For eksempel, for trinomialet \ (3x ^ 2 + 2x-7 \), vil diskriminanten være \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). Og for trinomialet \ (x ^ 2-5x + 11 \), vil det være \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

Diskriminanten er betegnet med bogstavet \ (D \) og bruges ofte ved løsning. Også ved værdien af ​​diskriminanten kan du forstå, hvordan grafen ser ud tilnærmelsesvis (se nedenfor).

Diskriminant og ligningens rødder

Diskriminantværdien viser størrelsen af ​​andengradsligningen:
- hvis \ (D \) er positiv - vil ligningen have to rødder;
- hvis \ (D \) er lig nul - kun én rod;
- hvis \ (D \) er negativ, er der ingen rødder.

Dette behøver ikke at læres, det er nemt at komme til denne konklusion, bare ved at vide hvad fra diskriminanten (det vil sige \ (\ sqrt (D) \) indtaster formlen til at beregne rødderne af ligningen: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) og \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) ( 2a) \) Lad os se nærmere på hvert enkelt tilfælde ...

Hvis diskriminanten er positiv

I dette tilfælde er roden af ​​det et positivt tal, hvilket betyder, at \ (x_ (1) \) og \ (x_ (2) \) vil være forskellige i betydning, fordi i den første formel \ (\ sqrt (D) \) tilføjes , og i den anden trækkes det fra. Og vi har to forskellige rødder.

Eksempel : Find rødderne af ligningen \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
Opløsning :

Svar : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Hvis diskriminanten er nul

Og hvor mange rødder vil der være, hvis diskriminanten er nul? Lad os ræsonnere.

Rodformlerne ser sådan ud: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) og \ (x_ (2) = \) \ (\ frac ( -b- \ sqrt (D)) (2a) \). Og hvis diskriminanten er nul, så er roden af ​​den også nul. Så viser det sig:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0))) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + 0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0))) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

Det vil sige, at værdierne af ligningens rødder vil være de samme, fordi tilføjelse eller subtrahering af nul ikke ændrer noget.

Eksempel : Find rødderne af ligningen \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
Opløsning :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		Vi skriver koefficienterne ud:
\ (a = 1; \) \ (b = -4; \) \ (c = 4; \)		Beregn diskriminanten med formlen \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		Find rødderne til ligningen
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- (- 4) - \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \)		Vi har to ens rødder, så det giver ingen mening at skrive dem hver for sig – vi skriver dem ned som én.

Svar : \ (x = 2 \)

Dette emne kan umiddelbart virke kompliceret på grund af de mange svære formler. Ikke alene har andengradsligningerne i sig selv lange optegnelser, men også rødderne findes gennem diskriminanten. Der er i alt tre nye formler. Det er ikke let at huske. Dette er kun muligt efter hyppig løsning af sådanne ligninger. Så vil alle formlerne blive husket af sig selv.

Generelt billede af andengradsligningen

Her foreslås deres eksplicitte registrering, når den højeste grad registreres først, og derefter i faldende rækkefølge. Der er ofte situationer, hvor vilkårene er ude af funktion. Så er det bedre at omskrive ligningen i faldende rækkefølge efter graden af ​​variablen.

Lad os introducere notationen. De er præsenteret i tabellen nedenfor.

Hvis vi accepterer disse betegnelser, reduceres alle andengradsligninger til følgende post.

Desuden er koefficienten a ≠ 0. Lad denne formel betegnes med nummer et.

Når ligningen er givet, er det ikke klart, hvor mange rødder der vil være i svaret. Fordi en af ​​tre muligheder er altid mulig:

• der vil være to rødder i løsningen;
• svaret er ét tal;
• ligningen vil slet ikke have nogen rødder.

Og indtil afgørelsen ikke er bragt til ende, er det svært at forstå, hvilken af ​​mulighederne der falder ud i en bestemt sag.

Typer af registreringer af andengradsligninger

Opgaver kan indeholde deres forskellige poster. De vil ikke altid ligne en generel andengradsligning. Nogle gange vil det mangle nogle vilkår. Det, der blev skrevet ovenfor, er en komplet ligning. Hvis du fjerner den anden eller tredje term i den, får du noget andet. Disse optegnelser kaldes også andengradsligninger, kun ufuldstændige.

Desuden er det kun de termer, hvori koefficienterne "b" og "c" kan forsvinde. Tallet "a" kan under ingen omstændigheder være nul. For i dette tilfælde bliver formlen til en lineær ligning. Formler for en ufuldstændig form for ligninger vil være som følger:

Så der er kun to typer, udover de komplette, er der også ufuldstændige andengradsligninger. Lad den første formel være nummer to og den anden nummer tre.

Diskriminerende og afhængig af antallet af rødder på dets værdi

Du skal kende dette tal for at kunne beregne rødderne til ligningen. Det kan altid beregnes, uanset formlen for andengradsligningen. For at beregne diskriminanten skal du bruge nedenstående lighed, som vil have tallet fire.

Efter at have erstattet værdierne af koefficienterne i denne formel, kan du få tal med forskellige fortegn. Hvis svaret er ja, så vil svaret på ligningen være to forskellige rødder. Med et negativt tal vil rødderne af andengradsligningen være fraværende. Hvis det er lig med nul, vil svaret være ét.

Hvordan løses en komplet andengradsligning?

Faktisk er behandlingen af ​​dette spørgsmål allerede begyndt. For først skal du finde diskriminanten. Efter at det har vist sig, at der er rødder til andengradsligningen, og deres antal er kendt, skal du bruge formlerne til variablerne. Hvis der er to rødder, skal du anvende følgende formel.

Da den indeholder tegnet "±", vil der være to værdier. Kvadratrodsudtrykket er diskriminanten. Derfor kan formlen omskrives på en anden måde.

Formel nummer fem. Den samme registrering viser, at hvis diskriminanten er nul, vil begge rødder have de samme værdier.

Hvis løsningen af ​​andengradsligninger endnu ikke er blevet udarbejdet, er det bedre at nedskrive værdierne af alle koefficienter, før du anvender diskriminant- og variabelformlerne. Senere vil dette øjeblik ikke forårsage vanskeligheder. Men i begyndelsen er der forvirring.

Hvordan løses en ufuldstændig andengradsligning?

Alt er meget enklere her. Der er endda ikke behov for yderligere formler. Og du får ikke brug for dem, der allerede er optaget for diskriminant og ukendt.

Overvej først den ufuldstændige ligning nummer to. I denne lighed er det meningen, at den skal tage den ukendte mængde ud af parentesen og løse den lineære ligning, som forbliver i parentesen. Svaret vil have to rødder. Den første er nødvendigvis lig nul, fordi der er en faktor, der består af selve variablen. Den anden fås ved løsning af en lineær ligning.

Ufuldstændig ligning nummer tre løses ved at overføre tallet fra venstre side af ligningen til højre. Så skal du dividere med faktoren foran det ukendte. Tilbage er blot at udtrække kvadratroden og huske at skrive den ned to gange med modsatte fortegn.

Dernæst er nogle handlinger skrevet for at hjælpe dig med at lære at løse alle slags ligninger, som bliver til andengradsligninger. De vil hjælpe eleven til at undgå skødesløse fejl. Disse mangler er årsagen til dårlige karakterer, når man studerer det omfattende emne "Avgradsligninger (8. klasse)". Efterfølgende skal disse handlinger ikke udføres konstant. Fordi en stabil færdighed vil dukke op.

• Først skal du skrive ligningen i standardform. Det vil sige først det led med den højeste grad af variablen, og derefter - uden graden og det sidste - kun et tal.

• Hvis der vises et minus foran koefficienten "a", så kan det komplicere arbejdet for en begynder at studere andengradsligninger. Det er bedre at slippe af med det. Til dette formål skal al lighed ganges med "-1". Det betyder, at alle vilkårene vil ændre deres fortegn til det modsatte.

• På samme måde anbefales det at slippe af med fraktioner. Du skal blot gange ligningen med den passende faktor for at annullere nævnerne.

Eksempler på

Det er nødvendigt at løse følgende andengradsligninger:

x 2 - 7 x = 0;

15 - 2 x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Den første ligning: x 2 - 7x = 0. Den er ufuldstændig, derfor løses den som beskrevet for formlen nummer to.

Efter at have forladt parenteserne viser det sig: x (x - 7) = 0.

Den første rod tager værdien: x 1 = 0. Den anden vil blive fundet ud fra den lineære ligning: x - 7 = 0. Det er let at se, at x 2 = 7.

Anden ligning: 5x 2 + 30 = 0. Igen ufuldstændig. Kun det løses som beskrevet for den tredje formel.

Efter at have overført 30 til højre side af ligheden: 5x 2 = 30. Nu skal du dividere med 5. Det viser sig: x 2 = 6. Svarene vil være tallene: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Den tredje ligning: 15 - 2x - x 2 = 0. Herefter vil løsningen af ​​andengradsligninger begynde med at omskrive dem i standardformen: - x 2 - 2x + 15 = 0. Nu er det tid til at bruge det andet nyttige råd og gang alt med minus en... Det viser sig x 2 + 2x - 15 = 0. Ifølge den fjerde formel skal du beregne diskriminanten: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Det er et positivt tal. Ud fra det, der blev sagt ovenfor, viser det sig, at ligningen har to rødder. De skal beregnes ved hjælp af den femte formel. Det viser sig, at x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Så er x 1 = 3, x 2 = - 5.

Den fjerde ligning x 2 + 8 + 3x = 0 omdannes til denne: x 2 + 3x + 8 = 0. Dens diskriminant er lig med denne værdi: -23. Da dette tal er negativt, vil svaret på denne opgave være følgende indgang: "Der er ingen rødder."

Den femte ligning 12x + x 2 + 36 = 0 skal omskrives som følger: x 2 + 12x + 36 = 0. Efter anvendelse af formlen for diskriminanten opnås tallet nul. Det betyder, at den vil have én rod, nemlig: x = -12 / (2 * 1) = -6.

Den sjette ligning (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) kræver transformationer, som består i, at du skal bringe lignende udtryk, før du åbner parenteserne. I stedet for den første vil der være et sådant udtryk: x 2 + 2x + 1. Efter ligheden vises denne post: x 2 + 3x + 2. Efter at sådanne led er talt, vil ligningen have formen: x 2 - x = 0. Det blev til ufuldstændigt ... Noget der ligner det er allerede blevet anset som lidt højere. Rødderne til dette vil være tallene 0 og 1.

Vi fortsætter med at studere emnet " løsning af ligninger". Vi har allerede mødt lineære ligninger og går videre med at stifte bekendtskab med andengradsligninger.

Først vil vi analysere, hvad en andengradsligning er, hvordan den er skrevet i generel form, og give relaterede definitioner. Derefter vil vi ved hjælp af eksempler analysere i detaljer, hvordan ufuldstændige andengradsligninger løses. Derefter går vi videre til at løse de komplette ligninger, får formlen for rødderne, stifter bekendtskab med andengradsligningens diskriminant og overvejer løsningerne af typiske eksempler. Lad os endelig spore forholdet mellem rødder og koefficienter.

Sidenavigation.

Hvad er en andengradsligning? Deres typer

Først skal du klart forstå, hvad en andengradsligning er. Derfor er det logisk at begynde at tale om andengradsligninger med definitionen af ​​en andengradsligning, samt relaterede definitioner. Derefter kan du overveje hovedtyperne af andengradsligninger: reducerede og ikke-reducerede såvel som komplette og ufuldstændige ligninger.

Definition og eksempler på andengradsligninger

Definition.

Kvadratisk ligning Er en ligning af formen a x 2 + b x + c = 0, hvor x er en variabel, a, b og c er nogle tal, og a er ikke-nul.

Lad os sige med det samme, at andengradsligninger ofte kaldes ligninger af anden grad. Dette skyldes, at andengradsligningen er algebraisk ligning anden grad.

Den lydede definition giver dig mulighed for at give eksempler på andengradsligninger. Så 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0, osv. Er andengradsligninger.

Definition.

Tal a, b og c kaldes andengradsligningens koefficienter a x 2 + b x + c = 0, og koefficienten a kaldes den første, eller den højeste, eller koefficienten ved x 2, b er den anden koefficient, eller koefficienten ved x, og c er det frie led.

Lad os for eksempel tage en andengradsligning af formen 5x2 −2x3 = 0, her er den førende koefficient 5, den anden koefficient er -2, og skæringspunktet er -3. Bemærk, at når koefficienterne b og/eller c er negative, som i eksemplet netop givet, så er den korte form af andengradsligningen 5 x 2 −2 x − 3 = 0, ikke 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) = 0.

Det er værd at bemærke, at når koefficienterne a og / eller b er lig med 1 eller −1, så er de normalt ikke eksplicit til stede i andengradsligningen, hvilket skyldes de særlige forhold ved at skrive en sådan. For eksempel, i en andengradsligning y 2 −y + 3 = 0, er den førende koefficient én, og koefficienten ved y er −1.

Reducerede og ureducerede andengradsligninger

Reducerede og ikke-reducerede andengradsligninger skelnes afhængigt af værdien af ​​den førende koefficient. Lad os give de tilsvarende definitioner.

Definition.

En andengradsligning, hvor den førende koefficient er 1, kaldes reduceret andengradsligning... Ellers er andengradsligningen ureduceret.

Ifølge denne definition er andengradsligninger x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0, osv. - givet, i hver af dem er den første koefficient lig med en. A 5 x 2 −x − 1 = 0 osv. - ureducerede andengradsligninger, deres ledende koefficienter er forskellige fra 1.

Fra enhver ikke-reduceret andengradsligning, ved at dividere begge dele af den med den førende koefficient, kan du gå til den reducerede. Denne handling er en ækvivalent transformation, det vil sige, at den reducerede andengradsligning opnået på denne måde har samme rødder som den oprindelige ikke-reducerede andengradsligning, eller har ligesom den ingen rødder.

Lad os analysere ved eksempel, hvordan overgangen fra en ikke-reduceret andengradsligning til en reduceret udføres.

Eksempel.

Fra ligningen 3 x 2 + 12 x − 7 = 0, gå til den tilsvarende reducerede andengradsligning.

Opløsning.

Det er nok for os at dividere begge sider af den oprindelige ligning med den førende koefficient 3, den er ikke-nul, så vi kan udføre denne handling. Vi har (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, hvilket er det samme, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0, og videre (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, hvorfra. Så vi fik den reducerede andengradsligning, som svarer til den oprindelige.

Svar:

Fuldstændige og ufuldstændige andengradsligninger

Definitionen af ​​en andengradsligning indeholder betingelsen a ≠ 0. Denne betingelse er nødvendig for at ligningen a x 2 + b x + c = 0 er nøjagtig kvadratisk, da den ved a = 0 faktisk bliver en lineær ligning af formen b x + c = 0.

Hvad angår koefficienterne b og c, kan de være nul, både hver for sig og sammen. I disse tilfælde kaldes andengradsligningen ufuldstændig.

Definition.

Den andengradsligning a x 2 + b x + c = 0 kaldes ufuldstændig hvis mindst en af ​​koefficienterne b, c er lig med nul.

På tur

Definition.

Fuld andengradsligning Er en ligning, hvor alle koefficienter ikke er nul.

Sådanne navne er ikke givet tilfældigt. Dette vil fremgå af følgende betragtninger.

Hvis koefficienten b er lig med nul, har andengradsligningen formen a x 2 + 0 x + c = 0, og den svarer til ligningen a x 2 + c = 0. Hvis c = 0, dvs. andengradsligningen har formen a x 2 + b x + 0 = 0, så kan den omskrives som a x 2 + b x = 0. Og med b = 0 og c = 0, får vi andengradsligningen a x 2 = 0. De resulterende ligninger adskiller sig fra den fulde andengradsligning ved, at deres venstre side hverken indeholder et led med variabel x eller et frit led eller begge dele. Deraf deres navn - ufuldstændige andengradsligninger.

Så ligningerne x 2 + x + 1 = 0 og −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 er eksempler på komplette andengradsligninger, og x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 er ufuldstændige andengradsligninger.

Løsning af ufuldstændige andengradsligninger

Af oplysningerne i det foregående afsnit følger det, at der er tre slags ufuldstændige andengradsligninger:

• a · x 2 = 0, det svarer til koefficienterne b = 0 og c = 0;
• a x 2 + c = 0, når b = 0;
• og a x 2 + b x = 0, når c = 0.

Lad os analysere i rækkefølge, hvordan ufuldstændige andengradsligninger af hver af disse typer løses.

a x 2 = 0

Lad os starte med at løse ufuldstændige andengradsligninger, hvor koefficienterne b og c er lig med nul, det vil sige med ligninger på formen a · x 2 = 0. Ligningen a · x 2 = 0 svarer til ligningen x 2 = 0, som fås fra originalen ved at dividere begge dele af den med et tal a, der ikke er nul. Det er klart, roden af ​​ligningen x 2 = 0 er nul, da 0 2 = 0. Denne ligning har ingen andre rødder, hvilket er forklaret, ja, for ethvert ikke-nul tal p, gælder uligheden p 2> 0, hvoraf det følger, at for p ≠ 0 opnås ligheden p 2 = 0 aldrig.

Så den ufuldstændige andengradsligning a · x 2 = 0 har en enkelt rod x = 0.

Lad os som et eksempel give løsningen til den ufuldstændige andengradsligning −4 · x 2 = 0. Det svarer til ligningen x 2 = 0, dens eneste rod er x = 0, derfor har den oprindelige ligning et unikt rodnul.

En kort løsning i dette tilfælde kan formuleres som følger:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Lad os nu overveje, hvordan ufuldstændige andengradsligninger løses, hvor koefficienten b er lig med nul, og c ≠ 0, det vil sige ligninger med formen a · x 2 + c = 0. Vi ved, at overførsel af et led fra den ene side af ligningen til en anden med det modsatte fortegn, såvel som at dividere begge sider af ligningen med et tal, der ikke er nul, giver en ækvivalent ligning. Derfor kan vi udføre følgende ækvivalente transformationer af den ufuldstændige andengradsligning a x 2 + c = 0:

• flyt c til højre, hvilket giver ligningsaksen 2 = −c,
• og dividere begge dens dele med a, får vi.

Den resulterende ligning giver os mulighed for at drage konklusioner om dens rødder. Afhængigt af værdierne af a og c kan værdien af ​​udtrykket være negativ (for eksempel hvis a = 1 og c = 2, så) eller positiv, (for eksempel hvis a = −2 og c = 6 , så), er det ikke lig med nul, da c ≠ 0 ifølge hypotesen. Lad os undersøge sagerne særskilt og.

Hvis, så har ligningen ingen rødder. Dette udsagn følger af det faktum, at kvadratet af ethvert tal er et ikke-negativt tal. Det følger af dette, at når, så for et hvilket som helst tal p, kan ligheden ikke være sand.

Hvis, så er situationen med ligningens rødder anderledes. I dette tilfælde, hvis du husker om, så bliver roden af ​​ligningen straks indlysende, det er et tal, da. Det er let at gætte, at tallet også er roden til ligningen. Denne ligning har ingen andre rødder, hvilket kan vises for eksempel ved modsigelse. Lad os gøre det.

Lad os betegne rødderne af ligningen, der lige lyder som x 1 og −x 1. Antag, at ligningen har en rod mere x 2, forskellig fra de angivne rødder x 1 og −x 1. Det er kendt, at substitution af dens rødder i en ligning i stedet for x gør ligningen til en ægte numerisk lighed. For x 1 og −x 1 har vi, og for x 2 har vi. Egenskaberne ved numeriske ligheder gør det muligt for os at udføre termin-for-term subtraktion af sande numeriske ligheder, så subtrahering af de tilsvarende dele af lighederne giver x 1 2 −x 2 2 = 0. Egenskaberne for handlinger med tal giver dig mulighed for at omskrive den resulterende lighed som (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Vi ved, at produktet af to tal er nul, hvis og kun hvis mindst et af dem er nul. Derfor følger det af den opnåede lighed, at x 1 - x 2 = 0 og / eller x 1 + x 2 = 0, hvilket er det samme, x 2 = x 1 og / eller x 2 = −x 1. Sådan kom vi til en modsigelse, da vi i begyndelsen sagde, at roden af ​​ligningen x 2 er forskellig fra x 1 og −x 1. Dette beviser, at ligningen ikke har andre rødder end og.

Lad os opsummere oplysningerne om denne vare. Den ufuldstændige andengradsligning a x 2 + c = 0 svarer til ligningen der

• har ingen rødder, hvis
• har to rødder og hvis.

Overvej eksempler på løsning af ufuldstændige andengradsligninger på formen a · x 2 + c = 0.

Lad os starte med andengradsligningen 9 x 2 + 7 = 0. Efter at have overført det frie led til højre side af ligningen, vil det have formen 9 · x 2 = −7. Ved at dividere begge sider af den resulterende ligning med 9 kommer vi frem til. Da der er et negativt tal på højre side, har denne ligning ingen rødder, derfor har den oprindelige ufuldstændige andengradsligning 9 · x 2 + 7 = 0 ingen rødder.

Løs en anden ufuldstændig andengradsligning −x 2 + 9 = 0. Flyt de ni til højre: −x 2 = −9. Nu dividerer vi begge sider med −1, vi får x 2 = 9. På højre side er der et positivt tal, hvorfra vi konkluderer, at eller. Så skriver vi det endelige svar ned: den ufuldstændige andengradsligning −x 2 + 9 = 0 har to rødder x = 3 eller x = −3.

a x 2 + b x = 0

Det er tilbage at beskæftige sig med løsningen af ​​den sidste type ufuldstændige andengradsligninger for c = 0. Ufuldstændige andengradsligninger på formen a x 2 + b x = 0 giver dig mulighed for at løse faktoriseringsmetode... Det er klart, at vi kan, placeret på venstre side af ligningen, for hvilket det er nok at udregne den fælles faktor x. Dette giver os mulighed for at gå fra den oprindelige ufuldstændige andengradsligning til en ækvivalent ligning på formen x · (a · x + b) = 0. Og denne ligning svarer til et sæt af to ligninger x = 0 og a x + b = 0, hvoraf den sidste er lineær og har en rod x = −b / a.

Så den ufuldstændige andengradsligning a x 2 + b x = 0 har to rødder x = 0 og x = −b / a.

For at konsolidere materialet analyserer vi løsningen af ​​et specifikt eksempel.

Eksempel.

Løs ligningen.

Opløsning.

Flytning af x ud af parentes giver ligningen. Det svarer til to ligninger x = 0 og. Vi løser den resulterende lineære ligning:, og efter at have divideret det blandede tal med en almindelig brøk, finder vi. Derfor er rødderne af den oprindelige ligning x = 0 og.

Efter at have opnået den nødvendige øvelse, kan løsningerne til sådanne ligninger skrives kort:

Svar:

x = 0,.

Diskriminant, formlen for rødderne til en andengradsligning

Der er en rodformel til løsning af andengradsligninger. Lad os skrive ned andengradsformel: , hvor D = b 2 −4 a c- såkaldte kvadratisk diskriminant... Notationen betyder i bund og grund det.

Det er nyttigt at vide, hvordan rodformlen blev opnået, og hvordan den anvendes, når man finder rødderne til andengradsligninger. Lad os finde ud af det.

Afledning af formlen for rødderne af en andengradsligning

Antag, at vi skal løse andengradsligningen a x 2 + b x + c = 0. Lad os udføre nogle tilsvarende transformationer:

• Vi kan dividere begge sider af denne ligning med et ikke-nul tal a, som et resultat får vi den reducerede andengradsligning.
• Nu vælg en komplet firkant på venstre side:. Derefter vil ligningen antage formen.
• På dette tidspunkt er det muligt at udføre overførslen af ​​de sidste to termer til højre med det modsatte fortegn, vi har.
• Og vi transformerer også udtrykket på højre side:.

Som et resultat kommer vi til en ligning, der svarer til den oprindelige andengradsligning a x 2 + b x + c = 0.

Vi har allerede løst ligninger med lignende form i de foregående afsnit, da vi analyserede dem. Dette giver os mulighed for at drage følgende konklusioner vedrørende ligningens rødder:

• hvis, så har ligningen ingen reelle løsninger;
• hvis, så har ligningen den form, derfor, hvorfra dens eneste rod er synlig;
• hvis, så eller, som er det samme, eller det vil sige, at ligningen har to rødder.

Tilstedeværelsen eller fraværet af ligningens rødder, og dermed den oprindelige andengradsligning, afhænger således af udtrykkets fortegn på højre side. Til gengæld er fortegnet for dette udtryk bestemt af tællerens fortegn, da nævneren 4 · a 2 altid er positiv, det vil sige fortegnet for udtrykket b 2 −4 · a · c. Dette udtryk b 2 −4 a c blev kaldt andengradsligningens diskriminant og markeret med bogstavet D... Derfor er essensen af ​​diskriminanten klar - ved dens betydning og fortegn konkluderes det, om andengradsligningen har reelle rødder, og i så fald, hvad er deres nummer - en eller to.

Vend tilbage til ligningen, omskriv den ved hjælp af diskriminantnotationen:. Og vi drager konklusioner:

• hvis D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• hvis D = 0, så har denne ligning en enkelt rod;
• endelig, hvis D> 0, så har ligningen to rødder eller, som i kraft af kan omskrives i formen eller, og efter at have udvidet og reduceret brøkerne til en fællesnævner, får vi.

Så vi udledte formler for rødderne af en andengradsligning, de har formen, hvor diskriminanten D beregnes med formlen D = b 2 −4 · a · c.

Med deres hjælp, med en positiv diskriminant, kan du beregne begge reelle rødder af andengradsligningen. Når diskriminanten er lig nul, giver begge formler den samme rodværdi svarende til en unik løsning til andengradsligningen. Og med en negativ diskriminant, når vi forsøger at bruge formlen til rødderne af en andengradsligning, står vi over for at udtrække kvadratroden af ​​et negativt tal, hvilket bringer os uden for rammerne af skolens læseplan. Med en negativ diskriminant har andengradsligningen ingen reelle rødder, men har et par komplekst konjugat rødder, som kan findes ved de samme rodformler, som vi har fået.

Algoritme til løsning af andengradsligninger ved hjælp af rodformler

I praksis, når du løser andengradsligninger, kan du straks bruge rodformlen, som du kan beregne deres værdier med. Men det her handler mere om at finde komplekse rødder.

I skolealgebraforløbet handler det dog normalt ikke om komplekst, men om reelle rødder af en andengradsligning. I dette tilfælde er det tilrådeligt først at finde diskriminanten, før du bruger formlerne til rødderne af andengradsligningen, sørg for, at den er ikke-negativ (ellers kan vi konkludere, at ligningen ikke har nogen reelle rødder), og først efter der beregner røddernes værdier.

Ovenstående ræsonnement giver os mulighed for at skrive andengradsligningsløser... For at løse andengradsligningen a x 2 + b x + c = 0, skal du bruge:

• ved diskriminantformlen D = b 2 −4 · a · c beregne dens værdi;
• konkludere, at andengradsligningen ikke har nogen reelle rødder, hvis diskriminanten er negativ;
• beregn den eneste rod af ligningen med formlen, hvis D = 0;
• find to reelle rødder af en andengradsligning ved hjælp af rodformlen, hvis diskriminanten er positiv.

Her bemærker vi blot, at når diskriminanten er lig nul, kan formlen også bruges, den vil give samme værdi som.

Du kan gå videre til eksempler på brug af algoritmen til løsning af andengradsligninger.

Eksempler på løsning af andengradsligninger

Overvej løsninger til tre andengradsligninger med positive, negative og nul diskriminanter. Efter at have behandlet deres løsning, vil det analogt være muligt at løse enhver anden andengradsligning. Lad os begynde.

Eksempel.

Find rødderne til ligningen x 2 + 2 x − 6 = 0.

Opløsning.

I dette tilfælde har vi følgende koefficienter for andengradsligningen: a = 1, b = 2 og c = −6. Ifølge algoritmen skal du først beregne diskriminanten, for dette erstatter vi de angivne a, b og c i diskriminantformlen, vi har D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Da 28> 0, dvs. diskriminanten er større end nul, har andengradsligningen to reelle rødder. Vi finder dem ved hjælp af rodformlen, vi får, her kan du forenkle de udtryk, der opnås ved at gøre udregning af rodens tegn med den efterfølgende reduktion af fraktionen:

Svar:

Lad os gå videre til det næste typiske eksempel.

Eksempel.

Løs andengradsligningen −4x2 + 28x − 49 = 0.

Opløsning.

Vi starter med at finde diskriminanten: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Derfor har denne andengradsligning en enkelt rod, som vi finder som, dvs.

Svar:

x = 3,5.

Det er tilbage at overveje løsningen af ​​andengradsligninger med negativ diskriminant.

Eksempel.

Løs ligningen 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Opløsning.

Her er koefficienterne for andengradsligningen: a = 5, b = 6 og c = 2. At erstatte disse værdier i diskriminantformlen, har vi D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Diskriminanten er negativ, derfor har denne andengradsligning ingen reelle rødder.

Hvis du skal angive komplekse rødder, så anvender vi den velkendte formel for rødderne af andengradsligningen, og udfører komplekse tal operationer:

Svar:

der er ingen rigtige rødder, komplekse rødder er som følger:.

Bemærk igen, at hvis diskriminanten i en andengradsligning er negativ, så skriver de i skolen som regel straks et svar ned, hvori de angiver, at der ikke er rigtige rødder, og komplekse rødder ikke findes.

Rodformel for selv anden koefficienter

Formlen for rødderne af en andengradsligning, hvor D = b 2 −4 a ln5 = 2 7 ln5). Lad os tage den ud.

Lad os sige, at vi skal løse en andengradsligning på formen a x 2 + 2 n x + c = 0. Lad os finde dens rødder ved hjælp af den formel, vi kender. For at gøre dette skal du beregne diskriminanten D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), og så bruger vi formlen for rødder:

Lad os betegne udtrykket n 2 - a · c som D 1 (nogle gange er det betegnet med D "). Så tager formlen for rødderne af den betragtede andengradsligning med den anden koefficient 2 n formen , hvor D1 = n2 - a · c.

Det er let at se, at D = 4 · D 1 eller D 1 = D / 4. Med andre ord er D 1 den fjerde del af diskriminanten. Det er tydeligt, at tegnet på D 1 er det samme som tegnet på D. Det vil sige, at tegnet på D 1 også er en indikator for tilstedeværelsen eller fraværet af rødderne af en andengradsligning.

Så for at løse den andengradsligning med den anden koefficient 2 n, skal du bruge

• Beregn D 1 = n 2 −a · c;
• Hvis D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Hvis D 1 = 0, så beregn den eneste rod af ligningen med formlen;
• Hvis D 1> 0, så find to reelle rødder ved formlen.

Overvej at løse et eksempel ved hjælp af rodformlen opnået i dette afsnit.

Eksempel.

Løs andengradsligningen 5x2 −6x − 32 = 0.

Opløsning.

Den anden koefficient i denne ligning kan repræsenteres som 2 · (−3). Det vil sige, du kan omskrive den oprindelige andengradsligning i formen 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0, her a = 5, n = −3 og c = −32, og udregne den fjerde del af diskriminant: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Da dens værdi er positiv, har ligningen to reelle rødder. Lad os finde dem ved hjælp af den tilsvarende rodformel:

Bemærk, at det var muligt at bruge den sædvanlige formel for rødderne af en andengradsligning, men i dette tilfælde skulle der udføres mere beregningsarbejde.

Svar:

Forenkling af visningen af ​​kvadratiske ligninger

Nogle gange, før man går i gang med beregningen af ​​rødderne af en andengradsligning ved hjælp af formler, skader det ikke at stille spørgsmålet: "Er det muligt at forenkle formen af ​​denne ligning?" Enig i, at det med hensyn til beregninger vil være lettere at løse andengradsligningen 11 x 2 −4 x − 6 = 0 end 1100 x 2 −400 x − 600 = 0.

Normalt opnås en forenkling af formen af ​​en andengradsligning ved at gange eller dividere begge dele af den med et vist tal. For eksempel lykkedes det i det foregående afsnit at forenkle ligningen 1100x2 −400x − 600 = 0 ved at dividere begge sider med 100.

En lignende transformation udføres med andengradsligninger, hvis koefficienter ikke er det. I dette tilfælde er begge sider af ligningen normalt divideret med de absolutte værdier af dens koefficienter. Lad os for eksempel tage andengradsligningen 12 x 2 −42 x + 48 = 0. de absolutte værdier af dens koefficienter: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Ved at dividere begge sider af den oprindelige andengradsligning med 6 kommer vi frem til den ækvivalente andengradsligning 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

Og multiplikationen af ​​begge sider af andengradsligningen udføres normalt for at slippe af med brøkkoefficienter. I dette tilfælde udføres multiplikationen af ​​nævnerne af dens koefficienter. For eksempel, hvis begge sider af andengradsligningen ganges med LCM (6, 3, 1) = 6, så vil den antage en enklere form x 2 + 4 x − 18 = 0.

Som afslutning på dette afsnit bemærker vi, at vi næsten altid slipper af med minus ved andengradsligningens ledende koefficient ved at ændre fortegnene for alle led, hvilket svarer til at gange (eller dividere) begge dele med −1. For eksempel går man normalt fra andengradsligningen −2x2 −3x + 7 = 0 over til løsningen 2x2 + 3x − 7 = 0.

Forholdet mellem rødder og koefficienter for en andengradsligning

Formlen for rødderne af en andengradsligning udtrykker rødderne af en ligning i form af dens koefficienter. Ud fra formlen for rødderne kan man få andre afhængigheder mellem rødderne og koefficienterne.

De bedst kendte og mest anvendelige formler er fra Vietas sætning om formen og. Især for den givne andengradsligning er summen af ​​rødderne lig med den anden koefficient med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led. For eksempel, ved form af andengradsligningen 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kan vi umiddelbart sige, at summen af ​​dens rødder er 7/3, og produktet af rødderne er 22/3.

Ved hjælp af de allerede skrevne formler kan du få en række andre sammenhænge mellem rødderne og koefficienterne for andengradsligningen. For eksempel kan du udtrykke summen af ​​kvadraterne af rødderne af en andengradsligning gennem dens koefficienter:.

Bibliografi.

• Algebra: undersøgelse. for 8 cl. almen uddannelse. institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; udg. S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2008 .-- 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8. klasse. Kl. 14.00 Del 1. Lærebog for studerende på uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11. udg., slettet. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 s .: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Med dette matematikprogram kan du løse andengradsligningen.

Programmet giver ikke kun et svar på problemet, men viser også løsningsprocessen på to måder:
- ved at bruge diskriminanten
- ved hjælp af Vietas sætning (hvis muligt).

Desuden vises svaret nøjagtigt, ikke omtrentligt.
For eksempel, for ligningen \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), vises svaret i denne form:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ og ikke sådan: \ (x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Dette program kan være nyttigt for seniorstuderende på gymnasier som forberedelse til test og eksamen, når de kontrollerer viden før eksamen, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have lavet dine matematik- eller algebralektier så hurtigt som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med en detaljeret løsning.

På den måde kan du gennemføre din egen undervisning og/eller undervisningen af ​​dine yngre søskende, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for de problemstillinger, der løses, stiger.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af et kvadratisk polynomium, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Regler for indtastning af et kvadratisk polynomium

Ethvert latinsk bogstav kan bruges som en variabel.
For eksempel: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) osv.

Tal kan indtastes som hele eller brøktal.
Desuden kan brøktal indtastes ikke kun i form af en decimal, men også i form af en almindelig brøk.

Regler for indtastning af decimalbrøker.
I decimalbrøker kan brøkdelen fra helheden adskilles med enten et punkt eller et komma.
For eksempel kan du indtaste decimalbrøker som dette: 2,5x - 3,5x ^ 2

Regler for indtastning af almindelige brøker.
Kun et heltal kan bruges som tæller, nævner og hel del af en brøk.

Nævneren kan ikke være negativ.

Når du indtaster en numerisk brøk, er tælleren adskilt fra nævneren med et divisionstegn: /
Hele delen er adskilt fra brøken med et og-tegn: &
Input: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Resultat: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Når du indtaster et udtryk beslag kan bruges... I dette tilfælde, når man løser en andengradsligning, forenkles først det introducerede udtryk.
For eksempel: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

Beslutte

Det viste sig, at nogle scripts, der var nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Måske har du AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er rigtig mange der gerne vil løse problemet, din henvendelse står i køen.
Efter et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i beslutningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer og hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Kvadratisk ligning og dens rødder. Ufuldstændige andengradsligninger

Hver af ligningerne
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
har formen
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tal.
I den første ligning a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den anden a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Sådanne ligninger kaldes andengradsligninger.

Definition.
Kvadratisk ligning er en ligning på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor x er en variabel, a, b og c er nogle tal, og \ (a \ neq 0 \).

Tallene a, b og c er koefficienterne for andengradsligningen. Tallet a kaldes den første koefficient, tallet b - den anden koefficient, og tallet c - det frie led.

I hver af ligningerne på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor \ (a \ neq 0 \), er den største potens af variablen x kvadratet. Deraf navnet: andengradsligning.

Bemærk, at en andengradsligning også kaldes en ligning af anden grad, da dens venstre side er et polynomium af anden grad.

En andengradsligning, hvor koefficienten ved x 2 er 1, kaldes reduceret andengradsligning... For eksempel er de reducerede andengradsligninger ligningerne
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Hvis i andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 er mindst én af koefficienterne b eller c lig nul, så kaldes en sådan ligning ufuldstændig andengradsligning... Så ligningerne -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 er ufuldstændige andengradsligninger. I den første af dem er b = 0, i den anden c = 0, i den tredje b = 0 og c = 0.

Ufuldstændige andengradsligninger er af tre typer:
1) ax 2 + c = 0, hvor \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, hvor \ (b \ neq 0 \);
3) akse 2 = 0.

Lad os overveje løsningen af ​​ligninger af hver af disse typer.

For at løse en ufuldstændig andengradsligning af formen ax 2 + c = 0 for \ (c \ neq 0 \), overfører du dets frie led til højre side og dividerer begge sider af ligningen med a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Højrepil x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Siden \ (c \ neq 0 \), så \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Hvis \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), så har ligningen to rødder.

Hvis \ (- \ frac (c) (a) At løse en ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 + bx = 0 med \ (b \ neq 0 \) faktor dens venstre side i faktorer og få ligningen
\ (x (ax + b) = 0 \ Højrepil \ venstre \ (\ begyndelse (array) (l) x = 0 \\ axe + b = 0 \ ende (array) \ højre. \ Højrepil \ venstre \ (\ begynde (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ højre. \)

Det betyder, at en ufuldstændig andengradsligning af formen ax 2 + bx = 0 for \ (b \ neq 0 \) altid har to rødder.

En ufuldstændig andengradsligning af formen ax 2 = 0 svarer til ligningen x 2 = 0 og har derfor en unik rod 0.

Formlen for rødderne af en andengradsligning

Lad os nu overveje, hvordan andengradsligninger løses, hvor både koefficienterne for de ukendte og det frie led er ikke-nul.

Lad os løse den andengradsligning i generel form, og som et resultat får vi formlen for rødderne. Så kan denne formel anvendes til at løse enhver andengradsligning.

Løs andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0

Ved at dividere begge dens dele med a, får vi den ækvivalente reducerede andengradsligning
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Vi transformerer denne ligning ved at vælge kvadratet af binomialet:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ venstre (\ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2- \ venstre (\ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Højrepil \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ venstre (\ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 = \ venstre (\ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ højrepil \) \ (\ venstre (x + \ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Højrepil \ venstre (x + \ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Højrepil \) \ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Højrepil x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Højrepil \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Det radikale udtryk kaldes andengradsligningens diskriminant ax 2 + bx + c = 0 (latinsk "diskriminant" er en diskriminator). Det er betegnet med bogstavet D, dvs.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Nu, ved hjælp af notationen af ​​diskriminanten, omskriver vi formlen for rødderne af den andengradsligning:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), hvor \ (D = b ^ 2-4ac \)

Det er tydeligt at:
1) Hvis D> 0, så har andengradsligningen to rødder.
2) Hvis D = 0, så har andengradsligningen én rod \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Hvis D Altså, afhængigt af værdien af ​​diskriminanten, kan andengradsligningen have to rødder (for D> 0), én rod (for D = 0) eller ikke have rødder (for D Når man løser en andengradsligning ved hjælp af denne formel, er det tilrådeligt at gå frem på følgende måde:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med nul;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lig med nul, så brug rodformlen, hvis diskriminanten er negativ, så skriv ned at der ikke er nogen rødder.

Vietas sætning

Den givne andengradsligning ax 2 -7x + 10 = 0 har rødderne 2 og 5. Summen af ​​rødderne er 7, og produktet er 10. Vi ser, at summen af ​​rødderne er lig med den anden koefficient taget med det modsatte tegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led. Enhver given andengradsligning med rødder besidder denne egenskab.

Summen af ​​rødderne af den givne andengradsligning er lig med den anden koefficient, taget med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led.

De der. Vietas sætning siger, at rødderne x 1 og x 2 af den reducerede andengradsligning x 2 + px + q = 0 har egenskaben:
\ (\ venstre \ (\ begyndelse (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ ende (array) \ højre. \)

Blandt hele forløbet af algebraskolens læseplan er et af de mest omfangsrige emner emnet kvadratiske ligninger. I dette tilfælde betyder en andengradsligning en ligning af formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a ≠ 0 (læs: og gange med x i anden anden plus være x plus tse er lig nul, hvor a ikke er lig med nul). I dette tilfælde er hovedpladsen optaget af formler til at finde diskriminanten af ​​en andengradsligning af den specificerede type, hvilket forstås som et udtryk, der gør det muligt at bestemme tilstedeværelsen eller fraværet af rødder i en andengradsligning, såvel som deres nummer (hvis nogen).

Formel (ligning) for diskriminanten af ​​en andengradsligning

Den generelt accepterede formel for diskriminanten af ​​en andengradsligning er som følger: D = b 2 - 4ac. Ved at beregne diskriminanten efter den angivne formel kan man ikke blot bestemme tilstedeværelsen og antallet af rødder i en andengradsligning, men også vælge en metode til at finde disse rødder, som der er flere af afhængig af typen af ​​andengradsligning.

Hvad betyder det, hvis diskriminanten er nul \ Formlen for rødderne af en andengradsligning, hvis diskriminanten er nul

Diskriminanten, som følger af formlen, er betegnet med det latinske bogstav D. I det tilfælde, hvor diskriminanten er nul, bør det konkluderes, at en andengradsligning på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a ≠ 0 , har kun én rod, som beregnes ved forenklet formel. Denne formel anvendes kun med nul diskriminant og ser ud som følger: x = –b / 2a, hvor x er roden af ​​andengradsligningen, b og a er de tilsvarende variable i andengradsligningen. For at finde roden til en andengradsligning er det nødvendigt at dividere den negative værdi af variablen b med den fordoblede værdi af variablen a. Det resulterende udtryk vil være løsningen på andengradsligningen.

Løsning af en andengradsligning i form af diskriminanten

Hvis der ved beregning af diskriminanten ved hjælp af ovenstående formel opnås en positiv værdi (D er større end nul), så har andengradsligningen to rødder, som beregnes ved hjælp af følgende formler: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) / 2a. Oftest beregnes diskriminanten ikke separat, men det radikale udtryk i form af en diskriminantformel substitueres blot ind i den D-værdi, som roden udvindes fra. Hvis variablen b har en lige værdi, kan du også bruge følgende formler for at beregne rødderne af en andengradsligning på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a ≠ 0: x 1 = (–k + v (k2 - ac)) / a , x 2 = (–k + v (k2 - ac)) / a, hvor k = b / 2.

I nogle tilfælde kan du til den praktiske løsning af andengradsligninger bruge Vietas sætning, som siger, at for summen af ​​rødderne af en andengradsligning på formen x 2 + px + q = 0, er værdien x 1 + x 2 = –p vil være gyldig, og for produktet af rødderne af den specificerede ligning - udtryk x 1 xx 2 = q.

Kan diskriminanten være mindre end nul

Ved beregning af værdien af ​​diskriminanten kan du støde på en situation, der ikke falder ind under nogen af ​​de beskrevne tilfælde - når diskriminanten har en negativ værdi (det vil sige mindre end nul). I dette tilfælde er det sædvanligt at antage, at en andengradsligning af formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a ≠ 0, ikke har nogen reelle rødder, derfor vil dens løsning være begrænset til at beregne diskriminanten, og ovenstående formler for rødderne af en andengradsligning i dette tilfælde ikke anvendes vil være. I dette tilfælde står der i svaret på andengradsligningen, at "ligningen har ingen reelle rødder."

Forklarende video: