For at føle sig selvsikker og med succes løse problemer i geometritimerne er det ikke nok at lære formler. De skal først forstås. At være bange, og endnu mere at hade formler, er uproduktivt. I denne artikel vil forskellige måder at finde området af en trapezoid blive analyseret på i et tilgængeligt sprog. For en bedre assimilering af de tilsvarende regler og sætninger vil vi være lidt opmærksomme på dens egenskaber. Dette vil hjælpe dig med at forstå, hvordan reglerne fungerer, og i hvilke tilfælde bestemte formler skal anvendes.

Definer en trapez

Hvad er dette tal generelt? Et trapez er en polygon med fire vinkler og to parallelle sider. De to andre sider af trapezet kan vippes i forskellige vinkler. Dens parallelle sider kaldes baser, og for ikke-parallelle sider bruges navnet "sider" eller "hofter". Sådanne figurer er ret almindelige i hverdagen. Trapezoidens konturer kan ses i silhuetterne af tøj, interiørartikler, møbler, fade og mange andre. Trapezoiden kan være af forskellige typer: alsidig, ligebenet og rektangulær. Vi vil analysere deres typer og egenskaber mere detaljeret senere i artiklen.

Trapez egenskaber

Lad os kort dvæle ved egenskaberne af denne figur. Summen af ​​vinklerne ved siden af ​​en side er altid 180°. Det skal bemærkes, at alle vinklerne i en trapezoid er 360°. Trapezoiden har begrebet en midterlinje. Hvis du forbinder sidernes midtpunkter med et segment, vil dette være midterlinjen. Det er betegnet m. Midterlinjen har vigtige egenskaber: den er altid parallel med baserne (vi husker, at baserne også er parallelle med hinanden) og lig med deres halvsum:

Denne definition skal læres og forstås, fordi den er nøglen til at løse mange problemer!

Ved trapezet kan du altid sænke højden til basen. En højde er en vinkelret, ofte betegnet med symbolet h, som er trukket fra ethvert punkt på en base til en anden base eller dens forlængelse. Midtlinjen og højden hjælper dig med at finde arealet af trapez. Sådanne opgaver er de mest almindelige i skolens geometrikursus og optræder jævnligt blandt kontrol- og eksamensopgaver.

De enkleste formler for arealet af en trapez

Lad os analysere de to mest populære og enkle formler til at finde arealet af en trapez. Det er nok at gange højden med halvdelen af ​​summen af ​​baserne for nemt at finde det, du leder efter:

S = h*(a + b)/2.

I denne formel angiver a, b basene af trapezoidet, h - højden. Af hensyn til læseligheden i denne artikel er multiplikationstegn markeret med symbolet (*) i formler, selvom multiplikationstegnet i officielle opslagsbøger normalt er udeladt.

Overvej et eksempel.

Givet: et trapez med to baser lig med 10 og 14 cm, højden er 7 cm. Hvad er arealet af trapezet?

Lad os analysere løsningen på dette problem. Ifølge denne formel skal du først finde den halve sum af baserne: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Så den halve sum er 12 cm. Nu gange vi den halve sum med højden: 12 * 7 \u003d 84. Den ønskede er fundet. Svar: Arealet af en trapez er 84 kvadratmeter. cm.

Den anden velkendte formel siger: arealet af en trapez er lig med produktet af midterlinjen og højden af ​​trapez. Det vil sige, at det faktisk følger af det tidligere koncept for midterlinjen: S=m*h.

Brug af diagonaler til beregninger

En anden måde at finde arealet af en trapez er faktisk ikke så svært. Det er forbundet med dets diagonaler. Ifølge denne formel, for at finde arealet, er det nødvendigt at gange halvproduktet af dets diagonaler (d 1 d 2) med sinus af vinklen mellem dem:

S = ½ d 1 d 2 sin en.

Overvej et problem, der viser anvendelsen af ​​denne metode. Givet: en trapez med en diagonal længde på henholdsvis 8 og 13 cm Vinklen a mellem diagonalerne er 30°. Find arealet af trapez.

Opløsning. Ved hjælp af ovenstående formel er det nemt at beregne, hvad der kræves. Som du ved, er sin 30° 0,5. Derfor er S = 8*13*0,5=52. Svar: Arealet er 52 kvadratmeter. cm.

Leder efter området for en ligebenet trapez

Et trapez kan være ligebenet (ligebenet). Dens sider er ens Og vinklerne ved baserne er ens, hvilket er godt illustreret på figuren. En ligebenet trapez har de samme egenskaber som en almindelig trapez, plus en række specielle. En cirkel kan omskrives omkring en ligebenet trapez, og en cirkel kan indskrives i den.

Hvad er metoderne til at beregne arealet af en sådan figur? Metoden nedenfor vil kræve mange beregninger. For at bruge det skal du kende værdierne for sinus (sin) og cosinus (cos) af vinklen ved bunden af ​​trapezoidet. Deres beregninger kræver enten Bradis-tabeller eller en teknisk lommeregner. Her er formlen:

S= c*synd -en*(-en - c*cos -en),

hvor Med- sidelår -en- vinkel ved den nederste base.

Et ligebenet trapez har diagonaler af samme længde. Det omvendte er også sandt: Hvis diagonalerne på en trapezoid er ens, så er den ligebenet. Derfor følgende formel for at hjælpe med at finde arealet af en trapez - halvproduktet af kvadratet af diagonalerne og sinus af vinklen mellem dem: S = ½ d 2 sin en.

At finde arealet af en rektangulær trapez

Et særligt tilfælde af en rektangulær trapez er kendt. Dette er en trapez, hvor den ene side (hendes lår) støder op til baserne i en ret vinkel. Det har egenskaberne som en almindelig trapez. Derudover har den en meget interessant funktion. Forskellen mellem kvadraterne af diagonalerne på en sådan trapez er lig med forskellen mellem kvadraterne på dens baser. Til det bruges alle de tidligere givne metoder til at beregne arealet.

Anvendelse af opfindsomhed

Der er et trick, der kan hjælpe i tilfælde af glemsel af specifikke formler. Lad os se nærmere på, hvad en trapez er. Hvis vi mentalt opdeler det i dele, vil vi få velkendte og forståelige geometriske former: en firkant eller et rektangel og en trekant (en eller to). Hvis du kender højden og siderne af trapezoidet, kan du bruge formlerne for arealet af en trekant og et rektangel og derefter tilføje alle de opnåede værdier.

Lad os illustrere dette med følgende eksempel. Givet en rektangulær trapez. Vinkel C = 45°, vinkler A, D er 90°. Den øvre base af trapezoiden er 20 cm, højden er 16 cm. Det er påkrævet at beregne arealet af figuren.

Denne figur består naturligvis af et rektangel (hvis to vinkler er 90°) og en trekant. Da trapezet er rektangulært, er dets højde derfor lig med dets side, det vil sige 16 cm. Vi har et rektangel med sider på henholdsvis 20 og 16 cm. Betragt nu en trekant, hvis vinkel er 45°. Vi ved, at den ene side af den er 16 cm. Da denne side også er højden af ​​trapezformen (og vi ved, at højden falder på basen i en ret vinkel), er trekantens anden vinkel derfor 90°. Derfor er trekantens resterende vinkel 45°. Som en konsekvens af dette får vi en retvinklet ligebenet trekant, hvor to sider er ens. Dette betyder, at den anden side af trekanten er lig med højden, det vil sige 16 cm. Det er tilbage at beregne arealet af trekanten og rektanglet og tilføje de resulterende værdier.

Arealet af en retvinklet trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af dens ben: S = (16*16)/2 = 128. Arealet af et rektangel er lig med produktet af dets bredde og længde: S = 20*16 = 320. Vi fandt den nødvendige: arealet af trapezformen S = 128 + 320 = 448 kvm. se. Du kan nemt dobbelttjekke dig selv ved at bruge ovenstående formler, svaret vil være identisk.

Vi bruger Pick-formlen

Til sidst præsenterer vi endnu en original formel, der hjælper med at finde arealet af en trapez. Det kaldes Pick-formlen. Det er praktisk at bruge det, når trapezet er tegnet på ternet papir. Lignende opgaver findes ofte i materialerne til GIA. Det ser sådan ud:

S \u003d M / 2 + N - 1,

i denne formel er M antallet af noder, dvs. skæringer af figurens linjer med cellens linjer på trapezets grænser (orange prikker i figuren), N er antallet af noder inde i figuren (blå prikker). Det er mest praktisk at bruge det, når man finder arealet af en uregelmæssig polygon. Men jo større arsenal af anvendte teknikker, jo færre fejl og bedre resultater.

Selvfølgelig er den givne information langt fra at udtømme en trapezoids typer og egenskaber, såvel som metoder til at finde dens område. Denne artikel giver et overblik over dens vigtigste egenskaber. Ved løsning af geometriske problemer er det vigtigt at handle gradvist, starte med lette formler og problemer, konsekvent konsolidere forståelsen, flytte til et andet kompleksitetsniveau.

De mest almindelige formler sammen vil hjælpe eleverne med at navigere på de forskellige måder at beregne arealet af en trapez og bedre forberede sig til test og test om dette emne.

En mangesidet trapez... Den kan være vilkårlig, ligebenet eller rektangulær. Og i hvert tilfælde skal du vide, hvordan du finder arealet af en trapez. Selvfølgelig, den nemmeste måde at huske de grundlæggende formler. Men nogle gange er det lettere at bruge den, der er afledt under hensyntagen til alle funktionerne i en bestemt geometrisk figur.

Et par ord om trapezoidet og dets elementer

Enhver firkant med to parallelle sider kan kaldes en trapez. Generelt er de ikke ens og kaldes baser. Den største af dem er lavere, og den anden er øvre.

De to andre sider er laterale. I et vilkårligt trapez har de forskellige længder. Hvis de er lige store, bliver figuren ligebenet.

Hvis vinklen mellem en hvilken som helst side og basen pludselig er lig med 90 grader, er trapezet rektangulært.

Alle disse funktioner kan hjælpe med at løse problemet med, hvordan man finder arealet af en trapez.

Blandt elementerne i figuren, som kan være uundværlige til at løse problemer, kan vi skelne følgende:

• højde, det vil sige et segment vinkelret på begge baser;
• midterlinien, som i enderne har midten af ​​siderne.

Hvad er formlen for at beregne arealet, hvis grundene og højden er kendt?

Dette udtryk er givet som det vigtigste, fordi det oftest er muligt at kende disse mængder, selv når de ikke er angivet eksplicit. Så for at forstå, hvordan man finder arealet af en trapez, skal du tilføje begge baser og dividere dem med to. Den resulterende værdi multipliceres derefter yderligere med højdeværdien.

Hvis vi angiver baserne med bogstaverne a 1 og a 2, højden - n, så vil formlen for området se sådan ud:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Formlen til beregning af arealet givet dets højde og midterlinje

Hvis man ser nærmere på den foregående formel, er det let at se, at den tydeligt indeholder værdien af ​​den midterste linje. Nemlig summen af ​​baserne divideret med to. Lad den midterste linje være angivet med bogstavet l, så bliver formlen for området:

S \u003d l * n.

Evne til at finde areal ved diagonaler

Denne metode vil hjælpe, hvis vinklen dannet af dem er kendt. Antag, at diagonalerne er angivet med bogstaverne d 1 og d 2, og vinklerne mellem dem er α og β. Så vil formlen for, hvordan man finder arealet af en trapezoid blive skrevet som følger:

S \u003d ((d 1 * d 2) / 2) * sin α.

I dette udtryk kan man nemt erstatte α med β. Resultatet vil ikke ændre sig.

Hvordan finder man ud af området, hvis alle sider af figuren er kendt?

Der er også situationer, hvor nøjagtigt siderne er kendt i denne figur. Denne formel er besværlig og svær at huske. Men sandsynligvis. Lad siderne have betegnelsen: i 1 og i 2 er basen a 1 større end en 2. Så har arealformlen følgende form:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (i 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + i 1 2 - i 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) )] 2).

Metoder til beregning af arealet af en ligebenet trapez

Den første er relateret til, at en cirkel kan indskrives i den. Og ved at kende dens radius (det er angivet med bogstavet r), såvel som vinklen ved basen - γ, kan du bruge følgende formel:

S \u003d (4 * r 2) / sin γ.

Den sidste generelle formel, som er baseret på at kende alle siderne af figuren, er meget forenklet på grund af det faktum, at siderne har samme værdi:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (i 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Metoder til beregning af arealet af en rektangulær trapez

Det er klart, at noget af ovenstående er egnet til en vilkårlig figur. Men nogle gange er det nyttigt at vide om en funktion ved en sådan trapez. Det ligger i, at forskellen mellem kvadraterne af diagonalernes længder er lig med forskellen, der består af basernes kvadrater.

Ofte glemmes formlerne for et trapez, mens udtrykkene for arealerne af et rektangel og en trekant huskes. Så kan du anvende en simpel metode. Del trapezet i to figurer, hvis det er rektangulært, eller tre. Den ene vil helt sikkert være et rektangel, og den anden, eller de resterende to, vil være trekanter. Efter beregning af arealerne af disse figurer er det kun tilbage at tilføje dem.

Dette er en ret simpel måde at finde arealet af en rektangulær trapez.

Hvad hvis koordinaterne til trapezets toppunkter er kendt?

I dette tilfælde skal du bruge et udtryk, der giver dig mulighed for at bestemme afstanden mellem punkter. Det kan påføres tre gange: for at kende både baser og en højde. Og så skal du bare anvende den første formel, som er beskrevet lidt højere.

Der kan gives et eksempel for at illustrere denne metode. Hjørnepunkter med koordinaterne A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1) er givet. Vi skal kende området af figuren.

Før du finder arealet af en trapez, skal du beregne længderne af baserne ud fra koordinaterne. Du skal bruge denne formel:

segmentlængde = √((forskel af punkternes første koordinater) 2 + (forskel mellem punkternes anden koordinater) 2 ).

Den øverste base er betegnet AB, hvilket betyder, at dens længde vil være lig med √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Den nederste er CD = √ ((10-1) ) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Nu skal du tegne en højde fra toppen til bunden. Lad dets begyndelse være ved punkt A. Slutningen af ​​segmentet vil være på den nederste base ved punktet med koordinaterne (5; 1), lad det være punkt H. Længden af ​​segmentet AN vil være lig med √ ((5) -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Det er kun tilbage at erstatte de resulterende værdier i formlen for arealet af en trapez:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problemet løses uden måleenheder, fordi koordinatgitterets skala ikke er specificeret. Det kan være enten millimeter eller meter.

Opgaveeksempler

nr. 1. Tilstand. Vinklen mellem diagonalerne af en vilkårlig trapezoid er kendt, den er lig med 30 grader. Den mindre diagonal har en værdi på 3 dm, og den anden er 2 gange større end den. Du skal beregne arealet af trapezet.

Opløsning. Først skal du finde ud af længden af ​​den anden diagonal, for uden denne vil det ikke være muligt at beregne svaret. Det er nemt at beregne det, 3 * 2 = 6 (dm).

Nu skal du bruge den passende formel for området:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4,5 (dm 2). Problem løst.

Svar: arealet af trapezet er 4,5 dm 2 .

nr. 2. Tilstand. I trapezet ABCD er baserne segmenterne AD og BC. Punkt E er midtpunktet af side SD. En vinkelret på den rette linje AB tegnes fra den, enden af ​​dette segment er angivet med bogstavet H. Det er kendt, at længderne af AB og EH er henholdsvis 5 og 4 cm. Det er nødvendigt at beregne arealet af trapezet.

Opløsning. Først skal du lave en tegning. Da værdien af ​​vinkelret er mindre end den side, som den er trukket til, vil trapezet blive lidt forlænget opad. Så EH vil være inde i figuren.

For tydeligt at se fremskridtene med at løse problemet, skal du udføre en ekstra konstruktion. Tegn nemlig en linje, der vil være parallel med siden AB. Skæringspunkterne for denne linje med AD - P, og med fortsættelsen af ​​BC - X. Den resulterende figur VKhRA er et parallelogram. Desuden er dens areal lig med det påkrævede. Dette skyldes det faktum, at trekanter, der blev opnået under den ekstra konstruktion, er ens. Dette følger af ligheden af ​​siden og de to vinkler, der støder op til den, den ene er lodret, den anden ligger på tværs.

Du kan finde arealet af et parallelogram ved hjælp af en formel, der indeholder produktet af siden og højden sænket ned på den.

Således er arealet af en trapez 5 * 4 = 20 cm 2.

Svar: S \u003d 20 cm 2.

nr. 3. Tilstand. Elementerne i en ligebenet trapez har følgende betydning: den nederste base er 14 cm, den øverste base er 4 cm, den spidse vinkel er 45º. Vi skal beregne dens areal.

Opløsning. Lad den mindre base betegnes BC. Højden tegnet fra punkt B vil blive kaldt BH. Da vinklen er 45º, vil trekanten ABH vise sig at være retvinklet og ligebenet. Så AH=BH. Og AN er meget let at finde. Det er lig med halvdelen af ​​forskellen mellem baserne. Det vil sige (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Baserne er kendte, højderne tælles. Du kan bruge den første formel, som blev overvejet her for en vilkårlig trapez.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).

Svar: Det ønskede areal er 45 cm 2.

nr. 4. Tilstand. Der er en vilkårlig trapezoid ABCD. Punkterne O og E tages på dens sider, så OE er parallel med bunden af ​​AD. AOED'ens trapezareal er fem gange større end CFE'ens. Beregn værdien af ​​OE, hvis grundlængderne er kendt.

Opløsning. Det vil være nødvendigt at tegne to lige linjer parallelt med AB: det første gennem punkt C, dets skæringspunkt med OE - punkt T; den anden til og med E og skæringspunktet med AD vil være M.

Lad den ukendte OE=x. Højden af ​​den mindre trapezformede OVSE er n 1, den større AOED er n 2.

Da områderne af disse to trapezoider er relateret til 1 til 5, kan vi skrive følgende lighed:

(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Højderne og siderne af trekanterne er proportionale i konstruktionen. Derfor kan vi skrive en anden lighed:

n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a ​​1 - x).

I de sidste to indtastninger i venstre side er der lige værdier, hvilket betyder, at vi kan skrive, at (x + a 1) / (5 (x + a 2)) er lig med (x - a 2) / (a ​​​1 - x).

Her kræves en række transformationer. Kors gange først. Der vises parenteser, der angiver forskellen på kvadrater, efter at have anvendt denne formel får du en kort ligning.

I den skal du åbne parenteserne og flytte alle udtryk med det ukendte "x" til venstre og derefter udtrække kvadratroden.

Svar: x \u003d √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Udøvelsen af ​​sidste års USE og GIA viser, at geometriproblemer volder vanskeligheder for mange elever. Du kan nemt klare dem, hvis du husker alle de nødvendige formler og øver dig i at løse problemer.

I denne artikel vil du se formler til at finde arealet af en trapez, samt eksempler på problemer med løsninger. De samme kan støde på dig i KIM'er ved certificeringseksamener eller ved olympiader. Behandl dem derfor omhyggeligt.

Hvad du behøver at vide om trapez?

Til at begynde med, lad os huske det trapez en firkant kaldes, hvor to modstående sider, de kaldes også baser, er parallelle, og de to andre er ikke.

I en trapez kan højden (vinkelret på basen) også udelades. Den midterste linje er tegnet - dette er en lige linje, der er parallel med baserne og lig med halvdelen af ​​deres sum. Samt diagonaler, der kan skære hinanden og danne spidse og stumpe vinkler. Eller i nogle tilfælde i en ret vinkel. Hvis trapezet er ligebenet, kan der desuden indskrives en cirkel i den. Og beskriv en cirkel omkring det.

Trapezium område formler

Overvej først standardformlerne til at finde arealet af en trapez. Måder at beregne arealet af ligebenede og buede trapezoider vil blive overvejet nedenfor.

Så forestil dig, at du har en trapez med base a og b, hvor højden h er sænket til den større base. Det er nemt at beregne arealet af en figur i dette tilfælde. Du skal bare dividere med to summen af ​​længderne af baserne og gange hvad der sker med højden: S = 1/2(a + b)*h.

Lad os tage et andet tilfælde: antag, at ud over højden har trapezet en medianlinje m. Vi kender formlen til at finde længden af ​​midterlinjen: m = 1/2(a + b). Derfor kan vi med rette forenkle formlen for arealet af en trapez til følgende form: S = m * h. Med andre ord, for at finde arealet af en trapez, skal du gange midterlinjen med højden.

Lad os overveje endnu en mulighed: diagonalerne d 1 og d 2 er tegnet i en trapez, som ikke skærer i en ret vinkel α. For at beregne arealet af en sådan trapez skal du halvere produktet af diagonalerne og gange, hvad du får med synden for vinklen mellem dem: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Overvej nu formlen for at finde arealet af en trapez, hvis intet er kendt om det undtagen længderne af alle dets sider: a, b, c og d. Dette er en besværlig og kompliceret formel, men det vil være nyttigt for dig at huske det i tilfælde af: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Forresten er ovenstående eksempler også sande for det tilfælde, hvor du har brug for formlen for arealet af en rektangulær trapez. Dette er en trapez, hvis side støder op til baserne i en ret vinkel.

Ligebenet trapez

Et trapez, hvis sider er lige store, kaldes ligebenet. Vi vil overveje flere varianter af formlen for arealet af en ligebenet trapez.

Den første mulighed: for det tilfælde, hvor en cirkel med radius r er indskrevet i en ligebenet trapezoid, og den laterale side og den større base danner en spids vinkel α. En cirkel kan indskrives i en trapez, forudsat at summen af ​​længderne af dens baser er lig med summen af ​​længderne af siderne.

Arealet af et ligebenet trapez beregnes som følger: gange kvadratet af radius af den indskrevne cirkel med fire og divider det hele med sinα: S = 4r2/sina. En anden arealformel er et specialtilfælde for muligheden, når vinklen mellem den store base og siden er 30 0: S = 8r2.

Den anden mulighed: denne gang tager vi en ligebenet trapez, hvori derudover diagonalerne d 1 og d 2 er tegnet, såvel som højden h. Hvis diagonalerne af en trapez er indbyrdes vinkelrette, er højden halvdelen af ​​summen af ​​baserne: h = 1/2(a + b). Når du ved dette, er det nemt at konvertere den trapezformel, du allerede kender til, til denne form: S = h2.

Formlen for arealet af en buet trapez

Lad os starte med at forstå: hvad er en buet trapez. Forestil dig en koordinatakse og en graf for en kontinuerlig og ikke-negativ funktion f, der ikke ændrer fortegn inden for et givet segment på x-aksen. Et krumt trapez er dannet af grafen for funktionen y \u003d f (x) - øverst, x-aksen - nederst (segment), og på siderne - lige linjer tegnet mellem punkterne a og b og grafen af funktionen.

Det er umuligt at beregne arealet af en sådan ikke-standardfigur ved hjælp af ovenstående metoder. Her skal du anvende matematisk analyse og bruge integralet. Nemlig Newton-Leibniz formlen - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). I denne formel er F antiderivatet af vores funktion på det valgte interval. Og arealet af den kurvelineære trapez svarer til stigningen af ​​antiderivatet på et givet segment.

Opgaveeksempler

For at gøre alle disse formler bedre i dit hoved, er her nogle eksempler på problemer med at finde arealet af en trapez. Det bedste ville være, hvis du først selv forsøger at løse problemerne, og først derefter tjekker det svar, du har fået, med den færdige løsning.

Opgave #1: Givet en trapez. Dens større bund er 11 cm, den mindre er 4 cm. Trapezium har diagonaler, den ene 12 cm lang, den anden 9 cm lang.

Løsning: Byg en trapezformet AMRS. Tegn linjen RX gennem toppunktet P, så den er parallel med diagonalen MC og skærer linjen AC i punktet X. Du får trekant APX.

Vi vil overveje to figurer opnået som et resultat af disse manipulationer: trekanten APX og parallelogrammet CMPX.

Takket være parallelogrammet lærer vi, at PX = MC = 12 cm og CX = MP = 4 cm. Hvor kan vi beregne siden AX af trekanten ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Vi kan også bevise, at trekanten ARCH er retvinklet (for at gøre dette skal du anvende Pythagoras sætning - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Og beregn dets areal: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Dernæst skal du bevise, at trekanter AMP og PCX er lige store i areal. Grundlaget vil være ligheden mellem MP og CX (allerede bevist ovenfor). Og også de højder, som du sænker på disse sider - de er lig med højden af ​​AMRS trapez.

Alt dette giver dig mulighed for at hævde, at S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Opgave #2: Givet en trapezformet KRMS. Punkterne O og E er placeret på dens laterale sider, mens OE og KS er parallelle. Det er også kendt, at arealerne af trapezoidet ORME og OXE er i forholdet 1:5. PM = a og KS = b. Du skal finde en OE.

Løsning: Tegn en linje gennem punktet M parallelt med RK, og angiv punktet for dets skæringspunkt med OE som T. A - skæringspunktet for linjen tegnet gennem punktet E parallelt med RK med bunden af ​​KS.

Lad os introducere endnu en notation - OE = x. Samt højden h 1 for trekanten TME og højden h 2 for trekanten AEC (du kan uafhængigt bevise ligheden mellem disse trekanter).

Vi vil antage, at b > a. Områderne af trapezerne ORME og OXE er relateret til 1:5, hvilket giver os ret til at tegne følgende ligning: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Lad os transformere og få: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Da trekanterne TME og AEC ligner hinanden, har vi h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Kombiner begge poster og få: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Således OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Konklusion

Geometri er ikke den nemmeste af videnskaberne, men du vil helt sikkert kunne klare eksamensopgaver. Det kræver bare lidt tålmodighed i forberedelsen. Og husk selvfølgelig alle de nødvendige formler.

Vi forsøgte at samle alle formlerne til at beregne arealet af en trapez på ét sted, så du kan bruge dem, når du forbereder dig til eksamen og gentager materialet.

Sørg for at dele denne artikel med dine klassekammerater og venner på sociale netværk. Lad der være flere gode karakterer til Unified State Examination og GIA!

blog.site, med hel eller delvis kopiering af materialet, kræves et link til kilden.

OG . Nu kan vi begynde at overveje spørgsmålet om, hvordan man finder arealet af en trapez. Denne opgave i hverdagen forekommer meget sjældent, men nogle gange viser det sig at være nødvendigt, for eksempel at finde arealet af et værelse i form af en trapez, som i stigende grad bruges i opførelsen af ​​moderne lejligheder, eller i renoveringsprojekter.

Et trapez er en geometrisk figur, der er dannet af fire krydsende segmenter, hvoraf to er parallelle med hinanden og kaldes basene af trapez. De to andre segmenter kaldes trapezets sider. Derudover får vi brug for en anden definition senere. Dette er trapezets midterlinje, som er et segment, der forbinder sidernes midtpunkter og højden af ​​trapezet, som er lig med afstanden mellem baserne.
Ligesom trekanter har et trapez særlige typer i form af et ligebenet (ligebenet) trapez, hvor længderne af siderne er de samme, og et rektangulært trapez, hvor en af ​​siderne danner en ret vinkel med baserne.

Trapezoider har nogle interessante egenskaber:

1. Midtlinjen af ​​et trapez er halvdelen af ​​summen af ​​baserne og parallelt med dem.
   
2. Ligebenede trapez har lige sider og vinkler, som de danner med baserne.
   
3. Midtpunkterne for diagonalerne i en trapez og skæringspunktet for dens diagonaler er på den samme lige linje.
   
4. Hvis summen af ​​siderne af en trapez er lig med summen af ​​baserne, kan en cirkel indskrives i den
   
5. Hvis summen af ​​vinklerne dannet af siderne af en trapez ved en af ​​dens baser er 90, så er længden af ​​det segment, der forbinder basernes midtpunkter, lig med deres halve forskel.
   
6. Et ligebenet trapez kan beskrives med en cirkel. Og omvendt. Hvis en trapez er indskrevet i en cirkel, så er den ligebenet.
   
7. Segmentet, der passerer gennem midtpunkterne af baserne af en ligebenet trapezoid, vil være vinkelret på dens baser og repræsenterer symmetriaksen.
   

Sådan finder du arealet af en trapez.

Arealet af en trapez vil være halvdelen af ​​summen af ​​dens baser ganget med dens højde. I form af en formel skrives dette som et udtryk:

hvor S er arealet af trapezoidet, a,b er længden af ​​hver af trapezets baser, h er højden af ​​trapezoidet.

Du kan forstå og huske denne formel som følger. Som det følger af nedenstående figur, kan et trapez ved hjælp af midterlinjen konverteres til et rektangel, hvis længde vil være lig med halvdelen af ​​summen af ​​baserne.

Du kan også nedbryde en hvilken som helst trapez i enklere former: et rektangel og en eller to trekanter, og hvis det er nemmere for dig, så find arealet af trapezet som summen af ​​arealerne af dets figurer.

Der er en anden simpel formel til at beregne dens areal. Ifølge den er arealet af trapezet lig med produktet af dets midterlinje og højden af ​​trapezet og skrives som: S = m * h, hvor S er arealet, m er længden af midtlinje, h er højden af ​​trapez. Denne formel er mere egnet til matematiske problemer end til hverdagsproblemer, da du under virkelige forhold ikke vil kende længden af ​​midterlinjen uden foreløbige beregninger. Og du kender kun længderne af baserne og siderne.

I dette tilfælde kan arealet af trapezet findes ved hjælp af formlen:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

hvor S er arealet, a,b er baserne, c,d er trapezets sider.

Der er flere måder at finde arealet af en trapez. Men de er omtrent lige så ubelejlige som den sidste formel, hvilket betyder, at det ikke giver nogen mening at dvæle ved dem. Derfor anbefaler vi, at du bruger den første formel fra artiklen og ønsker, at du altid får præcise resultater.

Området af trapez. Vær hilset! I denne publikation vil vi overveje denne formel. Hvorfor er det, som det er, og hvordan kan du forstå det? Hvis der er en forståelse, så behøver du ikke lære det. Hvis du bare vil se denne formel og hvad der haster, så kan du med det samme scrolle ned på siden))

Nu i detaljer og i rækkefølge.

Et trapez er en firkant, to sider af denne firkant er parallelle, de to andre er ikke. Dem, der ikke er parallelle, er baserne af trapez. De to andre kaldes sider.

Hvis siderne er lige store, kaldes trapezet ligebenet. Hvis en af ​​siderne er vinkelret på baserne, kaldes en sådan trapez rektangulær.

I den klassiske form er trapezet afbildet som følger - henholdsvis den større base er nederst, den mindre er øverst. Men ingen forbyder at afbilde det og omvendt. Her er skitserne:

Det næste vigtige koncept.

Medianlinjen i et trapez er et segment, der forbinder sidernes midtpunkter. Medianlinjen er parallel med trapezets baser og er lig med deres halvsum.

Lad os nu dykke dybere. Hvorfor præcis?

Overvej en trapez med baser a og b og med midterlinien l, og udfør nogle yderligere konstruktioner: Tegn lige linjer gennem baserne og vinkelrette linjer gennem enderne af midterlinjen, indtil de krydser baserne:

*Brevbetegnelser for knudepunkter og andre punkter indtastes ikke med vilje for at undgå unødvendige betegnelser.

Se, trekanter 1 og 2 er ens i henhold til det andet tegn på lighed af trekanter, trekanter 3 og 4 er ens. Af trekanters lighed følger elementernes lighed, nemlig benene (de er angivet henholdsvis med blåt og rødt).

Nu opmærksomhed! Hvis vi mentalt "skærer" de blå og røde segmenter af fra den nederste base, så vil vi have et segment (dette er siden af ​​rektanglet) svarende til midterlinjen. Yderligere, hvis vi "limer" de afskårne blå og røde segmenter til den øvre base af trapezoidet, får vi også et segment (dette er også siden af ​​rektanglet) svarende til trapezets midtlinje.

Forstået? Det viser sig, at summen af ​​baserne vil være lig med trapezets to medianer:

Se en anden forklaring

Lad os gøre følgende - byg en lige linje, der går gennem den nederste base af trapezoidet, og en lige linje, der passerer gennem punkt A og B:

Vi får trekanter 1 og 2, de er ens i side- og tilstødende vinkler (det andet tegn på trekanters lighed). Dette betyder, at det resulterende segment (i skitsen er det markeret med blåt) er lig med den øvre base af trapez.

Overvej nu en trekant:

*Medianlinjen for denne trapezoid og trekantens medianlinje falder sammen.

Det er kendt, at trekanten er lig med halvdelen af ​​basen parallelt med den, det vil sige:

Okay, forstår det. Nu om arealet af trapez.

Formel for trapezareal:

De siger: arealet af en trapez er lig med produktet af halvdelen af ​​summen af ​​dens baser og højde.

Det vil sige, det viser sig, at det er lig med produktet af midterlinjen og højden:

Du har sikkert allerede bemærket, at dette er indlysende. Geometrisk kan dette udtrykkes som følger: hvis vi mentalt afskærer trekanter 2 og 4 fra trapezet og sætter dem på henholdsvis trekant 1 og 3:

Så får vi et rektangel i areal svarende til arealet af vores trapez. Arealet af dette rektangel vil være lig med produktet af midterlinjen og højden, det vil sige, vi kan skrive:

Men pointen her er selvfølgelig ikke skriftligt, men forståelse.

Download (se) artiklens materiale i *pdf-format

Det er alt. Held og lykke!

Med venlig hilsen Alexander.