Lengden på høyden på den rette. Høyre trekant

Gjennomsnittlig nivå

Høyre trekant. Full illustrert guide (2019)

HØYRE TREKANT. FØRSTE NIVÅ.

I oppgavene er den rette vinkelen ikke nødvendig - den venstre bunnen, så du må lære å gjenkjenne den rektangulære trekanten og i dette skjemaet,

og i så fall

og i dette

Hva er bra i en rektangulær trekant? Vel ..., for det første er det spesielle vakre navn for sine sider.

Oppmerksomhet til tegningen!

Husk og ikke forvirre: katets - To, og Hypotenuse - bare en (den eneste, unike og lengste)!

Vel, navnene diskutert, nå det viktigste: Pythagora theorem.

Pythagorean theorem.

Denne teoremen er en nøkkel til å løse mange oppgaver med deltakelse av en rektangulær trekant. Hun viste seg at Pythagoras i helt uendelige tider, og siden da har hun brakt mye nytte kunnskapsrik. Og det beste i det er at det er enkelt.

Så, Pythagorean Theorem:

Husk spøk: "Pythagoras bukser på alle sider er like!"?

La oss tegne disse de mest pythagoras buksene og se på dem.

Sant, det ser ut som noen shorts? Vel, på hvilke fester og hvor er det like? Hvorfor og hvor kom vitsen fra? Og denne vitsen er forbundet bare fra Pythagora-teormen, mer presist, da Pythagore selv formulerte sin theorem. Og han formulerte det slik:

"Beløp kvadrater firkanterbygget på catetes like firkantet kvadratbygget på hypotenuse. "

Sant, litt annerledes lyder? Og så, da Pythagoras trakk godkjenningen av hans theorem, viste seg bare å være et slikt bilde.

I dette bildet er mengden små firkanter lik torget på et stort torg. Og slik at barn blir bedre husket at summen av katets firkanter er lik torget i hypotenusen, noen er vittig og oppfunnet denne vitsen om Pythagora bukser.

Hvorfor formulerer vi nå Pythagore's theorem

Og Pythagoras led og begrunnet seg om torget?

Du ser, i oldtiden var det ingen ... Algebras! Det var ingen betegnelse og så videre. Det var ingen påskrifter. Kan du forestille deg hvor fattige gamle studenter var forferdelig å huske alle ordene ??! Og vi kan nyte at vi har en enkel formulering av Pythagores theorem. La oss gjenta det igjen for å huske:

Nå skal det være lett:

Kvadratet av hypoteningen er lik summen av kvadratene i katetsene.

Vel, det viktigste theoremet om den rektangulære trekanten diskutert. Hvis du er interessert i hvordan det blir bevist, les følgende nivåer av teorien, og la oss nå gå videre ... i den mørke skogen ... trigonometri! Til de forferdelige ordene i sinus, kosinus, tangent og kotangenes.

Sinus, Cosine, Tangent, Catangenes i en rektangulær trekant.

Faktisk er alt ikke så skummelt. Selvfølgelig må den "presentere" definisjonen av sinus, cosine, tangent og catangens sees i artikkelen. Men jeg vil egentlig ikke ha det? Vi kan henvise: For å løse problemer med en rektangulær trekant, kan du bare fylle ut følgende enkle ting:

Og hvorfor er det bare om hjørnet? Hvor er vinkelen? For å håndtere dette må du vite hvordan uttalelsene 1 - 4 er skrevet av ord. Se, forstå og husk!

1.
Generelt høres det ut som dette:

Hva er vinkelen? Er det en Catt som er motsatt vinkelen, det vil si det motsatte (for hjørnet) Catat? Selvfølgelig har det! Det er Cathe!

Men hva med vinkelen? Se nøye. Hvilken Catat er ved siden av hjørnet? Selvfølgelig, Catat. Så, for hjørnet Catat - Personvern, og

Og nå, oppmerksomhet! Se hva vi gjorde:

Se hvor kult:

La oss nå gå til Tangent og Kotannce.

Hvordan skrive ut dette nå? Ser på hva som er i forhold til hjørnet? Med motsatt, selvfølgelig, ligger han "motsatt hjørnet. Og catat? Sprute til hjørnet. Så hva skjedde med oss?

Se, telleren og denominatoren endret steder?

Og nå igjen hjørnene og utvekslet:

Sammendrag

La oss kort skrive alt vi lærte.

Pythagorean Theorem:

Hovedordningen på den rektangulære trekanten er Pythagora theorem.

Pythagorean Theorem.

Forresten, husker du godt hva Katenets og Hypotenuse er? Hvis ikke egentlig, så se på tegningen - ødelegge kunnskapen

Det er mulig at du allerede har brukt teoret av Pythagora mange ganger, men tenkte du på hvorfor en slik teorem er riktig. Hvordan bevise det? Og la oss gjøre som gamle greker. Tegn en firkant med en side.

Se hvordan Cunning vi delte det på klippene av lengder og!

Og nå koble de merkede poengene

Her bemerket vi sannheten også noe, men du selv ser på tegningen og tenker hvorfor det.

Hva er området på et større torg?

Ikke sant, .

Og området er mindre?

Sikker, .

Det var det totale arealet på fire hjørner. Tenk deg at vi tok dem to og førte dem til hverandre med hypotenuser.

Hva skjedde? To rektangler. Så, området "trimming" er lik.

La oss samle alt sammen.

Vi forvandler:

Så vi besøkte Pythagore - viste det til theorem på en gammel måte.

Rektangulær trekant og trigonometri

For en rektangulær trekant utføres følgende forhold:

Sine av akutt vinkel er lik holdningen til motsatt kategori for hypotenuse

Kosinjen i den akutte vinkelen er lik holdningen til den tilstøtende Catech for hypotenuse.

Tangenten av akutt vinkel er lik holdningen til motsatt katech til den tilstøtende katelet.

Cotangenes av akutt vinkel er lik holdningen til den tilstøtende Catech til motsatt katet.

Og igjen, alt dette i form av en tallerken:

Det er veldig praktisk!

Tegn på likestilling av rektangulære trekanter

I. For to kategorier

II. På katten og hypotenuse

III. På hypotenuse og akutt hjørne

Iv. På Cathetu og Akutt hjørne

en)

Merk følgende! Det er veldig viktig her at Kartets er "relevante". For eksempel, hvis det er slik:

Deretter er trekanter ikke likeTil tross for at de har et identisk akutt hjørne.

Trenger å I begge trekanter var Catat tilstøtende, eller i begge motsatt.

La du merke til hva tegn på likestilling av rektangulære trekanter varierer fra de vanlige tegnene på likestilling av trekanter?

Ploit i emnet "og ta hensyn til det faktum at likestillingen av de" vanlige "trekanter trenger likestilling av de tre elementene: to sider og vinkel mellom dem, to vinkel og side mellom dem eller tre sider.

Men for likestilling av rektangulære trekanter er bare to respektive elementer nok. Flott, ikke sant?

Omtrent samme situasjon og tegn på likhet av rektangulære trekanter.

Tegn på likhet med rektangulære trekanter

I. For akutt hjørne

II. I to kategorier

III. På katten og hypotenuse

Median i en rektangulær trekant

Hvorfor er det slik?

Vurder i stedet for en rektangulær trekant et helt rektangel.

La oss tegne en diagonal og vurdere poenget - poenget med skjæringspunktet mellom diagonaler. Hva er kjent om rektangelet diagonal?

Og hva følger av dette?

Så viste det seg

- Mediana:

Husk dette faktum! Hjelper mye!

Og det er enda mer overraskende, så dette er det som er sant og motsatt erklæring.

Hvilken god kan hentes fra det faktum at medianen brukt på hypotenusen er lik halvparten av hypotenuse? Og la oss se på bildet

Se nøye. Vi har: det er, det vil si avstanden fra punktet til alle tre hjørner av trekanten viste seg å være like. Men i trekanten er det bare ett punkt, avstanden som om alle tre hjørner av trekanten er lik, og dette er midtpunktet for den beskrevne sirkelen. Så hva skjedde?

Her la oss starte med dette "i tillegg ...".

La oss se på og.

Men i slike triangler er alle hjørner like!

Det samme kan sies om og

Og nå vil jeg tegne det sammen:

Hva slags fordel kan læres av denne "trippel" likheten.

Vel, for eksempel - To formler for høyden på den rektangulære trekanten.

Vi skriver forholdet mellom de respektive partene:

For å finne høyden løser vi andelen og får Den første formelen "Høyde i en rektangulær trekant":

Så, vi bruker en likhet :.

Hva skjer nå?

Igjen løser vi andelen, og vi får den andre formelen:

Begge disse formlene må huske veldig bra og bruke den som er mer praktisk.

Vi skriver dem igjen

Pythagorean Theorem:

I en rektangulær trekant er torget av hypotenusen lik summen av kvadratene i katetsene :.

Tegn på likestilling av rektangulære trekanter:

i to kategorier:
på katten og hypotenuse: eller
på katten og tilstøtende akutt hjørne: eller
på katetu og motsatt akutt hjørne: eller
på hypotenuse og akutt hjørne: eller.

Tegn på likhet med rektangulære trekanter:

ett akutt hjørne: eller
av proporsjonaliteten av to kateter:
fra proportionaliteten av katech og hypotenuser: eller.

Sinus, Cosine, Tangent, Catangen i en rektangulær trekant

Sinen av den akutte vinkelen på den rektangulære trekanten kalles holdningen til den motsatte kategorien for hypotenuse:
Kosinjen av den akutte vinkelen på den rektangulære trekanten kalles forholdet mellom den tilstøtende kategorien for hypotenuse:
Tangenten av det skarpe hjørnet av den rektangulære trekanten kalles holdningen til motsatt kategori til den tilstøtende:
Cotangence av den akutte vinkelen på den rektangulære trekanten kalles forholdet mellom den tilstøtende kategorien til motsatt :.

Høyden på den rektangulære trekanten: eller.

I en rektangulær trekant er en median utført fra toppunktet i en direkte vinkel lik halvparten av hypoteningen :.

Området av den rektangulære trekanten:

gjennom katter:
gjennom Catat og Sharp Angle :.

Vel, emnet er ferdig. Hvis du leser disse linjene, så er du veldig kul.

Fordi bare 5% av menneskene er i stand til å mestre noe på egenhånd. Og hvis du leser til slutten, så kom du inn i disse 5%!

Nå det viktigste.

Du skjønte teorien om dette emnet. Og jeg gjentar, det ... det er bare super! Du er bedre enn det absolutte flertallet av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok ...

For hva?

For den vellykkede passering av bruken, for opptak til instituttet på budsjettet og, viktigst, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg noe, jeg vil bare si en ting ...

Folk som fikk en god utdanning, tjener mye mer enn de som ikke mottok den. Dette er statistikk.

Men det er ikke det viktigste.

Det viktigste er at de er lykkeligere (det er slik forskning). Kanskje fordi det er mye flere muligheter til fordel for dem, og livet blir lysere? Jeg vet ikke...

Men tenk meg selv ...

Hva du trenger for å være sikker på å være bedre enn andre på eksamen og bli til slutt ... lykkeligere?

Fyll en hånd ved å løse oppgaver på dette emnet.

Du vil ikke spørre teorien om eksamen.

Du vil trenge løse oppgaver for en stund.

Og hvis du ikke løste dem (mye!), Er du definitivt en tåpelig feil eller bare ikke har tid.

Det er som i sport - du må gjenta mange ganger for å vinne sikkert.

Finn hvor du vil ha en samling, obligatorisk med løsninger, detaljert analyse Og bestem, bestem, bestem!

Du kan bruke våre oppgaver (ikke nødvendigvis), og vi selvfølgelig anbefaler vi dem.

For å fylle hånden ved hjelp av oppgavene våre, må du bidra til å forlenge livet til læreboken, som du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

Åpne tilgang til alle skjulte oppgaver i denne artikkelen - 299 gni.
Åpne tilgang til alle skjulte oppgaver i alle 99 artikler i læreboken - 499 gni.

Ja, vi har 99 slike artikler i vår lærebok og tilgang for alle oppgaver, og alle skjulte tekster kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for hele eksistensen av nettstedet.

For å konkludere...

Hvis oppgavene ikke liker, finn andre. Bare ikke stopp på teorien.

"Jeg forstår" og "jeg kan bestemme" er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn oppgaven og bestem!

(ABC) og dens egenskaper, som presenteres i figuren. Den rektangulære trekanten har en hypotenuse-side som ligger overfor direkte vinkelen.

Tips 1: Hvordan finne en høyde i en rektangulær trekant

Partene som danner en rett vinkel, kalles kategorier. På bildet av siden Annonse, DC og BD, DC - Kartets og sider AC. og St. - Hypotenuser.

TEOREM 1. I en rektangulær trekant med en vinkel på 30 ° Catt, motsatt i dette hjørnet rullet opp halvparten av hypoteningen.

hC.

AU. - Hypotenuse;

AD. og Db.

Triangel
Det er en teorem:
kommenterer system Cackl.E.

Løsning: 1) Diagonalen til ethvert rektangel er like. Det er 2) Hvis en er en skarp vinkel i en trekant, så er denne trekanten akutt. Ikke sant. Typer av trekanter. Triangelen kalles akutt, hvis alle tre av hjørnene er skarpe, det er mindre enn 90 ° 3) hvis punktet ligger på.

Eller, i en annen plate,

Ifølge Pythagora Theorem

Hva er lik høyden i den rektangulære trekanten av formelen

Høyden på den rektangulære trekanten

Høyden på den rektangulære trekanten, utført til hypotenuse, kan finnes på en eller annen måte, avhengig av dataene på problemet med problemet.

Eller, i en annen plate,

Hvor BK og KC-projeksjon av katettene på hypoteningen (segmenter som høyden deler hypotenuse).

Høyden som er utført til hypotenusen, finnes gjennom området av den rektangulære trekanten. Hvis du bruker formelen for å finne et trekantområde

(Halvparten av arbeidsiden til høyden som er utført til denne siden) til hypotenuse og høyde utført til hypotenuse, oppnår vi:

Herfra kan vi finne høyden som forholdet mellom det dobbelte området i trekanten til lengden på hypoteningen:

Siden området av en rektangulær trekant er lik halvparten av katetsarbeidet:

Det vil si at lengden på høyden som er utført til hypotenusen, er lik forholdet mellom produktet av katener til hypotenusen. Hvis du angir lengden på nøtter gjennom A og B, kan hypotens lengde gjennom C, formelen omskrives som

Siden radiusen til sirkelen beskrevet nær den rektangulære trekanten er lik halvparten av hypoteningen, kan lengden på høyden uttrykkes gjennom kattene og radiusen til den beskrevne sirkelen:

Siden høyden stavet til hypoteningen danner to flere rektangulære trekanter, kan dens lengde bli funnet gjennom forholdene i en rektangulær trekant.

Fra en rektangulær trekant abk

Fra den rektangulære trekanten ACK

Lengden på høyden på den rektangulære trekanten kan uttrykkes gjennom katets lengde. Som

Ifølge Pythagora Theorem

Hvis du bygger begge deler av likestilling til torget:

Du kan få en annen formel for å kommunisere høyden på en rektangulær trekant med skikker:

Hva er lik høyden i den rektangulære trekanten av formelen

Høyre trekant. Gjennomsnittlig nivå.

Vil du teste din styrke og finne ut resultatet Hvor mye er du klar for eksamen eller oge?

Hovedordningen på den rektangulære trekanten er Pythagora theorem.

Pythagorean Theorem.

Forresten, husker du godt hva Katenets og Hypotenuse er? Hvis ikke egentlig, så se på tegningen - ødelegge kunnskapen

Se hvordan Cunning vi delte det på klippene av lengder og!

Og nå koble de merkede poengene

Her bemerket vi sannheten også noe, men du selv ser på tegningen og tenker hvorfor det.

Hva er området på et større torg? Ikke sant, . Og området er mindre? Sikker, . Det var det totale arealet på fire hjørner. Tenk deg at vi tok dem to og førte dem til hverandre med hypotenuser. Hva skjedde? To rektangler. Så, området "trimming" er lik.

La oss samle alt sammen.

Så vi besøkte Pythagore - viste det til theorem på en gammel måte.

Rektangulær trekant og trigonometri

For en rektangulær trekant utføres følgende forhold:

Sine av akutt vinkel er lik holdningen til motsatt kategori for hypotenuse

Kosinjen i den akutte vinkelen er lik holdningen til den tilstøtende Catech for hypotenuse.

Tangenten av akutt vinkel er lik holdningen til motsatt katech til den tilstøtende katelet.

Cotangenes av akutt vinkel er lik holdningen til den tilstøtende Catech til motsatt katet.

Og igjen, alt dette i form av en tallerken:

Har du lagt merke til en veldig praktisk ting? Se på tallerkenen nøye.

Det er veldig praktisk!

Tegn på likestilling av rektangulære trekanter

II. På katten og hypotenuse

III. På hypotenuse og akutt hjørne

Iv. På Cathetu og Akutt hjørne

Merk følgende! Det er veldig viktig her at Kartets er "relevante". For eksempel, hvis det er slik:

Deretter er trekanter ikke likeTil tross for at de har et identisk akutt hjørne.

Trenger å I begge trekanter var Catat tilstøtende, eller i begge motsatt.

La du merke til hva tegn på likestilling av rektangulære trekanter varierer fra de vanlige tegnene på likestilling av trekanter? Kart i emnet "Triangle" og ta hensyn til det faktum at likestillingen av de "vanlige" trekanter trenger likestilling av de tre elementene: to sider og vinkel mellom dem, to vinkler og siden mellom dem eller tre sider. Men for likestilling av rektangulære trekanter er bare to respektive elementer nok. Flott, ikke sant?

Omtrent samme situasjon og tegn på likhet av rektangulære trekanter.

Tegn på likhet med rektangulære trekanter

III. På katten og hypotenuse

Median i en rektangulær trekant

Vurder i stedet for en rektangulær trekant et helt rektangel.

La oss tegne en diagonal og vurdere punktet i skjæringspunktet for diagonaler. Hva er kjent om rektangelet diagonal?

Krysset på diagonalen er delt i halv diagonaler er like

Og hva følger av dette?

Så viste det seg

Husk dette faktum! Hjelper mye!

Og det er enda mer overraskende, så dette er det som er sant og motsatt erklæring.

Hvilken god kan hentes fra det faktum at medianen brukt på hypotenusen er lik halvparten av hypotenuse? Og la oss se på bildet

Her, la oss starte med dette "dessuten. "

Men i slike triangler er alle hjørner like!

Det samme kan sies om og

Og nå vil jeg tegne det sammen:

Og de samme skarpe hjørnene!

Hva slags fordel kan læres av denne "trippel" likheten.

Vel, for eksempel - To formler for høyden på den rektangulære trekanten.

Vi skriver forholdet mellom de respektive partene:

For å finne høyden løser vi andelen og får Den første formelen "Høyde i en rektangulær trekant":

Hvordan får du den andre?

Og nå vil vi anvende likheten av trekanter og.

Så, vi bruker en likhet :.

Hva skjer nå?

Igjen løser vi andelen og får den andre formelen "Høyde i en rektangulær trekant":

Begge disse formlene må huske veldig bra og bruke den som er mer praktisk. Vi skriver dem igjen

Vel, nå, påføring og kombinere denne kunnskapen med andre, vil du løse enhver oppgave med en rektangulær trekant!

Kommentarer

Fordeling av materialer uten forhandlinger er tillatt hvis det er en dofollow-kobling til kildesiden.

Personvernregler

Overholdelse av ditt privatliv er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernregler som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernpolicy og informer oss om du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personlig informasjon

Under personlig informasjon er det underlagt data som kan brukes til å identifisere en bestemt person eller kommunisere med den.

Du kan bli bedt om å gi dine personlige opplysninger når som helst når du kobler til oss.

Nedenfor er noen eksempler på typer personlige opplysninger som vi kan samle, og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon vi samler inn:

Når du forlater et program på nettstedet, kan vi samle ulike opplysninger, inkludert ditt navn, telefonnummer, e-postadresse, etc.

Som vi bruker dine personlige opplysninger:

Egenskapen til høyden på den rektangulære trekanten, senket på hypotenusen

Hvis du deltar i premiene, konkurranse eller lignende stimulerende begivenhet, kan vi bruke informasjonen du oppgir for å administrere slike programmer.

Informasjonsopplysning til tredjeparter

Vi avslører ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Hvis det er nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettssaken og / eller på grunnlag av offentlige spørsmål eller forespørsler fra statlige organer på Russlands territorium - for å avsløre dine personlige opplysninger. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi definerer at en slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikte på sikkerhet, opprettholdelse av lov og orden eller andre sosialt viktige tilfeller. I tilfelle av omorganisering, fusjoner eller salg, kan vi formidle den personlige informasjonen vi samler inn tilsvarende tredjepart - en etterfølger.

Beskyttelse av personlig informasjon

Vi gjør forholdsregler - inkludert administrativ, teknisk og fysisk - for å beskytte dine personlige opplysninger mot tap, tyveri og skruppelløs bruk, samt fra uautorisert tilgang, avsløring, endringer og ødeleggelse.

Overholdelse av ditt privatliv på bedriftsnivået

For å sikre at din personlige informasjon er trygg, bringer vi normen for konfidensialitet og sikkerhet til våre ansatte, og følger strengt gjennomføringen avr.

Takk for meldingen!

Din kommentar er akseptert, etter moderering vil den bli publisert på denne siden.

Vil du vite hva som er skjult under kuttet og få eksklusive materialer på forberedelsen til OGE og EGE? Legg igjen e-post

Egenskaper av en rektangulær trekant

Tenk på en rektangulær trekant (ABC) og dens egenskaper, som presenteres i figuren. Den rektangulære trekanten har en hypotenuse-side som ligger overfor direkte vinkelen. Partene som danner en rett vinkel, kalles kategorier. På bildet av siden Annonse, DC og BD, DC - Kartets og sider AC. og St. - Hypotenuser.

Tegn på likestilling av den rektangulære trekanten:

TEOREM 1. Hvis hypoteningen og rulle av den rektangulære trekanten ligner hypotenuruus og en rulle av en annen trekant, så er slike triangler like.

Theorem 2. Hvis to cent av den rektangulære trekanten er lik to kategorier av en annen trekant, så er slike triangler like.

Theorem 3. Hvis hypotenuse og det akutte hjørnet av den rektangulære trekanten ligner den hypotenourous og akutte vinkelen til en annen trekant, så er slike trekanter like.

Theorem 4. Hvis katat og tilstøtende (motsatt), er det skarpe hjørnet av den rektangulære trekanten lik katelen og det tilstøtende (motsatt) akutte hjørnet av den andre trekanten, så er slike triangler like.

Egenskaper i kategorien, et motsatt hjørne på 30 °:

Theorem 1.

Høyde i en rektangulær trekant

I en rektangulær trekant med en vinkel på 30 ° Catt, motsatt til dette hjørnet rullet opp halvparten av hypoteningen.

Theorem 2. Hvis i en rektangulær trekant, er katatet lik halvparten av hypotenusen, vinkelen motsatt til den er 30 °.

Hvis høyden utføres fra toppunktet i den direkte vinkelen til hypoteningen, er en slik trekant delt inn i to mindre, lik den utgående og lignende til en annen. Disse konklusjonene følges av dette:

Høyden er en gjennomsnittlig geometrisk (medium proporsjonal) to segmenter av hypotenuse.
Hver triangle Catt er en middels proporsjonal hypotenuse og tilstøtende segmenter.

I den rektangulære trekanten i rollen som høyder som utragende catts. Orthocentre er et slikt punkt som høyden på trekanten oppstår. Det faller sammen med toppen av den rette vinkelen på figuren.

hC. - Høyde som forlater det direkte hjørnet av trekanten;

AU. - Hypotenuse;

AD. og Db. - Segmenter som har oppstått når du deler hypotenushøyde.

Gå tilbake for å se sertifikater på disiplinen "Geometri"

Triangel - Dette er en geometrisk form som består av tre punkter (hjørner) som ikke er på samme rette linje og tre segmenter som forbinder disse punktene. Den rektangulære trekanten kalles en trekant som har en av vinklene ved 90 ° (rett vinkel).
Det er en teorem: Summen av de skarpe hjørnene av den rektangulære trekanten er 90 °.
kommenterer system Cackl.E.

Nøkkelord: Trekant, rektangulær, cathe, hypotenuse, pythagora theorem, sirkel

Trekant kalt rektangulærHvis han har et rett hjørne.
Den rektangulære trekanten har to gjensidig vinkelrette sider, kalt catetie.; Den tredje siden kalles hypotenuse.

Ifølge egenskapene til vinkelrett og skrånende hypotenuser er lengre enn hver av katetsene (men mindre enn summen).
Summen av de to skarpe hjørnene av den rektangulære trekanten er lik direkte hjørnet.
To høyder av den rektangulære trekanten sammenfaller med sine toll. Derfor faller en av fire fantastiske punkter i toppen av det direkte hjørnet av trekanten.
Senteret for den beskrevne sirkelen av den rektangulære trekanten ligger i midten av hypotenusen.
Medianen av en rektangulær trekant, utført fra toppen av sfærevinkelen på hypotenusen, er en radius av omkretsen beskrevet i nærheten av denne trekanten.

Vurder en vilkårlig rektangulær trekant ABC og tilbringe høyden CD \u003d HC fra toppunktet fra sin direktevinkel.

Det bryter denne trekanten i to rektangulære trekanter av ACD og ADM; Hver av disse trianglene har en vanlig skarp vinkel med en trekant og er derfor lik ABC-trekanten.

Alle tre trekanter ABC, ACD og ALD ligner hverandre.

Av likheten av trekanter er relasjoner bestemt:

$$ h \u003d \\ sqrt (a_ (c) \\ cdot b_ (c)) \u003d \\ frac (a \\ cdot b) (c) $$;
c \u003d AC + BC;
$$ a \u003d \\ sqrt (a_ (c) \\ cdot c), b \u003d \\ sqrt (b_ (c) \\ cdot c) $$;
$$ (\\ frac (a) (b)) ^ (2) \u003d \\ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

Pythagorean Theorem. En av de grunnleggende teorene til euklidisk geometri, som etablerer forholdet mellom sidene av den rektangulære trekanten.

Geometrisk ordlyd. I en rektangulær trekant er kvadratet av torget bygget på hypotenuse lik summen av firkantene i rutene som er bygget på kategoriene.

Algebraisk ordlyd.I en rektangulær trekant er torget i hypotenusen lik summen av kvadrene i katetsene.
Det er, refererer til lengden på trekanten hypotenuse gjennom C, og lengden på kattene gjennom A og B:
A2 + B2 \u003d C2

Pythagorean Reverse theorem.

Høyden på den rektangulære trekanten

For en trippel av positive tall A, B og C, slik at
A2 + B2 \u003d C2,
Det er en rektangulær trekant med Cates A og B og Hypotenurus C.

Tegn på likestilling av rektangulære trekanter:

på katten og hypotenuse;
i to kategorier;
på katten og akutt hjørne;
på hypotenuse og akutt hjørne.

Se også:
Trekantenes område, en likevekts trekant, en like-sidig trekant

Geometri. 8 Klasse. Test 4. Alternativ 1 .

AD. : CD \u003d CD. : Bd. Dermed cd2 \u003d annonse ∙ Bd. De sier:

AD. : AC \u003d AC. : Ab. Dermed AC2 \u003d AB ∙ AD. De sier:

Bd. : Bc \u003d bc. : Ab. Dermed bc2 \u003d ab ∙ Bd.

Løs oppgavene:

EN) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Høyden på den rektangulære trekanten, utført til hypotenuse, deler hypotenuse til segmenter 9 og 36.

Bestem lengden på denne høyden.

EN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

EN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

EN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

EN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

8. Tegneserie av en rektangulær trekant er 30.

Hvordan finne en høyde i en rektangulær trekant?

Finn avstanden fra toppunktet i en direkte vinkel til hypotenuser dersom radiusen til omkretsen beskrevet nær denne trekanten er 17.

EN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

EN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

EN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

EN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Sjekk ut svarene!

G8.04.1. Proportionale segmenter i en rektangulær trekant

Geometri. 8 Klasse. Test 4. Alternativ 1 .

I δ ABC ∠AV \u003d 90 °. AC og Sun Katenets, AB hypotenuse.

CD Høyde på trekanten utført til hypotenuse.

Ad projeksjon av cate au på hypotenuse,

BD projeksjon av cate solen på hypotenuse.

Høyden på CDen deler ABC-trekanten til to som ligner på den (og hverandre) av trekanten: Δ ADC og δ CDB.

Av proporsjonaliteten av sidene av lignende Δ ADC og Δ CDB følger:

AD. : CD \u003d CD. : Bd.

Egenskapen til høyden på den rektangulære trekanten, senket på hypotenusen.

Dermed cd2 \u003d annonse ∙ Bd. De sier: høyden på den rektangulære trekanten, utført til hypotenuse,det er en gjennomsnittlig proporsjonal verdi mellom projeksjonene av katettene på hypotenuse.

Fra likheten av δ ADC og Δ ACB følger:

AD. : AC \u003d AC. : Ab. Dermed AC2 \u003d AB ∙ AD. De sier: hver Catat er den gjennomsnittlige proporsjonalverdien mellom hele hypotenuse og projeksjonen av denne kategorien på hypoteningen.

På samme måte følger fra likheten δ CDV og Δ ACB:

Bd. : Bc \u003d bc. : Ab. Dermed bc2 \u003d ab ∙ Bd.

Løs oppgavene:

1. For å finne høyden på den rektangulære trekanten, utført til hypoteningen, hvis den deler hypotenuse til segmenter 25 cm og 81 cm.

EN) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Høyden på den rektangulære trekanten, utført til hypoteningen, deler hypotenuse til segmenter 9 og 36. Bestem lengden på denne høyden.

EN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Høyden på den rektangulære trekanten, utført til hypotenusen, er 22, fremspringet av et av katetsene er 16. Finn fremspringet av en annen kategori.

EN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Tegneserie av en rektangulær trekant er 18, og dens fremspring på hypotenuse 12. Finn hypotenuse.

EN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hypotenuse er 32. Finn Catat, projeksjonen av hvilken er 2 av hypotenusen.

EN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Hypotenusen av den rektangulære trekanten er 45. Finn Catat, som projiserer som er lik hypotenuse 9.

8. Røtter av en rektangulær trekant er 30. Finn avstanden fra toppunktet i den direkte vinkelen til hypotenuse hvis omkretsens radius beskrevet nær denne trekanten er 17.

EN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Hypoteningen av den rektangulære trekanten er 41, og fremspringet av et av katetsene 16. Finn lengden på høyden utført fra toppunktet i den direkte vinkelen til hypotenuse.

EN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

EN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Forskjellen i projeksjonene av katettene på hypoteningen er 15, og avstanden fra toppunktet i den direkte vinkelen til hypoteningen er 4. Finn radiusen til den beskrevne sirkelen.

EN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Først av alt er en trekant en geometrisk form som dannes av tre, ikke liggende på en rett, prikker som er forbundet med tre segmenter. For å finne det som er lik høyden på trekanten, er det først og fremst for å bestemme sin type. Triangles varierer i verdiene i hjørnene og mengden like vinkler. Ved vinklesstørrelsen kan trekanten være akutt vinklet, dum og rektangulært. I forhold til antall like partier er en likevekt, like-sidig og allsidig trekanter isolert. Høyden er en vinkelrett, som utelates på motsatt side av trekanten fra sin toppunkt. Hvordan finne en trekanthøyde?

Hvordan finne høyden på en rettferdig trekant

For en likestilt trekant, er likestillingen av partene og vinklene karakterisert ved sin base, derfor er høyden på en rettferdig trekant brukt mot sidene, alltid lik hverandre. Også, høyden på denne trekanten er samtidig median og bisector. Følgelig deler høyden basen i halvparten. Vi vurderer den resulterende rektangulære trekanten og finner siden, det vil si høyden på en rettferdig trekant, gjennom Pytagora-teoret. Dra nytte av følgende formel, beregne høyden: H \u003d 1/2 * √4 * A 2 - B 2, hvor: A er sidesiden av en gitt isobol trekant, B er grunnlaget for en gitt isobid trekant.

Hvordan finne høyden på den likeverdige trekanten

Triangelen med like partier kalles likepost. Høyden på en slik trekant er avledet fra formelen av høyden på en rettferdig trekant. Det viser seg: H \u003d √3 / 2 * A, hvor A er siden av denne like-sidig trekant.

Hvordan finne høyden på en allsidig trekant

Den allsidige kalles en trekant, hvis to parter ikke er lik hverandre. I en slik trekant vil alle tre høyder være forskjellige. Det er mulig å beregne lengdene på høydene ved hjelp av formelen: H \u003d SIN60 * A \u003d A * (SGRT3) / 2, hvor A er siden av trekanten, eller først vurdere området av en bestemt trekant i henhold til Geron-formelen, som ser ut som: S \u003d (P * (PC) * (PB) * (PA)) ^ 1/2, hvor A, B, sider av en allsidig trekant, og P er halvversjonen. Hver høyde \u003d 2 * område / side

Hvordan finne høyden på den rektangulære trekanten

Den rektangulære trekanten har en rett vinkel. Høyden som passerer til et av kattene, er samtidig det andre katet. Derfor er det nødvendig å bruke den endrede formelen av Pythagora: A \u003d √ (C2 - B 2), hvor A, B er Katenets (A - Catat, som må finnes), C er hypotenbruklengden. For å finne den andre høyden, er det nødvendig å sette den oppnådde verdien A på plass b. For å finne den tredje, underliggende trekanten, gjelder høyden følgende formel: H \u003d 2S / A, hvor H er høyden på den rektangulære trekanten, S er dets område, a - lengden på partene som høyden er vinkelrett på.

Triangelen kalles akutt dersom alle hjørnene er skarpe. I dette tilfellet er alle tre høyder plassert i den akutte trekanten. Triangelen kalles dum i nærvær av en dum vinkel. To høyder av en dum trekant er utenfor trekanten og faller for å fortsette sidene. Den tredje parten er inne i trekanten. Høyden bestemmes av samme Pytyagora-teorem.

Generelle formler som en trekanthøydeberegninger

Formelen for å finne høyden på trekanten gjennom partene: H \u003d 2 / A √P * (PC) * (PB) * (PB), hvor H er høyden du vil finne, A, B og C - Partene i denne trekanten, P er det halvt mål.
Formel for å finne høyden på trekanten gjennom vinkelen og siden: h \u003d b synd y \u003d c synd ß
Formelen for å finne høyden på trekanten gjennom området og siden: h \u003d 2s / a, hvor a er siden av trekanten, og H er bygget til siden og høyden.
Formelen for å finne høyden på trekanten gjennom radius og side: H \u003d BC / 2R.

Høyre trekant - Dette er en trekant som har en av hjørnene - rett, det vil si er 90 grader.

Siden motsetter seg direkte hjørnet kalles hypotenuse (i figuren som er angitt som c. eller ab)
Siden ved siden av det rette hjørnet kalles Cathe. Hver rektangulær trekant har to kategorier (i figuren som er angitt som eN. og b eller AC og BC)

Formler og egenskaper av en rektangulær trekant

Betegnelser av formler:

(se tegning over)

a, B. - Røtter av en rektangulær trekant

c. - Hypotenuse

α, β - Skarpe hjørner av trekanten

S. - område

h. - Høyde, senket fra toppen av den direkte vinkelen på hypoteningen

m A. eN. fra motsatt vinkel ( α )

m B.- Median, brukt b. fra motsatt vinkel ( β )

m C.- Median, brukt c. fra motsatt vinkel ( γ )

I rektangulær trekant noen av katetsene mindre hypotenuse (Formler 1 og 2). Denne egenskapen er en konsekvens av Pythagorean Theorem.

Cosinus av noen av de skarpe hjørnene Mindre enhet (formel 3 og 4). Denne eiendommen følger fra den forrige. Siden noen av katetsene er mindre enn hypotenuse, er forholdet mellom Catech for hypotenuse alltid mindre enn en enhet.

Kvadratet av hypoteningen er lik summen av kvadrater av katetsene (Pythagores theorem). (Formula 5). Denne egenskapen er kontinuerlig brukt når man løser problemer.

Kvadrat av en rektangulær trekant Lik halvdel av arbeidet med katets (Formula 6)

Summen av firkantene i medianen Til toll, lik fem firkanter av medianer til hypotenuse og fem firkanter av hypotenuse dividert med fire (Formula 7). Foruten spesifisert, er det 5 flere formlerDerfor anbefales det også å gjøre deg kjent med leksjonen til "median rektangulær trekant" leksjonen, hvor dagens egenskaper er beskrevet mer detaljert.

Høydeden rektangulære trekanten er lik produktet av katettene dividert med hypotenuse (formel 8)

Katets kvadrater er omvendt proporsjonale med kvadratet av høyden, senket på hypotenuse (formel 9). Denne identiteten er også en av konsekvensene av Pythagorean Theorem.

Lengde hypotenuser lik diameteren (to radius) av den beskrevne sirkelen (formel 10). Hypotenus av en rektangulær trekant er diameteren av den beskrevne sirkelen. Denne egenskapen brukes ofte når du løser problemer.

Radius innskrevet i høyre trekant sirkeldu kan finne både halvparten av uttrykket som inneholder summen av katetsene til denne trekanten minus lengden på hypoteningen. Eller som et produkt av katettene, dividert med summen av alle sider (perimeter) av denne trekanten. (Formula 11)
Sinus hjørne forholdet mellom motsatt Dette hjørnet cate for hypotenuse (per definisjon av sinus). (Formula 12). Denne egenskapen brukes når du løser oppgaver. Å kjenne sidene av partene, kan du finne vinkelen som de danner.

Cosine vinkel A (α, alfa) i en rektangulær trekant vil være like forhold ved siden av Dette hjørnet Cate for hypotenuse (per definisjon av sinus). (Formula 13)

Triangel - Dette er en av de mest berømte geometriske figurene. Den brukes overalt - ikke bare på tegningene, men også som interiørvarer, detaljer om ulike design og bygninger. Det er flere typer av denne figuren - rektangulær en av dem. Dens særegne funksjon er tilstedeværelsen av en rett vinkel lik 90 °.. For å finne to av tre høyder, er det nok å måle Kartets. Den tredje er størrelsen mellom toppunktet i direktevinkelen og midten av hypoteningen. Ofte i geometri er spørsmålet om hvordan man finner høyden på den rektangulære trekanten. La oss bestemme denne enkle oppgaven.

Trenge:

- linje;
- en bok om geometri;
- høyre trekant.

Instruksjon:

Tegn en trekant med direkte vinkel AVS.hvor hjørnet. AVS. er lik 90 ° det vil si, er direkte. Senk høyden H. Fra en rett vinkel på hypotenuse - kuttet Som. Sted hvor segmenter kommer i kontakt, markerer poenget D..
Du må få en annen trekant - Adb.. Vær oppmerksom på at det ligner på eksisterende AVS.Siden hjørnene Abs. og Adb \u003d 90 °så er de lik hverandre, og vinkelen Dårlig. Det er vanlig for begge geometriske former. Sluttet dem kan konkluderes med at partene AD / AB \u003d BD / BS \u003d AB / AS. Fra de resulterende forholdene kan sendes ut som EN.D. er lik Ab² / som..
Siden den resulterende trekanten Adb. Den har en direkte vinkel, under måling av sine sider og hypotenuser, kan du bruke Pytagora-teoret. Her er det hun ser ut: Ab \u003d ad² + bd². For å løse det, bruk likestillingen AD.. Du bør ha følgende: Bd² \u003d ab² - (ab² / AC) ². Siden den målte trekanten Abs. er rektangulær da Bs² er lik AS² — Ab². Følgelig festen BD² er lik ABSB² / AC²at med utvinningen av roten vil være like BD \u003d AB * BS / AS.
På samme måte kan løsningen være avledet ved bruk av den andre mottatte trekanten -
BDS.. I dette tilfellet er det også lik den første AVS.Takket være to hjørner - Abs. og BDS \u003d 90 °og hjørne DSB. er vanlig. Videre, som i det foregående eksemplet, blir andelen produksjon i forholdet mellom partene, hvor BD / AB \u003d DS / BS \u003d BS / AS. Dermed størrelsen Ds. Skjermer gjennom likestilling Bs² / As. Som, Ab \u003d ad * som , at BS² \u003d DS * AS. Herfra konkluderer vi det BD² = (Ab * bs / as) ² eller AD * AS * DS * AS / AS²Hva er likeverdig Ad * Ds.. For å finne høyden i dette tilfellet, er det nok å trekke roten til arbeidet Ds. og AD..