Som du vet, når multiplikasjon av uttrykk med krefter, summeres eksponentene deres alltid (a b * a c = a b + c). Denne matematiske loven ble utledet av Archimedes, og senere på 800 -tallet laget matematikeren Virasen en tabell med hele indikatorer. Det var de som tjente til videre oppdagelse av logaritmer. Eksempler på bruk av denne funksjonen finnes nesten overalt hvor du trenger å forenkle en tungvint multiplikasjon ved enkelt tillegg. Hvis du bruker 10 minutter på å lese denne artikkelen, vil vi forklare deg hva logaritmer er og hvordan du arbeider med dem. Enkelt og tilgjengelig språk.

Definisjon i matematikk

Logaritmen er et uttrykk for følgende form: log ab = c, det vil si logaritmen til ethvert ikke-negativt tall (det vil si enhver positiv) "b" basert på basen "a" er kraften "c", som basen "a" må heves til, for å ende opp med å få verdien "b". La oss analysere logaritmen ved å bruke eksempler, for eksempel er det en uttrykkslogg 2 8. Hvordan finne svaret? Det er veldig enkelt, du må finne en slik grad, slik at fra 2 til ønsket grad får du 8. Etter å ha gjort noen beregninger i tankene dine, får vi tallet 3! Og med rette, fordi 2 til 3 gir tallet 8 i svaret.

Varianter av logaritmer

For mange elever og studenter virker dette emnet komplisert og uforståelig, men faktisk er logaritmer ikke så skummelt, det viktigste er å forstå deres generelle betydning og huske egenskapene og noen regler. Det er tre forskjellige typer logaritmiske uttrykk:

1. Naturlig logaritme ln a, der basen er Eulers tall (e = 2,7).
2. Desimal a, base 10.
3. Logaritme med et hvilket som helst tall b for å basere a> 1.

Hver av dem er løst på en standard måte, inkludert forenkling, reduksjon og påfølgende reduksjon til en logaritme ved bruk av logaritmiske setninger. For å oppnå de riktige verdiene til logaritmene, må man huske egenskapene og rekkefølgen av handlinger når man løser dem.

Regler og noen begrensninger

I matematikk er det flere regler-begrensninger som godtas som et aksiom, det vil si at de ikke er omsettelige og sanne. For eksempel kan du ikke dele tall med null, og du kan fremdeles ikke trekke ut en jevn rot av negative tall. Logaritmer har også sine egne regler, hvoretter du enkelt kan lære å jobbe selv med lange og romslige logaritmiske uttrykk:

• basen "a" må alltid være større enn null, og samtidig ikke være lik 1, ellers mister uttrykket sin betydning, fordi "1" og "0" i en hvilken som helst grad alltid er lik verdiene;
• hvis a> 0, så a b> 0, viser det seg at "c" også må være større enn null.

Hvordan løser du logaritmer?

For eksempel, gitt oppgaven å finne svaret på ligningen 10 x = 100. Det er veldig enkelt, du må velge en slik grad og heve tallet ti som vi får 100 til. Dette, selvfølgelig, 10 2 = 100 .

La oss nå representere dette uttrykket som et logaritmisk uttrykk. Vi får logg 10 100 = 2. Når vi løser logaritmer, konvergerer alle handlinger praktisk talt for å finne kraften det er nødvendig å introdusere logaritmenes grunnlag for å få det gitte tallet.

For å nøyaktig bestemme verdien av en ukjent grad, er det nødvendig å lære å jobbe med tabellen over grader. Det ser slik ut:

Som du kan se, kan noen eksponenter gjettes intuitivt hvis du har en teknisk tankegang og kunnskap om multiplikasjonstabellen. Imidlertid krever større verdier et effektbord. Den kan brukes selv av de som ikke vet noe om komplekse matematiske emner i det hele tatt. Den venstre kolonnen inneholder tall (base a), den øverste raden med tall er effekten c som tallet a er hevet til. I krysset i cellene er verdiene til tallene definert, som er svaret (a c = b). Ta for eksempel den aller første cellen med tallet 10 og firkant den, vi får verdien 100, som er angitt i skjæringspunktet mellom våre to celler. Alt er så enkelt og lett at selv den mest ekte humanisten vil forstå!

Likninger og ulikheter

Det viser seg at eksponenten under visse forhold er logaritmen. Derfor kan ethvert matematisk numerisk uttrykk skrives som en logaritmisk likhet. For eksempel kan 3 4 = 81 skrives som logaritmen til 81 til base 3, lik fire (log 3 81 = 4). For negative krefter er reglene de samme: 2 -5 = 1/32, vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. Et av de mest fascinerende områdene i matematikk er temaet "logaritmer". Vi vil vurdere eksempler og løsninger på ligninger litt nedenfor, umiddelbart etter å ha studert egenskapene deres. La oss nå se på hvordan ulikheter ser ut og hvordan vi skiller dem fra ligninger.

Et uttrykk for følgende form er gitt: log 2 (x -1)> 3 - det er en logaritmisk ulikhet, siden den ukjente verdien "x" er under logaritmens tegn. Og også i uttrykket sammenlignes to verdier: logaritmen til det nødvendige tallet i grunn to er større enn tallet tre.

Den viktigste forskjellen mellom logaritmiske ligninger og ulikheter er at ligninger med logaritmer (for eksempel logaritme 2 x = √9) innebærer en eller flere spesifikke numeriske verdier i svaret, mens løsning av ulikheten bestemmer både rekkevidde for tillatte verdier Og punktene som bryter denne funksjonen. Som en konsekvens er svaret ikke et enkelt sett med separate tall, som i svaret på ligningen, men en kontinuerlig serie eller sett med tall.

Grunnleggende teoremer om logaritmer

Når du løser primitive oppgaver for å finne verdiene til logaritmen, er det mulig at dens egenskaper ikke er kjent. Når det gjelder logaritmiske ligninger eller ulikheter, er det imidlertid først og fremst nødvendig å forstå og anvende alle de grunnleggende egenskapene til logaritmer i praksis. Vi vil bli kjent med eksempler på ligninger senere, la oss først analysere hver eiendom mer detaljert.

1. Hovedidentiteten ser slik ut: a logaB = B. Det gjelder bare hvis a er større enn 0, ikke lik en, og B er større enn null.
2. Logaritmen til produktet kan representeres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfellet er en forutsetning: d, s 1 og s 2> 0; a ≠ 1. Du kan gi et bevis på denne formelen for logaritmer, med eksempler og en løsning. La logg som 1 = f 1 og logg som 2 = f 2, deretter a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi oppnår at s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (egenskaper av krefter), og videre per definisjon: logg a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = logg a s1 + logg som 2, noe som var nødvendig for å bevise.
3. Logaritmen til kvoten ser slik ut: logg a (s 1 / s 2) = logg a s 1 - logg a s 2.
4. Satsen i form av en formel har følgende form: logg a q b n = n / q log a b.

Denne formelen kalles "egenskapen til graden av logaritmen". Det ligner egenskapene til vanlige grader, og det er ikke overraskende, fordi all matematikk er basert på naturlige postulater. La oss ta en titt på beviset.

La logge a b = t, det viser seg a t = b. Hvis vi hever begge delene til m: m: a tn = b n;

men siden a tn = (a q) nt / q = b n, logg derfor a q b n = (n * t) / t, logg deretter a q b n = n / q log a b. Teoremet er bevist.

Eksempler på problemer og ulikheter

De vanligste typene logaritmeproblemer er eksempler på ligninger og ulikheter. De finnes i nesten alle problembøker, og er også inkludert i den obligatoriske delen av eksamener i matematikk. For å komme inn på universitetet eller bestå opptaksprøver i matematikk, må du vite hvordan du løser slike oppgaver riktig.

Dessverre er det ingen enkelt plan eller ordning for å løse og bestemme den ukjente verdien av logaritmen, men visse regler kan brukes for hver matematisk ulikhet eller logaritmisk ligning. Først og fremst er det nødvendig å finne ut om uttrykket kan forenkles eller bringes til en generell form. Du kan forenkle lange logaritmiske uttrykk hvis du bruker egenskapene deres riktig. La oss bli kjent med dem snart.

Når vi skal løse logaritmiske ligninger, er det nødvendig å bestemme hva slags logaritme som er foran oss: et eksempel på et uttrykk kan inneholde en naturlig logaritme eller desimal.

Her er eksempler ln100, ln1026. Løsningen deres går ut på at du må bestemme i hvilken grad basen 10 vil være lik 100 og 1026, henholdsvis. For løsninger av naturlige logaritmer må du bruke logaritmiske identiteter eller deres egenskaper. La oss se på eksemplene på å løse logaritmiske problemer av forskjellige typer.

Hvordan bruke logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så la oss se på eksempler på bruk av hovedsetningene på logaritmer.

1. Egenskapen til produktets logaritme kan brukes i oppgaver der det er nødvendig å dekomponere en stor verdi av tallet b til enklere faktorer. For eksempel logg 2 4 + logg 2 128 = logg 2 (4 * 128) = logg 2 512. Svaret er 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, ved å bruke den fjerde egenskapen til logaritmens kraft, var det mulig å løse et tilsynelatende komplekst og uløselig uttrykk. Du trenger bare å faktorisere basen til faktorer og deretter ta effektverdiene ut av logaritmens tegn.

Oppgaver fra eksamen

Logaritmer finnes ofte i opptaksprøver, spesielt mange logaritmiske problemer i eksamen (statlig eksamen for alle skoleeksaminerte). Vanligvis er disse oppgavene ikke bare til stede i del A (den enkleste testdelen av eksamen), men også i del C (de vanskeligste og omfangsrikste oppgavene). Eksamen forutsetter nøyaktig og perfekt kunnskap om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og løsninger på problemer er hentet fra de offisielle versjonene av Unified State Exam. La oss se hvordan slike oppgaver løses.

Gitt log 2 (2x-1) = 4. Løsning:
skrive om uttrykket, forenkle det litt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definisjonen av logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

• Det er best å konvertere alle logaritmer til en base slik at løsningen ikke er tungvint og forvirrende.
• Alle uttrykk under logaritmens tegn er angitt som positive, derfor må eksponenten til eksponenten tas ut av faktoren, som er under logaritmens tegn og som grunnlag, uttrykket som gjenstår under logaritmen må være positivt .

Logaritme for tallet N av fornuften en kalt eksponenten NS som du vil bygge til en for å få nummeret N

Forutsatt at
,
,

Det følger av definisjonen av en logaritme at
, dvs.
- denne likestillingen er den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Basis 10 -logaritmer kalles desimallogaritmer. I stedet for
skrive
.

Logaritmer til grunn e kalles naturlige og er betegnet
.

Grunnleggende egenskaper for logaritmer.

Logaritmen til en for en hvilken som helst base er null

Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene.

3) Logaritmen til kvoten er lik differansen mellom logaritmene

Faktor
kalt overgangsmodulen fra logaritmer ved basen en til logaritmer ved basen b .

Ved hjelp av egenskapene 2-5 er det ofte mulig å redusere logaritmen til et komplekst uttrykk til resultatet av enkle aritmetiske operasjoner over logaritmene.

For eksempel,

Slike transformasjoner av logaritmen kalles logaritmen. Transformasjoner invers til logaritmen kalles potensiering.

Kapittel 2. Elementer i høyere matematikk.

1. Grenser

Funksjonsgrense
er et begrenset tall A hvis, som xx 0 for hver forhåndsbestemte
, det er et slikt tall
det en gang
, deretter
.

En funksjon som har en grense skiller seg uendelig mye fra den:
, hvor er en b.m.v., dvs.
.

Eksempel. Vurder funksjonen
.

Når man streber
, funksjon y har en tendens til null:

1.1. Grunnleggende teoremer om grenser.

Grensen for en konstant verdi er lik denne konstante verdien

.

Grensen for summen (differansen) for et begrenset antall funksjoner er lik summen (differansen) av grensene for disse funksjonene.

Grensen for produktet av et begrenset antall funksjoner er lik produktet av grensene for disse funksjonene.

Kvotientgrensen for to funksjoner er lik kvoten for grensene for disse funksjonene hvis nevnergrensen ikke er null.

Fantastiske grenser

,
, hvor

1.2. Begrens beregningseksempler

Imidlertid er ikke alle grenser enkle å beregne. Oftere reduseres beregningen av grensen til avsløring av en usikkerhet av typen: eller.

.

2. Avledet av funksjonen

La oss få en funksjon
kontinuerlig på segmentet
.

Argument fikk en økning
... Da vil funksjonen motta et trinn
.

Argumentverdi tilsvarer funksjonsverdien
.

Argumentverdi
tilsvarer verdien av funksjonen.

Derfor,.

La oss finne grensen for dette forholdet på
... Hvis denne grensen eksisterer, kalles den derivatet av denne funksjonen.

Definisjon 3 Avledet av denne funksjonen
etter argument kalles grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon til argumentets økning, når økningen av argumentet vilkårlig har en null.

Avledet av en funksjon
kan betegnes som følger:

; ; ; .

Definisjon 4 Operasjonen for å finne derivatet av en funksjon kalles differensiering.

2.1. Den mekaniske betydningen av derivatet.

Tenk på den rettlinjede bevegelsen til en stiv kropp eller et materielt punkt.

La på et tidspunkt bevegelige punkt
var på avstand fra startposisjonen
.

Etter en viss tid
hun beveget seg et stykke
... Holdning =- gjennomsnittlig hastighet på et materialpunkt
... La oss finne grensen for dette forholdet, med tanke på det
.

Følgelig reduseres bestemmelsen av den øyeblikkelige bevegelseshastigheten til et materialpunkt til å finne derivatet av banen i tid.

2.2. Avledet geometrisk verdi

La oss ha en grafisk gitt funksjon
.

Ris. 1. Geometrisk betydning av derivatet

Hvis
deretter pek
, vil bevege seg langs kurven og nærme seg punktet
.

Derfor
, dvs. verdien av derivatet for den gitte verdien av argumentet numerisk lik tangenten til vinkelen som dannes av tangenten på et gitt punkt med aksens positive retning
.

2.3. Tabell over grunnleggende formler for differensiering.

Strømfunksjon

Eksponensiell funksjon

Logaritmisk funksjon

Trigonometrisk funksjon

Invers trigonometrisk funksjon

2.4. Differensieringsregler.

Avledet fra

Avledet av summen (differansen) av funksjoner

Derivat av produktet av to funksjoner

Avledet av kvoten av to funksjoner

2.5. Avledet fra en kompleks funksjon.

La en funksjon gis
slik at den kan representeres som

og
hvor variabel er et mellomliggende argument, da

Derivatet til en kompleks funksjon er lik produktet av derivatet av denne funksjonen med hensyn til mellomargumentet av derivatet av mellomargumentet med hensyn til x.

Eksempel 1.

Eksempel 2.

3. Differensialfunksjon.

La det være
differensierbar på enkelte segmenter
La det gå på denne funksjonen har et derivat

,

så kan vi skrive

(1),

hvor - uendelig liten verdi,

siden kl

Multiplisere alle vilkårene for likestilling (1) med
vi har:

Hvor
- b.m.v. høyere ordre.

Kvantiteten
kalles differensial av funksjonen
og betegnet

.

3.1. Den geometriske verdien av differansen.

La en funksjon gis
.

Fig.2. Den geometriske betydningen av differensialet.

.

Tydeligvis differansen i funksjonen
er lik økningen av tangentens ordinat på dette punktet.

3.2. Derivater og differensialer av forskjellige ordrer.

Hvis det er
, deretter
kalt det første derivatet.

Derivatet til det første derivatet kalles andreordens derivat og er skrevet
.

Derivat av funksjonens nende rekkefølge
derivatet av (n -1) -te orden kalles og skrives:

.

Differensialen til differensialen til en funksjon kalles den andre differensialen eller andreordens differensial.

.

.

3.3 Løse biologiske problemer ved hjelp av differensiering.

Oppgave 1. Studier har vist at veksten av en koloni av mikroorganismer følger loven
, hvor N - antall mikroorganismer (i tusenvis), t –Tid (dager).

b) Vil størrelsen på kolonien øke eller minke i løpet av denne perioden?

Svar. Kolonien vil vokse i størrelse.

Oppgave 2. Vannet i sjøen blir periodisk testet for å kontrollere innholdet av patogene bakterier. På tvers t dager etter testing, bestemmes konsentrasjonen av bakterier av forholdet

.

Når kommer minimumskonsentrasjonen av bakterier i innsjøen, og det vil være mulig å bade i den?

LØSNING En funksjon når maks eller min når derivatet er null.

,

La oss definere maks eller min vil være om 6 dager. For dette tar vi det andre derivatet.

Svar: Etter 6 dager vil det være en minimumskonsentrasjon av bakterier.

Fokuset for denne artikkelen er - logaritme... Her vil vi gi definisjonen av en logaritme, vise den aksepterte notasjonen, gi eksempler på logaritmer og si om naturlige og desimale logaritmer. Etter det, vurder den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Sidenavigasjon.

Definisjon av logaritmen

Konseptet med en logaritme oppstår når man løser et problem i en viss forstand invers, når det er nødvendig å finne en eksponent i henhold til en kjent verdi av graden og en kjent base.

Men nok forord, det er på tide å svare på spørsmålet "hva er en logaritme"? La oss gi en passende definisjon.

Definisjon.

Logaritme base a av b, der a> 0, a ≠ 1 og b> 0 er eksponenten som tallet a må heves til for å få b som et resultat.

På dette stadiet merker vi at det talte ordet "logaritme" umiddelbart bør reise to spørsmål: "hvilket tall" og "av hvilken grunn." Med andre ord er det ganske enkelt ingen logaritme, men det er bare logaritmen til et tall i en eller annen base.

Gå inn umiddelbart logaritme notasjon: logaritme med nummer b til base a er vanligvis betegnet som log a b. Logaritmen til tallet b til base e og logaritmen til base 10 har sine egne spesielle betegnelser henholdsvis lnb og lgb, det vil si at de ikke skriver log e b, men lnb, og ikke logg 10 b, men lgb.

Nå kan du ta med :.
Og postene ikke gi mening, siden i den første av dem under logaritmens tegn er det et negativt tall, i det andre - et negativt tall ved basen, og i det tredje - både et negativt tall under logaritmens tegn og en ved basen.

La oss nå si om regler for lesing av logaritmer... Logg a b leser som "logaritme av b for å basere a". For eksempel er log 2 3 logaritmen til tre base 2, og er logaritmen til to hele to tredjedeler base square root av fem. Logaritmebasen e kalles naturlig logaritme og lnb leser "naturlig logaritme av b". For eksempel er ln7 den naturlige logaritmen til syv, og vi leser den som den naturlige logaritmen til pi. Logaritme base 10 har også et spesielt navn - desimal logaritme, og lgb -oppføringen leser "log desimal b". For eksempel er lg1 desimallogaritmen til en, og lg2.75 er desimallogaritmen til to poeng syttifem hundredeler.

Det er verdt å dvele separat ved betingelsene a> 0, a ≠ 1 og b> 0, der definisjonen av logaritmen er gitt. La oss forklare hvor disse begrensningene kommer fra. For å gjøre dette vil vi bli hjulpet av en likhet i formen, kalt, som direkte følger av definisjonen av logaritmen gitt ovenfor.

La oss starte med ≠ 1. Siden en er lik en i en hvilken som helst grad, kan likheten bare være sann for b = 1, men logg 1 1 kan være et hvilket som helst reelt tall. For å unngå denne tvetydigheten antas det at a ≠ 1.

La oss begrunne hensiktsmessigheten av tilstanden a> 0. For a = 0, ved definisjonen av logaritmen, ville vi ha likhet, noe som bare er mulig for b = 0. Men så kan logg 0 0 være et hvilket som helst reelt tall uten null, siden null i en hvilken som helst null -grad er null. Tilstanden a ≠ 0 lar oss unngå denne tvetydigheten. Og for en<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Til slutt følger betingelsen b> 0 av ulikheten a> 0, siden, og verdien av graden med en positiv base a er alltid positiv.

Til slutt i dette avsnittet sier vi at den uttrykte definisjonen av logaritmen lar deg umiddelbart angi verdien til logaritmen når tallet under logaritmens tegn er en viss grad av basen. Faktisk lar definisjonen av logaritmen oss hevde at hvis b = a p, så er logaritmen til b til base a lik p. Det vil si at likhetsloggen a a p = p er sann. For eksempel vet vi at 2 3 = 8, deretter logg 2 8 = 3. Vi vil snakke mer om dette i artikkelen.

Følget fra definisjonen. Og så logaritmen til tallet b av fornuften en er definert som en indikator på i hvilken grad tallet må økes en for å få nummeret b(Logaritmen eksisterer bare for positive tall).

Av denne formuleringen følger det at beregningen x = logg a b, tilsvarer å løse ligningen a x = b. For eksempel, logg 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 ... Formuleringen av logaritmen gjør det mulig å bevise at hvis b = a c, deretter logaritmen til tallet b av fornuften en er lik med... Det er også klart at temaet for å ta logaritmer er nært beslektet med temaet talmakt.

Med logaritmer, som med alle tall, kan du gjøre det tillegg, subtraksjon og transformere på alle mulige måter. Men på grunn av at logaritmer ikke er helt vanlige tall, gjelder det her spesielle regler som kalles grunnleggende egenskaper.

Addisjon og subtraksjon av logaritmer.

La oss ta to logaritmer med de samme basene: logg a x og logg en y... Deretter kan du fjerne addisjoner og subtraksjoner:

logg a x + logg a y = logg a (x y);

logg a x - logg a y = logg a (x: y).

logg a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logg a x 1 + logg a x 2 + logg a x 3 + ... + logg a x k.

Fra kvotialogaritme -setning du kan få en annen eiendom til logaritmen. Det er velkjent at loggen en 1 = 0, derfor

Logg en 1 /b= logg en 1 - logg a b= - logg a b.

Så likestillingen finner sted:

logg a 1 / b = - logg a b.

Logaritmer med to innbyrdes inverse tall på samme grunnlag vil være forskjellige fra hverandre utelukkende med tegn. Så:

Logg 3 9 = - logg 3 1/9; logg 5 1/125 = -logg 5 125.

La oss starte med egenskapene til logaritmen til en... Formuleringen er som følger: logaritmen til en er null, det vil si logg a 1 = 0 for alle a> 0, a ≠ 1. Beviset er enkelt: siden a 0 = 1 for alle som tilfredsstiller de ovennevnte betingelsene a> 0 og a ≠ 1, følger likhetsloggen a 1 = 0 som bevises umiddelbart fra definisjonen av logaritmen.

La oss gi eksempler på anvendelsen av den vurderte eiendommen: log 3 1 = 0, lg1 = 0 og.

Gå videre til neste eiendom: logaritmen til et basisnummer er en, det er, logg a a = 1 for a> 0, a ≠ 1. Siden a 1 = a for et hvilket som helst a, logg da a a = 1 etter definisjonen av logaritmen.

Eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer er likhetene log 5 5 = 1, logg 5.6 5.6 og lne = 1.

For eksempel logg 2 2 7 = 7, lg10 -4 = -4 og .

Logaritme av produktet av to positive tall x og y er lik produktet av logaritmene til disse tallene: logg a (x y) = logg a x + logg a y, a> 0, a ≠ 1. La oss bevise egenskapen til produktets logaritme. På grunn av egenskapene til graden a log a x + log a y = a log a x a log a y, og siden ved logaritmisk identitet en log a x = x og en log a y = y, så en log a x a log a y = x y. Dermed er en logg a x + logg a y = x

La oss vise eksempler på bruk av egenskapen til produktets logaritme: logg 5 (2 3) = log 5 2 + log 5 3 og .

Egenskapen til produktets logaritme kan generaliseres til produktet av et begrenset antall n med positive tall x 1, x 2, ..., x n som logg a (x 1 x 2 ... x n) = logg a x 1 + logg a x 2 +… + logg a x n ... Denne likestillingen kan bevises uten problemer.

For eksempel kan produktets naturlige logaritme erstattes av summen av de tre naturlige logaritmene til tallene 4, e og.

Logaritme for kvoten av to positive tall x og y er lik differansen mellom logaritmene til disse tallene. Egenskapen til logaritmen til kvotienten tilsvarer en formel for formen, der a> 0, a ≠ 1, x og y er noen positive tall. Gyldigheten av denne formelen er bevist, så vel som formelen for produktets logaritme: siden , deretter ved definisjonen av logaritmen.

Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen til logaritmen: .

Går videre til egenskapen til gradens logaritme... Logaritmen til en effekt er lik produktet av eksponenten ved logaritmen til modulen til basen for denne effekten. Vi skriver denne egenskapen til logaritmen til graden i form av formelen: logg a b p = p · logg a | b |, der a> 0, a ≠ 1, b og p er tall slik at graden b p gir mening og b p> 0.

Først beviser vi denne egenskapen for positive b. Den viktigste logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b, deretter b p = (en log a b) p, og det resulterende uttrykket, på grunn av egenskapen til graden, er lik en p log a b. Så vi kommer til likheten b p = a p log a b, hvorfra vi ved definisjonen av logaritmen konkluderer med at log a b p = p log a b.

Det gjenstår å bevise denne egenskapen for negative b. Her merker vi at uttrykket log a b p for negative b bare gir mening for jevne eksponenter p (siden verdien til eksponenten b p må være større enn null, ellers vil logaritmen ikke være fornuftig), og i dette tilfellet b p = | b | s. Deretter b p = | b | p = (en logg a | b |) p = a p · logg a | b |, hvorfra logg a b p = p · logg a | b | ...

For eksempel, og ln (-3) 4 = 4 ln | -3 | = 4 ln3.

Den forrige eiendommen innebærer egenskapen til logaritmen fra roten: logaritmen til den nte roten er lik produktet av fraksjonen 1 / n ved logaritmen til det radikale uttrykket, det vil si , hvor a> 0, a ≠ 1, n er et naturlig tall større enn ett, b> 0.

Beviset er basert på likheten (se), som er sant for enhver positiv b, og egenskapen til logaritmen til graden: .

Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen: .

La oss bevise formelen for overgang til den nye logaritmen snill ... For å gjøre dette er det nok å bevise gyldigheten til likestillingsloggen c b = log a b log c a. Den viktigste logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b, deretter logg c b = log c a log a b. Det gjenstår å bruke egenskapen til logaritmen til graden: logg c a logg a b = logg a b logg c a... Slik ble likhetsloggen c b = log a b log c a påvist, noe som betyr at formelen for overgangen til den nye basen av logaritmen også ble bevist.

La oss vise et par eksempler på anvendelsen av denne egenskapen til logaritmer: og .

Formelen for overgang til en ny base lar deg gå på jobb med logaritmer som har en "praktisk" base. For eksempel kan du bruke den til å gå til naturlige eller desimale logaritmer, slik at du kan beregne verdien til logaritmen fra tabellen med logaritmer. Formelen for overgang til en ny base av logaritmen lar også i noen tilfeller finne verdien av en gitt logaritme når verdiene til noen logaritmer med andre baser er kjent.

Et spesielt tilfelle av formelen for overgang til en ny base av logaritmen for c = b av skjemaet ... Dette viser at logg a b og log b a -. For eksempel, .

Formelen brukes også ofte , som er praktisk for å finne verdiene til logaritmer. For å bekrefte ordene våre, viser vi hvordan det brukes til å beregne verdien av logaritmen til skjemaet. Vi har ... For å bevise formelen det er nok å bruke formelen for overgangen til den nye basen av logaritmen a: .

Det gjenstår å bevise egenskapene til sammenligningen av logaritmer.

La oss bevise at for alle positive tall b 1 og b 2, b 1 logg a b 2, og for a> 1, ulikhetsloggen a b 1

Til slutt gjenstår det å bevise den siste av de oppførte egenskapene til logaritmer. Vi begrenser oss til beviset på den første delen, det vil si at vi vil bevise at hvis en 1> 1, en 2> 1 og en 1 1, logg a 1 b> logg a 2 b. Resten av uttalelsene til denne egenskapen til logaritmer er bevist med et lignende prinsipp.

La oss bruke metoden ved motsetning. Anta at for 1> 1, 2> 1 og 1 1 er sann log a 1 b≤log a 2 b. Ved egenskapene til logaritmer kan disse ulikhetene skrives om til og henholdsvis, og fra dem følger det henholdsvis log b a 1 ≤log b a 2 og log b a 1 ≥log b a 2. I henhold til egenskapene til grader med de samme basene, bør likhetene b log b a 1 ≥b log b a 2 og b log b a 1 ≥b log b a 2 holde, det vil si a 1 ≥a 2. Slik kom vi til en motsetning til tilstanden a 1

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. og andre. Algebra og begynnelsen på analyse: Lærebok for 10 - 11 grader av utdanningsinstitusjoner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en guide for søkere til tekniske skoler).