Hva er en rettferdig trapeze? Dette er en geometrisk figur, de motsatte ikke-parallelle sidene er like. Det finnes flere forskjellige formler for å finne et område med trapesformet med ulike forhold som er gitt i oppgaver. Det vil si at det er mulig å finne området dersom høyden, siden, hjørnene, diagonale, etc. er gitt. Det er også umulig å ikke nevne at for et isolert trapezium er det noen "unntak", takket være at søket etter området og selve formelen er sterkt forenklet. Følgende beskriver de detaljerte løsningene i hvert tilfelle med eksempler.

Nødvendige egenskaper for å finne et like kjedet trapezium

Vi har allerede funnet ut at en geometrisk figur, som har motsatt ikke parallell, men like partier er en trapesformet, og er kjedet. Det er spesielle tilfeller når et trapesium anses som en isosbered.

• Dette er betingelsene for likestilling av hjørner. Så, det obligatoriske punktet: vinkler i basen (ta figuren nedenfor) må være like. I vårt tilfelle, vinkelen på WD \u003d CDA-vinkel, en vinkel ABC \u003d hjørne BCD
• Den andre viktige regelen - i en lignende trapezium diagonal bør være lik. Følgelig, AC \u003d CD.
• Det tredje aspektet: de motsatte hjørner av trapeziumet i mengden skal gi 180 grader. Dette betyr at en vinkel på ABC + vinkel CDA \u003d 180 grader. Med BCD og dårlige vinkler.
• For det fjerde, hvis Trapezium innrømmer en beskrivelse rundt hennes omkrets - er det en isolert.

Hvordan finne et ekskludert trapezium-område - formler og beskrivelse

• S \u003d (a + b) h / 2 er den vanligste formelen for å finne et område hvor men - Nedre base, b. - Øvre base, og H er en høyde.

• Hvis høyden er ukjent, er det mulig å lete etter det i henhold til formelen: H \u003d C * SIN (X), hvor det er enten AB eller CD. Sin (x) er en bihulevinkel i en hvilken som helst base, det vil si vinkelen DAB \u003d vinkel CDA \u003d X. Til slutt tar formelen denne typen: S \u003d (a + b) * c * synd (x) / 2.
• Høyde kan også være plassert på denne formelen:

• Den endelige formelen har denne typen:

• Et likeverdig trapeziumområde kan bli funnet gjennom midtlinjen og høyden. Formelen er slik: S \u003d mh..

Vurder tilstanden når en sirkel vil bli påskrevet i et trapesium.

I tilfelle vist på bildet,

Qn \u003d D \u003d H - sirkelens diameter og samtidig høyden på trapeziumet;

Lo, på, oq \u003d r - sirkel radii;

DC \u003d A - Øvre base;

Ab \u003d b - den nedre basen;

DAB, ABC, BCD, CDA-alfa, beta-hjørner av basene på trapeszium.

Et slikt tilfelle tillater plasseringen av området i henhold til slike formler:

• La oss nå prøve å finne området gjennom diagonalene og vinklene mellom dem.

I figuren betegner vi AC, DB - diagonal - d. COB COBLES, DOB - Alpha; DOC, AOB - BETA. Formelen av et rettferdig trapesium gjennom diagonalen og vinkelen mellom dem ( S. ) Slike er:

Øvelsen av fjorårets EGE og GIA viser at geometriens oppgaver forårsaker vanskeligheter i mange skolebarn. Du kan enkelt håndtere dem hvis du husker alle nødvendige formler og praksis i å løse problemer.

I denne artikkelen vil du se formler for å finne et trapesformet område, samt eksempler på oppgaver med løsninger. Det samme kan bli fanget i Kima på attestasjonseksamen eller på OL. Derfor tar vi vare på dem nøye.

Hva du trenger å vite om en trapezoe?

Til å begynne med, husk det trapezium En quadrangle kalles, som har to motsatte sider, de kalles også begrunnelsen, parallell, og de to andre er ikke.

I trapezium kan høyden (vinkelrett på basen) også senkes. En middels linje har blitt gjennomført - dette er en rett linje, som er parallell med begrunnelsen og er lik halvparten av summen. Og også diagonalt, som kan skjære, danner skarpe og dumme vinkler. Eller i noen tilfeller i rette vinkler. I tillegg, hvis trapezium er ledig, kan den settes inn i den. Og beskriv sirkelen i nærheten av den.

Formulas Square Trapezia.

Til å begynne med anser vi standardformler for plassering av trapeszium. Måter å beregne området av en likevekt og krøllete trapez, vurdere nedenfor.

Så tenk at du har et trapesium med basene A og B, hvor høyden h senkes til større base. Beregn figuren på figuren i dette tilfellet er enklere enkelt. Det er bare nødvendig å dele en to mengde grunnlengder og multiplisere hva som skjer, høyde: S \u003d 1/2 (A + B) * H.

Ta en annen sak: Anta at i trapeszium, i tillegg til høyden, ble midtlinjen m utført. Vi kjenner formelen for å finne lengden på midtlinjen: m \u003d 1/2 (A + B). Derfor, med full rett, kan vi forenkle formelen av trapeziumområdet til de neste artene: S \u003d m * h. Med andre ord, for å finne området i Trapezium, må du multiplisere gjennomsnittslinjen til høyden.

Tenk på et annet alternativ: I trapeszium var D 1 og D 2 diagonal, som krysser ikke i riktig vinkel a. For å beregne området for et slikt trapesium, må du dele seg i to verk av diagonaler og multiplisere hva som skjer med syndvinkelen mellom dem: S \u003d 1/2D 1 D 2 * Sina.

Nå vurdere formelen for å finne torget i trapezion, hvis ingenting er kjent om det, bortsett fra lengden av alle sine sider: A, B, C og D. Dette er en stor og kompleks formel, men det vil være nyttig for deg å huske bare i tilfelle. S \u003d 1/2 (A + B) * √C 2 - ((1/2 (B - A)) * ((B - A) 2 + C2 - D 2)) 2.

Forresten er eksemplene ovenfor korrekte og for saken når du trenger en rektangulær områdeformel. Dette trapezium, siden som grenser til basene i rette vinkler.

Lik trapezium

Trapeziumet, hvor sidene er like, kalles en isolert. Vi vil vurdere flere alternativer for formelen til et diskriminerende trapezium.

Det første alternativet: for saken når en sirkel med en radius r, og sidesiden og den større base danner den akutte vinkelen a er inne i innvendig av en like trapesz. Sirkelen kan påskrives i en trapeze, forutsatt at summen av basene er lik summen av lengdene på siden.

Et likevektstrapeziumområde beregnes som følger: Multipliserer torget av radiusen til den innskrevne sirkelen til fire og del alt dette på Sina: S \u003d 4r 2 / sina. Et annet område av området er et spesielt tilfelle for alternativet når vinkelen mellom den store basen og siden er lik 30 0: S \u003d 8r 2.

Det andre alternativet: denne gangen, ta en like gjennomførbar trapecy, hvor diagonalene D 1 og D 2 ble utført i tillegg, så vel som høyden H. Hvis trapezium diagonaler er gjensidig vinkelrett, er høyden halvparten av basen av basen: H \u003d 1/2 (A + B). Å vite det, det er lett å konvertere Formula-torget som allerede er kjent for deg i denne typen: S \u003d h 2.

Formel av området av krøllete trapesområdet

La oss starte med det vi vil forstå: Hva er et krøllete trapesium. Tenk på koordinataksen og en graf av en kontinuerlig og ikke-negativ funksjon f som ikke endrer tegnet i et gitt segment på X-aksen. Kurvilininær trapezium danner en graf av funksjonen Y \u003d f (x) - på toppen, x-aksen - i bunnen (segment), og på sidene - direkte, utført mellom punkter A og B og funksjonsgrafen.

Beregn området for en slik ikke-standard figur kan ikke vises ovenfor. Her må du bruke matematisk analyse og bruke integralet. Nemlig: Newton Labitsa formel - S \u003d ∫ b a f (x) dx \u003d f (x) │ b a \u003d f (b) - f (a). I denne formelen F er den primære funksjonen på det valgte segmentet. Og området av krøllete trapezium tilsvarer økningen av en primitiv på et gitt segment.

Eksempler på oppgaver

For å gjøre alle disse formlene lett legge seg ned i hodet, har du noen få eksempler på oppgaver for å finne trapesstedet. Det vil være best hvis du først prøver å løse oppgavene selv, og bare så ta det resulterende svaret med den ferdige løsningen.

Oppgave nummer 1: Dana trapezium. Den større basen er 11 cm, mindre enn 4 cm. I trapezium ble diagonaler utført, en 12 cm lang, den andre - 9 cm.

Løsning: Bygg AMRS trapeze. Tilbring direkte RH gjennom toppunktsnummeret slik at det viser seg å være parallelt med MS-diagonalen og krysset de direkte høyttalerne på punktet X. Det viser seg en trekant arh.

Vi vil se på de to tallene som er oppnådd som følge av disse manipulasjonene: ARHs trekant og parallellogrammet til crym.

Takket være parallellogrammet lærer vi at PX \u003d MS \u003d 12 cm og C \u003d MP \u003d 4cm. Fra hvor vi kan beregne siden AH Triangle Arh: AH \u003d AC + C \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Vi kan også bevise at arh-trekanten er rektangulær (for dette gjelder teoremet av Pythagora - AH 2 \u003d AR 2 + PC 2). Og beregne dets område: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Videre må du bevise at trianglene til AMR- og RCC er like. Grunnlaget vil tjene likestillingen til partene til MR og CX (allerede bevist over). Og også høyder som du senker på disse partene, er lik høyden til AMRs trapesoid.

Alt dette vil tillate deg å argumentere for at S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Oppgave nummer 2: Dana trapezing krs. På hennes side sider er poengene og e, mens OE og politimann er parallelle. Det er også kjent at området av trapeszoider av orm og oksen er plassert i et forhold på 1: 5. Pm \u003d a og kc \u003d b. Det kreves å finne OE.

Løsning: Tilbring en rett linje, parallelt rk gjennom punktet, og punktet med krysset med OE Mark T. A - skjæringspunktet for en direkte, utført gjennom punktet E parallelt med RK, med basen av politimannen.

Vi introduserer en annen betegnelse - O \u003d X. I tillegg til høyden H 1 for triangelen til TME og høyden på H 2 for AES-trekanten (du kan selvstendig bevise likheten til disse trekantene).

Vi antar at b\u003e a. Området av alkohol og oksa-trapezoider er som 1: 5, som gir oss retten til å gjøre en slik ligning: (x + a) * H 1 \u003d 1/5 (B + X) * H 2. Vi konverterer og får: H 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((B + X) / (x + a)).

Når trianglene til TME og AES ligner, har vi H 1 / H 2 \u003d (X - A) / (B - X). Vi kombinerer begge poster og får: (X - A) / (B - X) \u003d 1/5 * ((B + X) / (x + A)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d ( B + X) (B - X) ↔ 5 (x 2 - A 2) \u003d (B2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d B 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + B 2) / 6.

Således, OH \u003d x \u003d √ (5a 2 + B 2) / 6.

Konklusjon

Geometri er ikke den enkleste av vitenskapen, men du vil sannsynligvis takle eksamensoppgavene. Det er nok å vise noen perfeksjon når du forbereder. Og selvfølgelig, husk alle nødvendige formler.

Vi prøvde å samle på ett sted alle formler for å beregne området av trapezoid, slik at du kan bruke dem når du forbereder eksamener og gjentar materialet.

Sørg for å fortelle om denne artikkelen til klassekamerater og venner i sosiale nettverk. La de gode estimatene for eksamen og GIA være mer!

blog.Set, med full eller delvis kopiering av materialreferansen til den opprinnelige kilden kreves.

Øvelsen av fjorårets EGE og GIA viser at geometriens oppgaver forårsaker vanskeligheter i mange skolebarn. Du kan enkelt håndtere dem hvis du husker alle nødvendige formler og praksis i å løse problemer.

I denne artikkelen vil du se formler for å finne et trapesformet område, samt eksempler på oppgaver med løsninger. Det samme kan bli fanget i Kima på attestasjonseksamen eller på OL. Derfor tar vi vare på dem nøye.

Hva du trenger å vite om en trapezoe?

Til å begynne med, husk det trapezium En quadrangle kalles, som har to motsatte sider, de kalles også begrunnelsen, parallell, og de to andre er ikke.

I trapezium kan høyden (vinkelrett på basen) også senkes. En middels linje har blitt gjennomført - dette er en rett linje, som er parallell med begrunnelsen og er lik halvparten av summen. Og også diagonalt, som kan skjære, danner skarpe og dumme vinkler. Eller i noen tilfeller i rette vinkler. I tillegg, hvis trapezium er ledig, kan den settes inn i den. Og beskriv sirkelen i nærheten av den.

Formulas Square Trapezia.

Til å begynne med anser vi standardformler for plassering av trapeszium. Måter å beregne området av en likevekt og krøllete trapez, vurdere nedenfor.

Så tenk at du har et trapesium med basene A og B, hvor høyden h senkes til større base. Beregn figuren på figuren i dette tilfellet er enklere enkelt. Det er bare nødvendig å dele en to mengde grunnlengder og multiplisere hva som skjer, høyde: S \u003d 1/2 (A + B) * H.

Ta en annen sak: Anta at i trapeszium, i tillegg til høyden, ble midtlinjen m utført. Vi kjenner formelen for å finne lengden på midtlinjen: m \u003d 1/2 (A + B). Derfor, med full rett, kan vi forenkle formelen av trapeziumområdet til de neste artene: S \u003d m * h. Med andre ord, for å finne området i Trapezium, må du multiplisere gjennomsnittslinjen til høyden.

Tenk på et annet alternativ: I trapeszium var D 1 og D 2 diagonal, som krysser ikke i riktig vinkel a. For å beregne området for et slikt trapesium, må du dele seg i to verk av diagonaler og multiplisere hva som skjer med syndvinkelen mellom dem: S \u003d 1/2D 1 D 2 * Sina.

Nå vurdere formelen for å finne torget i trapezion, hvis ingenting er kjent om det, bortsett fra lengden av alle sine sider: A, B, C og D. Dette er en stor og kompleks formel, men det vil være nyttig for deg å huske bare i tilfelle. S \u003d 1/2 (A + B) * √C 2 - ((1/2 (B - A)) * ((B - A) 2 + C2 - D 2)) 2.

Forresten er eksemplene ovenfor korrekte og for saken når du trenger en rektangulær områdeformel. Dette trapezium, siden som grenser til basene i rette vinkler.

Lik trapezium

Trapeziumet, hvor sidene er like, kalles en isolert. Vi vil vurdere flere alternativer for formelen til et diskriminerende trapezium.

Det første alternativet: for saken når en sirkel med en radius r, og sidesiden og den større base danner den akutte vinkelen a er inne i innvendig av en like trapesz. Sirkelen kan påskrives i en trapeze, forutsatt at summen av basene er lik summen av lengdene på siden.

Et likevektstrapeziumområde beregnes som følger: Multipliserer torget av radiusen til den innskrevne sirkelen til fire og del alt dette på Sina: S \u003d 4r 2 / sina. Et annet område av området er et spesielt tilfelle for alternativet når vinkelen mellom den store basen og siden er lik 30 0: S \u003d 8r 2.

Det andre alternativet: denne gangen, ta en like gjennomførbar trapecy, hvor diagonalene D 1 og D 2 ble utført i tillegg, så vel som høyden H. Hvis trapezium diagonaler er gjensidig vinkelrett, er høyden halvparten av basen av basen: H \u003d 1/2 (A + B). Å vite det, det er lett å konvertere Formula-torget som allerede er kjent for deg i denne typen: S \u003d h 2.

Formel av området av krøllete trapesområdet

La oss starte med det vi vil forstå: Hva er et krøllete trapesium. Tenk på koordinataksen og en graf av en kontinuerlig og ikke-negativ funksjon f som ikke endrer tegnet i et gitt segment på X-aksen. Kurvilininær trapezium danner en graf av funksjonen Y \u003d f (x) - på toppen, x-aksen - i bunnen (segment), og på sidene - direkte, utført mellom punkter A og B og funksjonsgrafen.

Beregn området for en slik ikke-standard figur kan ikke vises ovenfor. Her må du bruke matematisk analyse og bruke integralet. Nemlig: Newton Labitsa formel - S \u003d ∫ b a f (x) dx \u003d f (x) │ b a \u003d f (b) - f (a). I denne formelen F er den primære funksjonen på det valgte segmentet. Og området av krøllete trapezium tilsvarer økningen av en primitiv på et gitt segment.

Eksempler på oppgaver

For å gjøre alle disse formlene lett legge seg ned i hodet, har du noen få eksempler på oppgaver for å finne trapesstedet. Det vil være best hvis du først prøver å løse oppgavene selv, og bare så ta det resulterende svaret med den ferdige løsningen.

Oppgave nummer 1: Dana trapezium. Den større basen er 11 cm, mindre enn 4 cm. I trapezium ble diagonaler utført, en 12 cm lang, den andre - 9 cm.

Løsning: Bygg AMRS trapeze. Tilbring direkte RH gjennom toppunktsnummeret slik at det viser seg å være parallelt med MS-diagonalen og krysset de direkte høyttalerne på punktet X. Det viser seg en trekant arh.

Vi vil se på de to tallene som er oppnådd som følge av disse manipulasjonene: ARHs trekant og parallellogrammet til crym.

Takket være parallellogrammet lærer vi at PX \u003d MS \u003d 12 cm og C \u003d MP \u003d 4cm. Fra hvor vi kan beregne siden AH Triangle Arh: AH \u003d AC + C \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Vi kan også bevise at arh-trekanten er rektangulær (for dette gjelder teoremet av Pythagora - AH 2 \u003d AR 2 + PC 2). Og beregne dets område: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Videre må du bevise at trianglene til AMR- og RCC er like. Grunnlaget vil tjene likestillingen til partene til MR og CX (allerede bevist over). Og også høyder som du senker på disse partene, er lik høyden til AMRs trapesoid.

Alt dette vil tillate deg å argumentere for at S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Oppgave nummer 2: Dana trapezing krs. På hennes side sider er poengene og e, mens OE og politimann er parallelle. Det er også kjent at området av trapeszoider av orm og oksen er plassert i et forhold på 1: 5. Pm \u003d a og kc \u003d b. Det kreves å finne OE.

Løsning: Tilbring en rett linje, parallelt rk gjennom punktet, og punktet med krysset med OE Mark T. A - skjæringspunktet for en direkte, utført gjennom punktet E parallelt med RK, med basen av politimannen.

Vi introduserer en annen betegnelse - O \u003d X. I tillegg til høyden H 1 for triangelen til TME og høyden på H 2 for AES-trekanten (du kan selvstendig bevise likheten til disse trekantene).

Vi antar at b\u003e a. Området av alkohol og oksa-trapezoider er som 1: 5, som gir oss retten til å gjøre en slik ligning: (x + a) * H 1 \u003d 1/5 (B + X) * H 2. Vi konverterer og får: H 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((B + X) / (x + a)).

Når trianglene til TME og AES ligner, har vi H 1 / H 2 \u003d (X - A) / (B - X). Vi kombinerer begge poster og får: (X - A) / (B - X) \u003d 1/5 * ((B + X) / (x + A)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d ( B + X) (B - X) ↔ 5 (x 2 - A 2) \u003d (B2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d B 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + B 2) / 6.

Således, OH \u003d x \u003d √ (5a 2 + B 2) / 6.

Konklusjon

Geometri er ikke den enkleste av vitenskapen, men du vil sannsynligvis takle eksamensoppgavene. Det er nok å vise noen perfeksjon når du forbereder. Og selvfølgelig, husk alle nødvendige formler.

Vi prøvde å samle på ett sted alle formler for å beregne området av trapezoid, slik at du kan bruke dem når du forbereder eksamener og gjentar materialet.

Sørg for å fortelle om denne artikkelen til klassekamerater og venner i sosiale nettverk. La de gode estimatene for eksamen og GIA være mer!

nettstedet, med full eller delvis kopiering av materialreferansen til den opprinnelige kilden er nødvendig.

Moligious trapezium ... det kan være vilkårlig, lik eller rektangulær. Og i hvert tilfelle trenger du å vite hvordan du finner et område med trapesformet. Selvfølgelig, det enkleste å huske de grunnleggende formlene. Men noen ganger er det lettere å bruke den som er avledet gitt alle funksjonene til en bestemt geometrisk form.

Noen ord om trapezoid og hennes elementer

Enhver quadrangle, hvor to sider er parallelle, kan kalles en trapezium. Generelt er de ikke like og kalt eiendommer. Større av dem - bunnen, og den andre er toppen.

De to andre partene er side. I en vilkårlig trapezium har de forskjellige lengder. Hvis de er like, blir figuren en isolert.

Hvis plutselig en vinkel mellom en hvilken som helst side og base vil være lik 90 grader, er trapezium rektangulær.

Alle disse funksjonene kan bidra til å løse problemet på hvordan du finner området av trapeszoidet.

Blant elementene i figuren, som kan være uunnværlig i å løse oppgaver, kan du allokere slikt:

• høyde, det vil si segmentet, vinkelrett på begge basene;
• midtlinjen, som har sin egen midtside.

Hva er formelen for å beregne området, hvis basene og høyden er kjent?

Dette uttrykket er gitt den viktigste, fordi oftest kan du lære disse mengdene, selv når de ikke er eksplisitt gitt. Så, for å forstå hvordan du finner området i Trapezium, må du kaste både begrunnelse og dele dem i to. Den resulterende verdien blir senere multiplisert med betydningen av høyden.

Hvis du angir basebokstavene en 1 og en 2, høyde - H, så vil formelen for området se slik ut:

S \u003d ((en 1 + a 2) / 2) * n.

Formelen som området beregnes om det er gitt høyde og midtlinjen.

Hvis du ser nøye på forrige formel, er det lett å legge merke til at det er tydelig tilstede i midtlinjen. Nemlig, mengden grunnlag dividert med to. La den gjennomsnittlige linjen betegnes med brevet L, da vil formelen for torget være slik:

S \u003d l * n.

Evnen til å finne et område med diagonaler

Denne metoden vil hjelpe hvis vinkelen dannet av dem er kjent. Anta at diagonalene er betegnet med bokstaver d 1 og d 2, og vinklene mellom dem er a og β. Deretter vil formelen for hvordan man finner området av trapesformet, registreres som følger:

S \u003d ((D 1 * D 2) / 2) * SIN α.

I dette uttrykket er det mulig å enkelt erstatte α på β. Resultatet vil ikke endres.

Hvordan finne ut området hvis alle sider av figuren er kjent?

Det er slike situasjoner hvor sidene er kjent i denne figuren. Denne formelen er tungvint og vanskelig å huske. Men sannsynligvis. La sidesidene ha betegnelsen: I 1 og i 2 er basen 1 mer enn og 2. Deretter vil feltformelen ta denne typen:

S \u003d ((en 1 + a 2) / 2) * √ (i 1 2 - [(A1 - A2) 2 + i 1 2 - ved 2 2) / (2 * (A 1 - A 2)) ] 2).

Metoder for beregning av et like trapesium område

Den første er forbundet med det faktum at det kan settes inn i det. Og å kjenne sin radius (den er betegnet av bokstaven R), så vel som en vinkel på basen - y, kan du bruke denne formelen:

S \u003d (4 * R2) / SIN γ.

Den siste generelle formelen, som er basert på kunnskapen om alle sider av figuren, vil signifikant oppstå på grunn av at sidene er de samme:

S \u003d ((en 1 + A 2) / 2) * √ (i 2 - [(A1 - A2) 2 / (2 * (A1 - A2))] 2).

Metoder for beregning av området rektangulært trapezium

Det er klart at noen av de nevnte tallene som er oppført for en vilkårlig figur. Men noen ganger er det nyttig å vite om en funksjon av et slikt trapesium. Det ligger i det faktum at forskjellen i firkantene i lengden av diagonaler er lik forskjellen som består av firkantede firkanter.

Ofte er formelen for trapezoid glemt, mens uttrykk for området av rektangelet og trekanten blir husket. Deretter kan du søke en enkel måte. Del trapezen i to figurer hvis det er rektangulært, eller tre. En nøyaktig vil være et rektangel, og den andre eller to gjenværende trekanter. Etter å ha beregnet områdene av disse figurene, vil den bare bli brettet.

Dette er en ganske enkel måte å finne et rektangulært område på.

Hva om du kjenner koordinatene til trapionens hjørner?

I dette tilfellet vil det være nødvendig å bruke et uttrykk som lar deg bestemme avstanden mellom poengene. Det kan påføres tre ganger: for å lære begge basene og en høyde. Og så bare påfør den første formelen som er beskrevet litt høyere.

For å illustrere denne metoden kan du sitere et slikt eksempel. Verkene med koordinerer A (5; 7), i (8; 7), C (10; 1), D (1; 1). Du må finne ut området på figuren.

Før du finner trapeziumområdet, må koordinatene beregne grunnlengden. Denne formelen vil bli påkrevd:

klipp lengde \u003d √ ((forskjellen mellom de første koordinatene til punktene) 2 + (forskjellen på de andre koordinatene til punktene) 2).

Den øvre basen er indikert av AV, betyr at dens lengde vil være lik √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) \u003d √9 \u003d 3. Nedre - SD \u003d √ ((10-1) 2 + (1-1) 2) \u003d √81 \u003d 9.

Nå må du tilbringe høyden på toppen til basen. Anta at begynnelsen vil være på punkt A. Enden av segmentet vil være på den nedre basen på punktet med koordinater (5; 1), la det være punkt N. Lengden på segmentet en vil være lik √ ( (5-5) 2 + (7-1) 2) \u003d √36 \u003d 6.

Det forblir bare for å erstatte de oppnådde verdiene i formelen på fjærfirkanten:

S \u003d ((3 + 9) / 2) * 6 \u003d 36.

Oppgaven er løst uten måleenheter, fordi omfanget av koordinatsnettet ikke er spesifisert. Det kan være både en millimeter og meter.

Eksempler på oppgaver

Nr. 1. Tilstand. Det er kjent vinkel mellom diagonalene til et vilkårlig trapezium, det er lik 30 grader. En mindre diagonal er 3 dm, og den andre er 2 ganger mer. Det er nødvendig å beregne torget i trapeszium.

Beslutning. Først må du vite lengden på den andre diagonalen, fordi uten det ikke vil kunne telle svaret. Det er lett å beregne det, 3 * 2 \u003d 6 (DM).

Nå må du bruke riktig formel for firkantet:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * SIN 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4.5 (DM 2). Oppgaven er løst.

Svar: Trapeziumområdet er 4,5 dm 2.

# 2. Tilstand.I Trapezium Absd er basene segmentene i blodtrykket og solen. Punkt E - Midtside av SD. Fra den utførte vinkelrett på den rette AB, er enden av dette segmentet indikert av bokstaven N. Det er kjent at henholdsvis AV og EN er lik henholdsvis 5 og 4 cm. Det er nødvendig å beregne området av Trapezium.

Beslutning. Først må du lage en tegning. Siden den vinkelrette verdien er mindre enn den siden den blir brukt, vil trapezium være litt strukket opp. Så det vil være inne i figuren.

For å tydelig se problemet med å løse problemet, må du utføre ekstra konstruksjon. Nemlig tilbringe en rett linje som vil være parallell med siden av AV. Krysset i dette direkte med helvete - P, og med videreføring av solen - H. Den resulterende figuren av Vohra - parallellogrammer. Dessuten er det ønskelig at det er ønskelig. Dette skyldes at trekantene som viste seg med flere konstruksjoner, er like. Dette følger av likestilling av siden og to vinkler ved siden av den, en - vertikal, den andre - løgnen.

Du finner området av parallellogrammet med formelen som inneholder arbeidet til siden og høyden, senket til den.

Således er området av trapeziumet lik 5 * 4 \u003d 20 cm2.

Svar: S \u003d 20 cm 2.

# 3. Tilstand. Elementer av et isolert trapesium har slike verdier: Den nedre basen er 14 cm, toppen er 4 cm, den skarpe vinkelen er 45º. Det er nødvendig å beregne sitt område.

Beslutning. La en mindre base være betegnelsen av flyet. Høyden utført fra punktet B vil bli kalt VN. Siden vinkelen er 45º, vil AVNs trekant lykkes i rektangulær og isosbered. Så, en \u003d V. Og en er veldig lett å finne. Det er lik halvparten av forskjellen i basen. Det er (14 - 4) / 2 \u003d 10/2 \u003d 5 (cm).

Basene er kjent, høyden beregnes. Du kan bruke den første formelen som har blitt vurdert her for en vilkårlig trapezium.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm2).

Svar: Det ønskede området er 45 cm 2.

Nr. 4. Tilstand. Det er en vilkårlig trapezium absd. På hennes side er sider tatt om og e, så er oe parallelt med grunnlaget for helvete. Aoed Trapezium Square er fem ganger mer enn i Ove. Beregn verdien av OE, hvis grunnlengden er kjent.

Beslutning. Det vil være nødvendig å tilbringe to parallelle av direkte: Den første gjennom punktet C, krysset med OE-punkt T; Den andre gjennom E og krysset med helvete vil være M.

La den ukjente OE \u003d X. Høyden på et mindre trapesium av Ove-H 1, større Aoed - H 2.

Siden området av disse to trapeziumene korrelerte som 1 til 5, kan en slik likestilling registreres:

(X + a 2) * h 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * H 2

h 1 / h 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Høyder og side av trekantene er proporsjonale med konstruksjonen. Derfor kan du skrive en annen likestilling:

h 1 / h 2 \u003d (x - a 2) / (a \u200b\u200b1 - x).

I de to siste postene i den venstre delen er det likeverdige verdier, det betyr at det kan skrives at (x + a 1) / (5 (x + a 2)) er lik (X - A 2) / (og 1 - x).

Det krever en rekke transformasjoner her. Først multipliser krysse korset. Braketter vil vises, noe som vil indikere forskjellen på firkantene, etter bruk av denne formelen, vil en kort ligning bli oppnådd.

Det må avsløre parenteser og overføre alle vilkårene med en ukjent "X" til venstre, og fjern deretter kvadratroten.

Svar: X \u003d √ ((en 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Firkantet av trapezium. Hilsener! I denne publikasjonen vil vi vurdere den angitte formelen. Hvorfor det er akkurat slik og hvordan å forstå det. Hvis det er en forståelse, har du ikke behov for å lære det. Hvis du bare vil se denne formelen og hva som er presserende, kan du umiddelbart bla nedover siden ned))

Nå i detalj og i rekkefølge.

Trapezium er en quadrilateral, to sider av denne quadriller er parallelle, det er to andre. De som ikke er parallelle - dette er grunnlaget for trapeszium. To andre kalles sidepartier.

Hvis sidesidene er like, kalles trapezium en isolert. Hvis den ene siden av sidene vinkelrett på begrunnelsen, kalles en slik trapeszium rektangulær.

I den klassiske skjemaet er trapezoidet avbildet som følger - den større basen er under henholdsvis mindre. Men ingen forbyder å skildre det og omvendt. Her er skisser:

Det følgende viktige konseptet.

Trapeziums midtlinje er et segment som forbinder midten av siden. Midtlinjen er parallell med basene på trapeziumet og er lik halvparten.

La oss puste dypt. Hvorfor?

Vurder et trapezium med begrunnelsen a og B. og med middels linje l. Og jeg vil utføre noen ekstra konstruksjoner: gjennom begrunnelsen vil utføre rett, og gjennom enden av midtlinjen vinkelrett på krysset med basene:

* Den alfabetiske betegnelsene i vertiktene og andre punkter er ikke med vilje introdusert for å unngå unødvendig betegnelse.

Se, trekanter 1 og 2 er lik på andre grunnlag av likestilling av trekanter, trekanter 3 og 4 det samme. Fra likestilling av trekanter følges likestilling av elementene, nemlig katettene (de er angitt i henhold til blått og rødt).

Nå oppmerksomhet! Hvis vi mentalt "kutter ned" fra den nedre basen av det blå og røde segmentet, så vil vi ha et segment (dette er siden av rektangelet) er lik midtlinjen. Videre, hvis vi "lim" kutte blå og røde segmenter til den øvre basen av trapeszium, så har vi også et segment (dette er også en rektangelsside) lik den midtre linjen av trapeszium.

Fanget? Det viser seg at mengden baser vil være lik to midtlinjer i trapeszoidet:

Se en annen forklaring

Vi vil gjøre følgende - vi vil bygge en rett linje som går gjennom den nedre basen av trapesformet og direkte, som vil passere gjennom poeng A og B:

Vi får trekanter 1 og 2, de er like på siden og ved siden av hjørnene (det andre tegn på likestilling av trekanter). Dette betyr at det resulterende segmentet (på skissen den er betegnet blå) er lik den øvre basen av trapeziumet.

Nå vurdere trekanten:

* Midtlinjen i denne trapezium og midtlinjen i trekanten sammenfaller.

Det er kjent at trekanten er lik halvparten av basen parallelt med det, det er:

Vel, funnet ut. Nå om torget i trapeszium.

Formula Trapezium Square:

De sier: Trapeziums torget er lik arbeidet i halvparten som baser og høyde.

Det vil si at det viser seg at det er lik produktet av midtlinjen og høyden:

Du har sannsynligvis allerede lagt merke til at det er åpenbart. Det kan være geometrisk å uttrykke dette: Hvis vi mentalt kutter trapezoide trekanter 2 og 4 og legger dem tilsvarende på trekanter 1 og 3:

At vi vil ha et rektangel på torget lik området av vår trapezium. Området i dette rektangelet vil være lik produktet av midtlinjen og høyden, det vil si, vi kan skrive:

Men poenget her er ikke i posten, selvfølgelig, men i forståelse.

Last ned (Vis) Artikkel Artikkel i * PDF-format

Det er alt. Suksess for deg!

Med vennlig hilsen Alexander.