Lad os huske de nødvendige oplysninger om komplekse tal.

Kompleks nummer er et udtryk for formen -en + bi, hvor -en, b er reelle tal, og jeg- såkaldt imaginær enhed, et symbol hvis firkant er -1, det vil sige jeg 2 = -1. Nummer -en hedder reel del og nummeret b - imaginær del komplekst tal z = -en + bi... Hvis b= 0, så i stedet for -en + 0jeg skrive enkelt -en... Det kan ses, at reelle tal er et specielt tilfælde af komplekse tal.

Aritmetiske operationer på komplekse tal er de samme som på reelle: de kan adderes, trækkes, multipliceres og divideres med hinanden. Addition og subtraktion sker i henhold til reglen ( -en + bi) ± ( c + di) = (-en ± c) + (b ± d)jeg og multiplikation - ifølge reglen ( -en + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (annonce + bc)jeg(det bruges bare her jeg 2 = –1). Nummer = -en – bi hedder komplekst konjugat Til z = -en + bi... Lighed z · = -en 2 + b 2 giver dig mulighed for at forstå, hvordan man deler et komplekst tal med et andet (ikke-nul) komplekst tal:

(For eksempel, .)

Komplekse tal har en praktisk og intuitiv geometrisk repræsentation: tallet z = -en + bi kan repræsenteres af en vektor med koordinater ( -en; b) på det kartesiske plan (eller, hvilket er næsten det samme, et punkt - enden af ​​vektoren med disse koordinater). I dette tilfælde er summen af ​​to komplekse tal afbildet som summen af ​​de tilsvarende vektorer (som kan findes ved parallelogramreglen). Ved Pythagoras sætning er længden af ​​vektoren med koordinater ( -en; b) er lig. Denne mængde kaldes modul komplekst tal z = -en + bi og betegnet med | z|. Den vinkel, denne vektor gør med abscisseaksens positive retning (talt mod uret) kaldes argument komplekst tal z og betegnes med Arg z... Argumentet er ikke entydigt defineret, men kun op til tilføjelsen af ​​et multiplum af 2 π radianer (eller 360 °, hvis du tæller i grader) - det er trods alt klart, at rotation med en sådan vinkel omkring oprindelsen ikke ændrer vektoren. Men hvis vektoren af ​​længde r danner en vinkel φ med en positiv retning af abscisseaksen, så er dens koordinater ( r Cos φ ; r Synd φ ). Derfor viser det sig trigonometrisk notation komplekst tal: z = |z| (Cos (Arg z) + jeg synd (Arg z))). Det er ofte praktisk at skrive komplekse tal i denne form, fordi det i høj grad forenkler beregninger. Multiplicering af komplekse tal i trigonometrisk form ser meget enkelt ud: z en · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Cos (Arg z 1 + Arg z 2) + jeg synd (Arg z 1 + Arg z 2)) (ved multiplikation af to komplekse tal multipliceres deres moduler, og argumenterne tilføjes). Følg derfor Moivre formler: z n = |z|n(For ( n(Arg z)) + jeg synd ( n(Arg z)))). Ved hjælp af disse formler er det let at lære at udtrække rødder i enhver grad fra komplekse tal. N roden af ​​z er et så komplekst tal w, hvad w n = z... Det er klart det , Og hvor k kan tage enhver værdi fra sættet (0, 1, ..., n- en). Det betyder, at der altid er præcis n rødder n-graden af ​​et komplekst tal (på flyet er de placeret på hjørnerne af det korrekte n-gon).