Kako se društvo razvijalo, a proizvodnja postajala sve složenija, razvijala se i matematika. Prelazak sa jednostavnog na složeno. Od uobičajenog računovodstva metodom sabiranja i oduzimanja, uz njihovo opetovano ponavljanje, došli smo do koncepta množenja i dijeljenja. Smanjivanje ponavljajuće operacije množenja postalo je koncept eksponencije. Prve tablice o ovisnosti brojeva o bazi i broju podizanja stepena sastavio je još u 8. stoljeću indijski matematičar Varasen. Iz njih možete odbrojati vrijeme pojavljivanja logaritama.

Istorijska skica

Oživljavanje Evrope u 16. veku takođe je stimulisalo razvoj mehanike. T bila je potrebna velika količina proračuna koji se odnose na množenje i dijeljenje višeznamenkastih brojeva. Drevni stolovi učinili su veliku uslugu. Omogućili su zamjenu složenih operacija jednostavnijim - zbrajanje i oduzimanje. Veliki korak naprijed bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je ostvario ideju mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za stupnjeve u obliku prostih brojeva, već i za proizvoljne racionalne.

Godine 1614. Škot John Napier, razvijajući ove ideje, prvi je uveo novi izraz "logaritam broja". Složene su nove složene tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangenti. To je uvelike smanjilo rad astronoma.

Počele su se pojavljivati ​​nove tablice koje su naučnici uspješno koristili tri stoljeća. Prošlo je mnogo vremena prije nego što je nova operacija u algebri dobila svoj gotov oblik. Data je definicija logaritma i proučena su njegova svojstva.

Tek u 20. stoljeću, dolaskom kalkulatora i računara, čovječanstvo je napustilo drevne tablice koje su uspješno radile u 13. stoljeću.

Danas bazu nazivamo logaritmom broja x, što je stepen a, da bi broj b. Ovo je zapisano u obliku formule: x = log a (b).

Na primjer, zapisnik 3 (9) bit će 2. To je očito ako slijedite definiciju. Ako se 3 podigne na stepen 2, dobijamo 9.

Dakle, formulirana definicija postavlja samo jedno ograničenje, brojevi a i b moraju biti stvarni.

Vrste logaritama

Klasična definicija naziva se pravi logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Napomena: 1 je jednako 1 u bilo kojem stepenu.

Realna vrijednost logaritma definirano samo ako su radiks i argument veći od 0, a radiks ne smije biti jednak 1.

Posebno mesto u oblasti matematike igrati logaritme, koji će biti imenovani ovisno o veličini njihove baze:

Pravila i ograničenja

Osnovno svojstvo logaritma je pravilo: logaritam proizvoda jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a (b) + log a (p).

Kao varijanta ove izjave će biti: log c (b / p) = log c (b) - log c (p), količnička funkcija jednaka je razlici funkcija.

Iz prethodna dva pravila lako je vidjeti da: log a (b p) = p * log a (b).

Ostale nekretnine uključuju:

Komentar. Nemojte praviti uobičajenu grešku - logaritam zbira nije jednak zbroju logaritama.

Dugi niz stoljeća operacija pronalaženja logaritma bila je prilično naporan zadatak. Matematičari su koristili dobro poznatu formulu logaritamske teorije razlaganja polinoma:

ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 +… + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n), gdje je n prirodni broj veći od 1, koji određuje tačnost izračuna.

Logaritmi s drugim bazama izračunati su pomoću teoreme o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstvom logaritma proizvoda.

Budući da je ova metoda vrlo dugotrajna i pri rješavanju praktičnih problema teško implementirati, tada smo koristili unaprijed sastavljene tablice logaritama, što je značajno ubrzalo cijeli rad.

U nekim slučajevima korišteni su posebno sastavljeni grafovi logaritama koji su davali manju točnost, ali značajno ubrzavali traženje željene vrijednosti. Krivulja funkcije y = log a (x), izgrađena u nekoliko točaka, omogućuje korištenje regularnog ravnala za pronalaženje vrijednosti funkcije u bilo kojoj drugoj točki. Inženjeri su dugo koristili u te svrhe takozvani grafički papir.

U 17. stoljeću pojavljuju se prvi pomoćni analogni računski uvjeti, koji su do 19. stoljeća dobili potpunu formu. Najuspješniji uređaj naziva se pravilo klizanja. Uz svu jednostavnost uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je nekoliko ljudi već upoznato s ovim uređajem.

Pojava kalkulatora i računara obesmislila je upotrebu bilo kojeg drugog uređaja.

Jednačine i nejednakosti

Za rješavanje različitih jednadžbi i nejednakosti pomoću logaritama primjenjuju se sljedeće formule:

• Prijelaz s jedne baze na drugu: log a (b) = log c (b) / log c (a);
• Kao posljedica prethodne verzije: log a (b) = 1 / log b (a).

Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:

• Vrijednost logaritma će biti pozitivna samo ako su osnova i argument istovremeno veći ili manji od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma će biti negativna.
• Ako se funkcija logaritma primijeni na desnu i lijevu stranu nejednakosti, a osnova logaritma je veća od jedan, tada je znak nejednakosti sačuvan; u suprotnom se menja.

Primjeri zadataka

Razmotrimo nekoliko mogućnosti korištenja logaritama i njihovih svojstava. Primjeri rješavanja jednadžbi:

Razmotrite opciju postavljanja logaritma na snagu:

• Zadatak 3. Izračunajte 25 ^ log 5 (3). Rešenje: pod uslovima problema, zapis je sličan sledećem (5 ^ 2) ^ log5 (3) ili 5 ^ (2 * log 5 (3)). Napišemo drugačije: 5 ^ log 5 (3 * 2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. Koristeći svojstva logaritama, ovaj izraz je 3 ^ 2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobivamo 9.

Praktična upotreba

Budući da je čisto matematičko oruđe, čini se daleko od stvarnog života da je logaritam odjednom dobio veliku važnost za opisivanje objekata u stvarnom svijetu. Teško je pronaći nauku gdje se ne primjenjuje. To se u potpunosti odnosi ne samo na prirodna, već i na humanitarna područja znanja.

Logaritamske zavisnosti

Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:

Mehanika i fizika

Povijesno gledano, mehanika i fizika uvijek su se razvijale koristeći matematičke metode istraživanja i istovremeno su bile poticaj za razvoj matematike, uključujući i logaritme. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Navest ćemo samo dva primjera opisa fizičkih zakona pomoću logaritma.

Problem izračunavanja tako složene veličine kao što je brzina rakete moguće je riješiti formulom Tsiolkovskog, koja je postavila temelje za teoriju istraživanja svemira:

V = I * ln (M1 / M2), gdje

• V je konačna brzina aviona.
• Ja sam specifični impuls motora.
• M 1 je početna masa rakete.
• M 2 je konačna masa.

Još jedan važan primjer- ovo je upotreba u formuli drugog velikog naučnika Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.

S = k * ln (Ω), gdje

• S - termodinamičko svojstvo.
• k je Boltzmannova konstanta.
• Ω je statistička težina različitih stanja.

Hemija

Manje je očita upotreba formula u kemiji koja sadrži omjer logaritama. Navest ćemo i samo dva primjera:

• Nernstova jednadžba, stanje redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost tvari i konstantu ravnoteže.
• Izračun konstanti poput indeksa autoprolize i kiselosti otopine također nije potpun bez naše funkcije.

Psihologija i biologija

I potpuno je neshvatljivo kakve veze psihologija ima s tim. Ispostavilo se da je jačina osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao obrnuti omjer vrijednosti intenziteta stimulusa prema nižoj vrijednosti intenziteta.

Nakon gornjih primjera, ne čudi više što se tema logaritma široko koristi u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogu se pisati tomovi.

Ostala područja

Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez povezanosti s ovom funkcijom i da vlada svim zakonima. Pogotovo kada su zakoni prirode povezani s geometrijskom progresijom. Vrijedi se pozvati na web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:

Lista može biti beskrajna. Savladavši osnovne zakone ove funkcije, možete zaroniti u svijet beskrajne mudrosti.

Dakle, pred nama su moći dvoje. Ako uzmete broj iz donje linije, lako ćete pronaći stupanj do kojeg morate podići dva da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, morate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, morate podići dva na šesti stupanj. To se vidi iz tabele.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

Osnova logaritma a argumenta x je snaga na koju se mora podići broj a da bi se dobio broj x.

Napomena: log a x = b, gdje je a baza, x je argument, b je zapravo ono što je logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (log baza 2 od 8 je tri, budući da je 2 3 = 8). S istim uspjehom zapisnik 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja u datoj bazi naziva se logaritam. Dakle, dodajmo novu liniju u našu tablicu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, ne izračunavaju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći dnevnik 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Zato što 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnima: brojevi nakon decimalne točke mogu se pisati unedogled i nikad se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga ostavite tako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku su mnogi zbunjeni oko toga gdje je osnova, a gdje argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama nije ništa drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je stepen na koju se mora podići osnova da bi se dobio argument. To je osnova koja je podignuta na snagu - na slici je označena crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim učenicima na prvoj lekciji - i ne dolazi do zabune.

Shvatili smo definiciju - ostaje naučiti brojati logaritme, tj. riješite se znaka dnevnika. Za početak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i radiks moraju uvijek biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stepena racionalnim pokazateljem, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza se mora razlikovati od jedne, jer je jedna i dalje jedna do bilo kojeg stupnja. Zbog toga je pitanje "u kojoj mjeri čovjek mora podići jedan da bi dobio dvojku" besmisleno. Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja se nazivaju raspon valjanih vrijednosti(ODZ). Ispostavilo se da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x> 0, a> 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da ne postoji ograničenje za broj b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 -1.

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje poznavanje ODV -a logaritma nije potrebno. Kompajleri zadataka su već uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kad uđu logaritamske jednadžbe i nejednakosti, zahtjevi DHS -a postat će obavezni. Zaista, u osnovi i u argumentu mogu postojati vrlo jake konstrukcije koje ne odgovaraju nužno gornjim ograničenjima.

Pogledajmo sada opću shemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Predstavite radiks a i argument x kao stepen s najmanjim mogućim radixom većim od jedan. Usput je bolje riješiti se decimalnih razlomaka;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b;
3. Dobiveni broj b će biti odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će se vidjeti već na prvom koraku. Uvjet da baza bude veća od jedan vrlo je relevantan: to smanjuje vjerovatnoću greške i uvelike pojednostavljuje proračune. Isto je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će mnogo puta manje grešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira s konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen pet: 5 = 5 1; 25 = 5 2;

Sastavimo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Dobili odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte dnevnik: log 4 64

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen dva: 4 = 2 2; 64 = 2 6;
2. Sastavimo i riješimo jednadžbu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dobili odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen dva: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
2. Sastavimo i riješimo jednadžbu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dobio odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte dnevnik: dnevnik 7 14

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen sedam: 7 = 7 1; 14 nije predstavljeno kao moć sedam, budući da je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodne tačke slijedi da se logaritam ne računa;
3. Odgovor se ne mijenja: dnevnik 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako osiguravate da broj nije tačna snaga drugog broja? Vrlo je jednostavno - samo ga uvrstite u osnovne faktore. Ako postoje barem dva različita faktora u proširenju, broj nije točna snaga.

Zadatak. Saznajte jesu li tačne moći broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest.

8 = 2 2 2 = 2 3 - tačan stepen, jer postoji samo jedan faktor;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nije tačan stepen, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - tačan stepen;
35 = 7,5 - opet nije tačan stepen;
14 = 7 2 - opet nije tačan stepen;

Primijetite također da su prosti brojevi uvijek sami po sebi tačne moći.

Decimalni logaritam

Neki su logaritmi toliko česti da imaju posebno ime i oznaku.

Decimalni logaritam x je logaritam baze 10, tj. moć na koju se mora povećati broj 10 da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x.

Na primjer, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kad se u udžbeniku pojavi izraz poput "Find lg 0.01", trebali biste znati: ovo nije pravopisna greška. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalne.

Prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju notaciju. Na neki način, to je čak važnije od decimalnog. Ovo je prirodni logaritam.

Prirodni logaritam x je baza logaritma e, tj. moć na koju se mora podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x.

Mnogi će se pitati: šta je još broj e? Ovo je iracionalan broj, njegovo tačno značenje se ne može pronaći i zapisati. Navest ću samo njegove prve brojke:
e = 2.718281828459 ...

Nećemo se upuštati u to koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e osnova prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Dakle, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinica: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Navedena su osnovna svojstva prirodnog logaritma, grafikona, domena definicije, skupa vrijednosti, osnovnih formula, izvedenica, integral, proširenje potencijala i prikaz funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija

Prirodni logaritam je funkcija y = ln x, obrnuto eksponencijalnom, x = e y, i koji je logaritam prema bazi broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam široko se koristi u matematici, jer njegov izvod ima najjednostavniji oblik: (ln x) ′ = 1 / x.

Zasnovano definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
f ≅ 2.718281828459045 ...;
.

Graf funkcija y = ln x.

Graf prirodnog logaritma (funkcije y = ln x) se dobija iz grafikona eksponenata preslikavanjem u odnosu na ravnu liniju y = x.

Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti varijable x. Ona se monotono povećava na svom području definicije.

Kao x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost (- ∞).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost ( + ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Bilo koja funkcija x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Opseg definicije, skup vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, stoga nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tablici.

Ln x

ln 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Bilo koji logaritam se može izraziti prirodnim logaritmima koristeći formulu za promjenu baze:

Dokazi ovih formula prikazani su u odjeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Inverzija prirodnog logaritma je eksponent.

Ako onda

Ako onda.

Izvod ln x

Derivat prirodnog logaritma:
.
Izvod prirodnog logaritma modula x:
.
Izvod n -og reda:
.
Izvođenje formula >>>

Integral

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
Dakle,

Izrazi u smislu kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo složenu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
to će biti isti broj za različite n.

Stoga prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.

Proširenje energetskih serija

Prilikom razlaganja dolazi do:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente tehničkih ustanova, "Lan", 2009.

\ (a ^ (b) = c \) \ (\ Lijeva strelica \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)

Objasnimo na jednostavniji način. Na primjer, \ (\ log_ (2) (8) \) je jednako moći na koju \ (2 \) mora biti podignuta da bi se dobila \ (8 \). Otuda je jasno da je \ (\ log_ (2) (8) = 3 \).

Primjeri:		\ (\ log_ (5) (25) = 2 \)		od \ (5 ^ (2) = 25 \)
		\ (\ log_ (3) (81) = 4 \)		od \ (3 ^ (4) = 81 \)
		\ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (32) \) \ (= - 5 \)		od \ (2 ^ (- 5) = \) \ (\ frakcija (1) (32) \)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma obično se piše na svom nivou, s tim da je baza u indeksu bliža predznaku logaritma. A ovaj unos glasi ovako: "logaritam od dvadeset pet do osnove pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: u kojoj mjeri treba podići bazu da biste dobili argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \ (\ log_ (4) (16) \) b) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) c) \ (\ log _ ( \ sqrt (5)) (1) \) d) \ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) \) d) \ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) \)

a) U kojoj mjeri treba podići \ (4 \) da bi se dobilo \ (16 \)? Očigledno u drugom. Stoga:

\ (\ log_ (4) (16) = 2 \)

\ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= - 1 \)

c) U kojoj mjeri \ (\ sqrt (5) \) treba povisiti da biste dobili \ (1 \)? I koji stepen čini bilo koji broj jedan? Nula, naravno!

\ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) = 0 \)

d) U kojoj mjeri \ (\ sqrt (7) \) treba podići da bi se dobilo \ (\ sqrt (7) \)? Prvo - bilo koji broj u prvom stepenu jednak je sebi.

\ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) = 1 \)

e) U kojoj mjeri treba podići \ (3 \) da biste dobili \ (\ sqrt (3) \)? Iz znamo da je to razlomljeni stupanj, pa je stoga kvadratni korijen stupanj \ (\ frac (1) (2) \).

\ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \) \ (\ frac (1) (2) \)

Primjer : Izračunajte logaritam \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) \)

Rešenje :

\ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = x \)		Moramo pronaći vrijednost logaritma, označimo je kao x. Koristimo sada definiciju logaritma: \ (\ log_ (a) (c) = b \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (a ^ (b) = c \)
\ ((4 \ sqrt (2)) ^ (x) = 8 \)		Koja je veza između \ (4 \ sqrt (2) \) i \ (8 \)? Dva, jer oba broja mogu biti predstavljena sa dva: \ (4 = 2 ^ (2) \) \ (\ sqrt (2) = 2 ^ (\ frac (1) (2)) \) \ (8 = 2 ^ (3) \)
\ (((2 ^ (2) \ cdot2 ^ (\ frakcija (1) (2)))) ^ (x) = 2 ^ (3) \)		S lijeve strane koristimo svojstva stepena: \ (a ^ (m) \ cdot a ^ (n) = a ^ (m + n) \) i \ ((a ^ (m)) ^ (n) = a ^ (m \ cdot n) \)
\ (2 ^ (\ frakcija (5) (2) x) = 2 ^ (3) \)		Razlozi su jednaki, prelazimo na jednakost pokazatelja
\ (\ frakcija (5x) (2) \) \ (= 3 \)		Pomnožite obje strane jednadžbe s \ (\ frac (2) (5) \)
		Rezultirajući korijen je vrijednost logaritma

Odgovor : \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = 1,2 \)

Zašto ste smislili logaritam?

Da bismo to razumjeli, riješimo jednadžbu: \ (3 ^ (x) = 9 \). Samo uparite \ (x \) da bi jednakost funkcionirala. Naravno, \ (x = 2 \).

Sada riješite jednadžbu: \ (3 ^ (x) = 8 \). Šta je x? To je samo poenta.

Najbrži će reći: "X je nešto manje od dva." Kako tačno zapisujete ovaj broj? Da bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \ (x = \ log_ (3) (8) \).

Želim naglasiti da \ (\ log_ (3) (8) \), poput svaki logaritam je samo broj... Da, izgleda neobično, ali kratko. Jer ako bismo to htjeli napisati kao decimalni razlomak, to bi izgledalo ovako: \ (1.892789260714 ..... \)

Primjer : Riješite jednadžbu \ (4 ^ (5x-4) = 10 \)

Rešenje :

\ (4 ^ (5x-4) = 10 \)		\ (4 ^ (5x-4) \) i \ (10 ​​\) ne mogu se svesti na isti razlog. To znači da ne možemo bez logaritma. Upotrijebimo definiciju logaritma: \ (a ^ (b) = c \) \ (\ Lijeva strelica \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)
\ (\ log_ (4) (10) = 5x-4 \)		Preslikajte jednadžbu tako da se x nalazi s lijeve strane
\ (5x-4 = \ log_ (4) (10) \)		Pre nas. Pomaknite \ (4 \) nadesno. I nemojte se plašiti logaritma, tretirajte ga kao običan broj.
\ (5x = \ log_ (4) (10) +4 \)		Podijelite jednadžbu sa 5
\ (x = \) \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)		Ovde je naš koren. Da, izgleda čudno, ali ne biraju odgovor.

Odgovor : \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koji pozitivan broj osim jednog \ ((a> 0, a \ neq1) \). A među svim mogućim osnovama postoje dvije koje se pojavljuju toliko često da je za logaritme s njima izmišljen poseban kratki zapis:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Ojlerov broj \ (e \) (jednak približno \ (2.7182818 ... \)), a zapisuje se takav logaritam kao \ (\ ln (a) \).

Tj. \ (\ ln (a) \) je isto što i \ (\ log_ (e) (a) \)

Decimalni logaritam: Logaritam s osnovom 10 se piše \ (\ lg (a) \).

Tj. \ (\ lg (a) \) je isto što i \ (\ log_ (10) (a) \), gdje je \ (a \) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Osnovni logaritamski identitet" i izgleda ovako:

\ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \)

Ovo svojstvo direktno slijedi iz definicije. Pogledajmo kako je tačno došlo do ove formule.

Prisjetimo se kratkog zapisa definicije logaritma:

ako je \ (a ^ (b) = c \) onda \ (\ log_ (a) (c) = b \)

To jest, \ (b \) je isto što i \ (\ log_ (a) (c) \). Tada možemo napisati \ (\ log_ (a) (c) \) umjesto \ (b \) u formuli \ (a ^ (b) = c \). Ispostavilo se \ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \) - glavni logaritamski identitet.

Možete pronaći ostatak svojstava logaritama. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izračunati "direktno".

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \ (36 ^ (\ log_ (6) (5)) \)

Rešenje :

Odgovor : \(25\)

Kako se broj može napisati kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. I obrnuto je tačno: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \ (\ log_ (2) (4) \) jednako dva. Tada možete upisati \ (\ log_ (2) (4) \) umjesto dva.

Ali \ (\ log_ (3) (9) \) je takođe \ (2 \), tako da možete napisati i \ (2 = \ log_ (3) (9) \). Slično, sa \ (\ log_ (5) (25) \), \ (\ log_ (9) (81) \) itd. Odnosno, ispostavlja se

\ (2 = \ log_ (2) (4) = \ log_ (3) (9) = \ log_ (4) (16) = \ log_ (5) (25) = \ log_ (6) (36) = \ dnevnik_ (7) (49) ... \)

Prema tome, ako nam zatreba, možemo napisati dva kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (čak i u jednadžbi, čak i u izrazu, čak i u nejednakosti) - samo pišemo bazu na kvadrat kao argument.

Slično s trojkom - može se napisati kao \ (\ log_ (2) (8) \), ili kao \ (\ log_ (3) (27) \), ili kao \ (\ log_ (4) (64) \) ... Ovdje upisujemo bazu u kocku kao argument:

\ (3 = \ log_ (2) (8) = \ log_ (3) (27) = \ log_ (4) (64) = \ log_ (5) (125) = \ log_ (6) (216) = \ dnevnik_ (7) (343) ... \)

I sa četvorkom:

\ (4 = \ log_ (2) (16) = \ log_ (3) (81) = \ log_ (4) (256) = \ log_ (5) (625) = \ log_ (6) (1296) = \ dnevnik_ (7) (2401) ... \)

I sa minus jedan:

\ (- 1 = \) \ (\ log_ (2) \) \ (\ frakcija (1) (2) \) \ (= \) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) ( 3) \) \ (= \) \ (\ log_ (4) \) \ (\ frac (1) (4) \) \ (= \) \ (\ log_ (5) \) \ (\ frac (1 ) (5) \) \ (= \) \ (\ log_ (6) \) \ (\ frac (1) (6) \) \ (= \) \ (\ log_ (7) \) \ (\ frac (1) (7) \) \ (... \)

I sa jednom trećinom:

\ (\ frac (1) (3) \) \ (= \ log_ (2) (\ sqrt (2)) = \ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \ log_ (4) (\ sqrt ( 4)) = \ log_ (5) (\ sqrt (5)) = \ log_ (6) (\ sqrt (6)) = \ log_ (7) (\ sqrt (7)) ... \)

Bilo koji broj \ (a \) može se predstaviti kao logaritam s bazom \ (b \): \ (a = \ log_ (b) (b ^ (a)) \)

Primjer : Pronađite značenje izraza \ (\ frac (\ log_ (2) (14)) (1+ \ log_ (2) (7)) \)

Rešenje :

Odgovor : \(1\)

1.1. Određivanje stepena za cjelobrojni eksponent

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X *… * X - N puta

1.2. Nulti stepen.

Po definiciji, općenito je prihvaćeno da je nulta snaga bilo kojeg broja 1:

1.3. Negativna diploma.

X -N = 1 / X N

1.4. Razlomni stupanj, korijen.

X 1 / N = N -ti korijen X.

Na primjer: X 1/2 = √X.

1.5. Formula za dodavanje moći.

X (N + M) = X N * X M

1.6 Formula za oduzimanje moći.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Formula za množenje stepena.

X N * M = (X N) M

1.8. Formula za podizanje razlomka na stepen.

(X / Y) N = X N / Y N

2. Broj e.

Vrijednost broja e jednaka je sljedećoj granici:

E = lim (1 + 1 / N), kao N → ∞.

Sa preciznošću od 17 cifara, broj e je 2.71828182845904512.

3. Eulerova jednakost.

Ova jednakost povezuje pet brojeva koji igraju posebnu ulogu u matematici: 0, 1, broj e, broj pi, zamišljena jedinica.

E (i * pi) + 1 = 0

4. Eksponencijalna funkcija exp (x)

exp (x) = e x

5. Izvod eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija ima izvanredno svojstvo: derivacija funkcije jednaka je samo eksponencijalnoj funkciji:

(exp (x)) "= exp (x)

6. Logaritam.

6.1. Definicija logaritamske funkcije

Ako je x = b y, tada je logaritam funkcija

Y = Log b (x).

Logaritam prikazuje stepen do kojeg se broj mora podići - baza logaritma (b) da bi se dobio određeni broj (X). Funkcija logaritma je definirana za X veće od nule.

Na primjer: Dnevnik 10 (100) = 2.

6.2. Decimalni logaritam

Ovo je baza 10 logaritma:

Y = Log 10 (x).

Označeno sa Log (x): Log (x) = Log 10 (x).

Primjer korištenja decimalnog logaritma je decibel.

6.3. Decibel

Stavka je označena na zasebnoj stranici Decibel

6.4. Binarni logaritam

Ovo je baza 2 logaritma:

Y = Dnevnik 2 (x).

Označeno sa Lg (x): Lg (x) = Log 2 (X)

6.5. Prirodni logaritam

Ovo je baza logaritma e:

Y = Log e (x).

Označava se sa Ln (x): Ln (x) = Log e (X)
Prirodni logaritam je inverzan eksponencijalnoj funkciji exp (X).

6.6. Karakteristične tačke

Zapisite a (1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Formula za logaritam proizvoda

Log a (x * y) = Log a (x) + Log a (y)

6.8. Formula za logaritam količnika

Log a (x / y) = Log a (x) -Log a (y)

6.9. Formula logaritma stepena

Prijavite se a (x y) = y * Prijavite se a (x)

6.10. Formula za pretvaranje u logaritam s drugom bazom

Dnevnik b (x) = (Dnevnik a (x)) / Dnevnik a (b)

Primjer:

Dnevnik 2 (8) = Dnevnik 10 (8) / Dnevnik 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formule korisne u životu

Često postoje problemi pretvaranja volumena u površinu ili dužinu, a obrnuti problem je ponovno izračunavanje površine u volumen. Na primjer, ploče se prodaju u kockama (kubnim metrima), ali moramo izračunati koliko se površine zida može obložiti pločama koje se nalaze u određenoj zapremini, pogledajte izračun ploča, koliko ploča ima u kocki. Ili su dimenzije zida poznate, potrebno je izračunati broj opeka, vidjeti izračun cigle.

Dopušteno je koristiti materijale web stranice, pod uvjetom da je instalirana aktivna veza do izvora.