Når du løser algebraiske ligninger, må det ofte dekomponere en polynom for multiplikatorer. Avgjør en polynom til multiplikatorer - det betyr å presentere det i form av et arbeid med to eller flere polynomer. Noen metoder for nedbrytning av polynomene vi bruker ganske ofte: å gjøre en felles faktor, bruk av formler av forkortet multiplikasjon, tildeling av en full firkant, gruppering. Vurder noen flere metoder.

Noen ganger, når de dekomponerer et polynom for multiplikatorer, er følgende påstander nyttige:

1) Hvis et polynom, med heltallskoeffisienter, har en rasjonell rot (hvor er en ubetydelig brøkdel, så en fri-medlemsmodell og en forhandler av seniorkoeffisienten:

2) Hvis på en eller annen måte skal velge roten til en polynom av graden, kan polynomet være representert i form hvor et polynom

Polynomet kan finnes enten ved å dele polynomet til bicked av "kolonnen" eller den tilsvarende gruppering av komponentene i polynomet og frigjøringen av multiplikatoren eller ved fremgangsmåten i ubestemt koeffisienter.

Eksempel. Dekomponere polynomene

Beslutning. Siden koeffisienten ved X4 er 1, finnes de rasjonelle røttene til dette polynomet, divisorer av tallet 6, dvs. kan være heltall ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Betegne av dette polynomet gjennom P4 (x). Siden P P4 (1) \u003d 4 og P4 (-4) \u003d 23, er tallene 1 og -1 ikke røttene til RA-polynomet (X). Siden P4 (2) \u003d 0, X \u003d 2 er roten til polynomet P4 (X), og det betyr at dette polynomet er delt inn i Bouncer X - 2. Derfor X4 -5x3 + 7x2 -5x +6 x-2 x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3

3x3 + 7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x

Følgelig, P4 (x) \u003d (x - 2) (x3 - зх2 + x - 3). Siden xz - зх2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), deretter x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) ( X - 3) (x2 + 1).

Metode for administrasjon av parameteren

Noen ganger, under dekomponering av et polynom for multiplikatorer, hjelper metoden for å introdusere en parameter. Essensen av denne metoden er forklart i det følgende eksempel.

Eksempel. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Beslutning. Tenk på et polynom med en parameter A: X3 - (A + 1) x2 + A2, som når A \u003d √3 blir til et gitt polynom. Vi skriver dette polynomet som en firkantet trippel i forhold til A: AG - AH2 + (X3 - X2).

Siden røttene på denne firkanten er relativt triggeged, er det A1 \u003d X og A2 \u003d X2 - X, så likestilling A2 - AH2 + (XS - X2) \u003d (A - X) (A - X2 + X) er gyldig. Følgelig dekomponerer polynomet x3-(√3 + 1) x2 + 3 på faktoren på √3 - x og √3 - x2 + x, dvs.

x3 - (√3 + 1) x2 + 3 \u003d (x - √3) (x2-x-√3).

Introduksjonsmetoden til en ny ukjent

I noen tilfeller kan ved å erstatte uttrykket f (x), som er inkludert i polynomet RP (X), gjennom Y, oppnås ved et polynom i forhold til Y, som allerede er lett å dekomponere på multiplikatorer. Så, etter at du har erstattet den i f (x), får vi en dekomponering av polynomer av polynomet RP (X).

Eksempel. Dispatch polynomials x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15) (x + 3) -15.

Beslutning. Vi forvandler dette polynomet som følger: X (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 \u003d [x (x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 \u003d ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Betegne x2 + 3x gjennom y. Da har vi (Y + 2) - 15 \u003d U2 + 2Y - 15 \u003d Y2 + 2AU + 1 - 16 \u003d (Y + 1) 2 - 16 \u003d (Y + 1 + 4) (Y + 1 - 4) \u003d ( i + 5) (Y - 3).

Derfor, x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 \u003d (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).

Eksempel. Dekomponere på polynom multiplikatorer (x-4) 4+ (x + 2) 4

Beslutning. Betegne med x-4 + x + 2 \u003d x - 1 til og med y.

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 \u003d (Y - 3) 4 + (Y + 3) 4 \u003d Y4 - 12U3 + 54U3 - 108U + 81 + U4 + 12U3 + 54U2 + 108U + 81 \u003d

2u4 + 108u2 + 162 \u003d 2 (U4 + 54U2 + 81) \u003d 2 [(UG + 27) 2 - 648] \u003d 2 (U2 + 27 - √B48) (U2 + 27 + √B48) \u003d

2 (((x - 1) 2 + 27-√B48) ((x - 1) 2 + 27 + √B48) \u003d 2 (x2-2x + 28-18√2) (X2- 2X + 28 + 18√ 2).

Kombinere ulike metoder

Ofte, under dekomponering av et polynom for multiplikatorer, er det nødvendig å anvende sekvensielt flere av metodene som er omtalt ovenfor.

Eksempel. Dispatch polynomials x4 - 3x2 + 4x-3.

Beslutning. Bruke en gruppering, skriv om et polynom i skjemaet x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Påføring av den første braketten, fremgangsmåten for isolasjon av et komplett firkant, har vi X4 - 3X3 + 4X - 3 \u003d (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Ved å bruke formelen på et komplett firkant, kan du nå skrive ned at x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 -1) 2 - (x - 2) 2.

Til slutt, som påfører formelen av forskjellen på firkanter, oppnår vi at x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 -x + 1).

§ 2. Symmetriske ligninger

1. Symmetriske ligninger i tredje grad

Ligningene i form AH3 + BX2 + BX + A \u003d 0, og ≠ 0 (1) kalles symmetriske ligninger i tredje grad. Siden AH3 + BX2 + BX + A \u003d A (X3 + 1) + BX (X + 1) \u003d (X + 1) (AH2 + (B - A) X + A), er likningen (1) ekvivalent med Total av ligninger X + 1 \u003d 0 og AH2 + (B - A) X + A \u003d 0, som ikke er vanskelig å bestemme.

Eksempel 1. Løs ligning

3x3 + 4x2 + 4x + 3 \u003d 0. (2)

Beslutning. Ligning (2) er en symmetrisk ligning i tredje grad.

Siden 3x3 + 4xg + 4x + 3 \u003d 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) \u003d (x + 1) (3x2 - ZH + 3 + 4X) \u003d (x + 1) (3x2 + x + 3) , Ligningen (2) er ekvivalent med totaliteten av ligningene x + 1 \u003d 0 og 3x3 + x + 3 \u003d 0.

Løsningen av den første av disse ligningene er X \u003d -1, den andre ligningen av løsninger har ikke.

Svar: x \u003d -1.

2. Symmetriske ligninger i fjerde grad

Se ligning

(3) kalles fjerde grad symmetrisk ligning.

Siden x \u003d 0 er ikke roten til ligning (3), og divider begge deler av ligningen (3) til X2, oppnår vi ligning, tilsvarende den opprinnelige (3):

Vi omskriver ligning (4) i skjemaet:

I denne ligningen vil vi erstatte, så får vi en firkantet ligning

Hvis ligningen (5) har 2 U1 og U2 røtter, så er den opprinnelige ligningen ekvivalent med totaliteten av ligninger

Hvis ligningen (5) har en U0-rot, er den opprinnelige ligningen ekvivalent med ligning

Til slutt, hvis ligningen (5) ikke har røtter, har den opprinnelige ligningen heller ikke røtter.

Eksempel 2. Løs ligning

Beslutning. Denne ligningen er den symmetriske ligningen i fjerde grad. Siden x \u003d 0 er ikke dens rot, og divider likningen (6) til x2, får vi tilsvarende ligning til det:

Gruppert vilkårene, omskrive ligning (7) i skjemaet eller i skjemaet

Sette, vi får ligningen med to røtter U1 \u003d 2 og U2 \u003d 3. Følgelig er den opprinnelige ligningen ekvivalent med totaliteten av ligninger

Løsningen av den første ligningen av denne totaliteten er X1 \u003d 1, og det er en avgjørelse av den andre og.

Følgelig har den opprinnelige ligningen tre røtter: x1, x2 og x3.

Svar: X1 \u003d 1,.

§3. Algebraiske ligninger

1. Senk graden av ligning

Noen algebraiske ligninger ved å erstatte noen polynomene i dem kan reduseres til algebraiske ligninger, hvor graden er mindre enn graden av kildekvasjonen og løsningen som er lettere.

Eksempel 1. Løs ligning

Beslutning. Betegner ved at ligningen (1) kan omskrive i form av den siste ligningen, har en rot, og derfor er ligningen (1) ekvivalent med totaliteten av ligninger og. Løsningen av den første ligningen av denne totaliteten er og løsninger av den andre ligningen er

Løsningerligning (1) er

Eksempel 2. Løs ligning

Beslutning. Multiplisere begge deler av ligningen for 12 og betegner gjennom

Vi får ligningen for å omskrive denne ligningen i skjemaet

(3) og betegnet ved omskrivningsligning (3) som den siste ligningen har en rot, og derfor oppnår vi at ligningen (3) tilsvarer kombinasjonen av to ligninger og løser dette settet av ligninger, og det vil si ligning (2) er ekvivalent med totaliteten av ligninger og (2) fire)

Løsningene til aggregatet (4) er, og de er løsninger av ligning (2).

2. Se ligninger

Ligningen

(5) hvor -Denny tall kan reduseres til en bic-duty ligning ved hjelp av en erstatning av et ukjent, dvs. erstatning

Eksempel 3. Løs ligning

Beslutning. Betegne av, t. e. Vi vil erstatte variablene eller deretter ligningen (6) kan omskrives i skjemaet eller påføring av formelen, som

Siden røttene til kvadratligningen er løsningene av ligning (7) er det løsninger for kombinasjonen av ligninger og. Denne totaliteten av ligninger har to løsninger, og derfor er løsningene av ligning (6) og

3. Se ligninger

Ligningen

(8) hvor tallene a, β, γ, δ, og α er slik at a

Eksempel 4. Løs ligning

Beslutning. Vi vil gjøre en erstatning av ukjente t. E. y \u003d x + 3 eller x \u003d y - 3. Deretter kan ligning (9) bli omskrevet som

(Y-2) (Y-1) (Y + 1) (Y + 2) \u003d 10, dvs. i skjemaet

(Y2- 4) (Y2-1) \u003d 10 (10)

Bikette ligning (10) har to røtter. Følgelig har ligningen (9) også to røtter:

4. Se ligninger

Ligning, (11)

Hvor, ikke har roten x \u003d 0, derfor separerer ligningen (11) til x2, oppnår vi tilsvarende ligning

Som, etter å ha erstattet det ukjente, omskrives i form av en firkantlig ligning, er løsningen som ikke representerer vanskeligheter.

Eksempel 5. Løs ligning

Beslutning. Siden H \u003d 0 ikke er roten av ligning (12), så, separere den til x2, får vi tilsvarende tilsvarende det

Gjør en erstatning ukjent, vi får ligning (Y + 1) (Y + 2) \u003d 2, som har to røtter: y1 \u003d 0 og y1 \u003d -3. Følgelig er den opprinnelige ligningen (12) ekvivalent med totaliteten av ligninger

Denne kombinasjonen har to røtter: x1 \u003d -1 og x2 \u003d -2.

Svar: X1 \u003d -1, x2 \u003d -2.

Kommentar. Ligning av TYPE

I hvilken, kan du alltid føre til tankene (11), og dessuten teller α\u003e 0 og λ\u003e 0 til skjemaet.

5. Se ligninger

Ligningen

, (13) hvor tall, a, β, y, δ og α er slik at αβ \u003d γδ ≠ 0 kan omskrives, beveger den første braketten med den andre, og den tredje med den fjerde, i form av det, dvs. ligning (13) nå er det skrevet i skjemaet (11), og dets vedtak kan utføres på samme måte som løsningen av ligning (11).

Eksempel 6. Løs ligning

Beslutning. Ligning (14) har skjemaet (13), så vi omskriver det som

Siden x \u003d 0 er ikke en løsning på denne ligningen, og separerer den med begge deler på X2, oppnår vi ekvivalenten av den opprinnelige ligningen. Gjør erstatning av variabler, får vi en firkantelig ligning, hvor løsningen er og. Følgelig er den opprinnelige ligningen (14) ekvivalent med totaliteten av ligninger og.

Løsningen av den første ligningen av denne totaliteten er

Den andre ligningen av dette settet av løsninger har ikke. Så, den opprinnelige ligningen har røtter x1 og x2.

6. Se ligninger

Ligningen

(15) Hvor tallene A, B, C, Q, A er slik at, ikke har en rot x \u003d 0, derfor separerer ligningen (15) til X2. Vi oppnår tilsvarende ligning, som etter erstatning av det ukjente, omskrives i form av en firkantlig ligning, løsningen som ikke representerer vanskeligheter.

Eksempel 7. Løsning av ligningen

Beslutning. Siden x \u003d 0 er ikke roten av ligning (16), og separere begge deler av det på x2, får vi ligningen

, (17) ekvivalent ligning (16). Gjør en erstatning ukjent, ligning (17) for å omskrive i skjemaet

Kvadratligningen (18) har 2 røtter: U1 \u003d 1 og Y2 \u003d -1. Derfor er ligningen (17) ekvivalent med totaliteten av ligninger og (19)

Kombinasjonen av ligninger (19) har 4 røtter:,.

De vil være røttene av ligning (16).

§For. Rasjonelle ligninger

Ligninger av skjemaet \u003d 0, hvor n (x) og q (x) er polynomene, kalt rasjonell.

Finne røttene til ligningen H (x) \u003d 0, så må du kontrollere hvilken av dem som ikke er røttene til ligningen q (x) \u003d 0. Disse røttene og bare de vil løse ligningen.

Tenk på noen metoder for å løse ligningen av skjemaet \u003d 0.

1. Se ligninger

Ligningen

(1) Under noen forhold kan tallene løses som følger. Grupperende medlemmer av ligning (1) to og summering hvert par, det er nødvendig å oppnå polynomene i den første eller null grad i det numeriske tallet, forskjellig i bare numeriske faktorer, og i nevner - tre meter med de samme to vilkårene som inneholder x , så etter å ha erstattet variabler, vil ligningen enten ha, skjemaet (1), men med et mindre antall vilkår, eller det vil være ekvivalent med kombinasjonen av to ligninger, hvorav en vil være den første graden, og For det andre vil være ligningen av skjemaet (1), men med et mindre antall vilkår.

Eksempel. Løse ligning

Beslutning. Grumping i den venstre delen av ligningen (2) det første elementet med sistnevnte, og den andre med den nest siste, omskrive ligning (2) i form av

Summering i hver brakettvilkår, omskrivlig ligning (3) som

Siden det ikke er noen løsningsligning (4), og deler denne ligningen på, får vi ligningen

, (5) tilsvarende ligning (4). Vi erstatter det ukjente, da ligningen (5) vil omskrive i form av

Således reduseres løsningen av ligning (2) med fem vilkår i den venstre delen til løsningen av ligning (6) av de samme arter, men med tre vilkår i venstre side. Oppsummering av alle medlemmer i den venstre delen av ligningen (6), skriv det inn i form av

Løsningene til ligningen er også. Ingen av disse tallene trekker til null nevneren til den rasjonelle funksjonen i den venstre delen av ligningen (7). Følgelig har ligningen (7) disse to røttene, og derfor er den opprinnelige ligningen (2) ekvivalent med totaliteten av ligninger

Løsninger av den første ligningen av denne totaliteten

Løsninger av den andre ligningen fra denne totaliteten er det

Så den opprinnelige ligningen har røtter

2. Se ligninger

Ligningen

(8) Under noen forhold kan tallene løses slik: Det er nødvendig å tildele hele delen i hver av fraksjonene av ligningen, dvs. erstatte ligning (8) av ligningen

Å redusere den til skjemaet (1) og deretter løse det på den måte som er beskrevet i forrige avsnitt.

Eksempel. Løse ligning

Beslutning. Vi skriver ligning (9) som eller som

Oppsummere komponentene i parentes, omskrive ligning (10) som

Gjør erstatningen av det ukjente, omskrive ligningen (11) som

Oppsummere medlemmene i den venstre delen av ligningen (12), omskrive den som

Det er lett å se at ligningen (13) har to røtter: og. Følgelig har den opprinnelige ligningen (9) fire røtter:

3) Ligninger av arten.

Ligningen av skjemaet (14) under visse betingelser i tall kan løses som dette: dekomponering (hvis det selvfølgelig er mulig) hver av fraksjonene i den venstre delen av ligningen (14) i summen av enkleste fraksjoner

For å redusere ligningen (14) for å danne (1), og deretter gjennomføre praktisk omlegging av medlemmene av den oppnådde ligningen, for å løse det ved fremgangsmåten i punkt 1).

Eksempel. Løse ligning

Beslutning. Siden og deretter multiplisere telleren av hver brøkdel i ligning (15) med 2 og merker at ligningen (15) kan skrives som

Ligning (16) har skjemaet (7). Readming komponentene i denne ligningen, skriv det om i skjemaet eller i skjemaet

Ligning (17) tilsvarer totaliteten av ligninger og

For å løse den andre ligningen av settet (18), erstatter vi det ukjente da det vil omskrive i skjemaet eller i skjemaet

Summere alle medlemmene i den venstre delen av ligningen (19), skriv om den i form av

Siden ligningen ikke har røtter, har ligningen (20) ikke.

Den første ligningen av aggregatet (18) har den eneste rotet siden denne rotten er inkludert i OTZ av den andre ligningen av settet (18), så er det den eneste roten til aggregatet (18), og derfor den opprinnelige ligningen .

4. Se ligninger

Ligningen

(21) Under noen forhold i tall og A, etter presentasjonen av hvert begrep på venstre side, kan den reduseres til skjemaet (1).

Eksempel. Løse ligning

Beslutning. Omskrive ligning (22) som eller som

Således reduseres ligningen (23) til skjemaet (1). Nå, gruppering av første medlem med den siste, og den andre med den tredje, omskrive ligningen (23) i form av

Denne ligningen tilsvarer totaliteten av ligninger og. (24)

Den siste ligningen av totaliteten (24) kan omskrives som

Løsningene til denne ligningen er, og siden den er inkludert i OTZ av den andre ligningen av settet (30), har aggregatet (24) tre røtter:. Alle er løsninger av den opprinnelige ligningen.

5. Ligninger av arten.

Ligning av skjemaet (25)

Under noen forhold kan tallene til det ukjente reduseres til ligningen av typen

Eksempel. Løse ligning

Beslutning. Siden det ikke er en løsning av ligning (26), og deretter dele telleren og denominatoren til hver brøkdel på venstre side, skriv det om som

Gjør erstatning av variabler ved å dreie ligningen (27) som

Løsningsligning (28) er også. Derfor er ligningen (27) ekvivalent med totaliteten av ligninger og. (29)

Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, bygging av konstruksjoner og til og med sport. Personens ligninger som brukes i antikken, og siden da øker deres søknad bare. I matematikk er ligningene av høyere grader med hele koeffisientene ganske vanlige. For å løse denne typen ligning er det nødvendig:

Bestemme de rasjonelle røttene til ligningen;

Dekomponere på polynomiske multiplikatorer, som ligger på venstre side av ligningen;

Finn røttene til ligningen.

Anta at vi får ligningen av følgende skjema:

Vi finner alle de faktiske røttene. Multipliser venstre og høyre deler av ligningen på \\

Utfør erstatning av variabler \\

Dermed oppnådde vi en gitt ligning i fjerde grad, som er løst i henhold til standardalgoritmen: Vi kontrollerer dividers, vi utfører divisjon, og vi finner som et resultat av at ligningen har to gyldige røtter \\ og to komplekse. Vi får det neste svaret på vår ligning i fjerde grad:

Hvor kan jeg løse ligningen av de høyeste grader i den elektroniske løsningen?

Du kan løse ligningen på nettstedet vårt https: // nettsted. En gratis online Solver vil løse online-ligningen av en kompleksitet i løpet av sekunder. Alt du trenger å gjøre er å bare skrive inn dataene dine i løsningen. Du kan også se videoinstruksjonen og lære å løse ligningen på vår nettside. Og hvis du har spørsmål, kan du spørre dem i vår VKontakte gruppe http://vk.com/pocketacher. Bli med i vår gruppe, vi er alltid glade for å hjelpe deg.

For å nyte forhåndsvisningspresentasjoner, opprett deg selv en konto (konto) Google og logg inn på det: https://accounts.google.com

Signaturer for lysbilder:

Ligninger av høyere grader (røtter av polynomet fra en variabel).

P LAN-forelesning. № 1. Ligninger av de høyeste grader i skolens skoleforløp. № 2. Standard type polynom. № 3. Røttene til polynomet. Gorner ordningen. № 4. Fractional røtter av polynomet. № 5. Ligninger av skjemaet: (x + a) (x + c) (x + c) ... \u003d et nummer 6. Returnende ligninger. Nei. 7. Ensartede ligninger. Nr. 8. Metode for usikre koeffisienter. Nr. 9. Funksjonelt - Grafisk metode. Nr. 10. Vieta formler for høyere graders ligninger. Nr. 11. Ikke-standard metoder for å løse ligningene av høyere grader.

Ligninger av de høyeste grader i skolens skoleforløp. 7. klasse. Standard type polynom. Handlinger med polynomene. Dekomponering av polynomer på multiplikatorer. I den vanlige klassen på 42 timer, i den spesielle klassen på 56 timer. 8 spesiell klasse. Hele røtter av polynomet, delingen av polynomene, returnitninger, forskjellen og mengden av pumper av de to-Mero-krefter, metoden for usikre koeffisienter. Yu.n. MakaryChev "Ytterligere kapitler til skolen kurs 8 klasse algebras", m.l.galitsky samling av oppgaver på algebra 8 - 9. klasse. " 9 spesiell klasse. Rasjonelle røtter av polynomet. Generelle avkastningslige ligninger. Vieta formler for ligninger av høyere grader. N.YA. Vilenkin "Algebra Grade 9 med grundig studie. 11 spesiell klasse. Identiteten til polynomene. Polynom fra flere variabler. Funksjonelt - en grafisk metode for å løse ligningene til høyere grader.

Standard type polynom. Polynomial P (x) \u003d A ⁿ x ⁿ + og P-1 x P-1 + ... + A2H ² + A1H + A₀. Kalt et polynom av en standard arter. En P X ⁿ er et eldre medlem av polynomet en P-koeffisient med et eldre medlem av polynomet. På en P \u003d 1 P (x) kalles det ovenfor polynomiske. En ₀ - et fritt medlem av polynomet P (x). P-grad av polynom.

Hele røttene er polynomiske. Gorner ordningen. TEOREM nr. 1. Hvis et heltall A er roten til polynomet P (X), så er A et fritt elementdeler P (x). Eksempel nummer 1. Bestemme ligning. X⁴ + 2X³ \u003d 11xx - 4x - 4 Vi presenterer ligningen til standardskjemaet. X⁴ + 2X³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0. Vi har en polynomial P (x) \u003d x ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 frie medlemsdeler: ± 1, ± 2, ± 4. x \u003d 1 rotligning fordi P (1) \u003d 0, x \u003d 2 rotligning fordi P (2) \u003d 0 theorem av mouture. Residuet fra divisjonen til polynomet P (X) på Biccoon (X - A) er lik P (A). Corollary. Hvis A er roten til polynomet P (X), er P (X) delt inn i (X - A). I vår ligning P (X) er det delt inn i (X - 1) og på (X - 2), og derfor (X - 1) (X - 2). Når du deler P (x) på (x ² - 3x + 2), viser den seg trehile x ² + 5x + 2 \u003d 0, som har røtter x \u003d (- 5 ± √17) / 2

Fraksjonelle røtter av polynom. Theorem nummer 2. Hvis P / G er roten til polynomet P (x), så er P en fri medlemsdeler, G er koeffisientdeleren av seniorelementets p (x). Eksempel nr. 2. Bestem ligningen. 6x³ - 11xx - 2x + 8 \u003d 0. Free Term Divisors: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. Ingen av disse tallene tilfredsstiller ligningen. Det er ingen røtter. Naturlige divisorer av seniorelets koeffisient P (X): 1, 2, 3, 6. Mulige fraksjonelle røtter av ligningen: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Kontrollen er overbevist om at P (4/3) \u003d 0. x \u003d 4/3 rot av ligningen. Ifølge Horner-skjemaet deler vi P (X) på (X - 4/3).

Eksempler på selvbeslutninger. Avgjøre ligninger: 9x³ - 18x \u003d x - 2, x ³ - x ² \u003d x - 1, x ³ - 3x² -3x + 1 \u003d 0, x ⁴ - 2x³ + 2x - 1 \u003d 0, x⁴ - 3x² + 2 \u003d 0 , x ⁵ + 5x³ - 6x² \u003d 0, x ³ + 4xqm + 5x + 2 \u003d 0, x⁴ + 4 x³ - x ² - 16x - 12 \u003d 0 4х³ + x ² - x + 5 \u003d 0 3x⁴ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 \u003d 0. Svar: 1) ± 1/3; 2 2) ± 1, 3) -1; 2 ± √3, 4) ± 1, 5) ± 1; ± √2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -en; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; en.

Ligninger av skjemaet (x + a) (x + c) (x + c) (x + d) ... \u003d A. Eksempel nummer 3. Bestemme ligning (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) \u003d 24. A \u003d 1, B \u003d 2, C \u003d 3, D \u003d 4 A + D \u003d B + C. Jeg slår den første braketten med den fjerde og andre med den tredje. (x + 1) (x + 4) (x + 20 (x + 3) \u003d 24. (x ² + 5x + 4) (x ² + 5x + 6) \u003d 24. La x ² + 5x + 4 \u003d y , deretter (Y + 2) \u003d 24, U2 + 2Y - 24 \u003d 0 Y1 \u003d - 6, U2 \u003d 4. x ² + 5x + 4 \u003d -6 eller x ² + 5x + 4 \u003d 4. x ² + 5x + 10 \u003d 0, D

Eksempler på selvbeslutninger. (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d -15, x (x + 4) (x + 5) (x + 9) + 96 \u003d 0, x (x + 3 ) (x + 5) (x + 8) + 56 \u003d 0, (x - 4) (X - 3) (X - 2) (X - 1) \u003d 24, (X - 3) (X -4) ( x - 5) (x - 6) \u003d 1680, (x ² - 5x) (x + 3) (x - 8) + 108 \u003d 0, (x + 4) ² (x + 10) (x - 2) + 243 \u003d 0 (x ² + 3x + 2) (x ² + 9x + 20) \u003d 4, indikasjon: x + 3x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2), x ² + 9x + 20 \u003d (x + 4) (x + 5) svar: 1) -4 ± √6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± √97) / 2 7) -7; -en; -4 ± √3.

Returnende ligninger. Definisjonsnummer 1. Ligningen av skjemaet: AH⁴ + VX ³ + CX ² + BX + A \u003d 0 kalles fjerde gradsavkastningsligning. Definisjonsnummer 2. Likningen av skjemaet: AH⁴ + VX ³ + CX ² + KVC + C² A \u003d 0 kalles en generalisert returnert ligning i fjerde grad. K² A: A \u003d C²; SQ: B \u003d k. Eksempel nummer 6. Bestem ligningen x ⁴ - 7x³ + 14xqm - 7x + 1 \u003d 0. Vi deler begge deler av ligningen på X ². x ² - 7x + 14 - 7 / x + 1 / x ² \u003d 0, (x ² + 1 / x ²) - 7 (x + 1 / x) + 14 \u003d 0. La x + 1 / x \u003d y. Vi bygger begge deler av likestilling på torget. x ² + 2 + 1 / x ² \u003d U², x ² + 1 / x ² \u003d U² - 2. Vi får kvadratligningen U² - 7u + 12 \u003d 0, U1 \u003d 3, Y \u003d 4. x + 1 / x \u003d 3 eller x + 1 / x \u003d 4. Vi oppnår to ligninger: x ² - 3x + 1 \u003d 0, x ² - 4x + 1 \u003d 0. Eksempel nummer 7. 3x⁴ - 2x³ - 31xqm + 10x + 75 \u003d 0. 75: 3 \u003d 25, 10: (- 2) \u003d -5, (-5) ² \u003d 25. Tilstanden for den generaliserte returlisingen utføres til \u003d -5. Det løses analogt med eksempel nr. 6. Vi deler begge deler av ligningen på X ². 3x⁴ - 2x - 31 + 10 / x + 75 / x ² \u003d 0, 3 (x ⁴ + 25 / x ²) - 2 (x - 5 / x) - 31 \u003d 0. La x - 5 / x \u003d y, Vi bygger begge deler av likestilling i firkantet x ² - 10 + 25 / x ² \u003d U², x ² + 25 / x ² \u003d UQ² + 10. Vi har en firkantet ligning 3OW ² - 2AU - 1 \u003d 0, U1 \u003d 1, U2 \u003d - 1/3. x - 5 / x \u003d 1 eller x - 5 / x \u003d -1/3. Vi oppnår to ligninger: x ² - x - 5 \u003d 0 og 3x² + x - 15 \u003d 0

Eksempler på selvbeslutninger. 1. 78x⁴ - 133x³ + 78xqm - 133x + 78 \u003d 0, 2. x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 \u003d 0, 3. x ⁴ - x ³ - 10xqm + 2x + 4 \u003d 0, 4. 6x⁴ + 5x³ - 38xqm -10x + 24 \u003d 0, 5. X ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0, 6. x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 \u003d 0. Svar: 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± √3; (3 ± √17) / 2, 4) -1 ± √3; (7 ± √ 337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± √17) / 2, 6) 1; 2.

Uniform ligninger. Definisjon. Ligningen av skjemaet A₀ U3 + A1 U2 V + A2 UV² + A3 V3 \u003d 0 kalles en homogen ligning i tredje grad i forhold til U v. Definisjon. Ligningen av skjemaet A₀ U5 + A1 U3V + A2 U2V² + A3 UV3 + A4 V6 \u003d 0 kalles en homogen ligning i fjerde grad i forhold til U v. Eksempel nummer 8. Bestemme ligning (x ² - x + 1) ³ + 2x⁴ (x ² - x + 1) - 3x⁶ \u003d 0 ensartet ligning i tredje grad i forhold til u \u003d x ² + 1, V \u003d x ². Vi deler begge deler av ligningen på X ⁶. Tidligere sjekket at X \u003d 0 ikke er roten til ligningen. (x ² - x + 1 / x ²) ³ + 2 (x ² - x + 1 / x ²) - 3 \u003d 0. (x ² - x + 1) / x ²) \u003d y, y ³ + 2e - 3 \u003d 0, y \u003d 1 rotligning. Vi deler polynomet P (X) \u003d u³ + 2AU - 3 på Y - 1 i henhold til fjellvalget. I privat får vi trehile, som ikke har røtter. Svar: 1.

Eksempler på selvbeslutninger. 1. 2 (x ² + 6x + 1) ² + 5 (x² + 6x + 1) (x² + 1) + 2 (x² + 1) ² \u003d 0, 2. (x + 5) ⁴ - 13xqm (x + 5) ² + 36x⁴ \u003d 0, 3. 2 (x² + x + 1) ² - 7 (x - 1) ² \u003d 13 (x³ - 1), 4. 2 (x -1) ⁴ - 5 (x² - 3x + 2) ² + 2 (x - 2) ⁴ \u003d 0, 5. (x ² + x + 4) ² + 3x (x ² + x + 4) + 2x² \u003d 0, svar: 1) -1; -2 ± √3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2; 4 4) ± √2; 3 ± √2, 5) Ingen røtter.

Metode for usikre koeffisienter. Teoremnummer 3. To polynomene P (x) og g (x) er identiske hvis og bare hvis de har samme grad og koeffisienter med samme grad av variabelen i begge polynomene er like. Eksempel nummer 9. Avcisid på multiplikatorer av polynomer U5 - 4U3 + 5U² - 4U + 1. U⁴ - 4U3 + 5U² - 4U + 1 \u003d (U² + VO + C) (U² + ₁u + S1) \u003d y ⁴ + u ³ (₁ + c) + U2 (S1 + C + V1V) + U (SUN ₁ + SV ₁) + SS ₁. Ifølge TEOREM nr. 3 har vi et system av ligninger: ₁ + B \u003d -4, C + C + V1B \u003d 5, Sun ₁ + SV ₁ \u003d -4, SS ₁ \u003d 1. Det er nødvendig å løse systemet i heltall. Sistnevnte ligning i heltall kan ha løsninger: C \u003d 1, C1 \u003d 1; C \u003d -1, S1 \u003d -1. La C \u003d C1 \u003d 1, så har vi fra den første ligningen i \u003d -4-in. Vi erstatter i den andre ligningen av systemet C² + 4B + 3 \u003d 0, B \u003d -1, V1 \u003d -3 eller B \u003d -3, V1 \u003d -1. Disse verdiene er egnet for den tredje ligningen av systemet. Når c \u003d c ₁ \u003d -1 d

Eksempel nummer 10. Det er et polynom å dekomponere et polynom i ³ - 5U + 2. U ³ -5U + 2 \u003d (U + A) (U² + VO + C) \u003d u ³ + (A + C) U2 + (AV + C) y + høyttalere. Vi har et system med ligninger: A + B \u003d 0, AB + C \u003d -5, AC \u003d 2. Mulige hele løsninger av den tredje ligningen: (2; 1), (1; 2), (-2; -1 ), (-1; -2). La A \u003d -2, C \u003d -1. Fra den første ligningen av systemet B \u003d 2, som tilfredsstiller den andre ligningen. Ved å erstatte disse verdiene i ønsket likestilling, får vi svaret: (Y - 2) (U² + 2OW - 1). Den andre måten. U ³ - 5u + 2 \u003d y ³ -5u + 10 - 8 \u003d (y ³ - 8) - 5 (Y - 2) \u003d (Y - 2) (U² + 2U -1).

Eksempler på selvbeslutninger. Spredt på multiplikatorer av polynomene: 1. U⁴ + 4U3 + 6у ² + 4U -8, 2. U⁴ - 4u³ + 7u² - 6U + 2, 3. X ⁴ + 324, 4. U⁴ -8u³ + 24U² -32U + 15, 5. Bestem ligningen ved hjelp av metoden for dekomponering i multiplikatorer: a) x ⁴ -3x² + 2 \u003d 0, b) x ⁵ + 5x³ -6x² \u003d 0. Svar: 1) (U² + 2OW -2) (U² + 2U +4), 2) (Y - 1) ² (U² -2U + 2), 3) (x ² -6x + 18) (x ² + 6x + 18), 4) (Y - 1) (Y - 3 ) (U² - 4U + 5), 5a) ± 1; ± √2, 5b) 0; en.

Funksjonelt - en grafisk metode for å løse ligningene til høyere grader. Eksempel nummer 11. Bestem ligningen X ⁵ + 5x -42 \u003d 0. Funksjonen Y \u003d x ⁵ Øk, funksjonen Y \u003d 42 - 5x Redusering (til

Eksempler på selvbeslutninger. 1. BRUKE EIENDOMEN AV MONOTONEN AV FUNKSJONEN, Bevis at ligningen har den eneste rotet, og finn denne roten: a) x ³ \u003d 10 - x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 - x. Svar: a) 2, b) √2. 2. Bestem ligningen ved hjelp av funksjonelt - grafisk metode: a) x \u003d ³ √H, b) l x l \u003d ⁵ √h, c) 2 \u003d 6 - x, g) (1/3) \u003d x +4, d) ( x - 1) ² \u003d log2 x, e) log \u003d (x + ½) ², g) 1 - √h \u003d ln x, h) √h - 2 \u003d 9 / x. Svar: a) 0; ± 1, b) 0; 1, c) 2, d) -1, e) 1; 2, E) ½, g) 1, H) 9.

Vieta formler for ligninger av høyere grader. Teorem nr. 5 (Vieta theorem). Hvis ligningsøksen ⁿ + AX \u200b\u200bⁿ + ... + A1H + A₀ har NS av forskjellige gyldige røtter x ₁, x 2, ..., X, så tilfredsstiller de likheter: for kvadratligningen Ah² + VX + C \u003d O : x ₁ + x ₂ \u003d -B / A, X1H2 \u003d S / A; For kubisk ligning, ³ + A2H ² + A1H + A₀ \u003d 0: X ₁ + x 2 + x ® \u003d -A2 / A3; X1x 2 + X1X 3 + X2H3 \u003d А₁ / A3; X1H2H3 \u003d -A₀ / А₃; ... for ligningen av N-grader: x ₁ + x 2 + ... x \u003d - a / a, x x x + x x x 3 + ... + xx \u003d a / a, ..., x ₂ · ... · x \u003d (- 1) ⁿ А₀ / a. Omvendt theorem utføres.

Eksempel №13. Skriv den kubiske ligningen, hvor røttene er reversert røttene til ligningen x ³ - 6xqm + 12x - 18 \u003d 0, og koeffisienten ved X ³ er 2. 1. Ved theoremet av Vieta for den kubiske ligningen, vi Ha: x ₁ + x 2 + x 3 \u003d 6, X12 + X1X 3 + X2X3 \u003d 12, X1X2H3 \u003d 18. 2. Vi lager omvendte verdier av disse røttene, og for dem bruker vi omvendt teorem i Vieta. 1 / x ₁ + 1 / x 2 + 1 / x 3 \u003d (X2X3 + X1X3 + X1X2) / X1X2H3 \u003d 12/18 \u003d 2/3. 1 / X1X 2 + 1 / X1X3 + 1 / X2X3 \u003d (X3 + X2 + X ₁) / X1X2H3 \u003d 6/18 \u003d 1/3, 1 / x x x \u003d 1/18. Vi får ligningen x ³ + 2 / 3xqm + 1/3x - 1/18 \u003d 0 · 2 Svar: 2x³ + 4 / 3xqm + 2 / 3x -1/9 \u003d 0.

Eksempler på selvbeslutninger. 1. Skriv en kubikkligning, hvor røttene er inverse firkantene av røttene til ligningen x ³ - 6xqm + 11x - 6 \u003d 0, og koeffisienten ved X ³ er 8. Svar: 8x³ - 98 / 9xqm + 28 / 9x -2/9 \u003d 0. Ikke-standardmetoder for å løse ligninger av høyere grader. Eksempel nummer 12. Bestem ligningen X ⁴ -8x + 63 \u003d 0. Sprett den venstre delen av faktorens ligning. Vi fremhever nøyaktige firkanter. X⁴ - 8x + 63 \u003d (x ⁴ + 16xqm + 64) - (16xqm + 8x + 1) \u003d (x ² + 8) ² - (4x + 1) ² \u003d (x ² + 4x + 9) (x² - 4x + 7) \u003d 0. Begge diskrimineringene er negative. Svar: Ingen røtter.

Eksempel nummer 14. Bestemme ligning 21x³ + x ² - 5x - 1 \u003d 0. Hvis det frie medlem av ligningen er ± 1, blir ligningen omgjort til den oppgitte ligningen ved å erstatte x \u003d 1 / y. 21 / u³ + 1 / u² - 5 / y - 1 \u003d 0 · u ³, y ³ + 5u² - 21 \u003d 0. u \u003d -3 rotligning. (i + 3) (U² + 2OW -7) \u003d 0, Y \u003d -1 ± 2√2. x ₁ \u003d -1/3, x ₂ \u003d 1 / -1 + 2√2 \u003d (2,2 + 1) / 7, X3 \u003d 1 / -1 -2√2 \u003d (1-2√2) / 7 . Eksempel nummer 15. Løs ligning 4x³-10x² + 14x - 5 \u003d 0. Multipliser begge deler av ligningen på 2. 8x³ -20x² + 28x - 10 \u003d 0, (2x) ³ - 5 (2x) ² + 14 · (2x) -10 \u003d 0. Vi presenterer en ny variabel y \u003d 2x, vi får den reduserte ligningen i ³ - 5U ² + 14U -10 \u003d 0, Y \u003d 1 rot av ligningen. (y - 1) (U² - 4. + 10) \u003d 0, D

Eksempel nummer 16. Bevis at ligningen x ⁴ + x ³ + x - 2 \u003d 0 har en positiv rot. La f (x) \u003d x ⁴ + x ³ + x - 2, f '(x) \u003d 4 x³ + 3xqm + 1\u003e o med x\u003e o. Funksjonen f (x) øker ved X\u003e O, og verdien f (o) \u003d -2. Åpenbart har ligningen en positiv rot av Ch.t.d. Eksempel nummer 17. Bestem ligning 8x (2xqm - 1) (8x⁴ - 8xqm + 1) \u003d 1. Hvis SharyGin "Valgfritt kurs i matematikk for klasse 11" .. Utdanning 1991 P90. 1. L x L 1 2x² - 1\u003e 1 og 8x⁴ -8x² + 1\u003e 1 2. Vi vil erstatte x \u003d koselig, i € (0; n). Med de gjenværende verdiene av Y gjentas verdiene til X, og ligningen har ikke mer enn 7 røtter. 2xqm - 1 \u003d 2 cos² - 1 \u003d cos2y, 8x⁴ - 8xqm + 1 \u003d 2 (2xqm - 1) ² - 1 \u003d 2 cos²2y - 1 \u003d cos4y. 3. Ligningen tar skjemaet 8 cosycos2ycos4y \u003d 1. Multipliser begge deler av ligningen på sinket. 8 Sinycosycos2ycos4y \u003d Siny. Bruk 3 ganger formelen i dobbeltvinkelen, vi får ligningen sin8y \u003d Siny, Sin8y - Siny \u003d 0

Slutten av avgjørelsen av eksempel nr. 17. Vi bruker Sinus forskjellen formelen. 2 SIN7Y / 2 · COS9Y / 2 \u003d 0. Tatt i betraktning at i € (0; p), y \u003d 2pk / 3, k \u003d 1, 2, 3 eller y \u003d n / 9 + 2pk / 9, k \u003d 0, 1, 2, 3. returnerer til variabelen x vi Få svar: COS2 P / 7, COS4 P / 7, COS6 P / 7, COS P / 9, ½, COS5 P / 9, COS7 P / 9. Eksempler på selvbeslutninger. Finn alle verdier av A, i hvilken ligning (x ² + x) (x ² + 5x + 6) \u003d og har nøyaktig tre røtter. Svar: 9/16. Merk: Bygg en graf på venstre side av ligningen. F max \u003d f (0) \u003d 9/16. Straight y \u003d 9/16 krysser en graf av en funksjon på tre punkter. Bestemme ligning (x ² + 2x) ² - (x + 1) ² \u003d 55. Svar: -4; 2. Bestem ligning (x + 3) ⁴ + (x + 5) ⁴ \u003d 16. Svar: -5; -3. Bestem ligning 2 (x ² + x + 1) ² -7 (x - 1) ² \u003d 13 (x ³ - 1). Svaret: -1; -1/2, 2; 4 Finn antall gyldige røtter av ligningen x ³ - 12x + 10 \u003d 0 til [-3; 3/2]. Merk: Finn et derivat og utforske monot.

Eksempler på selvløsninger (fortsettelse). 6. Finn antall gyldige røtter av ligningen X ⁴ - 2x³ + 3/2 \u003d 0. Svar: 2 7. La x ₁, x 2, x ™ - røttene til polynomet P (x) \u003d x ³ - 6xqm -15x + 1. Finn x1² + x 2² + x 3². Svar: 66. Merk: Påfør Vieta Theorem. 8. Bevis at ved et\u003e O og vilkårlig materiale i ligningen X ³ + AH + B \u003d O har bare en ekte rot. Merk: Sveip bevis fra ekkel. Påfør Vieta Theorem. 9. Bestem ligning 2 (x ² + 2) ² \u003d 9 (x ³ + 1). Svar: ½; en; (3 ± √13) / 2. MERK: Gi ligningen til en homogen ved hjelp av likestillingen x² + 2 \u003d x + 1 + x ² - x + 1, x ³ + 1 \u003d (x + 1) (x ² - x + 1). 10. Bestem systemet med ligninger x + y \u003d x ², 3ow - x \u003d U². Svar: (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. Bestem systemet: 4u² -3hu \u003d 2x -u, 5xqm - 3u² \u003d 4x - 2. Svar: (o; o), (1; 1), (297/265, - 27/53).

Test. 1 alternativ. 1. Bestem ligning (x ² + x) - 8 (x ² + x) + 12 \u003d 0. 2. Bestem ligning (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d - 15 . 3. Bestem ligning 12xqm (x - 3) + 64 (x - 3) ² \u003d x ⁴. 4. Bestem ligningen x ⁴ - 4 x³ + 5xqm - 4x + 1 \u003d 0 5. Bestem systemet i alderen: x ² + 2 ² - x + 2ow \u003d 6, 1.5xqm + 3 ² - x + 5u \u003d 12.

2 Alternativ 1. (x ² - 4x) ² + 7 (x ² - 4x) + 12 \u003d 0. 2. x (x + 1) (x + 5) (x + 6) \u003d 24. 3. x ⁴ + 18 (x + 4) ² \u003d 11xqm (x + 4). 4. X ⁴ - 5x³ + 6xqm - 5x + 1 \u003d 0. 5. X ² - 2H + O² + 2xqm - 9 \u003d 0, X - Y - x² på + 3 \u003d 0. 3 Alternativ. 1. (x ² + 3x) ² - 14 (x ² + 3x) + 40 \u003d 0 2. (x - 5) (x - 3) (x + 3) (x + 1) \u003d - 35. 3. X4 + 8х² (x + 2) \u003d 9 (x + 2) ². 4. X ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 \u003d 0. 5. x + u + x ² + i ² \u003d 18, Hu + x ² + U² \u003d 19.

4 Alternativ. (x ² - 2x) ² - 11 (x ² - 2x) + 24 \u003d o. (x -7) (x - 4) (x - 2) (x + 1) \u003d -36. X⁴ + 3 (x -6) ² \u003d 4xqm (6 - x). X⁴ - 6x³ + 7xqm - 6x + 1 \u003d 0. x² + 3H + US² \u003d - 1, 2xqm - 3H - 3U ² \u003d - 4. Ytterligere oppgave: Resten fra delingen av polynomet P (x) på (X - 1) er 4, balansen av divisjonen på (x + 1) er 2, og når de deles på (x - 2) er 8. Finn saldoen fra å dele P (x) til (x ³ - 2x² - x + 2) .

Svar og instruksjoner: Alternativ nummer 1 nr. 2. 3. 3. Nr. 4. 5. 1. - 3; ± 2; 1 1; 2; 3. -fem; -fur; en; 2. Ensartet ligning: U \u003d x -3, v \u003d x² -2; -en; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3). MERK: 1 · (-3) + 2 · 2 2. -6; -2; -4 ± √6. -3 ± 2√3; - fire; - 2. 1 ± √11; fire; - 2. Ensartet ligning: U \u003d x + 4, V \u003d x² 1; 5; 3 ± √13. (2; 1); (0; 3); (- tretti). MERK: 2 · 2 + 1. 3. -6; 2; fire; 12 -3; -2; fire; 12 -6; -3; -en; 2. Uniform U \u003d x + 2, v \u003d x² -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). MERK: 2 -1. 4. (3 ± √5) / 2 2 ± √3 2 ± √3; (3 ± √5) / 2 (5 ± √21) / 2 (1; -2), (-1; 2). MERK: 1 · 4 + 2.

Beslutning tilleggsoppgave. Av teoremet mudder: P (1) \u003d 4, s (-1) \u003d 2, s (2) \u003d 8.00 (x) \u003d g (x) (x ³ - 2x² - x + 2) + AH² + VX + fra. Erstatning 1; - en; 2. P (1) \u003d g (1) · 0 + A + B + C \u003d 4, A + B + C \u003d 4. P (-1) \u003d A - B + C \u003d 2, P (2) \u003d 4A² + 2V + C \u003d 8. Vi får løse det resulterende systemet med tre ligninger: a \u003d b \u003d 1, c \u003d 2. Svar: x ² + x + 2.

Kriterium nr. 1 - 2 poeng. 1 poeng er en databehandlingsfeil. № 2,3,4 - 3 poeng. 1 poengsumdiode til en firkantet ligning. 2 poeng - en databehandlingsfeil. Nr. 5. - 4 poeng. 1 poengsum - uttrykte en variabel gjennom den andre. 2 poeng - fikk en av løsningene. 3 poeng - en databehandlingsfeil. Ytterligere oppgave: 4 poeng. 1 poengsum - anvendt teoret av mouture for alle fire tilfeller. 2 poeng - utgjorde et system av ligninger. 3 poeng - en databehandlingsfeil.

Metoder for å løse algebraiske ligninger av høyere grader.

Habibullina Alfia Yakubovna ,

matematikklærer av den høyeste kategorien MBOU SOSH №177

byer i Kazan, Æret lærer i Republikken Tatarstan,

kandidat av pedagogisk vitenskap.

Definisjon 1. Algebraisk ligning av grad n Ligningen av skjemaet P N (x) \u003d 0, hvor P N (x) er et polynom av grad n, dvs. P N (x) \u003d A 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 x + A N A 0.

Definisjon 2. Rot Ligninger - den numeriske verdien av variabelen X, som ved å erstatte, gir trofast likestilling i denne ligningen.

Definisjon 3. Bestemme seg for ligningen betyr å finne alle sine røtter eller bevise at de ikke er det.

JEG. Metode for dekomponering av polynomer til multiplikatorer med etterfølgende skudd.

Ligningen kan dekomponeres på multiplikatorer og løser knusingsmetoden, det vil si, bryte på settet av ligninger av mindre grader.

Kommentar: Generelt, når du løser ligningen ved å knuse, bør vi ikke glemme at produktet er null da, og bare hvis minst en av multiplikatorene er , mens andre beholder betydningen.

Måter å nedbrytes av polynom til multiplikatorer:

1. Fjerne en felles faktor for parentes.

2. Firkantet treechlen. kan dekomponeres på multiplikatorer med formler Ah. 2 + Wx + c \u003d a (x-x 1 ) (XH. 2 ), Hvor er det 0, x 1 og x 2 - Square tre-shred røtter.

3. Ved hjelp av formler av forkortet multiplikasjon :

en N-i N \u003d (a-C) (og N-1 + CN-2 A N-2 B + CN-3 A N-3 B + ... + C1 A i N-2 + i N- 1), N. N.

Utvalg av komplett firkant. Polynomet kan dekomponeres på multiplikatorer ved hjelp av kvadratforskjellsformelen, forhåndsfremhekk hele firkanten av summen eller forskjellen på uttrykk.

4. Gruppering (Kombinert med overføring av en felles faktor bak parentesene).

5. Bruk av theoremet.

1) Hvis ligningen er 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 x + A n \u003d 0, A 0 0 c hele koeffisientene har en rasjonell rot x 0 \u003d (Hvor - ustabil brøkdel, s
Q.
), deretter P-sekvensen av et fritt sikt A, og Q er en divider av en senior koeffisient en 0.

2) Hvis x \u003d x 0 er roten til ligningen P n (x) \u003d 0, så er P N (x) \u003d 0 ekvivalent med ligningen

(x - x 0) p n-1 (x) \u003d 0, hvor R N-1 (x) er et polynom som finnes i divisjon

P n (x) på (x - x 0) "hjørne" eller ved hjelp av ubestemt koeffisienter.

II. . Metode for å introdusere en ny variabel (substitusjon )

Vurder ligningen f (x) \u003d g (x). Det tilsvarer ligning f (x) -g (x) \u003d 0. Angi forskjellen f (x) -g (x) \u003d H (P (x)), og
. Vi introduserer erstatningen t \u003d P (x) (funksjonen t \u003d P (x) kalles substitusjon ). Deretter får vi ligningen H (P (x)) \u003d 0 eller h (t) \u003d 0, som løser den siste ligningen, finner vi T 1, T 2, ... Tilbake til substitusjonen P (x) \u003d t 1, P (x) \u003d t 2, ..., finn verdiene til variabelen x.

III. Metode for streng monotoni.

Theorem. Hvis y \u003d f (x) er strengt monotonne per p, så har ligningen f (x) \u003d a (a - const) ikke mer enn en rot på settet. (Funksjonen er strengt monotont: enten bare avtagende eller bare øker)

Kommentar. Du kan bruke modifikasjonen av denne metoden. Vurder ligningen f (x) \u003d g (x). Hvis funksjonen Y \u003d f (x) reduseres monotont til P, og funksjonen Y \u003d G (x) Monotonously reduseres til P (eller omvendt), har ligningen f (x) \u003d g (x) ikke mer enn en rot på settet.

Iv. Fremgangsmåte for å sammenligne et sett med verdier av begge deler av ligningen (vurderingsmetode)

Theorem. Hvis for en hvilken som helst x fra settet P, utføres ulikheter f (x) a, og g (x) a, deretter ligningen f (x) \u003d g (x) på settet p er ekvivalent med systemet
.

Corollary.: Hvis på settet s
eller
, Ligningen f (x) \u003d g (x) har ikke røtter.

Denne metoden er ganske effektiv i å løse transcendentale ligninger.

V. Metode for slukking av diverse av ekstreme koeffisienter

Tenk på ligningen en 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 x + A n \u003d 0

Theorem. Hvis x 0 \u003d - Roten til den algebraiske ligningen i graden N, og jeg er heltallkoeffisientene, så P er et fritt medlemsdeler A n, og Q er en forhandler av seniorkoeffisienten A 0. På en 0 \u003d 1 x 0 \u003d p (gratis medlemsdeler).

Corollary. Teoremene: Hvis x 0 er roten til en algebraisk ligning, er PN (x) delt inn i (x - x 0) uten residu, dvs. PN (X) \u003d (X - X 0) Q N-1 (X) .

VI Metode for usikre koeffisienter.

Den er basert på følgende påstander:

to polynomer er identisk like da og bare hvis deres koeffisienter er like med samme grader x.

enhver polynom i tredje grad dekomponerer i arbeidet med to multiplikatorer: lineær og firkantet.

noen polynom i fjerde grad dekomponerer i arbeidet med to polynomer

andre grad.

Vii. Gorner ordningen .

Med hjelp av koeffisientbordet ved algoritmen i byen er valget røttene til ligningen blant de frie medlemsdeler.

Viii. . Derivatmetode.

Theorem. Hvis 2 polynomene p (x) og q (x) har identisk like derivater, så er det et slikt grunnlag at p (x) \u003d q (x) + c for X. R.

Vesem.. Hvis en
(x) og
(x) er delt inn i
T.
(x) er delt inn i
.

Corollary.: Hvis en
(x) og
(x) er delt inn i en polynom r (x), da
(x) er delt inn i (x), og den største generelle divider av polynomene
(x) og
(x) har røtter som bare er røttene til polynomet
(x) multiplikasjon på minst 2.

IX. . Symmetrisk, retur ligninger .

Definisjon. Ligning A 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 x + A n \u003d 0 kalt symmetrisk , hvis en

1. Vurder saken når n-jevn, n \u003d 2k. Hvis en
, så x \u003d 0 er ikke roten til ligningen, som gir rett til å dele ligningen på

0
+
+
+\u003d 0 Vi presenterer erstatningen t \u003d
og gitt lemma, bestemme kvadratligningen i forhold til variabelen T. Omvendt substitusjon vil gi en løsning i forhold til variabelen X.

2. Vurder saken når n-odd, n \u003d 2k + 1. Deretter \u003d -1 er roten til ligningen. Vi deler ligningen basert på
Og vi får saken 1 .. Backstage lar deg finne verdier x. Merk at ved m \u003d -1, blir ligningen kalt omforming av algebraisk ligning P N (x) \u003d 0 (hvor P N (x) er et polynom av grader N) i ligningen av formen F (x) \u003d g ( x). Vi setter funksjonene y \u003d f (x), y \u003d g (x); Vi beskriver deres egenskaper og konstruerer grafer i ett koordinatsystem. Absarisjonene i skjæringspunktene vil være røtter av ligningen. Sjekken utføres ved substitusjon til den opprinnelige ligningen.

Generelt kan ligningen som har en grad over 4 ikke løses i radikaler. Men noen ganger kan vi fortsatt finne røttene til polynomet som står til venstre i likestilling av høyeste grad, hvis vi presenterer den i form av et produkt av polynomer i en grad ikke mer enn 4 .. Løsningen av slike ligninger er basert på dekomponering av polynomene til multiplikatorer, så vi anbefaler deg å gjenta dette emnet før vi lærer denne artikkelen.

Mester ofte må håndtere ligning av høyere grader med hele koeffisientene. I disse tilfellene kan vi prøve å finne rasjonelle røtter, og dekomponere deretter et polynom for multiplikatorer for å konvertere den til en lavere gradsligning som bare vil bestemme. Som en del av dette materialet vil vi bare vurdere slike eksempler.

Ligninger i høyeste grad med hele koeffisientene

Alle ligninger som har en form en N x N + A N - 1 x N - 1 +. . . + A 1 x + A 0 \u003d 0, kan vi føre til ligningen i samme grad ved hjelp av multiplikasjonen til begge deler med en N N - 1 og erstatte variabelen av skjemaet y \u003d a n x:

en N x N + A N - 1 x N - 1 +. . . + A 1 x + A 0 \u003d 0 Ann · xn + an - 1 · Ann - 1 · xn - 1 + ... + A 1 · (an) n - 1 · x + a 0 · (an) n - 1 \u003d 0 y \u003d anx ⇒ yn + bn - 1 yn - 1 + ... + b 1 y + b 0 \u003d 0

Disse koeffisientene som viste seg til slutt, vil også være heltall. Dermed må vi løse den oppgitte ligningen av N-Noerate med heltallkoeffisienter som har en form x n + a n x n - 1 + ... + A 1 x + A 0 \u003d 0.

Beregn hele røttene til ligningen. Hvis ligningen har hele røtter, må du se etter dem blant dividene til en gratis sikt en 0. Vi skriver dem ned og vi vil erstatte i den første likestillingen i sin tur, og kontroller resultatet. Så snart vi fikk identitet og fant en av røttene til ligningen, kan vi skrive den i skjemaet x - x 1 · p n - 1 (x) \u003d 0. Her x 1 er roten til ligningen, og P N - 1 (x) er en privat fra å dele x N + a n x N - 1 + ... + A 1 x + A 0 til X - X 1.

Vi erstatter de resterende utladede divisorene i P N - 1 (x) \u003d 0, som starter med x 1, siden røttene kan gjentas. Etter å ha mottatt identiteten, anses roten X 2 å bli funnet, og ligningen kan skrives i skjemaet (x - x 1) (x - x 2) · PN - 2 (x) \u003d 0. PN - 2 (x) vil være privat fra Division P N - 1 (x) til X - X 2.

Vi fortsetter å gå gjennom dividers. Vi finner alle de hele røttene og betegner nummeret sitt som m. Deretter kan den innledende ligningen være representert som X - X 1 X - X 2 · ... · X - X M · P N - M (X) \u003d 0. Her er P N - M (X) en polynom n- m-grad. For beregning er det praktisk å bruke Horner-skjemaet.

Hvis vår første ligning har hele koeffisientene, kan vi ikke resultere i brøkdelte røtter.

Vi fikk til slutt ligningen P N - M (x) \u003d 0, hvis røtter finnes på en hvilken som helst hensiktsmessig måte. De kan være irrasjonelle eller komplekse.

La oss vise på et bestemt eksempel, da en løsningskjema gjelder.

Eksempel 1.

Tilstand: Finn løsningen av ligningen x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d 0.

Beslutning

La oss starte med funnene fra hele røttene.

Vi har et fritt medlem som er lik minus tre. Han har divisorer lik 1, - 1, 3 og - 3. Erstatte dem til den opprinnelige ligningen og la oss se hvilken av dem som vil bli gitt identitetene.

For X, lik en, oppnår vi 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, betyr det at enheten vil være roten til denne ligningen.

Nå skal vi utføre divisjonene i polynomet x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 på (x - 1) i kolonnen:

Så, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 \u003d 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 \u003d 0

Vi hadde en identitet, det betyr at vi fant en annen rot av ligningen lik 1.

Vi deler polynomet x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 på (x + 1) i kolonnen:

Vi får det

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) \u003d \u003d (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Vi erstatter neste divider inn i likestillingen x 2 + x + 3 \u003d 0, fra - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Likestilling oppnådd i enden vil være feil, det betyr at ligningen ikke lenger har hele røttene.

De gjenværende røttene vil være røttene av ekspresjon x 2 + x + 3.

D \u003d 1 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 11< 0

Det følger av dette at dette kvadratet tre deklen er det ingen gyldige røtter, men det er omfattende konjugat: x \u003d - 1 2 ± I 11 2.

Vi vil spesifisere at i stedet for å dele i kolonnen kan du bruke Gunner-ordningen. Dette er gjort som dette: Etter at vi har identifisert den første roten til ligningen, fyll inn bordet.

I koeffisientbordet kan vi umiddelbart se individets individers koeffisienter fra å dele polynomene, det betyr at x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Etter å ha funnet den neste rotten, lik - 1, får vi følgende:

Svar: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± I 11 2.

Eksempel 2.

Tilstand: Bestemme ligning x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 \u003d 0.

Beslutning

Et frittelement har divisorer 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Sjekk dem i rekkefølge:

1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 \u003d 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 \u003d 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 \u003d 0

Så x \u003d 2 vil være roten til ligningen. Vi delte x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 på x - 2, ved hjelp av gunner-skjemaet:

Som et resultat får vi x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) \u003d 0.

2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 \u003d 0

Så, 2 vil være roten igjen. Vi delte x 3 + x 2 - 3 x - 6 \u003d 0 til x - 2:

Som et resultat oppnår vi (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) \u003d 0.

Kontroller de gjenværende divisorene gir ikke mening, siden likestillingen x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 er raskere og mer praktisk å løse ved hjelp av diskriminerende.

Spest firkantlig ligning:

x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 d \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0

Vi får et omfattende konjugert par røtter: x \u003d - 3 2 ± I 3 2.

Svar: x \u003d - 3 2 ± I 3 2.

Eksempel 3.

Tilstand: Finn for ligning X 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 Gyldige røtter.

Beslutning

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0

Vi utfører en logging på 2 3 av begge deler av ligningen:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0

Vi erstatter variablene y \u003d 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 \u003d 0

Som et resultat hadde vi en standard ligning 4., som kan løses i henhold til standardordningen. Vi sjekker dividere, vi deler og får som et resultat at det har 2 gyldige røtter y \u003d - 2, y \u003d 3 og to kompleks. Beslutningen helt her vil vi ikke lede. På grunn av erstatningen med de gyldige røttene til denne ligningen, vil x \u003d y 2 \u003d - 2 2 \u003d - 1 og x \u003d y2 \u003d 3 2 være x \u003d 3 2.

Svar: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter