beter. We zullen blij zijn met elke positieve opmerking en dankbaarheid, aangezien dit niets meer is dan een bevestiging dat ons werk en onze inspanningen gerechtvaardigd zijn, en