Dierenriem van Johann Kleberger. Astronomie en magie in het schilderij van Dürer

Het magische vierkant, gereproduceerd door de Duitse kunstenaar Albrecht Dürer in de gravure "Melancholie", is bekend bij alle onderzoekers van magische vierkanten.

Vierkant in zijn gebruikelijke vorm (Fig. 6.1):

Figuur 6.1

Interessant is dat de twee middelste cijfers in de laatste regel van het vierkant (ze zijn gemarkeerd) het jaartal vormen waarin de gravure is gemaakt: 1514.

Er wordt aangenomen dat dit plein, dat Albrecht Durer zo fascineerde, aan het begin van de 16e eeuw vanuit India naar West-Europa kwam. In India was dit plein al in de 1e eeuw na Christus bekend.

Er wordt aangenomen dat magische vierkanten door de Chinezen zijn uitgevonden, aangezien de vroegste vermelding ervan wordt gevonden in een Chinees manuscript dat tussen 4000 en 5000 voor Christus werd geschreven. Zo oud zijn magische vierkanten!

Laten we nu alle eigenschappen van dit verbazingwekkende vierkant bekijken. Maar we zullen dit op een ander plein doen, waarvan de groep het Durer-plein omvat.

Dit betekent dat het Dürer-vierkant wordt verkregen uit het vierkant dat we nu zullen beschouwen door een van de zeven belangrijkste transformaties van magische vierkanten, namelijk een rotatie van 180 graden. Alle 8 vierkanten die deze groep vormen, hebben eigenschappen die nu worden vermeld, alleen in eigenschap 8 wordt voor sommige vierkanten het woord “rij” vervangen door het woord “kolom” en omgekeerd.

Je kunt het centrale plein van deze groep zien in Fig. 6.2.

Figuur 6.2

Eigenschappen van dit vierkant:.

Eigendom 1. Dit vierkant is associatief, dat wil zeggen dat elk paar getallen dat symmetrisch ten opzichte van het midden van het vierkant is geplaatst, een som oplevert 17=1+n2.

Eigendom 2. De som van de getallen in de hoekcellen van het vierkant is gelijk aan de magische constante van het vierkant - 34 .

Eigenschap 3. De som van de getallen in elk 2x2 hoekvierkant, evenals in het centrale 2x2 vierkant, is gelijk aan de magische constante van het vierkant.

Eigenschap 4. De magische constante van een vierkant is gelijk aan de som van de getallen aan weerszijden van de twee centrale 2x4 rechthoeken, namelijk: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

Eigenschap 5. De magische constante van het vierkant is gelijk aan de som van de getallen in de cellen gemarkeerd door de zet van het schaakpaard, namelijk: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+ 2+12=34 en 4+10+13+7=34.

Eigenschap 6. De magische constante van een vierkant is gelijk aan de som van de getallen in de corresponderende diagonalen van de 2x2 hoekvierkanten grenzend aan de tegenoverliggende hoekpunten van het vierkant.

In de 2x2 hoekvierkanten, die zijn gemarkeerd in Fig. 4, de som van de getallen in het eerste paar overeenkomstige diagonalen: 1+7+10+16=34 (dit is begrijpelijk, aangezien deze getallen zich op de hoofddiagonaal van het vierkant zelf bevinden). De som van de getallen in het andere paar overeenkomstige diagonalen: 14+12+5+3=34.

Eigendom 7. De magische constante van het vierkant is gelijk aan de som van de getallen in de cellen gemarkeerd door een zet die lijkt op de zet van een schaakpaard, maar met een langwerpige letter G. Ik laat deze getallen zien: 1+9+8+16= 34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15+16=34, 4+3+14+13=34.

Eigendom 8. In elke rij van het vierkant staat een paar aangrenzende getallen, waarvan de som 15 is, en nog een paar aangrenzende getallen, waarvan de som 19 is. In elke kolom van het vierkant staat een paar aangrenzende getallen, de waarvan de som 13 is, en nog een paar ook aangrenzende getallen, waarvan de som 21 is. hersencel vierkante sudoku

Eigenschap 9. De sommen van de kwadraten van de getallen in de twee buitenste rijen zijn gelijk aan elkaar. Hetzelfde kan gezegd worden over de som van de kwadraten van de getallen in de twee middelste rijen. Zien:

12 + 142 + 152 + 42 = 132 + 22 + 32 + 162 = 438

122 + 72 + 62 + 92 = 82 + 112 + 102 + 52 = 310

Getallen in de kolommen van een vierkant hebben een vergelijkbare eigenschap.

Eigendom 10. Als we een vierkant met hoekpunten in het midden van de zijkanten in het beschouwde vierkant inschrijven (Fig. 6.3), dan:

· de som van de getallen langs één paar tegenoverliggende zijden van een ingeschreven vierkant is gelijk aan de som van de getallen langs het andere paar tegenoverliggende zijden, en elk van deze getallen is gelijk aan de magische constante van het vierkant;
De sommen van kwadraten en kubussen van de aangegeven getallen zijn gelijk:
- 122 + 142 + 32 + 52 = 152 + 92 + 82 + 22 = 374
- 123 + 143 + 33 + 53 = 153 + 93 + 83 + 23 = 4624

Figuur 6.3

Dit zijn de eigenschappen van het magische vierkant in Fig. 5.2

Opgemerkt moet worden dat je in een associatief vierkant, het vierkant in kwestie, ook transformaties kunt uitvoeren, zoals het herschikken van symmetrische rijen en/of kolommen. In afb. 5.4 toont een vierkant verkregen uit het vierkant in Fig. 4 door de twee middelste kolommen opnieuw te rangschikken.

Figuur 6.4

In de nieuwe associatieve vierkanten die door dergelijke transformaties worden verkregen, wordt niet aan alle hierboven genoemde eigenschappen voldaan, maar blijven veel van de eigenschappen behouden. Lezers worden uitgenodigd om de vervulling van de eigenschappen in het vierkant weergegeven in Fig. 6.4.

Hoofdstuk nr. 5

Magische vierkanten

We noemen ze magische vierkanten of planetaire vierkanten. Of zeehonden, cameeën, tafels. Net als veel andere magische gereedschappen staan ze in verschillende systemen bekend onder verschillende namen, maar hoe ze ook heten, ze dateren van honderden of zelfs duizenden jaren geleden. Het vroegst geregistreerde vierkant is een vierkant van 3 bij 3, 3e orde, dat nu bekend staat als het vierkant van Saturnus, en in China werd genoemd Lo Shu.

Schildpad en Saturnus vierkant

De ontdekking ervan wordt toegeschreven aan de grote keizer Yu, de "Wijze Koning", en dateert van ongeveer 3000 voor Christus. e. . Op een dag vond de keizer tijdens een wandeling langs de Luo-rivier, een zijrivier van de Gele Rivier, een schildpad. Uit de mysterieuze numerieke patronen op haar rug realiseerde keizer Yu zich dat ze een magisch wezen was en nam haar mee naar het paleis. De schildpad werd een voorwerp van verering, en de heilige patronen op zijn schild wekten de vreugde van hofgeleerden.

Rijst. 17. Schildpadpatroon

Zoals het verhaal gaat, was het Chinese hof gefascineerd door de ongewone clusters van vlekken op het schild van een schildpad: in de zwarte groepen was het aantal van deze vlekken oneven, en in de witte groepen was het aantal even (Fig. 17). De nummerreeks zelf wordt aangeroepen Lo Shu- Brieven van de rivier de Lo. Het wordt aangetroffen in Chinese wiskundige teksten die teruggaan tot ongeveer 2200 voor Christus. e. Veel later, in 1275 na Christus. BC, wiskundige Yang Hui beschreef magische vierkanten in detail in een werk getiteld: "Renewing Ancient Wiskundige Methoden om de vreemde eigenschappen van getallen uit te leggen." Yang Hui leidde zijn boek in door te zeggen dat hij voortbouwde op het werk van eerdere wiskundigen. Hij legde niet uit hoe hij de meeste vierkanten van de 3e, 4e en 5e orde had verkregen, maar gaf een eenvoudige formule voor het construeren van een vierkant Lo Shu“vanaf nul” (Fig. 18).

Rijst. 18. Bouw van Lo Shu

Schrijf de cijfers 1 t/m 9 in drie rijen en draai deze naar rechts zodat 1 bovenaan staat en 9 onderaan (A). Verwissel 1 en 9 (B) en 3 en 7 (C). Laat vervolgens de 9 zakken zodat deze tussen de 4 en 2 op de bovenste rij (D) staat; druk de 3, 5 en 7 samen op de tweede rij en plaats de 1 tussen de 8 en 6 op de onderste rij (E). Voila!

Om de resulterende configuratie als een magisch vierkant te gebruiken, moet je er rasterlijnen aan toevoegen, waarmee je cellen voor getallen kunt maken. En dan zal dezelfde voor ons verschijnen Lo Shu. De acht buitenste groepen vlekken op het schild van de schildpad werden de acht trigrammen van de I Tjing (fig. 19). Lo Shu ook dichtbij de praktijk Feng Shui, waarvan de negen posities bekend staan als de "Nine Wandering Stars", het trigram God, 3 bij 3 diagram dat de attributen en ‘genezing’ van de ruimte definieert Feng Shui. Ik heb weinig gevonden dat alle details van het genoemde verhaal met de heilige schildpad zou kunnen verduidelijken, maar zonder twijfel de I Tjing, Saturnusvierkant, Door Shu En Feng Shui- zijn directe afstammelingen van dit eeuwenoude dier.

Rijst. 19. I Tjing/Lo Shu

Spelletjes met wiskunde van het vierkant van Saturnus

Dit is het kleinste vierkant en een goed object voor het demonstreren van basisinformatie met betrekking tot functies en terminologie. Dit vierkant is een schat aan wiskundige trucs, des te leuker omdat je weet hoe gemakkelijk het is om te creëren.

Rijst. 20. Vierkant Saturnus

Ten eerste, omdat het een vierkant van de 3e orde is, heeft het drie cellen in de lengte, drie cellen in de hoogte en bevat het getallen van 1 tot 9. Het grootste getal in het vierkant komt overeen met het aantal cellen dat het bevat (Fig. 20, 21) .

De som van de getallen in elke rij (A) is 15, evenals in elke kolom (B).

De som van de diagonale getallen, zowel van linksboven naar rechtsonder, als van rechtsboven naar linksonder (C), is ook 15.

Rijst. 27.Wiskunde van het Saturnusvierkant

Als je alle getallen in een vierkant bij elkaar optelt - 1+2+3+4+5+6+7+8+9 - is de som 45.

Deel 45 door de volgorde van het vierkant - 3 - en je krijgt 15, een resultaat dat gelijk is aan de som van elke rij, kolom en diagonaal.

Maar dat is niet alles.

Voeg een paar cijfers tegenover elkaar toe. In de middelste rij is het 3 + 7. In de middelste kolom is het 9+1. De hoekdiagonaalparen zijn 4 + 6 en 2 + 8. Elk paar is opgeteld 10.

Let nu op het getal 5 in het midden van het vierkant, het enige getal zonder paar. Verdubbel het door het bij zichzelf op te tellen: 5 + 5. De som is 10, wat overeenkomt met tegenovergestelde paren. Dit geldt ook voor een groter vierkant van oneven orde: zoek het vierkant op het nulpunt, verdubbel het getal daarin en identificeer vervolgens de paren die dezelfde som opleveren.

Laten we teruggaan naar de geschiedenis. Lo Shu vanuit China gemigreerd of is er zelfstandig iets soortgelijks elders verschenen?

Rijst. 22. Rozet van Saturnus

Rijst. 23. Waarzeggerij door Lo Shu

Beide. Dit plein was bekend bij de Maya's, net als de Noord-Afrikanen en de prehistorische Fransen. De oude Babyloniërs schreven de achtpuntige ster van Ishtar in dit vierkant om deze te gebruiken om richtingen te bepalen (Fig. 22). Een moderne bron suggereert een optie voor waarzeggers om het vierkant te gebruiken: teken een raster en de cijfers daarin met wit krijt op zwart papier. Plaats vervolgens de kristallen bol in het midden waar normaal gesproken het getal 5 zou staan (Figuur 23). Deze versie van het plein staat bekend als de "Egyptische figuur", dus misschien had de Chinese schildpad voorouders die leefden in de tijd van de farao's. Ondertussen zijn vierkanten van de 4e orde in India bekend sinds ongeveer 550 na Christus. BC, toen Varahamihira een tekst schreef over voorspellingen genaamd Brihatsamhita. Sommige van Varahamihira's vierkanten van de 4e orde bevatten gecodeerde wierookrecepten, terwijl andere kaputa werden genoemd, letterlijk "schildpad", wat opnieuw duidt op een verband met de Lo Shu-schildpad.

In 983 na Christus waren vierkanten van de 5e en 6e orde in islamitische landen bekend. e. In de tekst "Qabs al-Anwar", geschreven door Nadruni, rond 1384 na Christus. Voor Christus worden de paren van zeven planeten en vierkanten vermeld, zoals weergegeven in Figuur 24, in de volgorde die in 1498 werd herhaald door Pacioli in De Viribus en door Cornelius Agrippa in De Occulta Philosophia in 1531. Deze reeks staat bekend als de Chaldeeuwse orde en correleert de grootte van elk vierkant met de overeenkomstige afstand van elke planeet tot de aarde: hoe verder weg, hoe minder vierkanten, hoe dichterbij, hoe meer vierkanten.

Rijst. 24. Chaldeeuwse orde

Sinds onheuglijke tijden weten mensen dat de zon dichter bij de aarde staat dan Mars (behalve bij de Grote Opposities), Jupiter en Saturnus. Door de bewegingen van de maan, Mercurius en Venus te observeren, ontdekten astronomen uit de oudheid dat elk van deze planeten soms tussen de aarde en de zon bewoog, en dat Mercurius en Venus er periodiek omheen gingen. Dit is nooit met de maan gebeurd, wat onze voorouders ertoe aanzette tot de logische conclusie te komen dat deze de naaste buur van de aarde was. En omgekeerd bevonden Mars, Jupiter en Saturnus zich nooit tussen ons en onze ster; integendeel, terwijl ze een cirkel beschreven, passeerden ze periodiek achter de zon, wat leidde tot de overtuiging dat deze planeten verder van de aarde verwijderd zijn dan de aarde. Zon. Fout? Ja, maar nauwelijks gek. Vandaar de ‘Chaldeeuwse orde’, die nog steeds een sterke invloed heeft op het gebruik van magische getallen in het Westen. De traditie is lang en er is weinig logica, dus trek je eigen conclusies over de vraag of en hoe je de Chaldeeuwse orde moet gebruiken.

Er zijn geen vierkanten van de 2e orde: een vierkant met vier cellen vertoont niets verrassends als je de getallen 1, 2, 3 en 4 optelt. Agrippa gaf een originele verklaring voor deze omstandigheid: het getal 2 werd vervloekt vanwege de acties van de eerste. twee mensen, Adam en Eva, die een kwadraat van de 2e orde maakten, is onmogelijk. Zijn andere ‘bewijs’ deed niet onder voor het eerste: hij geloofde dat de vier elementen – Aarde, Lucht, Vuur en Water, die hier overeenkomen met de getallen 1 tot en met 4 – ontoereikend waren. Agrippa beschreven en een vierkant van de eerste orde - de enige cel die het getal 1 bevat, dat hij identificeerde met God. Misschien was deze vreemde rechtvaardiging de reden voor de passiviteit van de inquisitie jegens de auteur zelf?

Magische en magische vierkanten

Nu is het tijd om onderscheid te maken: er zijn twee soorten vierkanten, die grofweg ‘magie’ en ‘magie’ kunnen worden genoemd.

Magisch vierkanten zijn een soort ‘vermakelijke wiskunde’, zoiets als kruiswoordpuzzels voor fans van deze wetenschap. Ze worden ‘magie’ genoemd omdat je hiermee met getallen kunt jongleren door de meest ongelooflijke combinaties. Hoewel hun vroegste versies metafysische implicaties hadden, hebben de meeste historische of moderne sprookjesvierkanten geen mystieke associaties. Ze zijn eenvoudigweg niet bedoeld voor deze doeleinden, net zoals kruiswoordraadsels geen leidraad kunnen zijn voor de Akasha-kronieken.

Vierkantjes van het tweede type, echt magisch vierkanten lijken wat betreft hun wiskundige component op vierkanten, maar bovendien hebben ze zeer oude wortels en een lange geschiedenis van magisch en occult gebruik. Dat is waar we het hierna over zullen hebben.

Dürer-vierkant (bijna Jupiter-vierkant)

Onder de vele mensen die gefascineerd waren door sprookjes/magische vierkanten bevonden zich de kunstenaar Albrecht Durer (1471–1528) en de Amerikaanse politicus Benjamin Franklin (1706–1790). Franklin, die eind jaren dertig, lang vóór zijn politieke opkomst, als secretaris in de Pennsylvania Assembly diende, was uit verveling druk bezig met het componeren van vierkanten. Hoewel beiden waarschijnlijk van deze puzzels genoten, waren Franklin (die vrijmetselaar was) en Dürer uiteraard ook geïnteresseerd in de metafysische aspecten.

Het vierkant van Jupiter verschijnt in Dürers gravure "Melancholie" - of lijkt bijna, aangezien Dürer zich hier enige vrijheden heeft gegund (Fig. 25, 26, 27). Waarom het vierkant van Jupiter gebruiken als melancholie metafysisch overeenkomt met de planeet Saturnus? Misschien had Jupiter (ook bekend als Job, zoals in het woord ‘vrolijk’) ter wille van de genezing de somberheid van ‘Saturnus’ moeten tegengaan?

Het schilderij "Melancholia" is gevuld met occulte associaties waar kunsthistorici nog steeds mee worstelen: een complex geometrisch lichaam, een trap met zeven treden, een kompas (toont 51°25? - de waarde die wordt gebruikt om een zevenpuntige ster te creëren of een scheidingslijn te creëren). een cirkel in 7) en andere details (Fig. 25). Het is bekend dat Dürer graag visuele puzzels maakte om zijn vrienden te testen en te amuseren. Waarschijnlijk staat “Melancholia” in dezelfde rij.

Zijn beslissing om het vierkant van Jupiter 180° te draaien (Fig. 26, 27) kan te wijten zijn aan de specifieke kenmerken van het drukproces. Kunstenaars die met de graveertechniek werkten, moesten, om een normale afdruk te verkrijgen van een afbeelding die op een plaat was geëtst, hun composities in spiegelvorm creëren. Dit betekent dat alle tekst en cijfers oorspronkelijk achterstevoren moeten zijn geschreven. Misschien wilde Dürer, terwijl hij bezig was met het plaatsen van cijfers op het graveerbord, de datum van creatie van het schilderij vereeuwigen? Door het traditionele vierkant te draaien, ontving hij dus het gewenste jaar, 1514, dat in de onderste rij stond. Er is nog een andere numerieke combinatie waar Dürer zeker van op de hoogte was: elke rij van het vierkant van Jupiter geeft bij optelling 34, en in 1514 werd Albrecht Dürer vierendertig jaar oud.

Rijst. 25. "Melancholie" van Dürer

Rijst. 26. Dürer-plein

Rijst. 27. Jupiter vierkant

We gebruiken het Dürer-plein om de mogelijkheden van sommige pleinen te verkennen - sprookjes of magisch. In een vierkant van de 4e orde zijn er zestien cellen met getallen van 1 tot en met 16. Het fundamentele punt hier is de locatie van elk getal.

Spelletjes met Jupitervierkant wiskunde

Figuur 28 toont de wiskunde van het Jupitervierkant.

A, B en C. Rijen, kolommen en diagonalen, zoals in het vierkant van Saturnus. Elk van deze combinaties komt neer op 34.

D. Hetzelfde gebeurt met vier hoeken: 16+13 + 4+1 =34, en

E. Met vier centrale cellen: 10+11 + 6 + 7 = 34.

F. En zelfs met paren interne cijfers langs de buitenranden:

3 + 2 + 15 + 14 (langs de boven- en onderrand) = 34 5 + 9 + 8 + 12 (langs de linker- en rechterrand) = 34

Rijst. 28. Wiskunde van het Jupitervierkant

Er zijn dus al veertien verschillende manieren om tot 34 op te tellen in dit vierkant, maar er zijn er nog meer.

G, H, I, J, K en L laten nog veertien manieren zien om 34 te bereiken door specifieke cellen in het vierkant van Jupiter toe te voegen, en er kunnen nog meer van deze manieren zijn. Als A, B en C in alle planetaire vierkanten werken, dan zijn veel van deze opties inherent aan dit specifieke vierkant. Andere vierkanten hebben ook hun eigen trucs. Ik laat het aan jou over om ze te ontdekken, als dit logicaspel natuurlijk tot je verbeelding spreekt.

Als je verlangt naar een meer gedetailleerde en diepgaande wiskundige analyse, raadpleeg dan de relevante literatuur aan het einde van het boek in de bibliografie.

Laten we nu teruggaan naar de mystiek.

Planetaire vierkanten

Hier worden ze in oplopende volgorde weergegeven, van klein naar groot. Het is belangrijk om te begrijpen dat de impact van het gebruik van deze vierkanten niet afhangt van het gedachteloos kopiëren van hun uiterlijk; het ligt in het feit dat je ze helemaal opnieuw creëert, in de opeenvolgende opname van het ene nummer na het andere. Terwijl u uw eigen vierkant tekent, gebruikt u de nummeringsreeks voor meditatie. Schrijf elk getal achtereenvolgens in het vierkant - 1, 2, 3, etc. - in plaats van ze alleen maar rij na rij te schrijven. Tip: schrijf de cijfers eerst met een potlood en omcirkel ze vervolgens met een pen in de juiste volgorde (vanaf 1) en richt al uw aandacht daarop.

Een paar algemene opmerkingen:

Eerst: als je het getal in de centrale cel van een vierkant van oneven volgorde vermenigvuldigt met het nummer van de volgorde zelf, dan krijg je de totale som van de getallen in elke rij/kolom van het vierkant. Mars heeft bijvoorbeeld een kwadraat van de 5e orde en het centrale getal is 13, dus 5 x 13 = 65.

Seconde: als de volgorde van het vierkant deelbaar is door 3, dan wordt de totale som van het vierkant vereenvoudigd tot het getal 9. In alle andere gevallen - tot het getal 10 (tot 1).

Derde: voor alle vierkanten van oneven orde - Saturnus, Mars, Venus en de Maan - moet eerst het middelpunt worden bepaald. Het getal 1 bevindt zich direct onder het midden van het vierkant en het grootste getal bevindt zich direct boven het midden. Het centrale vierkant zelf bevat het "middelste" nummer: 1-2-3-4-5-6-7-8-9. Als je het begin-, midden- en eindpunt identificeert, zal het patroon van deze vierkanten in de oneven volgorde zichzelf onthullen.

Vierkanten van gelijke orde (Jupiter, Zon en Mercurius) beginnen met het getal 1 in de rechterbovenhoek en eindigen met het hoogste getal in de linkerbenedenhoek. Daarnaast zijn hun sequenties lastiger, althans naar mijn mening. Veel succes met het ontdekken van hun plannen!

Vierkant Saturnus

Rijst. 29. Vierkant Saturnus

Ervaringen uit het verleden begrijpen;

Ontwikkeling van persoonlijke discipline;

Correct gebruik van grenzen en beperkingen;

Karma begrijpen.

Zie voor meer informatie het gedeelte over de sabbat in hoofdstuk 4.

Vierkante indeling: raster van 3 bij 3, vierkant van de 3e orde. Aantallen aanwezig: 1 tot en met 9.

Totale som van elke rij, kolom en diagonaal: 15. Totale som van het hele vierkant: 45.

Het totaalbedrag delen door het ordernummer: 45; 3 = 15.

Jupiter vierkant

Gebruikt om te verbeteren/verbeteren:

Succes in rechtszaken;

Bedrijfsuitbreidingen;

Veel geluk, succes (en je eigen gevoel van vreugde?);

Het opzetten van partnerschappen en allianties;

Spirituele groei.

Voor meer informatie, zie de donderdagsectie in hoofdstuk 4.

Rijst. 30. Vierkant Vierkantindeling: raster van 4 bij 4, vierkant van de 4e orde.

Totale som van elke rij, kolom en diagonaal: 34. Totale som van het hele vierkant: 136.

Het totaalbedrag delen door het ordernummer: 136: 4 = 34.

Mars-plein

Rijst. 37. Vierkant Mars

Gebruikt om te verbeteren/verbeteren:

Beslissingen genomen;

Fysieke kracht, energie;

Persoonlijke moed en wilskracht;

Beheersing van temperament en passies;

Zegeningen van voertuigen en mechanismen;

Technische vaardigheden;

Commercieel koken.

Voor meer informatie, zie de dinsdagsectie in hoofdstuk 4.

Vierkante indeling: raster van 5 bij 5, vierkant van de 5e orde. Aantallen aanwezig: 1 tot 25.

Totale som van elke rij, kolom en diagonaal: 65. Totale som van het hele vierkant: 325.

Het totaalbedrag delen door een ordernummer: 325: 5 = 65.

Zon Plein

Rijst. 32. Zon Plein

Zelfvertrouwen;

Gezondheid, vitaliteit;

Leiderschapskwaliteiten;

Het doel begrijpen;

Zelfrealisatie;

Veel succes bij nieuwe projecten.

Zie voor meer informatie het zondaggedeelte in hoofdstuk 4.

Vierkante indeling: raster 6 bij b, vierkant van de 6e orde. Aantallen bevatten: van 1 tot 36.

111 De totale som van het gehele vierkant is: 666.

666: 6 = 111.

Venus-plein

Gebruikt om te verbeteren/verbeteren:

Begrip van harmonie en schoonheid;

Vermogens voor vriendschap en liefde;

Openheid voor vreugde, speelsheid en romantiek;

Liefde en relaties;

Sensualiteit;

Thuis koken.

Voor meer informatie, zie de paragraaf “Vrijdag” in hoofdstuk 4.

Vierkante indeling: Raster van 7 bij 7, vierkant van de 7e orde. Aantallen bevatten: van 1 tot 49.

De totale som van elke rij, kolom en diagonaal: 175. Rijst. 33. Venusvierkant Totale som van het hele vierkant: 1225.

Het totaalbedrag delen door het ordernummer: 1225: 7 = 175.

Mercurius-plein

Rijst. 34. Mercurius-plein

Gebruikt om te verbeteren/verbeteren:

Helderheid van denken en waarnemen;

Duidelijke en effectieve communicatie;

Concentratie, vooral tijdens het studeren;

Intellectuele ambities, vermogen om kennis te verwerven;

Contacten op spiritueel vlak;

Reisveiligheid en tijdigheid.

Voor meer informatie verwijzen wij u naar het onderdeel “Milieu” in hoofdstuk 4.

Vierkante indeling: Raster van 8 bij 8, vierkant van de 8e orde. Aantallen bevatten: van 1 tot 64.

De totale som van elke rij, kolom en diagonaal: 260. De totale som van het gehele vierkant is: 2080.

Het totaalbedrag delen door het ordernummer: 2080: 8 = 260.

Vierkante Maan

Rijst. 35. Vierkant van de maan

Gebruikt om te verbeteren/verbeteren:

Intuïtie en instinct;

Vruchtbaarheid (gedefinieerd) en creativiteit;

Emotionele stemming;

Kennis op het gebied van psyche;

Alle tuin- en landbouwactiviteiten;

Veiligheid van reizen over water.

Voor meer informatie, zie de maandagsectie in hoofdstuk 4.

Vierkante indeling: Raster van 9 bij 9, vierkant van de 9e orde.

De totale som van elke rij, kolom en diagonaal: 369.

De totale som van het gehele vierkant is: 3321.

Het totaalbedrag delen door het ordernummer: 3321: 9 = 369.

Planetaire vierkanten gebruiken

Kies een planeet waarvan het traditionele thema aansluit bij uw behoeften. Om bijvoorbeeld de concentratie te verbeteren bij het voorbereiden op een examen is het logisch om voor Mercury te kiezen. Het openen van een nieuw bedrijf is meestal de verantwoordelijkheid van de zon, terwijl het verhogen van de omzet in een bestaand bedrijf het beste aan Jupiter kan worden gericht. Alles wat met beperkingen te maken heeft, moet aan Saturnus worden gericht. Als je je nieuwe voertuig wilt zegenen en beschermen, dan is Mars je beste keuze.

Een vriendin van mij heeft onlangs een dieselauto gekocht, die ze heeft omgebouwd zodat hij nu op gebruikte plantaardige olie kan rijden. Bravo! Als proclamatie voor de veiligheid van de auto en zijn passagiers kunt u een trefwoord of korte zin kiezen: “Zegen Mercedes” of “Bescherm mijn auto” of misschien “ABC-987”, een (fictief) kenteken. In dit geval zou het volgende passend zijn: “Rijd goed en blijf ongedeerd.”

Vervolgens zoeken we naar cijfers die overeenkomen met de letters in de geselecteerde zin. Onze eerste taak is om de cijfers 1 tot en met 9 te gebruiken als sleutel voor het alfabet (Figuur 36). Velen van ons zijn waarschijnlijk al bekend met deze sleutel, omdat deze wordt gebruikt in de numerologie en eenvoudige codering.

Rijst. 36. Alfabettoets 1–9

Als we met Schema 1–9 werken, ziet onze zin eruit zoals in Figuur 37.

Rijst. 37. "Rijd goed, blijf veilig", 1–9

Als u het Saturnusvierkant gebruikt, of als u de letters Q tot en met Z in het Jupitervierkant wilt hebben, moet u de 1-9-codering gebruiken die wordt weergegeven in Figuur 36.

We gebruiken echter ook het Marsvierkant, een vierkant van de 5e orde met vijfentwintig afzonderlijke vierkanten. Omdat onze zin de Z, de zesentwintigste letter, niet bevat, kunnen we, in plaats van één cijfer uit de code 1-9 te gebruiken voor drie verschillende letters, aan elke letter een ander nummer toekennen. Om unieke nummers te gebruiken, gebruikt u de toets 1-26, weergegeven in Figuur 38.

Rijst. 38. Alfabettoets 1-26

Opmerking: Als u elk getal van twee cijfers vereenvoudigt, komt dit cijfer overeen met cijfer 1–9 in Afbeelding 36.

De zin ziet er nu uit zoals in Figuur 39.

Rijst. 39. "Rijd goed, wees veilig", 1-26

Gematria

Wanneer we verschillende woorden letter voor letter analyseren, komen we soms verbazingwekkende numerieke parallellen tegen. Bijvoorbeeld, Knal(leeuw) uitgedrukt in cijfers als 3-9-6-5; Jachtluipaard(cheetah) zoals 3-8-5-5-2-1-8; A tijger(tijger) zoals 2-9-7_5-9, als je met een reeks priemgetallen werkt (zie figuur 36). Als we de sommen 23, 32 en 32 geven, vereenvoudigen ze allemaal tot 5.

Als je zulke toevalligheden intrigerend vindt, kan Gematria je favoriete tijdverdrijf worden. Vergelijkbaar met het bovenstaande voorbeeld, maar veel complexer, is gematria gebaseerd op tweeëntwintig letters van het Hebreeuwse alfabet en nog vijf letters van hetzelfde alfabet, herhaald in enigszins verschillende vormen wanneer ze als einde fungeren. Totaal zevenentwintig. Aan elke letter wordt een numerieke waarde toegewezen, maar in tegenstelling tot alfabetten zoals A-Z die we al hebben gezien, bereiken deze waarden vaak veel grotere waarden – maximaal drie cijfers – dus als een woord op deze manier wordt geschreven, kan de hoeveelheid indrukwekkend zijn . Andere verschillen: Gematria vereenvoudigt sommen niet tot enkele cijfers; elke letter heeft ook een diepe esoterische betekenis; Bovendien is Gematria gebaseerd op het Hebreeuws, en velen van ons werken in onze moedertaal, omdat de spreuk fonetisch moet zijn.

“Kabbalah noemt het Hebreeuwse alfabet “letters van engelen* 1.” Zoals Madame Blavatsky in haar boek De Geheime Leer schreef, is het gebruik van Hebreeuwse letters in gematria één manier om hun goddelijke associaties te onderzoeken. Gematria is een diepe, eeuwenoude, complexe en subtiele lering – dit is de meest algemene definitie van wat het doet.

Volgens Gematria heeft de eerder genoemde leeuw de volgende numerieke waarde: 30 + 10 + 70 + 50 = 160. Terwijl de cheetah ( Jachtluipaard) ziet er veel respectabeler uit: 60 ( ch) + 8(lang e) + 300 (T) + 1 (een) = 369.

Laten we voor een diepere interpretatie kijken naar de symboliek van gematria (Fig. 40). Vanuit haar oogpunt is de naam van onze oude bekende Leo (Knal) is samengesteld uit letters die de volgende metaforische betekenissen hebben: "osstimulus", dat wil zeggen "staaf", "hand", "oog" en "vis". Brief naam kreupel, vaak vertaald als "ossenstimulans", in bredere zin kan het zoiets als "motivator" betekenen. Jodium of ‘hand’ vertegenwoordigt misschien het verlangen om iemands ideeën in de fysieke realiteit te vertalen, dat wil zeggen letterlijk een strijd met het lot. Ain of "oog" impliceert zien en afwijzen, kijken en begrijpen. Eindelijk, Non of 'vis' moet het hebben over de onherbergzame omgeving voor mensen en de noodzaak om zich aan te passen om te overleven in een vijandige wereld. Zoals we zien krijgt het concept ‘leeuw’ door deze diepgaande interpretatie een veel complexere symbolische betekenis.

Rijst. 40. Hebreeuwse Gematrische Code

De wrede ‘koning van de jungle’? Natuurlijk, maar de hierboven besproken kenmerken bieden veel stof tot nadenken en kunnen als leidraad dienen menselijk acties in de ‘jungle’ van het moderne leven.

Echte gematria-beoefenaars zullen niet alleen het complex van metaforische betekenissen gebruiken van de letters waaruit de naam van het studieobject bestaat, maar ook de numerieke component bestuderen, in dit geval het woord ‘leeuw’. Welke andere woorden zijn samen 160? Is het mogelijk om ze te gebruiken om ons begrip van het bestudeerde woord uit te breiden?

De Babyloniërs gebruikten ook het gematrische systeem. Koning Sargon II (ca. 722–705 v.Chr.) liet een muur van 16.283 el lang (1 el = 0,48 m) bouwen op basis van de numerieke waarde van zijn naam. Dit grootse voorbeeld kan ons inspireren om zelf gematria te gebruiken, misschien niet om massieve muren te bouwen, maar voor veel bescheidener metingen en berekeningen op basis van de gematria-betekenis van onze eigen naam of kwaliteiten die we graag zouden willen verwerven.

Rijst. 41. Griekse Gematrische Code

Dus als ik een talisman zou maken die de manifestatie van de eerder genoemde leeuwenkwaliteiten zou bevorderen, zou ik deze versieren met het getal 160.

Griekse letters hebben ook numerieke waarden, en er bestaat een eigen traditie om deze te bestuderen (Fig. 41). De gnostische godheid Abraxas heeft bijvoorbeeld een numerieke waarde van 365 (1 + 2 + 100 + 1 + 60 + 1 + 200), gelijk aan het aantal dagen in een jaar.

In de traditionele praktijk passen geleerden gematria toe op heilige teksten, op zoek naar woorden met gelijke numerieke waarden.

Zodra deze numerieke resonantie is ontdekt, kunnen er talloze mogelijkheden voor onderzoek opengaan voor de ontdekker. Resultaat? Een geheime harmonie, verborgen in een web van onderlinge verbindingen van betekenissen en volkomen onzichtbaar voor de gewone lezer van dezelfde tekst.

Wees geduldig: dit kan gemakkelijk tientallen jaren werk zijn.

Het maakt niet uit of u de code uit Figuur 36 of Figuur 38 gebruikt, hoe dan ook, laten we aan de slag gaan. We gaan de zinsnede "Rijd goed, blijf veilig" in het vierkant van Mars (Figuur 31) "schrijven" met behulp van de cijfers die we zojuist hebben opgepikt. Vanaf nu moet u overtrekpapier, een liniaal en een gum bij de hand hebben. Test om te beginnen uw zin op calqueerpapier dat over een magisch vierkant is gelegd. Op deze manier kun je erachter komen waar je cijfers staan en voorkom je dat je fouten maakt in dat handgetekende vierkant waar je zo hard aan hebt gewerkt. Kijk om te beginnen naar figuur 42. Zoals je kunt zien, heeft je zin grafisch een mooi ontwerp en ziet hij er niet uit als een chaotische wirwar. Bewerk en reproduceer je tekening opnieuw - daarvoor heb je calqueerpapier en een gum nodig. Teken de lijnen uit de vrije hand of met een liniaal als je wilt dat ze perfect recht zijn. Nadat u met uw ruwe ontwerp hebt geoefend, legt u het calqueerpapier weg en concentreert u zich op uw ambities en tekent u lijnen op het plein zelf.

Rijst. 42. Begin van een zin over Mars

Rijst. 43. Einde zin op Mars

Figuur 42. Het begin van een Mars-zin: dit zijn de eerste vier “letters” (R-u-n w), aangegeven door de cijfers 18 (met een asterisk), 21, 14 en 23. Niets verplicht, maar onthoud: korte zinnen werken beter dan woordconglomeraten . Figuur 43 laat zien hoe het resultaat er uit moet zien.

Figuur 43. Einde van de zin volgens Mars: een grafische vorm van de zoekzin, waarvan het begin en einde zijn gemarkeerd met sterretjes.

In de regel worden vierkanten gemaakt en gebruikt die overeenkomen met de planeet die zich op dat moment in een astrologisch gunstige positie bevindt ten opzichte van andere hemellichamen. Je kunt gewoon werken op de dag die bij een specifieke planeet hoort. Als je wilt, teken dan een cirkel en bepaal de hoofdrichtingen voordat je met het werk begint.

Experimenteer met verschillende kleuren en soorten stiften, kleurpotloden, exotisch papier of iets anders dat tot je verbeelding spreekt. Zodra uw ontwerp klaar is, kan het worden uitgesneden of geborduurd, op een wateroppervlak of tijdens een ceremonieel plengoffer worden getekend. De mogelijkheden zijn eindeloos. Noteer het gebruik van vierkanten. Deze aantekeningen zullen uw referentie- of receptenboek worden voor toekomstig gebruik. Als iets bijzonder goed werkt, is het zinvol om de procedure steeds opnieuw te herhalen, en als iets niet werkt, kun je de nodige aanpassingen doorvoeren.

Wat kun je nog meer doen met magische vierkanten?

Bepaal de “magische lijn” in elk vierkant. Dit gaat als volgt: nadat je nummer 1 hebt gevonden, trek je er een lijn van naar nummer 2, vervolgens naar nummer 3 enzovoort, oplopend naar het uiteindelijke nummer. Als gevolg hiervan verschijnen er prachtige geometrische patronen voor uw ogen, die ook zeer praktische doeleinden kunnen dienen. Tuinindeling? Bedrijfslogo? Tatoeëren? Vakantieroute als overlay op geselecteerde kaart?

Teken een lijn die de datum en het tijdstip van uw geboorte verbindt. Deze actie zou moeten helpen de positieve talenten en het potentieel in jou te activeren. Gebruik het vierkant van de planeet die jouw teken beheerst, of de planeet waarvan jij de positie het gunstigst vindt voor jouw hekserij, of doe dit met elk vierkant en vergelijk dan de resultaten. Zo kun je de volgorde van de lijnen ontdekken, die later de basis zal vormen voor een persoonlijk magisch symbool.

Maan Labyrint

Op zoek naar meer magische wonderen van vierkanten, wendde ik me tot het prachtige boek van Clifford A. Pickover, The Zen of Magic Squares, Circles and Stars. Met behulp van een magisch vierkant van de 9e orde (niet het vierkant van de maan) ontdekte Pickover een interessant geometrisch patroon dat werd verkregen door alle oneven getallen te wissen. Ik kopieerde dit idee door calqueerpapier op een ander vierkant van de 9e orde te plaatsen, het eigenlijke maanvierkant (Fig. 35). Omdat ik een ander vierkant gebruikte, kreeg ik een heel ander patroon. Geschokt door de onverwachte herkenning besefte ik dat ik een 'zaaddiagram' voor me zag - de basis voor een labyrint met zeven bochten (zie Fig. 44, 45).

Varianten van dit labyrint zijn over de hele wereld gevonden, van Kreta tot het Amerikaanse zuidwesten. Ik hoorde voor het eerst over het ‘zaaddiagram’ in een labyrintworkshop waar we een groot labyrint aan het maken waren op de zandige oever van een bergmeer. Het bestaat uit een verticale + (plusteken) in het midden, vier L-hoekvormen en vier hoekpunten. Deze componenten zijn in het geheim aanwezig in het gebruikelijke vierkant van de maan en worden pas zichtbaar als alle oneven getallen zijn gewist.

Laat voldoende ruimte vrij aan de zijkanten, teken een groot zaaddiagram op het zandstrand of teken een klein diagram op een stuk papier, en begin dan met het maken van het doolhof. Nadat u de bovenkant van de verticale hoofdlijn hebt verbonden met de bovenkant van de rechterbovenhoek L (zoals weergegeven in Figuur 45), gaat u verder met het maken van bogen door lijnen van links naar rechts te tekenen, zoals weergegeven in Figuren 46 en 47. Als u in het algemeen Begin met een lijn, je eindigt met een punt en omgekeerd. Merk op dat de U-vormige "hoeken" van de omkering die de lussen van het labyrint vormen, ook de buitenste hoeken van het vierkant van de Maan zijn.

Rijst. 44. Vierkant van de maan met het patroon van het "zaad"-doolhof als lijnen met oneven getallen

Rijst. 45. Labyrint met de eerste boog getekend

Rijst. 46. Labyrint met tweede en derde bogen

Rijst. 47. Labyrint waaraan de vierde en vijfde bogen zijn toegevoegd

Rijst. 48. Een labyrint waaraan de bogen 6, 7 en 8 zijn toegevoegd. We hebben nu een compleet labyrint van 7 cirkels

Net zoals de maan zelf, van rechts naar links wassend en afnemend, van links naar rechts langs de hemel beweegt, zo moet jij, terwijl je in een labyrint bent, zowel zoutend als tegenzoutend bewegen. Probeer het op papier gemaakte labyrint in te kleuren met potloden in alle kleuren van de regenboog, waarbij je de ene kleur in de andere verandert waarbij de hoeken afgerond zijn.

Een paar ongebruikelijke aanvullende opmerkingen:

Eerst: in het vierkant van de maan zijn er 81 cellen en dienovereenkomstig 81 cijfers, en de massa van de maan zelf is 1/81 van de massa van de aarde.

Als vervolg op: De aarde beweegt zich door de ruimte met een snelheid van 45 kilometer per uur; Maan - met een snelheid van 2268 mijl per uur. Dit betekent dat de maan 81 keer sneller beweegt dan de aarde.

Laatste ding: zoals gegraveerd op de Maya-beelden in Palenque: "81 manen maken 2392 dagen". Deel 2392 door 81 en je krijgt 29,53 – een getal dat gelijk is aan het aantal dagen in de maancyclus, volgens moderne wetenschappers.

Gebaseerd op een theoretische analyse van 4×4 pandiagonale vierkanten, worden hun ‘structuurkenmerken’ getoond: de invarianten van de structuur van 4×4 pandiagonale vierkanten zijn paren getallen die in totaal gelijk zijn aan een van de twee Fibonacci-getallen: 13 of 21. Er wordt onthuld dat elke variant van de set van zes cijfers hiervan en dat er 51 vergelijkbare pandiagonale vierkanten van 4x4 zijn die een continue symmetrische configuratie vormen. Er is een geometrische figuur "kubus in een kubus" geconstrueerd die de eigenschappen heeft van "gouden symmetrie". van pandiagonale vierkanten 4x4. Alle aantallen diagonalen van een kubus hebben de eigenschappen van “gouden symmetrie” (in het ene geval vormen zich twee getallen – het totale aantal is 13, in het andere geval – 21), en alle vlakken hebben 4 hoeken (getallen) van zowel de interne als de externe vierkanten van een geometrische figuurvorm in Het totale Fibonacci-getal is 34.

Invoering

Op basis van een theoretische analyse van Khajuraho-, Dürer-vierkanten en soortgelijke 4x4-vierkanten zijn de kenmerken van hun ‘structuur’ geïdentificeerd: de invarianten van de structuur van pandiagonale 4x4-vierkanten zijn paren getallen die in som gelijk zijn aan een van de twee Fibonacci-getallen - 13 of 21.

Een magisch vierkant is een n×n vierkante tabel gevuld met n 2 verschillende getallen, zodat de som van de getallen in elke rij, elke kolom en op beide diagonalen hetzelfde is. Het vroegste unieke magische 4x4-vierkant werd ontdekt in een inscriptie uit de 11e eeuw in de Indiase stad Khajuraho. Het 4x4 vierkant afgebeeld in de gravure "Melancholie" van Albrecht Dürer wordt beschouwd als het vroegste in de Europese kunst (1514). De som van de getallen van een Dürer-vierkant op een horizontaal, verticaal en diagonaal is 34. Deze som wordt ook gevonden in alle 2x2 hoekvierkanten, in het centrale vierkant, in het vierkant van hoekcellen, in vierkanten gebouwd door de “paardenbeweging”. ” (2+12+15 +5 en 3+8+14+9), op de hoekpunten van rechthoeken evenwijdig aan de diagonalen (2+8+15+9 en 3+12+14+5), in rechthoeken gevormd door paren middelste cellen aan weerszijden (3+2 +15+14 en 5+8+9+12). De meeste aanvullende symmetrieën komen voort uit het feit dat de som van twee centraal symmetrisch gelegen getallen 17 is.

Er zijn 48 pandiagonale 4x4 vierkanten met rotatie- en reflectieprecisie. Als we ook rekening houden met de symmetrie met betrekking tot torische parallelle vertalingen, blijven er slechts 3 significant verschillende vierkanten over (Figuur 2).

Grootste deel

Ik analyseerde de ‘structuur’ van 4x4 pandiagonale vierkanten en identificeerde de invariante delen van hun structuur (Figuur 3). De invarianten van de structuur van 4x4 pandiagonale vierkanten zijn paren getallen die in som gelijk zijn aan een van de twee Fibonacci-getallen - 13 of 21. Verschillende opties voor het symmetrisch combineren van deze getalparen vormen een set van 4x4 pandiagonale vierkanten.

Het Dürer-vierkant (en soortgelijke 4x4 pandiagonale vierkanten) hebben een gulden snede-symmetrie. In Figuur 4 tonen rode en blauwe vierkanten bijvoorbeeld varianten van symmetrieën, waarbij het rekenkundig gemiddelde van de som van de rode componenten van de vierkanten in mogelijke posities (4 of 2, bij rotatie in verschillende richtingen) 51 is. de som van alle getallen van het vierkant is 136, waarvan 85 blauw en 51 rood. 136/85=1,6; 85/51=1,667.

Gebaseerd op het Dürer-vierkant hebben we een geometrische figuur ‘kubus in een kubus’ geconstrueerd, die de symmetrie-eigenschappen heeft van pandiagonale 4×4-vierkanten (Figuur 5). Een dergelijke ‘transformatie’ werd mogelijk door de verticale kolommen met getallen in het Dürer-vierkant onder een bepaalde hoek te plaatsen en zo een kubus binnen een kubus te vormen. Tegelijkertijd hebben alle aantallen diagonalen van de kubus de eigenschappen van "gouden symmetrie" (in het ene geval vormen zich twee getallen – het totale aantal is 13, in het andere geval – 21), en alle vlakken hebben 4 hoeken ( getallen) van zowel de interne als de externe vierkanten van de geconstrueerde figuur vormen een totaal Fibonacci-getal van 34.

Conclusie

Gebaseerd op een theoretische analyse van 4x4 pandiagonale vierkanten, worden hun ‘structuurkenmerken’ getoond: de invarianten van de structuur van 4x4 pandiagonale vierkanten zijn paren getallen die in som gelijk zijn aan een van de twee Fibonacci-getallen: 13 of 21.
Er is onthuld dat elke versie van de set van zes cijfers van het Dürer-vierkant en soortgelijke pandiagonale 4x4-vierkanten, die een continue symmetrische configuratie vormen, gelijk is aan het totale aantal - 51.
Er is een geometrische figuur “kubus binnen een kubus” geconstrueerd, die de eigenschappen heeft van “gouden symmetrie” van pandiagonale 4x4 vierkanten. Alle aantallen diagonalen van een kubus hebben de eigenschappen van “gouden symmetrie” (in het ene geval vormen zich twee getallen – het totale aantal is 13, in het andere geval – 21), en alle vlakken hebben 4 hoeken (getallen) van zowel de interne als de externe vierkanten van een geometrische figuurvorm in Het totale Fibonacci-getal is 34.

Als u een fout tegenkomt, markeer dan een stuk tekst en klik Ctrl+Enter.

Er is een bepaalde gravure "Melancholie", eigendom van de Duitse kunstenaar Albrecht Dürer, die beter bekend is bij wiskundigen en occultisten dan bij degenen die geïnteresseerd zijn in schilderkunst.

In ieder geval – je kunt dit nagaan – is er op internet heel weinig over geschreven. Maar dit is echt een cool ding. En de enige min of meer gedetailleerde bron is het boek “The Lost Symbol” van Dan Brown.

Ik heb dit boek gelezen en noch de plot, noch het vierkant bleef in mijn hoofd hangen. En toen dook het plotseling uit een onverwachte richting op.

Gravure “Melancholie” - let op het vierkantje in de rechterbovenhoek:

Hier is het groter:

De essentie van alle ‘magische vierkanten’ is over het algemeen duidelijk: de som van de kolommen en diagonalen is gelijk aan een bepaald getal. Dus het is hier. Dit getal is 34. Maar feit is dat dit getal in absoluut ELK scenario voorkomt. De som van het vierkant linksboven is 34, hetzelfde geldt voor de kleine vierkantjes rechtsboven, rechtsonder en linksonder. En ook het centrale plein - 10+11+6+7=34. En als je de hoeknummers 16,13, 4 en 1 optelt, krijg je ook 34.

En als je een lijn van 1 tot 16 begint te leggen, krijg je dit absoluut symmetrische (en in spiegelbeeld!) figuur:

En helemaal onderaan geven de cijfers 15 en 14 de datum van creatie van de gravure aan: 1514. En de cijfers in de onderste hoeken – 4 en 1 – zijn de digitale aanduidingen van de initialen van de kunstenaar: D A - Dürer Albrecht.

Al dit wiskundige ‘handlijnkunde’ wijst er volgens sommigen op dat Dürer zijn vierkant niet creëerde door te porren of te pikken, maar door andere metingen te gebruiken. In die zin - verder gaan dan 3 dimensies en... op de een of andere manier op het zevendimensionale (????) niveau?…. Misschien met de hulp van de zogenaamde ‘schelpen’ of ‘schelpen’, zoals Dürer het noemde (in zijn wiskundige monografie ‘Gids voor meten met kompas en liniaal’, gepubliceerd in 1525) en waarvan hij de auteur was, creëerde hij zijn ‘magische vierkant’.

"Conchoid":

En let op de steen in de gravure - een parallellepipedum afgeknot aan twee hoeken, waarvan de zijvlakken 2 regelmatige driehoeken en 6 vijfhoeken zijn:

Robert Langdon, de symbolistische detective in Dan Browns The Lost Symbol, legt het 16-cijferige cijfer van de basis van de vrijmetselaarspiramide op het Dürer-vierkant en ontvangt de ontsleuteling:

dat wil zeggen, JEOVA SANCTUS UNUS - de Ene Ware God.

Dürer behoorde naar alle waarschijnlijkheid tot een bepaald geheim genootschap. En misschien bezat hij een geheime heilige kennis...

Of misschien is dit allemaal een hoax?!

Laten we 16 cellen tekenen en de getallen 1 tot en met 16 in de juiste volgorde plaatsen. Verwissel nu gewoon 1 en 16, 4 en 13 (dit zijn de hoeken), 6 en 10 en 7 en 11 (het vierkant in het midden). En ook 2 en 3 en 14 en 15 staan naast elkaar.

VOILA! Dit is het magische vierkant van de coolste graad. Zojuist? Zojuist! Maar raad eens wat en hoe je dit moet veranderen... Aan de andere kant kan de absolute symmetrie van het vervangen van getallen alleen maar de eenvoud en universaliteit van de oplossing suggereren. Of kunnen we nu gemakkelijk redeneren, maar moest Dürer zijn schelphoorn (zie hierboven) gebruiken om te begrijpen hoe en wat hij van plaats moest wisselen?...

De correctie in de gravure, die Dürer OPZETTELIJK zo voor de hand liggend liet, is met het blote oog te zien:

Wanneer we de getallen in het voor ons getrokken vierkant van 1 tot en met 16 op volgorde vervangen, blijven alleen de zijde 5 en 9 aan de linkerkant en 8 en 12 aan de rechterkant ongewijzigd. Aanvankelijk wilde Dürer ze ook ruilen, maar dit bleek niet nodig. Waarom liet hij zijn fout aan iedereen zien? Laat me zien hoe je gedachten werken? Trots? En het jaartal 1514, dat zo goed in het vierkant past, is ook een verdienste of heeft de kunstenaar gewoon op de gewenste datum gewacht voor een groter effect, nadat hij eerder alle wiskunde had doordacht?))

Misschien wel. Zelfs de gebieden van de hogere wiskunde kunnen worden verklaard door de ijdelheid van een kunstenaar die zichzelf knap vond en regelmatig zijn zelfportretten schilderde zodat iedereen hem kon bewonderen.

Terugkerend naar Melancholie, magische vierkanten en het occulte. De gravure is geschreven voor keizer Maximiliaan I (voor wie het weet: de echtgenoot van Maria van Bourgondië, schoonzoon van Karel de Stoute en grootvader van keizer Karel V).

Hier is zijn portret, ook door Durer:

Maximiliaan beschouwde zichzelf als melancholisch. In de Middeleeuwen (en zelfs nu) geloofde men dat melancholische mensen beïnvloed werden door de planeet Saturnus. Het magische vierkant moest een soort talisman zijn die de duistere invloed van Saturnus zou afweren en tegelijkertijd de positievere energie van Jupiter zou aantrekken.

Over het algemeen kun je veel over deze gravure schrijven. Je kunt nog steeds alle attributen overwegen, maar dat is voor een andere keer. In dit geval leek wiskunde mij interessanter dan schilderen.

XIII Wetenschappelijke en praktische conferentie van schoolkinderen

"Magische vierkanten"

Leerlingen van 8 klasse "A".

PTP Lyceum

Sjolokhova Anna

Hoofd Anokhin M.N.

De geschiedenis van het ontstaan van mijn werk.............................................................................2

Magisch vierkant............................................... ....................3

Historisch belangrijke magische vierkanten..............4-5

VIERKANT GEVONDEN IN KHAJURAHO (INDIA).......6

Magisch vierkant van Yang Hui (China).............................................. ..7

Albrecht Dürerplein............................................... ..... ............8

Vierkanten door Henry E. Dudeney en Allan W. Johnson Jr.....9

Magisch vierkant van de duivel............................10-11

REGELS VOOR HET BOUWEN VAN MAGISCHE VIERKANTEN.....12

MAGISCHE VIERKANTEN ONTWERPEN............................13-15

De creatie van het magische vierkant van Albrecht Dürer. .....17-18

Sudoku.................................................. ..................................................19-21 Kakuro............................................... ..................................................22-23

TAKENBANK............................................................ ... ...............24-25

Conclusies................................................. ................................26 Literatuur............................ .................................................. ........ .......27

De geschiedenis van het ontstaan van mijn werk .

Vroeger dacht ik niet eens dat zoiets als dit uitgevonden kon worden. De eerste keer dat ik magische vierkanten tegenkwam, was in de eerste klas van een leerboek; ze waren de eenvoudigste.

Een paar jaar later ging ik met mijn ouders naar de kust en ontmoette daar een meisje dat dol was op Sudoku. Ik wilde het ook leren, en ze legde uit hoe het moest. Ik vond deze activiteit erg leuk en het werd mijn zogenaamde hobby.

Nadat mij werd aangeboden om deel te nemen aan een wetenschappelijke en praktische conferentie, heb ik meteen het onderwerp “Magische Vierkanten” gekozen. In dit werk heb ik historisch materiaal, varianten en regels voor het maken van een raadselspel opgenomen.
Magisch vierkant.

Een magisch of magisch vierkant is een vierkante tafel gevuld met n getallen, zodat de som van de getallen in elke rij, in elke kolom en op beide diagonalen hetzelfde is. Een magisch vierkant gevuld met geheel getallen van 1 tot n.

Magische vierkanten bestaan voor alle ordes behalve n=2, hoewel het geval n=1 triviaal is: het vierkant bestaat uit één enkel getal.

De som van de getallen in elke rij, kolom en diagonaal. Genaamd magische constante, M. De magische constante van een normaal magisch vierkant hangt alleen af van n en wordt gegeven door de formule.

Bestel nr

De eerste waarden van de magische constanten worden gegeven in de volgende tabellen.

Historisch belangrijke magische vierkanten.

In het oude Chinese boek "Zhe-kim" ("Boek van permutaties") staat een legende dat keizer Nu, die vierduizend jaar geleden leefde, een heilige schildpad op de oever van de rivier zag. Op haar schild zat een patroon van witte en zwarte cirkels (fig. 1). Als je elk cijfer vervangt door een getal dat aangeeft hoeveel cirkels het bevat, krijg je een tabel.

Deze tafel heeft een prachtige eigenschap. Laten we de getallen in de eerste kolom optellen: 4+3+8=15. Hetzelfde resultaat wordt verkregen als we de getallen in de tweede en derde kolom optellen. Het wordt ook verkregen door getallen uit een van de drie regels toe te voegen. Niet alleen dat, maar hetzelfde antwoord 15 wordt verkregen als je de getallen van elk van de twee diagonalen bij elkaar optelt: 4+5+6=8+5+2=15.

De Chinezen hebben deze legende waarschijnlijk bedacht toen ze vonden dat de rangschikking van de getallen van 1 tot en met 9 zo'n opmerkelijke eigenschap had. Ze noemden de tekening “lo-shu” en begonnen het als een magisch symbool te beschouwen en gebruikten het in spreuken. Daarom wordt nu elke vierkante tafel die uit getallen bestaat en deze eigenschap heeft, aangeroepen magisch vierkant.

Figuur 1

VIERKANT GEVONDEN IN KHAJURAHO (INDIA).

Het vroegste unieke magische vierkant werd ontdekt in een inscriptie uit de 11e eeuw in de Indiase stad Khajuraho.

Dit is het eerste magische vierkant, behorend tot een verscheidenheid aan zogenaamde “duivelse” vierkanten.

Magisch vierkant van Yang Hui (China)

In de 13e eeuw pakte wiskundige Yang Hui het probleem aan van de methoden voor het construeren van magische vierkanten. Zijn onderzoek werd vervolgens voortgezet door andere Chinese wiskundigen. Yang Hui beschouwde magische vierkanten niet alleen van de derde, maar ook van hogere ordes.

Sommige van zijn vierkanten waren behoorlijk complex, maar hij gaf altijd regels voor de constructie ervan. Hij slaagde erin een magisch vierkant van de zesde orde te construeren.

De som van de getallen op een horizontaal, verticaal en diagonaal is 34. Deze som wordt ook gevonden in alle 2x2 hoekvierkanten, in het centrale vierkant (10+11+6+7), in het vierkant van hoekcellen (16+13+4+1), in vierkanten gebouwd door de “paardenbeweging” (2+8 +9+15 en 3+5+12+14), rechthoeken gevormd door paren middelste cellen aan weerszijden (3+2+15+14 en 5+8+9+12). De meeste aanvullende symmetrieën zijn vanwege het feit dat de som van twee centraal symmetrisch gelegen getallen 17 is.
Pleinen door Henry E. Dudeney en Allan W. Johnson, Jr.

Als een niet-strikt natuurlijke reeks getallen wordt ingevoerd in een vierkante n x n-matrix, dan is dit magische vierkant niet-traditioneel. Hieronder staan twee van zulke magische vierkanten, meestal gevuld met priemgetallen. De eerste (Fig. 3) heeft orde n=3 (Dudeney-vierkant); de tweede (Fig. 4) (maat 4x4) is een Johnson-vierkant. Beide zijn ontwikkeld in het begin van de twintigste eeuw.

Afb.3 Afb.4

Het magische vierkant van de duivel- een magisch vierkant, waarin de som van getallen langs gebroken diagonalen (diagonalen die ontstaan bij het vouwen van het vierkant in torus) in beide richtingen.

Dergelijke vierkanten worden ook wel genoemd pandiagonaal .

Er zijn 48 4x4 duivelse magische vierkanten met rotatie- en reflectieprecisie. Als we ook rekening houden met hun extra symmetrie - torische parallelle vertalingen, blijven er slechts 3 significant verschillende vierkanten over:

Rijst. 5 afb. 6

Het is echter bewezen dat (Fig. 7) de eenvoudigste permutaties van getallen de eerste twee vierkanten opleveren (Fig. 5, 6). Dat wil zeggen, de derde optie is een fundamenteel duivels vierkant, waaruit alle andere kunnen worden geconstrueerd met behulp van verschillende transformaties.

Pandiagonale vierkanten bestaan voor oneven orde n>3, voor elke dubbele pariteitsorde n=4k (k=1,2,3...) en bestaan niet voor enkele pariteitsorde n=4k+2 (k=1,2, 3...).

Pandiagonale vierkanten van de vierde orde hebben een aantal aanvullende eigenschappen waarvoor ze worden genoemd perfect. Er zijn geen perfecte pandiagonale vierkanten met een vreemde volgorde. Onder pandiagonale vierkanten met een pariteit hoger dan 4 zijn er perfecte vierkanten.

Er zijn 3600 pandiagonale vierkanten van de vijfde orde. Rekening houdend met torische parallelle vertalingen zijn er 144 verschillende pandiagonale vierkanten. Eén ervan is hieronder weergegeven.

REGELS VOOR HET BOUWEN VAN MAGISCHE VIERKANTEN

De regels voor het construeren van magische vierkanten zijn onderverdeeld in drie categorieën, afhankelijk van of de volgorde van het vierkant oneven is, gelijk is aan tweemaal een oneven getal of gelijk is aan viermaal een oneven getal. Een algemene methode voor het construeren van alle vierkanten is onbekend, hoewel er op grote schaal verschillende schema's worden gebruikt.

Het is mogelijk om alle magische vierkanten van orde n alleen te vinden voor n=3,4; daarom zijn bepaalde procedures voor het construeren van magische vierkanten voor n>4 van groot belang. De eenvoudigste constructie is voor een magisch vierkant van oneven orde. U moet een getal in de cel plaatsen met de coördinaten (x,y).

Het is zelfs nog eenvoudiger om het als volgt te construeren: neem een n x n-matrix, waarin een getrapte ruit wordt ingebouwd. Daarin zijn de cellen van links naar boven langs de diagonalen gevuld met een opeenvolgende reeks getallen. De waarde van de centrale cel C wordt bepaald.

Dan zijn de waarden in de hoeken van het magische vierkant als volgt: cel C-1 rechtsboven; cel C+1 linksonder; cel C-n rechtsonder; cel linksboven C+n.

HET OPSTELLEN VAN MAGISCHE VIERKANTEN.

Hoe worden magische vierkanten gemaakt?

Creatie van het magische vierkant "Lo-Shu".

Taak: Een vierkant van 3x3, opgebouwd uit getallen van 1 tot en met 9, zodat de som van de getallen in elke rij, kolom en diagonaal gelijk is.

Oplossing: Laten we het probleem oplossen zonder alle permutaties van 9 cijfers in 9 cellen achter elkaar door te nemen (het aantal van dergelijke arrangementen is 362880). Laten we zo denken. De som van alle getallen van 1 tot en met 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Dit betekent dat in elke rij en in elke kolom de som van de getallen gelijk moet zijn aan: 45:3=15. Maar als je alle getallen in de tweede kolom en rij en in beide diagonalen bij elkaar optelt, dan verschijnt elk getal één keer, met uitzondering van het centrale getal, dat vier keer verschijnt. Dit betekent dat als we het centrale getal met x aangeven, de gelijkheid 4*15=3x+3*15 moet gelden. Dus x=5, dat wil zeggen dat het getal 5 in het midden van de tafel moet staan.

Merk nu op dat het getal 9 niet in de hoek van de tabel kan verschijnen, bijvoorbeeld in de linkerbovenhoek. In de tegenovergestelde hoek zou immers het cijfer 1 staan, en voor de eerste rij en kolom zou er nog één combinatie over zijn: de cijfers 4 en 2. Dit betekent dat 9 in het midden van enkele buitenste rijen of kolommen staat ( bij ons, in het midden van de eerste rij). De andere twee getallen in deze rij zijn 4 en 2, en het derde getal in de middelste kolom moet 15-9-5=1 zijn. De getallen 8 en 6 moeten op dezelfde lijn staan als 1. Het magische vierkant is dus bijna gevuld en het is gemakkelijk om een plaats te vinden voor de overige getallen. Het resultaat is een “Lo-Shu”-vierkant.

Uiteraard kun je voor 9 nog drie andere plaatsen kiezen, en na het kiezen van een plaats voor dit getal zijn er twee mogelijkheden voor de plaatsing van de getallen 4 en 2. In totaal krijg je 4 * 2 = 8 verschillende magische vierkanten van drie rijen en drie kolommen (of, zoals wiskundigen zeggen, vierkanten van de derde orde). Al deze vierkanten kunnen op “Lo-Shu” worden verkregen door het vierkant 180,90 of 270 te draaien. Een spiegelbeeldoptie is ook mogelijk.

Vierkant

"Lo-Shu"

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Een magisch vierkant creëren

Albrecht Dürer.

Taak : Maak een magisch vierkant van 4x4 van de getallen 1 tot en met 16, zodat de som van de getallen in elke rij, kolom en diagonaal gelijk is.

Oplossing: Som van alle getallen van 1 tot 16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Dit betekent dat in elke rij en in elke kolom de som van de getallen gelijk moet zijn aan: 136:4 = 34. Maar als je alle getallen bij elkaar optelt, ten tweede, in de kolom en rij en in beide diagonalen, dan zal elk getal één keer verschijnen, met uitzondering van de centrale getallen, die twee keer verschijnen. Deze getallen zijn 10,11,6,7. Vervolgens bezorgen we de resterende getallen 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 aan de resterende cellen

Albrecht Durer-plein
Sudoku.

Vertaald uit het Japans betekent “su” “cijfer” en “doku” betekent “alleen staan”.

Het is niet nodig om te raden of in boeken te duiken - alleen logica en aandacht!

Taak: Vul de lege cellen in met getallen van 1 tot en met 9, zodat het getal niet in een rij, kolom en in elk van de 9 blokken van 3x3 wordt herhaald.

Oplossing: stap 1

Laten we naar de gemarkeerde rij kijken. Er ontbreken alleen twee cijfers: 1 en 2. Laten we naar de eerste lege cel aan de rechterkant kijken. Kunnen we er 1 plaatsen? Nee. Omdat deze kolom al 1 heeft en deze getallen niet in de kolom kunnen worden herhaald. Dit betekent dat we er maar 2 in deze cel kunnen plaatsen. Dat zullen we doen. Nu hoeven we alleen nog maar het getal 1 in de lege, laatste cel van deze rij in te voeren, en de rij is voltooid.

	9	2	3		7		4	5
8	3		1		4	6		7
6			8		5		3
7	8	3	6	5	1	4	2	9
			4	7	3	1	5	8
5	1	4		8		7
	6		5	1	8			4
4		8		3			1
3	7			4		5		2

Laten we naar de geselecteerde kolom kijken: deze mist ook slechts twee cijfers: 2 en 7. We kunnen het getal 7 niet invoeren in de eerste lege cel vanaf de bovenkant van deze kolom, omdat er in de rij die de kolom snijdt al een getal 7 staat. Maar we kunnen het in nummer 2 invoeren, en dat is wat we doen! En voor het getal 7 is er maar één leeg

de cel in deze kolom is de tweede cel van onderen. Schrijf gerust het cijfer 7 erin - de kolom is gevuld!

	9	2	3		7		4	5
8	3		1		4	6		7
6			8		5		3
7	8	3	6	5	1	4	2	9
			4	7	3	1	5	8
5	1	4	2	8		7
	6		5	1	8			4
4		8	7	3			1
3	7		9	4		5		2

Laten we nu eens kijken naar het centrale cellenblok: er zit nog maar één lege cel in, dat wil zeggen dat er maar één getal ontbreekt. Laten we goed kijken: dit is nummer 9, aangezien alle andere nummers al op hun plaats staan. We schrijven het getal 9 opnieuw in de cel... en opnieuw "kijken we rond" - en opnieuw hebben we één rij en één kolom. Waarin twee cijfers ontbreken. Wat is het volgende? We zullen het antwoord zelf vinden - stap 1, stap 2...